Численные алгоритмы решения некоторых классов эволюционных уравнений с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лекомцев, Андрей Валентинович

• Лекомцев, Андрей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лекомцев, Андрей Валентинович

Основные сокращения и обозначения

Введение

Глава I Полуявные численные методы решения жестких функционально-дифференциальных уравнений

1.1 Постановка задачи и основные предположения.

1.2 Вывод коэффициентов метода типа Розенброка для ФДУ

1.3 Оценка порядка сходимости.

1.4 Оценка порядка невязки.

1.5 Численное моделирование.

Глава II Полуявные численные методы решения жестких функционально-дифференциально-алгебраических уравнений

2.1 Постановка задачи и основные предположения.

2.2 Разрешимость численной модели.

2.3 Оценка порядка сходимости.

2.4 Оценка порядка невязки.

2.5 Подбор свободных параметров.

2.6 Численное моделирование.

Глава III Численный метод решения уравнения параболического типа с запаздыванием

3.1 Постановка задачи и основные предположения.

3.2 Метод переменных направлений.

3.3 Общая разностная схема с последействием и ее порядок сходимости

3.4 Сведение к однородным граничным условиям

3.5 Вложение схемы переменных направлений в общую разностную схему с последействием.

3.6 Численное моделирование.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные алгоритмы решения некоторых классов эволюционных уравнений с запаздыванием»

Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия, состоящего в том, что будущее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, то есть от предыстории. Большинство задач теряет содержательный смысл, если не рассматривается зависимость от прошлого. Такие процессы часто моделируются как обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздываниями различных видов, называемыми также уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями (сокращенно ФДУ), так и уравнениями математической физики параболического и гиперболического типов с эффектом запаздывания (эволюционные ФДУ). Кроме того, такие объекты могут иметь дополнительные алгебраические связи (функционально-дифференциально-алгебраические уравнения, сокращенно ФДАУ).

Системы с последействием получили значительные приложения в таких областях, как, например, механика, техника, экономика, биология, медицина. Так в биологических системах эволюция связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие или вымирание, поэтому существенно зависит от предыстории. В медицине при взаимодействии лекарства с клетками опухоли соответствующее воздействие происходит не мгновенно, а с распределенным запаздыванием.

Возникновение систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развитие соответствующей теории, которая активно развивалась такими математиками как V. Volterra, Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, Ю.С. Коле-сов, В.Б. Колмаповский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржан-ский, В.П. Максимов, Г.И. Марчук, А.Д. Мышкис, Р.В. Носов, С.Б. Норкин, Ю.С. Осипов, JI.C. Понтрягин, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, R. Bellman, K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantham, J. Wu и многими другими. Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, точное решение подобных систем аналитическими методами удается получить лишь в исключительных случаях. В силу этого, проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными •средствами является особенно актуальной.

Для получения численного решения уравнений с последействием существуют различные подходы. Прежде всего, дифференциальные уравнения с постоянным запаздыванием могут быть сведены к уравнениям без запаздывания методом шагов [27]. Однако, уже в случае переменного запаздывания, стремящегося с течением времени к пулю, этот метод применять нельзя. Поэтому метод шагов работает только в некоторых частных случаях. Во многих работах для получения численного решения существенно используется структура конкретного уравнения, см. обзоры [25,29,31]. В некоторых алгоритмах используется идея непрерывности метода [46,48]. Для разработки численных методов и их практического применения хорошо себя зарекомендовала методика, основанная на идеях разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих, построении по конечномерной составляющей полных аналогов методов, известных для систем без запаздывания, и интерполяции с заданными свойствами дискретной предыстории для учета бесконечномерной составляющей [9], при этом для неявных методов применяется экстраполяция с заданными свойствами. Эта методика позволила построить ряд алгоритмов численного решения ФДУ, составивших основу пакета прикладных программ TDST [9,41].

В работе рассматриваются способы решения систем ФДУ и ФДАУ с помощью полуявных методов типа Розенброка, полученные на базе данного подхода. Также на базе этой методики строится и исследуется аналог метода переменных направлений для численного решения двумерного уравнения параболического типа с запаздыванием.

