Разработка гибридных генетических алгоритмов и схемы их применения для решения задач оптимального управления динамическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Дмитриев, Сергей Викторович

• Дмитриев, Сергей Викторович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дмитриев, Сергей Викторович

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

1.1. Основные этапы построения моделей управляемых систем.

1.2. Обзор моделей экономического роста.

1.3. Общая постановка задач оптимального управления.

1.4. Методы решения задач оптимального управления.

1.5. Методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве управлений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка гибридных генетических алгоритмов и схемы их применения для решения задач оптимального управления динамическими системами»

Актуальность темы исследования. Многомерная оптимизация является неотъемлемой частью важнейших этапов моделирования различных динамических систем (технических, экономических, социальных и т.д.) и во многих случаях становится тем ограничением, которое не позволяет использовать данную постановку задачи ввиду отсутствия эффективного инструмента идентификации или оптимизации.

Класс задач, встречающихся при оптимизации динамических систем, может быть самым разнообразным: от задач безусловной оптимизации до задач оптимального управления. Но, тем не менее, можно выделить следующие общие практические трудности, возникающие при их решении: 1) наличие не-дифференцируемых функций (функционалов); 2) наличие нескольких экстремумов; 3) большая размерность задачи. Присутствие таких проблем делает целесообразным применение гибридных схем оптимизации, объединяющих возможности различных методов. Правильно организованная, скоординированная работа численных алгоритмов, входящих в гибридную схему, позволяет получать решения тех задач, оптимизация которых затруднена или невозможна отдельными методами.

Серьезной проверкой численных алгоритмов являются задачи оптимального управления. И, как правило, к численному решению прибегают тогда, когда аналитическое решение задачи не может быть получено с помощью принципа максимума Понтрягина, а применение принципа оптимальности Беллмана требует трудоемких вычислительных затрат.

Исторически способы решения задач оптимального управления развивались в нескольких направлениях, но, прежде всего, следует отметить методы, основанные на вариации в пространстве управлений. Среди работ, посвященных исследованию возможностей численных методов применительно к решению задач оптимального управления, можно выделить работы таких ученых, как Ю.Г.Евтушенко [32], Н.Н.Моисеев [59], Р. П. Федоренко [83, 84], Ф. JI. Черноусько [88] и др.

Безусловно, каждая задача оптимального управления требует индивидуального подхода к нахождению решения, но создание гибридного численного метода, заведомо обладающего свойствами, позволяющими не прибегать к вычислению производных и с высокой эффективностью решать проблемы много-экстремальности и задания «удачного» начального приближения, позволит повысить вероятность определения глобального решения, а также существенно сократит время адаптации алгоритма при внесении изменений в исходную постановку задачи без изменения содержания самого численного метода.

Объектом исследования являются динамические управляемые системы в технике и макроэкономике, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.

Предметом исследования являются численные методы решения задач оптимального управления; задачи оптимального распределения капиталовложений в макроэкономической системе.

Целью исследования является разработка и тестирование гибридных генетических алгоритмов (ГА), позволяющих эффективно решать задачи оптимизации, обработки информации и идентификации сложных систем; постановка и решение задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка и реализация на ЭВМ гибридных алгоритмов на основе генетических и классических методов оптимизации, не требующих вычисления производных.

2. Настройка параметров гибридных ГА с вещественным кодированием, обеспечивающая их высокую вычислительную эффективность.

3. Тестирование гибридных ГА на ряде задач безусловной оптимизации и задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике, решение задач идентификации регрессионных моделей.

4. Разработка математической модели оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

5. Применение гибридного ГА для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Теоретические и методологические основы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, оптимального управления, регрессионного анализа, оптимального распределения капиталовложений. Программный код гибридных ГА реализован в среде программирования Borland Delphi 7.0, построение графиков поверхностей осуществлялось средствами Matlab 6.1.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена экспериментальной проверкой гибридных ГА на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, а также на задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике. На защиту выносятся:

1. Гибридные алгоритмы, разработанные на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука - Дживса.

2. Результаты тестирования гибридных ГА на задачах безусловной оптимизации и задачах оптимального управления.

3. Математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

4. Результаты численного решения гибридным ГА задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Разработаны новые гибридные алгоритмы на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса, не требующие дополнительной информации о целевой функции (функционале), кроме возможности вычисления их значений в заданной точке.

