Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности для численного решения некоторых задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Быкова, Елена Геннадьевна

• Быкова, Елена Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Быкова, Елена Геннадьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1.1. Схема четвертого порядка точности

1.1.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация

1.1.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

1.1.3. Сходимость неоднородной разностной схемы

1.1.4. Численные примеры

1.2. Схема шестого порядка точности

1.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация

1.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

1.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы

1.2.4. Численные примеры

1.3. Обсуждение результатов и возможные пути обобщения

ГЛАВА 2. НЕОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

2.1. Постановка задачи и гладкость решения

2.2. Численное решение задачи Дирихле на прямоугольнике

2.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация

2.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

2.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы

2.2.4. Численные примеры

2.3. Численное решение задачи Дирихле в области с гладкой границей

2.3.1. Построение разностной сетки и классификация ее узлов

2.3.2. Интерполяционная формула Лагранжа

2.3.3. Построение разностной аппроксимации

2.3.4. Устойчивость, разрешимость и сходимость сеточной задачи

2.3.5. Численные примеры

2.4. Неоднородная схема для квазилинейного уравнения эллиптического типа

2.4.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация

2.4.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

2.4.3. Сходимость неоднородной разностной схемы

ГЛАВА 3. НЕОДНОРОДНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

3.1. Постановка задачи и вопросы гладкости решения

3.2. Дискретизация задачи по пространству

3.2.1. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

3.2.2. Сходимость неоднородной разностной схемы

3.3. Программная реализация на ЭВМ, вычислительные эксперименты и обсуждение результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности для численного решения некоторых задач математической физики»

ВВЕДЕНИЕ

Потребность в решении задач математической физики с высокой степенью точности не убывает несмотря на рост быстродействия ЭВМ. Сложность математических моделей, возникающих на практике, опережает развитие вычислительной техники, что в свою очередь, приводит к возрастающим требованиям к методам решений. На первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения задач. В этой связи актуальность схем повышенной точности не вызывает сомнения, поскольку они позволяют получить прближенное решение с заданной точностью при меньших вычислительных затратах.

Пути повышения точности приближенных решений задач математической физики обсуждаются в нескольких направлениях. Это и простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач, это использование многоточечных разностных схем и уточнение разностями высоких порядков, это экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решение задач на последовательности сеток [3], и многое другое.

Построенные в работе схемы относятся к классу компактных разностных схем. Компактными [29] принято называть разностные схемы, которые имеют повышенный порядок аппроксимации, но записываются на шаблоне, несущественно отличающемся от традиционного для данного уравнения. Обычно это схемы третьего или четвертого порядка аппроксимации, щаблон которых представляет собой т-мерный параллелепипед с размерами ребер в два пространственных шага по каждому из т координатных направлений, называемый иначе т-мерным ящиком. В отличие от

схем повышенной точности на многоточечных шаблонах для компактных схем аппроксимация является улучшенной не на любых гладких функциях, а именно на решениях дифференциального уравнения, так как в этом случае она достигается путем использования следствий уравнения, полученных его дифференцированием. Начало этим исследованиям положил Ш.Е. Микеладзе задолго до появления термина "компактная схема" в работах [17], [22], где для двумерного уравнения Пуассона на квадратной сетке построены разностные схемы, имеющие четвертый порядок аппроксимации в классе достаточно гладких решений исходного уравнения.

Для повышения порядка скорости сходимости разностной схемы Е.В. Волков применял метод уточнения разностями высших порядков [11], [12], [13]. В работе [11] приводятся результаты исследования одного способа уточнений решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной области с криволинейной границей. При составлении разностного уравнения во внутренних узлах привлекается простейший пятиточечный оператор. Для сноса граничной функции в узлы ступенчатого контура на основе экстраполяционного многочлена Лагранжа строится интерполяционная формула. По полученному первому приближению строится поправка с использованием разностей высокого порядка, которая добавляется к правой части уравнения. Затем находится следующее приближение с измененной правой частью и так далее. В работе доказано, что д-е приближение сходится к точному решению со скоростью }г2с'.

В работе [2] рассмотрено несколько способов повышения точности приближенного решения. Например, изложена схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона, оператор которой определен на девятиточечном шаблоне типа "ящик", предложена схема повышенной точности для уравнения теплопроводности.

В работе А.Н. Валиуллина [21] при построении разностных схем повышенной точности частные производные, входящие в дифференциаль-

ное уравнение, начальные данные и граничные условия заменяются конечно-разностными отношениями, имеющими более высокий порядок аппроксимации на заданном шаблоне. Статьи [31], [30] целиком посвящены компактным схемам.

Довольно полно современное состояние с использованием компактных схем отражено в статье [29] и библиографии к ней. Кроме того, в ней предложены компактные схемы повышенного порядка точности для несамосопряженных уравнений эллиптического типа с первыми производными.

