Разработка моделей и методов повышенной точности для численного исследования задач прикладной аэроакустики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Козубская, Татьяна Константиновна

• Козубская, Татьяна Константиновна
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Козубская, Татьяна Константиновна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Математические модели для описания ближнего 24 акустического поля течения

1.1 Общие замечания

1.2 Декомпозиция газодинамических переменных

1.3 Модели на основе уравнений Эйлера в аэроакустике

1.3.1 Уравнения Эйлера и Навье-Стокса

1.3.2 Линеаризованные уравнения

1.3.3 Линеаризованные уравнения Эйлера для случая 30 неоднородного среднего поля

1.4 Нелинейные уравнения для возмущений и его формулировки

1.4.1 Общая формулировка

1.4.2 Формулировка через матрицу средних

1.4.3 Формулировка с выделением линейной части

1.5 Уравнения для случая декомпозиции возмущений

1.6 Сравнительный анализ моделей семейства Эйлера

1.6.1 Тестовая задача о распространении Гауссовского 37 импульса

1.6.2 Тестовая задача с искусственным решением

1.6.3 Оценка глобальной ошибки системы 44 моделирования «модель+метод»

1.7 Влияние аппроксимации вязких членов на точность решения 46 уравнений Навье-Стокса

1.8 Общая схема решения задач аэроакустики на основе 52 уравнений семейства Эйлера

1.8.1 Математические модели аэроакустики семейства 52 Эйлера

1.8.2 Общая схема решения задач прикладной 53 аэроакустики

ГЛАВА 2 Стохастические модели для описания внешней среды в 56 задачах прикладной аэроакустики

2.1 Общие замечания

2.2 Общая схема генерации сигналов и полей с заданным 57 спектром в рамках рандомизированного спектрального метода

2.3 Моделирование акустического излучения с заданными 60 свойствами и примеры его использование при решении задач аэроакустики

2.3.1 Моделирование одномерных сигналов

2.3.2 Верификация

2.3.3 Метод «просвечивания» полей течения 62 равномерным широкополосным шумом

2.3.4 Задача о возбуждении слоя смешения акустическим излучением

2.4. Моделирование поля турбулентной скорости с заданными 70 свойствами и примеры его использование при решении задач аэроакустики

2.4.1 Моделирование однородных случайных полей 70 турбулентной скорости

2.4.2 Моделирование спектра

2.4.3 Моделирование нестационарных случайных полей 742.4.4 Алгоритм численной реализации модели однородного стационарного поля скорости

2.4.5 Использование декомпозиции спектра при 76 реализации модели однородного стационарного поля скорости

2.4.6 Реализация и верификация

2.4.7 Задача о рассеянии акустической волны на 79 турбулентном поле

ГЛАВА 3 Численный метод повышенной точности на основе 83 квазиодномерной реконструкции потоковых переменных для неструктурированных сеток с определением переменных в узлах

3.1 Одномерная схема высокой точности для численного 83 решения уравнений гиперболического типа

3.1.1 Вывод схемы для уравнения переноса

3.1.2 Метод интегрирования по времени

3.1.3 Анализ диссипативной и дисперсионной ошибок схемы

3.1.4 Тестовые задачи и анализ результатов

3.1.5 Вывод схемы для уравнения Бюргерса

3.2 Схема повышенной точности на основе квазиодномерной 102 реконструкции потоковых переменных для численного решения систем уравнений семейства Эйлера на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках

3.2.1 Методы с определением переменных в узлах сетки

3.2.2 Контрольные объемы, или ячейки

3.2.3 Пространственная аппроксимация

3.2.4 Определение базового конвективного потока через 111 грань контрольного объема

3.2.5 Численный конвективный поток повышенного 116 порядка точности на основе MUSCL аппроксимации

3.2.6 Численный конвективный поток повышенной 119 точности на основе квазиодномерной реконструкции потоковых переменных

3.2.7 Вычислительный шаблон схемы повышенного 122 порядка точности

3.2.8 Аппроксимация по времени на основе явного метода

3.2.9 Аналитическое исследование порядка аппроксимации схемы

3.2.10 Численное исследование точности схемы на 128 примере тестовых задач

3.2.11 Общая характеристика схем на основе 142 квазиодномерной реконструкции потоковых переменных

ГЛАВА 4 Параллельная реализация численного метода 144 повышенной точности в рамках комплекса программ NOISEtte для решения задач аэроакустики на неструктурированных сетках

4.1 Исследовательский комплекс программ NOISEtte для 144 численного моделирования задач аэроакустики и газовой динамики на неструктурированных сетках

4.1.1 Общая характеристика комплекса NOISEtte

4.1.2 Постановка задачи и обезразмеривание

4.1.3 Реализованные математические модели

4.1.4 Реализованные численные алгоритмы

4.2 Параллельная реализация алгоритмов на основе семейства 153 схемы повышенной точности в рамках комплекса программ NOISEtte

4.2.1 Общие замечания

4.2.2 Принципы распараллеливания комплекса и его этапы

4.2.3 Подготовка сетки для параллельных расчетов

4.2.4 Построение и оптимизация схемы пересылки данных

4,2.5 Наложение, или перекрытие, вычислений

4.2.6. Дополнительные структуры данных для 161 параллельных вычислений

4.2.7 Организация обмена данными в параллельной версии

4.2.8 Параллельный вывод результата и сборка данных

4.2.9 Верификация параллельного кода

4.2.10 Эффективность параллельных вычислений

4.2.11 Необходимость адаптации параллельных 176 алгоритмов для новой генерации суперперкомпьютеров

4.2.12 Параллельная обработка сеточных данных 178 большого объема

4.2.13 Проблема эффективности вычислений на 179 многоядерных узлах

4.2.14 Гибридная модель распараллеливания 182 4.2. ^Экспериментальная оценка эффективности параллельной реализации

ГЛАВА 5 Численное моделирование задач резонаторного типа. От 192 ячеек звукопоглощающих конструкций (ЗПК) к резонаторам Гельмгольца и обратно к ячейкам ЗПК

5.1 Методы исследования ЗПК резонансного типа

5.2 Численное воспроизведение физических экспериментов по

5.2.1 Общие замечания

5.2.2 Эксперимент «резонатор в импедансной трубе»

5.2.3 Эксперимент «резонатор/система резонаторов в канале»

5.3 Численное исследование резонатора Гельмгольца

5.3.1 Общие замечания

5.3.2 Теоретическая оценка характерных частот резонатора

5.3.3. Численное моделирование

5.4 Численная методика определения свойств ячеек ЗПК путем 214 вычислительного эксперимента

5.4.1 Формулировка метода

5.4.2 Оценка инженерных характеристик ЗПК 215 (коэффициенты отражения и прохождения, импеданс)

5.4.3 Задание падающего акустического возмущения 220 5.5 Вычислительный эксперимент по ЗПК в постановке 221 «резонатор/система резонаторов в волноводе»

5.5.1 Анализ расчетов на основе линейной модели

5.5.2 Влияние нелинейности

5.5.3 Влияние касательного течения в волноводе

5.5.4 Трехмерные расчеты

5.5.5 Общая схема вычислительного эксперимента 237 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 240 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка моделей и методов повышенной точности для численного исследования задач прикладной аэроакустики»