2. Разработана новая схема взаимодействия составлющих элементов гибридного ГА, основанная на адаптивном подходе к ситуации поиска. ГА с вещественным кодированием, выступая в качестве основы гибридного алгоритма, может подключать во вспомогательный поиск либо метод Хука-Дживса, либо генетический вещественный алгоритм с локальным поиском в зависимости от возможности метода Хука-Дживса к дальнейшему улучшению решения.

3. Получены значения параметров, обеспечивающие высокую вычислительную эффективность гибридных ГА.

4. Применение гибридного ГА для решения задач оптимального управления с различными постановками.

5. Разработана математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов, позволяющая прогнозировать динамику валового регионального продукта (ВРП), основных производственных фондов (ОПФ), численность населения, в частности, трудовых ресурсов, а также выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества.

6. Применение гибридного ГА для решения и исследования открытой макроэкономической модели распределения капиталовложений с учетом инвестиционных процессов.

Практическая значимость и реализация результатов исследования.

Программный код гибридных ГА выполнен в форме независимых модулей, реализованных в среде программирования Borland Delphi 7.0, и может быть использован как составляющий элемент программного комплекса по решению оптимизационных задач. Разработано программное обеспечение для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Научная апробация результатов исследования. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Межрегиональная научно-практическая конференция «Реализация Стратегии устойчивого развития города Ижевска: опыт и проблемы» (Ижевск, 28 сентября 2005).

2. Научная конференция - семинар «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006).

3. Научно - практическая конференция (Ижевск, май 2006).

4. Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 22 - 27 января 2007).

5. XIII-я Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2007). Публикации. Результаты работы отражены в 10 научных публикациях: 5 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов диссертаций, 2 труда конференции, 3 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 62 рисунка, 17 таблиц и список литературы из 112 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дмитриев, Сергей Викторович

Основные выводы по главе

1. Гибридный ГА RGA+HJ+RGAL успешно справляется с задачами идентификации нелинейных регрессионных моделей.

2. Разработана макроэкономическая модель, которая включает в себя следующие механизмы, оказывающие влияние на уровень ВРП: а) формирование ОПФ и регулирование уровня их эффективности через индуцированный НТП; b) повышение квалификации трудовых ресурсов и воздействие на уровень смертности на основе политики здравоохранения; c) привлечение внешних инвестиций.

Два основных фактора производства: ОПФ и трудовые ресурсы - описываются на основе уравнений неразрывности из теории сплошных сред. Такой подход позволяет более точно описывать состояние рассматриваемых показателей.

3. Макроэкономическая модель позволяет: a) спрогнозировать динамику ВРП, численность ОПФ и населения, в частности, трудовые ресурсы; b) получить оптимальные стратегии распределения капиталовложений по следующим статьям: потребление, пополнение ОПФ, наука, образование, здравоохранение, погашение внешнего долга; c) выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества; d) сформировать программу по привлечению внешних инвестиций.

4. На основе численных экспериментов с применением алгоритма RGA+HJ+RGAL были получены следующие основные выводы по макроэкономической модели: a) структура оптимальных стратегий капиталовложений определяется видом макроэкономической ПФ; b) для исходной статистической информации по УР и данным зависимостям, входящим в модель, было получено, что процентная ставка кредитов, имеющих целесообразность для данного критерия качества, не должна превышать 5%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены две гибридные схемы оптимизации, основанные на параллельной работе ГА с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса. Объединенная работа двух алгоритмов обеспечивает следующие основные преимущества: a) ГА осуществляет «сканирование» пространства поиска на наличие локальных экстремумов, тем самым, повышая эффективность определения глобального оптимума; b) метод Хука-Дживса обеспечивает высокую скорость сходимости вблизи точки экстремума; c) генерируя на начальном этапе совокупность случайных приближений, ГА решает проблему выбора начальной точки для метода Хука-Дживса; d) отсутствие необходимости в дополнительной информации о целевой функции (функционале) кроме возможности вычисления их значений в заданной точке; e) наличие механизма запрета на совершение итераций методом Хука -Дживса, в случае отсутствия его возможности к дальнейшему улучшению решения.

2. Гибридные алгоритмы были апробированы на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, качественными характеристиками которых являлись: а) многоэкстремальность; Ь) «овражный» характер; с) большая размерность; d) широкий диапазон изменения управляемых переменных. На «овражной» функции Розенброка большой размерности гибридный ГА RGA+HJ (RGA+HJ+RGAL) единственный показал положительные результаты. На овражных и многоэкстремальных функциях алгоритм RGA+HJ (RGA+HJ+RGAL) в 2 и более раза чаще достигал глобального экстремума за отведенное время по сравнению не только с RGA, но и гибридной схемой RGA+RGAL.

