Разработка алгоритмов переменной структуры для решения жестких задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Новиков, Антон Евгеньевич

• Новиков, Антон Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Новиков, Антон Евгеньевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Контроль точности и устойчивости одношаговых методов

1.1. Основные определения

1.2. Контроль точности вычислений

1.3. Контроль устойчивости

1.4. Реализация явных методов с контролем точности и устойчивости

Глава 2. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага

2.1. Алгоритм на основе схемы Фельберга пятого порядка

2.2. Алгоритм на основе схемы Фельберга седьмого порядка

2.3. Алгоритм на основе схемы Дорманда-Принса восьмого порядка

2.4. Результаты расчетов

Глава 3. Комбинированные алгоритмы интегрирования

3.1. Методы типа Розенброка

3.2. Класс (ш,к)-методов решения жестких задач

3.3. Численное решение жестких задач с небольшой точностью

3.3.1. L-устойчивый (2,1)-метод

3.3.2. Явный метод второго порядка

3.3.3. Явный метод первого порядка

3.3.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры

3.4. Комбинированный алгоритм третьего порядка

3.4.1 L-устойчивый (3,2)-метод

3.4.2. Явный метод третьего порядка

3.4.3. Явный метод первого порядка

3.4.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры

3.4.5. Замораживание матрицы Якоби в (3,2)-методе

3.5. Комбинированный алгоритм четвертого порядка

3.5.1. Максимальный порядок точности (ш,2)-методов

3.5.2. L-устойчивый (4,2)-метод

3.5.3. Метод Мерсона с контролем точности и устойчивости

3.5.4. Явный метод первого порядка

3.4.5. Алгоритм интегрирования переменной структуры

Глава 4. Результаты расчетов практических задач

4.1. Дифференциальные уравнения химической кинетики

4.2. Пиролиз этана

4.3. Модифицированный орегонатор

4.4. Проникновение помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма

4.5. Кольцевой модулятор

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов переменной структуры для решения жестких задач»

Введение

При моделировании кинетики химических реакций, динамики механических и электроэнергетических систем, химико-технологических процессов, схемотехническом проектировании радиоэлектронных схем и в других важных приложениях возникает проблема решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений вида [1-23]

У = Rt,у), y(t0) = y0,t0<t<tk, (1)

где у и /- вещественные TV-мерные вектор-функции, t - скалярная величина. Учет большого числа факторов при построении математических моделей приводит к расширению класса задач, описываемых жесткими системами [3, 5— 6, 9-25]. Основные тенденции при построении численных методов связаны с решением систем большой размерности [1-3, 6-7, 12-14, 17—21]. Сложность практических задач приводит к возрастающим требованиям к вычислительным алгоритмам, поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задачи Коши для жестких систем большой размерности является актуальной задачей. При построении эффективных алгоритмов интегрирования требуется разрешить ряд вопросов [1-5, 18-21]. Нужно выбрать методы, соответствующие решаемым задачам. Здесь рассматриваются одношаговые безытерационные схемы вида [5]

Уп+1=Уп + к<РА*п,Уп^), п = 0,1,2,.... (2)

На некоторых задачах они имеют преимущество перед многошаговыми схемами [3-5, И, 17-18, 20, 23], которые приводят к осреднению решения (срезание экстремумов), что при моделировании некоторых динамических объектов делает их неприемлемыми [4]. Если правая часть задачи (1) разрывная, то применение многошаговых методов малоэффективно [4]. Требование безытерационности (2) позволяет оценить затраты на шаг до проведения расчетов и упрощает программную реализацию [1-2, 23].

В последнее время появилось огромное количество методов

интегрирования жестких задач [1-5, 13-14, 16, 19-31]. Для перехода от идеи метода к его алгоритмической реализации нужно решить важный круг вопросов, связанных с изменением величины шага интегрирования и оценкой точности получаемых численных результатов [1-5, 13-14, 19-21, 32-47]. Современные способы управления шагом основаны, как правило, на контроле точности численной схемы [1-5]. Такой подход представляется наиболее естественным, поскольку основным критерием при проведении практических расчетов является точность нахождения решения. Многие алгоритмы интегрирования для выбора величины шага интегрирования используют оценку локальной ошибки или погрешности аппроксимации. Это оправдано тем, что если на каждом шаге контролировать некоторый минимальный уровень локальной ошибки, то глобальная ошибка будет ограничена. Можно выделить три практических способа оценки данной ошибки [1-2].

Классическим является способ, основанный на экстраполяционной формуле Ричардсона. Его еще называют правилом Рунге, и он заключается в следующем [5, 48-49]. В каждой "сеточной точке интервала интегрирования решение вычисляется с шагом к и 0.5/г, а искомая оценка определяется через разность приближений к решению. Недостатком способа является необходимость дважды вычислять решение в каждой точке, что приводит к значительному увеличению вычислительных затрат.

Более дешевым является многошаговый способ [1-2, 50]. Он заключается в том, что одношаговой формуле р-то порядка точности в соответствие ставится многошаговая схема (р+1)-го порядка. Затем данная схема преобразуется таким образом, чтобы после подстановки в нее приближений (2) получилась оценка локальной ошибки одношагового метода. Недостатком данного способа является многошаговость оценки, что приводит ко всем недостаткам многошаговых методов.

В последнее время все большую популярность получает способ оценки локальной ошибки с помощью вложенных методов [5, 51]. Приближение к решению в каждой точке вычисляется двумя методами р-то и (р+1)-го порядков

точности вида (2). Затем локальная ошибка метода р-то порядка оценивается через разность полученных приближений. Обычно такой способ используется тогда, когда расчеты по методу р-то порядка не требуют дополнительных вычислений правой части и матрицы Якоби исходной задачи. По вычислительным затратам на шаг такой способ лежит между оценкой ошибки с помощью правила Рунге и многошаговой оценкой. Однако, по отношению к многошаговой оценке, в ней при вычислении ошибки используется информация только с данного шага, что повышает ее надежность. Данный способ хорошо зарекомендовал себя при решении многих задач [1-5, 19-21, 52-58] и ниже будет использоваться здесь.

