Разработка методов анализа и применения автопараметрического гашения колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Чан Ван Бинь

• Чан Ван Бинь
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Чан Ван Бинь

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕ

СКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

ПРИНЦИПЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

2. КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ АВТОПАРА

МЕТРИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Глава 1. АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.

1.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОПРАМЕТРИТИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ (АГК).

1.1.1. Автопараметрическая система.

1.1.2. Особенности автопараметрических систем.

1.1.3. Автопараметрический резонанс в практических ситуациях.

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.3. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТИПИЧНОЙ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

2.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ.

2.3.1. Метод многомасштабных разложений (ММР).

2.3.2. Внутренний и внешний резонанс.

2.3.3. Различные виды периодических движений.

2.4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.

2.5. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (АЧХ) ПО МЕТОДУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

2.5.1. Стационарное движение.

2.5.2. Амплитудно-частотные характеристики.

2.5.3. Замечания.

2.6. ЯВЛЕНИЕ ГИСТЕРЕЗИСА.

2.7. СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ.

2.7.1. Модель с классическим динамическим гасителем колебаний.

2.7.2. Условия сравнения свойств динамических гасителей.•.

2.7.3. Сравнение свойств динамических гасителей.

2.8. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

Глава 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МАЯТНИКОВЫМ ГАСИТЕЛЕМ.

3.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ.

3.2. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА МОДЕЛИ АГК.

3.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ.

3.4. ЭТАПЫ ЭКСПЕРИМЕНТА.

3.4.1. Методика проведения эксперимента.

3.4.2. Результаты эксперимента.

3.5. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ.

3.6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

3.7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ.

3.7.1. Идентификация значений параметров модели.

3.7.2. Сопоставление результаты эксперимента с теоретическим расчетом.

3.7.3. Оценка о погрешности.

3.8. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

Глава 4. СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ГАШЕНИЯ

ВИБРАЦИЙ.

4.1. ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ЗНАЧЕНИЕ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ.

4.1.1. Влияние параметра настройки р.

4.1.2. Влияние демпфирования связи С, и сопротивления вращению маятника в шарнире

4.1.3. Влияние отношения массы \хт.

4.2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГАШЕНИЯ.

4.2.1. Функция эффективности.

4.2.2. Влияние динамических параметров на эффективность гашения.

4.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ МНОГОЧАСТОТНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ.

4.3.1. Модель маятникового гасителя при многочастотном возбуждении.

4.3.2. Модель пружинного гасителя (классического) при многочастотном возбуждении.

4.3.3. Сравнение АЧХ основного тела модели пружинного и маятникового гасителя.

4.4. МОДЕЛЬ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ МАЯТНИКАМИ.

4.5. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.

Глава 5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ.

5.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ВИБРОИЗОЛИРОВАННОГО СТОЛА .108 5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Модель виброизолированного стола с автопараметрическим гасителем колебаний.

5.1.3. Уравнения движения.

5.2.ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОПАРМЕТРИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ПОЛИВАЛЬНОЙ МАШИНЫ.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Модель поливальной машины с автопараметрическим гасителем колебаний.

5.2.3. Определение жёсткости ферм.

5.2.4. Профиль дороги.

5.2.5. Проектирование АГК.

5.2.6. Реакции в опорах.

5.3. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов анализа и применения автопараметрического гашения колебаний»

Создание эффективных средств защиты от вибраций является одной из важных проблем современной техники. Особенно большое значение приобретают вопросы виброзащиты в современных транспортных объектах: летательных аппаратах, автомобилях, железнодорожном транспорте, морских судах и т.д. Поскольку интенсивность вибраций обычно возрастает с увеличением скорости движения, развитие транспортных средств сопровождается непрерывным повышением требований к виброзащитным устройствам.

Вибрация, возникающая при работе машин различных типов, влияет не только на технические объекты, но и на людей, находящихся вблизи источника вибрации. Длительное воздействие вибрации нарушает нормальное состояние человека и непосредственно влияет на производительность труда и качество выполняемой работы.

