Разработка эффективных явных методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики умеренной жесткости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кнауб, Людмила Владимировна

• Кнауб, Людмила Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кнауб, Людмила Владимировна

Введение.

Глава 1. Контроль точности и устойчивости одношаговых методов.

1.1. Основные определения.

1.2. Контроль точности вычислений.

1.3. Контроль устойчивости.

1.4. Реализация методов с контролем устойчивости.

Глава 2. Алгоритмы с контролем точности вычислений.

2.1. Методы типа Рунге-Кутта.

2.2. Схемы второго порядка точности.

2.3. Схемы третьего порядка точности.

2.4. Алгоритм интегрирования на основе метода Мерсона.

2.5. Анализ результатов расчетов.

Глава 3. Алгоритмы с контролем устойчивости численной схемы.

3.1. Схема второго порядка точности.

3.2. Схема третьего порядка точности.

3.3. Схема четвертого порядка точности.

3.4. Анализ результатов расчетов.

Глава 4. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага.

4.1. Алгоритм интегрирования на основе двухстадийной схемы.

4.2. Алгоритм интегрирования на основе трехстадийной схемы.

4.3. Алгоритм с применением стадий Рунге - Кутта - Мерсона.

4.4. Анализ результатов расчетов.

Глава 5. Комплекс программ RKODE и результаты моделирования практических задач.

5.1. Комплекс программ RKODE для решения жестких задач.

5.2. Численное моделирование реакции Белоусова-Жаботинского, дающей сложный предельный цикл.

5.3. Численное моделирование проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка эффективных явных методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики умеренной жесткости»

В химической кинетике, радиоэлектронике и других важных приложениях возникает проблема численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

У = fit,У), = h^t^h- С1)

Класс задач, описываемых жесткими системами, расширяется, так как учитывается все большее число факторов при построении математических моделей физических процессов. Поэтому возникает необходимость решения жестких задач все более высокой размерности. Это, в свою очередь, повышает требования к вычислительным алгоритмам. Современные методы решения жестких задач, как правило, на каждом шаге требуют обращение матрицы Якоби, что при достаточно большой размерности задачи определяет общие вычислительные затраты. Известные явные методы, в которых матрица Якоби не применяется, в основном не приспособлены для решения задач даже умеренной жесткости по двум причинам. Во-первых, области устойчивости явных методов малы, что приводит к обременительным ограничениям на величину шага интегрирования. Во-вторых, на участке установления решения шаг раскачивается из-за противоречивости требований точности вычислений и устойчивости численной схемы. Поэтому построение новых эффективных явных методов с расширенными областями устойчивости и контролем устойчивости численных схем, а также алгоритмов переменного порядка и шага, является актушНшг®Ьсщддаей.выбрать методы, соответствующие классу решаемых задач. Здесь в основу алгоритмов интегрирования положены явные схемы типа Рунге-Кутта, которые можно записать в виде

Уп+1=Уп + к(РА*п,Уп,Ь)> (2) где п — текущая точка интегрирования, h - шаг интегрирования, (pf — заданная вектор-функция, зависящая от правой части / задачи (1). Они обладают определенными преимуществами перед многошаговыми формулами. В частности, многошаговые методы приводят к осреднению решения ("срезание экстремумов"), что при моделировании некоторых динамических объектов делает их неприемлемыми. Обзор работ, посвященных численному решению задачи (1) многошаговыми методами, содержится в [19, 41, 44, 46, 56].

Существует большое количество методов интегрирования жестких систем. Важным! является круг вопросов, связанных с изменением шага интегрирования и оценкой точности получаемых численных результатов, что и делает метод экономичным и надежным. При проведении практических расчетов основным критерием является точность нахождения решения. Поэтому способы управления шагом основаны, как правило, на контроле точности численной схемы. Многие алгоритмы интегрирования при выборе величины шага используют оценку локальной ошибки или, что то же самое, погрешности аппроксимации, потому что если на каждом шаге контролировать некоторый минимальный уровень локальной ошибки, то глобальная ошибка будет ограничена. В настоящее время можно выделить три практических способа оценки данной ошибки ([41], с. 59-65).

