Вычислительные технологии поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления с параллелепипедными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Зароднюк, Татьяна Сергеевна

• Зароднюк, Татьяна Сергеевна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Зароднюк, Татьяна Сергеевна

Введение

Глава 1. Невыпуклые задачи оптимального управления

1.1. Описание постановок рассматриваемых задач.

1.1.1. Невыпуклая задача оптимального управления с параллелепипедными ограничениями на управление.

1.1.2. Задача аппроксимации множества достижимости.

1.1.3. Задача безусловной минимизации и одномерного поиска.

1.2. Обзор работ по методам решения невыпуклых задач оптимизации динамических систем.:.

1.3. Обзор работ по вычислительным технологиям решения задач оптимального управления.

1.4. Условия применимости разработанных вычислительных технологий.

1.4.1. Ограничения на управления.

1.4.2. Ограничения на правые части системы дифференциальных уравнений.

1.4.3. Ограничения на целевой функционал.

1.4.4. Условие оптимальности.

Глава 2. Нелокальные алгоритмы поиска оптимального управления

2.1. Методы и алгоритмы поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления.

2.1.1. Методы генерации случайных допустимых управлений.

2.1.2. Метод криволинейного поиска.

2.1.3. Метод туннельного типа.

2.2. Методики оптимизации управляемых динамических систем.

2.2.1. Методика последовательной дискретизации.

2.2.2. Методика оценки глобального экстремума целевого функционала.

Глава 3. Программное обеспечение ОРТСО]Ч-1П 51 3.1. Постановка задачи для ОРТСОИ-Ш.

3.1.1. Стандартные типы постановок задач.

3.1.2. Описание математической постановки задачи с помощью форм Бэкуса - Наура.

3.1.3. Язык программной постановки задачи.

3.1.4. Технологическая постановка задачи для ОРТСОМ-Ш.

3.2. Архитектура и вычислительное ядро ОРТСОМ-Ш.

3.3. Сравнительный анализ качества разработанного программного обеспечения

3.4. Результаты сравнительного анализа.

Глава 4. Тестирование алгоритмов и решение прикладных задач

4.1. Методики тестирования алгоритмов.

4.2. Коллекция тестовых задач оптимального управления.

4.3. Тестирование методов решения задач оптимального управления.

4.4 Тестирование методов решения задач безусловной минимизации и одномерного поиска.

4.5 Решение прикладных задач.

4.5.1. Исследование квантовых логических операций в наноструктурах с квантовыми точками.

4.5.2. Задача оценки влияния факторов природной и социальной среды на здоровье населения.

4.5.3. Модель динамики уровня смертности населения Республики Бурятия трудоспособного возраста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные технологии поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления с параллелепипедными ограничениями»

Актуальность выполненной работы определяется тремя существенными факторами. Первый из них заключается в значимости исследования систем управления сложными техническими и социально-экономическими объектами, в необходимости повышения эффективности, надежности и качества таких систем. Динамика процессов в этих системах обычно описывается с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, а целенаправленное воздействие человека формализуется в виде управляющих функций. Исследование данных объектов может осуществляться путем постановки и решения задач оптимального управления (ЗОУ).

