Разработка метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Николаевич

• Орлов, Виктор Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Николаевич

Введение

Глава 1. Теоремы существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

§1.1. Краткий обзор литературы.

§1.2. Теоремы существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и их возможности.

§ 1.3. Теоремы существования решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности подвижных особых точек.

§ 1.4. Оценки области аналитичности решений задач Коши для исходных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 2. Получение подвижных особых точек нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью.

§ 2.1. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для скалярного и нестационарного матричного уравнений Риккати.

§ 2.2. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 2.3. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 2.4. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для уравнения

Абеля.

§ 2.5. Алгоритмы нахождения подвижных особых точек.

Глава 3. Построение аналитических приближенных решений в окрестности подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях.

§ 3.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.

§ 3.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 3.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 3.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 3.5. Для уравнения Абеля.

Глава 4. Исследование влияния возмущения значений подвижных особых точек на приближенные решения в комплексной и вещественной областях.

§ 4.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.1 Об

§ 4.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 4.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 4.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 4.5. Для уравнения Абеля.

Глава 5. Точные границы областей применения приближенных решений дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях.

§ 5.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.

§ 5.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 5.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 5.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 5.5. Для уравнения Абеля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками»

Решение многих задач из различных областей приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям как линейным, так и нелинейным. Если для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно полно разработана теория и созданы как точные, так и приближенные методы решения, то для второй категории уравнений на данный момент этого утверждать нельзя. Так, в частности, существует категория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешимых, в общем случае, в квадратурах. Более того, они обладают подвижными особыми точками, которые делают невозможным применение к этим уравнениям известных аналитических и численных приближенных методов, поскольку последние не адаптированы к этому виду особых точек.

Принимая во внимание, что существующая разработанная теория не позволяет считать завершенными все проблемы связанные с решением нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, • делает актуальным разработку метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих подвижными особыми точками. Особое значение имеет использование этого метода для получения результатов по решению и выяснению качественных свойств таких классов дифференциальных уравнений. В связи с этим, целью данной работы является решение следующих основных задач:

1. Доказать теоремы существования решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в области аналитичности и в окрестности подвижной особой точки (определенного типа).

2. Получить точные критерии существования подвижных особых точек рассматриваемых уравнений и построить алгоритмы их нахождения с заданной точностью.

3. Обосновать и разработать новый математический метод построения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки рассматриваемых уравнений.

4. Исследовать влияние возмущения подвижных особых точек на приближенное решение рассматриваемых уравнений.

5. Найти точные границы области применения приближенного решения рассматриваемых уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

6. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий адаптировать известные численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений к рассматриваемым нелинейным дифференциальным уравнениям.

7. Исследовать и реализовать влияние возмущения начальных данных на приближенное решение рассматриваемых, уравнений с применением комплекса проблемно-ориентированных программ и вычислительного эксперимента.

8. Адаптировать метод степенных рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками.

Перечисленные задачи рассматриваются для обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) Риккати,

2) нестационарных матричных уравнений Риккати,

3) первого неприводимого уравнения Пенлеве,

4) второго неприводимого уравнения Пенлеве,

5) уравнения Абеля.

Все исследования проводились как в вещественной, так и комплексной областях. Полученные результаты являются новыми. Теоретические результаты иллюстрированы расчетами как в вещественной, так и комплексной областях и подтверждают своей согласованностью их достоверность.

Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы и приложения. Основной текст занимает 234 печатных листа. Список литературы состоит из 269 наименований отечественной и зарубежной литературы. По теме диссертации опубликовано 43 работы, в том числе три авторских права на алгоритмы и программы, а также в изданиях рекомендуемых Высшей Аттестационной Комиссией для докторских диссертаций: журнал Дифференциальные уравнения; Вестник Самарского ГУ Естественно научная серия; Известия Тул. ГУ Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи; Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева; Научно-технические ведомости СПбГПУ; Вестник МАИ; Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, серия Естественные науки; Вестник Воронежского государственного технического университета; Известия института инженерной физики; Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, а также в Вестнике БГУ (Минск) и трудах IM НАН Украины.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Орлов, Виктор Николаевич

-203 -Заключение

В диссертации, представляющей собой научно-квалификационную работу, на основе выполненных автором исследований при решении нелинейных дифференциальных уравнений; в общем случае не разрешимых в квадратурах и имеющих подвижные особые точки, разработаны.теоретические положения, которые можно классифицировать как значительное научное достижение в области разработки метода математического моделирования и развития-качественных и приближенных аналитическимичисленных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Основные результаты диссертации, полученные лично автором, заключаются в следующем: Д . Дано доказательство теорем существования' решений рассматриваемых уравнений в окрестности подвижной особой точки, основанное на методе мажорант к решениям уравнений; которое, в отличие от существующих, позволяет в. дальнейшем построить приближенное решение в области подвижных особых точек. 21 Доказаны теоремы существования решений нелинейных уравнений в области аналитичности, позволяющие, в отличие: от существующих, построить в дальнейшем приближенное решение в области аналитичности.

3. Получены аналитические, выражения для; вычисления, области аналитичности решений задач Коши перечисленных выше нелинейных дифференциальных уравнений.

4. Доказаны необходимые, необходимые и достаточные условия; существования подвижных особых точек решений рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений на конечном промежутке.

5. Построены алгоритмы и разработаны проблемно-ориентированные программы нахождения подвижных особых точек решений задач Коши для упомянутых ранее нелинейных дифференциальных уравнений.

6. Решены прямая и обратная задачи теории погрешности* для приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижной особой точки.

-2047. Установлена зависимость влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в области подвижной особой точки.

8. Получены точные границы областей применения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

9. Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.

10. Установлена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных задачи Коши.

11. Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным дифференциальным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Николаевич, 2010 год

1. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применение / Д. Сю, А. Майер. — М.: Машиностроение, 1972. — 552 е.: ил.

2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. — М.': Наука, 1971. —396 с.: ил.

3. Kalman R. Contribution to the theory of optimal control/ R. Kalman// Boletin de la Sociedad Matematica Mehanica. Segunde serie.— 1960.— V. 5, N1. —P. 102-119.

4. Горин В.А. Исследование работы дозатора кормов / В.А. Горин, А.П. Ко-наков, Н.С.Попов// Механизация и электрификация с.-х.— 1981.— № 1. —С. 24-26.

5. Kalman R. New results in linear filtering and predication theory / K. Kalman, R. Bucy // J. Basic Engr. (ASME Trans.). — 1961. — V. 83D. — P. 95-108.

6. BucyR.S. Optimal Filtering for correlated Noise / R.S.Busy// J. of Mat. Analysis and Applications. — 1967. — V. 20, N 1. — P. 1-8.