Классический способ оценки локальной ошибки одношаговых методов основан на экстраполяционной формуле Ричардсона [81-82]. Его еще называют правилом Рунге. В каждой сеточной точке интервала интегрирования решение вычисляется с шагом h и 0.5/z, а искомая оценка определяется через разность приближений к решению

V05l'-vh v05h-vh

-^- + 0(hp+2), -+ 0(hp+2)

1 — 1~p 2P - I где p - порядок точности метода, у''7 и у^51' - приближения к решению с шагом h и 0.5/г, S* и S^5ph - соответствующие локальные ошибки. Но этот способ приводит к значительному увеличению вычислительных затрат, т.к. необходимо дважды вычислять решение в каждой точке.

Более дешевым является многошаговый способ [57]. Он заключается в том, что одношаговой формуле р—го порядка точности в соответствие 4 ставится многошаговая схема (р +1) —го порядка

Е [мы - щт^))]=o(kp+2). i=0

Затем данная формула преобразуется таким образом, чтобы после подстановки в нее приближений (2) получилась оценка локальной ошибки одношагового метода

8Я.Р = (Z Д )~'Е - ЩЯУпЛ (3)

0 /=0

Недостатком этого способа является многошаговость оценки.

В последнее время наиболее популярной является оценка локальной ошибки с помощью вложенных методов. Приближение к решению в каждой точке вычисляется двумя методами вида (2) р—то и (р +1)-го порядков точности, а затем локальная ошибка метода р -го порядка оценивается через разность полученных приближений дпр = упр+х ~Упр- Такой способ используется, когда для вычислений по методу р-го порядка не требуется дополнительных вычислений правой части и матрицы Якоби задачи (1). Следует отметить оперативность и относительную дешевизну оценки локальной ошибки с помощью вложенных методов. По затратам на шаг она лежит между оценкой ошибки с помощью экстраполяции Ричардсона и многошаговой оценкой. В то же время, по отношению к многошаговой оценке, в ней при вычислении ошибки используется информация только с данного шага, что повышает ее надежность. Данный способ успешно применялся в [41, 61, 63, 76, 85-86] и ниже будет использоваться здесь.

Для повышения надежности расчетов необходимо найти оценку глобальной ошибки. Наиболее известный способ определения данной ошибки основан на предположении о линейном характере накопления глобальной ошибки из локальных ошибок [66]. В результате для контроля точности предлагается использовать неравенство

SJ<£h/(tk-t0), (4) где 8п — оценка локальной ошибки, ||-|| - некоторая норма в RN, б — требуемая точность расчетов. Такой способ успешно применялся в [56]. Очевидно, что предположение о линейном характере накопления является достаточно грубым. В [3] используется другое неравенство

Up

SJ\<£ s!cp

5) где р — порядок точности метода, а ср — некоторая вычисляемая постоянная. Это неравенство получено в предположении, что при интегрировании устойчивыми методами вклад начальных возмущений убывает по мере продвижения по сетке. Обоснование (5) для линейной скалярной задачи (1) приведено в ([35], с.43-45). Еще один способ оценки основан на интегрировании дополнительной линейной системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение главного члена глобальной ошибки (см., например, [44], с. 40-45). Однако это связано с вычислением матрицы Якоби, которая в явных методах типа Рунге-Кутта не используется, и дополнительными затратами на интегрирование. Поэтому такой способ применяется достаточно редко.

При решении ряда задач L -устойчивыми методами возникает проблема с обращением матрицы Якоби. Поэтому при численном исследовании некоторых жестких задач все большее внимание привлекают явные методы (см. библ. [36]), которые не нуждаются в вычислении данной матрицы. Если жесткость задачи не слишком велика, то они будут предпочтительнее. Появление многопроцессорных вычислительных систем позволяет взглянуть иначе на явные методы, которые легко распараллеливаются [21]. Две основные причины, которые приводят к трудностям при использовании явных методов для решения жестких задач: а) противоречие между точностью и устойчивостью численной схемы на участке установления. Следствием этого является раскачивание шага интегрирования, что в ряде случаев заканчивается аварийной остановкой вычислений. Этого недостатка можно избежать, например, предложенным в [24] способом контроля устойчивости.