Использование оценки локальной ошибки для контроля точности вычислений в ряде случаев приводит к успеху. Однако с целью повышения надежности необходимо найти оценку глобальной ошибки [1—5, 41-47]. Наиболее известный способ определения данной ошибки основан на предположении о линейном характере накопления глобальной ошибки из локальных ошибок [5, 59-60]. В результате для контроля точности предлагается использовать неравенство \\дп\\<£к/^-Ь), где 3„ — оценка локальной ошибки, ||-|| - некоторая норма в Яы, е - требуемая точность расчетов. Очевидно, что предположение о линейном характере накопления является достаточно грубым. Иногда используется другое неравенство ||<5Л||<фСр|1/р [61-63], которое получено в предположении, что при интегрировании устойчивыми методами вклад начальных возмущений убывает по геометрической прогрессии.

Интенсивное исследование неявных методов началось после работы Дальквиста [64], в которой было введено понятие ^-устойчивости. Это понятие привело к рассмотрению неявных методов типа Рунге-Кутты [65-70]

Известна теорема - для каждого т существует неявная т-стадийная схема (3) порядка 2т. Аналогичная теорема для явных методов типа Рунге-Кутты отсутствует. Методы максимального порядка могут быть только А-

\

]=

У

(3)

устойчивыми. Если отказаться от максимального порядка, то можно построить схемы с лучшими свойствами устойчивости.

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге-Кутты является ограниченным вследствие больших вычислительных затрат на шаг интегрирования. При реализации (3) требуется применение итерационного процесса. Метод простой итерации не эффективен при решении жестких задач, так как он приводит к такому же ограничению на размер шага, что и явный метод. Поэтому необходимо использование метода Ньютона-Рафсона или каких-либо его модификаций. Это приводит к необходимости обращения матрицы размерности {тИхтЩ, где т - число стадий в (3), N - размерность системы (1). Сокращение вычислительных затрат достигается за счет использования одной матрицы на нескольких шагах интегрирования. Замораживание матрицы становится возможным благодаря тому, что это не влияет на порядок точности численной схемы, а определяет только скорость сходимости итераций. Поэтому необходимость в ее пересчете возникает при значительном замедлении сходимости итерационного процесса.

Трудности с реализацией неявных методов типа Рунге-Кутты привели к поискам более простых их модификаций. Был рассмотрен класс полуявных формул типа Рунге-Кутты, для которых в (3) имеет место Ду=0 при /</. В этом случае итерационная матрица является блочно-диагональной, причем число блоков совпадает с числом стадий, а размерность каждого блока с размерностью вектора решения. В результате, вместо обращения матрицы размерности {тЫхтЫ), надо обратить т матриц размерности N каждая. Дальнейшего сокращения вычислительных затрат можно добиться, если положить равными все /?„-, 1 <1<т, и аппроксимировать все диагональные матрицы одной. Тогда на шаге требуется обратить только одну матрицу размерности (тУхТУ). В этом случае порядок точности (т+2) не может быть достигнут ни для какого т-стадийного полуявного метода при /?ц =.. .= ртт.

Розенброком были предложены два метода второго и третьего порядков

точности [31]. В дальнейшем такие схемы стали называть методами типа Розенброка, и они имеют вид

где Е - единичная матрица, д/!ду - матрица Якоби задачи (1), рь аг, у у, 1 <1<т, 1</</-1, - числовые коэффициенты. Для упрощения данные методы записаны для автономной системы. Наиболее эффективные реализации методов типа Розенброка возникают тогда, когда все аь 1 <1<т, равны между собой, а уу=0. В этом случае на каждом временном шаге требуется вычисление и обращение всего лишь одной матрицы размерности (тУхЛО. Для улучшения свойств точности таких методов Ваннером предложено вычислять стадии по следующим формулам [71]

Данная модификация получила название ЯС^-методов. Методы типа Розенброка и ЯОАУ-методы относятся к одношаговым безытерационным методам. Они существенно более просты с точки зрения реализации, чем алгоритмы на основе численных формул, в которых стадии вычисляются с использованием итераций. Однако в данных методах матрица Якоби влияет на порядок точности численной схемы. Поэтому их недостатки в основном связаны с проблемой замораживания матрицы £>„, декомпозиция которой при больших N фактически определяет общие вычислительные затраты. Если вопрос об использовании одной матрицы на нескольких шагах оставить нерешенным, то в случае использования безытерационных методов нужно ограничиваться задачами небольшой размерности. На основе схемы типа Розенброка второго порядка точности построен алгоритм интегрирования с замораживанием матрицы Якоби [72]. Однако при построении такого алгоритма на основе формулы третьего порядка возникают принципиальные трудности. Применение 110\У-методов проблемы не решает.

Еще одним важным требованием к современным алгоритмам

интегрирования является возможность численной аппроксимации матрицы Якоби. Это связано с тем, что правая часть системы дифференциальных уравнений кроме большой размерности часто имеет достаточно сложный вид. Характерным примером являются, например, задачи химической кинетики, где сложность правой части возрастает с увеличением числа элементарных стадий в химической реакции. В настоящее время нередко моделируются реакции, в которых десятки реагентов и сотни элементарных стадий. Поэтому в ряде случаев вычислители предпочитают менее эффективные численные методы, если при их реализации не требуется аналитическое вычисление элементов матрицы Якоби. Этот барьер можно убрать, если заложить в алгоритме возможность численной аппроксимации матрицы Якоби. Отметим, что проблемы замораживания и численной аппроксимации в некотором смысле близки друг к другу, и поэтому они могут быть разрешены одновременно.

