Разработка двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами и их применение в задачах моделирования образования периодических наноструктур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лимонов, Александр Георгиевич

• Лимонов, Александр Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лимонов, Александр Георгиевич

Оглавление

Введение

Цель работы.

Жёсткие задачи.

Жёсткая устойчивость.

Численные методы для жёстких систем

Метод Розенброка.

Интерполяционные свойства схем.

Оценка погрешности

Символьные вычисления.

Пористый анодный оксид алюминия.

Уравнение Курамото-Сивашинского

Структура работы.

Публикации

Апробация работы.

1 Построение условий порядка

1.1 Запись в виде деревьев.

1.2 Разложение точного решения

1.3 Разложение численного решения.

1.3.1 Разложение первой стадии.

1.3.2 Разложение второй стадии.

1.4 Условия порядка.

1.5 Сходимость.

1.6 Обобщение двухстадийных схем Розенброка.

1.7 Барьер точности для двухстадийных схем Розенброка.

2 Вычисление коэффициентов схем и анализ устойчивости

2.1 Функция устойчивости.

2.2 Решение системы уравнений - условий порядка.

2.3 Коэффициенты схем и анализ функции устойчивости

3 Тестирование полученных схем и оценка погрешности

3.1 Априорная оценка погрешности.

3.2 Апостериорная оценка погрешности.

3.2.1 Пример 1. Проверка эффективного порядка точности.

3.2.2 Пример 2. Задача Протеро-Робинсона.

3.2.3 Пример 3. Задача Ван-Дер-Поля

3.3 Выводы.

4 Моделирование образования нанопор на поверхности оксида алюминия.

4.1 Математическая модель.

4.2 Численное решение.

4.2.1 Пространственная модель

4.2.2 Экспериментальное уточнение параметра аг.

4.3 Сравнение результатов моделирования с физическими экспериментами

4.3.1 Описание физического эксперимента.

4.3.2 Эксперимент 1.

4.3.3 Эксперимент 2.

4.3.4 Эксперимент 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами и их применение в задачах моделирования образования периодических наноструктур»

Цель работы

Цель данной работы - построение семейства двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами для численного решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Данная задача включает: разработку алгоритма символьных вычислений для получение системы уравнений - условий порядка, нахождение решений этой системы, вычисление коэффициентов схем и исследование свойств построенных схем.

Практической целью работы является моделирование процесса образования нанопор на поверхности оксида алюминия - одной из актуальных задач современной микроэлектроники.

Жёсткие задачи

Жёсткие системы ОДУ неизбежно возникают при математическом моделировании задач со многими диссипативными процессами, характерные скорости которых сильно различаются.

Например, при моделировании работы автомобильного или авиационного двигателя жестким участком является момент включения и выхода на установившийся режим работы. Точность при расчёте этого процесса важна не только для оптимизации потребления топлива, но и в первую очередь для обеспечения безопасной и надёжной работы двигателей.

Высокая точность при расчёте мощности ракетного двигателя является вполне обоснованным экономическим требованием. Так погрешность всего в 1% при расчёте тяги приводит к погрешности в 50% при вычислении массы полезного груза, который может данный ракетный двигатель вынести на орбиту.

Расчёт широкодиапазонной радиоаппаратуры приводит к жёсткой системе ОДУ. Любые нестационарные процессы в разветвлённых электрических цепях описываются дифференциально-алгебраической* системой законов Ома и Кирхгофа.

Моделирование процессов в химических и нейтронных реакторах приводит к задаче, где несколько реакций протекают одновременно с разной скоростью. Различие скорости протекания реакций хможет составлять 105 — Ю10 .

Дифференциально-алгебраическую систему можно трактовать, как задачу с бесконечной жёсткостью.

При решении начально-краевых задач для уравнений в частных производных часто применяют, так называемый, метод прямых. При этом все пространственные производные заменяют разностными аналогами. В результате каждое уравнение в частных производных заменятся на систему ОДУ для значений решения в узлах пространственной сетки. Получающиеся при такой замене система ОДУ большой размерности в большинстве случаев является очень жёсткой и требует применения специальных численных методов, пригодных для жёстких систем.