Критерий качества управления рассматриваемыми объектами — целевой функционал в ЗОУ - во многих случаях является невыпуклым, что приводит к неединственности решения и обусловливает второй фактор актуальности темы работы, заключающийся в востребованности вычислительных технологий для исследования многоэкстремальных задач оптимального управления. Разработка теоретических подходов к решению ЗОУ проводилась рядом специалистов, среди которых А.П. Афанасьев, В.А. Батурин, Р. Беллман, А. Брайсон, О.В. Васильев, С.Н. Васильев, Р. Габасов, В.И. Гурман, В.В. Дикусар, В.А. Дыхта, Ю.Г. Евтушенко, Ю.М. Ермольев, Ф.М. Кириллова, Ф. Кларк, H.H. Красовский, В.Ф. Кротов, H.H. Моисеев, Б.Ш. Мордухович, Э. Полак, JI.C. Понтрягин, В.А. Срочко, A.A. Толстоногое, Р.П. Федоренко, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, Т.М. Энеев и многие другие. В теории логико-динамических систем и интеллектного управления значимые результаты по исследованию и проектированию управляемых систем получены в работах В.М. Матросова, С.Н. Васильева и их учеников. Созданию алгоритмов исследования конечномерных задач глобальной оптимизации посвящены работы В.П. Булатова, В.П. Гергеля, Ю.Г. Евтушенко, A.A. Жиглявского, А.Г. Жилинскаса, Й.Б. Моцкуса, С.А. Пиявского, Б.Т. Поляка, А.И. Рубана, Я.Д. Сергеева, A.C. Стрекаловского, Р.Г. Стронгина, О.В. Хамисова, С.П. Шарого, С. Floudas, R. Horst, P. Pardalos, A. Torn, H. Tuy и других авторов. Для невыпуклых задач оптимального управления объем опубликованных алгоритмов значительно скромнее: работы K.JI. Тео, И.Л. Лопез-Круза, А.Ю. Горнова. Задача создания эффективных и надежных вычислительных технологий решения невыпуклых ЗОУ и соответствующего программного обеспечения продолжает оставаться актуальной.

Третий фактор, определяющий актуальность темы диссертационной работы, связан с объективной трудностью сравнения разных подходов к решению задач рассматриваемого типа, получения количественных оценок свойств алгоритмов и программных средств. Основным методом экспериментальной оценки эффективности алгоритмов оптимизации и соответствующего программного обеспечения является тестирование. В основе всех известных методик тестирования лежат коллекции тестовых задач. Широко известны тестовые коллекции задач математического программирования, авторами которых являются J.T. Betts, A.R. Colville, R.S. Dembo, С. Floudas, D.M. Himmelblau, W. Hock, A. Miele, J.J. More, P. Pardalos, К. Schittkowski и другие. Однако в области оптимизации динамических систем в настоящее время не существует таких единых общепризнанных коллекций. В диссертационной работе представлены методики сравнения алгоритмов и соответствующих программных средств, основанные на разработанной тестовой коллекции невыпуклых задач оптимального управления.

Основной целью диссертации является разработка вычислительных технологий решения невыпуклых задач оптимального управления с параллеI лепипедными ограничениями, реализация соответствующего специального программного обеспечения и его применение при решении прикладных задач оптимизации управляемых динамических систем.

Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. Разработка новых эвристических алгоритмов решения невыпуклых задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями на управление.

2. Разработка и тестирование вычислительных технологий поиска глобального экстремума в ЗОУ.

3. Формирование коллекции невыпуклых тестовых задач оптимального управления для оценки и сравнения вычислительных технологий.

4. Применение разработанных вычислительных технологий для решения практических задач из различных областей науки и техники.

Рассматриваемые классы задач. Объектом исследования являются управляемые динамические процессы, описываемые нелинейными задачами оптимального управления с параллелепипедными ограничениями и невыпуклыми функционалами. В качестве вспомогательной задачи выступает задача безусловной минимизации, решение которой, в свою очередь, основывается на методах поиска экстремума невыпуклой одномерной функции.

Методы исследования. Используются методы теории оптимального управления, численного анализа, конечномерной оптимизации и математического программирования.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм криволинейного поиска, основанный на нелокальных вариациях в пространстве управлений, использующий глобальный одномерный поиск вдоль кривых на множестве достижимости в ЗОУ, и алгоритм туннельного типа, позволяющий переходить из одного локального экстремума в другой с лучшим значением целевого функционала.

2. Разработаны вычислительные технологии решения невыпуклых ЗОУ, реализованные в специальном программном обеспечении ОРТССШ-Ш, в котором предусмотрена возможность формирования различных схем численного решения за счет выбора комбинаций методов и значений их алгоритмических параметров.

3. Создана тестовая коллекция невыпуклых задач оптимального управления, ориентированная на сравнение, оценку эффективности и исследование свойств программного обеспечения задач оптимизации управляемых динамических систем.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм криволинейного поиска, использующий процедуру нахождения глобального экстремума невыпуклого функционала вдоль кривых на множестве достижимости и алгоритм туннельного типа, включающий фазу локального спуска и туннельную фазу для улучшения управления.

