Усреднение в асимптотическом исследовании интегрируемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Верещагин, Вадим Леонтьевич

• Верещагин, Вадим Леонтьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Верещагин, Вадим Леонтьевич

Оглавление

Введение

Часть 1. Интегрируемые дифференциально-разностные модели 4о

Глава 1. Спектральная теория однофазных решений цепочки ъоль-терра

1.1. Однофазные решения цепочки Вольтерра

1.2. Спектральная теория однофазных решений

Глава 2. Геометрия метода усреднения для дифференциально-ра : их; ,.ых

систем

2.1. .Локальные скобки Пуассона для гамильтоновых дифферента -разностных систем. Законы сохранения

2.2. Процедура усреднения для разностных систем. Принцип со: я ния гамильтоновости при усреднении

2.3. Построение переменных типа Клебша для уравнений медленных модуляций цепочек Тода и Вольтерра

2.4. Римановы инварианты для усредненных систем

Глава 3. Приложения метода Уизема

3.1. Автомодельные решения усредненной цепочки Вольтерра . :'.'.)

3.2. Автомодельные решения порядка 0 и гипотеза Гуревича-Питаевского

Глава 4. Доказательство аналога гипотезы Гуревича-Питаевскс , цепочки Вольтерра

4.1. Задача Коши для ступенеобразного начального условия и обратная задача рассеяния

4.2. Асимптотическое решение матричной задачи Римана

Часть 2. Применение метода усреднения к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа Пенлеве и их разностным аналогам

Глава 5. Дискретный аналог первого уравнения Пенлеве (ДУП-1)

5.1. Асимптотическая классификация решений ДУП-1

5.2. Изомонодромный подход и регулярные решения

5.3. Квантование однозонных потенциалов

Глава 6. Глобальные асимптотики для четвертого трансцендента Пенлеве

6.1. Эллиптический анзатц и уравнение модуляций

6.2. Постановка задачи изомонодромного интегрирования

6.3. Нули четвертого трансцендента и сдвиг фазы

Глава 7. Квазиклассический подход к уравнениям Пенлеве

7.1. Идеология метода

7.2. Анзатцы для всех уравнений Пенлеве

Глава 8. Сингулярные решения третьего уравнения Пенлеве ----185

8.1. Асимптотическое интегрирование в области конечных значений независимой переменной

8.2. Линейная задача и изомонодромные деформации

8.3. Распределение нулей и сдвиг фазы эллиптического анзатца

Приложение Основные выводы Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение в асимптотическом исследовании интегрируемых систем»

Введение

Настоящая диссертация посвящена разработке нового подхода к изучению асимптотических свойств решений широкого класса нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве. Предлагаемая в работе схема основана на привлечении в теорию классических дифференциальных уравнений и метода обратной задачи современных математических приемов и идей, придающих новый импульс в асимптотическом интегрировании нелинейных систем.

После пионерской работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1] за тридцатилетнюю историю своего развития метод обратной задачи, рассматривавшийся первоначально как способ получения точных решений некоторых модельных уравнений, превратился в самостоятельный раздел современной нелинейной математической физики - теорию интегрируемых систем. В этой теории можно условно выделить два основных направления. Первое из них касается гамильто-новых аспектов метода. Речь здесь идет о расширении и уточнении понятия интегрируемости дифференциального уравнения с частными производными. Основополагающими в этом направлении были работы В.Е.Захарова, Л.Д.Фаддеева [2] и Дж.Гарднера [3]. В них впервые уравнение Кортевега- де Фриза было рассмотрено с точки зрения бесконечномерного гамильтонова формализма и было показано [2], что спектральные преобразования метода обратной задачи, даваемые уравнениями Гельфанда-Левитана-Марченко, естественно интерпретировать

как канонические преобразования к переменным типа действие-угол.

Второе из условно выделенных нами направлений в теории интегрируемых систем имеет дело с аналитическими аспектами метода обратной задачи. Среди основополагающих достижений в этой области следует назвать исследования В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, С.В.Манакова и А.В.Михайлова [4] - [10], приведшие к созданию формализма матричной задачи Римана и работы С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и И.М.Кричевера [11] - [15], посвященные разработке теории конечнозонных (алгебро-геометрических) решений. Перечисленные работы касались в основном теории точных решений нелинейных уравнений. Параллельно с этим в рамках метода обратной задачи интенсивно изучались вопросы асимптотического анализа общих решений, то есть решений соответствующих задач Ко-ши. Основы этого подхода были заложены в работах А.Б.Шабата [16], С.В.Манакова [17], В.Е.Захарова и С.В.Манакова [18] и Е.Я.Хруслова [19].

