Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах "wavelet"-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кноте Карстен

• Кноте Карстен
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кноте Карстен

ВВЕДЕНИЕ.з

Глава 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЦИФРОВОЙ

ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ.

1.1. Предварительные замечания.

1.2. Ортогональные преобразования - основные положения.

1.3. Перестраиваемые ортогональные преобразования с быстрыми алгоритмами.

1.4. Основы теории вейвлет-функций.

1.4.1. Непрерывное вейвлет-преобразование.

1.4.2. Дискретное вейвлет-преобразование и кратномасштабн ый анализ.

1.4.3. Алгоритм вейвлет-преобразования.

1.5. Выводы и формулирование задач исследования.

Глава 2. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АДАПТИВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Матричная форма представления вейвлет-преобразования

2.3. Параметризация вейвлет-оператора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах "wavelet"-функций»

Научно-технический прогресс неразрывно связан с созданием новых технических систем разного назначения и повышением надежности их функционирования. Для обеспечения надежного бесперебойного функционирования систем, особенно в условиях постоянно возрастающей сложности и комплексности, необходимо выполнять контроль и управление состоянием этих систем. Содержание этой задачи включает в себя диагностирование и классификацию текущего технического состояния системы и воздействия на ее параметры на основе полученных сведений, а также такие вопросы, как постоянное слежение за состоянием системы (мониторинг) и прогнозирование. Предметом настоящей работы является разработка математической основы для оценивания состояния технических систем, входящая в общую проблему управления состоянием подобных систем. В работе также рассмотрены методы выделения информативных признаков, характеризирующих конкретное состояние диагностируемой системы, на основе которых может быть произведена классификация состояния и идентификация выявленных дефектов.

Теоретические вопросы выделения информативных признаков (ИП), а также примеры решения конкретных прикладных задач широко представлены во многих работах как российских [1-5], так и зарубежных [6-9] авторов. В этих работах предложено применение разных методов обработки информации в зависимости от характера изучаемых данных и сигналов и их информативных компонентов. Примерами таких методов являются ортогональные и не ортогональные преобразования, фильтрация и статистические методы [10-13].

В рамках настоящей работы выбираем из общего числа явлений, которые могут быть отнесены к категории носителей информации, физические сигналы, представляющие собой изменение значения некоторой физической величины в зависимости от времени или пространства. В дальнейшем термин информация для кратности будем связывать с физическими сигналами, понимая их содержание в указанном смысле.

Для методов обработки информации можно выделить три основных признака, определяющих качество, целесообразность и возможности практического применения данных методов, в частности в задачах диагностики: адекватность, разделимость информативных признаков (ИП) и трудоемкость практической реализации.

Если адекватность выражает степень соответствия информативного содержания обработанной информации исходной, то разделимость ИП определяе т, на сколько хорошо (с учетом выбранного критерия) данный метод выделяет информативные для решаемой задачи признаки из общего количества информативных и неинформативных (шумы) компонентов исходной информации. Третий признак - трудоемкость реализации метода определяет практическую применимость данного метода. Поскольку в настоящее время подавляющее большинство всех задач обработки информации реализуются в цифровом представлении информации, то важна возможность построения быстрых вычислительных алгоритмов, позволяющих произвести обработку информации в реальном масштабе времени, что для ряда задач является неотъемлемым условием (например, мониторинг технического оборудования в рабочих режимах).

Среди методов, широко используемых сегодня при решении задач обработки информации, следует выделить методы, основанные на применении ортогональных преобразований, которые позволяют при соответствующем выборе базисной системы обеспечивать адекватность анализируемой информации при достижении высокой степени декорреляции получаемых в результате информативных компонентов. Кроме того, для ряда ортонормированных базисных систем, как, например, для базисных систем Фурье, Уолша и Хаара, известны факторизованные представления, которые являются основой для быстрых алгоритмов вычисления преобразования.

Приведенные особенности ортонормированных преобразований являются фактором широчайшего использования их не только в задачах диагностики, но и в других задачах обработки информации, как например, при обработке биологических сигналов (ЭКГ, ЭЭГ) для определения состояния здоровья человека, при обработке звуковых сигналов и изображений, в задачах классификации при первичной обработке классифицируемой информации и т.д.