Ь) области устойчивости известных численных схем слишком малы. Работы [11, 13, 17, 21-22, 24-29, 31-37, 47-55, 59-60, 64-67, 69-72, 73-80, 87-94] посвящены вопросам построения явных методов с расширенными областями устойчивости.

Расширение области устойчивости связано с ростом вычислительных затрат на шаг интегрирования. Поэтому, если шаг ограничен по точности, такие схемы будут малоэффективны. Однако если шаг ограничен в силу устойчивости, что имеет место на участке установления, то за счет применения численных схем с расширенными областями устойчивости можно значительно повысить эффективность алгоритма интегрирования [17, 21, 28-29, 33, 36, 74, 90-92, 94]. В качестве критерия выбора численной формулы можно использовать неравенство для контроля устойчивости [24].

Очевидно, что за счет контроля устойчивости и использования численных схем с расширенными областями устойчивости можно только расширить границы применимости явных формул. Для данных методов шаг h ограничен в силу неравенства h | Лтах |< D, где Лтах есть максимальное собственное число матрицы Якоби системы (1), а положительная постоянная D связана с размером области устойчивости. Так как для многих жестких задач длина интервала интегрирования значительно превышает величину DI | Ятах |, то условие h | Хтах |< D является весьма и весьма обремКшитселмиБОДов, основанный на дробно — рациональном представлении приближенного решения исследуется в [73], а в [40] рассмотрены методы, основанные на использовании аппарата цепных и ветвящихся дробей. Еще один подход к построению вычислительных алгоритмов заключается в конструировании численных схем, учитывающих специфику исходной задачи. Здесь можно выделить схемы экспоненциальной подгонки [16], и методы, основанные на обращении главной части дифференциального оператора [8-9]. В [15] предложен новый численный метод интегрирования жестких систем, в основе которого лежит принцип последовательной фильтрации членов, соответствующих наибольшим собственным значениям матрицы Якоби системы (1). Он позволяет без потери устойчивости увеличить шаг интегрирования даже в случае простейших численных схем. В [2] рассмотрены вопросы реализации методов интегрирования на Фортране.

Диссертация посвящена вопросам построения эффективных алгоритмов численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе явных методов типа Рунге-Кутта. Повышение эффективности достигается как за счет более гибкого управления величиной шага интегрирования по точности и устойчивости, так и за счет построения алгоритмов переменного порядка и шага на основе методов с расширенными областями устойчивости. В качестве критерия выбора численной схемы используются неравенства для контроля точности и устойчивости. При решении жестких задач это позволяет на каждом шаге выбирать эффективный с точки зрения вычислительных затрат метод.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении дан обзор работ по теме диссертации и приведено краткое описание содержания диссертации по главам.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кнауб, Людмила Владимировна

Основные результаты опубликованы в журналах по списку ВАК [99103].

Заключение

На основе явных методов типа Рунге-Кутта с контролем точности вычислений и устойчивости численной схемы созданы новые эффективные алгоритмы переменного порядка и шага для решения задач средней жесткости. Разработан комплекс программ RKODE, с помощью которого произведено моделирование двух практических задач.

1. Разработаны новые явные двухстадийный и трехстадийный методы типа Рунге-Кутта с контролем точности вычислений и устойчивости численной схемы, сформулированы алгоритмы переменного шага.

2. Для каждого из созданных методов достроены численные схемы первого порядка точности с расширенными областями устойчивости и сформулированы алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага, в которых на каждом шаге эффективный метод выбирается исходя из критерия устойчивости.

3. Проведены тестовые испытания на семи жестких тестовых примерах из химической кинетики, подтверждающие надежность и эффективность неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной формулы, а также более чем десятикратное повышение эффективности по сравнению с расчетами по фиксированной численной схеме.

4. Создан комплекс программ RKODE, в состав которого включены программные реализации разработанных алгоритмов интегрирования.