Исторически интерес к жёстким системам возник в середине XX в. при изучении уравнений химической кинетики с одновременным присутствием очень медленно и очень быстро протекающих химических реакций. Тогда неожиданно оказалось, что считавшиеся исключительно надёжными методы Рунге—Кутта [1] стали давать сбой при расчёте этих задач.

Строгого общепринятого математического определения жёстких ОДУ не существует. В 50-х годах Кёртиссом и Хиршфельдером[2] было предложено следующее определение жёстких систем: "Жёсткие уравнения - это уравнения, для которых определённые неявные методы, в частности ФДН, дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы"

Жёсткость системы ОДУ принято характеризовать в терминах собственных значений матрицы Якоби её правой части. Традиционно при численном решении большую сложность представляют задачи, в которых спектр матрицы Якоби правой части разделяется на две части, где жёсткая часть спектра имеет хотя бы одно собственное значение с большой по модулю и отрицательной реальной частью, а мягкая часть спектра имеет собственные значения, существенно меньшие по модулю. Рассмотрим систему ОДУ: t = fi(t,yuV2>-,yn), dy 2 dt

1) г = fn{t,yuy2, •••,Уп),

Без ограничения общности можно считать задачу (1) автономной (правая часть не зависит от времени £ явно), так как любая неавтономная задача может быть сведена к автономной задаче путём добавления в систему одного уравнения и увеличения размерности вектора у на 1. Перепишем систему (1) в автономной форме: f = 1\{УиУ2,---,Уп,Уп+1), f = Vli V2t •■•> Uní Уп+l))

Г = ín{t, Уи г/2, Уп, Уп+l),

У'Ч i i dt ~ -*->

2)

Далее в тексте везде будет применяться более компактная запись автономной задачи Коши (2) в векторной форме: y'(t) =/(Ут

V(to) =Уо

Здесь у - искомая вектор функция, a f(y(t)) - заданная вектор функция той же раз мерности.

3)

Жёсткая устойчивость

Традиционно принято исследовать поведение разностных схем для жёстких задач на примере задачи Далквиста.

V'(t) = Ay(i) m t> 0,7/(0) = 1.

Она с одной стороны достаточно проста, чтобы выписать точное решение, а с другой хорошо иллюстрирует типичные трудности, возникающие при численном решении жёстких систем. Решением этой задачи является y{t) = eAt, которое стремится к 0 при t —» оо, когда Re(А) < 0.

Для любой линейной схемы переход на следующий временной слой при решении задачи (4) имеет вид у = R(£)y, где /?,(<!;) называется функцией роста или функцией устойчивости зависящей от £ = А т.

Определение 1. Схема называется А-устойчивой, если |Д(0| < 1 при Re{0 < 0.

Это минимальное требование, предъявляемое к численным методам для решения жёстких задач. Если схема не обладает хотя бы А-устойчивостью, то она вообще не пригодна для жёстких задач. Но для большой жёсткости даже А-устойчивости оказывается недостаточно для надёжной работы численного метода. Желательно, чтобы при Яе(£) —> оо функция устойчивости также сильно затухала, иначе жёсткие компоненты хотя и будут демпфироваться, но достаточно медленно, что приведёт к длительному процессу стабилизации.

Определение 2. Метод называется L-устойчивым, если он является А-устойчивым и lim = 0. оо

Для оценки степени этого затухания вводят понятие Lp-устойчивости [3]. В этом случае функция устойчивости затухает пропорционально

Определение 3. Схема называется Lp-устпойчивой, если она является А-устойчивой и = при оо.

Как правило, жёсткий характер численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений проявляется не везде, а в некоторых областях, зависящих от конкретной постановки задачи. На жёстком участке ключевую роль играют свойства устойчивости схемы, на мягком участке - точность аппроксимации. Идеальным был бы метод, обладающий высоким порядком точности и удовлетворяющий повышенным требованиям к устойчивости.

Определение А-устойчивости, с одной стороны, слишком слабое, но, с другой стороны, оно слишком сильное, что многие не так уж плохие методы не являются А-устойчивыми [2]. Следующее определение сужает область устойчивости метода до сектора Sa = {£; |arc/(-OI < а, ^ф 0}.

Определение 4. Схема называется Аа-устойчивой, если < 1 при

Ksr(-OI < а.