3. На трех задачах оптимального управления, принадлежащих к различным классам (задача на быстродействие, задача с нефиксированным временем), были протестированы гибридный алгоритм RGA+HJ+RGAL, а также и другие численные методы, что позволило выявить преимущества объединения прямых методов оптимизации. Структура распределения доминирующих итераций в гибридных методах RGA+HJ и RGA+HJ+RGAL такова, что в большинстве случаев (>85%) методом HJ были получены результаты лучше, чем генетическим алгоритмом, но метод RGA, тем не менее, не оказывался бездействующим, что говорит в пользу объединения методов.

4. Гибридный ГА RGA+HJ+RGAL успешно справляется с задачами идентификации нелинейных регрессионных моделей.

5. Разработаны программные модули, содержащие программный код гибридного ГА с вещественным кодированием. Указанные модули могут использоваться в системах оптимизации различных прикладных задач.

6. Разработана макроэкономическая модель, которая включает в себя следующие механизмы, оказывающие влияние на уровень ВРП: a) формирование ОПФ и регулирование уровня их эффективности через индуцированный НТП; b) повышение квалификации трудовых ресурсов и воздействие на уровень смертности на основе политики здравоохранения; c) привлечение внешних инвестиций.

Два основных фактора производства: ОПФ и трудовые ресурсы - описываются на основе уравнений неразрывности из теории сплошных сред. Такой подход позволяет более точно описывать состояние рассматриваемых показателей.

7. Макроэкономическая модель позволяет: а) спрогнозировать динамику ВРП, численность ОПФ и населения, в частности, трудовые ресурсы; b) получить оптимальные стратегии распределения капиталовложений по следующим статьям: потребление, пополнение ОПФ, наука, образование, здравоохранение, погашение внешнего долга; c) выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества; d) сформировать программу по привлечению внешних инвестиций.

8. На основе численных экспериментов с применением алгоритма RGA+HJ+RGAL были получены следующие основные выводы по макроэкономической модели: a) структура оптимальных стратегий капиталовложений определяется видом макроэкономической ПФ; b) для исходной статистической информации по УР и данным зависимостям, входящим в модель, было получено, что процентная ставка кредитов, имеющих целесообразность для данного критерия качества, не должна превышать 5%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дмитриев, Сергей Викторович, 2007 год

1. Алексеев, В. М. Оптимальное управление Текст. / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1979. - 432 с.

2. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления Текст. / В. Н. Афанасьев. М.: Высшая школа, 2003. - 614 с.

3. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику Текст. / С. А. Ашманов. М.: Наука, 1984. - 293 с.

4. Банды, Б. Методы оптимизации. Вводный курс Текст. / Б. Банди ; пер. с англ. О.В. Шихеевой ; под ред. В. А. Волынского. М. : Радио и связь, 1988.-128 с.

5. Бард, Й. Нелинейное оценивание параметров Текст. / Й. Бард ; пер. с англ. В. С. Дуженко [и др.] ; под ред. и с предисл. В. Г. Горского. М. : Статистика, 1979. - 349 с.

6. Баркалов, Н. Б. Моделирование демографического перехода Текст. / Н. Б. Баркалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 80 с.

7. Баркалов, Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста Текст. / Н. Б. Баркалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.-128 с.

8. Бергстром, А. Построение и применение экономических моделей Текст. / А. Бергстром ; пер. с англ. М.: Прогресс, 1970. - 176 с.

9. Бородин, С. А. Эконометрика Текст. : учеб. пособие / С. А. Бородич. -Минск : Новое знание, 2001.-408 с.

10. Бочарников, В. 77. Fuzzy технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике Текст. / В. П. Бочарников. - СПб. : Наука РАН, 2001.-328 с.

11. Браун, М. Теория и измерение технического прогресса Текст. / М. Браун ; пер. с англ. В. В. Зотова ; под ред. Г. Г. Пирогова. М. : Статистика, 1971.-208 с.

12. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. -М.: Наука, 1988. 552 с.

13. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов Текст. : учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. 2-е изд., перераб. - М. : Высш. шк., 2005. -840 с.

14. Вишнев, С. М. Основы комплексного прогнозирования Текст. / С. М. Вишнев. М.: Наука, 1977. - 287 с.

15. Вишнев, С. М. Экономические параметры Текст. / С. М. Вишнев. М. : Наука, 1968.- 189 с.