Новый импульс в асимптотических исследованиях в области метода обратной задачи был придан применением идей, предложенных Дж.Уиземом в работах [20] - [21] 1965 года. Исходным предметом этого подхода являются периодические и квазипериодические по х и t решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных

чн = к(<р,ч>Х1...Мп)), (0-0.1)

где функция p(x:t) имеет вид

ip(x, t) = Ф(kx + ut + г°; и1,..., uN)-, (0.0.2)

здесь Ф(т1,..., тто; и1,..., uN) - функция, 27Г-периодическая по каждой переменной г^, зависящая от N параметров и1, m-векторы к и to выражены через параметры м1,.... м^.При каждом значении и^ = const

формула (0.0.2) изображает так называемые "т-фазные" точные решения исходной нелинейной эволюционной системы (0.0.1), где

т5 = к5х + и ¡г + т?, и9 = и1, з = 1,..., га; д = 1,..., N (0.0.3)

Авторы обзора [22] называют решения такого типа " со литонными решетками". Эти решения, открытые и изученные в работах [11] -[15], называются также "конечнозонными"/'периодическими аналогами многосолитонных решений" ввиду их некоторых замечательных математических связей со спектральной теорией конечнозонных периодических линейных операторов и того факта, что при специальных значениях параметров и4 они вырождаются в солитоны (га = 1) и многосолитонные решения (га > 1). Общие комплексные решения вида (0.0.2) называют еще алгебро-геометрическими, так как они выражаются через тета-функции римановых поверхностей и могут быть построены методами алгебраической геометрии (см.обзоры [23], [14] и книгу [24]). В однофазном (га = 1) случае решения (0.0.2) находятся, как правило, элементарными методами, не выходящими за рамки теории эллиптических функций.

Пусть X = ех, Т = где е - малый параметр. Определение. Слабо деформированной солитонной решеткой называется функция вида (0.0.2), где величины (к, ш, и1,..., ин) являются гладкими функциями переменных X, Т, то есть "медленно" меняются при изменении х жt.B работах [20] - [21] Уизем высказал для тп = 1 и в определенной степени обосновал для некоторых эволюционных систем такое утверждение:

Пусть функция вида (0.0.2), где параметры являются гладкими функциями X, Т, является главным членом асимптотического по е решения эволюционного уравнения (0.0.1). Следует записывать фазу функции (0.0.2) в виде величины г = 5(Х,Т)/е, где

к, = дБ^дХ, и, = дв^/дТ,

(0.0.4)

(По определению получаются уравнения к^р ~ Утверждается,

что параметры ид(Х,Т) удовлетворяют квазилинейной системе первого порядка (соотношения (0.0.4) входят в систему (0.0.5)):

йи4- п. ч йиР , . Л .

Й = 1 (0-0.5)

похожей на гидродинамику сжимаемой жидкости. Это уравнения типа Римана или " системы гидродинамического типа". Мы будем называть уравнения (0.0.5) "усредненной системой (0.0.2)", "уравнениями Уизе-ма" или " уравнениями (медленных) модуляций".

В дальнейшем эти вопросы исследовались в работах [25] - [29]. Обсуждались как достаточность уравнений (0.0.5) для построения

и •< и

асимптотических решении при га = 1, так и конкретный вид их в некоторых важных специальных случаях. Применения к физическим задачам в дисперсной гидродинамике впервые были найдены в [30] -[32].

Теория многофазных систем всерьез начала развиваться после уже упомянутого создания в 1974-75 гг. теории конечнозонных (алгебро-геометрических) решений интегрируемых солитонных систем, позволившей реально рассмотреть многофазные аналоги уравнений Уизема (0.0.5), (где га = 1) (см.работы [33],[37]).

Определение. Инвариантами Римана для систем гидродинамического типа (0.0.5) называются такие координаты в «-пространстве, что система (0.0.5) диагональна, то есть матрица диагональна

при всех значениях г/1,

1 Предполагается суммирование по повторяющимся индексам

Авторы работ [37], [38], [39] показали, что соответствующие уравнениям Кортевега-де Фриза

ЧН — Ьффх - фххх

и Синус-Гордон

<Ра - Ч>XX = 8Ш

системы Уизема при любом т > 1 обладают инвариантами Римана.

Определение. Функционалами гидродинамического типа /[«(ж)] называются такие величины, что их плотности не зависят от производных:

1[и] = I к{и)<1х.

Определение. Скобками Пуассона гидродинамического типа называются такие локальные скобки Пуассона, которые имеют вид

{и«(х)У(у)} = д"(и(х))6'(х -у) + Ь?(и(х))и'х6(х - у), (0.0.6)

где ддр и Ь9/ - гладкие функции в локальных координатах на и-пространстве. 6(х) - ¿-функция Дирака.