2. Вычислительные технологии оптимизации, позволяющие формировать эффективные схемы численного решения ЗОУ с параллелепипедными ограничениями.

3. Тестовая коллекция невыпуклых ЗОУ, ориентированная на проведение сравнения и исследование свойств разработанных алгоритмов.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в полученных решениях прикладных задач оптимизации: задачи оптимального управления квантовыми переходами в системе квантовых точек, анализе и прогнозировании заболеваемости населения городов Иркутской области, задачи оптимизации инвестиционных программ республики Бурятия; а также в создании коллекции невыпуклых ЗОУ, позволяющей проводить сравнение и оценку эффективности алгоритмов и специальных программных средств.

Внедрение. Исследования по теме диссертации проводились автором в течение 2003-2011 гг. в рамках плановых проектов ИДСТУ СО РАН, а также в рамках проектов РФФИ № 02-07-90343, № 06-07-89215 и № 09-07-00267,

РГНФ № 04-02-00271 и № 09-02-00650, проекта Иркутской областной администрации «Медико-экономический прогноз развития трудовых ресурсов промышленных центров Иркутской области», проекта № 20.10 программы Президиума РАН и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 43 «Разработка физических принципов построения логических элементов на основе наноструктур с квантовыми точками».

Личный вклад автора. Все результаты диссертационной работы получены Т.С. Зароднюк самостоятельно. Программные реализации разработанных алгоритмов и методик выполнены автором лично. Из совместных работ, опубликованных в соавторстве, в диссертации использованы результаты, полученные автором.

Апробация диссертационной работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Байкальских международных школах-семинарах «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск - г. Северобайкальск, 2005, 2008); Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» (г. Екатеринбург, 2007); Российской конференции «Дискретная оптимизация и исследование операций» (г. Владивосток, 2007); Всероссийском семинаре «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных» (г. Красноярск, 2007); Байкальских Всероссийских конференциях «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (г. Иркутск, 2005-2010); Международных симпозиумах «Обобщенные решения в задачах управления» (г. Улан-Удэ, 2006, 2008); Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г. Иркутск, 2007); Школах-семинарах молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Иркутск, 2003, 2005, 2007, 2010); Конференциях «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (г. Иркутск, 2007-2010); Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (г. Иркутск, 2009);

Всероссийских школах-семинарах молодых ученых «Информационные технологии и моделирование социальных эколого-экономических систем» (г. Иркутск - п. Ханх, Монголия, 2008, 2009); Международной конференции «Оптимизация и приложения» — ОРТ1МА-2009 (г. Петровац, Черногория, 2009); II Международной школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, 2010 г); Международной конференции по оптимизации, моделированию и управлению — С08С-2010 (Улан-Батор, Монголия, 2010).

Основные результаты работы на разных этапах ее выполнения обсуждались в ведущих научных организациях: Институте программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), Сибирском федеральном университете (г. Красноярск), Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ), Институте систем энергетики им. Л.А. Меленть-ева СО РАН (г. Иркутск) и Иркутском государственном университете.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы из 152 наименований. Общий объем работы составляет 138 страниц, в тексте содержится 14 таблиц и 20 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Зароднюк, Татьяна Сергеевна

Основные результаты и выводы

1. Разработаны алгоритм криволинейного поиска, использующий процедуру нахождения глобального экстремума невыпуклого функционала вдоль кривых на множестве достижимости, и алгоритм туннельного типа, включающий фазу локального спуска в ближайший экстремум и туннельную фазу для поиска улучшения функционала.

2. Разработаны вычислительные технологии, составившие основу программного средства 0РТС01чГ-Ш, в котором предусмотрена возможность формирования различных схем численного решения за счет выбора методов и значений их алгоритмических параметров.

3. Сформирована тестовая коллекция невыпуклых ЗОУ, с помощью которой проведено сравнение и исследование свойств программных реализаций разработанных алгоритмов.