5. Приведено численное моделирование модифицированного орегонатора, дающего сложный предельный цикл, и моделирование проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кнауб, Людмила Владимировна, 2009 год

1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф., Захаров А.Ю., Калиткин Н.Н. О тестировании программ решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Препринт 139, М.: ИПМ АН СССР, 1983.

2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Издательство Московского университета, 1990. 1975, с. 214-220.

3. Артемьев С.С., Демидов Г.В. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. //ДАН СССР, 1978, т. 238, 3, с. 517 520.

4. Артемьев С.С., Демидов Г.В. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / Препринт 45, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975, т. 1,

6. Бобков В.В. Об одном семействе нелинейных разностных схем. // Дифференциальные уравнения, 1977, 11, с. 2086-2078.

7. Бобков В.В. Новые явные А устойчивые методы численного решения дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1978, 12, с. 2249 -2252.

8. Бобков В.В.Об одном способе построения методов численного решения дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1983, 7, с. 1115 1122.

9. Бобков В.В., Мандрик П.А., Репников В.И. Об одном классе разностных схем для дифференциальных уравнений. // Вестник Белорусского ун. та, 1985, Сер.1, Физ. матем. и мех. 3, с. 3 1 - 34.

10. Виноград Р.Э. Об одном критерии неустойчивости в смысле Ляпунова решений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1952, т. 84, с. 201 204.

11. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге — Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988.

12. Демидов Г.В., Новиков Е.А. Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Числ. методы мат. физики, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, с. 69-83.

13. Демидов Г.В., Новиков Е.А. О контроле точности явных формул типа Рунге — Кутта второго и третьего порядков аппроксимации с помощью формул более низкого порядка. // Числ. методы мех. сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, 6, с. 59 -74.

14. Демидов Г.В., Новиков Е.А. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. // Числ. мет. мех. сплошной среды, Новосибирск, 1985, т. 16, 1, с. 27-39.

15. Демирчян К.С., Ракитский Ю.В. О фильтрации составляющих с большими производными в динамических системах. / Препринт 3, М.: ИВТАН СССР, 1984.

16. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методырешения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

17. Дуракова В.К., Новиков В.А., Новиков Е.А. Явные методы типа Рунге Кутта первого порядка точности с заданным размером интервала устойчивости. // ЖВМ и МФ, 1988, т. 28, 4, с. 603 - 607.

18. Захаров А.Ю. Некоторые результаты сравнения эффективности методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / Препринт 125, М.: ИПМ АН СССР, 1979.

19. Захаров А.Ю., Кальянова Н.А., Капуста В.О., Шульмина Т.П. О программах, комплексах и пакетах программ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Препринт 160, М.: ИПМ АН СССР, 1984.

20. Кальянова Н, А., Захаров А.Ю., Маркачев Ю.Е. LSODA пакет программ для численного решения жестких и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / Инструкция, М.: ИПМ АН СССР, 1988.

21. Лебедев В.И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений. / Препринт 177, М.: ОВМ АН СССР, 1987.

22. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. / Препринт 98, М.: ИПМ АН СССР, 1984.

23. Новиков Е.А. Некоторые эффективные алгоритмы численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / Дисс. канд. физ. мат. наук, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.

24. Новиков В.А., Новиков Е.А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.//ДАН СССР, 1984, т. 277. 5, с. 1058- 1062.

25. Новиков Е.А. Построение алгоритма интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений на неоднородных схемах. // ДАН СССР, 1984, т. 278, 2, с. 272-275.

26. Новиков В.А., Новиков Е.А. Об алгоритме переменной структуры на основе явных формул типа Рунге Кутта первого и второго порядков точности. / Препринт 112, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. '

27. Новиков В.А., Новиков Е.А. Явные методы для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / Препринт 629, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.

28. Новиков Е.А., Шитов Ю.А. Исследование (т,к) — методов решения жестких систем с одним и двумя вычислениями правой части. / Препринт 15, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1987.

29. Новиков В.А., Новиков Е.А. О построении явных методов типа Рунге

30. Кутта с расширенными областями устойчивости./ Препринт 9, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1988.