Точно это означает, что скобка Пуассона двух любых функционалов /х[м], /гМ имеет вид

«^-¡ЩгГщ;у)--

Гамильтоновы системы с гамильтонианом Н имеют вид

дг 8иР(х) v ;

Определение. Скобка Пуассона гидродинамического типа называется лиувиллевой, если она может быть задана в следующем виде:

{««(я), и\у)} = {^{и(у)) + Н* - у), (0-0-8)

д^(и) = + у* Ь1Р = ди8-

соответствующие координаты (и9) называются также лиувиллевыми.

Авторы работы [34] построили эффективную дифференциально-геометрическую интерпретацию теории скобок гидродинамического типа (0.0.6).

Пусть исходная система (0.0.1) является гамильтоновой с локальным гамильтонианом и по отношению к какой-либо локальной скобке Пуассона. В этом случае работа [34] формулирует и дает доказательство принципа "сохранения гамильтоновости" при усреднении-переходе от исходной модели (0.0.1) к ее усредненной системе (0.0.5). Получаемая при этом усредненная система является гамильтоновой со скобкой Пуассона гидродинамического типа (0.0.6) и приводима как к диагональной, так и к лиувиллевой форме (0.0.8). Лиувиллевыми координатами здесь являются усредненные плотности законов сохранения исходного уравнения.

Определение. Пусть 1[(р] = / - некоторый функционал от

решения вида (0.0.2). Усредненной величиной 1[ф\(Х,Т) называется следующее выражение:

О Т\ ^ тт

Итак, уравнения (0.0.5) гидродинамики солитонных решеток обладают двумя важными свойствами:

а) они гамильтоновы,

б) они обладают инвариантами Римана.

С.П.Новиков высказал в 1983 г. гипотезу о том, что гамильтоновы системы гидродинамического типа, обладающие инвариантами Римана, являются интегрируемыми. Вскоре эта гипотеза была доказана С.П.Царевым (см.[35], [36]), который построил дифференциально-геометрическую теорию диагональных гамильтоновых систем гидродинамического типа и некоторых естественных "полугамильтоновых" обобщений. Там же был предложен так называемый метод "обобщенного годографа", позволяющий свести проблему нахождения решений системы (0.0.5) к задаче разрешения трансцендентного алгебраического уравнения специального вида. Вопросы значимости теории усредненных систем Уизема для приложений обсуждались, например, в работах [30] - [32], [33], [44]. Так, в важнейшем однофазном случае (т = 1) система Уизема (0.0.5) для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в инвариантах Римана и3 = г^Х^Т) имеет вид (0.0.5) и обладает автомодельными решениями типа

Ч(Х,Т) = Г^ДХГ-1"7), (0.0.9)

где 7 - произвольный параметр.

Автомодельные решения с 7 = 0 и 7 = 1/2 возникли впервые в работах Гуревича-Питаевского [30] - [32] при описании асимптотики при £ —» оо в двух задачах:

1. Распад ступенеобразного начального условия для КдФ 7 = 0, здесь 7*3 = 1, г\ = 0.

2. Дисперсный аналог ударной волны (7 = 1/2) (см.книгу [24]).

Строгое обоснование этих результатов для 7 = 0 было дано

Р.Ф.Бикбаевым (см.[40]). Он же обобщил их на случаи нелинейного уравнения Шредингера [41] и модифицированного уравнения КдФ [42].

В работах автора диссертации [43] - [46] теория усреднения распространена на интегрируемые дифференциально-разностные модели. На примере цепочки Вольтерра

Дсп = сп(сп+1 - сп_ 1), пег, сп = сп{£) (0.0.10)

была построена спектральная картина, ассоциированная с однофазными квазипериодическими решениями. Соответствующая усредненнная система была выписана в различных системах координат, построены ее автомодельные решения и исследован вопрос их приложения.