Работа содержит список основных сокращений и обозначений, введение, три главы, список литературы, два приложения. В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, третья — на номер объекта в данном параграфе. Нумерация теорем, лемм, следствий, определений, предположений сквозная.

Опишем кратко содержание диссертации по главам.

В главе I конструируются полуявные численные методы решения ФДУ типа Розенброка, предназначенные, в частности, для решения жестких систем. Проблема жесткости является одной из главных в теории и практике численного решения дифференциальных уравнений [23,25]. Эта проблема преодолевается, в основном, за счет применения неявных методов, для ФДУ такие методы конструировались и исследовались в работах [5,6,9]. Однако при применении неявных методов на каждом шаге приходится решать нелинейные системы, что обычно приводит к большим вычислительным затратам. Методы типа Розенброка, описанные для обыкновенных дифференциальных уравнений в книге [23], позволяют перейти от решения нелинейных систем к решению последовательности линейных систем, при этом они сохраняют свойство решения жестких систем. Существует достаточно много работ по различным численным методам решения ФДУ [9,25,30,32] (явные и неявные методы типа Рунге-Кутты, многошаговые методы и другие). Насколько известно автору, полуявные численные методы для решения ФДУ раньше не рассматривались.

В работе вводится определение метода типа Розенброка и условия на коэффициенты метода для обеспечения четвертого порядка сходимости метода. Условия на коэффициенты были взяты из аналогичного метода решения для обыкновенных дифференциальных уравнений (сокращенно ОДУ). Способ получения данных условий описан в [23]. Также приводится алгоритм, с помощью которого получается один из возможных наборов коэффициентов, который удовлетворяет всем условиям на коэффициенты метода. В отличие от ОДУ для обеспечения такого же порядка сходимости метода для ФДУ необходимо в определение метода добавлять дополнительное слагаемое, связанное со смешанными частными производными. Этот эффект возникает из-за того, что в отличие от ОДУ в ФДУ порядок вычисления частных и коин-вариантных производных правой части имеет принципиальное значение [9].

Затем рассматривается вопрос о разрешимости системы уравнений, присутствующей в определении метода типа Розенброка. Данный вопрос решается с помощью принципа сжимающих отображений. Попутно получается ряд необходимых свойств для доказательства основной теоремы данной главы о порядке сходимости метода типа Розенброка для ФДУ.

Далее для полного завершения вопроса о сходимости метода анализируется порядок невязки. Этот анализ осуществляется с помощью разложения в ряд Тейлора с использованием инструмента г-гладкого анализа [9].

В последнем параграфе главы I проводятся модельные расчеты рассматриваемых задач. Разработанный метод типа Розенброка применяется для решения ОДУ и ФДУ. В качестве примера ОДУ рассматривается уравнение без запаздывания, обладающее жесткостью. Уравнение решается с помощью двух методов: метод типа Розенброка и метода ode45 в MATLAB (явный метод типа Рунге-Кутты пятого порядка, формула Дормана-Принса). Приводятся сравнительные результаты численных экспериментов, которые показывают, что для метода типа Розенброка отсутствует эффект "пилы", в отличие от формулы Дормана-Принса. Это происходит из-за того, что метод типа Розенброка относится к неявным методам. В качестве примера функционалыю-дифференциальной системы уравнений рассматривается система уравнений Ван-дер-Поля, содержащая постоянное сосредоточенное и распределенное запаздывания.

Программные средства, предназначенные для численного решения ФДУ, описаны в Приложении 1. Там же приводятся несколько иллюстраций пользовательского интерфейса.

Вторая глава посвящена исследованию полуявных численных алгоритмов решения функционально-дифференциальных уравнений с алгебраическими связями (ФДАУ). Обыкновенные дифференциальные уравнения с дополнительными алгебраическими связями (сокращенно ДАУ) активно развиваются в последние годы (см. монографию [23] и библиографию к ней) и как самостоятельный объект, применяемый в математическом моделировании, так и в связи с исследованиями по проблеме жесткости ОДУ Одним из эффективных методов численного решения ДАУ является полуявный метод типа Розенброка, во второй главе строится его аналог для ФДАУ За рамками диссертации остается вопрос, связанный с существованием и единственностью решения начальной задачи для функционально-дифференциально-алгебраических уравнений; предполагается, что решение существует и единственно на некотором отрезке.