Вредная вибрация нарушает планируемые конструктором законы движения машин, механизмов и систем управления, порождает неустойчивость процессов и может вызвать отказы и полную расстройку всей системы. Действие вибрации может приводить к трансформированию внутренней структуры материалов поверхностных слоев, изменению условий трения и износа на контактных поверхностях деталей машин, нагреву конструкций. Из-за вибрации увеличиваются динамические нагрузки в элементах конструкций, стыках и сопряжениях, снижается несущая способность деталей, инициируются трещины, возникают усталостные разрушения. Чаще всего и довольно быстро разрушение объекта наступает при вибрационных влияниях в условиях резонанса. Вибрация вызывает также и отказы машин, приборов.

Вибрация приводит к индуцированию шума, являющегося важным экологическим показателем среды обитания человека. Вибрация оказывает и непосредственное влияние на человека, снижая его функциональные возможности и работоспособность. В условиях вибрации нарушается острота зрения и светоощущения, ухудшается координация движений, меняется реакция и пороги чувствительности, ослабевает память, повышаются энергетические затраты. Длительное действие вибраций может привести к ухудшению самочувствия и поражению отдельных систем организма: сердечно-сосудистой, нервной, кровеносной, вестибулярного аппарата и других, изменению мышечных и костных тканей. Поэтому особое значение приобретают методы и средства уменьшения вибрации. Совокупность таких методов и средств принято называть виброзащитой.

Проблема виброзащиты, в широком понимании этого слова, представляет собой проблему защиты окружающей среды и охраны природы и имеет международное значение.

Проблемы виброзащиты возникают практически во всех областях современной техники, и их решение существенно опирается на специфику системы или реализуемого ею динамического процесса. Выбор законов движения исполнительных органов машин, механизмов, реализующих эти движения, геометрических форм деталей и конструкций, вида их сопряжений и механических характеристик, материалов и способов обработки наряду с функциональными требованиями должен отвечать требованиям вибронадежности и вибробезопасности.

Актуальность проблемы непрерывно возрастает в связи с увеличением размеров конструкций, повышением быстроходности машин, ужесточением санитарных и технологических требований к допустимым уровням колебаний.

К настоящему времени известны различные методы и средства борьбы с недопустимыми колебаниями конструкций, в частности балансировка и уравновешивание машин, являющихся источниками динамических нагрузок, изменение жесткостных и инерционных параметров конструкций в целях отстройки от резонансов, повышение демпфирующих свойств путем использования материалов и конструкций с высокой поглощающей способностью, например специальных покрытий, применение виброизоляции и разнообразных гасителей колебаний. Каждый из упомянутых способов имеет, естественно, свою рациональную область применения.

Применение динамического гашения колебаний является одним из наиболее распространенных способов, позволяет решить отчасти требований проблемы виброзащиты.

Гасители в этом перечне занимают особое место благодаря тому, что их использование может быть предусмотрено не только на стадии проектирования и создания конструкций, но и в случае, когда неудовлетворительные динамические качества конструкции выявлены уже в процессе ее эксплуатации. Достоинством гасителей является также то, что при сравнительно малых затратах дополнительного материала они позволяют относительно просто получить желаемый эффект уменьшения уровня колебаний.

Динамическим гасителем колебаний (ДГК) или «антивибратор», «динамический демпфер», «виброгаситель», «поглотитель колебаний», «амортизатор» и т.п. называют устройство, в котором возникает сила инерции, уменьшающая уровень колебаний защищаемой конструкции.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Чан Ван Бинь

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

В диссертационной работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование динамических процессов, происходящих в автопараметрических системах, а также проектирование АГК поливальной машины и получены следующие результаты и выводы:

1. Разработанные математические модели различных динамических систем с АГК и численные модели, позволяют рассчитывать амплитудно-частотные характеристики динамических систем с АГК, исследовать устойчивость периодических движений и прогнозировать эффективность динамического гашения в зависимости от всех физически значимых параметров.