Диссертация посвящена вычислительному эксперименту в аэроакустике или, более точно, развитию численных технологий, обеспечивающих применимость вычислительного эксперимента для решения прикладных задач в области аэроакустики. Актуальность и мотивация работы

Ааэроакустика представляет собой раздел газовой динамики, изучающий звуковые поля, генерируемые воздушным потоком или привносимые в течение внешними источниками возмущений. В прикладной аэроакустике, как правило, объектом практического интереса являются дальние акустические поля течения. Классический пример в авиации уровень шума от взлетающих и садящихся самолетов в населенных пунктах вокруг аэропортов. Однако сами источники звука при этом находятся в ближнем поле течения, а потому возможность влияния на дальние акустические поля напрямую сопряжена с детальным изучением процессов генерации звука в зоне неодно-родностей течения и, в частности, вблизи поверхности самолета. Поэтому задачи аэроакустики, а особенно задачи, связанные с реальными приложениями, включают в себя моделирование всего течения как такового. Но специфика задач аэроакустики накладывает дополнительные жесткие требования на качество решения газодинамических задач. В первую очередь, это требование высокой точности решения и корректного воспроизведение нестационарных режимов в сложных условиях эксплуатации при наличии турбулентности. Можно также сказать, что аэроакустика ближнего поля течения представляет собой газовую динамику высокой точности.

Особую актуальность прикладная аэроакустика приобрела в последние десятилетия в связи с ведущимися в мире широкомасштабными исследованиями, направленными на снижение шума, в авиационной и автомобилестроительной промышленности, а также ряде высокотехнологических отраслей производства. Наиболее остро проблема снижения шума стоит в авиации. Для защиты экологической обстановки мировым сообществом регулярно ужесточаются допустимые нормы по шуму, создаваемому летательными аппаратами. Выполнение этих норм требует постоянного совершенствования авиационной техники и, соответственно, решения широкого спектра задач прикладной аэроакустики.

Как уже было отмечено, требование высокой точности повышает сложность аэроакустических исследований, которая только усугубляется сильным перепадом в масштабах между акустическими пульсациями и характерными параметрами несущего течения, а также отсутствием полной ясности в вопросе о механизмах генерации звука.

Эти особенности находят свое отражение в вычислительной аэроакустике, которая требует использования наиболее полных математических моделей и специфических численных алгоритмов, отличающихся от методов вычислительной газовой динамики, как правило, более высокой точностью. Следует также заметить, что повышенная точность при этом должна обеспечиваться в характерных для реальных приложений областях сложных геометрических конфигураций, для дискретизации которых построение структурированных сеток затруднено и удобно использовать сетки нерегулярной структуры.

Перечисленные трудности препятствуют широкому внедрению математического моделирования в практику решения прикладных задач аэроакустики. Поэтому в настоящее время, к сожалению, вычислительный эксперимент в аэроакустике не имеет того серьезного прикладного значения, которого достигло численное моделирование в газовой динамике в целом, активно используемое при разработке летательных аппаратов в крупнейших авиационных компаниях в мире.

Приведенные аргументы явились побудительным мотивом настоящей диссертационной работы. Целью же стала разработка математического, методического и программного обеспечения, достаточного для проведения вычислительного эксперимента в аэроакустике при исследовании ряда прикладных задач.

Вычислительный эксперимент в аэроакустике

Вычислительный эксперимент в той или иной области приложения представляет собой «виртуальный» инструмент для проведения прикладных исследований и изучения физики явлений. Его несомненным достоинством является возможность получения всех параметров течения в любой момент времени и в любой точке расчетной области.

В зависимости от уровня сложности исследуемых задач и соответственного уровня развития обеспечения вычислительного эксперимента, область применения вычислительного эксперимента может быть уже или шире. В некоторых случаях он может даже замещать физический эксперимент, однако полностью заменить натурный эксперимент вычислительным невозможно. В противном случае, как минимум, будет отсутствовать база для ва-лидации результатов численного исследования.

Заметим, что вычислительный эксперимент как инструмент исследования имеет много общего с физическим экспериментом. Так же, как и натурный эксперимент, он имеет свою стоимость, протяженность во времени, ограничения по применимости, погрешность. Для обоих типов экспериментов необходима верификация и валидация используемого обеспечения, которое время от времени надо обновлять, заменяя более эффективными решениями. Эти общие свойства дают возможность сравнения двух типов эксперимента между собой.

В общем случае зоны действия вычислительного и физического экспериментов (ВЭ и ФЭ соответственно) можно схематически представить в виде рисунка (см. Рис. 1). Вообще говоря, они не совпадают, но пересекаются. Так, как правило, всегда остаются задачи, исследование которых посредством вычислительного эксперимента невозможно либо из-за недостаточного уровня развития математического и/или программного обеспечения, либо из-за отсутствия корректного математического описания вообще. В то же время, вычислительный эксперимент, наоборот, может восполнить недостаток натурного в тех случаях, когда воспроизведение условий эксплуатации по техническим причинам оказывается неосуществимым или когда в ходе физического эксперимента оказывается невозможным исследовать необходимые параметры, например, в труднодоступных для измерений местах. В области пересечения зон действия определяющим становится вопрос стоимости того или иного эксперимента. Так, может оказаться, что серийные расчеты с целью оптимизации того или иного параметра задачи оказываются дешевле, чем постановка большого числа необходимых физических экспериментов.

Рис. 1 Зоны действия вычислительного и физического эксперимента

Важно правильно определить место вычислительного эксперимента в исследовании и по максимуму использовать его преимущества. Так, численное моделирование может быть исключительно полезным при подготовке натурного эксперимента для предварительной оценки параметров экспериментальной установки. Также следует иметь в виду, что вычислительный эксперимент можно поставить в физически нереализуемых (или труднореализуемых) условиях, например, для исключения из постановки того или иного физического явления, действие которого нежелательно с точки зрения цели исследования. Таким образом, в ряде случаев удается разделить различные физические механизмы, обычно сопутствующие друг другу. Такая возможность, в частности, демонстрируется в диссертации при численном исследовании свойств резонаторов и ячеек звукопоглощающих конструкций

Воспроизведение экстремальна условий эксплуат

Измерения и визуализация в труднодоступных местах

ЗПК).

Стоит отметить, что в такой сложной области исследований, какой является аэроакустика, вычислительный эксперимент с требуемой точностью для достаточно широкой области приложений еще не осуществим. Однако современный уровень развития вычислительных технологий позволяет существенным образом изменить это положение.

Требования к математическим моделям, численным методам и их программной реализации с точки зрения приложений в аэроакустике

Математические модели

При решении задач, связанных с аэроакустикой ближнего поля представляется крайне важным обеспечить максимально возможную полноту математического описания. Упрощения могут привести к исключению из математического описания важных свойств течения, тех, например, которые отвечают за генерацию звука в потоке.

В настоящее время наиболее полное математическое описание задач, связанных с динамикой газа, строится на основе системы уравнений Навье-Стокса. Данная модель включает в себя как нелинейную конвекцию, так и характерные для течения диссипативные эффекты. Однако при проведении расчетов по полной системе уравнений Навье-Стокса существует опасность «потерять» мелкомасштабные движения газа как за счет численной вязкости, возникающей за счет аппроксимации производных искомой функции на заданной сетке, так и за счет вычислительных ошибок округления, вызванных большим перепадом масштабов между акустическими возмущениями и параметрами основного течения. С этой точки зрения, в диссертации обращается внимание на нелинейные уравнения для возмущений (NLDE NonLinear Disturbance Equations) [1-3], которые при правильной формулировке [4-11] сохраняют полноту описания и обеспечивают устойчивость к вычислительным ошибкам.