Аналогично определению Аа-устойчивости, вводится определение Lpa-устойчивости:

Определение 5. Схема называется Lpa-устойчивой, если |i?(£)| < 1 для < оси R{0 = 0(ГР) при оо.

Численные методы для жёстких систем

Начиная с 50-х годов прошлого века, для жёстких задач стали создавать специальные неявные методы. Наиболее полный обзор методов решения жёстких систем содержится в монографии Э.Хайера и Г. Ваннера [2].

Итерационные методы

Среди неявных схем широко распространены схемы Рунге-Кутта (IRK - implicit Runge-Kutta methods). He все схемы IRK подходят для решения жёстких задач. Огромное число работ посвящено схемам IRK, в [2] дан всеобъемлющий обзор IRK методов, пригодных для жестких задач, выделены методы, являющиеся жёстко точными (тем самым пригодными для ДАУ).

Любой метод IRK для перехода на новый временной слой требует неоднократного решения системы, вообще говоря, нелинейных уравнений при помощи итераций ньютоновского типа. Для s-стадийного IRK минимальное число возникающих нелинейных систем s соответствует диагонально неявным методам (DIRK - diagonal implicit Runge-Kutta methods). Именно они чаще всего и используются на практике.

В [2] исследованы диапазоны параметров методов DIRK, при которых схемы являются А и L-устойчивыми.

Безитерационные методы

Наличие итераций сильно усложняет использование схем IRK, так как к проблемам устойчивости добавляется проблема сходимости итерационного процесса. Альтернатива, которая обходит эту трудность - это методы типа Розенброка ROS и Розенброка-Ваннера ROW [2]. В том числе развитию таких методов посвящены работы Е.А.Новикова [4], Н.Н.Калиткина [5], [6] и других авторов.

Формально эти схемы неявные, но итераций в них не возникает и число арифметических действий для перехода на новый временной слой фиксировано и заранее известно (как в явных схемах). За это безусловное преимущество эти схемы получили название явно-неявных или полуявных.

Среди одностадийных схем Розенброка выделяется схема с комплексным коэффициентом (CROS). К сожалению, эта схема до сих пор малоизвестна. Например, в классической монографии [2] она даже не упомянута. Применение схем типа Розенброка для интегрирования ДАУ рассмотрено в [7], но там также исследованы только схемы с действительными коэффициентами.

Многошаговые методы

Многошаговые методы положены в основу популярных программ Гира [8]. Коэффициенты многошаговых методов подбираются так, что бы (/-шаговый метод имел точность 0{rq). Переход на новый временной слой для этих методов не требует итераций.

Но можно показать, что многошаговые методы в лучшем случае лишь Lpa-устойчивы с малым значением р = т.е. по надёжности они сильно уступают ROS, ROW и IRK методам.

Метод Розенброка

Среди схем для жёстких систем дифференциальных уравнений стоит выделить схемы Розенброка. Схемы эти по сути неявные, но для перехода на новый временной слой нужно решать линейную систему уравнений с хорошо обусловленной матрицей, что позволяет избежать итераций.

Рассмотрим задачу Коши (3) для системы дифференциальных уравнений . Будем полагать, что функция f(t,y(t)) не менее четырёх* раз непрерывно дифференцируема в окрестности решения задачи Коши .

Схемы Розенброка одношаговые - для вычисления значения численного решения у на новом временном слое £ + г используется лишь значение у с текущего слоя ¿. Для 5-стадийной схемы переход на новый временной слой происходит по формулам: у = у + Re ( ¿ bmk,

771 — 1

Е - тат/у ( у + rRe ( £ amih m=l т-1 кт = т/ [у + тЛе £ Cmik 1 1 (5)

1 < т < 6-, где Е - единичная матрица, /у - матрица Якоби системы (3), а ат,Ьт,ат1 и ст/ - комплексные параметры, определяющие свойства схемы.

Использование комплексной арифметики требует большего числа арифметических операций для решения линейных систем в (5) по сравнению с действительной схемой. Но при выборе коэффициентов комплексной схемы имеется в два раза большее число степеней свободны, что позволяет построить схему более высокого порядка точности и большей надёжности, по сравнению с аналогичной действительной схемой.

Одностадийная комплексная схема (5) была предложена Розенброком в 1963 году [9] Уп+1 =Уп + Яе{к), ^

Е - та/у(уп)]к = т/(уп).