7. Airault H. Rational Solutions of Painleve Equations / H. Airault // Studies in applied mathematics. — 1979. — V. 61, N 1 July. —P. 31-53.

8. Ablowitz M.I. Exact linearization of a Painleve transcendent / M.I. Ablowitz, H. Segur // Phys. Rev. Lett. — 1977. — V. 38, N 20. — P. 1103-1106.

9. ГромакВ.И. О решении второго уравнения Пенлеве/ В.И. Громак// Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, вып. 5. — С. 753-763.

10. Ablowitz М. Nonlinear evolutions and ordinary differential equations of Painleve type / M. Ablowitz, A. Romani, H. Segur // Lett, al Nuowo Cim. — 1978. — V. 23, N 9. — P. 333-338.

11. Ablowitz M. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I, II / M. Ablowitz, A. Romani, H. Segur//J. Mat. Phys. — 1980. —V. 21. — P. 715-721, 1006-1015.

12. Dawson S.P. Analytical properties and numerical solutions of the derivative nonlinear Schrodinger equation / S.P. Dawson, C.E. Fontan // J. Plasma Phys. — 1988. — 40, N 3. — C. 585-602.

13. Fernandez Francisco M. Evgevalues of the Schrodinger equation via the Riccati-Pade method / M. Fernandez Francisco, Q. Ma, R.H. Tipping // Phys. Rew. A. — 1989. — 40, N 11. — C. 6149-6153.

14. Захаров Б.Н. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи / Б.Н. Захаров, В.М. Чабанов. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 300 с.

15. Захаров В.Е. Теория солитонов: метод обратной задачи / В.Е.Захаров, С.В. Манаков, С.П.Новиков, Л.П. Питаевский.— М.: Наука, 1980.— 319 с. : илл.

16. ClarksonP.A. Special polynomials associated with rational solutions of the Painleve equations and applications to solution equations / P.A. Clarkson // Comput. Meth. and Funct. Theory. — 2006. — 6, N 2. — C. 329-401.

17. Сулейманов Б.И. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустик / Б.И. Сулейманов // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — 187. — С. 110-128.

18. Чудновский В.М. Теория сверхизлучательных лавин радиоволнового диапазона / В.М. Чудновский, Е.Д. Холодкевич // Физика твердого тела. — 1982. — Т. 24, №4. —С. 1118-1123.

19. Чудновский В.М. Лавинный распад инвертированного состояния квантовой системы: автореф. канд. физ.-мат. наук/ В.М. Чудновский. — Минск: БГУ, 1983. — 16 с.

20. Самодуров А.А. Простой способ определения времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины / А.А. Самодуров, В.М. Чудновский // Докл. АН БССР. — 1985. — Т. 29, № 1. — С. 9-10.

21. Flill J.M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings / J.M. Hill //Internat. J. Solids Structures. 1977. 13. C. 93-104.

22. Oclcendon J.R. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems / J.R. Ockendon // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / ed. D.G. Wilson, A.D. Solomon and P.T. Boggs. New York, 1978. P. 129-145.

23. AxfordR.A. The exact solution of singular arc problems in rector core optimization / R.A. Axford,// Proc. Nuclear Utilities Planning Methods Symp. Tennessee, 1974. P. 1-14.

24. Axford R.A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion / R.A. Axford // Los Alamos Report. 1970. (LA-4517, UC-34).

25. Axford R.A. Group invariance properties of the Poisson-Boltzmann and other : non-linear field equations / R.A. Axford// Los Alamos Report. 1972. (LA4864. UC-34).

26. Axford R.A. Non-linear thermal instability phenomena in plates and rods / R.A. Axford // A.S.M.E. .Nuclear Eng. Div., Winter Annual Meeting. Michigan, 1973. P. 1-12.

27. Hill J.M. Abel's Differential Equation / J.M. Hill //J. Math. Scientist. 1982.1. V 7, № 2. S. 115-125.

28. Цапенко H.E. Уравнение Риккати и волновые процессы / Н.Е. Цапен-ко. — М.: Изд-во Московского гос. горного университета, изд-во «Горная книга», 2008. — 244 с.

29. Shi М. On the solution of a one-dimensional Riccati equation related to risk-sencitive portfolio optimization problem / M. Shi // Repts Fac. Sci. and Eng. Soga Univ. Math. — 2005.,— 34, N 1. — C. 17-24.

30. Lystad L.P. The Riccati equation — an economic fundamental equation which deseribes marginal movement in time / L.P. Lystad, P.-O. Nyman, R. Hei-bakk // Model., Identif. and Contr. — 2006. — 27, N 1. — C. 31-41.

31. Bureau F J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques fixes. I. Les intégrales de l'équation A2 Painleve / F.J. Bureau // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. — 1983. — T." 69, N 2. — P. 80-104.

32. Bureau F.J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques ; fixes. III. Les intégrales de l'équation A3 Painleve / F.J. Bureau // Bull1, cl. sci.

33. Acad. roy. Belg. — 1983. — T. 69, N 11. — P. 614-640.

34. Bureau F.J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques fixes. II. Les intégrales de l'équation A4 Painleve / F.J. Bureau // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. — 1983. — T. 69, N 7-9. — P. 397-433.

35. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин // Прикл. математика и механика. — 1952. — Т. 16, вып. 4. — С. 465-486.

36. Фильчакова В.П. Уравнения Пенлеве и нелинейные волновые процессы / В.П. Фильчакова // Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. — Киев, 1986. —С. 190-200.

37. Громак В.И. Нелинейные-эволюционные уравнения и уравнения Р-типа /

38. B.И. Громак// Дифференц. уравнения.— 1984.— Т. 20, №12.—1. C. 2042-2048.

39. Лаврентьев М.О. До теорп довгих хвиль/ М.О.Лаврентьев// Зб1рник праць 1н.-ту математики АН УССР. — 1946. — №38. — С. 13-69.

40. Gardner С.S. Similarity in the asymptotic behavior of collisionfree hydromagnetic wave and water-waves/ C.S.Gardner, G.M. Morikava// Courant Inst, of Math. Sc. Rep. — 1969. — N 40. — P. 9082-9094.

41. Ablowitz M.I. Solutions and rational solutions of nonlinear evolution equations / M.I. Ablowitz, • I. Satsuma// J. Math. Phys. — 1978.— V. 19, N 10. —P.2180-2186.

42. Еругин Н.П. К теории уравнения Риккати / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. —Т. 2, №9. —С. 359-362.

43. Фильчаков П.Ф. Про один ефективний метод розв'язання задач Konii для нелшшних диференщальных р1внянь / П.Ф. Фильчаков // Докл. АН УССР, сер. А. — 1967. — № 1. — С. 43-47.