Большое число наз^чных публикаций посвящено методу экстраполяции Ричардсона. Систематическое изложение метода и его возможных применений к различным классам задач изложено в монографии [3], где доказано, что метод Ричардсона позволяет получить уточненные решения задач любого порядка точности, если обеспечены соответствующие условия согласования и гладкости. Метод состоит в использовании последовательности сеток и соответствующих им однотипных аппроксимаций для построения приближенных решений заданного порядка точности.

В работе У. Рюде [1] приведены основные варианты алгоритмов: экстраполяция Ричардсона, экстраполяция ошибки вследствие отбрасывания членов разложения и экстраполяция функционалов. Классическая интерполяция, как правило использует постоянную или квази-постоянную сетки, что вместе с гладкостью решения позволяет доказать асимптотические разложения. Последние результаты [1] показали, что эти требования могут быть ослаблены для кусочно-непрерывных сеток. У. Рюде изучал расширение экстраполяции на непрямоугольные сетки. Вместо классического подхода, который пытается показать глобальную точность, показано, что экстраполяция имеет локальную точность высокого порядка. В контексте дифференциальных уравнений в частных производных экстраполяция может быть применена в нескольких различных случаях:

1) как экстраполяция Ричардсона, где образуется линейная комбинация приближенных решений,

2) как экстраполяция, при которой комбинируются ошибки дискретизации,

3) как экстраполяция функционалов.

Поскольку рассматриваемые уравнения имеют несколько независимых переменных, каждый из этих базовых подходов имеет многовариантную реализацию, где вводятся и используются для экстраполяции различные параметры сетки. Рюде предложен вариант многомерной экстраполяции Ричардсона. Его модифицированный метод экстраполяции включает в себя решения трех задач с N. 27У и 2И неизвестными. Классическая интерполяция Ричардсона включает в себя решение для N и 4/У неизвестных. Решить две системы с неизвестными проще и экономичнее чем систему с 47У неизвестными. Однако, если для решения используются многоуровневые итерационные методы, то вычислительная сложность обоих методов примерно одинакова.

В статье Б.Н. Хоромского [32] предложен другой способ экстраполяции, где фиксируется разностная сетка, а расчеты ведутся для последовательности различных систем координат. При этом вычисления проводятся на одной разностной сетке.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе построены и теоретически обоснованы схемы повышенного порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея построения таких схем и термин "неоднородная разностная схема повышенного порядка точности" принадлежит В.В. Шайдурову. Это название возникло из-за разных правил построения сеточных уравнений в четных и нечетных узлах в отличие от однородных схем [2], когда правило построения одинаково для всех узлов сетки. Каждое уравнение имеет только второй порядок аппроксимации, но с остаточными членами разных

знаков в четных и нечетных узлах, и за счет их линейной комбинации погрешность приближенного решения получается более высокого порядка малости.

В разделе 1.1 подробно изложено построение неоднородной разностной схемы четвертого порядка точности, приведено доказательство ее устойчивости и равномерной сходимости с четвертым порядком точности. Стандартный разностный метод второго порядка точности приводит к системе уравнений с трехдиагональной матрицей. Предложенный метод имеет пятидиагональную матрицу, но она легко приводится к трех-диагональному виду. В конце раздела приведены результаты численного эксперимента, подтверждающие повышение порядка точности.

В разделе 1.2 изложена идея построения схемы шестого порядка точности и принцип обоснования точности ее решения. Построенная здесь схема дает систему уравнений с семидиагональной матрицей. Три разных правила построения сеточных уравнений приводят к тому, что порядок точности сеточного решения здесь тоже неоднороден: в узлах с номером, кратным четырем, достигается шестой порядок точности, а в остальных узлах — четвертый порядок, что подтверждено численными примерами.

В разделе 1.3 изложены возможные пути обобщения полученных результатов. Рассмотрен один из способов решения полученных систем с использованием метода прогонки.

Глава 2 посвящена численному решению эллиптических уравнений второго порядка и состоит из четырех разделов. Во вспомогательном разделе 2.1 дана постановка задачи и приведены условия соответствия гладкости данных задачи и ее решения.

Раздел 2.2 посвящен построению неоднородной разностной схемы для двумерной краевой задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на прямоугольнике. Основная идея построения такой схемы аналогична изложенной для обыкновенного дифференциального уравнения.

но увеличение размерности усложнило доказательство ее точности. Тем не менее, для построенной схемы доказан четвертый порядок точности в равномерной норме, что подтверждено численными примерами. Как и в одномерном случае, разностная схема аналогична по структуре системе метода экстраполированных уравнений У. Рюде [1] для конечных элементов. Но доказательство точности построенной схемы отличается от обоснования его метода, основанного на минимизации функционала. Напомним, что стандартный разностный метод второго порядка точности на прямоугольнике приводит к системе линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей при соответствующем упорядочении неизвестных. Построенная схема приводит к системе уравнений с девятиди-агональной матрицей, сохраняющей основные свойства: положительную определенность, симметрию и положительную обратимость.