16. Власов, М. П. Моделирование экономических процессов Текст. / М. П. Власов, П. Д. Шимко. Ростов н/Д : Феникс, 2005. - 409 с.

17. Гилл, Ф. Практическая оптимизация Текст. / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. ; пер. с англ. В. 10. Лебедева ; под ред. А. А. Петрова. М. : Мир, 1985.-509 с.

18. Гранберг, А. Г. Динамические модели народного хозяйства Текст. / А. Г. Гранберг. М.: Экономика, 1985. - 240 с.

19. Гранберг, А. Г. Моделирование социалистической экономики Текст. : учеб. для студ. экон. вузов / А. Г. Гранберг. М. : Экономика, 1988. -487 с.

20. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии Текст. / Е. 3. Деми-денко. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

21. Демиденко, Е. 3. Оптимизация и регрессия Текст. / Е. 3. Демиденко. -М.: Наука, 1989.-296 с.

22. Демьянов, В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление Текст. / В. Ф. Демьянов. М.: Высш. шк., 2005. - 335 с.

23. Дику cap, В. В. Качественные и численные методы в принципе максимума Текст. / В. В. Дикусар, А. А. Милютин. М.: Наука, 1989. - 144 с.

24. Дмитриев, С. В. Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов Текст. / С. В. Дмитриев, К. В. Кето-ва, В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2005. -№2.-С. 81-87.

25. Дмитриев, С. В. Об эффективном взаимодействии генетического алгоритма и метода Хука Дживса для решения многомерных задач оптимизации Текст. / С. В. Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2007. -№1 - С. 58-63.

26. Дмитриев, С. В. Применение прямых методов оптимизации в гибридном генетическом алгоритме Текст. / С. В. Дмитриев, В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2005. - № 2. - С. 11-22.

27. Дыхта, В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями Текст. / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000. -256 с.

28. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации Текст. / Ю. Г. Евтушенко. М. : Наука, 1982.-432 с.

29. Жиглявский, А. А. Методы поиска глобального экстремума Текст. / А. А. Жиглявский, А. Г. Жилинскас. М.: Наука, 1991. - 248 с.

30. Иванилов, Ю. П. Математические модели в экономике Текст. / Ю. П. Иванилов, А. В. Лотов. -М.: Наука, 1979.-304 с.

31. Иванов, 10. Н. Математическое описание элементов экономики Текст. / Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, А. П. Уздемир. М. : Физматлит, 1994. -416 с.

32. Ивченко, Б. П. Управление в экономических и социальных системах Текст. / Б. П. Ивченко, Л. А. Мартыщенко, М. Е. Табухов. СПб. : Нор-дмед-Издат, 2001. - 248 с.

33. Измаилов, А. Ф. Численные методы оптимизации Текст. : учеб. пособие / А. Ф. Измаилов, М. В. Солодов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.

34. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория Текст. / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 605 с.

35. История экономических учений Текст. : учеб. пособие / под ред. В. Ав-тономова, О. Ананьина, Н. Макашевой. М.: ИНФРА - М, 2003. - 784 с.

36. История экономических учений (современный этап) Текст. : учебник / под общ. ред. А. Г. Худокормова. М.: ИНФРА-М, 2002. - 733 с.

37. Кетова, К В. Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы Текст. / К. В. Кетова, С. В. Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета. -2006-№3. С.68-70.

38. Кетова, К В. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза Текст. : дис. . канд. физ.-мат. наук : 08.00.13 : защищена 12.11.04 / Кетова Каролина Вячеславовна. Ижевск, 2004.- 151 с.

39. Клейнер, Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение Текст. / Г. Б. Клейнер. М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

40. Кобринский, Н. Е. Введение в экономическую кибернетику Текст. / Н. Е. Кобринский, Е. 3. Майминас, А. Д. Смирнов. М. : Экономика, 1975. -343 с.

41. Колемаев, В. А. Математическая экономика Текст. : учебник для вузов / В. А. Колемаев. 3-е стереотип, изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 399 с.

42. Кротов, В. Ф. Методы и задачи оптимального управления Текст. / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман.- М.: Наука, 1973. 446 с.

43. Кузнецов, А. В. Математическое программирование Текст. / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод. Минск : Высш. шк., 1984. - 221 с.

44. Лесин, В. В, Основы методов оптимизации Текст. / В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец. М.: Изд-во МАИ, 1995. - 344 с.