44. Фильчаков П.Ф. Решение нелинейных и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем при помощи степенных рядов / П.Ф. Фильчаков // Укр. матем. журнал. — 1969. — Т. 21, № 2. — С. 220-237.

45. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики/ П.Ф. Фильчаков.— Киев: Наукова думка.— 1970.— 800 е.: ил.

46. Озерецковский В.Б. Ряды Тейлора как метод решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики /В.Б. Озерецковский. — М., 1994. — 71 с.

47. Синявский М.Т. Про один численный метод визначення особливых точок интегралов систем нелинейных дифференциальных р1внянь / М.Т. Синявский // Докл. АН УССР, сер. А. — 1969. — № 7. — С. 597599.

48. Степин С.А. О методе ВКБ для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / С.А. Степин // МГУ. — М., 2000. — Деп. в ВИНИТИ 04.07.2000, № 1856-В00.

49. Иманашев М.И. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случаях, когда «вырожденные» системы имеют разрывные решения / М.И. Иманашев, П.С. Паков // Докл. АН СССР. — 1988. — 303, №'3. — С. 546-549.

50. Белов A.M. Численная реализация А-метода решения одного класса дифференциальных уравнений Риккати / A.M. Белов, В.И. Биленко, А.И. Кашнировский // Некоторые вопросы теории приближенния функций и их приложение. — Киев, 1988. — С. 12-23.

51. Хохряков А.Я. О существовании положительного периодического решения матричного уравнения Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М. Архипов // Машиностроит. ин-т. — Могилев, 1988. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ от 02.11.88, № 7839-В88.

52. Понхристов Хр.Б. Новый случай интегрируемости общего уравнения Риккати в квадратурах / Хр.Б. Понхристов, Г.А. Крыстев // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1988. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ от 19.12.88, № 8845-В88.

53. Sasagawa Т. Existence theorem for the difference Riccati equations / T. Sasa-gawa // Appl. Math, and Comput. — 1988. — 26, N 2, Pt. 1. — C. 89-103.

54. Жданов P.3. Об одном классе интегрируемых уравнений Риккати/ Р.З. Жданов // Тр. науч. конф. мол. ученых ин-та мат. АН УССР, Киев, 15-17 июня, 1988. — Деп. в ВИНИТИ 20.01.89, № 487-В89.

55. МакаровА.П. Об одном случае интегрирования уравнения Риккати/ А.П. Макаров// Брянск, технол. ин-т. — Брянск, 1989. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.02.89, № 707-В89.

56. Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати / Ю.И. Параев. — Томск: Изд-во Томского ГУ, 1989. — 165 с.

57. Wu Jin-Gang. On periodic solutions to Riccati's equation / Jin-Gang Wu // Ситук кэсюэ юй шусюэ. J. Syst. Sei. and Math. Sei. — 1990. — 10, N 1. — С. 24-30.

58. Лаптинский В.Н. Об ограниченных на полуоси решениях уравнения Риккати / В.Н. Лаптинский// Весщ АН Беларусь Сер. ф!з. мат. н.— 1995, —№2. —С. 12-16.

59. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. — М.: Физматлит, 1995. — 559 с.

60. Li Meisheng. Second order algebraic curve solution of Riccati equation / Meisheng Li, Jiguang Bao // Beijing Hangkong Hangtian daxue xuebao. J. Beijing Univ. Aeron. and Astronant. — 1997. — 23, № 2. — C. 252-256.

61. Молчанов A.M. Уравнение Риккати у'= у2 + x для функций Эйри/ A.M. Молчанов // Препр. — Пущино: Ин-т матем. проблем биологии, 1995. — 14 с.

62. МакарьинаИ.А. О рациональных решениях уравнения Риккати/ И.А. Макарьина // Дифференц. уравнения с частными производными; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1990. — С. 30-41.

63. Савкин A.B. Об ограниченных решениях матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 5. — С. 781-788.

64. Макарьина И. А. О рациональных решениях уравнения Риккати/ И.А. Макарьина // Дифференц. уравнения с частными производными; Ленингр. гос. пед. ин-т. —Л., 1990. — С. 30-41.

65. Коновалов С.П. Об интегрируемости уравнения Риккати / С.П. Коновалов // Пробл. мат. в задачах физ. и техн; Моск. физ.-техн. ин-т. — М., 1992. —С. 79-82.

66. Хохряков А.Я. О положительном периодическом решении уравнения Риккати / А.Я. Хохряков // 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября — 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. — Гродно, 1992. — С. 81.

67. Каровауков А.Ф. Решение общего уравнения Риккати в конечной форме / А.Ф. Каровауков // Препр. МНТЦ «ВЕНТ». — 1993. — № 3940. —С. 11-23.

68. Feng Lusiang. A sufficient condition for Riccati equation integrobility / Lusiang Feng, Dawei Liu // Huaihua shízhuan xuebao. J. Huaihua Teach. Coll. — 1999. — 18, N 5. — C. 16-17.

69. Dimitrovski D. Every Riccati equation can be solved by quadratures in a wider sence / D. Dimitrovski, L. Stefanovska, M. Kujumdzieva-Nikolska // Math. Balkan. — 1997. — 11, N 3-4. — C. 221-228.

70. Сардыко В.И. Решение дифференциального уравнения Риккати / В.И. Сардыко // 8 Белорусская мат. конф., Минск, 19-21 июня 2000 г.: тез. докл. междунар. конф. — Ч. 1. — Минск: Изд-во Ин-та мат. НАН Беларуси, 2000. —С. 153.

71. ПронькинВ.С. О почти периодических решениях уравнения Риккати/

72. B.C. Пронькин // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. — 2001. — № 5. —1. C. 144-146.

73. Napora Jolanta. The Mozer type reduction of integrable Riccati differential equations and its Lie-algebraic structure / Jolanta Napora// 31st Symposium on Mathematical Physics, Torun, Mai 18-21, 1999. Repts. Math. Phys, 2000. —46, N 1-2. —C. 211-216.

74. Велько O.A. Специальное уравнение Риккати / O.A. Велько // Еругинские чтения — VIH : тез. докл. междунар. мат. конф., Брест, 2002. — С. 27-28.

75. Wang Jian Feng. A little discussion of Riccati equation / Jian Feng Wang// Shuxue lilun yu yinguong = Math. Theor. and Appl. — 2002. — 22, N 3. — C. 107-109.

76. Тыщенко В.Ю. Эквивалентность уравнений Риккати с периодическими коэффициентами / В.Ю. Тыщенко// Дифференц. уравнения.— 2003.— 39, № 4. — С. 565-567.

77. Yan E.R. A note about a integrable condition of Riccati differential equation / E.R. Yan // Baoji wenli xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Baoji Coll. Arts and Sci. Natur. Sci. Ed. — 2004. — 24, N 3. — C. 179-180.