Отметим, что ранее одношаговые численные методы ФДАУ исследовались в работе [19], многошаговые — в работе [15]. Полуявные методы типа Розенброка для численного решения ФДАУ ранее не рассматривались.

В работе выписываются конструкции s-этапного метода типа Розенброка для ФДАУ. Рассматривается вопрос о разрешимости системы уравнений, присутствующей в определении метода типа Розенброка. Разрешимость доказывается с помощью принципа сжимающих отображений. Для нахождения порядка сходимости метода типа Розенброка вводится понятие квазилипши-цевости порядка р. Затем доказывается теорема о порядке сходимости метода типа Розенброка для ФДАУ. После этого получаются условия на коэффициенты метода для обеспечения необходимого порядка невязки. При построении 4-х этапного метода типа Розенброка кроме условий на коэффициенты, которые соответствуют случаю для ДАУ [23], также получаются четыре дополнительных условия. Далее производится подбор коэффициентов метода типа Розенброка. В результате удается найти такой набор, при котором выполняются все условия, обеспечивающие необходимый порядок невязки метода.

В последнем параграфе главы II проводятся модельные расчеты рассматриваемых задач. Разработанный метод типа Розенброка применяется для решения ФДАУ и ДАУ. В качестве примера ФДАУ рассматривается уравнение, содержащее постоянное сосредоточенное запаздывание и алгебраическую связь. В качестве примера ДАУ рассматривается система уравнении, которая описывает реакцию Робертсона. Уравнение решается с помощью двух методов: метод типа Розенброка для ФДАУ и метода для ДАУ odelbs в MATLAB (метод с автоматическим выбором шага, основанный на формулах численного дифференцирования назад). Приводятся сравнительные результаты численных экспериментов. Программные средства, предназначенные для численного решения ФДАУ, описаны в Приложении 1. Там же расположен ряд иллюстраций пользовательского интерфейса.

Третья глава посвящена исследованию уравнений параболического типа с эффектом запаздывания общего вида. В ней рассматривается краевая задача первого рода для случая двух пространственных переменных. Существование и единственность решения данной задачи рассматривается в [49]. В этой монографии приведены многочисленные примеры математических моделей, описывающих уравнения в частных производных с эффектом запаздывания (эволюционных ФДУ). В силу сложности таких объектов на первый план выходят численные методы решения, однако исследований по численным методам эволюционных ФДУ практически нет. Можно отметить лишь работу [46], где с позиции общего подхода к численному методу как к непрерывному, строятся и исследуются аналоги метода Кранка-Никольсона. для уравнения параболического типа с запаздыванием. В большинстве применяемых в настоящее время для эволюционных ФДУ используются аналоги метода прямых (см., например, [18,32]), однако этот подход может привести к жесткой системе ФДУ большой размерности.

Для одномерного уравнения параболического типа с эффектом запаздывания в работе [20] были сконструированы и исследованы на устойчивость разностные схемы. В данной работе рассматривается случай двух независимых пространственных переменных. Насколько известно автору, аналог метода переменных направлений для численного решения двумерного уравнений параболического типа с эффектом запаздывания общего вида раньше не рассматривался. Как и в одномерном случае, главная проблема состоит в том, что возникающие разностные схемы из-за эффекта запаздывания оказываются существенно нелинейными, поэтому напрямую применять теорию разностных схем [21] нельзя. Для исследования порядков сходимости используется комбинация общей линейной теории разностных схем, используемой для уравнений в частных производных, и теории нелинейных разностных схем, предложенной ранее для ФДУ в работе [17].

Конструируется метод, являющийся аналогом метода переменных направлений. Вводится понятие невязки метода. Рассматривается вопрос о порядке невязки метода переменных направлений. Затем располагается раздел, в котором детально обсуждаются вопросы построения общей разностной схемы с последействием и определения порядка ее сходимости. Далее рассматривается вопрос о сведении уравнения к однородным граничным условиям. Данное сведение необходимо для применения общей теории устойчивости разностных схем, см. [21]. Способ сведения граничных условий к однородным для данного уравнения аналогичен [13].