Выбор уравнений Пенлеве и их дискретных аналогов в качестве основного предмета исследования второй части диссертации можно объяснить тремя причинами. Первая из них состоит в том, что уравнения Пенлеве представляют собой классический объект качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая причина связана со значительным всплеском интереса к уравнениям Пенлеве, произошедшим в последнее время. Он был вызван их появлением в ряде конкретных задач теоретической и математической физики, связанных с нелинейными эволюционными уравнениями [49] - [53], квантовой теорией поля [54] - [57], [58] и статистической физикой [59] - [62], [64]. В этих задачах уравнения Пенлеве применяются для описания определенных переходных и автомодельных режимов, которые "сшивают" решение исходной задачи в различных характерных областях. Подробная составная структура асимптотических решений нелинейных систем является общей для обширного класса задач. При этом, как показывают результаты работ [63], [65], неважно, является исходная система интегрируемой или нет. Иными словами, из анализа ряда моделей нелинейной теоретической физики можно сделать вывод о том, что трансценденты Пенлеве играют в них ту же роль, что и классические спецфункции в линейных задачах. Третья причина состоит в

родстве методов асимптотического исследования поведения трансцен-дентов Пенлеве и адиабатически возмущенных солитонных решеток, определенных в первой части работы. Оказывается, в особых случаях главный член асимптотического разложения может быть описан как специальным образом модулированная эллиптическая (или гиперэллиптическая) функция. Соответствующие уравнения модуляций (система Уизема) в одном случае имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения, а в другом - квазилинейной системы уравнений в частных производных. Суммируя перечисленные выше причины, мы можем сделать вывод о естественности объединения двух указанных частей в рамках одной работы.

Изложим вкратце историю возникновения и развития исследований по теории уравнений Пенлеве.

Уравнения Пенлеве возникли в теории нелинейных дифференциальных уравнений в начале нашего века в связи с задачей о классификации всех уравнений вида

ихх = Д(ж,м,их), (0.0.11)

общее решение которых не имеет подвижных (то есть зависящих от начальных данных) критических точек. Функция Я в (0.0.11) предполагается аналитичной по я и рациональной по и и их. Эта задача классификации была полностью решена в работах П.Пенлеве и его школы [66] - [67]. Полученный список содержал 50 различных уравнений с точностью до локальных преобразований, допускаемых первой частью. Среди них есть только шесть уравнений, чей общий интеграл не выражается через известные спецфункции. Эти шесть уравнений и носят название уравнений Пенлеве (Р\ — Ро), а их решения называются функциями Пенлеве или трансцендентами Пенлеве. Их явный вид указан ниже:

Рг : и" = б и2 + я;

Р2 : и" = хи + 2и + I/;

Рз : и" = - (и')2 - -и' + - (аи2 + /?) + 4г.3 - ¿; и х X 4 7

1,^2,3

0

Р4 : к" = — (V) + -и + 4:хи2 + 2 (х2 - а) и + -;

А : «" -

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Верещагин, Вадим Леонтьевич

Основные выводы

1. Цепочка Вольтерра, являющаяся нелинейной интегрируемой моделью, удовлетворяет всем условиям, необходимым для отыскания ко-нечнозонных решений. Установлено, что свойства получаемых таким образом конечнозонных решений цепочки Вольтерра, оказываются значительно богаче общих свойств, характерных для многофазных квазипериодических решений непрерывных интегрируемых моделей. Это обстоятельство наглядно иллюстрируется на примере впервые найденных однозначных решений цепочки Вольтерра, зависящих от частности своего дискретного аргумента.

2. Систематически изучена спектральная картина, отвечающая конечнозонным решениям цепочки Вольтерра. Отмечено, что эта картина также заметно сложнее своих аналогов непрерывных систем. Если кратные точки спектра периодической задачи для однофазного решения уравнения Кортевега-де Фриза расположены на конечном расстоянии друг от друга внутри бесконечной разрешенной зоны, то кратные точки аналогичной задачи для цепочки Вольтерра требуют особого определения и плотно заполняют конечные разрешенные зоны.

3. Установлено, что теория усреднения, применимая к дискретным интегрируемым системам, также нуждается в специальных определениях. Переход к соответствующим псевдодифференциальным системам позволяет построить типичный формализм усреднения Уизе-ма. Возникающие уравнения модуляций допускают представление в терминах абелевых дифференциалов и приводятся к диагональному виду. Доказано, что в последнем случае в роли координат выступают концы спектральных зон. Это обстоятельство роднит полученные результаты с известными фактами теории усреднения непрерывных интегрируемых систем.

4. Большое разнообразие конечнозонных решений дискретных моделей имеет своим следствием разносторонность соответствующих усредненных систем, доказано, что как и в теории Уизема для непрерывных моделей, усредненная разностная система наследует свойство гамильтоновости. Получаемые таким образом гидродинамические скобки Пуассона хорошо вписываются в общую теорию гамильтоновых структур для уравнений модуляций и дают ряд важных примеров. В ходе изучения лагранжевых свойств системы при помощи классической процедуры Лежандра построены переменные типа Клебша. Отмечено, что лиувиллевыми координатами служат усредненные законы сохранения. Перечисленные свойства являются характерными для систем Уизема и соответствующих гидродинамических скобок.