Больший но сравнению с действительными схемами объем вычислений стал в те годы непреодолимым препятствием для ее широкого распространения. Для современного уровня вычислительной техники на первый план уже давно выходит не объем вычислений, а надёжность и точность схемы. Одностадийная схема (6) при а = ^ обладает уникальным сочетанием свойств: она имеет максимальный для одностадийной схемы -второй порядок точности и обладает Ьр-устойчивостыо с максимальным для одностадийных схем р = 2.

Целью данной работы является построение комплексной схемы (5) с я = 2, обладающей максимально возможной точностью и устойчивостью. Формула перехода на новый

Для построения схемы порядка р функция должна быть непрерывно дифференцируема р раз. В данной работе будет построена схема 4-го порядка точности. временной слой для 2-х стадийной схемы Розенброка имеет вид:

Уп+1 = Уп + Яе{Ь\к1 + Ь2к2), где кг и к2 находятся из соответствующих систем линейных уравнений:

Е - та1/у(уп)]к1 = т/{уп), [Е - та2/у(уп + тЯе{а2\к\))]к2 = т/(уп + тЯе^к^).

8)

9)

Параметры ац, «2! Ь2, а2х и с2\ будут находиться из условий порядка и дополнительных условий устойчивости схемы. В дальнейшем сокращённо будем записывать параметры а и с без индексов.

Интерполяционные свойства схем

В работе [10] приведены примеры, когда небольшие нарушения интерполяционно-сти приводят к неустойчивой работе численных методов, поскольку при экстраполяции погрешность нарастает быстрее.

Для схем типа Розенброка (5) с действительным коэффициентами условия интерполяционное™ формулируются достаточно просто:

При вычислении с использованием схемы с комплексными коэффициентами, коэффициенты определённым образом перемножаются и от произведения берётся реальная часть. Все реальные части полученных произведений должны лежать в пределах от 0 до 1. В этом случае схема будет интерполяционной.

В данной работе при построении схем с использованием системы уравнений-условий порядка условия интерполяционности не будут учитываться явно. Но после нахождения коэффициентов необходимо проверить все полученные схемы на интерполяционность.

Оценка погрешности

Льюис Фрай Ричардсон показал, как по двум расчетам с шагами /г/2 и к по схеме р-ого порядка точности можно получить хорошую оценку погрешности, а также повысить точность результата. Этот способ не требовал знания производных точного решения, и давал апостериорную оценку.Систематическое изложение этого метода для различных классов задач можно найти в монографии Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова [11].

Так же асимптотически точную оценку погрешности можно получить с помощью метода Эйткена [12], проведя расчёт на трёх сетках с шагами и/а,к/2 и и. В этом случае, в отличие от метода Ричардсона, не нужно знать порядок точности метода.

Позднее такие процедуры были построены для произвольного числа расчётов на последовательно сгущающихся сетках. Они позволяют получать результат, по погрешности эквивалентный расчёту со схемой гораздо более высокого порядка точности, чем исходная схема Общие формулы такого расчёта сравнительно громоздки. Но Ромберг

0 < ат < 1,0 < Ьт < 1,0 < ат1 < 1,0 < с™, < 1.

10) в 1955 г. нашёл простой вариант этих формул, если при каждом очередном сгущении шаг сетки уменьшается ровно вдвое.

Эти методы применимы практически к любым задачам с сеточным представлением функции - к интерполяции, численному дифференцированию, численному интегрированию, решению задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, задач для уравнений в частных производных, для интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Более того, до сих пор это единственный способ получить для сеточных решений асимптотически точную оценку погрешности. Они служат надёжной основой для построения программ с контролем точности. Однако классическая формулировка этого метода рассчитана на равномерные сетки. Практические же расчёты зачастую требуют неравномерных сеток, адаптированных к конкретным задачам. В монографии [13] рассмотрен важный класс неравномерных сеток - квазиравномерные сетки, на который метод сгущения полностью распространяется.

Теория апостериорных методов оценки погрешности для уравнений в частных производных быстро развивается в последние годы. Среди этих методов можно выделить метод невязок, метод осреднения градиента и метод двойственных мажорант.