Известна обобщенная модель ортогональных преобразований в параметрической форме со структурой, непосредственно позволяющей производить вычисления по быстрому алгоритму [14]. Благодаря указанным особенностям создается возможность параметрического приспособления базисных систем к виду анализируемой информации при одновременном обеспечении высокой скорости ее обработки. Таким образом можно достигать более высоких показателей сжатия информации и выделения информативных признаков, чем это возможно при использовании обычных неперестраиваемых ортогональных преобразований [15-18]. Кроме названных преимуществ перестраиваемых базисных систем, однако, существуют и недостатки, заключающиеся в общем случае в необходимости первичной обработки анализируемых сигналов для выделения их характеристик.

Другим классом ортогональных преобразований, сильно развивающимся в течении последних лет, является так называемое "\¥ауе1еГ'-преобразование [1928]. В немногочисленных российских публикациях по этой теме [29-32] встречаются как название "вейвлет-преобразование", так и "всплесковое преобразование" для обозначения данного класса ортогональных преобразований.

Разложение анализируемых сигналов по всплескообразным базисным вейвлет-функциям, являющимся результатом масштабирования и сдвига одной порождающей функции, дает более подробные сведения об изучаемом процессе, чем, например, стандартный анализ Фурье. Вейвлет-функции хорошо локализованы как во временной, так и в частотной области, что придает полученному вейвлет-спектру характер частотно-временной оценки анализируемого сигнала. Коэффициенты преобразования содержат информацию о присутствии в сигнале в определенный временной интервал частотных компонентов, соответствующих определенной частотной полосе. Кроме того, существующие расчетные алгоритмы для дискретного вейвлет-преобразования являются достаточно эффективными и быстрыми, хотя и не безызбыточными.

Особенности вейвлет-преобразований (В-П) делают их очень привлекательными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов [33, 34], при обработке речевых сигналов [35] и изображений [36, 37], для сжатия больших объемов информации [36, 38, 39] и т.д.

Основная идея диссертационной работы состоит в объединении преимуществ ортогональных В-П и перестраиваемых систем ортогональных базисных функций в обобщенную модель перестраиваемых ортогональных вейвлет-преобразований. Успешное применение ортогональных В-П в последнее время во все большем числе областей науки и техники [39-41], а также многочисленные разработки, связанные с расширением возможностей и изменением свойств В-П [42-47], подтверждают актуальность выбранного направления исследования.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка математического аппарата, позволяющего синтезировать ортогональные системы базисных вейвлет-функций, приближенные к характеру анализируемых сигналов и обладающие возможностью параметрического перестраивания. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие основные задачи исследования:

- анализ существующих методов синтеза приспособленных систем ортогональных базисных функций,

- разработка математических методов синтеза дискретных параметрически перестраиваемых ортогональных вейвлет-функций,

- разработка и исследование алгоритмов быстрых вейвлет-преобразо-ваний в параметрически перестраиваемой форме, оценка их вычислительной эффективности,

- экспериментальные исследования разработанного аппарата при анализе информации различной физической природы.

В первой главе настоящей работы приведен краткий обзор и дан сопоставительный анализ известных ортогональных систем базисных функций При этом обращается особенное внимание на возможности приспособления базисных систем к характеру изучаемого процесса, а также на наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приводятся теоретические основы ортогональных вейвлет-преобразований, которые являются по своему характеру близкими к характеру многих физических процессов. Поэтому предлагается именно этот вид ортогональных преобразований в качестве основы для создания нового класса параметрический перестраиваемых ортогональных преобразований. Исходя из результата сопоставления и анализа известных ортогональных преобразований сформулированы задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования. Введена матричная форма представления В-П и выделен обобщенный вейвлет-оператор, составляющий основу матричного В-П. Выполнена факторизация вейвлет-оператора. Для представления факторизован-ных матриц использованы спектральные ядра, которые позволяют параметрически перестраивать матричные операторы, но при этом обеспечивают как ортогональность, так и наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приведены необходимые условия для выбора параметров параметрической модели вейв-лет-преобразования.

