Разработка элементов параметрической теории определения динамических характеристик протяженных напряженных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Петров, Александр Александрович

• Петров, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петров, Александр Александрович

Введение.

1. Обзор основных теоретических представлений о колебаниях струны.

1.1. Линейная теория колебания струны.

1.1.1. Основные положения.

Г.1.2. Недостатки линейной теории колебания струны.

1.2. Нелинейная теория колебаний струны.

1.2.1. Нелинейное уравнение поперечных колебаний струны.

1.2.2. Уравнения колебаний струны в трехмерном пространстве.

1.2.3. Уравнение Кирхгофа.

1.3. Параметрические колебания струны.

1.3.1. Опыт Мельде.

1.3.2. Модуляция натяжения при колебании струны.

1.3.3. Возбуждение пространственных колебаний струны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка элементов параметрической теории определения динамических характеристик протяженных напряженных конструкций»

Диссертационная- работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных колебаний протяженных напряженных систем. Под последними, имеются в виду механические колебательные системы с распределенными; параметрами- находящиеся; под предварительным напряжением (струна, ' мембрана), ©уть» разработанного; подхода- заключается1 в линеаризации нелинейных уравнений' в частных, производных, описывающих динамику нелинейных колебательных систем, уравнениями; с переменными; коэффициентами- (параметрическими; уравнениями);. Разработанная- теория применяется; к моделированию колебаний струны, представляющей собой, самый1 простой- пример: распределенной системы.

Актуальность исследования. При расчете; и- проектировании акустических приборов: и систем; применяется подход, суть, которого заключается^ в том, что сложную механическую? колебательную; систему разделяют на , простые: подсистемы; (звенья). При этом- считается; что характеристики. системы определяются совокупностью характеристик входящих в нее звеньев: Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если: какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределеннуюшеханическую колебательную- систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя- представляющие: собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций; представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то часто она описывается, нелинейными уравнениями в частных производных. Это приводит к проблеме определения таких динамических характеристик конструкций; при которых нелинейные явления? пренебрежимо малы. Таким образом, актуальна задача: линеаризации нелинейных колебательных систем с распределеннымшпараметрами.

Кроме того, за последние годы. возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний- музыкальных, инструментов:.Решение такогорода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.

Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.

Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.

Основная цель исследования заключается в разработке метода перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным линейным уравнениям с переменными коэффициентами.

В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования: обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями; применить разработанный метод к описанию колебаний струны; обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории; обеспечить внедрение полученных результатов.

Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.

Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического,' системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта восьмого порядка, при вычислении спектров — алгоритм быстрого преобразования Фурье).

Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы: научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций, монографий отечественных и зарубежных авторов; результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов.

Научная новизна исследования.

1. Внесены уточнения в известные ранее нелинейные волновые уравнения, описывающие продольные и поперечные колебания струны.

2. Разработан метод перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным параметрическим волновым уравнениям.

3. Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях струны собственные колебания возбуждаются на субгармонических частотах внешней вынуждающей силы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается: согласованностью теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки; использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования; использованием традиционных методов измерений; соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям. V

Научная ценность результатов исследования: предложен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах; полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов.

Практическая значимость и реализация результатов работы.

Материалы диссертационной работы используются: в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»; в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов; в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного I университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПбГУКиТ в 2007 - 2010 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в виде депонированных рукописей и одна статья в периодическом издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22 страницах. Список литературы содержит 107 наименований.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Петров, Александр Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Рассмотрены основные теоретические представления о колебаниях струны, включающие в себя классическую линейную теорию, нелинейную теорию, параметрические колебания струны. Показано, что нелинейные уравнения получаются вследствие особенностей геометрии струны, в то время как закон упругости при выводе волновых уравнений используется в линейном виде. Кроме того, показано наличие взаимодействия между продольными и поперечными волнами в струне.

2. Указаны основные недостатки нелинейной теории колебания струны, которые заключаются в основном в следующем. Во-первых, деформации и ускорения, записанные в переменных Лагранжа, определены для различных точек континуума и не могут быть использованы одновременно в одном уравнении без соответствующих поправок. Во-вторых, известные нелинейные уравнения не учитывают, что упругие параметры деформированного тела отличаются от своих статических значений на величину, имеющую порядок деформации.