Для явных методов шаг интегрирования к ограничен неравенством ^И-тах!^ [3-5], где Лтю1 есть максимальное собственное число матрицы Якоби системы (1), а положительная постоянная £> связана с размером области устойчивости. Так как для многих жестких задач длина интервала интегрирования значительно превышает величину £>/|Л.тах|, то интегрирование при условии к\Хта^<Л) оказывается непосильным для современных ЭВМ. В последнее время в связи с построением явных методов с расширенными областями устойчивости их возможности трактуются более широко [73—89].

Некоторым аналогом замораживания матрицы Якоби является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе явных и Ь-устойчивых методов с автоматическим выбором численной схемы [89—93]. В этом случае эффективность алгоритма может быть повышена за счет расчета переходного участка, соответствующего максимальному собственному числу матрицы Якоби, явным методом. В качестве критерия выбора эффективной численной формулы естественно применять неравенство для контроля устойчивости. Применение таких комбинированных алгоритмов полностью не снимает проблему замораживания матрицы Якоби, потому что явным методом

можно просчитать, вообще говоря, только погранслойное решение, соответствующее максимальному собственному числу [3—4].

Диссертационная работа посвящена разработке новых алгоритмов переменного порядка и шага на основе явных методов высокого порядка точности для решения умеренно жестких задач большой размерности, а также алгоритмы переменной структуры на основе явных и ¿-устойчивых численных схем для решения жестких и нежестких задач.

Актуальность темы обусловлена необходимостью эффективного численного решения жестких и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Современные методы решения жестких задач, как правило, на каждом шаге требуют обращение матрицы Якоби, что при большой размерности задачи определяет общие вычислительные затраты. С целью экономии во многих алгоритмах одна матрица Якоби применяется на нескольких шагах интегрирования. Аналогом замораживания является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе явных и 1-устойчивых методов с автоматическим выбором численной формулы. Первые алгоритмы такого типа для многошаговых методов были построены Ре1го1с1 Ь.Я. (1982), для одношаговых численных схем — БЬашрте ЬЛ\ и Новиков Е.А. (1984). В работах Ре1го1с1 Ь.Я. и ЗЬашрте ЬЛ7. для выбора схемы применялась норма матрицы Якоби, которую нужно вычислять даже при расчетах по явной схеме. В работах Новикова Е.А. для выбора схемы применяется неравенство для контроля устойчивости без вычисления матрицы Якоби. По эффективности расчетов такие алгоритмы существенно превосходили существовавшие методы. Важно, что они распознавали, является ли задача жесткой или нет, и в зависимости от этого выбирали на каждом шаге эффективную численную формулу - явную или ¿-устойчивую. Поэтому построение новых эффективных алгоритмов переменного порядка и шага, а также переменной структуры, является актуальной задачей.

Целью работы является создание алгоритмов интегрирования жестких и нежестких систем дифференциальных уравнений, эффективность которых

достигается комбинированием численных схем по точности и устойчивости. Для достижения цели решены следующие задачи.

1. Построены неравенства для контроля устойчивости известных явных методов высокого порядка с последующим созданием алгоритмов переменного шага с контролем точности вычислений и устойчивости численных схем.

2. Разработаны явные методы первого порядка с расширенными областями устойчивости на основе стадий численных схем высокого порядка, а также с неравенствами для контроля точности и устойчивости.

3. Построены алгоритмы переменного порядка и шага на основе стадий явных методов высокого порядка для решения задач умеренной жесткости.

4. Разработаны алгоритмы переменной структуры на основе явных и L-устойчивых численных формул с автоматическим выбором на каждом шаге эффективной численной схемы.

Методы исследования. Используются методы вычислительной математики и математического анализа, применяется теория разностных схем и обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность алгоритмов проверяется с помощью численных экспериментов, сравнением с экспериментальными данными и расчетами других авторов.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 — вычислительная математика.

1. Алгоритмы интегрирования переменного шага с контролем точности и устойчивости для решения умеренно жестких и нежестких задач.

2. Явные методы первого порядка с расширенными областями устойчивости с неравенствами для контроля точности и устойчивости.

3. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага на основе стадий явных методов пятого, седьмого и восьмого порядков точности с контролем точности вычислений и устойчивости численных формул для решения умеренно жестких и нежестких задач.

4. Комбинированные алгоритмы на основе явных и ¿-устойчивых методов второго, третьего и четвертого порядков точности для решения жестких и нежестких задач.

5. Результаты моделирования задач химии и теории электрических цепей. Научная новизна. Построены новые алгоритмы переменного порядка и

шага для решения умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны алгоритмы переменной структуры с автоматическим выбором численной схемы для решения жестких и нежестких систем.

Достоверность полученных результатов подтверждается численными испытаниями построенных алгоритмов на тестовых примерах и практических задачах, а также сравнением с расчетами других авторов. Результаты тестовых расчетов подтверждают надежность и эффективность неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной формулы.

Теоретическая ценность. На основе методов Фельберга и Дорманда-Принса пятого, седьмого и восьмого порядков точности построены алгоритмы переменного порядка и шага для решения задач умеренной жесткости. На основе явных и ¿-устойчивых численных формул второго, третьего и четвертого порядков разработаны алгоритмы переменной структуры с автоматическим выбором численной схемы.