Особую сложность в математическом описании вызывают случаи турбулентных течений, характеризуемых высокими числами Рейнольдса. Как известно (см., например, [12-13]), даже при современном уровне развития вычислительной техники расчет с использованием сетки нужной степени подробности для разрешения высокочастотных процессов, принципиально влияющих на корректность описываемого процесса, не реализуем. Ряд авторов дают не слишком утешительные прогнозы по осуществимости прямого численного моделирования (DNS Direct Numerical Simulation) на основе полных уравнений Навье-Стокса [14].

В качестве альтернативы DNS, в настоящее время активно развиваются направления моделирования, описывающие поведение турбулентных течений в осредненном смысле, среди которых выделяются два основных подхода: RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) решение осредненных по Рей-нольдсу уравнений Навье-Стокса [15-17] и LES (Large Eddy Simulation) моделирование крупных вихрей [18-19]. Для ряда приложений, связанных с пристеночными течениями, наиболее эффективными оказываются гибридные модели, такие как модели семейства DES (Detached Eddy Simulation) моделирование отсоединенных вихрей [17], [20-21]. Не будем приводить здесь сравнительного анализа данных подходов, так как в диссертации они не используются. Отметим только, что моделирование акустических полей течения на основе этих методов имеет дополнительные серьезные сложности, связанные с определением диапазона корректно описываемого спектра, а также дополнительной (вдобавок к сеточной вязкости) опасностью упустить из математического описания масштабы, существенным образом влияющие на генерацию звука.

Еще одним важным требованием к математическим моделям в аэроакустике является правильное описание условий внешней среды. Для прикладных задач аэроакустики характерно присутствие внешних источников акустических возмущений, таких как падающий акустический шум, вибрация поверхности, точечные и распределенные источники пульсаций и др. Другим характерным проявлением внешней среды в задачах аэроакустики являются присутствующие в течении неоднородности, вызванные турбулентностью. Эти внешние воздействия включаются в описание задачи через граничные и начальные условия, а также коэффициенты и источниковые члены уравнений.

Основная трудность в описании вышеперечисленных факторов внешней среды заключается зачастую в их стохастической природе. Это приводит к необходимости искусственного синтеза реализаций на основе некоторой (не всегда исчерпывающей) информации о соответствующих случайных процессах. При этом для обеспечения корректной работы численных алгоритмов необходимо обеспечение достаточной гладкости синтезируемых реализаций.

Задача построения таких реализаций в общем случае является чрезвычайно сложной, поэтому для этой цели представляется актуальным использовать все современные фундаментальные подходы в области стохастического моделирования в целом и, в частности, рандомизированный спектральный метод (РСМ) [22-23].

Численные алгоритмы

Самым главным требованием к численным алгоритмам для расчетов прикладных задач аэроакустики, безусловно, является их повышенная точность.

В настоящее время в вычислительной аэроакустике используется множество схем высокой точности, построенных на разных принципах. Так, одной из наиболее популярных схем является предложенная К.Тамом схема DRP (Dispersion Relation Preserving), сохраняющая дисперсионные соотношения [24]. Эта центрально-разностная схема четвертого порядка точности, в которой один из аппроксимационных коэффициентов выбирается из условия минимизации разности между физическим и численным волновыми числами. Такой подход дает заметное улучшение дисперсионных свойств схемы, что существенно для аэроакустических приложений. Данная схема получила свое развитие в работах К.Байи и К. Буже (C.Bailly, C.Bogey) [25-26], которые построили оптимизированную схему более высокого порядка точности на 11-точечном шаблоне.

Активно используются в вычислительной аэроакустике компактные схемы [27-32], позволяющие добиться высокой точности на небольших, компактных, шаблонах. Так, в работе [30] используются компактные схемы 6-го порядка точности.

Еще одним классом схем, успешно работающих в вычислительной аэроакустике, являются схемы ENO (Essentially Non-Oscillating) и WENO (Weighted Essentially Non-Oscillating) [33-39], которые весьма эффективны для расчетов задач газовой динамики, включая случаи разрывных решений. Схемы строятся на базе полиномиальной реконструкции переменных на различных шаблонах с выбором аппроксимации на одном из них или взвешенной суммы аппроксимаций на нескольких шаблонах, лежащих в области наибольшей гладкости решения.

Также стоит отметить семейство схем ADER (Arbitrary high order schemes using DERivatives) [40-41] произвольно высокого порядка точности.

Неплохие для расчета задач аэроакустики свойства показывают и специальные методы формально более низкого порядка точности. Так, в вычислительной аэроакустики успешно применяется бездиссипативная схема Кабаре второго порядка точности по времени и по пространству [42-44].

Вышеперечисленные схемы это одни из наиболее эффективных современных конечно-разностных алгоритмов1, предназначенных для расчетов задач аэроакустики на структурированных сетках.

Проблема состоит в том, что большинство прикладных задач аэроакустики решаются в областях сложной геометрической конфигурации, представляющих собой часть пространства, прилегающего к реальной конструкции. Как правило, использование сеток регулярной структуры оказывается невозможным в таких условиях. Одним из выходов в создавшейся ситуации

1 Заметим, что большинство из названных схем имеют также версии, построенные в рамках метода конечных объемов для структурированных сеток. является построение многоблочных структурированных сеток (включая блоки криволинейных сеток). При этом существуют технологии работы как со стыкующимися, так и с произвольно перекрывающимися блоками [45]. Другим способом решения проблемы является использование неструктурированных сеток с различными геометрическими элементами в своей основе.

Многоблочное строение сеток неизбежно вносит дополнительную погрешность в численное решение. К тому же, существуют задачи, для которых в силу особенности геометрии расчетной области, построение многоблочных сеток оказывается экстремально сложной и не всегда решаемой задачей. Простейший пример такой задачи, для которой построение многоблочных структурированных сеток весьма затруднительно, два бесконечно длинных цилиндра, расположенных на расстоянии друг от друга и повернутых друг относительно друга на некоторый угол. Для этой задачи, как и для многих других, применение неструктурированных сеток представляется намного более удобным средством дискретизации пространства.

Однако использование неструктурированных сеток также имеет свои недостатки. Нерегулярность сеточной структуры кардинально меняет общую хорошую ситуацию с методами повышенной точности для расчета задач вычислительной аэроакустики. Так, до сих пор неизвестно ни одной эффективной реализации схем с оптимизированными дисперсионными свойствами (типа схемы ОКР) на неструктурированных сетках. Аналогичная ситуация обстоит с компактными схемами. Достаточно много работ посвящено адаптации к неструктурированным сеткам схем £N0 и \¥Е>Ю [46-54]. Однако их реализация исключительно трудоемка, а их высокая вычислительная стоимость не дает широко использовать эти схемы для решения прикладных задач аэроакустики.

Поэтому применительно к неструктурированным сеткам в настоящее время, как правило, используются схемы первого и второго порядка точности, построенные в рамках метода конечных объемов [55-57]. Также есть работы, где используются схемы с полиномиальной реконструкцией переменных [58-59], но, как правило, в отличие от схем ENO/WENO, без выбора оптимального шаблона или шаблонов аппроксимации.