4. Исследована управляемая динамическая система, описывающая процесс перемещения элементарных частиц в системе двух вертикально совмещенных слоев туннельно-связанных полупроводниковых квантовых точек. Определена форма управляющего импульса напряжения для проведения квантовой логической операции информационного обмена.

5. Решены задачи из областей медицины и технической экологии: определена зависимость показателей смертности и обращаемости за медицинской помощью от инвестиционных программ республики Бурятия и проведен анализ вклада наиболее влиятельных факторов на здоровье населения городов Иркутской области.

Разработанные вычислительные технологии, составившие основу программного средства ОРТС(Ж-Ш, успешно применены для исследования содержательных и прикладных задач оптимизации из областей технической экологии, медицины и нанофизики.

Полученные результаты использованы в следующих проектах

1. РФФИ № 02-07-90343 «1гйегпе1;-технология поддержки удаленного пользователя пакета прикладных программ ОРТССЖ-2 для решения сложных задач оптимального управления» (2002-2003 гг.);

2. РФФИ № 06-07-89215 «Информационно-вычислительная система для экспертной поддержки пользователей математических пакетов, применяемых в слабоформализованных предметных областях (медицина, биология, геология, география)» (2006-2008 гг.);

3. РФФИ № 09-07-00267 «Вычислительные технологии интеллектуального анализа временных рядов на основе математических методов теории управления» (2009-2011 гг.);

4. РГНФ № 09-02-00650 «Разработка компьютеризованных методик для исследования социально значимых медико-экологических проблем региона» (2009-2010 гг.);

5. Проект Иркутской областной администрации «Медико-экономический прогноз развития трудовых ресурсов промышленных центров Иркутской области»;

6. Проект № 20.10 программы Президиума РАН «Исследование разномасштабных гидрофизических процессов и их изменчивости, как основных факторов тепло- и массопереноса в экосистеме озера Байкал».

7. Междисциплинарный интеграционный проект СО РАН № 43 «Разработка физических принципов построения логических элементов на основе наноструктур с квантовыми точками».

В диссертационной работе достигнута заявленная цель, поставленные задачи решены. Основным результатом исследования являются разработанные вычислительные технологии, позволяющие решать невыпуклые задачи оптимального управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Зароднюк, Татьяна Сергеевна, 2011 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М., 1979.430 с.

2. Антипин A.C. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования // Вопросы кибернетики. Вычислительные вопросы анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» РАН, 1989. С. 5—43.

3. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003. 614 с.

5. Ащепков J1.T. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. 227 с.

6. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Сов. Радио, 1975. 216 с.

7. Батурин В.А., Гончарова Е.В. Метод улучшения, основанный на приближенном представлении множества достижимости. Теорема о релаксации // Автоматика и телемеханика. 1999. № 11. С. 19-29.

8. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, Сиб. предприятие РАН, 1997. 175 с.

9. Беллман Р. Динамические программирование. М.: Наука, 1976. 352 с.

10. Беллман Р., Кабала Р. Динамические программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

11. Бокмельдер Е.П., Дькович М.Н., Ефимова Н.В., Горнов А.Ю., Зароднюк Т.С. Опыт применения моделей динамических систем при решении медико-социальных и медико-экологических задач // Информатика и системы управления, 2010. № 2(24). С. 161-164.

12. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов // «Доклады Академии наук СССР». 1956. Т. 110. № 1. С. 7-10.

13. Валиев К.А., Кокин A.A. Квантовые компьютеры. Надежды и реальность. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 320 с.

14. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. 344 с.

15. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1990. 148 с.

16. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1376-1384.

17. Васильев С.Н., Черкашин Е.А. Интеллектное управление телескопом // Сиб. журн. индустр. матем., 1:2 (1998). С. 81-98.

18. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. 374 с.

19. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

20. Вилков A.B., Жидков Н.П., Щедрин Б.М. Метод отыскания глобального минимума функции одного переменного // ЖВМиМФ. 1975. № 4. С. 1040-1042. '

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1973. 340 с.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1. Численные задачи. Минск: Университетское, 1984 214 с.