Практическая ценность. Разработаны программы решения жестких и нежестких систем дифференциальных уравнений, которые можно применять для численного решения практических задач, в учебном процессе при подготовке специалистов по математическому моделированию в различных областях. Проведено моделирование четырех задач из теории электрических цепей и химии.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международных конференциях «Математические и информационные технологии» (Сербия, 2011), "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Павлодар, 2006), «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория,

эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011), «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009, 2010, 2011, 2012), на Всероссийских конференциях «Имитационное моделирование. Теория и практика» (Санкт-Петербург, 2011), "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (Якутск, 2012), «Математическое моделирование и информационные технологии» (Красноярск, 2011, 2012, 2013); на семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры математического обеспечения дискретных устройств и систем Сибирского федерального университета. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 11-01-00106 и 14— 01-00047).

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикации в печатных листах, в знаменателе — объем принадлежащий лично автору) 9 статей в периодических изданиях, рекомендованных ВАК (4.0/2.9) и 8 статей в трудах конференций (2.0/1.8).

Личный вклад соискателя. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежат обсуждение постановки задач и результатов исследований. Автором разработаны алгоритмы переменного порядка и шага, а также алгоритмы на основе явных и ¿-устойчивых методов, выполнено моделирование практических задач электрических цепей и химии.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 115 наименований. Общий объем работы составляет 123 стр., в том числе 5 таблиц и 20 рисунков. Во введении дан краткий обзор статей по теме работы, обсуждаются проблемы, возникающие при численном интегрировании жестких задач, приведено краткое описание содержания диссертационной работы по разделам.

Глава 1 посвящена построению неравенства для контроля точности и

устойчивости явных методов типа Рунге-Кутты. В первом параграфе приведены основные определения. Во втором параграфе описан способ получения неравенства для контроля точности вычислений, и приведена формула для выбора величины шага по точности. В третьем параграфе изучается подход к построению неравенства для контроля устойчивости явных методов. В четвертом параграфе рассматриваются вопросы реализации на ЭВМ явных методов с контролем точности вычислений и устойчивости численных схем. Данный раздел реферативный и приведен для наглядности.

Глава 2 посвящена построению алгоритмов переменного порядка и шага на основе явных численных схем типа Рунге-Кутты высокого порядка точности для решения задач умеренной жесткости. Выбор эффективного метода осуществляется на каждом шаге по устойчивости. В первом параграфе рассматривается шестистадийный метод Рунге-Кутты-Фельберга пятого порядка точности. Получены неравенства для контроля точности и устойчивости. Приведена формула для выбора величины шага интегрирования, позволяющая стабилизировать поведение величины шага на участке установления. На основе стадий данного метода построена схема первого порядка с расширенным до 72 интервалом устойчивости. Сформулирован алгоритм переменного порядка и шага. Во втором параграфе аналогичный алгоритм построен на основе тринадцатистадийного метода Рунге-Кутты-Фельберга седьмого порядка. В третьем параграфе за основу взят известный метод Дорманда-Принса восьмого порядка точности. В четвертом параграфе приведены результаты расчетов. В качестве тестового примера выбрана простейшая математическая модель описания реакции Белоусова-Жаботинского (орегонатор). Задача является слишком жесткой для явных методов, и поэтому для ее решения обычно применяются ¿-устойчивые численные схемы. Данный пример выбран для того, чтобы продемонстрировать возможность применения явных методов с дополнительным контролем устойчивости, а также алгоритмов переменного порядка и шага для решения достаточно жестких задач.

В главе 3 построены алгоритмы переменной структуры и шага на основе ¿-устойчивых (т,к)-методов и явных схем типа Рунге-Кутты. Во всех методах оценка ошибки вычислена с применением идеи вложенных методов. Выбор эффективной численной формулы осуществляется на каждом шаге по критерию устойчивости. В ¿ -устойчивых методах допускается замораживание как аналитической, так и численной матрицы Якоби. Для всех методов получены оценки ошибок и построены неравенства для контроля точности вычислений и автоматического выбора величины шага интегрирования. В первом параграфе показана ограниченность методов типа Розенброка, если они применяются с замораживанием матрицы Якоби. Во втором параграфе описан класс (т,к)~методов решения жестких задач. В третьем параграфе построен неоднородный алгоритм переменного шага для решения жестких и нежестких задач с небольшой точностью расчетов - порядка 1% и ниже. Такая точность расчетов обусловлена низким порядком применяемых численных схем. В состав алгоритма интегрирования включены ¿-устойчивый (2,1)-метод второго порядка и двухстадийные схемы типа Рунге-Кутты первого и второго порядков точности. В четвертом параграфе построены ¿-устойчивый (3,2)-метод третьего порядка и явные трехстадийные схемы типа Рунге-Кутты первого и третьего порядков точности. Интервал устойчивости схемы первого порядка расширен до 18 по вещественной оси. Разработан алгоритм интегрирования переменного порядка и шага, в котором выбор наиболее эффективной численной схемы осуществляется на каждом шаге с применением неравенства для контроля устойчивости. В пятом параграфе получены коэффициенты ¿-устойчивого (га,2)-метода максимального (четвертого) порядка точности. Рассмотрена явная пятистадийная схема типа Рунге-Кутты четвертого порядка. На основе стадий явного метода построена численная формула первого порядка с расширенным до 50 интервалом устойчивости. Разработан алгоритм переменной структуры, в котором выбор эффективной численной схемы - явной или ¿ -устойчивой - осуществляется на каждом шаге с применением неравенства для контроля устойчивости.