Затем показан способ вложения метода переменных направлений в общую разностную схему. Рассмотрены вопросы устойчивости схемы по начальным данным и правой части.

В последнем параграфе главы III проводится ряд численных экспериментов. Разработанный метод переменных направлений применяется для двух уравнений. В качестве первого примера рассматривается тестовое уравнение параболического типа с постоянным сосредоточенным запаздыванием. В качестве второго примера рассматривается уравнение Колмогорова-Пискунова-Петровского с запаздыванием. Приводятся результаты численных экспериментов. Описание программного комплекса для численного решения уравнения параболического типа с запаздыванием приведено в Приложении 2.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Для широкого класса функционально-дифференциальных уравнений сконструированы аналоги полуявных методов типа Розенброка, предназначенных для решения, в том числе, и жестких задач. Найдены дополнительные условия на параметры 4-х этапного метода типа Розенброка для решения функционально-дифференциально-алгебраических уравнений и подобраны параметры, гарантирующие третий порядок сходимости.

2. Получены достаточные условия сходимости полуявных методов для ФДУ и ФДАУ.

3. Для двумерного уравнения параболического типа с эффектом запаздывания сконструирован аналог метода переменных направлений.

4. Найдены условия, обеспечивающие устойчивость и сходимость приближенного решения к решению неоднородной первой краевой задачи для двумерного уравнения параболического типа с последействием.

5. Разработан комплекс программных средств для численного решения соответствующих задач, в котором реализованы разработанные в работе численные методы и алгоритмы, а также выполнена реализация пользовательского интерфейса, который предназначен для более удобной работы с вводом и выводом информации.

Основные ■ результаты диссертационной работы докладывались на 38-ой региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 29 января - 2 февраля 2007); конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной памяти профессора Н.В.Азбелева (Ижевск, 4-9 мая 2008); межвузовской научной конференции по проблемам информатики "СПИСОК-2009" (Екатеринбург, 20-23 апреля 2009); научных семинарах ка.-федры вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького; а также в Институте математики и механики УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, 4 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Лекомцев А.В. Полуявный метод для функционально-дифференциально-алгебраических уравнений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 2. С. 75-76.

2. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Полуявный метод для численного решения функционально-дифференциально-алгебраических уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. № 5. С.62-67.

3. Лекомцев А.В. Метод переменных направлений для численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 2(36). С. 8-13.

4. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Том 16, № 1. С. 102-118.

5. Лекомцев А.В. Метод переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // СПИСОК-2009: Системное программирование, интеллектуальные системы, обеспечение качества. Тезисы доклада межвузовской научной конференции по проблемам информатики. Екатеринбург. УрГУ. 20-23 апреля 2009. С. 118-123.

6. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Метод типа Розенброка для численного решения функционально-дифференциально-алгебраических уравнений // Известия Уральского государственного университета (Серия: Математика. Механика. Информатика. Вып. 12). 2010. № 74. С. 83-113.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лекомцев, Андрей Валентинович, 2010 год

1. Tavernini L. Continuous-Time Modeling and Simulation. Gordon and Breach. Amsterdam. 1996.

2. Tavernini L. Finite Difference Approximations for a Class of Semilinear Volterra Evolution Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1977. Vol. 14, № 5. P. 931-949.

3. Tavernini L. Linear multistep methods for the numerical solution of Volterra functional differential equations // J. Applic. Anal. 1973. Vol. 1. ■P. 169-185.

4. Tavernini L. One-step methods for the numerical solution of Volterra functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1971. Vol. 8. P. 786-795.

5. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag. 1996. 429 p.Публикации автора

6. Лекомцев А.В. Метод переменных направлений для численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 2(36). С. 8-13.

7. Лекомцев А.В. Полуявный метод для функционально-дифференциально-алгебраических уравнений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 2. С. 75-76.

8. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Полуявный метод для численного решения функционально-дифференциально-алгебраических уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. № 5. С. 62-67.

9. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики "УрО РАН. 2010. Том 16, № 1. С. 102-118.