78. Kuyumdzieva N.M. Some solutions to the Riccati differential equation/ N.M. Kuyumdzieva, J. Mitevska // Мат. билт. Cojy3. мат. Pen. Maicedo-Huja. — 2005. — 29. — C. 61-70.

79. Ishizaki K. Riccati differential equations with elliptic coefficients / K. Ishiza-ki, I. Laine, S. Shimomura, H.K.To// Tohoku Math. J.— 2003.— 55, N 1. —С. 99-108.

80. Yan E.-R. A study on integrability condition of Riccati equation / E.-R. Yan // Xibeidaxue ban. Ziran kexue ban = J. Northwest Univ. Natur. Sci. Ed. —2004. — 34, N 5. — C. 513-516.

81. GolemaJ. On the Bäclclund transformations of the Riccati equation: Thè differential-geometric approach revisited / J. Golema // Repts Math. Phys. —2005. — 55, N 3. — C. 341-349.

82. Dubois Francois. Homographie scheme for Riccati equation/ Francois Dubois, Abdelkader Saidi // Prepubl. Inst. rech. math. avan. — 2000. — N32. —C. 1-36.

83. Jackson K.R. The use of Butcher series in the analysis of Newton-like iterations in Runge-Kutta formulas / K.R. Jackson,. A. Kvaerno, S.P. Nersett // Appl. Numer. Math. — 1994. — 15, N 3. — C. 341-356.

84. Бунякин A.B. Особые точки динамических систем/ A.B. Бунякин// Вычислительная математика и математическая физика. — 1995. — 35, №3. —С. 477-478.

85. Enright W.H. Effective solution of discontinuons IV Ps using a Runge-Kutta formula pair with interpolants / W.H. Enright, K.R. Jackson, S.P. Norselt, P.G. Thomsen // Appl. Math, and Comput. — 1988. — 27, N 4, Pt. 2. — C. 313-335.

86. Callier F.M. Report on a convergence criterion of the solution of the Riccati differential equation / F.M. Callier, J.L. Willems // Circuit Theory and Design: Proc. Eur. Conf., The Hague, 25-28 Aug. 1981.— Amsterdam a.o. — 1981. —P. 526-530.

87. Laub A. Schur techniques for Riccati differential equations / A. Laub // J. Lect. Notes and Inf. Sei. — 1982. — V. 39. — P. 165-174.

88. Sasagawa T. On the finite escape phenomena for matrix Riccati equations / T. Sasagawa// IEEE Trans. Automat. Contr.— 1982.— V. 27, N4.— P. 977-979.

89. Common A.K. Solutions of the Riccati equation and their relation to the Toda lattice / A.K. Common, D.E. Roberts // J. Phys. A : Math, and Gen. — 1986, —V. 19, N 10. — P. 1889-1898.

90. Лосева H.B. Исследование нестационарных дифференциальных уравнений Риккати при помощи рядов Волътерра : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Н.В. Лосева. — Л.: ЛГУ, 1981. — 18 с.

91. Da Prato Giuseppe. Bounded solutions on the real line to non-autonomous Riccati equations / Giuseppe Da Prato, Akira Ichikawa // Atti Accad. maz Lincei. Reand CI. Sei., fis., mat. e natur. — 1985 (1986).— 79, N5.— C. 107-112.

92. Мурадян А.Г. О периодических решениях одного матричного уравнения Риккати / А.Г. Мурадян // Ин-т прикл. проблем физики АН Арм. ССР. — Ереван, 1988. — 12 с. — Деп. в Арм. НИИНТИ 03.10.88, №72-Ар88.

93. GrodtT. The recursive reduced order numerical solution of the singulary perturbed matrix differential Riccati equation / T. Grodt, Z. Gajic // IEEE Frans. Autom. Contr. — 1988. — 33, N 8. — P. 751-754.

94. ГродИ.Н. Об ограниченных решениях матричного уравнения Риккати/ И.Н. Грод // Тр. науч. конф. мол. ученых ин-та мат. АН УССР, Киев, 1517 июня, 1988. — Деп. в ВИНИТИ 20.01.89, № 487-В89.

95. Adomian G. An application of the decomposition method to the matrix Riccati equation in a neutron transport process / G. Adomian, M. Pandolfi, R. Rach // J. Math: Anal, and Appl. — 1988. — 136, N>2. — C. 557-567.

96. Jodar Lucas. A formula* for the general solution of Riccati type matrix differential'equations / Lucas Jodar// Syst. and Contr. Lett.— 1989.— 12, N1. —C. 39-43.

97. Лаптинский B.H. О представлениях решений матричного дифференциального уравнения,Риккати / В.Н. Лаптинский, Р.В. Пучин // Ред. ж. Дифференц. уравнения.— Минск, 1989.— 11 с.— Деп. в ВИНИТИ 11.08.89, № 5410-В89.

98. Мурадян А.Г. О структуре ограниченного решения матричного уравнения Риккати / А.Г. Мурадян // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1989. — 9 с. — Деп. в'ВИНИТИ 11.08.89, № 5408-В89.

99. Хохряков А.Я. О существовании локально единственного , периодического положительного решения матричного1 уравнения

100. Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М. Архипов // Могилевский машиностр. инт. —Могилев, 1989.—21 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.12.89, № 7337-В89.

101. Хохряков А.Я. О существовании периодических положительных решений матричного уравнения Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М.Архипов// Могилевский машиностр. ин-т.— Могилев, 1990.— 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 05.03.90, № 1227-В90.

102. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения симметрического матричного уравнения Риккати / Ю.В. Елисеева // Вестник МГУ. Сер. 15. — 1990.—№2. —С. 14-19.

103. Freiling G. Non-symmetric matrix Riccati equations / G. Freiling, G. Jank : Pap. Int. Symp. MTNS'93 "Syst. and Networks: Math. Theory and Appl.", Regensburg, Aug. 2-6, 1993.— Vol. 2 / Math. Res.— 1994.— 79.— C.119-122.

104. Freiling G. Non-symmetric matrix Riccati equations / G. Freiling, G. Jank// Z. Anal, und Anwend. — 1995. — 14, N 2. — C. 259-284.

105. Савкин A.B. Об 'ограниченных решениях матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 5. — С. 781-788.

106. Савкин A.B. О поведении траекторий матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1993. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 04.10.93, № 2506-В93.

107. Савкин A.B. О поведении траекторий матричного дифференциального уравнения Риккати/ A.B. Савкин// Дифференц. уравнения.— 1993.— 29, № 12. — С. 2193-2194.

108. Chen Y. On the Riccati1 equations for the seattering matrices in two dimensions / Y.Chen, V. Rokhlin// Inverse Probl.— 1997.— 13, N1.— C. 1-13.

109. Juang Jong. Global existeme and stability of solutions of matrix Riccati equations / Jong Juang // J. Math. Anal, and Appl. — 2001. — 258, N 1. — C. 1-12.

