Оптимальные алгоритмы восстановления и вейвлет-анализа финитных во времени сигналов в радиотехнических устройствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Бахурин, Сергей Алексеевич

• Бахурин, Сергей Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бахурин, Сергей Алексеевич

введение.

1 синтез интерполирующих фильтров с заданными характеристиками в радиотехнических устройствах цифровой обработки сигналов.\

1.1 Вводные замечания

1.2 злдлчл инте 14 юляции при огра11иче11ии11л реализуемость устройств восстановления сигнала

1.2.1 Постановка задачи интерполяции при ограничении на реапзуемость устройств восстановления сигнала.

1.2.2 Решение задачи интерполяции при ограничении на реализуемость устройств восстановления сигналов.

1.3 синткз интерполирующих фильтров методом регуляризации а.н. тих01юва

1.4 квази011тималы1ые си11тезирующие фу11кции при а1ii1роксима1 [ии весового множителя

1.5 экспериментальные исследования алгоритмов интерполяции финитных случайных процессов

1.6 анализ реализации алгоритмов интерполяции па основе цифровых рекурсивных фильтров

1.7 Выводы

2 синтез вей влет-базисов на основе интерполирующих функций с заданными характеристиками.

2.1 Вводные замечания

2.2 си11тез вейвлет-вазисов на основе интерполирующих фильтров с заданными характеристиками

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Решение задачи.

2.3 синтез максимально компактных вейвлет-вазисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлипг-функции

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Решение задачи.

2.4 Синтез оптимальных вейвлет-базисов по критерию минимума средпеквадратической ошибки восстановления сигналов на основе представления

Карунена-Лоэва

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Решение задачи.

2.5 Разработка алгоритмов вейвлег-пакетного разложения с адаптацией базиса на каждом уровне разложения

2.6 выводы

3 практические аспекты проектирования быстрых алгоритмов обработки сигналов в радиотехнических устройствах на основе вейвлет-пакетного разложения.

3.1 Вводные замечания

3.2 Построение быстрых алгоритмов корреляционной обработки 11А основе ВНР

3.2.1 Обоснование быстрых процедур обработки сигналов на основе распараллеливания вычислительных операций.Кб

3.2.2 Разработка быстрого алгоритма корреляционной обработки сигнаюв па основе одноуровневого ВПР.

3.2.3 Разработка быстрых алгоритмов корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого ВПР.

3.2.4 Синтез быстрых алгоритмов на основе двухуровневого ВПР Оптимальная схема обнаружителя.

3.2.5 Исследование быстрых ачгоритмов корреляционной обработки на основе ВПР для обнаружения сложных фазоманипулированных сигнаюв.

3.3 Разработка сис тем сжатия и кодирования речевых сигналов i [а оа юве ВПР в синтезированных базисах

3.4 практическая реализация рекурсивного восстанавливающего фильтра

3.4.1 Разработка структурной схемы и выбор элементной базы.

3.4.2 Разработка принципиальной схемы устройства восстановления речевого сигнала.

3.5 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные алгоритмы восстановления и вейвлет-анализа финитных во времени сигналов в радиотехнических устройствах»