3. Впервые рассмотрены колебания струны с учетом изменения параметров в процессе колебаний. Уточнены нелинейные волновые уравнения продольных и поперечных колебаний струны.

4. Впервые поставлена и решена задача перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным параметрическим уравнениям. Разработанный метод перехода применен к нелинейному волновому уравнению Кирхгофа.

5. Проведено численное моделирование параметрического уравнения колебаний струны и системы уравнений продольных и поперечных волн в струне. Как показывают результаты моделирования, в струне могут возбуждаться собственные колебания, отсутствовавшие в начальных условиях.

6. Экспериментально подтверждено следствие параметрической теории колебания струны. При свободных колебаниях жестко заделанной с двух концов струны возможно параметрическое возбуждение собственных колебаний и кратных им обертонов, которые отсутствовали в начальных условиях.

7. Экспериментально подтверждается, что при вынужденных колебаниях возможно субгармоническое возбуждение собственных колебаний струны, как это и предсказывается параметрической теорией колебания струны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петров, Александр Александрович, 2011 год

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ - 1993, №4 - с. 87 - 92.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ 1996, №1 - с. 17 - 24.

3. Акуленко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ — 1997, № 1 — с. 19-28.

4. Алдошина И.А. Разработка методов расчета частотных и амплитудных характеристик призвуков в громкоговорителях// Труды ЛИКИ, 1976, вып. 28, — с. 71-80.

5. Алдошина И.А, Букашкина О.С., Товстик П.Е. Нелинейные параметрические колебания диафрагмы электродинамического громкоговорителя// Вестник СПбГУ — 2004, сер. 1, вып. 3 с. 70 — 80.

6. Андронов A.A., Леонтович М.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами// Ж. русс, физ.-хим. общ. (физ.) -1927, т. 59-с. 429-443.

7. Араманович Н.Т., Левин В.И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1969.

8. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений в частных производных// Изв. АН СССР сер. Матем. 1940, т. 4 - с. 17-26.

9. Ваганова H.A. Численно-аналитическое моделирование нелинейных процессов для нестационарных задач механики сплошной среды: автореф. дис.канд. физ.-мат. наук Екатеринбург, 2007.

10. Ю.Ваганова H.A., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120 с. 79-83.

11. Вайнштейн Ф.Л. Резонансные явления при вынужденных колебаниях натянутой упругой нити// В сб. Теор. механ. Строит, механ. Высш. матем. М., 1969-с. 72-78.

12. Вайнштейн Ф.Л. Параметрический резонанс при поперечных колебаниях натянутой упругой нити// В сб. Теор. механ. Строит, механ. Высш. матем. М., 1969 - с. 68 - 72.

13. Вахитов Ш.Я. Современные микрофоны. Теория, проектирование. -СПб.: СПбГУКиТ, 2003. 396 с.

14. М.Вахитов Ш.Я., ВахитовЯ.Ш. Электромеханические преобразователи и динамические микрофоны. СПб.: СПбГУКиТ, 2004. 134 с.

15. Вахитов Ш.Я. Применение системного подхода к расчету некоторых электроакустических параметров электродинамического громкоговорителя прямого излучения// в сб. «Факультету аудиовизуальной техники 75 лет» -СПб.: СПбГУКиТ, 2005. с. 42 - 47.

16. Винницкий A.C. Модулированные фильтры и следящий прием 4M сигналов. -М.: Советское радио, 1969, 548 с.

17. Витт A.A. К теории скрипичной струны// Ж. техн. физики 1936, т. 6, вып. 9 - с. 1459 - 1479.

18. ВиттА.А. Дополнение и поправка к моей работе «Колебания скрипичной струны»// Ж. техн. физики 1937, т. 7, вып. 5 - с. 542 - 545.

19. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, ч.1. — М.: Советское радио, 1957. 439 с.

20. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами// Ж. техн. Физики 1934, т. 4, вып. 10; 1935, т. 5, вып. 2,3.

21. Демьянов Ю. А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити// докл. РАН — 1993, т. 57, №4 с. 146 - 149.

22. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебания музыкальных струн// докл. РАН 1999, т. 3 69, № 4 - с. 461 - 465.