Следует отметить, что перспективной альтернативой для расчета задач аэроакустики на неструктурированных сетках могут стать конечно-элементные схемы и, в первую очередь, разрывный метод Галеркина (Discontinuous Galerkin) [60-65] с финитными базисными функциями. Однако его применение также сопряжено с серьезными математическими и вычислительными трудностями.

В настоящей работе для неструктурированных сеток разрабатывается класс оригинальных экономных схем повышенной точности в рамках метода конечных объемов. Особенностью этих схем является повышение точности за счет свойства совпадения с конечными разностями высокого порядка в случае их применения на структурированных сетках [66-71]. В этом смысле они объединяют преимущества конечно-разностного и конечно-объемного подходов к построению схем.

Программная реализация

Численное решение прикладных задач в аэроакустике может быть успешным только на основе синтеза целого ряда высокоразвитых вычислительных технологий, программная реализация которых неизбежно приводит к необходимости разработки комплекса программ. От качества разработки соответствующего комплекса напрямую зависит эффективность вычислительного эксперимента, проводимого с его использованием. Естественным требованиям к комплексу программ является модульность его структуры и обеспечение максимальной независимости составляющих блоков. Современные требования к комплексу программ приводятся, например, в [72-73].

В диссертации описывается комплекс программ NOISEtte [74], предназначенный для численного моделирования задач аэроакустики и газовой динамики на неструктурированных сетках.

Как известно, повышение порядка точности численных алгоритмов является наиболее эффективным средством достижения лучшей точности. При условии использования высокоточных методов дальнейшее повышение точности может достигаться на пути более подробной дискретизации задачи и, соответственно, использования сеток большой размерности. Подробные сетки в задачах прикладной аэроакустики необходимы также и для корректного разрешения характерных для аэроакустики разномасштабных явлений.

Применение же сложных вычислительных алгоритмов на огромных сетках приводят к крайне высокой вычислительной стоимости расчета, проведение которого за разумное время оказывается не под силу однопроцессорному компьютеру. Поэтому еще одним фактором, благоприятствующим реализуемости вычислительного эксперимента в аэроакустике, стал наблюдаемый в последние годы бурный рост многопроцессорной вычислительной техники. Сверхмощные современные компьютеры активно входят в повседневную практику вычислений, что приводит к кардинальному снижению стоимости аэроакустических расчетов, выполняемых с требуемой точностью, и, таким образом, приближает внедрение метода вычислительного эксперимента в прикладной аэроакустику.

Вместе с тем широкое распространение высокопроизводительных многопроцессорных систем приводит к необходимости нового витка в развитии вычислительных технологий. Речь идет о создании эффективных параллельных алгоритмов, адаптированных к современной архитектуре суперкомпьютеров. Если при использовании вычислительных кластеров с распределенной памятью, как правило, было достаточно использовать распараллеливание на основе MPI библиотек [75-76], то такого подхода оказывается недостаточным для компьютеров с многоядерной архитектурой процессорных узлов. В этом случае эффективной оказывается для распараллеливания «нитевая» технология ОрепМР [77-78], а также гибридные MPI-OpenMP модели распараллеливания. В диссертации рассказывается о реализации данной технологии применительно к комплексу программ NOISEtte [74].

Валидация и верификация

Валидация и верификация математического, алгоритмического и программного обеспечения вычислительного эксперимента является необходимым условием его использования при решении прикладных задач вообще и задач аэроакустики, в частности [6]. При проведении тестовых и модельных расчетов по валидации и верификации важно правильно различать эти два важных понятия.

В процессе верификации исследуются на корректность численные алгоритмы и их программная реализация, что, вообще говоря, никак не связано с физической корректностью результата. На данном этапе проверки проводится тестирование на задачах с известным аналитическим или эталонным численным решением, сравниваются между собой численные результаты, полученные разными методами, а также полученные с использованием сеток разной размерности (в последнем случае изучается сходимость результата по сетке). При верификации используются и другие приемы: например, проведение квазиодномерных расчетов в двумерной и трехмерной постановках, квазидвумерных расчетов в терхмерной постановке и т.п.

Целью верификации является доказательство того факта, что полученный численный результат является решением данной начально-краевой задачи (математической модели) с заданной точностью.

В отличие от верификации, валидация имеет непосредственное отношение к физической корректности численного результата. В процессе валидации проверяется выполнение при полученном численном решении известных физических законов, а также проводится сравнение с теоретическими и достоверными экспериментальными данными.

Успешная валидация говорит о том, что поставленная начально-краевая задача (математическая модель) корректно описывает физику явления, а также что точность выбранного численного алгоритма и подробность выбранной сетки достаточны для обеспечения физической корректности численного результата.

Исходя из данного определения, можно сказать, что в большинстве случаев верификация является необходимым условием для валидации и, наоборот, валидация является достаточным условием для верификации.

Важно заметить, что проведение валидации численных результатов оказывается на практике существенно более сложной задачей для вычислителя, чем проведение верификации. Во многом это связано с недостатком доступных экспериментальных данных вообще и данных, соответствующих конкретной рассматриваемой постановке, в частности. Так, для рассматриваемой в диссертации постановки вычислительного эксперимента в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе» [79-81] не удалось найти соответствующих экспериментальных данных, что вызвано, в первую очередь, отсутствием (как минимум, в России) натурных экспериментов в данной постановке.

Тем не менее, валидация остается ключевым моментом при проведении вычислительного эксперимента.

Численное моделирование звукопоглощающих конструкций (ЗПК)

Звукопоглощающие конструкции (ЗПК) широко применяются в авиастроении и используются в качестве одного из наиболее эффективных средств для снижения шума турбореактивного двигателя. Панели ЗПК представляют собой однослойные и многослойные конструкции сотовой структуры. В зависимости от типа ЗПК, они могут быть наполнены дополнительно тем или иным звукопоглощающим материалом. ЗПК с полыми ячейками относятся к ЗПК резонансного типа, в которых снижение акустической энергии падающего излучения происходит за счет ее частичной трансформации в энергию вынужденных колебаний воздуха в полостях резонаторов, а также за счет ее частичного перехода в кинетическую энергию вихревого движения и потерь в результате диссипации.

Исследование звукопоглощающих свойств ЗПК представляется одной из задач, в исследовании которых уже сегодня может быть применен метод вычислительного эксперимента. Наиболее существенными с инженерной точки зрения характеристиками ЗПК являются импеданс, а также коэффициенты прохождения и отражения. Свойства ЗПК панелей, и в первую очередь, их акустическое сопротивление (импеданс) определяются двумя слагаемыми свойствами отдельной ячейки ЗПК и коллективным эффектом от взаимодействия множества ячеек. Можно заметить, что посредством проводимых экспериментов по изучению свойств ЗПК (а такие эксперименты проводятся, например, в ЦАГИ им. проф. Н.Е.Жуковского [82-83], ЦИАМ им. П.И.Баранова [84-85]) выделить из общей картины взаимодействующих элементов ЗПК вклад в звукопоглощение отдельной ячейки ЗПК не представляется возможным. Предпринимаемые попытки изучения ячеек ЗПК в импе-дансных трубах (ОАО «Авиадвигатель», Пермь [86], лабораторные установки, например, на кафедре акустики Физического факультета МГУ [87]) достаточно эффективны, однако конструктивные возможности постановки не позволяют исследовать ячейки в условиях их эксплуатации и, в первую очередь, при наличии входящего течения. Сложившаяся ситуация привела к реализованной в диссертации идее поставить вычислительный эксперимент в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе», подходящей для исследований одной или нескольких ячеек ЗПК в рабочих условиях.