5. Построенная в диссертации усредненная система для цепочки Вольтерра находит применение в разрешении ряда важных прикладных задач. Так, уравнения модуляций параметров однофазных решений цепочки Вольтерра позволяют асимптотически описать процесс распада ступенеобразного начального условия соответствующей задачи Коши для цепочки Вольтерра. Доказательство этого факта основано на методах стационарной фазы и матричной задачи Римана.

6. Изучение асимптотических свойств решений уравнений типа Пенлеве начато с дискретного первого уравнения Пенлеве (ДУП-1). Отмечено, что эта модель связана с цепочкой Вольтерра теми же отношениями автомодельности, что связывают первое уравнение Пенлеве с уравнением Кортевега-де Фриза. Решения ДУП-1 формируют характерную картину относительно асимптотического поведения в окрестности бесконечно удаленной точки: найдены как регулярные решее я с корневой асимптотикой, так и сингулярные, чьи особенности накапливаются в окрестности бесконечности.

7. Установлено, что асимптотическое поведение четвертого трансцендента Пенлеве при устремлении модуля комплексной переменной в бесконечность описывается некоторой эллиптической функцией. Параметры, определяющие эту функцию, удовлетворяют дифференциальному уравнению модуляций. Для уравнения модуляций найдена процедура сведения его к трансцендентному алгебраическому уравнению. В диссертации описан способ предъявления подобных эллиптических анзатцев и соответствующих уравнений модуляций для всех уравнений Пенлеве.

8. Поведение сингулярного в нуле третьего трансцендента Пенлеве в области конечных значений независимой переменной имеет характер, свойственный формализму Уизема: имеется выраженная зона с конечными краями. В диссертации построено математическое обоснование этого наблюдения. Описаны главные члены соответствующего разложения, причем асимптотическим параметром служит одна из величин, характеризующих поведение трансцендента в окрестности особой точки (нуля).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Верещагин, Вадим Леонтьевич, 1998 год

Список литературы

[1] Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. V.19. P.1095-1097.19£rf

[2] Захаров B.E., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т.5. вып.4. С.18-27.

[3] Gardner С.S. The Korteweg-de Vries equation and generalisations 1. The Korteweg-de Vries equation as a Hamiltonian system //J. Math. Phys. V.12. P.1548-1551.1971,

[4] Захаров B.E., Шабат A.B. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1971. Т.61. С.118-134.

[5] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния, I // Функц. анализ и его приложения. 1974. Т.6. вып.З. С.43-53.

[6] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнет ш методом обратной задачи рассеяния, II // Функц. анализ и его приложения. 1979. Т.13. вып.З. С.13-22.

[7] Манаков C.B. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения // УМН. 1976. Т.31. вып.5. С.245-246.

[8] Манаков C.B. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функц. анализ и его приложения. 1976. Т.10. вып.4. С.93-94.

[9] Mikhailov A.V. The reduction problem and the inverse scattering method // Physica 3D. 1981. N.l-2. P.73-117.

[10] Mikhailov A.V. The Landau-Lifshitz equation and the Riemaim boundary problem on a torus // Phys. Lett. 1982. V.92A. N.2. P.51-55.

[11] Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Функц. анализ и его приложения. 1974. Т.8. вып.З. С.54-66.

[12] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Матвеев В.Б. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН. 1976. Т.31. вып.1. С.55-136.

[13] Итс А.Р., Матвеев В.Б. Об операторах Хилла с конечным числом лакун // Функц. анализ и его приложения. 1975. Т.9. вып.1. С.69-71.

[14] Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН. 1981. Т.36. вып.2. С.9-80.

[15] Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН. 1977. Т.32. вып.6. С. 180-208.

[16] Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР. 1973. Т.211. С.1310-1313.

[17] Манаков C.B. Нелинейная дифракция Фраунгофера // ЖЭТФ. 1973. Т.65. вып.10. С.1392-1398.

[18] Захаров В.Е., Манаков C.B. Асимптотическое поведение нелин ных волновых систем, интегрируемых методом обратной задача // ЖЭТФ. 1976. Т.71. С.203-215.

[19] Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с начальными данными типа ступеньки // Матем.сборник. 1976. Т.99. вып.2. С.261-281.

[20] Whitham G.B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian //J. Fluid Mech. 1965. V.22. N.2. P.273-283.

[21] Whitham G.B. Nonlinear dispersive waves. // Proc. Royal Soc. London. 1965. V.A139. P.283-291.

[22] Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток // УМН. 1989. Т.44. вып.6 (270). С.29-98.