45. Лукашин, Ю. Производственные функции в анализе мировой экономики Текст. / Ю. Лукашин, Л. Рахлина // Мировая экономика и международные отношения. 2004. - №1. - С. 17-27.

46. Люгер,Дж. Ф. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем Текст. / Дж. Ф. Люгер ; [пер. с англ. Н. И. Галагана и [и др.]]. 4-е изд. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. - 864 с.

47. Макаров, В. Л. Справочник экономического инструментария Текст. / В. Л. Макаров, Н. Е. Христолюбова, Е. Г. Яковенко. М. : Экономика, 2003. -515с.

48. Математическая теория оптимальных процессов Текст. / Л. С. Понтрягин [и др.]. М.: Наука, 1976. - 392 с.

49. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании Текст. / Е. Г. Гольштейн [и др.]; отв. ред. Е. Г. Голынтейн. М.: Наука, 1991.-448 с.

50. Миграция населения Удмуртской Республики Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. -Ижевск, 2001-2006.

51. Моделирование и оценка состояния медико-эколого-экономических систем Текст. / В. А. Батурин [и др.] ; под. ред. В. А. Батурина ; Рос. акад. наук, Сиб. отд-ние, Ин-т динамики сист. и теории управл. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2005. - 249 с.

52. Моделирование народнохозяйственных процессов Текст. : учеб. пособие / под ред. И. В. Котова. 2-е изд., испр. и доп. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1990. - 288 с.

53. Моисеев, Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем Текст. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1971.-424 с.

54. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем Текст. / Н. Н. Моисеев. -М.: Наука, 1975, 528 с.

55. Основы теории оптимального управления Текст. : учеб. пособие для экон. вузов / В. Ф. Кротов [и др.] ; под ред. В. Ф. Кротова. М. : Высшая школа, 1990.-430 с.

56. Паклин, Н. Б. Адаптивные модели нечеткого вывода для идентификации нелинейных зависимостей в сложных системах Текст. : дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 : защищена 25.06.04 / Паклин Николай Борисович. -Ижевск, 2004.-162 с.

57. Плакунов, М. К. Производственные функции в экономическом анализе Текст. / М. К. Плакунов, Р. Раяцкас. Вильнюс : Минтис, 1984. - 308 с.

58. Поляк, Б. Т. Введение в оптимизацию Текст. / Б. Т. Поляк. М. : Наука, 1983.-384 с.

59. Понтрягин, Л. С. Избранные научные труды Текст. В 3 т. Т. 2. Дифференциальные уравнения. Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры / отв. ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1988. -576 с.

60. Практикум по численным методам в задачах оптимального управления Текст. / В. В. Александров [и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 79 с.

61. Прикладная статистика. Основы эконометрики Текст. : учебник для вузов : в 2 т. 2-е изд., испр. - Т. 2 : Айвазян С. А. Основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 432 с.

62. Пшеничный, Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах Текст. / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 320 с.

63. Раяцкас, Р. Л. Количественный анализ в экономике Текст. / Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов. -М.: Наука, 1987. 392 с.

64. Российский статистический ежегодник Текст.: статистический сборник / Госкомстат России. М.: Статистика России, 2004. - 720 с.

65. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы Текст. / Д. Рутковская [и др.] ; пер. с польск. И. Д. Рудинского. -М.: Горячая линия Телеком, 2004. - 452 с.

66. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры Текст. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. 2-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

67. Слезингер, Г. Э. Социальная экономика Текст. : учебник / Г. Э. Слезин-гер. М.: Дело и Сервис, 2001. - 368 с.

68. Смертность населения в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. -Ижевск, 1997-2005.

69. Статистическое моделирование и прогнозирование Текст. : учеб. пособие для экон. спец. вузов / Г. М. Гамбаров [и др.]; под ред. А. Г. Гранбер-га. М.: Финансы и статистика, 1990. - 383 с.

70. Столерю, Л. Равновесие и экономический рост Текст. / J1. Столерю. -М.: Статистика, 1974. 472 с.

71. Тененев, В. А. Гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера Текст. / В. А. Тененев, Н. Б. Паклин // Интеллектуальные системы в производстве. 2003. -№ 2. - С. 181-206.

72. Тененев, В. А. Моделирование рационального поведения товаропроизводителей Текст. / В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2003. - № 2. - С. 181-206.

73. Тененев, В. А. Применение генетических алгоритмов с вещественным кроссовером для минимизации функций большой размерности Текст. / В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2006. -№ 1.-С. 93-107.

74. Терехов, Л. Л. Производственные функции Текст. / Л. Л. Терехов. М. : Статистика, 1974. - 128 с.