Следует отметить, что вычислительный эксперимент для данного типа задач прикладной аэроакустики оказывается реализуем в рамках прямого численного моделирования (DNS) благодаря умеренным числам Рейнольдса, характеризующим течение в резонаторных отверстиях2. При этом он открывает возможность для детального исследования физических процессов, протекающих в отверстии ячейки ЗПК и ее окрестности (как в случае простой конфигурации с одним отверстием, так и для случая перфорированной ячейки) с целью определения факторов, влияющих на имепданс ячейки. Эти зна

2 В то же время возможно обобщение предлагаемой постановки на случай турбулентного течения. ния могут привести к дальнейшим технологическим исследованиям по оптимизации ячейки ЗПК также при помощи данного «вычислительного стенда». Заметим, что на предлагаемой вычислительной установке можно проводить эксперименты и с системой из нескольких ячеек, чтобы на микроуровне исследовать влияние на звукопоглощение коллективного эффекта.

Представляется, что вместе с дальнейшим развитием вычислительных технологий и высокопроизводительных суперкомпьютеров возможности вычислительного эксперимента как в данной области прикладной аэроакустики, так и для других аэроакустических приложений будут только расширяться.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Козубская, Татьяна Константиновна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении, сформулируем основные результаты работы.

1. Показано, что при численной реализации моделей нелинейной акустики нелинейные уравнения для возмущений позволяют корректный переход к линейным формулировкам при уменьшении решения. Предложены две новые формы записи нелинейных уравнений для возмущений: с использованием матрицы средних и с выделением линейной части, обеспечивающие устойчивость к ошибкам округления и корректную работу во всем диапазоне амплитуд решения. Получены нелинейные уравнения для возмущений двух типов, один из которых задан или моделируется извне.

2. Разработаны и реализованы стохастические модели поля турбулентной скорости со спектром фон Кармана и акустического возмущения, равномерно распределенного в заданной полосе частот, на основе рандомизированного спектрального метода. Модели построены с целью имитации реальных физических условий при моделировании задач аэроакустики.

3. Построено многопараметрическое семейство схем метода конечных объемов повышенной точности на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках для расчета задач аэроакустики, описываемых моделями на основе полных уравнений Эйлера. Схемы основаны на квазиодномерной реконструкции потоковых переменных. Дана одномерная интерпретация многопараметрических схем как схем, получаемых путем двукратного применения известного метода модифицированного уравнения. Проведен теоретический и экспериментальный анализ одномерного аналога многопараметрических схем, возможности схем для многомерных задач на неструктурированных сетках продемонстрированы на модельных задачах.

4. Проведено численное исследование ячеек звукопоглощающих конструкций в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе», трудно реализуемой в рамках физического эксперимента. Исследование проведено на основе серийных расчетов на высокопроизводительных системах параллельной архитектуры с использованием разработанных математических моделей и программного обеспечения. При помощи предложенной постановки вычислительного эксперимента изучены свойства резонаторов при различных параметрах падающего акустического возмущения, в том числе при наличии касательного дозвукового течения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Козубская, Татьяна Константиновна, 2010 год

1. P.J. Morris, L.N. Long, A. Bangalore, and Wang. A parallel three-dimensional computational aeroacoustics method using nonlinear disturbance equations. J. Comput. Phys., Vol. 133, pp. 56-74 (1997).

2. L.N. Long. A Nonconservative Nonlinear Flowfield Splitting Method for 3D Unsteady Fluid Dynamics. AIAA Paper 2000-1998 (2000).

3. Chyczewski T.S., P.J. Morris, L.N. Long. Large-eddy simulation of wall bounded shear flow using the nonlinear disturbance equation. AIAA Paper 2000-2007 (2000).

4. Ilya V.Abalakin, Alain Dervieux, Tatiana K.Kozubskaya. On the accuracy of direct noise calculations based on the Euler model. In Book Computational Aeroacoustics, edited by G. Raman, Multi-Science Publishing, (2008), pp. 141-166.

5. I.Abalakin, A. Dervieux , T.Kozubskaya. On Accuracy of Noise Direct Calculation Based on Euler Model International Journal of Aeroacoustics, Vol. 3, (2004), pp. 157-180.

6. Ilya Abalakin, Alain Dervieux, and Tatiana Kozubskaya, Computational Study of Mathematical Models for Noise DNS, AIAA paper 2002-2585 (2002).

7. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. High Accuracy Study of Mathematical Models for DNS of Noise around Steady Mean Flow. In

8. West East High Speed Flow Fields , Aerospace applications from highsubsonic to hypersonic regime, ed. by D.E. Zeitoun et all., International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), Barselona, Spain, (2003), pp. 486-497.

9. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. On Computational Efficiency of Euler Based Models in Free Flow Aeroacoustics. In Proceedings of 6th CEAS/ASC AIAA-cosponsored Workshop "From CFD to CAA , Athens, November 7-8, (2002).

10. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. Navier-Stokes Based Models in Computational Aeroacoustics. In Proceedings of International Simposium on Nonlinear Acoustics ISNA-I6, Moscow, August, 19-23, (2002).

11. Фриш У. Турбулентность: Наследие А. H. Колмогорова. M.: Фазис, 1998.

12. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений СПб.: Балт. гос. техн. ун-т., 2001.

13. Spalart Ph.R. Strategies for turbulence modelling and simulation, Int. J. Heat Fluid Flow, Vol. 21, No. 3, pp. 252-263 (2000).

14. D.C. Wilcox. Turbulence Modeling for CFD. DWC Industries. La Canada, 2nd edition, 1998

15. B.E. Launder and D.B. Spalding. Lectures in mathematical models of turbulence. Academic Press, London, 1972.

16. P.A. Durbin, B. A. Pettersson Reif. Statistical Theory and Modeling for Turbulent Flows. John Wiley & Sons, 2nd edition, 2010

17. E. Gamier, N. Adams, P. Sagaut. Large Eddy Simulation for Compressible Flows. Springer, 2009

18. Волков K.H., Емельянов B.H. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

19. Spalart, P.R., Jou, W.H., Strelets, М., Allmaras, S. R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach, Proc. of the First AFOSR Int. Conf. on DNS/LES, Ruston, USA, pp. 137-148 (1997).

20. Haase, W., Braza, M., and Revell, A. (Editors). DESider A European Effort on Hybrid RANS-LES Modelling, Springer, 2009.

21. C.M. Ермаков, Г.А. Михайлов. Курс статистического моделирования.1. М.: Наука, 1976.

22. О. Kurbanmuradov, К. Sabelfeld., Stochastic Spectral and Fourier-Wavelet Methods for Vector Gaussian Random Fields. WIAS preprint 1082, Berlin, 2005.

23. C.K.W. Tam, J.C. Webb. Dispersion- Relation- Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics. J. Comput. Phys., Vol. 107, pp. 262-281 (1993).

24. C. Bogey, C. Bailly. A family of low dispersive and low dissipative explicit schemes for flow and noise computations. J. Comput. Phys., Vol. 194, pp. 194-214(2004).