[23] Белоколос Е.Д., Бобенко А.И., Матвеев В.Б., Энольский В.З. Алге-брогеометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений // УМН. 1986. Т.41. вып.2. С.3-42.

[24] Теория солитонов: метод обратной задачи. - Под редакцией С.П.Новикова. Москва: Наука, 1980.

[25] Luke J.С. A perturbation method for nonlinear dispersive w;-ve problems // Proc. Royal Soc. London. 1966. A292. N.1430. P.410-412.

[26] Маслов В.П. Переход при h —► 0 уравнения Гайзенберга в уравнение динамики одноатомного идеального газа и квантование релятивистской динамики // Теорет. и мат. физика. 1969. Т.1. вып.З. С.378-383.

[27] Ablowitz M.J., Benney D.J. The evolution of multiphase modes for nonlinear dispersive waves // Studies Appl. Math. 1970. V.49. N.3. P.225-238.

[28] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977

[29] Hayes W.D. Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation // Proc. Royal Soc. London. 1973. V.332. P.199-221.

[30] Гуревич A.B., Питаевский JI.П. Нестационарная структура бес-столкновительной ударной волны // ЖЭТФ. 1973. Т.65. вып.2. С.590-604.

[31] Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Распад начального разрыва в уравнении Кортевега-де Фриза // Письма в ЖЭТФ. 1973. Т.17. вып.15. С.268-271.

[32] Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Усредненное описание волн в уравнении Кортевега-де Фриза-Бюргерса // ЖЭТФ. 1987. Т.93. вып.З. С.871-880.

[33] Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях // Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ. 1980. Т.15. С.З-94

[34] Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема // Докл. АН СССР. 1983. Т.270. вып. 4. С.781-785.

[35] Царев С.П. О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа // Докл. АН СССР. 1985. Т.282. вып. 3. С.534-537.

[36] Царев С.П. Кандидатская диссертация. - М.: МГУ, 1986

[37] Flaschka H., Forest M.G., McLaughlin D.W. Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the Korteweg-de Vries equation // Comm. Pure Appl. Math. 1980. V.33. N.6. P.739-784.

[38] Flaschka H., McLaughlin D.W. Modulations of perturbed KdV wavetrains // SIAM Journ. of Appl. Math. 1983. V.44. N.2. P.278-300.

[39] Forest M.G., McLaughlin D.W. Modulation of Sinh- and Sine-Gordon wavetrains // Stud. Appl. Math. 1983. V.68. N.l. P.ll-59.

[40] Бикбаев Р.Ф. Об уравнении Кортевега-де Фриза с конечнозонными граничными условиями. - Препринт БНЦ УРО АН СССР. Уфа, 1988, 28с.

[41] Бикбаев Р.Ф. Перестройка Уизема и временная асимптотика решения нелинейного уравнения Шредингера с конечнозонным поведением при х —» ±оо // Алгебра и анализ. 1990. Т.2. вып.З. С.131-143.

[42] Бикбаев Р.Ф. Об ударных волнах в одномерных моделях с кубической нелинейностью // Теорет. и матем. физика. 1993. Т.97. вып.2. С.191-212.

[43] Верещагин B.JL Гамильтонова структура усредненных разностных систем // Матем. заметки. 1988. Т.44. вып.5. С.584-595.

[44] Верещагин B.JI. Асимптотическое интегрирование цепочки Воль-терра // УМН. 1990. Т.45. вып.З (273).-С.187-188.

[45] Верещагин B.JI. Спектральная теория однофазных решений цепочки Вольтерра // Матем. заметки. 1990. Т.48. вып.2. С.145-148.

[46] Vereschagin V.L. Whitham equations for one-phase solutions of Volterra lattice // Nonlinear Analysis, Theory, Methods Applications. 1992. V.19. N.2. P.177-185.

[47] Верещагин В.JI. Асимптотическое разложение решения задачи Ко-ши для цепочки Вольтерра со ступенеобразным начальным условием // Теоретич. и матем. физика. 1997. Т.111. вып.З. С.335-344.

[48] Kitaev A.V. A note on the averaging for single-phase elliptic solutions of the Toda and the Volterra lattice // Physica D 1994. V.74. P.45-58.

[49] Бордаг Л.А. Уравнения Пенлеве и их связь с нелинейными эволюционными уравнениями. - Препринт ОИЯИ, Е5-80-477, Дубна, 1980.

[50] Focas A.S., Ablowitz M.J. О па unified approach to transformations and elementary solutions of Painlevé equations //J. Math. Phys. 1982 V.23. N.ll. P.2033-2042.