В методе невязок погрешность приближённого решения оценивается через норму невязки в пространстве образов оператора соответствующей краевой задачи.

Метод осреднения градиентов применяется, когда точное решение задачи обладает повышенной гладкостью. В этом случае разность между градиентом приближённого решения и осреднением этого градиента может служить индикатором ошибки.

Метод двойственных мажорант основан на получении апостериорных оценок функционального типа. Получаемая мажоранта ошибки является функционалом, зависящим от приближённого решения и новой дополнительной переменной. Получение хорошей оценки требует тщательного выбора этой переменой, что приводит к дополнительным вычислительным затратам.

Указанные методы можно использовать для построения адаптивных алгоритмов, когда сетка последовательно улучшается на основе информации, полученной на предыдущей сетке. Эти методы можно использовать на неравномерных и неструктурированных сетках, а также для задач, точное решение которых не обладает высокой гладкостью. В этом главное преимущество указанных методов перед методами Ричардсона и Эйткена.

Недостатком рассмотренных методов является то, что получаемые оценки для погрешности решения нельзя использовать для уточнения решения. Хорошо построенная адаптивная сетка улучшает точность расчётов в несколько раз, а одно рекуррентное уточнение по Ричардсону на несколько порядков.

Метод Ричардсона единообразно применяется для различных численных методов. По-видимому в тех случаях, когда точное решение задачи обладает высокой гладкостью и имеется возможность проведения расчётов на сгущающихся, вложенных сетках применение метода глобальной апостериорной экстраполяции по Ричардсону предпочтительнее других методов оценки погрешности.

В главе 3 данной работы проведено тестирование построенных разностных схем на сгущающихся сетках для нескольких задач, оценён эффективный порядок точности и погрешность полученных схем. Эти тестовые расчёты подтвердили заявленные свойства построенных схем.

Символьные вычисления

Первым шагом на пути построения любой разностной схемы является вывод условия порядка - уравнений на коэффициенты схемы, обеспечивающих аппроксимацию. Для построения условий порядка схемы сравнивают разложение точного и численного решения в ряд Тэйлора по степеням шага сетки и приравнивают коэффициенты при одинаковых членах в разложении. Таким образом, получают систему уравнений для параметров схемы. Аналогично в данной работе получены условия порядка для схемы

7)

Получение условий порядка - довольно трудоёмкая задача. Многие исследователи прибегали к некоторым упрощениям, например, положив а = 0 в формуле (7) (см. схему Розенброка-Ваннера)[2], что существенно снижает сложность выкладок, но влияет на потенциальные возможности получаемой схемы.

При современном развитии компьютерной техники, имеет смысл использовать ЭВМ для выполнения рутинной работы. Пакеты символьных вычислений уже давно стали неотъемлемой частью программного обеспечения таких как Maple, Matlab, Mathematika и других [14].

Некоторые математические пакеты содержат модули для построения условий порядка для явных методов. Примером таких модулей являются модули построения условий порядка методов Рунге-Кутта. Например, для среды Mathematika [15] или для среды Matlab [16]. Но ни один из пакетов не содержит модулей построения условий порядка для неявных или полуявных схем и не оперируют комплексной арифметикой.

В данной работе будет создана специальная программа для автоматического символьного построения условий порядка двустадийных комплексных схем Розенброка.

Пористый анодный оксид алюминия

Анодные оксидные плёнки нашли широкое применение в различных областях науки и техники. Pix применяют для коррозионной защиты, в качестве декоративных покрытий, для создания конденсаторных структур и т.д. Анодное окисление используют в технологии создания электронных приборов и при изготовлении различного вида датчиков.

Комбинация уникальной пористой структуры (прямые поры управляемого диаметра) с высокой температурной, механической и химической стабильностью делает пленки анодированного оксида алюминия привлекательным материалом для различных применений в области фильтрации и разделения смесей, хранения информации, в сенсорике и для синтеза одномерных наноструктур.

В настоящее время пористые плёнки из анодированного оксида алюминия широко используются в качестве матриц для получения различных наноматериалов. Исследователи из Японии таким способом научились изготавливать не что иное как нано-пробирки (carbon nano test tubes, CNTTs), т.е. трубки, один конец которых открыт, а другой закрыт. Таким образом, внутрь такой пробирки можно что-нибудь поместить, например, магнитные частицы. Кроме того, образующиеся пробирки хорошо диспергируются в воде, что открывает множество их возможных применений, например, в области доставки лекарств.