В главе 4 приведены результаты сравнения эффективности построенных алгоритмов с методами Гира в реализации А. Хиндмарша. Программа с реализацией метода Гира сШоёе взята из библиотеки ЫеИлЬ. В первом параграфе описан алгоритм формирования дифференциальных уравнений химической кинетики. Во втором параграфе приведены результаты моделирования пиролиза этана, который в отсутствии кислорода описывается шестью стадиями при участии восьми реагентов [94]. В третьем параграфе приведены результаты моделирования модифицированного орегонатора [95— 96], дающего сложный предельный цикл, который описывается пятью обратимыми и одной необратимой стадией при участии семи реагентов. Данная реакция протекает в изотермическом реакторе постоянного объема с обменом вещества. Соответствующая система дифференциальных уравнений состоит из семи уравнений. В четвертом параграфе приведены результаты моделирования проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма [97]. Рассматривается система одномерных уравнений реакции-диффузии с начальными и граничными условиями, которая методом прямых сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В пятом параграфе приведены результаты моделирования кольцевого модулятора [97].

В заключении сформулированы основные результаты.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [98-115].

Глава 1. Контроль точности и устойчивости одношаговых методов

В последнее время при получении неравенства для контроля точности одношаговых методов применяется в основном оценка главного члена глобальной ошибки, вычисленная тем или иным способом. По сравнению с использованием локальной ошибки это позволяет повысить надежность расчетов. В данном разделе описан способ оценки аналога глобальной ошибки, который не приводит к значительному увеличению вычислительных затрат. Такую оценку можно применять в алгоритмах интегрирования на основе явных и ¿-устойчивых численных схем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новиков, Антон Евгеньевич, 2014 год

Список литературы

1. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи : монография / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М.: Мир, 1990.-512с.

2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи : монография / Э. Хайрер, Г. Ваннер. - М.: Мир, 1999. - 685с.

3. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем : монография / Е.А. Новиков. — Новосибирск: Наука, 1997. - 197с.

4. Новиков Е.А. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем : монография / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012.-450с.

5. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений : монография / Дж. Холл, Дж. Уатт. - М.: Мир, 1979.-312с.

6. Демиденко Н.Д. Моделирование и вычислительные технологии распределенных систем : монография / Н.Д. Демиденко, В.А. Кулагин, Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука, 2012. - 424с.

7. Годунов С.К. Разностные схемы : монография / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. -400с.

8. Марчук Г.И. Повышение точности решения разностных схем : монография / Г.И. Марчук, В.В. Шайдуров. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. -320с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики : монография / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977. - 454с.

10. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы : монография / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. - М.: Наука, 1991. - 414с.

П.Деккер К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений : монография / К. Деккер, Я. Вервер. - М.: Мир, 1988.-332с.

12. Бабенко К.И. Основы численного анализа : монография / К.И. Бабенко. - М.

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 744с.

13. Свешников А.Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа : монография / А.Г. Свешников, А.Б. Алыпин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007. - 734с.

14. Бахвалов Н.С. Численные методы : монография / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Наука, 1987. - 598 с.

15. Денисов Е. Т. Химическая кинетика : учебник для вузов / Е. Т. Денисов, О. М. Саркисов, Г. И. Лихтенштейн. - М.: Химия, 2000. - 568с.

16. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений : монография / Л. Коллатц. - М.: ИЛ, 1953. - 471с.

17.Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations : монография / P. Henrici. - New York, London: John Wiley and Sons, 1962. -349p.

18.1Птеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений : монография / X. Штеттер. — М.: Мир, 1978. -461с.

19.Калиткин H.H. Численные методы : монография / H.H. Калиткин. - М.: Наука, 1978.-508с.

20.Ракитский Ю.В. Численные методы решения жестких систем : монография / Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. -249с.

21.0ртега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений : монография / Дж. Ортега, У. Пул. - М.: Наука, 1986. - 288с.

22. Самарский A.A. Численные методы : монография / A.A. Самарский, A.B. Гулин. - М.: Наука, 1989. - 412с.

23.Арушанян О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране : монография / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. -М.: Изд-во МГУ, 1990. - 381с.

24. Бобков В. В. Об одном классе разностных схем для дифференциальных уравнений / В. В. Бобков, П. А. Мандрик, В. И. Репников // Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер.1. Физ. матем. и механика. - 1985. - № 3. - С. 31— 34.

25. Byrne G.D. ODE solvers: a review of current and coming attractions / G.D. Byrne, A.C. Hindmarsh // J. of Comput. Physics. - 1987. - №70. - P. 1-62.

26. Новиков E.A. Одношаговые методы решения жестких систем / Е.А. Новиков, Ю.А. Шитов , Ю.И. Шокин // ДАН СССР. - 1988. - Т. 301, №6. -С.1310-1314.

27. Алынин А. Б. Автоматизированное символьное построение условий порядка для двухстадийных комплексных схем типа Розенброка / А. Б. Алынин, Е. А. Алынина, А. Г. Лимонов // Математическое моделирование. -2009.-Вып. 21.-С. 76-88.

28. Алынин А. Б. Двухстадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем / А. Б. Альшин, Е. А. Алынина, А. Г. Лимонов // ЖВМ и МФ. - 2009. - Вып. 49. - С. 270-287.

29. Алынина Е. А. Оптимальные параметры явных схем Рунге-Кутты невысоких порядков / Е. А. Алынина, Е. М. Закс, Н. Н. Калиткин // Математическое моделирование. - 2006. - Вып. 18. - С. 61-71.

30.Алынина Е.А. Оптимальные схемы Рунге-Кутты с первого по шестой порядок точности / Е. А. Алынина, Е. М. Закс, Н. Н. Калиткин // ЖВМ и МФ. - 2008. - Вып. 48. - С. 418-429.

31. Rosenbrock Н.Н. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations / H.H. Rosenbrock // Computer. - 1963. - №5. - P. 329330.

32. Shampine L.F. Global error estimation for ordinary differential equations / L.F. Shampine, H.A. Watts // ACM Trans. Math. Software. - 1976. - V. 2. - P. 172186.