[51] Громак В.И., Цегельник В.В. Нелинейные двумерные модели теории поля и уравнения Пенлеве // Теоретич. и матем. физика. 1983. Т.55. вып.2. С.189-196.

[52] Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear equations and ordinary differential equations of P-type I // J. Math. Phys. 1980. V.21. N.4. P.715-721.

[53] Ablowitz M.J., Segur H. Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and Painlevé transcendents //Physica 3D. 1981. N.l-2. P.165-184.

[54] Jimbo M., Miwa T., Ueno K. Monodromy preserving déformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients 1 , / Physica 2D. 1981. P.306-352.

[55] Jimbo M., Miwa T. Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients II // Physica 2D. 1981. P.407-448.

[56] Jimbo M., Miwa Т. Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients III // Physica 4D. 1981. P.26-46.

[57] Сато M., Дзимбо M., Мива Т. Голономные квантовые поля. - М.: Мир, 1983, 304с.

[58] Dubrovin В. Geometry of 2D Topological Field Theories. - Preprint SISSA-89/94/FM.

[59] McCoy B.M., Tracy A.C., Wu T.T. Painleve functions of the third kind // J.Math.Phys. 1977. V.18. N.5. P.1058-1092.

[60] McCoy B.M., Wu T.T. The two-dimensional Ising model // Nucl. Phys. 1981. V.B180 (FS2). P.89.

[61] Creamer D.B., Thacker H.B., Wilkinson D. Some exact results for the two-point functions of an integrable quantum field theory // Phys. Rev. D. 1981. V.23. N.12. P.3081-3084.

[62] McCoy B.M., Perk J.H.H., Shrock R.E. Time-dependent correlation functions of the transverse Ising chain at the critical magnetic field / / Nucl. Phys. 1983. V.B220 (FS8). P.35-47.

[63] Манаков С.В. Распространение электромагнитного импульса в длинном лазерном усилителе // ЖЭТФ. 1982. Т.83. вып.1. С.68-83.

[64] Levi D., Winternitz P. (ed.) Painleve transcendents. Their asymptotics and physical applications. NATO ASI Ser.B.: Phys.V. 278. (NY): Plenum Press, 1992.

[65] Габитов И.P., Захаров B.E., Михайлов А.В. Уравнение Максвел, а-Блоха и метод обратной задачи рассеяния // Теоретич. и матем. физика. 1985. Т.63. вып.1. С.11-31.

[66] Painlevé P. Sur les equations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur, dont l'integrale generale est uniforme // Acta Math. 1902. V.25. P.l-86.

[67] Gambier В. Sur les equations différentielles du second ordre et du premiere degres dont l'integrale est a point critique fixe // Acta Mat li. 1910. V.33. P.l-55.

[68] Еругин H.П. Теория подвижных особенностей в уравнениях второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т.12. С.579-598.

[69] Ablowitz M.J., Segur H. Exact linearization of a Painlevé transcendent // Phys. Rev. Lett. 1977. V.38. P.1103-1106.

[70] Flaschka H., Newell A.C. Monodromy- and spectrum preserving deformations I // Comm. Math. Phys. 1980. V.76. P.67-116.

[71] Новокшенов В.Ю. Метод изомонодромной деформации и асимптотика третьего трансцендента Пен леве / / Функц. анализ и его приложения. 1984. Т.18. вып.З. С.90-91.

[72] Итс А.Р. Изомонодромные решения уравнений нулевой кривизны // Изв. АН СССР, сер. матем. 1985. Т.49. вып.З. С.32-63.

[73] Верещагин B.JI. Квантование однозонных потенциалов и уравнения Пенлеве // Диффер. уравнения. 1998.

[74] Kapaev A.A., Kitaev A.V. Connection formulae for the first Painlevé transcendent in the complex domain // Lett. Math. Phys. 1993. V.27. P.243-252.

[75] Boutroux P. Recherches sur les transcendents de M. Painlevé et l'etude asymptotique des equations différentielles du second ordre // Ann. Sei. de l'Ecole Norm. Supérieur. 1913. V.30. p.255-376; 1914. V.31. P. 9159.

[76] Joshi N., Kruskal M.D. An asymptotic approach to the connection problem for the first and the second Painleve equations // Phys Lett. A. 1988.-V.130. N.3. P.129-137.

[77] Joshi N., Kruskal M.D. The Painleve connection problem: an asymptotic approach. - Preprint CMA-R54-89. Canberra: Australian National University, 1989.

[78] Joshi N., Kruskal M.D. Connection results for the first Painleve equation // Painleve transcendents. Their asymptotics and physical applications. NATO ASI Ser.B.: Phys.V. 278. (NY): Plenum Press, 1992.