110. ЕгоровА.И. Уравнения Риккати/ А.И.Егоров.— М.: Физматлит,2001. —319 с. :илл.

111. Painleve P.M. Memoire sur les equations differentialles dont l'integrale generale est uniforme / P.M. Painleve // Bull, de la Soc. Mat. — 1900. — T. 28.—P. 201-261.

112. Айне Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Э. Айне.— Харьков: Гостехиздат Украины, 1939. — 717 с.

113. Мартынов И.П. Об одном уравнении третьего порядка типа Пенлеве/ И.П.Мартынов// Дифференц. уравнения.— 1988.— 24, №9.— С. 1640-1641.

114. Мататов В.И. Об условиях однозначности подвижных особых точек автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, С.Н. Филлипович // Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 11. — С. 2016-2019.

115. Мызгаева С.А. О подвижных особенностях решений системы Эйлера в одном частном случае / С.А. Мызгаева, А.И. Яблонский // Дифференц. уравнения. — 1988. —24, № 11. — С. 1891-1894.

116. Пб.Кондратеня С.Г. К вопросу о существовании полярных решений у дифференциальных уравнений первого порядка / С.Г. Кондратеня, Е.Г. Пролиско, Т.И. Шило// Дифференц. уравнения.— 1988.— 24, № 10. — С. 1824-1826.

117. Umemura Hiroshi. Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painleve/ Hiroshi Umemura// Nagoya Math. J.— 1990.— 117. —C. 125-171.

118. Мататов В.И. О подвижных особенностях автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, JI.B. Сабынич// Ред. ж. Вестник Белоруск. ун-та. Сер. 1.— Минск, 1991.— 8 с.— Деп. в ВИНИТИ 09.04.91, № 1532-В91.

119. Мататов В.И. О подвижных особенностях автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, Л.В. Сабынич // Ред. ж. Вестник Белоруск. ун-та. Сер. 1.— Минск, 1991.— 8 с.— Деп. в ВИНИТИ 09.04.91, № 1532-В91.

120. Громак В.И. О трансцендентности уравнений Пенлеве / В.И. Громак// 8 конф. СНГ «Качественная теория дифференц. уравнений», Самарканд, 5-10 сентября, 1992 : тез. докл. — Самарканд, 1992. — С. 30.

121. Громак В.И. К теории уравнений Пенлеве / В .И. Громак// 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября — 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. —Гродно, 1992. — С. 25.

122. Painleve P.M. Sur les transcendantes uniformes defïnies par l'equationsy" = 6y2 + x / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N 19. —P. 757-761.

123. Еругин Н.П. К теории первого уравнения Пенлеве / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. — Т. 2, № 1. с. 3-6.

124. Еругин Н.П. Теория подвижных особых точек уравнений второго порядка/ Н.П: Еругин//Дифференц. уравнения.— 1976.— Т. 12, №3. —С. 387-416.

125. Яблонский А.И. Асимптотическое разложение правильных решений некоторых классов дифференциальных уравнений / А.И. Яблонский // Докл. АН БССР. — 1964. — Т. 8, № 2. — С. 77-80.

126. Boutroux M.P. Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l'etude asymptotique des equations différentielles du second ordre / M.P. Boutroux // Ann. Ее. Norm. — 1913. — T. 30, N 3. — P. 255-377.

127. Boutroux M.P. Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l'etude asymptotique des equations différentielles du second ordre / M.P. Boutroux // Ann. Ее. Norm. — 1914, —T. 31,N3.—P. 99-159.

128. Фильчакова В.П. Определение полюсов мероморфных интегралов регулярными степенными рядами // В.П. Фильчакова // Методыколичественного и качественного исследования дифференциальных уравнений. — 1975. — С. .154-167.

129. Фильчакова В.П. До штання побудови одшэ'1 трансцендентно!' Пенлеве/

130. B.П. Фильчакова// Проекцшно-теративш методи розв'язувания дифференщальных та штегральних р1внянь. — 1974. — С. 162-192.

131. Еругин Н.П. О второй трансцендентной Пенлеве / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. — Т. 2, № 4. — С. 139-142.

132. Яблонский А.И. К вопросу о числе полюсов решения второго уравнения Пенлеве / А.И. Яблонский//Докл. АН БССР.— 1959.— Т. 3, №6.1. C. 237-238.

133. Воробьев А.П. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве/

134. A.П. Воробьев // Дифференц. уравнения. — 1965. — Т. 1, № 1. — С. 7981.

135. SegurH. Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painleve transcendent / H. Segur, M J. Ablowitz // Soliton Theory : Proc. S о v.-Amer. Symp., Kiev, 4-16 Sept., 1979; Phys. — 1981. — D. 3. — N. 1-2,—P. 165-184.

136. Абдулаев A.C. К теории второго уравнения Пенлеве / А.С. Абдуллаев// Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 273, № 5. — С. 1033-1036.

137. Громак В.И. Специальные классы решений уравнений Пенлеве/

138. B.И. Громак, Н.А. Лукашевич// Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, №3, —С. 419-429.

139. Foxas A.S. On a unified approach to transformations and elementary solutions of Painleve equations / A.S. Foxas, M J. Ablowitz // J. Mat. Phys. — 1982. — V. 23, N 11. — P. 2033-2042.

140. MurataY. Rational solutions of the second and fourth Painleve equations/ Y. Murata// Funkc. ekvacioj. — 1985. — V. 28, N 1. — P. 1-32.

141. ClarkconP.A. A connection formula for the second Painleve transcendent/ , P.A. Clarkcon, I.B.McLeod// Lect. Notes Math.— 1982.— V. 964.— P.135-142.

142. HO.Kametaka Y. A numerical approach to Toda equation and Painleve-II equations / Y. Kametaka, M.-T. Noda, Y. Fukuj, S. Hirano // Эхимэ дайгаху кочакубу киё, Mem. Fac. Eng. Ehime Univ. — 1986. — V. 11, N 1. — P. 126.

143. JoshiN. The connection problem for Painleve transcendents/ N. Joshi, M.D. Kruskal // Phys. — 1986. — D. 18, N 1-3. — P. 215-216.

144. Singh Anand Prakash. A note on Painleve differential equation/ Anand • Prakash Singh // Math. Stud. — 1983 (1988). — 51, N 1-4. — C. 126-128.

145. Мохонько A.3. О скорости роста мероморфных в угловой области решений дифференциальных уравнений / А.З. Мохонько И Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 9. — С. 1528-1536.

146. Канаев А.А. Асимптотика решений уравнений Пенлеве первого рода/ А.А. Канаев // Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 10. — С. 16841696.