23. Габасов Р., Тятюшкин А.И., Жолудев А.И. и др. Пакет прикладных программ «Математическое программирование многомерных задач» // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл. М.: ВНТИЦ. 1986. №2 (71). С. 33.

24. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 1996. 276 с.

25. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009. 279 с.

26. Горнов А.Ю. Реализация метода случайного мультистарта для задачи оптимального управления. // «Ляпуновские чтения». Тез. докл. Иркутск, 2003, с. 38.

27. Горнов А.Ю. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестн. ИрГТУ. 2004. № 1(17). С. 148— 153.

28. Горнов А.Ю. Технология решения задач оптимизации непрерывных динамических систем, основанная на комплексе программ OPTCON // Моделирование неравновесных систем: Тез. докл. V Всерос. семинара. Красноярск, 18-20 октября, 2002. С. 50-51.

29. Горнов А.Ю., Диваков А.О. Комплекс программ OPTCON для решения задач оптимального управления. Руководство пользователя. Иркутск, 1990. 36 с.

30. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшктн А.И., Эринчек Н.М. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме // Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. Новосибирск: Наука, 1983. С. 3-17.

31. Горнов А.Ю., Зароднюк Т.С. Метод «криволинейного поиска» глобального экстремума в задаче оптимального управления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 3(23). С. 19-27.

32. Грачев Н.И., Фильков А.Н. Решение задач оптимального управления в системе ДИСО. М.: ВЦ АН СССР, 1986. 67 с.

33. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.304 с.

34. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1985. 288 с.

35. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983. 178 с.

36. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №3. С.416-423.

37. Демиденко Н.Д., Потапов В.И., Шокин Ю.И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 2006. 550 с.

38. Дикусар В.В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ», 2001. 55 с.

39. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 144 с.

40. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов // Сиб. матем. журнал. — 1994. Т. 35. № 1. - С. 70-82.

41. Дыхта В.А. Некоторые приложения неравенств Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2009. Т. 2. № 1. С. 183-196.

42. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 256 с.

43. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 440 с.

44. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применения в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

45. Евтушенко Ю.Г., Бурдаков О.П., Голиков А.И., Жадан В.Г., Потапов М.А. Диалоговый комплекс ДИСО. Раздел нелинейного программирования (версия 2) / ВЦ АН СССР. М., 1982. 88 с. Деп. в ВИНИТИ 01.06.1982, №2716-82.

46. Ершов А.Р., Хамисов О.В. Автоматическая глобальная оптимизация // Журн. Дискретный анализ и исследование операций. 2004. Т. 11. № 2. С. 45-68.

47. Ефимова Н.В., Горнов А.Ю., Зароднюк Т.С. Опыт использования искусственных нейронных сетей при прогнозировании заболеваемости населения // Экология человека. 2010. № 3. С. 3—7.

48. Ефимова Н.В., Рукавишников B.C., Зароднюк Т.С., Никифорова В.А. Разработка мер по сохранению здоровья в программах социально-экономического развития территорий // Гигиена и Санитария. 2007. № 5. С. 72-74.

49. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применения. Вильнюс, Мокслас, 1986. 166 с.

50. Жиглявский A.A., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука., 1991. 248 с.

51. Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численные методы оптимизации управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. №4. С. 14-31.

52. Зароднюк Т.С. Применение нелокальных методов поиска в задачах оптимального управления с приложением в энергетике // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». Иркутск: Издательство Иркут. гос. ун-та. 2007. Т. 1. С. 118-131.

53. Зароднюк Т.С. Алгоритмы поиска глобального экстремума невыпуклого функционала, основанные на свойстве скрытой выпуклости // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования. №11. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 240.

54. Зароднюк Т.С. Численное исследование свойств алгоритмов параметрического синтеза оптимального управления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Спецвыпуск. С. 96-100.

55. Зароднюк Т.С. Приближенный синтез оптимального управления в модельной энергетической задаче // Системные исследования в энергетике. Вып. 38. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. С. 187-193.