Актуальность темы. Алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС), используемые в современных радиотехнических устройствах, основываются на представлении сигнала в виде дискретных отсчетов, взятых в заданные моменты времени [1.4]. Большой вклад в развитие теории ЦОС детерминированных сигналов и случайных процессов (СП) внесли отечественные и зарубежные ученые В.А. Котельников, А.Ж. Хинчин, B.C. Пугачев, А. Шустер, Г.У. Юл, Н. Винер, Р.Б. Блекман, Ж.В. Тьюки, Ж.П. Бург, Г. Джекинс, Д. Вате, C.J1. Марпл.-мл., В.В.Витязев и др. [1.21]. Фундаментальное значение в теории ЦОС играет теорема В.А. Котельникова [1-4], в соответствии с которой однозначное восстановление исходного сигнала бесконечного по времени посредством дискретных отсчетов возможно только для сигналов с ограниченным спектром, при физически нереализуемом устройстве обработки [5]. Ошибки, возникающие в устройстве восстановления сигнала в случае использования теоремы В.А. Котельникова при дискретизации ограниченных во времени СП проанализированы в работах А. Дж. Джерри [5] Я.И. Хургина и В.П. Яковлева [6,7] и др. При этом, потенциально-достижимые характеристики устройств ЦОС, полученные применением сложных алгоритмов обработки сигналов, могут быть ослаблены на этапе цифро-аналогового преобразования из-за ошибок восстановления сигнала. Для уменьшения влияния этих ошибок разработана теория восстановления сигналов на основе полиномиальной, сплайн-интерполяции [11,22-25], а также атомарных функций, изложенная в работах В.А. Василенко [11,22,24], В.Ф. Кравченко, В.А. Рвачева [8,9] и др. Одной из проблем в этом случае является вопрос построения устройства восстановления сигнала в виде физически реализуемого фильтра нижних частот (ФНЧ), с учетом свойств финитных сигналов.

При решении задачи интерполяции наиболее широкое распространение получил критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) [10, 26-30], не учитывающий, что ошибки при восстановлении ограниченных во времени реализаций СП распределены неравномерно на интервале обработки, причем максимальные ошибки обычно сосредоточены в начале и конце интервала.

Наиболее часто используемыми при решении практических задач восстановления являются аналоговые ФНЧ высокого порядка, а также каскадное соединение нерекурсивного цифрового и аналогового ФНЧ [32]. При этом не рассмотрены вопросы синтеза цифровых рекурсивных восстанавливающих ФНЧ, с учетом априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.

В настоящее время при обработке нестационарных СП большое распространение получила теория вейвлет-анализа (ВА), разработанная в работах А. Хаара, С. Маллата, И. Мейера, И. Добеши, К. Чуй, а также в работах отечественных ученых В.И. Воробьёва, В.Г. Грибунина, А.П. Петухова, Л.В. Новикова, В.П. Дьяконова, и др. [33-59]. Основное достоинство ВА заключается в локализации базисных функций как по времени, так и по частоте. Благодаря этому алгоритмы ВА нашли широкое применение при решении задач сжатия речевой и видео информации, а также восстановления и интерполяции сигналов.

Известно большое количество классов вейвлет-функций [34], однако практические рекомендации по выбору базиса для обработки заданного типа сигналов содержатся в очень ограниченном объеме работ [35-36]. В связи с этим наибольшее распространение при решении практических задач получили ортогональные вейвлеты Добеши [33], обеспечивающие минимальную длительность при фиксированном числе нулевых моментов и имеющие конечную область определения. На основе базисных систем Добеши построены стандарты сжатия изображений ДРЕО-2000, а также стандарт сжатия видеоинформации МРЕС4.

При разложении СП наиболее эффективным по критерию минимума СКО является разложение Карунена-Лоэва, рассмотренное в работах Л. Фрэнкса, Г. Ван Триса, В.И. Тихонова и др [26-30]. Однако разложение Карунена-Лоэва не имеет быстрых алгоритмов, в отличии от алгоритмов вейвлет- и Фурье-анализа, поскольку синтез базисных систем производится на основе априорных сведений о корреляционных свойствах СП. На практике часто априорные сведения о корреляционной функции СП отсутсвуют, свойства сигнала меняются. Это затрудняет применение разложение Карунена-Лоэва в алгоритмах ЦОС, в виду необходимости синтеза базисных систем разложения в реальном режиме времени.