В разделе 2.3 рассматривается двумерная краевая задача Дирихле для уравнения эллиптического типа в области с гладкой криволинейной границей. Основная идея построения такой схемы аналогична изложенному приему для этого же уравнения в прямоугольнике. Переход к криволинейной границе потребовал решения вопросов либо специальной аппроксимации краевых значений, либо переконструирования сеточных уравнений на нестандартных шаблонах вблизи границы. Оба пути использовались применительно к экстраполяции Ричардсона в работах [3], [12], [13] и [16], [17] соответственно. Первый из них мог и здесь дать желаемый результат, но приводит к протяженным шаблонам. Второй путь несколько сложнее в теоретическом отношении, но дает более компактные шаблоны разностных уравнений около границы. Это привело к его предпочтению. Как и в одномерном случае, разностная схема внутри области аналогична по структуре уравнениям метода экстраполированных уравнений У. Рюде [1] для конечных элементов. Но в приграничной полосе уравнения получаются разными. В конце обоих разделов приведены результаты численных

экспериментов.

В разделе 2.4 рассматривается двумерное квазилинейное уравнение эллиптического типа на прямоугольнике. Основная идея построения такой схемы аналогична линейной задаче Дирихле на прямоугольнике, отличие состоит в нелинейности правой части, что повлекло за собой усложнение доказательства устойчивости и разрешимости.

Глава 3 состоит из трех разделов и посвящена построению неоднородной разностной схемы повышенного порядка точности для нестационарного уравнения теплопроводности. Сначала использован так называемый метод прямых [27]. С его помощью процесс решения нестационарного уравнения разбивается на две части, а именно: пространственную дискретизацию и интегрирование по времени. В ходе пространственной дискретизации уравнение в частных производных при помощи замены дифференциального соотношения по пространству его разностным аналогом превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), поскольку временная переменная остается непрерывной. При интегрировании по времени полученная система ОДУ решается с помощью формулы интегрирования, которая подходит для решаемой задачи.

В вспомогательном разделе 3.1 приводится постановка задачи для уравнения теплопроводности, необходимые условия согласования, обеспечивающие требуемую гладкость решения.

Раздел 3.2 посвящен пространственной дискретизации. На примере уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами построена схема (по пространственной переменной), аналогичная изложенной схеме для обыкновенного дифференциального уравнения в разделе 1.1. Построеная схема по аналогии с [2], [19] названа операторно-разностной, поскольку в ней остался оператор дифференцирования по временной переменной, а по пространственной переменной построена разностная схема. Другими словами., задача теплопроводности сведена к системе обыкно-

венных дифференциальных уравнений первого порядка по временной переменной, "решение которой имеет четвертый порядок точности по пространственной переменной. Доказана устойчивость и сходимость этой операторно-разностной схемы.

В разделе 3.3 приведены два варианта интегрирования по времени полученной полудискретной системы. Использаны два метода: трех-стадийный диагонально-неявный метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности [27] и (т.к)-метод второго порядка точности [28].

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены и обоснованы неоднородные разностные схемы четвертого порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для эллиптического уравнения второго порядка на прямоугольнике и в области с гладкой криволинейной границей.

2. Для одномерного дифференциального уравнения получена неоднородная схема шестого порядка точности.

3. Построены и обоснованы неоднородные схемы повышенного порядка точности для численного решения уравнения теплопроводности и квазилинейного уравнения эллиптического типа второго порядка.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов, подтверждающих полученные теоретические результаты.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались:

1) на семинаре отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН;

2) на международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997;

3) на конференции молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАИ, Красноярск, 1998;

4) на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева (1908-1989), Новосибирск, 1998.

По результатам работы опубликовано 7 работ.

Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований № 98-01-00704.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Быкова, Елена Геннадьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, построена серия неоднородных разностных схем повышенной точности для обыкновенных дифференциальных, эллиптических и параболического уравнения второго порядка. До начала этих исследований развивался и достиг определенных рубежей только аппарат однородных разностных схем. Сопоставим их в общих чертах.

Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений неоднородные разностные схемы представляют, по-видимому, только методический интерес, поскольку эффективность известных схем Нумерова и Самарского выше. Для двумерных линейных эллиптических уравнений второго порядка вычислительная эффективность однородных и неоднородных схем повышенного порядка точности примерно одинакова, хотя теоретическое обоснование неоднородных схем несколько сложнее.