56. Зароднюк Т.С. Методика оценки минимума функционала в невыпуклой задаче оптимального управления // Моделирование неравновесных систем: Материалы XIII Всероссийского семинара. Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2010. С. 59-60.

57. Зароднюк Т.С., Горнов А.Ю. Технология поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 3(19). С. 70-76.

58. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. Москва: Изд-во иностранной литературы, 1963. 176 с.

59. Келли Г.Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 1965. С.101-116.

60. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

61. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. Т. 18. № 11. С. 960-970.

62. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука 1968. 476 с.

63. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений. I, II. Техн. кибернетика. 1975. № 5. С. 3-15; №6. С. 3-13.

64. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446 с.

65. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 160 168.

66. Крылов И.А, Черноусько Ф.Л. Алгоритмы метода последовательных приближений для задач оптимального управления // ЖВМ. 1972. № 1. С. 14-34.

67. Ливанцова T.C., Горнов А.Ю. Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления // Вестник ИрГТУ. 2006. Т. 3. № 2(26). С. 142-148.

68. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейной управляемой системы//ЖВМ. 1972. № 3. С. 785-788.

69. Любу шин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 147-159.

70. Массель Л.В., Болдырев Е.А., Горнов А.Ю. и др. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики / Под ред. Н.И. Воропая. Новосибирск: Наука, 2003. 320 с.

71. Миркес Е.М. Нейрокомпьютер. Проект стандарта Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 1998. 337 с.

72. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. Главная редакции физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. 424 с.

73. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 526 с.

74. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 351 с.

75. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1988. 360 с.

76. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1983. 222 с.

77. Нейроинформатика / А.Н. Горбань, B.JI. Дунин-Барковский, А.Н. Кир-дин и др. Новосибирск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1998. 296 с.

78. Орлов B.JL, Поляк Б.Т., Ребрий В.А., Третьяков Н.В. Опыт решения задач оптимального управления // Выч. Методы и программирование. 1967. Вып. 9. С. 179-192.

79. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

80. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

81. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 384 с.

82. Попов B.C., Федоренко Р.П. Комплекс программ для приближенного решения задач оптимального управления (описание применения). М.: ИПМ АН СССР, 1984. 56 с.

83. Попов B.C., Федоренко Р.П. О стандартной программе решения задач оптимального управления. М., 1983. 32 с. (Препринт / ИПМ АН СССР).

84. Рубан А.И. Глобальная оптимизация методом усреднения координат. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 302 с.

85. Святний В. А., Гоголенко С. Ю. Пщходи до класифшацп метод1в неперервноУ нелшшно'1 глобально'1 оштпзацп, 2007. 19 с. URL: http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/Npdntu/Pm/2007/07svagom.pdf.

86. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

87. Сергеев Я.Д., Квасов Д.Е. Диагональные методы глобальной оптимизации. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

88. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 160 с.

89. Стрекаловский A.C. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003. 356 с.

90. Гергель В.П., Стронгин Р.Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2003. 230 с.

91. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новособирск: Наука, 1986. 295 с.

92. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 2006. 343 с.

93. Тятюшкин А.И. 111111 КОНУС для оптимизации непрерывных управляемых систем // Пакеты прикладных программ: Опыт использования. М.: Наука, 1989. С. 63-83.

94. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992. 193 с.

95. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 127-133.

96. Уоссермен. Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика. М.: Мир, 1992. 184 с.

97. Федоренко Р.П. Метод проекции градиента в задачах оптимального управления // Препр. ИПМ АН СССР, 1975. 70 с.

98. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

99. Фельдбаум A.A. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 11. С. 712728.

100. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

101. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с.

102. Хрусталев М.М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем // Автоматика и Телемеханика. 1988. № 5. С. 62-70. № 7. С. 70-80.

103. Ченцов А.Г. Допустимые множества и их релаксации. I. Краевые задачи //Пермь: Перм.политех. ин-т, 1990. С. 185-196.

104. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с.

105. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 238 с.

106. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. Объёмистый трактат, 2010. 596 с. URL: http://www.nsc.ru/interval/.

107. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. 112 с.

108. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук А.Г., Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука, 1989. 167 с.

109. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления // Космические исследования. 1986. № 5. С. 651-669. 1

110. Betts J.T., Huffman W.P. Sparse optimal control software, SOCS, Boeing information and support services, Seattle, Washington, July 1997.

111. Craven B.D., Islam S.M.N. Computing optimal control on MATLAB the SCOM package and economic growth models in «Optimization and Related Topic», A, Rubinov & B. Glover (eds.) Kluwer, 2001. pp. 61-70.

112. Dixon L.C.W, Szego G.P. (Eds.) Towards Global Optimization. Amsterdam, North Holland, 1978. 363 p.

113. Dontchev A.L., Hager W.W. Euler approximation of the feasible set. mer. Funct. Anal, and Optimiz., 1994. 15(3&4). pp. 245-261.

114. Floudas C.A., Pardalos P.M. A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms. Springer-Verlag, 1990. 180 p.

115. Gornov A.Yu. On a Class of Algorithms for Constructing Internal Estimates of Reachable Set. // DIC-98. Proc. of the Int. Workshop, Sept. 7-11, 1998, Pereslavl-Zalessky. pp. 10-12.

116. Gornov A.Yu., Zarodnuk T.S. Optimal Control Problem: Heuristic Algorithm for Global Minimum // Proc. of the Second International Conference on Optimization and Control, Ulanbaatar, Mongolia, July 17-20, 2007. pp. 27-28.

117. Hock W., Schittkowski K. Test examples for nonlinear programming codes. Springer-Verland, 1981. 177 p.

118. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1996. 348 c.

119. Levy A.V., Montalvo A. The tunneling algorithm for the global minimization of functions. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6. pp. 15-29.

120. Lopez-Cruz I.L. PhD-Thesis: Efficient Evolutionary Algorithms for Optimal Control. June 2002. 122 p. »

121. Mayne D.O., Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control. JOTA. 1975. Vol. 16. № 3/4. pp. 277-301.

122. More J.J. Notes on optimization software. Nonlinear optimization. 1982, p. 339-352.

123. More J.J., Garbow B.S., Hillstrom K.E. Testing unconstrained optimization software. ACM Trans, on Math. Soft. 1981. № 7. pp. 17-41.

124. More R. E. Interval analysis. N. Y., Prentice-Hall, 1966.

125. Murtagh B.A., Saunders M.A. MINOS 5.5 User's Guide. Technical Report SOL 83-20R, Revised July 1998, Systems Optimization Laboratory, Department of Operations Research, Stanford University. 135 p.

126. Neumaier A. Rational functions with prescribed global and local minimizers. 2008. URL: http://solon.cma.univie.ac.at/~neum/.

127. Schittkowski K. Nonlinear programming codes. Berlin: Springer-Verlag, 1980. 242 p.

128. Schwartz A., Polak E., Chen Y.Q. RIOTS: a MATLAB toolbox solving optimal control problems. 1997. URL: http://www.accesscom.com/adam/RIOTS

129. Schweiger C.S., Floudas C.A. MINOPT: A software package for mixed-integer nonliear optimization. Princeton: Princeton University, 1996.

130. O. von Stryk. User's Guide for DIRCOL (version 2.1): a direct collocation method for the numerical solution of optimal control problems. Fachgebiet Simulation und Systemoptimierung (SIM), Technische Universität Darmstadt, 2000.

131. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A unified computational approach to optimal control problems. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. N.Y.: John Wiley & Sons, 1991.

132. Tjatjushkin A.I. Numerical methods for optimization of controlled systems // J. Stability and control: Theory and Applications. 2000. Vol. 3. N 2. pp. 150174.

133. Vasiliev O.V. Optimization methods. Florida: World Federation Publisher Comp., 1996.

134. Zarodnyuk T.S. The Tunnel-type Method for Solving Non-convex Optimal Control Problems // The International Conference on Optimization, Simulation and Control, Ulaanbaatar, Mongolia, 2010. p. 136.

135. Zhigljavsky A., Zilinskas A. Stochastic global optimization. Springer, New York, 2008. 271 p.