23. Демьянов Ю. А. Постановка задачи взаимодействия струны с возбудителем ее колебаний// докл. РАН 2000, т. 372, №6 — с. 743 - 748.

24. Демьянов Ю. А., Малашин A.A. О взаимосвязи волновых и колебательных процессов в струнах с манерой игры исполнителя// докл. РАН -2002, т. 387, №3 с. 333 - 337.

25. Демьянов Ю.А. Уточнение теории колебания мембран// докл. РАН —2002, т. 387, № 2 с. 168 - 174.

26. Демьянов Ю.А., Кокарева Д.В., Малашин A.A. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных струнах// докл. РАН2003, т. 67, №2 с. 272 - 282.

27. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: СПбГПУ, 2003. 336 с. 28.3аездпый А.М. Основы расчета нелинейных и параметрическихрадиотехнических цепей. — М.: Связь, 1973. 448 с.

28. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.

29. Майзель А.Б., Вахитов Я.Ш., Щевьев Ю.П. Вибрация и шум механизмов и аппаратов. СПб.: СПбГУКиТ, 2006, 116 с.

30. Мак-Лахлан Н. Теория и приложения функций Матье. — М.: ИЛ, 1953.

31. Малышев А.П. Численное моделирование вынужденных нелинейных колебаний нити// Изв. АН. МТТ 2008, №5 - с. 32 - 38.

32. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972.470 с.

33. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 240с.

34. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988. 392 с.

35. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

36. Муницын А.И. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством// Изв. АН. МТТ 2001, №2 - с. 24 - 30.

37. Найфэ А. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. 456 с.41.0бморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276с.

38. Похожаев С.И. О классе квазилинейных гиперболических уравнений// Математический сборник — 1975, т. 96 — с. 152 166.

39. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984. 432 с.

40. Рахматуллин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. -М.: Физматгиз, 1961. 399 с.

41. Рахматуллин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения// ПММ — 1945, т. 9, №6 — с. 449 — 462.

42. Римский-Корсаков A.B. Спектр энергии фортепианной струны, возбужденной молотком//Ж. техн. физики — 1937, т. 7, вып. 1-е. 225 -241.

43. Римский-Корсаков A.B. Спектр энергии, текущей от струны в1 деку щипкового музыкального инструмента// Ж. техн. физики — 1937, т. 7, вып. 2. .

44. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны// Вестн. МГУ Сер.1. Матем., мех. 1984, №2 - с. 9 - 13.

45. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978.

46. Скучик Е. Основы акустики, т.2. — М.:ИЛ, 1959. — 565 с.

47. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. 558 с.

48. Степанов В.В. О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы// ПММ — 1950, т. 14, № 3-е. 311-312.

49. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей) Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955.

50. Сухоручкин Д.А. О прецессии стоячей волны в струне с закрепленными концами// Изв. АН. МТТ — 2007, №1 — с. 15 22.

51. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985.-472 с.

52. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Учебное пособие для университетов. — М.: Наука, 1972. — 736 с.

53. Уваров В.К., Петров А.А. Исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях простой механической колебательной системы с сосредоточенными параметрами. Деп.рук. №192-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

54. Уваров В.К., Петров А.А. Экспериментальное исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях струны. Деп.рук. №194-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

55. Уваров В.К., Петров А.А. Экспериментальное исследование параметрических явлений при свободных колебаниях струны. Деп.рук. №193-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

56. Харкевич А.А. Теория электроакустических аппаратов. — М., 1940. —364 с.

57. Черняк В.Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. — М.: Физматлит, 2006. 352 с.

58. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: ИЛ, 1978. 336 с.

59. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. -М.: Наука, 1977.

60. Anand G.V. Nonlinear resonance in stretched strings with viscous damping// Journal of the Acoustical Society of America 1966, v. 40, № 6 - p. 1417 - 1528.

61. Anand G.V. Large-amplitude damped free vibration of a stretched string// Journal of the Acoustical Society of America, v. 45(5), 1969.

62. Baldi P. Periodic solutions of forced Kirchhoff equations// arXiv:math/0701394v 1 math.AP. 14 Jan 2007.

63. Вапк В., Sujbert L. Efficient Modeling Strategies for the Geometric Nonlinearities of Musical Instrument Strings// Proceedings of the Forum Acusticum, Budapest, Aug. 2005.