31. Новиков В.А., Новиков Е.А. Численное конструирование областей устойчивости явных методов. / Препринт 15, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1988

32. Новиков Е.А., Дуракова В.К. Алгоритм переменного порядка и шага на основе явной шестистадийной схемы типа Рунге Кутта. / Препринт 11, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1988.

33. Новиков В.А., Новиков Е.А., Шокин Ю.И. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с небольшой точностью. // Вопросы качественной теории диф. уравнений, Новосибирск: Наука, 1988. с. 29-35.

34. Новиков В.А., Новиков Е.А. Одношаговые методы интегрирования задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. / Красноярск: КГУ, 1989, ч.1, 1989.

35. Новиков В.А., Новиков Е.А., Дуракова В.К. Автоматизация построения на ЭВМ явных методов первого и второго порядков точности с адаптивной областью устойчивости. / Препринт 17 и 18. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989.

36. Новиков Е.А. Одношаговые безытерационные методы решения жестких систем. / Дисс. доктора физ. мат. наук, Новосибирск, 1991. — Р&]. Петровский И:Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

37. Ракитский Е.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

38. Слоневский Р.В. Новые дробно рациональные численные методы решения жестких систем. // Числ. решение ОДЕ, М.: ИПМ АН СССР, 1988, с. 124-138

39. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта, М.: Мир, 1979.42. • Шилов Г.Е.Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных). М.: Наука, 1972.

40. Широбоков Н.В. К определению жестких дифференциальных задач. //ЖВМиМФ, 1984, т. 24, 4, с. 599-601.

41. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

42. Федоренко Р.П. О регулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1983, т. 273, 6, с. 1318 -143692. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

43. Ansorge R., Tornig W. Zur stabilitat des Nystromschen verfahren. // Z. Angew. Math. Mech., 1960, 40, p. 568 570.

44. Bakker M. Analytic aspects of a minimax problem (Dutch). / Report TN 62, Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1971.

45. Beentjes P.A., Dekker K.A. 5th order, 6th stage Runge Kutta formula with optimal stability boundary(Dutch). / Report NR 27. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1972.

46. Beentjes P.A. Some special formulas of the England class of fifth order Runge — Kutta schemes./ Report NW14/74, Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1974.

47. Bettis D.G. Numerical integration of products of Fourier and ordinary polynomials.//Numer. Math., 1970, 14, p. 421 -434.

48. Bettis D.G. Runge Kutta algorithms for oscillatory problems. // Z. Angew. Math. Phys., 1979, 30, p. 699 - 704.

49. Burrage K. Order and stability properties of explicit multivalue methods. //Appl. Numer. Math., 1985, 1, p. 363 -379.

50. Butcher J.C. On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations. //Math. Сотр., 1966, 20, p. 1 10.

51. Dalquist G. A special stability problem for linear multistep methods. // BIT, 1963, v. 3, p. 23 43.

52. Dekker K. Generalized Runge Kutta methods for coupled systems of hyperbolic differential equations. // J. Сотр. Appl. Math., §6^|7,Bs]pke^K.-S2t&lbility of linear multistep methods on the imaginary axis. //BIT, 1981, 21, p. 66-69.

53. England R. Error estimates for Runge Kutta type solutions to systems of ODE's. // Comput. J., 1969, 12, p. 166 - 169.

54. Gear C.W. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations. // SIAM J. Numer. Anal., 1965, 2, p. 69 86.

55. Gear C.W. The automatic integration of stiff ordinary differential equations. //Infor. Proc., 1969, p. 187 193.

56. Gentzsch W., Schluter A. Ueber ein Einschrittverfahren mit zyklischer Schrittweitenanderung zur lozung parabolischer Differentialgleichungen. //ZAMM, 1978, 58, p. t415 -t416.

57. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. New York London: John Wiley & Sons., Inc. 1962.

58. Kinnmark I.P.E., Gray W.G. Fourth order accurate one - step integration methods with large imaginary stability limits. // Numer. Math, for Partial Differential Equations, 1986, 2. p. 63 - 70.