147. Anaynwa D.U. Uniform asymptotic solutions of second-order linear ordinary differential equations with singular points. II. Some expansions / D.U. Anaynwa // J. Math. Anal, and Appl. — 1988. — 134, N 2. — C. 355-378.

148. Канаев А.А. Асимптотические формулы для функций Пенлеве второго рода / А.А. Канаев // Теоретическая и математическая физика. — 1988. — 77, № 3. — С. 323-332.

149. Folcas A.S. Painleve transcendents: The Riemman-Hilbert-approach / A.S. Fokas, A.R. Its, A.A. Kapaev, V.Y. Novokshenov // Providence (R.I.): Amer. Math. Soc. — 2006. — XII. — 553 е., ил. (Math. Surv. and Monogr. ISSN 0076-5376. —Vol. 128).'г-221! I

150. Qin H1. Asymptotic expression and a sufficient condition on the oscillating solutions to the general second Painleve equation / H. Qin, Y. Lu // Commun. Appl. — 2006. — 10, N 2-3. — С. 269-281.

151. Горбузов В.Н. Рост полиномиальных решений уравнений типа Пенлеве / В.Н. Горбузов, A.A. Крушельницкий // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1988. —29 с. — Деп. в ВИНИТИ 23.12.1988, № 8960-В88.

152. ГромакВ.И. Аналитические свойства- решений уравнений Пенлеве/ В.И. Громак, Н.А.Лукашевич.— Минск: Университетское, 1990.— 159 с. : ил.

153. Громак В.И. О функциональных соотношениях между решениями уравнений Р-типа/ В.И. Громак, К.В. Цегельник// Дифференц. уравнения. — 1994. — 30; № 7. — С. 1118-1124.

154. Лукашевич H.A. Простейшие дифференциальные уравнения третьего порядка Р-типа/ Н.А.Лукашевич// Дифференц. уравнения.— 1995.— 31, №6. —С. 955-961.

155. Новокшенов В.Ю. Анзац Бутру для второго уравнения Пенлеве в комплексной области / В.Ю. Новокшенов // Изв. АН СССР. Сер. Мат. —1990. — 54, № 6. — С. 1229-1251.

156. Китаев A.B. О симметричных решениях для первого и второго уравнения Пенлеве / A.B. Китаев // Зап. науч. семинара ЛОМИ. —1991. —187. —С. 129-138.

157. Сулейманов Б.И. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустик / Б.И. Сулейманов // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — 187. — С. 110-128.

158. Немец B.C. Однозначные решения уравнений Пенлеве/ B.C. Немец// Межд. мат. конф., поев. 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, Минск, 4-8 декабря, 1992 : тез; докл. — Ч. 2. — Минск, 1993. — С. 39.

159. Shimomure Shim. On deficiencies and ramification for Painleve transcendents of the second Rind / Shim Shimomure // Proceedings of the Second ISAAC Congress, Fulcuoka, Aug., 1999. — Vol. 1 Dordrecht etc. : Kluwer Acad. Publ. — 2000. — C. 489-493.

160. Громак В.И. Об алгебраической зависимости' решений второго уравнения Пенлеве / В.И. Громак// Дифференц. уравнения.— 2002.— 38, №6. —С. 847-848.

161. Брюно А.Д. Степенные ряды и нестепенные асимптотики решений второго уравнения Пенлеве / А.Д. Брюно // Препр. Ин-т прикл. мат. РАН. —2003. —№48. —С. 1-32.

162. Petropoulou E.N. Analytic solutions of the Painleve equations / E.N. Petro-poulou, P.D. Siafarikas// Commun. Appl. Anal.— 2004.— 8, N3.— C. 373-391.

163. SteinmetzN. Global properties of the Painleve transcendents: new results and open questions / N. Steinmetz// Ann. acad. Sci. fenn. Math. — 2005. — 30, N 1. — C. 71-98.

164. Clarkson P.A. The second Painleve equation, its hierarchy and associated special polynomials / P.A. Clarkson, E.L. Mansfield // Nonlinearity. —2003. — 16, N 3. — C. RlvR26.

165. Shimomura S. Lower estimates for the growth of the fourth and the second Painleve transcendents / S. Shimomura // Proc. Edinburgh. Math. Soc. —2004. — 47, N 1. — C. 231-249.

166. Lin W. On shared-value properties of Painleve transcendents/ W.Lin, K. Tohge // Comput. Meth. and Funct. Theory. — 2007. — 7, N 2. — C. 477499.

167. Gordon P.R. Second and fourth Painleve hierarchies and Jimb-Miwa linear problems / P.R. Gordon, N. Joshi, A. Pickering // J. Math. Phys. — 2006. — 47, N 7. — C. 073504/1-073504/16.

168. Богословский Б.П. Системы нелинейных дифференциальных уравнений с алгебраическими подвижными особыми точками : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Б.П. Богословский. — Минск, 1963. — 8 с.

169. Данилова Е.И. Исследование характера подвижных особых точек нелинейных дифференциальных систем двух уравнений : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Е.И. Данилова. — Минск, 1974. —12 с.

170. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин // Тр: ин-та физики и математики АН БССР. — 1957. — Вып. 2. — С. 235-249.

171. Еругин Н.П. Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории / Н.П. Еругин // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, № 11. — С. 1821-1864.

172. Еругин Н.П.* Проблема 'Римана/ Н.П. Еругин.— Минск: Наука и техника, 1982. — 336 с.

173. Колесникова Н.С. Аналитическое исследование некоторых уравнений без подвижных критических особых точек : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Н.С. Колесников. — Минск, 1973. — 10 с.

174. Мататов В.И. Нелинейные системы дифференциальных уравнений с, ' однозначными подвижными особыми точками : автореф. канд. . физ.мат. наук / В.И. Мататов. — Минск, 1974. — 10 с.

175. Степанов А.Н. Качественное исследование автономной дифференциальной систёмы с помощью знака от правых частей : автореф. канд. . физ.-мат. наук/ А.Н. Степанов. —М., 1976. — 16 с.

176. Яблонский А.И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны / А.И. Яблонский // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, №3. — С. 468-479.

177. Hille Е. Ordinary differential équations in the complex domain / E. Hille. — John Willy and Sons. Inc., 1976. — 484 p.

178. Painleve P.M. Sur l'irréductibilité des transendantes uniformes defïnies par les équations différentielles du second ordre / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N 10. — P. 411-415.

179. Painleve P.M. Sur l'irréductibilité de l'équation y" = 6y2 + x / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N23. — P. 1020-1025.

180. PainleveP.M. Demonstration de l'irreductibilite absolue de Г equation y" = 6y2+x/ P.M. Painleve// Comptes Rendus. — 1902.— T. 135, N 17. —P. 641-647.

181. Громак В.И. К теории уравнений Пенлеве В.И. Громак// Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 2. — С. 373-376.