Анодные оксидные плёнки образуются на поверхности большинства металлов и полупроводников. В основе процесса лежит реакция взаимодействия ионов окисляемого материала с молекулами воды. В зависимости от характера взаимодействия образующегося оксида с компонентами электролита имеется возможность управления структурой оксида. Так при отсутствии растворения оксида на поверхности электрода образуются беспористые барьерные плёнки. При частичном растворении оксида электролитом имеет место рост пористых плёнок. Среди последних наибольшее практическое значение имеют пористые анодные оксидные плёнки алюминия.

Мембраны анодированного оксида алюминия (АОА) обладают однородной пористой структурой с гексагональной упаковкой цилиндрических каналов и узким распределением пор по размерам. Использование различных электролитов, напряжений и времени анодирования позволяет варьировать диаметр пор (Dp), расстояние между порами (Ant) н толщину пленки (Lf) в широких пределах (Dp = 15-200 нм; Dint = 50-500 нм; L/до нескольких сотен микрон).

Пористый анодный оксид алюминия характеризуется рядом свойств, которые делают его перспективным материалом для создания наноструктур: регулярная, близкая к идеально упорядоченной, структура; простота управления размерами пор посредством выбора режимов формирования оксида; широкий диапазон размеров пор; слабая чувствительность свойств оксида к кристаллической структуре исходного алюминия; высокая однородность плёнок, получаемых на большой площади; хорошая воспроизводимость процесса; совместимость процесса анодного окисления со стандартными операциями технологии микроэлектроники.

В настоящее время наибольшей популярностью пользуются два способа синтеза оксидных плёнок. Анодирование в мягких условиях (Mild Anodization - MA), включающее две стадии, протекает при малых значениях напряжения (U=40 В для щавелевой кислоты и U=25 В для серной) и характеризуется малой скоростью роста (порядка 2 мкм/час). Таким образом, получение толстых плёнок требует существенных временных затрат. Жёсткие условия анодирования (Hard Anodization - НА) требуют больших напряжений (до 180 В в щавелевой кислоте и до 80 В в серной), что увеличивает скорость роста до 50 мкм/час и позволяет получать большие расстояния между центрами пор для аналогичного электролита по сравнению с первым способом.

Подбирать режимы формирования пор экспериментальным путём - длительное и дорогостоящее занятие. Моделирование процесса на компьютере позволяет это сделать быстрее и гораздо дешевле.

Математическая модель, описывающая процесс образования периодических наноструктур, сводится к уравнению Курамото-Сивашинского.

Уравнение Курамото-Сивашинского

Уравнение Курамото-Сивашинского Ut = —aAU — bA2U + c(VC/)2 было выведено независимо Курамото [17] для описания образования диссипативных структур в системах с диффузией и Сиваишнским [18] для изучения гидродинамической неустойчивости при ламинарном горении. Позднее оказалось, что это уравнение описывает неустойчивость во многих других нелинейных процессах. В данной работе с помощью этого уравнения моделируется процесс образования нанопор на поверхности оксида алюминия.

В классической монографии Хайера-Ваннера [2] уравнению Курамото-Сиващинского даётся следующее. описание: "Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нарастание неустойчивости, но для колебаний высоких гармоник она стабилизируется вторым слагаемым. Нелинейное слагаемое связывает различные моды колебаний и обеспечивает ограниченность решение. Все это порождает удивительный хаос".

Одномерное уравнение Курамото-Сивашинского входит в список двенадцати задач-тестов для жёстких систем. При этом она отмечена как один из самых сложных тестов.

В большинстве работ, иосвящённых изучению этого уравнения, рассматривается одномерный случай, то есть случай одной пространственной переменной. В этом случае изучаются периодические решения, бифуркации, аттракторы, а также проводится численный анализ ударных и уединённых волн.

Общая теория уравнения Курамото-Сивашинского далека от завершения. Так условия глобального существования, а также условия разрушения решения за конечное время были получены Похожаевым [19], Галактионовым и Митидиери [20], [21] относительно недавно (в 2008 г).