25. C. Bogey, C. Bailly, D. Juve. Noise investigation of a high subsonic, moderate Reynolds number jet using a compressible LES. Theoret. Comput. FluidDyn., Vol. 16, No. 4, pp. 273-297 (2003).

26. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990.

27. S.K. Lele. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution.

28. J. Comput. Phys., Vol. 103, No. 1, pp. 16-42 (1992).

29. D. P. Rizzetta, M. R. Visbal, and G. A. Blaisdell. Application of a highorder compact difference scheme to large-eddy and direct numerical simulation. AIAA Paper 1999-3714 (1999).

30. J. B. Freund. Noise sources in a low-Reynolds-number turbulent jet at Mach 0.9. J. of Fluid Mech., Vol. 438, pp.277-305 (2001).

31. Ekaterinaris, J. A., Implicit, High-Resolution, Compact Schemes for Gas Dynamics and Aeroacoustics. J .of Comput. Phys., Vol. 156, pp. 272-299 (1999).

32. X.Deng, H. Zhang. Developing High-Order Weighted Compact Nonlinear Schemes. J .of Comput. Phys., Vol. 165, pp. 22-44 (2000).

33. C-W. Shu and S.Osher. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. J. of Comput. Phys., Vol. 77, No. 1, pp. 439-471 (1988)

34. C-W. Shu and S.Osher. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II. J. of Comput. Phys., Vol. 83, No. l,pp. 32-78 (1989).

35. C-W. Shu. Numerical experiments on the accuracy of ENO and modified ENO schemes. J. ofSci. Comput., Vol. 5, No. 1, pp. 151-167 (1990).

36. X-D. Liu, S. Osher, T. Chan. Weighted essentially non-oscillatory schemes.

37. J. of Comput. Phys., Vol. 115, pp. 200-212 (1994).

38. G. Jiang, C.-W. Shu. Efficient implementation of weighted ENO schemes, J. Comput. Phys., Vol. 126, pp. 202-228, (1996).

39. C-W. Shu. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. NASA/CR-97-206253, ICASE Report No. 97-65 (1997).

40. J.Qiu, C-W. Shu. On the construction, comparison, and local characteristic decomposition of high order central WENO schemes. J. of Comput. Phys., Vol. 183, pp. 187-209 (2002).

41. Т. Schwartzkop, C.D. Munz, and E.F. Того. ADER: A high-order approach for linear hyperbolic systems in 2D. J. ofSci. Comput., Vol. 17, pp.231240, (2002).

42. V.A. Titarev, E.F. Того. ADER: arbitrary high order Godunov approach. J. ofSci. Comput., Vol. 17, pp. 609-618, (2002).

43. S.A.Karabasov, V.M.Goloviznin, T.K.Kozubskaya, and I.V.Abalakin. A New High-Resolution Balance-Characteristic Method for Aeroacoustics. AIAA paper 2006-2415 (2006).

44. В.М.Головизнин, С.А.Карабасов, Т.К.Козубская, Н.Максимов, Баланс-ио-характеристический метод численного решения одномерных задач аэроакустики. Препринт / Ин-т проблем безопас. развития атом, энергетики РАН, № IBRAE-2007-08 (2007).

45. В.М. Головизнин, С.А. Карабасов, Т.К. Козубская, Н.В. Максимов, Схема Кабаре для численного решения задач аэроакустики: обобщение на линеаризованные уравнения Эйлера в одномерном случай. ЖВМ и МФ, т. 49, № 12, (2009), стр. 1-16.

46. N.E. Suhs, R.E. Stuart, W.E. Dietz. PEGASUS 5: An Automatic Preprocessor for Overset-Grid CFD. AIAA Paper 2002-3186 (2002).

47. T. Barth, P. Frederickson. High order solution of the Euler equations on unstructured grids using quadratic reconstruction. AIAA Paper No. 900013 (1990).

48. C. F. Ollivier-Gooch. Quasi-ENO Schemes for Unstructured Meshes Based on Unlimited Data-Dependent Least-Square Reconstruction. J. Comput. Phys., Vol. 133, pp. 6-17 (1997).

49. O.Friedrich. Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for the Interpolation of Mean Values on Unstructured Grids. J. Comput. Phys., Vol. 144, pp. 194-212 (1998).

50. R.Abgrall, T.Sonar. On the use of Muhlbach expansions in th recovery step of ENO methods. Numer. Math., Vol. 76, pp. 1-25 (1997).

51. Ch. Hu, Ch-W. Shu. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes on Triangular Meshes. J. of Comput. Phys., Vol. 150, pp.108 127 (2002).

52. T. Zhang, C.-W. Shu. Third order WENO schemes on three dimensional tetrahedral meshes. Commun. Comput. Phys., Vol. 5, pp. 836-848, (2009).

53. M. Dumbser and M. Kaser, Arbitrary high order non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for linear hyperbolic systems J. Comput. Phys., Vol. 221, pp. 693-723, (2007).

54. M. Dumbser,M. Kaser, V.A. Titarev and E.F. Toro. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys., Vol. 226, pp. 204-243, (2007).

55. Barth T.J. Aspects of unstructured grids and finite-volume solvers for the Euler and Navier-Stokes equations. VKI Lecture Series N 1994-05, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1994).

56. C. Debiez, A.Dervieux. Mixed element volume MUSCL methods with weak viscosity for steady and unsteady flow calculation. Computer and Fluids, Vol. 29, pp. 89-118,(1999).

57. Viozat C., Held C., Mer K., Dervieux A. On Vertex-Centered Unstructured Finite-Volume Methods for Stretched Anisotropic Triangulations. INRIA Report RR-3464 (1998).

58. T.Kozubskaya, I.Abalakin, A.Dervieux, H.Ouvrard, Accuracy Improvement for Finite-Volume Vertex-Centered Schemes Solving Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes. AIAA paper 2010-3933 (2010).

59. И.В.Абалакин, А. Дервье, Т.К.Козубская, Х.Уврар. Методика повышения точности при моделировании переноса акустических возмущений на неструктурированных сетках. Ученые записки ЦАГИ, t.XLI, №1, (2010), стр. 28-36.

60. B. Cockburn, C.-W. Shu. The Runge-Kutta discontinuous Calerkin finite element method for conservation laws V: Multidimensional systems. J. of Comput. Physics, Vol. 141, pp. 199 224, (1998).

61. B. Cockburn, C.-W. Shu. The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems. SI AM J. Numer. Anal., Vol. 35, pp. 2440 2463, (1998).

62. J.S. Hesthaven, T. Warburton. Nodal Discontinuous Galerkin Methods. Algorithms, Analysis, and Applications. Springer, 2008.

63. G. Kanschat. Discontinuous Galerkin Methods for Viscous Incompressible Flow Deutscher Universitâtsverlag, 2007.

64. A.B. Волков. Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путем решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точности. Дис. докт. ф.-м. наук, Москва, 2010.

65. С. Debiez, Approximations décentrées^ à faible dissipation pour des problèmes hyperboliques. INRIA Report 2811, Février (1996).

66. I.V.Abalakin, T.K.Kozubskaya, A. Dervieux. High Accuracy Finite Volume Method for Solving Nonlinear Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes. Chinese Journal of Aeronautics, Vol. 19, No. 2, (2006).

67. Abalakin, I. V., Dervieux, A., and Kozubskaya Т. K. A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics. INRIA report RR4459, April 2002, (2002).