Положение меняется при решении квазилинейных задач с нелинейной зависимостью коэффициентов и правой части от решения. Здесь для построения однородных компактных разностных схем приходится использовать производные от коэффициентов и правой части, что приводит к усложнению вида сеточных уравнений, обоснования устойчивости и сходимости. Рассмотренное в этой работе квазилинейное уравнение Пуассона с нелинейностью в правой части показало, что применение неоднородной схемы принципиально не отличается от линейного случая.

Кроме того, подход с неоднородными схемами независимо дополняет аппарат однородных разностных схем в следующем смысле. Оба приема можно использовать одновременно. Например, вместо простейшего сеточного уравнения малый крест второго порядка аппроксимации, используемого на двух шаблонах с шагами /г и 2/г, можно применить компактное девятиточечное уравнение четвертого порядка аппроксимации. В итоге такая неоднородная разностная схема имела бы шестой порядок точности.

На основе проведенных исследований и вычислительных экспериментов можно заключить, что построен новый метод численного решения задач математической физики, во-первых, для некоторых задач имеющий эффективность выше известных методов и, во-вторых, для ряда задач расширяющий возможности других подходов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быкова, Елена Геннадьевна, 1998 год

- 113 -Список литературы

1. Rüde U. Extrapolation and Related Techniques for Solving Elliptic Equations. // Preprint №1-9135 - München Technical University. - 1991.

2. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.

3. Марчук Р.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. - М.: Наука, 1979.

4. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная разностная схема повышенного порядка точности. Одномерный иллюстративный пример. // Препринт №17 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск - 1996.

5. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная одномерная разностная схема шестого порядка точности.// Препринт №920 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск - 1996 - 15с., - библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 26.05.97, №>1732.

6. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности. Препринт №923 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск - 1996.

7. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности.// Вычислительные технологии. -1997. - Т. 2. - № 5. - С. 12-25.

8. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная разностная схема четвертого порядка точности в области с гладкой границей.// Сибирский журнал вычислительной математики. - т. 1. - №2. - 1998. - С. 99117.

9. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности.//Тез. докл. Математические модели и методы их исследования: Международная конференция. - Красноярск: Краснояр. гос. ун-т. - 1997. - С.49.

10. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности.//Третий сибирский конгресс по приклад-

ной и индустриальной математике, посвященный памяти C.JL Соболева (1908-1989). Тезисы докладов, часть II. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН. - 1998. - С.7.

11. Волков Е.А. Об одном способе повышения точности метода сеток.// ДАН СССР. - 1954. - Вып. 96. - №4. - С. 685-688.

12. Волков Е.А. Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона. // Вычислительная математика. - М., 1957. - №1 - С. 62-80.

13. Волков Е.А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков, I.// Дифф. уравнения. - 1965 - т.1. - №7. - С.946-960.

14. Волков Е.А. Дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. / / Труды МИ АН СССР. - М., 1965 - Вып. 77. - С.89-112.

15. Фуфаев ВВ. К задаче Дирихле для области с углами. // ДАН СССР

- М., 1960. - Вып. 131. - №1. - С. 37-39.

16. Schortley G., Weller R. The numerical solution of the Laplace's equation. // J. Appl. Phis. - 1938. - V.9. - №5. - P. 334-348.

17. Микеладзе Ш.Е. О численном интегрировании уравнений эллиптического и параболического типа.// Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1941.

- Вып.5. - №1. - С. 57-73.

18. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.

19. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977.

20. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. - М.: Наука, 1981.

21. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. - Новосибирск: НГУ, 1973.

22. Микеладзе Ш.Е. Избранные труды. Том 1. Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных

-115-

уравнений. - Тбилиси: Мецниереба, 1979.

23. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1967.

24. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.

25. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967.

26. Раевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978.

27. Деккер Р., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.

28. Новиков Е.А., Шитов Ю.А. Методы второго порядка для решения неавтономных систем ОДУ. // Вычислительные технологии. - 1995.

- Т. 4.-№ 10. - С. 262-271.

29. Паасонен В.И. Компактные схемы для систем уравнений второго порядка с конвективными членами.// Вычислительные технологии. — 1998. - Т. 3. - № 1. - С. 55-66.

30. Валиуллин А.Н., Паасонен В.И. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения колебаний./ / Численные методы механики сплошной среды. - 1970. - Вып. 1.

- № 1. - С. 34-47.

31. Валиуллин А.Н., Паасонен В.И. Схемы повышенной точности для параболических и эллиптических уравнений со смешанной производной./ / Численные методы механики сплошной среды. - 1984. -Вып. 15. - № 2. - С. 36-41.

32. Хоромский Б.Н. Метод повышения точности разностных решений краевых задач с оператором, инвариантным относительно поворота системы координат.// Сообщение Объединенного института ядерных исследований. - Дубна, 1980. - С. 15.