В данной работе процесс образования периодических наноструктур моделируется на двумерной пространственной сетке, что существенно увеличивает трудоёмкость вычислений по сравнению с одномерным случаем.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и одного приложения, посвящённых изложению оригинальных результатов автора. Каждая глава разбита на разделы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лимонов, Александр Георгиевич

4.4 Заключение

Приведённая в данной работе математическая модель описывает процесс анодного окисления при достаточно малом отклонении от положения равновесия. Но даже в этом случае модель позволяет получить представление о будущем размере и расстоянии между центрами образующихся наноструктур.

Кроме того, в данной работе, благодаря калибровке модели, удалось добиться не только качественного, но и количественного совпадения результатов моделирования с результатами физического эксперимента.

В настоящий момент установлена зависимость параметра а2 в уравнении Курамото-Сивашинского (4.26) от напряжения на аноде при постоянной кислотности и температуре. В будущем, при наличии достаточного количества экспериментальных данных, возможно установить зависимость параметра а2 от кислотности рН и температуры Т. Это уточнение модели позволит лучше моделировать процесс образования периодических наноструктур в широком диапазоне напряжений, при различной кислотности среды и температуре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лимонов, Александр Георгиевич, 2010 год

1. Ваннер Г. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Мир, Москва, 1999. 685с. 5, 6, 7, 11, 13, 52, 55.

2. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М.Наука, 1978. 512с. 6]

3. Е.А. Новиков. Одношаговые безитерационные методы решения жестких систем. Докторская диссертация. Красноярск, ВЦ АН СССР, 1991. 7]

4. Н.Н. Калиткин Д.С. Гужев. Оптимальная схема для пакета ros4. Матем. моделирование, 6(11):128-138, 1994. 7, 54.

5. C.JI. Панченко Н.Н. Калиткин. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем. Матпсм. моделирование, 11(6):52-81, 1999. 7.

6. Michel Roche. Rosenbrock methods for differential algebraic equations. Numerische Mathematik, 52:45-63, 1987. 10.1007/BF01401021. 7.

7. C. William Gear. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, USA, 1971. 7.

8. H. H. Rosenbrock. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. The Computer Journal, 5(4):329-330, 1963. 8.

9. Н.Н. Калиткин. Численные методы решения жестких систем. Матем. моделирование, 7(5):8—11, 1995. 9]

10. Шайдуров В.В. Марчук Г.И. Повышение точности решений разностных схем. М., Наука, 1979. 319с. 9]

11. А.С. Aitken. On interpolation by iteration of proportional parts, without the use of differences. Proc. Edinburgh Math. Soc. Second ser., 1932. Vol. 3, p. 56-76. 9, 50]

12. Е.А. Альшина В.В. Рогов Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин. Вычисления на квазиравномерных сетках. Физматлит, 2005. 224с. 10, 57]

13. W. Gander and J. Hrebicek. Solving problems in scientific computing using Maple and MATLAB. Springer, 2004. 11]

14. I. Th. Famelis, S. N. Papakostas, and Ch. Tsitouras. Symbolic derivation of runge-kutta order conditions. J. Symb. Compute 37(3):311-327, 2004. 11, 17]

15. Frank Cameron. A matlab package for automatically generating runge-kutta trees, order conditions, and truncation error coefficients. ACM Trans. Math. Softw., 32(2):274-298, 2006. 11]

16. Y. Kuramoto and T. Tsuzuki. On the Formation of Dissipative Structures in Reaction-Diffusion Systems —Reductive Perturbation Approach—. Progress of Theoretical Physics, 54:687-699, September 1975. 12]

17. G.I. Sivashinsky. Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flaines-i. derivation of basic equations. Acta Astronáutica, 4(11-12):1177 1206, 1977. 12]

18. Похожаев С.И. О разрушении решений уравнения Курамото-Сивашинского. Ма-тем. сб., 199:98, 2008. 97-106. 13]

19. Похожаев С.И. Галактионов В.А., Митидиэри Э. Существование и отсутсвие глобальных решений уравнения Курамото-Сивашинского. Доклады Академии наук, 2008. т.419 номер 4 с.439-442. 13] ;

20. Е. Mitidieri V.A. Galaktionov and S.I. Pohozaev. On global solutions and blow-up for Kuramoto-Sivashinsky-type models, and well-posed Burnett equations. 13]