В третьей главе рассмотрены вопросы реализации алгоритмов перестраиваемого В-П. Произведен анализ вычислительной эффективности алгоритмов на основе разработанной факторизованной модели В-П и сделан вывод о целесообразности ее использования. Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, имеющего значение для анализа неограниченных по времени сигналов. Преимущество данного алгоритма состоит в том, что отсутствует необходимость применения временных оконных функций, которое связано с дополнительными вычислительными затратами и искажением изучаемых процессов.

Четвертая глава посвящена обобщению разработанной параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования для случая коэффициентов изменения масштаба вейвлет-функций, не равных двум. Исследовано построение параметрической модели для масштабного коэффициента три и рассмотрены ее особенности. Приведены примеры как вещественных, так и комплексных систем базисных функций.

В пятой главе представлены результаты применения разработанных параметрически перестраиваемых преобразований в задачах диагностирования состояния роторных машин. Рассмотрены задача приспособления системы базисных вейвлет-функций к анализируемым сигналам и вопрос выбора критерия приспособления и алгоритм оптимизации выбранного критерия.

Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, состоят в разработке нового класса параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований на основе известного вейвлет-преобразования. Применение разработанных преобразований позволяет объединить преимущества В-П, состоящие в частотно-временной локализованное™ базисных функций, с возможностью приспособления формы базисных функций к характеру изучаемого процесса. Кроме того, использование параметрической модели обеспечивает уменьшение выполняемых вычислительных операций, что ведет к увеличению быстродействия алгоритмов.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кноте Карстен

5.5. Основные результаты и выводы

В настоящей главе рассмотрены прикладные вопросы использования разработанного аппарата параметрически перестраиваемых вейвлет-функций в задачах выделения информативных признаков в вибрационных процессах и при сжатии звукового сигнала.

В задаче выделения информативных признаков путем оптимизации базисной системы удалось достичь высокой степени разделимости между информативными составляющими, характерными для определенного состояния изучаемого объекта, и фоновыми компонентами процесса. При этом достаточно определить коэффициенты преобразования первого уровня, что, помимо существования быстрого алгоритма расчета, обеспечивает дополнительное сокращение вычислительных затрат. Надежное выделение информативных признаков позволяет достоверно распознавать состояние объекта на основе простых решающих правил.

Существенное уменьшение в два раза погрешности восстановления звукового сигнала по усеченному вейвлет-спектру путем оптимизации базисной системы показывает целесообразность применения параметрического В-П и его эффективность при сжатии информации.

Анализ практических результатов, полученных в приведенных примерах, позволяет сделать вывод о гибкости разработанной параметрической модели вейвлет-преобразования. Она выражается в высокой степени приспособления базисной системы к анализируемой информации, достигнутого в обоих примерах. Гибкость оператора преобразования обеспечивает универсальность данного метода и широкие возможности использования его в задачах обработки информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты, полученные в работе, состоят в следующем.

1.) Разработана факторизованная параметрическая модель ортогонального вейвлет-преобразования, которая позволяет построить ортогональные вейвлет-функции, приспособленные к характеристикам обрабатываемой информации.

2.) Разработан рекурсивный быстрый алгоритм параметрического В-П, использующий структурные особенности факторизованных матриц для сокращения вычислений и получена оценка уменьшения вычислительных затрат.

3.) Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, позволяющего анализировать неограниченные во времени процессы без предварительного их разбиения на интервалы.

4.) Приведены основы ортогонального В-П с коэффициентом изменения масштаба базисных вейвлет-функций, равным трем. Разработана параметрическая модель троичного вейвлет-преобразования, а также быстрый вычислительный алгоритм.

5.) Предложена методика выбора угловых параметров В-П с целью приспособления базисных систем к решаемой задаче, основанная на методах цифровой оптимизации.

6.) Результаты исследований подтверждены экспериментально и показали высокую эффективность и гибкость разработанных методов.

Применение разработанной в диссертационной работе параметрической модели ортогонального В-П позволяет повышать достоверность диагностирования в задаче управления состоянием технических систем и, таким образом, улучшать качество и надежность самого процесса управления.