64. Bank В., Sujbert L. Generation of longitudinal vibrations in piano strings: From physics to sound synthesis// Journal of the Acoustical Society of America -2005, v. 117, № 4 p. 2268 - 2278.

65. Carrier G.F. On the nonlinear vibration problem of the elastic string// Quarterly of Applied Mathematics 1945, v. 3, № 2 - p. 157 - 165.

66. Carrier G.F. A note on the vibrating string// Quarterly of Applied Mathematics 1949, v. 7 - p. 97 - 101.

67. Cole J.D., Dougherty C.B., Huth J.H. Constant-strain waves in string// Journal of Applied Mechanics 1953, v. 20, № 12 - p. 519 - 522.

68. Conklin H. Design and tone in the mechanoacoustic piano, part III. Piano strings and scale design// Journal of the Acoustical Society of America 1996, v. 100 (3)-p. 1286- 1298.

69. Dickey R.W. Stability of periodic solutions of the nonlinear string// Quart. Of Appl. Math. 1980, №7 - p. 253 - 259.

70. Elliot J.A. Intrinsic nonlinear effects in vibrating strings// American Journal of Physics 1980, v. 48 - p. 478 - 480.

71. Elliot J.A. Nonlinear resonance in vibrating strings// American Journal of Physics 1982, v. 50 - p. 1148 - 1150.

72. Erkut C. Aspects in analysis and model-based sound synthesis of plucked string instruments: PhD thesis, Laboratory of Acoustics and Audio Signal Processing, Helsinki University of Technology, 2002.

73. Gottlieb H.P.W. Non-linear vibration of a constant-tension string// Journal of Sound and Vibration 1990, v. 143, № 3 - p. 455 - 460.

74. Gottlieb H.P.W. Non-linear, non-planar transverse free vibrations of a constant-tension string// Journal of Sound and Vibration — 1996, v. 191, № 4 p. 563 -575.

75. Gough C.E. The mass-loaded and nonlinear vibrating string problem revisited// Eur. J. Phys. 2000, v. 21 - p. 11-14.

76. Gough C.E. The nonlinear free vibration of a damped elastic string// Journal of the Acoustical Society of America 1984, v. 75 (6) - p. 1770 - 1776.

77. Feng Z.C. Does non-linear intermodal coupling occur in a vibrating string?// Journal of Sound and Vibration 1995, v. 182, № 5 - p. 809 - 812.

78. Kirchhoff G. Vorlesungen über Mechanik, 4. Leipzig, 1897.

79. Kurmyshev E.V. Transverse and longitudinal mode coupling in a free vibrating soft string// Physic Letters, sect. A 2003, v. 310 - p. 148 - 160.

80. Lee E.W. Non-linear forced vibration of a stretchaed string// British Journaljof Applied Physics 1957, v. 8, № 10 - p. 411 - 413.

81. Legge K.A., Fletcher N.H. Nonlinear generation of missing modes on a vibrating string// Journal of the Acoustical Society of America 1984, v. 76, № 1 — p. 5- 12.

82. Liu I-Shih, Rincon M.A. Effect of moving boundaries on the vibrating elastic string// Applied Numerical Mathematics 2003, v. 47, p. 159-172.

83. Melde F. Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers// Ann. Physik und Chemie 1859, B. 109 - S. 193 - 215.

84. Miles J. Resonant, non-planar motion of a stretched string// Journal of the Acoustical Society of America- 1984, v. 75 -p. 1505 1510.

85. Miles J. Stability of forced oscillations in the forced vibration of a damped string// Journal of the Acoustical Society of America 1965, v. 38 — p. 855 — 861.

86. Morse P.M., Ingard K.U. Theoretical Acoustics. New York: McGraw-Hill, 1968.

87. Murthy G.S., Ramakrishna B.S. Nonlinear character of resonance in stretched strings// Journal of the Acoustical Society of America — 1965, v. 38 p. 461 -471.

88. Narasimha R. Non-linear vibration of an elastic string// Journal of Sound and Vibration 1968, v. 8 (1) - p. 134 - 146.