Основным блоком ряда радиотехнических устройств ЦОС, определяющим их быстродействие является блок корреляционной обработки. Реализация блока корреляционной обработки возможно как во временной, так и в частотной области, в последнем случае это приводит к экономии вычислительных ресурсов. Основной вклад в теорию быстрых спектральных преобразований внесли Р. Блэй-хут, Э. Оппенгейм, Г. Дженкинс, Д. Ватте, И.С. Гоноровский, A.M. Трахтман, В.А Трахтман, С. Марпл Мл. [13-18, 60-66]. Обычно построение устройств корреляционной обработки осуществляется на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), требующих использования операции комплексного умножения. Известно [37], что реализация вейвлет-преобразования в базисе Хаара требует только операций сложения, что существенно уменьшает вычислительные затраты. При этом не известны структуры устройств корреляционной обработки в базисе Хаара, ввиду неинвариантности данного преобразования к временному сдвигу сигнала.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка оптимальных интерполирующих функций и вейвлет-базисов, обеспечивающих снижение ошибок восстановления финитных во времени реализаций непрерывных СП, а также эффективных по вычислительным затратам алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов.

Поставленная цель работы включает решение следующих задач:

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Бахурин, Сергей Алексеевич

Основные результаты диссертации можно сформулировать в следующем виде:

1. В результате решения задачи интерполяции получены синтезирующие функции оптимальные по критерию минимума СКО для одноканальной и двухканальной систем восстановления при ограничении на реализуемость устройств обработки, позволяющие снизить ошибки восстановления финитных во времени сигналов в 2.3 раза по сравнению с ранее известными алгоритмами на основе функции бшс^), сплайн-интерполяции и атомарных функций при частоте дискретизации близкой к частоте В.А. Котель-никова.

2. При использовании метода регуляризации А.Н. Тихонова получены оптимальные синтезирующие функции, обеспечивающие в среднем на порядок меньшие ошибки восстановления, чем ранее известные синтезирующие функции, при изменении спектрального состава сигнала.

3. Предложены квазиоптимальные синтезирующие функции в виде дробно-рациональной функции. Показано, что использование порядков полиномов квазиоптимальных синтезирующих функций п > 3, т > 4 обеспечивает проигрыш по сравнению с оптимальной синтезирующей функцией при восстановлении сигнала менее чем на 0.5% по СКО и менее чем на 0.4% по ММО. Использование квазиоптимальных синтезирующих функций при аппроксимации весового множителя оптимальной синтезирующей функции, позволило производить параметрическую адаптацию восстанавливающих фильтров при отсутствии априорных сведений о корреляционных свойствах сигнала путем оптимизации коэффициентов полиномов весового множителя.

4. Произведен анализ реализации восстанавливающих фильтров на основе цифровых рекурсивных фильтров, позволяющих снизить порядок аналогового восстанавливающего фильтра с 29 до 2 без ухудшения качества восстановления сигнала, а также снизить порядок рекурсивного восстанавливающего фильтра по сравнению с нерекурсивным с 208 до 13 при той же точности восстановления.

5. Показано, что применение предложенных компактных базисных функций позволяет снизить СКО восстановления на 10.15% по сравнению с базисами Добеши.

6. Произведен синтез базисных систем ВПР на основе представления Кару-нена-Лоэва, адаптированных для обработки заданного типа СП, позволяющих получить минимально-возможную ошибку восстановления.

7. Разработан алгоритм ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне на основе разложения Карунена-Лоэва обеспечивающий минимально-возможную СКО восстановления.

8. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого ВПР в базисе Хаара в Н -ветви разложения, позволяющий снизить количество требуемых вычислительных операций в 2 раза по сравнению с использованием БПФ-алгоритма. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 1% для узкополосных сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «Кагзай» и менее 2% для иС^РБК сигналов системы «Клен-Р», при одном и том же отношении сигнал-шум.

9. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе двухуровневого ВПР в базисе Хаара в Н -ветви разложения, позволяющий дополнительно снизить количество требуемых вычислительных операций на 10% по сравнению с алгоритмом корреляционной обработки с поетрями на основе одноуровневого ВПР. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 2% для узкополосных сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «КагБаЪ) и менее 4% для иС^РБК сигналов системы «Клен-Р», при одном и том же отношении сигнал-шум.