33. Shampine L.F. Global error estimation for stiff ODEs / L.F. Shampine // Lecture Notes in Mathematics. - 1984. - V. 1066. - P. 159-168.

34. Stetter H.J. Global error estimationin ODE-solvers / H.J. Stetter // in Hinze J. (ed.): Numerical integration ofdifferential equations and large linear systems. Proceedings. Bielefeld, 1980.LectureNotes in Mathematics. - 1982. - V. 968. -P. 269-279.

35. Демидов Г.В. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.В. Демидов, Е.А.Новиков

// Численные методы механики сплошной среды. - 1985. - Т. 16, №1. -

C.27-42.

36. Новиков Е.А. Оценка глобальной ошибки А-устойчивых методов решения жестких систем / Е.А.Новиков // Доклады академии наук. - 1995. - Т. 343. №4.-С. 452-455.

37. Skeel R.D. Thirteen ways to estimate global error / R.D. Skeel // Numer. Math. — 1986.-V. 48.-P. 1-20.

38. Skeel R.D. Global error estimation and thebackwarddifferentiationformulas / R.D. Skeel // Appl. Math. Comput. - 1989. - Vol. 31. - P. 197-208.

39. Higham D.J. Global error versus tolerance for explicit Runge-Kutta methods /

D.J. Higham // IMA J. Nu-mer. Anal. - 1991. - Vol. 11. - P. 457-480.

40. Calvo M. Stepsize selection for tolerance proportionality in explicit Runge-Kutta codes / M. Calvo, D.J. Higham, J.I. Montijano, L. R'andez // Adv. Comput. Math. - 1997. - Vol. 7. - P. 361-382.

41.Kulikov G.Yu. A local-global version of a stepsize control for Runge-Kutta methods / G.Yu. Kulikov // Korean J. Comput. Appl. Math. - 2000. - Vol. 7. №2. -P. 289-318.

42. Куликов Г.Ю. Об одном способе управления глобальной ошибкой многошаговых методов / Г.Ю. Куликов, С.К. Шиндин // ЖВМ и МФ. - 2000. -Т. 40, №9.-С. 1308-1329.

43. Куликов Г.Ю. Об эффективном вычислении асимптотически верных оценок локальной и глобальной ошибок для многошаговых методов с постоянными коэффициентами / Г.Ю. Куликов, С.К. Шиндин // ЖВМ и МФ. - 2004. - Т. 44. №5.-С. 847-868.

44. Куликов Г.Ю. О многошаговых методах интерполяционного типа с автоматическим контролем глобальной ошибки / Г.Ю. Куликов, С.К. Шиндин // ЖВМ и МФ. - 2004. - Т. 44, №8. - С. 1400-1421.

45. Shampine L.F. Error estimation and control for ODEs / L.F. Shampine // J. Sci. Comput. - 2005. - Vol. 25. - P. 3-16.

46. Lang J. On global error estimation and control for initial value problems / J. Lang, J.G. Verwer // SIAM J. Sci. Comput. - 2007. - Vol. 29. - P. 1460-1475.

47. Kulikov G.Yu. One-leg variable-coefficient formulas for ordinary differential

equations and local-global step size control / G.Yu. Kulikov, S.K. Shindin // Numer. Algorithms. - 2006. - Vol. 43. - P. 99-121.

48. Richardson L. F. The approximate arithmetical solution by finite diffe-rences of physical problems involving differential equations, with an application to the stress in a massory dam / L.F. Richardson // Philos. Trans. Roy. Soc. ser. A. 210. -1910.- P. 307-357.

49. Richardson L. F. The differed approach to the limit. 1: Single lattice / L.F. Richardson // Philos. Trans. Roy. Soc., ser. A. 226. - 1927. - P. 299-349.

50. Ceschino F. Numerical solution of initial value problems : монография / F. Ceschino, J. Kuntzman. - Prentice-Hall, New Jersey, 1966. - 318p.

51. England R. Error estimates for Runge-Kutta type solutions to systems of ODE's / R. England // Comput. J. - 1969. - №12. - P. 166-169.

52. Enright W. H. Comparing numerical methods for the solutions of stiff systems of ODE's / W. H. Enright, Т. E. Hull, B. Lindberg // BIT. - 1975. - № 15. - P. 1048.

53. Fehlberg E. Classical Fifth-, Sixth-, Seventh and Eighth Order Runge-Kutta formulas with step size control : NASA T. R. R. - 287 / E. Fehlberg // Computing. - 1969. - Vol. 4. - P. 93-106.

54. Fehlberg E. Low order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems : NASA T.R.R. - 315 / E. Fehlberg // National Aeronautics fnd space administration. Washington, D.C., 1969.

55. Fehlberg E. Klassische Runge-Kutta-Formeln fünfter und siebenter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle / E. Fehlberg // Computing. - 1969. - № 4. - S. 93-106.

56. Merson R. H. An operational methods for integration processes / R. H. Merson // Proc. of Symp. on Data Processing. Salisbury, Australia: Weapons Research Establishment. - 1957. P. 211-213.

57. Lapidus L. Numerical Solution of Ordinary Differential Eqautions : монография / L. Lapidus, J. H. Seinfeld. - London : Academy Press, 1971. - 299 p. -

58. Lambert J. D. Computational methods in ordinary differential equations : монография / J. D. Lambert. - Wiley, New York, 1973. - 317p.

59. Hindmarsh A. C. Gear: Ordinary differential equations system solver / A. C.

Hindmarsh // ACM SIGNUM Newsletter. - 1976. - Vol. 11, Is. 3.