75. Терехов, Л. Л. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении Текст. / Л. Л. Терехов, В. А. Куценко, С. П. Сиднев. -Киев : Вища школа, 1984. 231 с.

76. Удмуртия в цифрах Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1998-2006.

77. Федоренко, Р. Я. Введение в вычислительную физику Текст. / Р. П. Фе-доренко. М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 528 с.

78. Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления Текст. / Р. П. Федоренко. М.: Наука, 1978. - 488 с.

79. Хачатрян, С. Р. Методы и модели решения экономических задач Текст.: учеб. пособие / С. Р. Хачатрян, М. В. Пинегина, В. П. Буянов. М. : Экзамен, 2005.-384 с.

80. Химмелъблау, Д. Анализ процессов статистическими методами Текст. / Д. Химмельблау ; пер. с англ. В. Д. Скаржинского ; под ред. В. Г. Горского. -М.: Мир, 1973.-960 с.

81. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование Текст. / Д. Химмельблау ; пер. с англ. И. М. Быковской [и др.] ; под ред. М. JI. Бы-ховского. М.: МИР, 1975. - 534 с.

82. Черноусько, Ф. JI. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы) Текст. / Ф. JI. Черноусько, Н. В. Баничук. М. : Наука, 1973.-238 с.

83. Численность и естественное движение населения в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1997-2005.

84. Численность населения по полу и возрасту в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1995-2006.

85. Экономико математический энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. В. И. Данилов-Данильян. - М. : Большая Рос. энцикл. : ИНФРА-М, 2003.-687 с.

86. Яблонский, А. И. Модели и методы исследования науки Текст. / А. И. Яблонский. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 400 с.

87. Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем Текст. : учеб. пособие / Н. Г. Ярушкина. М. : Финансы и статистика, 2004. -320 с.

88. Blickle, T. A comparison of selection schemes used in evolutionary algorithms Text. / T. Blickle, L. Thiele // Evolutionary Computation. 1996. - Vol. 4, N4.-P.361-394.

89. Cantu-Paz, E. A Summary of Research on Parallel Genetic Algorithms Text. /

90. E. Cantu-Paz // UliGAL report no. 95007, University of Illinois at Urbana-Champaign, July 1995. 18 p.

91. Daridi, F. Parameterless Genetic Algorithms: Review and Innovation Text. /

92. F. Daridi, N. Kharma, J. Salik // IEEE Canadian Review On-line. 2004. - P. 19-23.

93. Deb, K. Simulated binary crossover for continuous search space Text. / K. Deb, S. Agrawal // Complex Systems. 1995. - Vol. 9, N 2. - P. 115-148.

94. Harik, G. R. A parameter-less genetic algorithm Text. / G. R. Harik, F. G. Lobo I I UliGAL report no. 99009, University of Illinois at Urbana-Champaign, January 1999. 14 p.

95. Herrera, F. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behaviour analysis Text. / F. Herrera, M. Lozano, J. L. Verdegay // Artificial Intelligence Review. 1998. - Vol. 12, N 4. - P. 265-319.

96. Jones, C.I. Too Much of a Good Thing? The Economics of Investment in R&D Text. / С. I. Jones, J. C. Williams // Journal of Economic Growth. -2000. Vol. 5, N1.-P. 65-85.

97. Keely, L. C. Pursuing Problems in Growth Text. / L. C. Keely // Journal of Economic Growth. 2002. - Vol. 7, N 3. - P. 283-308.

98. Miihlenbein, H. Predictive Models for the Breeder Genetic Algorithm: I. Continuous Parameter Optimization Text. / H. Miihlenbein, D. Schlierkamp-Voosen // Evolutionary Computation. 1993. - Vol. 1, N 1. - P. 25-49.

99. Ramos, V. On Ants, Bacteria and Dynamic Environments Text. / V. Ramos, C. Fernandes, A. C. Rosa // Natural Computing and Applications Workshop. -IEEE Computer Press, 2005. 8 p.

100. Simdes, A. B. Transposition versus Crossover: An Empirical Study Text. / A. B. Simes, E. Costa // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO'99). Orlando, Florida, USA : Morgan Kaufmann, 1999.-P. 612-619.

101. Spears, W. M. An Analysis of Multi-Point Crossover Text. / W. M. Spears, K. A. De Jong // Foundations of Genetic Algorithms. San Mateo, California, USA : Morgan Kaufmann Publishers, 1991. - P. 301-315.