Вследствие универсального характера разработанной модели как метод обработки информации, использование ее не ограничивается приведенными прикладными примерами и может быть распространено на области и задачи, в которых уже применяются непараметрические ортогональные вейвлет-преобразования, а также на другие области обработки сигналов, в том числе и нестационарных. Преимущество разработанной модели состоит в возможности параметрического приспособления базисной системы к обрабатываемой информации с одновременным повышением вычислительной эффективности. Получены алгоритмы, позволяющие использовать для выполнения приспособленного вейвлет-преобразования уже имеющиеся программные реализации ортогонального В-П.

Полученные в диссертационной работе результаты могут найти развитие в распространении параметрической модели на аппарат вейвлет-пакетов (wavelet packets, [75]) и изучении характеристик троичных вейвлет-функций. Другое направление развития может заключаться в разработке метода адаптивного В-П, в котором на каждом шаге рекурсивного алгоритма используются другие вейв-лет-функции, приспособленные к обрабатываемой информации на данном конкретном шаге.

Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в [15-18,76,77] и доложены на Седьмой Международной (Балтийской) студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (г. С.-Петербург, 1999 г.), на XVI Международном межвузовском школе-семинаре «Методы и средства технической диагностики (МиСТД-99)» (г. Ивано-Франковск, Украина, 1999 г.) и на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПГЭТУ (г. С.-Петербург, 1998-2000 гг.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кноте Карстен, 1999 год

1. Алексеев М.А. Спектральные методы формирования диагностических признаков для объектов с ритмическими случайными процессами: Автореф. дис. канд. техн. наук (05.13.01) / ЛЭТИ. - Л., 1982. 16 с.

2. Генкин В.Л., Ерош И.Л., Москалев Э.С. Системы распознавания автоматизированных производств. Л.: Машиностроение, 1988. 246 с.

3. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М : Машиностроение, 1987. 288 с.

4. Методы, критерии и алгоритмы, используемые при преобразовании, выделении и выборе признаков в анализе данных // Сборник статьей. Институт математики и кибернетики АН Литовской ССР, 1988. 149 с.

5. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Высшая школа, 1983.

6. Ватанабэ С. и др. Оценка и отбор параметров в задачах распознавания // Автоматический анализ сложных изображений. М.: Мир, 1969. С. 276 - 295.

7. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 411 с.

8. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. М.: Мир, 1981. 693 с.

9. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. -М.: Наука, 1979. 368 с.

10. Ахмед Н.Д., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

11. Бендаг Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974. 464 с.

12. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. 316 с.

13. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Сов.радио, 1980. 224 с.

14. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации: Учеб. пособие. JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 272 с.

15. Адаптивный метод формирования диагностических признаков в информационно-измерительных системах // Оборонная Техника: Ежемесячный науч-но-техн. сб. № 6-7. / А.А. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1998. С. 66 69.

16. Адаптивный спектральный анализ сигналов на основе перестраиваемых ортогональных базисов // Системы обработки информации и управления: Известия СПбГЭТУ. Вып. 490. / А.А. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1996. С. 60 65.

17. Coifman R.R., Meyer Y., Wiekerhauser M.V. Wavelet Analysis and Signal Processing // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed.). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 153 - 178.

18. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure Appl. Math., Vol. 46, 1988. Pp. 909 996.

19. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math., Vol. 61. SIAN, Philadelphia, 1992. 357 p.

20. Jawerth В., Sweldens W. An Overview of Wavelet Based Multiresohition Analysis // SI AM Rev., Vol. 36, Nr. 3, 1994. Pp. 377 412.

21. Strang G. Wavelets and dilation equations: A brief introduction // SIAM Rev., Vol. 31, Nr. 4, 1989. Pp. 614 627.

22. Sweldens W. Construction and Application of Wavelets in Numerical Analysis // PhD thesis, Department of Computer Science, Katholieke Umversiteit Leuven, Belgium. 1994.

23. Sweldens W. Wavelet Sampling Techniques // Proceedings of the Joint Statistical Meetings, San Francisco, August 1993.

24. Wickerhauser M.V. Computation with Adapted Time-Frequency Atoms // Proceedings of the International Conference: Wavelets and Applications, Toulouse, 8-13 June 1992.

25. Wornell G.W. Wavelet-Based Representations for the 1/f Family of Fractal Processes // Proceedings of the IEEE, Vol. 81, NO. 10, 1993. Pp. 1428 1450.