21. А.Г. Лимонов А.Б. Алынин, E.A. Алынина. Автоматизированное символьное построение условий порядка для двухстадийных комплексных схем типа Розенброка. Матем. моделирование, 21(10):76-88, 2009. 14]

22. А.Г. Лимонов А.Б. Алынин, Е.А. Альшина. Двухстадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49(2):270-287, 2009. 14, 26]

23. A. Al'shin, Е. Al'shina, and A. Limonov. Two-stage complex rosenbrock schemes for stiff systems. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 49:261-278, 2009. 14]

24. A. B. Alshin, E. A. Alshina, and A. G. Limonov. Symbolic derivation of order conditions for two-stage complex rosenbrock scheme. AIP Conference Proceedings, 1048(l):47-51, 2008. 14]

25. А.Г. Лимонов. Моделирование образования гексагональных периодических наноструктур на поверхности оксида алюминия. Матем. моделирование, 22(8):97-108, 2010. 14]

26. Е. A. Alshina А.В. Alshin and A. G. Limonov. Symbolic Derivation of Order Conditions for Two-Stage Complex Rosenbrock Scheme. International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, 2008. 14]

27. E.A. Alshina A.B. Alshin and A.G. Limonov. Constructing Two-Stage Complex Rosenbrock Schemes By Using Automatic Symbolic Derivation Of Order Conditions. International Workshop Numerical Analysis and Scientific Computing (NASCom'08),

28. E.A. Альшина А.Б. Альшин А.Г. Лимонов, С.А. Гаврилов. Математическое моделирование процесса образования нано-пор на поверхности оксида алюминия. Международный Конкурс Научных Работ Молодых Ученых в Области Нанотехноло-гий, Москва, Экспоцентр, 2008. 14]

29. Е.А. Альшина А.Б. Альшин А.Г. Лимонов, А.Н. Белов. Математическое моделирование процесса образования нано-пор на поверхности оксида алюминия. Международный Конкурс Научных Работ Молодых Ученых в Области Нанотехнологий, Москва, Экспоцентр, 2009. 14]

30. Е.А. Альшина А.Б. Альшин А.Г. Лимонов, А.Н. Белов. Численное моделирование процесса образования нано-пор на поверхности оксида алюминия. Микроэлектроника и наноинженерия-2008. 14]

31. Ваннер Г. Хайрер Э., Нёрсетт С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Мир, Москва, 1990. 512с. 15]

32. J. Riordan. Introduction to Combinatorial Analysis. Dover books on mathematics. Dover Publications, 2002. 22]

33. П.Д. Ширков. Оптимально затухающие схемы с комплексными коэффициентами для жестких систем ОДУ. Матем. моделирование, 4(8):47-57, 1992. 26, 41]

34. J. P. O'Sullivan and G. С. Wood. The morphology and mechanism of formation of porous anodic films on aluminium. Proc. R. Soc., 317(1531):511-543, 1970. 59]

35. C. Sample and A. A. Golovin. Formation of porous metal oxides in the anodization process. Phys. Rev. E, 74(4):041606, Oct 2006. 59]

36. G. K. Singh, A. A. Golovin, and I. S. Aranson. Formation of self-organized nanoscale porous structures in anodic aluminum oxide. Phys. Rev. B, 73(20):205422, May 2006. 59, 65]

37. J.O.M. Bockris and A.K.N. Reddy. Modern electrochemistry. Number v. 2 in Modern Electrochemistry. Plenum Press, 2001. 60]

38. O. Jessensky, F. Miiller, and U. Gosele. Self-organized formation of hexagonal pore structures in anodic alumina. Journal of The Electrochemical Society, 145(11) :3735-3740, 1998. 61, 63, 65]

39. Feiyue Li, Lan Zhang, and Robert M. Metzger. On the growth of highly ordered pores in anodized aluminum oxide. Chemistry of Materials, 10(9):2470-2480, 1998. 61, 63]

40. A. P. Li, F. Miiller, A. Birner, K. Nielsch, and U. Gosele. Hexagonal pore arrays with a 50-420 nm interpore distance formed by self-organization in anodic alumina. Journal of Applied Physics, 84(ll):6023-6026, ' ,67]2008. 14.