[79] Китаев А.В. Эллиптические асимптотики трансцендентов Пенлеве // УМН. 1994. Т.49. вып.1 (295). С.77-140.

[80] Новокшенов В.Ю. Модулированная эллиптическая функция как решение второго уравнения Пенлеве в комплексной плоскости / / ДАН СССР. 1990. Т.311. вып.2. С.288-291.

[81] Новокшенов В.Ю. Анзац Бутру для второго уравнения Пенлеве в комплексной плоскости // Изв. АН СССР. сер. матем. 1990. Т.Ь . вып.6. С.1229-1251.

[82] Капаев А.А. Существенная особенность функции Пенлеве второго рода и нелинейное явление Стокса // Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика, 12. Записки научных семинаров ЛОМИ, т.187, Л.: Наука, 1991.

[83] Китаев А.В. Изомонодромная техника и эллиптическая асимптотика первого трансцендента Пенлеве // Алгебра и анализ. 1993. Т.5. вып.З. С.179-211.

[84] Новокшенов В.Ю. Об асимптотике общего вещественного решения третьего уравнения Пенлеве // ДАН СССР. 1985. Т.283. вып.5. с.1161-1165.

[85] Novokshenov V.Yu. Radial-symmetric solution of the cosh-Laplace equation and the distribution of its singularities // SFB 288, Preprint N64.

[86] Новиков С.П. Квантование конечнозонных потенциалов и нелинейная квазиклассика, возникающие в непертурбативной теории струн // Функц. анализ и его приложения. 1990. Т.24. вып.4. С.43-53.

[87] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории колебаний. - М.: Наука, 1974.

[88] Новокшенов В.Ю., Шагалов А.Г. Решения типа связанных состояний для эллиптического уравнения Синус-Гордон // Теоретич. и матем. физика. 1997. Т.111. вып.1. С.15-31.

[89] Верещагин B.JL Асимптотическое поведение сингулярных в нуле решений уравнения синус-Гордон // Матем. заметки. 1998.

[90] Верещагин В.Л. Глобальные асимптотики для четвертого транс-цендента Пенлеве // Матем. сборник. 1997. Т.188. вып.12. С.11-32.

[91] Kapaev A.A. Global asymptotics of the fourth Painlevé transcendent. - Steklov Math. Inst, and IUPUI, Preprint 96-5, 1996.

[92] Andreev F.V., Kitaev A.V. Exponentially small corrections to divergent asymptotic expansions of solutions of the fifth Painlevé equation // SFB 288 Preprint N 271.

[93] Gross D., Migdal A. A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity // Princeton preprint PUPT-1159, 1989.

[94] Douglas M., Shenker S. Rutgers preprint RU-89-34, 1989.

[95] Bessis D., Itzykson C., Zuber J.B. Quantum field theory techniques in graphical enumeration // Adv. in Appl. Math. 1980. V.l. P.109-157.

[96] Верещагин В.JI. Асимптотическая классификация решений первого дискретного уравнения Пенлеве // Сибир. матем. журнал. 1996. Т.36. вып.5. С.995-1012.

[97] Vereschagin V.L. Asymptotics of solutions of the discrete string equation // Physica D 95. 1996. P.268-282.

[98] Весе лов А. П. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки // Теоретич. и матем. физика. 1987. Т.71. вып.1. С.154-159.

[99] Adler М. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations // Inv. Math. 1979. V.50. N.2. P.219-248.

[100] Манаков С.В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. 1974. Т.67. вып.8. С.543-555.

[101] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. т.З. -М.: Наука, 1967.

[102] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории со-литонов. - М.: Наука, 1985.

[103] Toda М. Waves in nonlinear lattices // Prog. Theor. Phys. 1970. S.45. P.174-200.

[104] Кричевер И.М. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые //В кн.: Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ, 1983, т.23, с.79-136.

[105] Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973.

[106] Bauldry W.C., Mate A., Nevai P. Asymptotics for solutions of systems of smooth recurrence equations // Pacific J. Math. 1988. V.133. N.2. P.209-227.

[107] Итс A.P., Китаев А.В., Фокас А.С. Изомонодромный подход в теории двумерной квантовой гравитации // Успехи мат. наук. 1990. Т.45. вып.6. С.135-137.

[108] Krichever I.M. On Heisenberg relations for ordinary linear differential operators // Preprint IHES, 1990.

[109] Китаев А.В. Об автомодельных решениях модифицированного нелинейного уравнения Шредингера // Теоретич. и матем. физика. 1985. Т.64. вып.З. С.347-369.

[110] Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. 1985. Т.1. С.7-150.

[111] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука 1983, 352 с.