26. Vetterli M. Wavelet and filter banks for diskrete-time signal processing // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed ). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 17-52.

27. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 208 с.

28. Кравченко В.Ф., Рвачев В.A "Wavelet"-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника, № 4. 1996. С. 3 20.

29. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с.

30. Петухов А.П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и анализ. №. 3. -М.„ 1996. С. 151 183.

31. Cohen J.С., Chen. Т. Fundamentals of the Discrete Wavelet Transform for Seismic Data Processing. № 130P, Center for Wave Phenomena, Colorado School of Mines, 1994. 48 p.

32. Davis A., Marshak A., Wiscombe W. Wavelet-Based Multifractal Analysis of Non-Stationary and/or Intermittent Geophysical Signals // Wavelets in Geophysics / P. Kumar et al. (ed.). Academic Press, 1994. Pp. 249 298.

33. Wickerhauser M.V. Acoustic signal compression with wavelet packets / Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / Chui C. (ed.). Boston: Academic Press, 1992. Pp. 679 -700.

34. DeVore R.A., Jawerth B., Lucier B.J Image compression through wavelet transform coding// IEEE Trans. Inform. Theory, 38(2), 1992. Pp. 719 746.

35. The application of multiwavelet filter banks to image processing // IEEE Trans. Sig. Proc. / V. Strela, P. Heller, G. Strang, G. Topiwala, C. Heil. 1996.

36. Bradley J.N., Bnslawn C.M., Hopper T. The FBI Wavelet/Scalar Quantization Standard for gray-scale fingerprint image compression // Proc. SPIE, vol. 1961. 1993. Pp. 293 304.

37. The FBI compression standard for digitized fingerprint images // Proc. SPIE, vol. 2847 / Bnslawn C. M., Bradley J.N., Onyshczak R.J., Hopper T. Denver, 1996.

38. Beylkm G. On wavelet-based algorithms for solving differential equations // Wavelets: Mathematics and Applications / J. Benedetto et al. (ed.). Boca Raton. CRC Press, 1993. Pp. 449 - 466.

39. Wavelet-packet-based multiple Access Communication / R. Learned, H. Krim, B. Claus, A.S. Willsky, W.C. Karl. LIDS Technical Report LIDS-P-2253, 1994.

40. Daubechies I., Sweldens W. Factoring Wavelet Transfonns into Lifting Steps // Technical report, Bell Laboratories, Lucent Technologies, 1996.

41. Guskov I., Sweldens W., Schroeder P. Multiresolution signal processing for meshes. Tech. Rep. 99-01, Princeton University, 1999. 12 p.

42. Strela V. Multiwavelets: Theory and Applications. PhD Thesis, MIT, 1996.

43. Sweldens W., Schroeder P. Building your own wavelets at home // Wavelets in Computer Graphics, ACM SIGGRAPH Course notes. 1995. Pp. 15 - 87.

44. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-designconstruction of biorthogonal wavelets // Appl. Comput. Harmon. Anal., Vol. 3, N. 2, 1996. Pp. 186-200.

45. Wavelet transforms that map integers to integers // Tech. Report / A. Calder-bank, I. Daubechies, W Sweldens, B. Yeo. Department of Mathematics, Princeton University, 1996.

46. Свириденко В.А. Анализ систем со сжатием данных. М.: Связь, 1977. 184 с.

47. Логинов В.П. Функции Уолша и области их применения // Зарубежная радиоэлектроника, № 4. 1973. С. 73 99.

48. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme // Math. Annalen, 69, 1910. Pp. 331 371.

49. Крот A.M. Дискретные модели динамических систем на основе полиномиальной алгебры. Мн.: Навука i тэхнжа, 1990. 312 с.

50. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. Радио, 1975. 208 с.

51. Ватанабэ С. Разложение Корунена-Лоэва и факторный анализ // Автоматический анализ сложных изображений. М.: Мир, 1969. С. 254 - 275.

52. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. -Мн.: Наука и техника, 1978. 136 с.

53. Дорогов А.Ю., Солодовников А.И. Перестраиваемые ортогональные базисы для адаптивных спектральных преобразований // Методы и средства цифровой обработки пространственно-временных сигналов: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1988. С. 59 - 63.

54. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований // Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1980. С. 4 - 14.

55. Солодовников А.И., Канатов И.И., Спиваковский A.M. Синтез обобщенного спектрального ядра произвольной размерности // Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1980. С. 15 - 22.

56. Солодовников А.И., Канатов И.И., Спиваковский A.M. Синтез ортогональных базисов на основе обобщенного спектрального ядра. // Вопросы теории систем автоматического управления: Межвуз. сб. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. Вып. 2. С. 99-112.

57. Солодовников А.И. Синтез полных систем ортонормированных функций, имеющих алгоритм быстрого преобразования. // Вопросы теории систем автоматического управления: Межвуз. сб. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. Вып. 4. С. 94-105.

58. Good I.J. The interaction algorithm and practical Fourier analysis // J. Roy. Statist. Soc. London, 1958. Ser. В. Vol. 20. Pp. 361 372.

59. Пашинский H.B. Исследование и разработка методов и алгоритмов формирования информативных признаков для классификации текстурных изображений: Автореф. дис. канд. техн. наук (05.13.01) / ЛЭТИ. Л.:, 1989. 16 с.

60. Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений. М.: Энергия, 1977. 160 с.

61. Stromberg J.О. A modified Franklin system and higher order spline systems on r" as unconditional bases for Hardy spaces // Conf. in honor of A. Zygmund, Vol. II, W. Beckner et al., ed., Wadsworth math. Senes, 1982. Pp. 475 493.

62. Lemarie P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(r") II J. De Math. Pures et Appl., V. 67, 1988. Pp. 227 236.

63. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets of orthonormal bases of L2(r) II Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 315, 1989. Pp. 69 88.

64. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Pans: Hermann. 1990.

65. Бейко И.В., Бублик Б.H., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища школа, 1983.

66. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

67. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. М.: Наука, 1966. 248 с,

68. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

69. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

70. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. 239 с.

71. Горелик A.J1., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1984. 207 с.74. "WaveLab" library of Matlab routines for wavelet analysis. Version 0.700. 1995. ftp://playtmr.stmiford.edu/'pub/wavelab.

72. Coifman R.R., Meyer Y., Wickerhauser M.V. Size properties of wavelet packets // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed.). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 453 -470.

73. Knothe K. Adaptable orthogonal wavelet transformations // Preprints of the 7 th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). S.-Pb.: 1999. Pp. 51 - 55.

74. Кноте К., Солодовников А.И. Адаптируемые ортогональные wavelet-преобразования диагностических сигналов // Докл. XVI Междунар. межвуз. школа семинар «Методы и средства технической диагностики» (МиСТД-99). -Ивано-Франковск, 1999.149

75. Программа расчета углового параметра (рх для оператора вейвлет преобразования.function phil = getphil(phi);pi = length(phi);sp = 0; for i=l:pl,sp = sp + phi (i) ;endphil = pi/4-sp;

76. Программа выполнения вейвлет-преобразования по факторизованному алгоритму на основе параметрической формы В-О.function d = FaktWT(х,phi,J)

77. Программа выполнения обратного вейвлет-преобразования по факторизован-ному алгоритму на основе параметрической формы В-О.function х = invFaktWT(d,phi,J)

78. Программа расчета вейвлет-коэффициентов на основе угловых параметров.function h = hfromphi(phi)

79. K = length(phi) + 1; phil = getphil (phi) ;h = zeros(1,2*K); h(1) = cos(phi 1) ; h(2) = sin(phil);for k=2:K,s = sin(phi(k-1)); c = cos(phi(k-1)); for i=l:k,1 = 2*k-i+l; a = h(i);h(i) = c*h(i) + (-1)Ai*s*h(1); h(l) = (-1)"(i + 1)*s*a + c*h(1) ;endend153

80. Программа выполнения вещественного троичного вейвлет-преобразования.function d = FaktWT3(х,р,J)

81. Программа выполнения комплексного троичного вейвлет-преобразования.function d = FaktWT3C(x,p,J)

82. Программа выполнения обратного вещественного троичного вей влет-преобразования.function X = invFaktWT3(d,p,J)

83. Программа выполнения обратного комплексного троичного вей влет-преобразования.function x = invFaktWT3C(d,p,J)