182. Gromak V.I. Painleve differential equations in the complex plane / V.I. Gro-mak, P. Laine, S. Shimomura. — Berlin; New York: de Gryter, 2002. — 303 c.

183. UmemureH. Painleve equations in the past 100 years/ H. Umemure// Selected Papers on Classical Analysis. Franse from Jap. Providence (R.I.) : Amer. Math. Soc. — 2001. — C. 81-110 (Amer. Math. Soc. Transl. — Ser. 2. ISSN 0065-9290. — Vol. 204).

184. Hill J.M. Abel's Differential Equation / J.M. Hill //J. Math. Scientist. 1982. V 7, № 2. S. 115-125.

185. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

186. Лукашевич Н.А. Интегрируемость уравнений Абеля общего вида через функции решения линейных уравнений / Н.А. Лукашевич, А.А. Самодуров // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 5. — С. 859-863.

187. Boutroux P. Lecons sur les equations differentielles du premier ordre / P. Bo-utroux. — Paris, 1908. — 190 p.

188. Самодуров А.А. О параметрическом представлении общего решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка / А.А. Самодуров //Докл. АН БССР. — 1984.—Т. 28, № 1. —С. 15-17.

189. Самодуров А.А. Об интегрируемости дифференциального уравнения Абеля в параметрическом виде / А.А. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1. Физ. мат. и мех. — 1983. — № 2. — С. 57-59.

190. Самодуров A.A. Интегрирующий множитель и проблема центра для уравнения Льенара / A.A. Самодуров // Дифференц. уравнения. —1981. — Т. 17, №5. — С. 942-946.

191. Толмачев М.С. Интегрируемость некоторых дифференциальных уравнений Абеля второго рода / М.С. Толмачев // Новгородский государственный университет.— Новгород, 1995.— 9 с.— Деп. в ВИНИТИ 10.05.95, № 1308-В95.

192. Feng Lu-xiang. A new result of integrability .on the Abel equation / Lu-xiang Feng, Lie-ping Wei // Raoji wenli xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Baoji Coll. Arts and Sei. Natur. Sei. Ed. — 2001. — 21, N 1. — С. 18-19.

193. АмелькинB.B. Нелинейные колебания в системах второго порядка/ В.В. Амелькин, H.A. Лукашевич, А.П. Садовский. — Минск: БГУ,1982. —209 с.

194. Григорьева Н.В. Асимптотическое поведение решения нестационарного дифференциального уравнения Абеля при t —> оо / Н.В. Григорьева // Чуваш, гос. ун-т.— Чебоксары, 1990.— 6с.— Деп. в ВИНИТИ 02.08.90, № 4454-В90.

195. Yang Liyum. Some new results on Abel equations / Liyum Yang, Yun Tang // J. Math. Anal, and Appl. —2001. —261, N l. — C. 100-112.

196. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // Дифференц. уравнения. — Минск, 1989. — 25, № 3. — С. 379-387.

197. Вересович П.П. О периодических решения уравнения Абеля / П.П. Вере-сович// 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября— 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. — Гродно, 1992. — С. 18.

198. Тодоров П.Г. О некоторых случаях редукции и обобщения дифференциального уравнения Абеля второго рода / П.Г. Тодоров, Г.А. Кристев // Дифференц. уравнения. — 1992. — 28, № 12. — С. 21782179.

199. Zeng Weiyao. Alomost periodic solutions for Abel equations / Weiyao Zeng, Jinlin Shi, Zhensheng Lin, Lokenath Debrath // Int. J. Math. Sci. — 1997. — 20, N 4. — C. 727-736.

200. Лукашевич H.A. Об уравнении Абеля с двумя известными решениями / Н.А. Лукашевич, А.В. Чигурин // Дифференщальш та штегральш р1вняння : тез. докл. М1жнар. конф., Одесса, 12-14 верес., 2000. — Одесса, 2000. — С. 175-176.

201. Толмачев М.С. Дифференциальное уравнения Абеля 2-го рода / М.С. Толмачев // Вестник Новгородск. гос. ун-та. — 2002. — № 22. — С. 19-23.

202. Толмачев М.С. Дифференциальное уравнения Абеля 2-го рода/ М.С. Толмачев // Вестник Новгородск. гос. ун-та. — 2002. — № 22. — С. 19-23.

203. Худайберенов О.Г. Оценка числа периодических решений уравнения Абеля / О.Г. Худайберенов, Н.О. Худайберенов // Дифференц. уравнения. — 2004. — 40, № 8. — С. 1140-1142.

204. Elias U. Qualitative analysis of a differential equation of Abel / U. Elias // Amer. Math. Mon. — 2008. — 115, N 2. — C. 147-149.

205. Wang Y.-P. Periodic solutions of Abel differential equation with periodic coefficients / Y.-P. Wang, X.-L. Lin, C.-R. Wang // Xinan minzu xueyan xuebao. Ziran kexue ban = J. Southwest Univ. Nat. Natur. Sci. — 2006. — 32, N 6. — C. 1120-1122.

206. Kujumdzieva-Nikolska M. Quasic-periodic solutions to the Abel differential equation / M. Kujumdzieva-Nikolska, J. Mitevska // Math, maced. — 2005. — 3. —C. 33-40.

207. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений : 2-е изд. / В.В. Голубев. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 436 с.

208. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Н.М. Матвеев. — СПб: Специальная литература, 1996. — 372 с.

209. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения/ A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, H.A. Порестюк. — М.: ВШ, 1989.

210. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ JI.C. Понтрягин. — М.: Наука, 1974.

211. Матвеев Н.М. Методы' интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : 4-е изд., перераб. и доп. / Н.М. Матвеев. — Минск: Вышейш. шк., 1974. — 766 с. : ил.

212. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи/ Р. Беллман, Р. Калаба. — М.: Мир, 1968. — 183 с. : ил.

213. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений / JI. Коллатц. — М.: Изд-во иностр. литер., 1953. — 460 с. : ил.

214. Мейланов С.Д. Методы решения дифференциальных уравнений/ С.Д. Мейланов. —Махачкала: Даг. кн. изд-во, 1965. — 248 с. : ил.

215. Пунтус A.A. Учебное пособие по приближенно-аналитическим численным методам решения задачи Коши / A.A. Пунтус. — М.: МАИ,1978. —50 с.

216. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциального уравнения/ С.А.Чаплыгин.— M.-JL: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1950, — 103 с. : ил.

217. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. — М.: Наука, 1970. —632 с. : ил.

218. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т. / И.С. Березин, Н.П.Жидков. — М.: Физматгиз, 1960.