68. Gourvitch N., Rogé G., Abalakin I., Dervieux A., Kozubskaya Т. A tetrahedral based superconvergent scheme for aeroacoustics. INRIA report RR5212, May 2004 (2004).

69. I.V.Abalakin, A.V.Gorobets, T.K.Kozubskaya, S.A.Sukov, A.P.Duben. One Higher-Accuracy FV-Based Vertex-Centered Scheme for Computational Aeroacoustics. In Proceedings of WEHSFF Conference, Moscow, Russia, November 19-22, 2007 (2007).

70. Горбунов-Посадов M.M. Расширяемые программы. M.: Полиптих, 1999.

71. Горбунов-Посадов M.M. Эволюция программы: структура транзакции

72. Открытые системы, № 10, (2000), стр. 43-47.

73. А.В.Горобец, Т.К.Козубская, Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках. Математическое моделирование, т. 19, № 2, (2007), стр. 68-86.

74. W.Gropp, E.Lusk, A.Skjellum. Using MPI: Portable Parallel Programming with the Message Passing Interface. The MIT Press, 2nd edition, 1999.

75. Karniadakis G.E., Kirby II R.M. Parallel Scientific Computing in С++ and MPI. Cambridge University Press, 2003.

76. R. Chandra, L Dagum, D. Kohr, D. Maydan, J. McDonald, R. Menon. Parallel Programming in OpenMP Morgan Kaufmann, Academic Press, 2001.

77. B. Chapman, G. Jost, R. van der Pas, D.J. Kuck. Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming The MIT Press, 2008.

78. А.П.Дубень, Т.К.Козубская, М.А.Миронов. Численные эксперименты по изучению резонансных характеристик. В Тезисах докладов Всероссийской открытой конференции по авиационной акустике (октябрь 2009 г.), Москва, стр. 91-92, (2009)

79. А.П. Дубень, Т.К. Козубская, M.A. Миронов. Численное исследование резонаторов в волноводе. Механика жидкости и газа (в печати).

80. А.Ф. Соболев. Полуэмпирическая теория однослойных сотовых звукопоглощающих конструкций с лицевой перфорированной панелью. Акустический журнал, т. 53, № 6, (2007), стр. 861-872.

81. А.Ф. Соболев, В.Г. Ушаков, Р.Д. Филиппова. Звукопоглощающие конструкции гомогенного типа для каналов авиационных двигателей. Акустический журнал, т. 55, № 6, (2009), стр. 749-759.

82. Y. Khaletskiy, V. Povarkov and R. Shipov. The study of combined acoustic liners for turbofan noise reduction. Proceedings of the Sixteenth1.ternational Congress on Sound and Vibration (ICSV16), 5-9 July 2009, Krakow, Poland.

83. Y. Khaletskiy, V. Povarkov and R. Shipov.} Experimental study of the turbofanhush kit response. Proceedings of the Seventeenth International Congress on Sound and Vibration (ICSV17), 18-22 July 2010, Cairo, Egypt.

84. A.M. Сипатов Решение многодисциплинарных задач в процессе проектирования авиационных двигателей (газовая динамика, аэроакустика, прочность). Екатеринбург, УрО РАН, 2010.

85. V. Lebedeva, S.P. Dragon. Determination of acoustic characteristics in tubes by means of two microfone. Measurement Techniques, Vol. 31, No. 8, pp. 806-807, (1988). Translated from Izmeritel'naya Tekhnika, No.~8, (1988), pp. 52.

86. T.Kozubskaya. Euler Based Models and High Accuracy Numerical Techniques in Computational Aeroacoustics. In Proceedings of IMACS/ISGG Workshop MASCOT 04 (Edited by C.Conti, F.Pistella, R.-M.Spitaleri), (2004), pp.121-130.

87. Fedorchenko A.T., A model of unsteady subsonic flow with acoustics excluded. J.ofFluidMech.,Vol.334 (1997), pp. 135 155.

88. W. Bechara, C. Bailly, O.Lafon. Stochastic Approach to Noise Modeling for Free Turbulent Flows. Journal of Acoust. Soc. Am., Vol. 97, No. 6, pp. 3518-3531.

89. ICASE/Larc Workshop on Benchmark Problems in Computational Aeroacoistics (CAA) (Eds. by J.C. Hardin, J.R. Ristorcelli and C.K.W. Tam). NASA CP-3000 (1995).

90. И.В.Абалакин, К.А.Даниэль, Т.К.Козубская. Исследование влияния точности аппроксимации вязких членов на точность численного решения уравнений газовой динамики. Математическое моделирование, т. 19, № 7, (2007), стр. 85-92.

91. I. Borovskaya, T.Kozubskaya, O.Kurbanmuradov, K.Sabelfeld, Synthetic Models of Random Signals and Fields in Computational Aeroacoustics Problems. In Proceedings of WEHSFF Conference, Moscow, Russia, November 19-22, 2007 (2007).

92. M. Billson, L.E. Eriksson, L. Davidson. Jet Noise Prediction Using Stochastic Turbulent Modeling. ALAA paper 2003-3282 (2003).

93. T. Kozubskaya, I. Abalakin, V. Bobkov. A Half-Stochastic Model for Noise Simulation in Free Turbulent Flows. AIAA paper 2001-2258 (2001).

94. R. Ewert. The Simulation Of Slat Noise Applying Stochastic Sound Sources Based On Solenoidal Digital Filters (SDF). Euromech Colloquium 467: Turbulent Flow and Noise Generation July 18-20, 2005 Marseille, France.

95. R. Ewert. Broadband slat noise prediction based on CAA and stochastic sound sources from a fast random particle-mesh (RPM) method. Сотр. Fluids, Vol. 35, pp. 369-387 (2007).

96. R. Ewert, C. Appel, J. Dierke, and M. Herr. RANS/CAA based prediction of NACA 0012 broadband trailing edge noise and experimental validation.

97. K.K.Sabelfeld. Monte Carlo methods in boundary value problems. Springer Verlag. New York Heidelberg - Berlin, 1991

98. P.Kramer, O. Kurbanmuradov, K. Sabelfeld. Extentions of Multiscale Gaussian Random Field Simulation Algorithm. WIAS preprint 1040, Berlin, 2005.

99. Дж.К. Бетчелор. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1955.

100. В. Бунимович, Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах. М.: Советское радио, 1951.

101. А.А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. Судпромгиз., 1961.

102. И.А. Боровская. Моделирование однородных случайных полей по заданному спектру в задачах аэроакустики. Математическое моделирование, т. 19, №7, (2007), стр. 67-76.

103. И.А. Боровская, Т.К. Козубская, О. Курбанмурадов, К.К. Сабельфельд.

104. О моделировании однородных случайных полей и сигналов и их использовании в задачах аэроакустики. Математическое моделирование, т. 19, № 10, (2007), стр. 76-88.

105. Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000.

106. А.В.Александров, Т.К.Козубская, Моделирование распространения акустического шума в потоках вязкого сжимаемого газа. Математическое моделирование, т. 11, № 12, (1999), стр. 3-15.

107. A. Alexandrov, B.Chetverushkin, T.Kozubskaya, Numerical Investigation of Viscous Compressible Gas Flows by Means of Flow Field Exposure to

108. Acoustic Radiation. In Proceedings of Parallel CFD 2000 Conference, Trondheim, Norway, North Holland, Elsevier, May 2000, (2000).