59. Lambert J. D. Computational methods in ordinary differential equations, Wiley, New York, 1973.

60. Lapidus L., Seinfeld J. H. Numerical solution of ordinary differential equation, Academic Press, New York, 1971.

61. Novikov V.A., Novikov E.A. On the accuracy and stability control of one step methods of integration of ordinary differential equations. //In.: Proc. BAIL-mConf., Bool Press, 1984, p. 81-93.

62. Novikov V.A., Novikov E.A. Explicit methods for stiff systems of ordinary differential equations. //In.: Proc. П Conf.: Numerical analysis and applications held in Benin City, Nigeria, Bool Press, 1986.

63. Novikov V.A., Novikov E.A. Explicit methods of Runge Kutta type with adaptive stability Region. //In.: Proc. BAIL - V Conf., Bool Press, 1988, p. 269-276.

64. Novikov E.A. Application of explicit Runge Kutta methods to solve stiff ODE's. // Advances in Modeling & Analysis, A, AMSE Press, v. 16, 1, 1992, p. 23 -35.

65. Richardson L.F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stress in a massory dam. // Philos. Trans. Roy. Soc., London, 1910, ser. A, 210, p. 307 357.

66. Shintani H. On a one step method of order 4. // J. Sei. Hiroshima Univ. 1966. Ser. A - 1 Math., 30, p. 91 - 107.

67. Shintani H. Two step processes by oneOstep methods of order 3 and of order 4. // J. Sei. Hiroshima Univ., 1966, Ser. A-l Math., 30, p. PB] - l^&n. der Houwen P.J. One - step methods for linear initialvalueproblems. //ZAMM, 1971, 51, p. t59 -t60.

68. Van der Houwen P.J. Explicit Runge Kutta methods with increased stability boundaries. //Numer. Math., 1972, 20, p. 149 - 164.

69. Van der Houwen P.J. Construction of integration formulas for initial value problems. North - Holl and Amsterdam, 1977.

70. Van der Houwen P.J. Stabilized Runge Kutta methods for second - order differential equations without first derivatives. // SIAM J. Numer. Anal., 1979, 16, p. 523 - 537.

71. Van der Houwen P.J. Modified Nystrom methods for semi — discrete hyperbolic differential equations. // SIAM J. Numer. Anal. 1981, 18, p. 1081 1097.

72. Van der Houwen P.J., Sommeijer B.P. Predictor corrector methods with improved absolute stability regions. // IMA J. Numer. J^|l.ElrftS§iiS,¥-^7Hi4B7r.E. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE's //BIT, №15, 1975 . - p. 10 - 48.

73. Корзухин M. Д., Жаботинский A. M. Математическое моделирование химических и экологических автоколебательных систем. — М.: Наука, 1965

74. Showalter К., Noyes R.M., Bar-Eli К. A Modified Oregonator Model Exhibiting Com plicated Limit Cycle Behavior in a Flow System // J. Chem. Phys., 69, 1978. - p. 2514 - 2524

75. Mazzia F., Magherini C. Test Set for Initial Value Problem Solvers //Department of Mathematics, University of Bari and INdAM, Research Unit of Bari, release 2.4, 2008.

76. Кнауб Л.В., Лаевский Ю.М., Новиков E.A. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты // Новосибирск: СибЖВМ, т. 10, №2, 2007.-е. 177 185. *

77. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования на основе явного трехстадийного метода Рунге-Кутта // Вестник КрасГАУ, №3, 2009. с. 4954.

78. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Численное моделирование орегонатора двухстадийным методом типа Рунге-Кутта // Вестник КрасГАУ, №4, 2009. -с. 16-21.

79. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Применение явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта для численного моделирования задач химической кинетики // Вестник СибГАУ, №1(22), часть 1, 2009. с. 77-80.

80. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования с контролем точности и устойчивости явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта // Системы управления и информационные технологии, №1(35), 2009. с. 2024.

81. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Контроль устойчивости явного двухстадийного метода типа Рунге-Кутта // Труды международной конф. "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании", т.2, Павлодар, 2006. с. 71-76.

82. Кнауб Л.В., Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования на основе явного двухстадийного метода типа Рунге-Кутта // Вестник КрасГАУ: Ресурсосберегающие технологии в с/х, №4, 2007. с. 146-150.