219. Briot С. // Journ. de l'Ecole polytechnique / С. Briot, T. Bouquet. — 1856. — T. 21, вып. 36.

220. Picard E. Traite d'analyse / E. Picard. — T. II. — 1905.

221. Painleve P. Leçons sur la theorie analytique des equations, differentialles / P. Painleve. — 1896.

222. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа : 4-е изд., перераб. / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. —544 с. : ил.

223. Авербух В.И. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах / В.И. Авербух, О.Г. Смолянов // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, вып. 6. — С. 201-260.

224. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. I / Ю.К. Кузнецов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 17-24.

225. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. II / Ю.К. Кузнецов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 25-28.

226. Орлов В.Н. Определение подвижной особой точки решения уравнения Риккати на конечном отрезке / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — JL, 1982. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.06.82, № 2705-82 Деп.

227. Орлов В.Н. Оценка погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1982. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.07.82, № 350982 Деп.

228. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки типа полюса для нестационарного матричногоуравнения Риккати / В.Н. Орлов; Чуваш, гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.08,83, № 4639-83 Деп.

229. Орлов В.Н. Оценка области голоморфности решения нестационарного матричного уравнения Риккати/ В.Н.Орлов; Чуваш, гос. ун-т.— Чебоксары, 1983. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.06.83, № 4640-83 Деп.

230. Орлов В.Н. Построение аналитического приближенного решения первого уравнения Пенлеве в окрестности подвижной особой точки/ В.Н. Орлов // Вычислительная математика и программирование. — М., 1983, —С. 84-88.

231. Орлов В.Н. О приближенном решении уравнения Абеля / В.Н. Орлов, H.A. Лукашевич // Тез. Всесоюз. науч.-техн. конференц. «Применение выч. техн. и мат. методов в науч. и экономических исследованиях. — Киев, 13-16 сентябрь, 1988.

232. Орлов В.Н. Адаптация метода степенных рядов в приближенном решении нелинейных дифференциальных уравнений к особым точкам / В.Н. Орлов, Ю.К. Кузнецов // Дифференц. и интегральные уравнения. — Горьк. ГУ, 1987. — С. 37-41.

233. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений : автореф. . дис. канд. физ.-мат. наук/ В.Н.Орлов// Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 18 с.

234. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений : дис. .канд. фнз.-мат. наук / В.Н. Орлов. — Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 142 с.

235. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенлеве/ В.Н.Орлов, H.A.Лукашевич// Дифференц. уравнения.— Т. 25, № 10. — 1989. — С. 1829-1832.

236. Орлов В.Н. Уравнения Абеля и степенные ряды / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конф. — Чебоксары: ЧТУ, 1990.

237. Орлов В.Н. Влияние возмущений начальных данных на приближенное решение некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений/ В.Н.Орлов// Тез. докл. итоговой конференции.— Чебоксары: ЧТУ, 1997.

238. Орлов В.Н. Одном конструктивном методе построения первой и второй мероморфных трансцендентных Пенлеве / В.Н. Орлов, В.П. Фильчако-ва/ Симетршш та анал1тичш методи в математичнш ф1зищ. — Т. 19. — IM HAH Украши, Киев. — 1998. — С. 155-165.

239. Орлов В.Н. Оценка приближенного решения Р2 в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докл. 8 Международ, мат. конф., Минск, 19-24 июня 2000 г.

240. Орлов В.Н. Оценка приближенного решения Pj в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докл. 8 Международ, конф. Д1Р1Ы-2000. — Одесса, Украина, 12-14сент. 2000.

241. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для уравнения Pj / В.Н.Орлов// Известия НАНИ 4P. — № 4. — 2000. — С. 43-49.

242. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Известия ИТА 4P. — № 4. — 2001. — С. 182-188.

243. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для второго1 уравнения Пен леве / В.Н. Орлов, H.A. Лукашевич, A.A. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1 Физика, математика, информатика. —Минск, 2002. — С. 79-85.

244. Орлов В.Н. Критерии существования подвижных особых точек решений дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Вестник Самарского ГУ. Естеств. научная серия. — 2006. ■— № 6/1(46). — С. 6469.

245. Орлов В.Н. Критерии существования подвижных особых точек решений второго уравнения Пенлеве / В.Н. Орлов // Известия Тул. ГУ. Сер. Дифф. уравнения и прикладные задачи. — Вып. 1. — Тула: Изд-во Тул. ГУ, 2006. — С. 26-29.

246. Орлов В.Н. Об одном приближенном методе решений уравнений Абеля / В.Н. Орлов // XX Международная науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20», 30.05. 2007, Ярославль.— Т. 1, секция 1. — С. 64-65.

247. Орлов В.Н. Дифференциальное уравнение Абеля и подвижные особые точки / В.Н. Орлов // Вестник филиала РГСУ в г. Чебоксары. — 2008. — № 1(18). —С. 138-139.

248. Орлов В.Н. О приближенном решении первого уравнения Пенлеве/

249. B.Н.Орлов// Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева.— 2008.— №2.—1. C. 42-46.

250. Орлов В.Н. Теорема существования решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов //

251. Международная междисципл. науч. конф. «Первое исконно русское слово '— в начале нашего машиноведения», ЧГУ, Чебоксары, 24-25 мая2008 г. ;

252. Орлов В.Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения Риккати 7, В Орлов// Науч.-техн: ведомости СПбГПУ.—: Санкт-Петербург, 2008.— №4. — С. 102-108:. .

253. Орлов В.Н; Об одном методе приближенного решения матричных: дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Вестник МАИ. — Москва; 2008. Т. 15; № 5;- С.128-135.

254. Орлов В.Н. Приближенное -решение дифференциального! уравнения; Абеля в окрестности: подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Вестник

255. РРСУ. — Чебоксары, 2008. —№ 2(19): — С. 240^43;

256. Орлов В.Н. Точный; критерий- существования/ подвижной особой точки;;для; первого уравнения- Пенлеве/ В.Н. Орлов // Вестник:. РГСУ.—

257. Чебоксары. 2009. —№ 1(20).- С.207-208. •

258. Редкозубов С.А. Точные критерии существования подвижной особой точки дифференциального уравнения Абеля/С.А. Редкозубов, В.Н. Орлов//Известия института инженерной физики.-2009.-№4(14).-С.12-14.

259. Орлов В.Н. RSP- Painleve 1/В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов, В.И. Гурьянов//ОФАП ВНТИЦ.-18.05.2010.-№50201000799.

260. Орлов В.Н. RSP-Painleve 2/В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-02.06.2010.-№50201000899.

261. Орлов В.Н. Об одном точном критерии существования подвижной особой точки решения второго уравнения Пенлеве /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов //Известия института инженерной физики-2010- №3(17).— С.2-3.

262. Орлов В.Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки/В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов//Известия института инженерной физики-2010.-№4(18).-С.2-6.

263. Орлов В.Н. RSP-Riccati /В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-17.01.2011.-№50201100071.