10.Разработан алгоритм сжатия речевых сигналов на основе ВПР с адаптацией базиса на разных уровнях разложения, обеспечивающий качество восстановления не хуже чем в системах 1Р-телефонии при скорости передачи равной 3,78 кбит/с.

Таким образом, полученные по комбинированному критерию минимума СКО синтезирующие функции позволили учесть априорные сведения о корреляционных свойствах СП а также снизить требования к реализуемости радиотехнических устройств обработки сигналов. Полученные на основе синтезирующей функции-прототипа и разложения Карунена-Лоэва компактные вейвлет-базисы и алгоритмы сжатия сигналов при адаптации базиса на каждом уровне ВПР позволили повысить показатели качества функционирования радиотехнических устройств обработки сигналов при ограничении на скорость передачи и вычислительные затраты. Разработанные алгоритмы корреляционной обработки сложных ФМн- и ЧМн- сигналов в базисе Хаара позволят снизить требования к быстродействию устройств обработки в системах передачи и информации, а также в широком диапазоне радиотехнических приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны синтезирующие функции, использование которых в однока-нальных и двухканальных радиотехнических устройствах восстановления непрерывных финитных во времени сигналов приводит к существенному снижению ошибок, возникающих в результате эффектов наложения и усечения. Предложены алгоритмы сжатия с адаптацией базиса на каждом уровне ВПР позволяющие увеличить коэффициент сжатия, а также снизить скорость передачи речевых сигналов в радиотехнических устройствах. Обоснованы структурные схемы устройств корреляционной обработки сложных сигналов на основе ВПР в базисе Хаара. Разработанные алгоритмы позволили снизить требования к быстродействию радиотехнических устройств корреляционной обработки сложных сигналов.

Произведена разработка синтезирующих функций для одно- и двухканаль-ной систем восстановления сигнала по комбинированному критерию минимума СКО. Показано, что задача синтеза восстанавливающего фильтра относится к классу некорректно-поставленных, и для ее решения применен метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Разработан алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе восстанавливающей функции-прототипа с заданными характеристиками. Произведен синтез максимально-компактного базиса по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот. Предложен алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе разложения Карунена-Лоэва при известной корреляционной функции обрабатываемого сигнала.

Проанализированы практические аспекты использования предложенных алгоритмов восстановления и сжатия сигналов в радиотехнических устройствах. Дополнительно произведен анализ и разработка алгоритмов корреляционной обработки сложных ФМн- и ЧМн- сигналов в радиотехнических устройствах. Разработана структурная схема устройства сжатия речевого сигнала на основе ВПР с адаптацией базиса на основе разложения Карунена-Лоэва. Рассмотрены вопросы программно-аппаратной реализации рекурсивного восстанавливающего фильтра на базе микропроцессоров фирмы АТМЕЬ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бахурин, Сергей Алексеевич, 2007 год

1. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи // Радиотехника. 1995. №4-5. С. 42-55.

2. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Гос-энергоиздат, 1956.- 152 с.

3. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. -М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 832 с.

4. Шеннон К.Э. Связь при наличии шума // ТИИЭР, 1984. Т.72, №9. С.94-105.

5. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор // ТИИЭР. 1977. Т. 65. №11. С. 53-89.

6. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 220с.

7. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука. 1971.-408 с.

8. Басараб М.А., Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Аппроксимация финитными функциями и теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона в цифровой обработке сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. №9. С. 3-36.

9. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторые их приложения. М.: Радиотехника, 2003. - 560 с.

10. Ю.Френкс Л. Теория сигналов. М.: Советское радио, 1974, - 344с.

11. Василенко В.А Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1983. - 214 с.

12. Мановцев А.П. Основы теории радиотелеметрии. М.: Энергия, 1973. — 592 с.

13. БлейхутР. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.448 с.

14. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио, 1972. 208 с.

15. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1,2. -М.: Мир, 1971.-612 с.

16. Гольденберг J1.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256с.

17. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Перевод с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир. 1978. 847 с.

18. Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Оппенгейма. -М.: Мир. 1980. 552 с.

19. Трахтман A.M., ТрахтманВ.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

20. Победоносцев В.А. Теорема о неравноотстоящих отсчетах // Зарубежная радиоэлектроника. 1996, №8. С.

21. Марпл-мл. C.J1. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.-584 с.22.0сипов J1.A. Коррекция дискретного спектра для восстановления образующего его сигнала // Радиотехника. 1999. №12. С.39-43.

22. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов.радио, 1979. - 272 с.

23. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.25.де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985 -303с.

24. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986.-512 с.

25. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. М.: Советское радио, 1972. -744 с.

26. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

27. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

28. Тихонов А.Н. О методе регуляризации обратных задач // Кибернетика и вычислительная техника. 1985. Вып. 1. С. 87-99.

29. ЗЬШахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. M.: Радио и связь, 2000. - 584 с.

30. Рабинер Л.Р., Шафер Р.В. Цифровая обработка речевых сигналов. М.: Радио и связь, 1981.495 с.

31. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

32. Чуи К. Введение в вейвлеты. -М.: Мир, 2001.-412 с.

33. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Применение алгоритмов вейвлет-анализа для сжатия речевых сигналов в IP-телефонии. // Электросвязь. 2001. № 4. С 40-42.

34. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Синтез оптимальных порождающих фильтров для вейвлетных разложений. // 4-я Международная конференция "Цифровая обработка сигналов и ее применение". М., 2002. Т.1. С. 74-76.

35. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.- 132 с.

36. Вайдьянатхан П.П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор. // ТИИЭР, 1990. Т.78. №3. С. 77-120.

37. Крот A.M., Кудрявцев В.О. Теория анализа и синтеза бэнк-фильтров и их применение.// Успехи современной радиоэлектроники. 1999. №2. - С. 3 -17.

38. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-то ВУС, 1999. 204 с.

39. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+», 1999. 152 с.

40. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002. 448 с.

41. Астафьева Н.М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН, 1994. №1891. 56 с.

42. Берколайко М.З., Новиков И.Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости. М.: Докл. РАН, 1992, Т. 323, №4, С. 615-618.

43. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов. M.: Докл. РАН, 1994, №1, с. 9-13.

44. Переберин A.B. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. С.15-40.

45. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002. 272 с.

46. Новиков И.Я. Онделеты И. Мейера оптимальный базис в С(0,1). // Ма-тем. Заметки. М., 1992, т.52, №5, С. 88-92.51 .Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков. // Фундаментальная и прикладная математика, 1997, т.З, №4, с. 999-1028.

47. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 58 с.

48. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Реализация алгоритмов вейвлет-анализа на основе рекурсивных фильтров. Радиотехника. 2002. № 3 С. 33-37.

49. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. №11. С. 1145-1170.134

50. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. // Успехи физических наук. 2001. т. 171. №5. С. 465-501.

51. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Алгоритмы биортогонального вейвлет-анализа на основе рекурсивных фильтров. // Цифровая обработка сигналов, 2001. №3 с. 9-12.

52. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Оптимальные по минимуму среднеквадратиче-ской ошибки вейвлетные представления случайных процессов. // Цифровая обработка сигналов, 2002. № 2. С. 32-35

53. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. «Вейвлет»-системы и их применение в обработке сигналов. // Зарубежная радиоэлектроника, 1996, №4, С. 3-20

54. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. //Успехи математических наук, 1998. т. 53, №6(324), С. 53-128.

55. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.61 .Хинчин А .Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. // Усп. мат. наук, 1938. Вып.5. С.42-51.

56. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.-440 с.

57. Каппелини В., и др. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энерго-атомиздат, 1983.360 с.

58. ГолдБ. , Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М. : Сов. радио, 1973. 368 с.

59. Рабинер JL, Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

60. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

61. Шафер Р.У., Мерсеро P.M., Ричарде М.А. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений // ТИИЭР. 1981. Т69. №3. С. 34-55.