109. Anatoli V.Alexandrov and Tatyana K.Kozubskaya. Parallel Computation of White Noise Propagation through Viscous Compressible Gas Flows. J. of Computational Methods in Science and Engineering (JCMSE), 2002, Vol. 2 (ls-2s), pp. 175-180.

110. F. Bastin, P. Lafon, S. Candel. Computation of jet mixing noise due to coherent structures: the plane jet case. J. Fluid Mech., Vol 335, pp. 261-304,(1997).

111. A.C. Гиневский, E.B. Власов, P.K. Каравосов. Акустическое управление турбулентными струями. М.: Физматлит, 2001.

112. А.Т. Федорченко. О воздействии мелкомасштабной турбулентности на развитие когерентных структур в слое смешения. Доклады Академии наук СССР, т. 302, №6, (1988), стр. 1327-1332.

113. Н.Е. Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. М.: Наука, 1965.

114. Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизм и теория. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963.

115. I. Borovskaya, Т. Kozubskaya, О.А. Kurbanmuradov, K.K.Sabelfeld, Verification of the SNGR Approach Modification. In Proceedings of International Conference Tikhonov and Contemporary Mathematics , Moscow, Russia, June 19-25, 2006 (2006).

116. И.В.Абалакин, Т.К.Козубская. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса. Математическое моделирование, т.19, № 7, (2007), стр. 56-66.

117. Э. Оран, Дж. Борис, Численное моделирование реагирующих потоков.1. М.: Мир, 1990.

118. Ch. Hirsch. Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1: Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. Elsevier, ButterworthHeinemann, 2nd edition, 2007.

119. Ю.И. Шокин, H.H. Яненко. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1985.

120. А. Harten, High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Comput. Phys., Vol.49, No. 4, pp. 357-393, (1983).

121. S.R. Chakravarthy, S. Osher. High Resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler Equations. AIAA Paper 83-1943 (1983).

122. A. Jameson, Numerical Solution of the Euler Equations for Compressible inviscid Fluids. In Book Numerical Methods for the Euler Equations of Fluid Dynamics, edited by F. Angrand et al., SIAM, Philadelphia, (1985), pp. 199.

123. Fourth Computational Aeroacoustics (CAA) Workshop on Benchmark Problems. NASA/CP-2004-212954 (2004).

124. L.C.Huang. Pseudo-Unsteady Difference Schemes for Discontinuous Solution of Steady-State, One-Dimensional Fluid Dynamics Problems. J. of Comput. Phys., Vol.42, (1981), pp.195-211.

125. J.A. Desideri, A.Dervieux. Compressible Flow Solvers Using Unstructured Grids. VKI Lecture Series N 1988-05, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1988), pp. 1-115.

126. A. Dervieux, L. Fezoui, F.Loriot. On high resolution variants of Lagrange-Galerkin finite-element schemes. INRIA Report 1703, (1992).

127. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.1. М.: Наука, 1981.

128. В. van Leer Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme.V. A Second-Order Sequel to Godunov's Method. J. of Comput. Phys., Vol. 32. (1979), pp. 101-136.

129. A. Dervieux. Steady Euler simulation Using Unstructured Meshes Von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture Series N 1985-94, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1985).

130. И.В.Абалакин, А.В.Жохова, Б.Н.Четверушкин. Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности. Математическое моделирование, т. 13, № 5, (2001), стр. 53-61.

131. L. Ferzoui, В. Stoufflet. A class of implicit upwind schemes for Euler simulations with unstructured grids. J. of Comput. Phys., Vol 84, (1989), pp. 174-206.

132. W.A. Mulder, B. van Leer. Experiments with Implicit Upwind Methods for the Euler Equations. J. of Comput. Phys., Vol 59, (1985), pp. 232-246.

133. P.K. Sweby. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J. on Num. Anal., Vol. 21, (1984), pp. 9951011.

134. Lallemand M.-H. Schémas decentrés Multigrilles pour la Résolution desi

135. Equations D Eider en Eléments Finis, Thesis, L Université de Provence Saint Charles (1988).

136. Maple User Manual. Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2005

137. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

138. P.R. Spalart, and , S.R. Allmaras. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. AIAA Paper 92-0439, 30th Aerospace Science Meeting, Reno, Nevada (1992).

139. J.L. Steger, R.F. Warming. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods J. Comput. Phys., Vol. 40, (1981), pp. 263-293.

140. Y. Saad. Iterative methods for sparse linear systems. Copyright by Yousef Saad, second edition, 2000.

141. A.B. Горобец, C.A. Суков, Ф.Х. Триас, Проблемы использования современных суперкомпьютеров при численном моделировании в гидродинамике и аэроакустике. Ученые записки ЦАРИ, T.XLI, №1, (2010), стр.65-71.

142. А.В. Горобец, Т.К. Козубская, Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках. Математическое моделирование, т. 19, № 2, (2007), стр. 68-86.

143. Andrey V. Gorobets, Ilya V. Abalakin and Tatiana K. Kozubskaya. Technology of parallelization for 2D and 3D CFD/CAA codes based on high-accuracy explicit methods on unstructured meshes, In Book Parallel

144. Computational Fluid Dynamics 2007, Series Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Springer Berlin Heidelberg, Vol. 67, (2009), pp. 253-260.149. http:// glaros .dtc.umn.edu/gkhome/views/metis

145. I. Abalakin, A. Gorobets, T. Kozubskaya, and S. Soukov, Parallel CFD Simulations Using Explicit Vertex-Centered Methods on Tetrahedral Grids.

146. Proceedings of NUMGRID 2008 Conference, June 10-23, 2008, Moscow, Russia (2008).

147. И.В.Абалакин, А.В.Горобец, Т.К.Козубская. Вычислительные эксперименты по звукопоглощающим конструкциям. Математическое моделирование, т. 19, № 8, (2007), стр. 15-21.

148. I.V.Abalakin, A.V.Gorobets, T.K.Kozubskaya, A.K.Mironov. Simulation of Acoustic Fields in Resonator-Type Problems Using Unstructured Meshes. AIAA 2006-2519 Paper, (2006).

149. C. Richter, F.H. Thiele, X. Li, M. Zhuang. Comparison of Time-Domain Impedance Boundary Conditions by Lined Duct Flows. AIAA Paper 2006-2527, (2006).162.163.164.165.166.

150. X.D. Lia, С. Richter, F. Thiele. Time-domain impedance boundary conditions for surfaces with subsonic mean flows. Journal of Acoust. Soc. Am., Vol. 119, No. 5, (2006), pp. 2665-2676.

151. C.K.W. Tam, H. Jua, M.G. Jones, W.R. Watson and T.L. Parrott A computational and experimental study of slit resonators. Journal of Sound and Vibration, Vol. 284, Issue 3-5, (2004), pp. 947-984.

152. Jeong J., Hussain F, On the identification of a vortex. J. Fluid Mech, 285, p. 69,(1995).

153. А.П. Дубень, Т.К. Козубская, М.А. Миронов. Численное исследование резонаторов в волноводе. Механика жидкости и газа (в печати).

154. И.В.Абалакин, Б.Н.Даньков, Т.К.Козубская, Д.К.Колмогоров. Расчет турбулентных течений вокруг обратных уступов и каверн. В Тезисах докладов Всероссийской открытой конференции по авиаг}ионной акустике (октябрь 2009 г.), Москва, стр. 64-65, (2009)