2. Численно (методом установления) и аналитически определен частотный диапазон динамического гашения с помощью АГК. Показано, что эффективность гашения вибраций, главным образом, определяется параметром настройки и достигает наиболыне значение при Р = 0,5.

Дано физическое толкование наблюдаемой неоднозначности АЧХ - амплитудного гистерезиса, вызванного «инерционным» запаздыванием. Показано, что область амплитудного гистерезиса увеличивается при возрастании потерь в шарнире маятника.

Установлено, что АКГ проявляют свойства динамической системы с переменной структурой.

3. Сравнение АЧХ автопараметрического гасителя колебаний с эквивалентным классическим динамическим гасителем выявляет основную особенность АГК - существование конечного частотного диапазона работы АГК, сконцентрированного вблизи резонансного пика системы с «выключенным» АГК.

4. Показано, что использование одновременно нескольких маятниковых гасителей и/или многочастотного воздействия на систему позволяет расширить частотный диапазон эффективного гашения колебаний.

5. На основе проведенных экспериментов выявлено, что использование АГК в консольных конструкциях при кинематическом возбуждении в области заделки, при настройке АГК на внутренний резонанс 2:1 позволяет реализовать режимы работы, при которых конструкция осуществляет практически плоскопараллельное движение. При этом существенно снижаются динамические составляющие напряжения в области заделки.

6. Разработанная методика проектирования АГК позволили рассчитать АГК для поливальной (оросительной) машины и указать диапазон гашения и рациональные массовые характеристики устройства. На основе выполненных исследований разработана и внедрена в учебный процесс лабораторная работа по изучению динамических свойств систем с АГК.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Чан Ван Бинь, 2008 год

1. Алексеев A.M., Сборовский А.К. Судовые виброгасители. — Л.: Судпром-гиз, 1962.- 196 с.

2. Ананьев И.В., Конбгт Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1972. 414 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. - 592 с.

4. Бидерман В.Я. Прикладная теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

5. Бидерман В.Я. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

6. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994.-400 с.

7. Брискин Е. С., Чернышев В.М. Оптимизация параметров динамических гасителей колебаний// Известие вузов. Машиностроение.-1977.-№2. -С. 190-192.

8. Бурденко А. Ф., Флора В. Ф. Определение оптимальных параметров упруго-вязкого демпфера при наличии затухания колебаний главной массы //Акустика и ультразвуковая техника. -19727.-Вып.7. -С.58-62.

9. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978 — Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. В.В. Болотина. -352с.

10. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1979 - Т.2. Колебания нелинейных механических систем/Под ред. И.И. Блехмана. -351с.

11. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1980 - Т.З. Колебания машин, конструкций и их элементов/Под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. -544с.

12. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1981 - Т.4. Вибрационные процессы и машины/Под ред. Э.Э. Лавендела. —509с.

13. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1981— Т.5. Измерения и испытания/Под ред. М.Д.Ленкина. 496с.

14. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1981- Т.6. Защита от вибрации и ударов /Под ред. К.В.Фролова. -456с.

15. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 1) // Наука и образование. Инженерное образование. E-Journal. 2008. - №2. (http://technomag.edu.ru/doc/80815.htmlA.

16. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 2) // Наука и образование. Инженерное образование. E-Journal. 2008. - №4. (http://technomag.edu.ru/doc/87802.htm/).

17. П. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Гашение колебаний упругой системы с присоединенным маятником//Машиностроение и инженерное образование. -2008. №4. -С. 11-17.

18. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Анализ динамики маятникового гасителя колебаний/ЯТроблемы машиностроения и надежности машин. Наука. -2008. № 2. -С. 17-23.

19. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания-М.: Физматгиз, 1960. -580с.

20. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика/Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1981. —215 с.

21. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций: Справочник проектировщика/Под ред. Б.Г. Коренева, А.Ф. Смирнова.-М.: Сгройиздат, 1986.-462 с.

22. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск: Наука, 1982. - 144 с.

23. Закиров ИМ., Пикулев H.A. Экспериментальное исследование колебаний системы с группой динамических гасителей//Строительная механика и расчет сооружений. -1978. -№ 1.-С. 61-63.

24. Ивович В.А., Онищенко В.Я. Защита от вибрации в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

25. Илиьн М.М., Колесников КС., Саратов Ю.С. Теория колебаний : Учеб. для вузов/ Под общ. ред. К.С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.-272 с.

26. Илънский B.C. Защита аппаратов от динамических воздействий. М.: Энергия, 1970.-320 с.

27. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний/Под ред. K.M. Ра-гульскиса- JL: Машиностроение Ленингр., 1988. — 105 с.

28. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Физ-матлит, 1966. - 317 с.

29. Копелев Ю.Ф., Рябцев О.И Случайные колебания расточных шпинделей и их демпфирование // Изв. вузов. Машиностроение. 1972. - № 9. — С. 172-177.

30. Коренев Б.Г., Олейник А.И. Эффективность многомассовых динамических гасителей колебаний при гармонических внешних воздействи-ях//Строительная механика и расчет сооружений. 1984. -№5.-С. 39-43.

31. Коренев Б.Г., Дукарт A.B., Олейник А.И. Применение двухмассовых динамических гасителей колебаний в фундаментах под машины//Динамикаоснований, фундаментов и подземных сооружений. Тез. докл. VI Всесоюзная конференция. Л., 1985. -С. 384-386.

32. Коренев Б.Г., Резников JI.M. Динамические гасители колебаний. — М.: Наука. Гл. ред Физ.-мат.-лит., 1988. 304 е., ил. 97.

33. Манатов А.З., Пикулев H.A. К расчету колебательной системы с группой вибро-гасителей//Материалы координационного совещания по динамике строительной конструкции и борьбе с вибрациями. М.: Стройиздат, 1975.-С. 68-74.

34. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: Учеб. пособие для втузов — М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат., 1988. 336с.

35. Найфэ А.Х. Методы возмущений: Перевод с английского- М.: Издательство «Мир», 1976. -455с.

36. Никитин H.H. Курс теоретической механики: Учеб. для машиностроительных и приборостроительных специальных вузов.-5-e изд. перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1990.-607 с.

37. Пановко Я.Г. Присоединенные динамические системы как гасители колебаний // Прочность, устойчивость, колебания: Справочник М.: Машиностроение, 1968. —ТЗ — С. 331-346.

38. Резников U.M. Выбор оптимальных параметров динамического гасителя при прохождении через резонанс//Динамика сооружений: Труды ЦНИИСК.-М.: Стройиздат, 1968. -С. 157-162.

39. Резников Л.М. Вероятностный анализ системы с динамическим гасителем// Машиностроение. 1969. —№5. -С.25-31.

40. Резников Л.М. Исследование работы центробежного маятникового гасителя колебаний//Машиностроение 1970. —№ 5. -С. 49-55.

41. Резников Л.М. Оптимизация параметров динамических гасителей колебаний с различными видами сопротивления//Проблемы прочности— 1970. № 9. -С. 46-51.

42. Резников Л.М. Анализ эффективности некоторых типов нелинейных динамических гасителей при гармонических воздействиях// Динамика сооружений: Труды ЦНИИСК.-М.: Стройиздат, 1971. -С. 105-115.

43. Резников Л.М., Фишман Г.М. Оптимальные параметры динамического гасителя колебаний в переходном режиме//Машиноведение. 1972. - № 2. -С. 10-15.

44. Резников Л.М. Оптимальные параметры динамического гасителя при затухающих колебаниях// Колебания и динамические качества механических систем-Киев: Наукова думка, 1983. -С.118-124.