60. Hindmarsh A. C. ODEPACK, a systematized collection of ODE solvers / A. C. Hindmarsh. - Lawrence Livermore National Laboratory, 1982. (Preprint UCRL-88007).

61. Артемьев С. С. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 238, № 3. -С. 517-520.

62. Артемьев С. С. А-устойчивый метод типа Розенброка четвертого порядка точности решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов // Некоторые проблемы вычисл. и прикладной математики. - Новосибирск : Наука. -1975.-С. 214-220.

63. Артемьев С. С. Минимизация овражных функций численным методом для решения жестких систем уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов, Е. А. Новиков. - Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР. - 1980. - (Препринт №74).

64. Dalquist G. A special stability problem for linear multistep methods / G. Dalquist // BIT. - 1963. - Vol. 3. - P. 23-43.

65. Butcher J. C. Coefficients for the study of Runge-Kutta integration process / J. C. Butcher // J. Austral. Math. Soc. - 1963. - № 3. - P. 185-201.

66. Butcher J. C. Implicit Runge-Kutta processes / J. C. Butcher // Math. Сотр. — 1964.-№ 18.-P. 50-64.

67. Butcher J. C. Integration processes based on Radau quadrature formulas / J. C. Butcher // Math. Сотр. - 1964. - № 18. - P. 233-244.

68. Butcher J. C. On the attainable order of Runge-Kutta methods / J. C. Butcher // Math. Сотр. - 1965. -№ 19. - P. 408-417.

69. Butcher J. C. On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations / J. C. Butcher // Math. Сотр. - 1966. - № 20. - P. 1-10.

70. Butcher J. C. The numerical analysis of ordinary differential equations, Runge-Kutta and general linear methods : монография / J. C. Butcher. - New York : Wiley, 1987.-21 lp.

71. Wanner G. Letter to S.P. Norsett and unpublished communications to P. Kaps and A.Wolfbrandt [Электронный ресурс] / G. Wanner. 1973. Режим доступа : http://www.springerlink.com/content/lr76u77044247161/

72. Новиков Е.А. Замораживание матрицы Якоби в методе типа Розенброка второго порядка точности / Е.А. Новиков, В.А. Новиков, J1.A. Юматова // ЖВМ и МФ. - 1987. - Т. 27, №3. - С. 385-390.

73. Дуракова В.К. Явные методы типа Рунге-Кутта первого порядка точности с заданным размером интервала устойчивости / В.К. Дуракова, В.А. Новиков, Е.А. Новиков // ЖВМ и МФ. - 1987. - Т. 28, №4. - С. 603-607.

74.Novikov Е.А. Application of explicit Runge-Kutta methods to solve stiff DDE's / E.A. Novikov // Advances in Modeling & Analysis, A, AMSE Press. - 1992. -Vol. 16, №l. -p. 23-35.

75. Новиков Е.А. Явные методы четвертого порядка точности с заданной областью устойчивости / Е.А. Новиков, М.И. Голушко // Вычислительные технологии. - 1995. - Т. 4, №10. - С. 252-261.

76. Novikov Е.А. Explicit fourth-order methods for stiff system / M.I. Golushko, E.A. Novikov // Russian Journal of numerical analysis and mathematical modelling.-1999.-Vol. 14, №1.-P. 71-85.

77. Новиков E.A. Явные методы Рунге-Кутта: алгоритмы с контролем устойчивости / Е.А. Новиков, JI.E. Соломатина // Вестник МГТУ имени Н.Э.Баумана, серия "Естественные науки".- 1999. -№2. - С. 34—47.

78. Novikov Е.А. First-order accuracy methods with conformable stability regions / E.A. Novikov, L.N. Kontareva // Russian Journal of numerical analysis and mathematical modelling. - 2000. - Vol. 15, №2. - P. 183-192.

79. Новиков E.A. Явные методы второго порядка с согласованными областями устойчивости / Е.А. Новиков, JI.H. Контарева // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6, №4. - С. 40^9.

80. Новиков Е.А. Явные методы первого порядка с согласованными областями устойчивости / Е.А. Новиков, JI.H. Контарева // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, серия "Естественные науки". - 2001. -№2(7). - С. 45-54.

81.Деревянко В.А. Разработка вычислительных методов для математического моделирования / В.А. Деревянко, Е.А. Новиков, В.В. Шайдуров //

Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9. - С. 59-71.

82. Лебедев В. И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений / В. И. Лебедев. // ОВМ АН СССР, 1987. - (Препринт № 177).

83.Кнауб Л.В. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты / Л.В. Кнауб, Ю.М. Лаевский, Е.А. Новиков // СибЖВМ. - 2007. - Т. 10, №2. - С. 177-185.

84. Новиков Е.А. Применение явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта для численного моделирования задач химической кинетики / Е.А. Новиков, Л.В. Кнауб // Вестник СибГАУ. - 2009. - №1(22), часть 1. - С. 82-85.

85. Новиков Е.А. Конструирование областей устойчивости явных методов типа Рунге-Кутта / Е.А. Новиков // Вычислительные методы и программирование. - 2009. - Т. 10. - С. 248-257.

86. Новиков Е.А. Методы решения жестких задач, гибридные системы и их приложения : монография / Е.А. Новиков, Ю.А. Шорников, Б.У. Уатай. — Алматы: КБТУ, 2010. - 146с.

87. Новиков Е.А. Явные методы Рунге-Кутта: алгоритмы с контролем точности вычислений / Е.А. Новиков, A.A. Захаров // Вестник ТюмГУ. Физико-математические науки. -2010. - №6. - С. 101-107.

88. Новиков Е.А. Численное моделирование пиролиза этана явным методом третьего порядка точности / Е.А. Новиков // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - №4. - С. 62-71.