62. Светковский P. JI. Метод восстановления сигналов по модулю спектра. // Радиотехника и электроника. 1995. Т40. Вып.1. С. 75-79.

63. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем -М.: Наука главная редакция физико-математической литературы, 1966. -624 с.

64. Бахурин С.А., Дмитриев В.Т. Исследование точности алгоритмов оценки отсчетов производной в радиотехнических устройствах // Вестник РГРТА выпуск 13,2003 г. С. 32-35.

65. Кириллов С.Н., Степанов М.В. Комбинированный критерий оптимальности нерекурсивных фильтров оценивания // Проблемы математического моделирования и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр. / Рязань: РГРТА, 1996. С. 40-43.

66. Кириллов С.Н., Степанов М.В. Комбинированный критерий оптимальности калмановского фильтра // Вестник РГРТА. Вып. 4. 1998. С. 120-122.

67. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

68. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: задачи и примеры с подробными решениями. М.: Едиториал УРСС, 2002.- 166 с.

69. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-356 с.

70. Бейтс Р., Мак-Донелл М. Восстановление и реконструкция изображений. -М.: Мир.,1989.-336 с.

71. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика -М.: Физматлит, 2000. 295 с.

72. Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т. Реализационные возможности и помехоустойчивость процедуры восстановления сигналов на основе алгоритма Хургина-Яковлева//Радиотехника. 2003. №1. С. 73-75.

73. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука главная редакция физико-математической литературы, 1971. -328 с.

74. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.А. Вычислительная математика. М.: Высшая школа, 1985. - 472 с.

75. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении М.: Связь, 1976.

76. Бьемон Ж., Лагендейк Л., Мерсеро P.M. Итерационные методы улучшения изображений//ТИИЭР 1990. - Т78. №5. - С. 27-33.

77. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: Ленинград, 1986. - 272 с.

78. Бакалов В.П. , Киреенко О.В., Мартюшев Ю.Ю. , Матвеева О.П. Восстановление многомерных сигналов по амплитудному спектру. // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. - №2. - С. 31-38.

79. Свентковский P.A. Метод восстановления сигнала по фазовому спектру с повышенной точностью и быстродействием. \\ Радиотехника и электроника. 1993. - Т38. - №5. - С. 866-870.

80. Джайн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений // ТИИЭР Т69. №5. - С.9-39.

81. Попков Ю.С. Вариационный принцип восстановления изображений по проекциям. // Автоматика и телемеханика. 1997. №5. - С. 131-139.93.0мельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. -Харьков: Вища школа, 1983. 156 с.

82. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

83. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз., 1962. 884 с.

84. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. 136 с.

85. Малоземов В.П., Машарский С.М. Сравнительное изучение двух вейвлет-ных базисов. // Проблемы передачи информации, 2000, т.36, вып. 2, с. 2737

86. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Хааровские спектры дискретных сверток. // Ж. вычисл. мат. и матем. физ., 2000, т.40, №6, с.954-960

87. Ковалев Э.И., Кучерявенко С.В., Федосов В.П. Вейвлет-анализ для обработки радиотехнических сигналов. Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2004. 60 с.

88. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Вища школа, 1983.159 с.

89. Кашкин В.Б. Функциональные полиномы в задачах статистической радиотехники. Новосибирск: Наука. 1981. 145 с.

90. Крылов В.В., Херманис Э.Х. Модели систем обработки сигналов. Рига: Зинатне. 1981. 212 с.

91. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

92. ПеровА.И. Статистическая теория радиотехнических систем М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

93. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 100 с.

94. Уайз Г.Л. Замечания к вопросу о свойствах корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы // ТИИЭР. Т. 65. №9. 1977. С. 204-205.

95. СуетинП.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука. 1976. 328 с.

96. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) М.: Наука. 1973. 832 с.

97. Вайнштейн Л.А. Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. М.: Сов. радио, 1960. 445с.

98. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

99. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1,2. М.: Советское радио, 1962.

100. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 468 с.

101. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Погрешности и параметры цифрового спектрально-корреляционного анализа. М.: Радио и связь, 1984. 160с.

102. Грибанов Ю.И., Мальков B.J1. Спектральный анализ случайных процессов. М.: Энергия, 1974. 240с.

103. Грибанов Ю.И., Мальков B.JL Выборочные оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов. М.: Энергия, 1978. 150с.

104. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.440 с.

105. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 800с.

106. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМД, 1958. 507 с.

107. Колмогоров А.Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544с.

108. Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР, 1978. Т.66, №1. С.60-96.

109. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

110. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. JL: 1986. 272 с.

111. Заездный A.M. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969. 448с.

112. Крошье Р., Рабинер JI. Интерполяция и децимация цифровых сигналов: методический обзор // ТИИЭР. 1981. Т69. №3. С.

113. Акимов П.С., и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. М.: Радио и связь, 1994. 256 с.

114. Борисов Ю.П., Пенин П.И. Основы многоканальной передачи информации. М.: Связь, 1967. 436 с.

115. Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. М.: Радио и связь, 1988.304 с.

116. Денисенко А.Н., Стеценко O.A. Теоретическая радиотехника. 4.1. Детерминированные сигналы. М.: Издательство стандартов, 1993. 215 с.

117. Брюханов Ю.А., Кренев А.Н. Спектральная теория сигналов. Ярославль: ЯГУ, 1990. 103 с.

118. Даугавет И.К., Ланнэ A.A. Потенциальные оценки точности алгоритмов цифровой обработки сигналов в условиях внешних помех // Радиоэлектроника. 1991. №12. С.4-12.

119. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Интерполяция сигналов с учетом реализуемости восстанавливающих фильтров // Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань РГРТА, 2003 г. С. 1922

120. Бахурин С.А. Алгоритмы восстановления финитных во времени сигналов в телекоммуникациях // IX всероссийской научно-технической конференции студентов молодых ученных и специалистов НИТ-2004. Рязань: РГРТА, 2004. С.65

121. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Уменьшение ошибок усечения при интерполяции функций в пространстве Соболева // Научная сессия МИФИ -2004. Сборник научных трудов, т. 12. С Л 43.

122. Бахурин С.А. Анализ практической реализации интерполирующих функций при восстановлении финитных во времени сигналов // Методы и устройства формирования и обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань 2004 г. С. 19-22.

123. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующей функции // Доклады 7142й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» Москва, 2005. Т. 1. С. 98-101.

124. Бахурин С.А., Слесарев A.C. Быстрые алгоритмы корреляционной обработки сигналов спутниковых систем передачи информации // Тезисы доклада всероссийского научно-практического семинара «Сети и системы связи», Рязань, 2005. С. 278-279.

125. Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующих функций // Вестник РГРТА выпуск 15 2005 г. С. 117-120.

126. Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Слесарев A.C., Ватутин

127. B.А.Быстрые алгоритмы обработки фазоманипулированных сигналов системах передачи информации радиолиний управления и телеметрии космических аппаратов // Электромагнитные волны и электронные системы. № 10, 2005. С.57-65.

128. Круглов A.B., Кириллов С.Н., Дмитриев A.C., Ватутин В.А. Бахурин

129. C.А. Эффективная обработка сигналов радиолиний вправления и телеметрии на основе алгоритма Хургина-Яковлева // Электромагнитные волны и электронные системы. № 11-12, 2005. С.83-89.

130. Бахурин С.А., Цыплаков A.A. Синтез кодовых последовательностей с минимальным уровнем боковых лепестков на основе вейвлет-пакетного разложения // Материалы 31-й Межвузовской научно-практической конференции. Рязань, 2006. С. 155.

131. ГОСТ Р 50840-95 «Передача речи по трактам связи. Методы оценки качества, разборчивости, узнаваемости». М.: ГОСТ стандарт России.