45. Резников Л.М., Мащенко И.А. Об эффективности динамического гасителя колебаний вагона электропоезда//Вестник ВНИИЖТ. 1983. - № 5. - С. 36-39.

46. Резников Л.М, Фиишан Г.М. Выбор параметров и оценка эффективности динамического гасителя колебаний при периодически действующих случайных импульсах//Машиностроение. 1984. —№ 2. - С. 22-27.

47. Резников Л.М. Расчет многомассовых систем с непропорциональным трением// Колебания и прочность механических систем. Киев: Наукова думка, 1986.-С. 70-77.

48. Ржаницын А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для строительных специальных вузов. 2-е изд., перераб-М.: Высшая школа, 1991. -439 с.

49. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов; В 2-х ч. Статика-М.: Высшая школа, 1987. Ч.1.- 320 с.

50. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов; В 2-х ч. Динамика- М.: Высшая школа, 1987. Ч.2.- 304 с.

51. Справочник по динамике сооружений/Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича— М.: Стройиздат, 1972.-511 с.

52. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебания. — М.: «Наука», 1977.-256 с.

53. Фролов К.А., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем — М.: Машиностроение, 1980.-276 с.

54. Фоедосъев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. -592 с.

55. Хакстон, Барр. Автопараметрический виброгаситель//Труды Американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения- 1972—№1. -С.127-135.

56. Bajaj A.K., Chang S.L., Johnson J.M. Amplitude modulated dynamics of a resonantly excited autoparametric two degree-of-freedom system//Nonlinear dynamics. -1995. -№5. -P.433^57.

57. Cartmell M.P., Roberts J.W. Simultaneous combination resonances in an auto-parametrically resonant system//Journal of Sound and Vibration. -1988. -no.l. -P. 81-101.

58. Sado D., Kot M. Nonlinear oscillations of a coupled autoparametrical system with ideal and nonideal sources of power // Mathematical Problems in Engineering/ Hindawi Publishing Corporation. -2006. -Vol. 1, article ID 82691. -P. 1-20.

59. Lee. W.K., Hsu C.S. A global analysis of an harmonically excited spring-pendulum system with internal resonance//Journal of Sound and Vibration. -1994.-no.3.-P. 335-359.

60. Nabergoj R., Tondl A., Virag Z. Autoparametric resonance in an externally excited system// Chaos, Solition Fractals. -1994. no.4. -P. 263-273.

61. Nayfeh A.H, Mook D.T. Nonlinear oscillations.- New York: Wiley, 1979. -720 p.

62. Schmidt G., Tondl A. Nonlinear vibrations-Berlin: Akademie-Verlag, 1986. — 420 p.

63. Tondl A., Nabergoj R. Model simulation of parametrically excited ship rolling //Nonlinear Dyn. -1990. -№ 1. -P. 134-141.

64. Tondl A. Quenching of selt-exited vibrations. —Amsterdam: Elsevier, 1991. -418p.

65. Tondl A., Nabergoj R. Simulation of parametric ship hull and twist oscillations //Nonlinear Dyn. -1992. № 3. -P.41-56.

66. Tondl A. A contribution to the analysis of autoparametric systems// Acta tech. Cesk. Akad. -1992. -Ved. 37. P. 735-758.

67. Autoparametric resonance mechanical systems/A Tondl, Th. Ruijgrok, F. Verludst, R. Nabergoj Cambridge: Cambridge university press, 2000.-196 p.

68. Vyas A., Bajaj A.K. Dynamics of autoparametric vibration absorbers using multiple pendulums//Journal of Sound and vibration. —2001. № 1. -P. USDS.

69. Warminski J, KecikK. Autoparametric vibration of nonlinear system with pendulum// Mathematical problem in Engineering/ Hindawi publishing Corporation. -2006. -Vol. 2, article ID 80705. -P. 1-19.