89. Новиков Е.А. Построение алгоритма интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений на неоднородных схемах / Е.А. Новиков // ДАН СССР. - 1984. - Т. 278, №2. - С. 272-275.

90. Shampine L. F. Implementation of Rosenbrock methods / L.F. Shampine // ACM Transaction on Math. Software. - 1982. - Vol. 8, № 2. - P. 93-113.

91. Shampine L. F. Reliable solution of special event caution problems for ODEs / L.F. Shampine, I. Gladwell, R.W. Brankin // ACM transactions on Mathematical Software.-1991.-№ 1(17).-P. 11-25.

92. Новиков Е.А. Комбинированный численный алгоритм расчета кинетики взрывных процессов / Е.А. Новиков, В.И. Бабушок // ФГВ. - 1990. — №4. —

С. 85-93.

93.Petzold L.R. Automatic selection of methods for solving stiff and nonstiff systems of ordinary differential equations / L.R. Petzold // Sandia national laboratories. - Report sand80-8230. - 1984.

94.Kulich D.M. Mathematical simulation of the oxygen ethane reaction / D.M. Kulich, J.E. Taylor // J. Chem. Kinet. - 1975. - Vol. 8. - P. 89-97.

95.Корзухин М.Д. Математическое моделирование химических и экологических автоколебательных систем : монография / М.Д. Корзухин, A.M. Жаботинский. - М.: Наука, 1965. - 371с.

96. Showalter К., Noyes R.M., Bar-Eli К. A Modified Oregonator Model Exhibiting Com - plicated Limit Cycle Behavior in a Flow System / K. Showalter, R.M. Noyes, K. Bar-Eli // J. Chem. Phys. - 1978. - 69. - P. 2514-2524.

97.Mazzia F. Test Set for Initial Value Problem Solvers: монография / F. Mazzia, C. Magherini. - Department of Mathematics, University of Bari and INdAM, Research Unit of Bari. Release 2.4, 2008. - 295p.

98. Новиков A.E. Алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий метода Дорманда-Принса восьмого порядка точности / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Вычислительные методы и программирование. - 2007. — Т. 8. -С. 317-325.

99. Новиков А.Е. ¿-устойчивый (2,1)-метод решения жестких неавтономных задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Вычислительные технологии. - 2008.

- Т. 13. - Вестник КазНУ. - №3(58). - С. 477-482.

100. Новиков А.Е. Численное моделирование цикла цезия в верхней атмосфере Z-устойчивым методом второго порядка точности / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков//Вестник СибГАУ. - 2009. - Часть 1,№4(24). -С. 7780.

101. Новиков А.Е. Численное решение жестких задач с небольшой точностью / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, №1.-С. 46-56.

102. Novikov А.Е. Numerical Integration of Stiff Systems with Low Accuracy / A.E. Novikov, E.A. Novikov // Mathematical Models and Computer Simulations.

- 2010. - Vol. 2, No. 4. - P. 443-452.

103. Новиков А.Е. Численное моделирование пиролиза этана (2,1)-методом решения жестких неавтономных задач / JI.B. Кнауб, А.Е. Новиков, Ю.А. Шитов // Вестник КрасГАУ. - 2010. - №1. - С. 22-27.

104. Кнауб JI.B. Семейство (т,1)-методов решения жестких линейных задач / Л.В. Кнауб, А.Е. Новиков // Вестник ИжГТУ. - 2010. - №4(48). - С. 152155.

105. Новиков А.Е. Комбинированный алгоритм третьего порядка для решения жестких задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Вычислительные технологии. - 2011. - Т. 16, №6. - С. 54-68.

106. Новиков А.Е. Алгоритм интегрирования переменной конфигурации на основе явно-неявных схем четвертого порядка / А.Е. Новиков, В.В. Шайдуров // Вестник Бурятского государственного университета. — 2012. -Выпуск 9.-С. 111-116.

107. Новиков А.Е. Контроль устойчивости метода Ческино второго порядка точности / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков, Л.В. Кнауб // Вестник Бурятского государственного университета. - 2013. - Выпуск 9. — С. 111—116.

108. Новиков А.Е. Замораживание матрицы Якоби в (2,2)-методе решения жестких систем // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». - 2009. - Воронеж, 2224 июня. - С. 87-89.

109. Новиков А.Е. Модифицированный метод Дорманда-Принса переменного порядка и шага / А.Е. Новиков // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». - 2010. - Воронеж, 20-22 сентября. - С. 274-277.

110. Новиков А.Е. Неоднородный метод третьего порядка для решения жестких задач / А.Е. Новиков // XLIX Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс". -2011. - Новосибирск, 16-20 апреля. - С. 218-219.

111. Новиков А.Е. Согласование областей устойчивости явных методов / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Международная конференция «Математические и информационные технологии». — 2011. - Сербия Черногория, 27 августа — 5 сентября. http://conf.nsc.ru/MIT-2011 /reportview/47120.

112. Новиков А.Е. Алгоритм интегрирования переменной структуры для решения жестких задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Пятая Всероссийская конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2011). - 2011. - Санкт-Петербург, 19-21 октября. - С. 195-200.

113. Новиков А.Е. Численный метод третьего порядка для решения жестких задач / А.Е. Новиков // Сборник трудов международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». - 2011. - Воронеж, 26-28 сентября. - С. 280-282.

114. Новиков А.Е. Применение явных трехстадийных методов для моделирования кинетики химических реакций / А.Е. Новиков // III Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации". - 2012. - Якутск, 21-28 мая. - С. 127130.

115. Новиков А.Е. Явно-неявный алгоритм четвертого порядка для решения жестких задач / А.Е. Новиков // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». - 2012. -Воронеж, 17-19 сентября. - С. 274-278.