Численные методы решения краевых задач для линейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Федоров, Дмитрий Владимирович

• Федоров, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоров, Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИСЧЕРПЫВАНИЕ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЁВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В УРАВНЕНИЕ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА.

2. О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ.

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

4. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА.

5. СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ ЭРМИТА.

6. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ.

7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ.

8. ЗАМЕЧАНИЯ.

ГЛАВА 2. АДДИТИВНОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ПОГРАНСЛОЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ.

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ.

5. СВОЙСТВА АСИМПТОТИКИ.

6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ НА ОСНОВЕ ТОЧНОЙ СХЕМЫ ТИХОНОВА-САМАРСКОГО.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ.

3. ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА.

4. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ.

5. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

5.1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ.

5.2. АППРОКСИМАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ.

5.3. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНОЙ СХЕМЫ.

5.4. АППРОКСИМАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТОЧНОЙ СХЕМЫ.

5.5. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

5.6. ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ЭКСПОНЕНТАМИ.

6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ.

6.1. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЗАМЕНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

6.2. ОЦЕНКА СНИЗУ ДИАГОНАЛЬНОГО ПРЕОБЛАДАНИЯ.

6.3. ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ ГРИНА ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛЯ.

6.4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ.

6.5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА.

7. ЗАМЕЧАНИЯ.

8. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

8.1. ОПИСАНИЕ.

8.2. РЕЗУЛЬТАТЫ.

8.3. КОД ПРОГРАММЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения краевых задач для линейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной»

Диссертация посвящена разработке и оптимизации численных методов решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Уравнения рассматриваются на отрезке фиксированной длины. В качестве краевых условий берётся равенство нулю неизвестной функции на границах отрезка. Задачи, в которых в качестве краевых условий требуется, чтобы функция принимала заданные значения на концах отрезка, сводятся к задачам выбранного нами типа заменой неизвестной функции на новую, отличающуюся от исходной на линейную функцию, удовлетворяющую требуемым краевым условиям.

Рассматриваемые нами задачи являются сингулярно возмущёнными. Это значит, что их решения имеют особенности и не могут быть с достаточной точностью приближены на всей области решениями задач для уравнений, полученных из исходных обнулением малого параметра.

Решения рассматриваемых нами задач могут иметь большие по модулю производные в узких зонах, называемых пограничными или внутренними слоями, в зависимости от того, где они расположены. Вне этих зон решения меняются плавно. При этом чем меньше параметр при старшей производной, тем уже пограничные или внутренние слои и тем больше по модулю производные решений в них.

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной возникают во многих областях науки, например, в гидродинамике вязкой жидкости, при моделировании полупроводниковых устройств (см., например, [32], [13]), или в химической кинетике. Мы изучаем одни из их простейших представителей. Указанные выше свойства решений приводят к тому, что для достижения приемлемой точности с помощью классических численных методов при малых значениях параметра при старшей производной может потребоваться очень большое число узлов сетки. Поэтому с практической точки зрения важно иметь эффективные специализированные алгоритмы, построенные с учётом особенностей решений.

Численным методам решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной посвящено огромное число работ, см., например, монографии [24], [22], [53], [14], [12], [9], [28] и ссылки в них. Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что при заданных предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности. Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм.

Опишем существующие подходы к численному решению задач с малым параметром при старшей производной. Отметим сразу, что часто применение этих подходов позволяет построить равномерные численные методы, то есть такие методы, погрешность которых оценивается величиной, не зависящей от малого параметра.

Одним из подходов является использование специальных сеток, сгущающихся в зонах, где решение имеет особенности. Существуют различные принципы построения специальных сеток.

Первый равномерный метод, использующий специальную сетку, был обоснован в [25], где рассматривалась краевая задача для линейной системы ОДУ второго порядка. В использованной разностной схеме сетка выбиралась так, чтобы величина, оценивающая погрешность аппроксимации разностной схемы на решении дифференциальной задачи, слабо зависела от узла сетки. При этом шаг сетки плавно меняется от узла к узлу, сетка густая в погрансло-ях, которые в данном случае расположены на обоих концах отрезка. Доказана оптимальность предложенного алгоритма при условии, что коэффициенты имеют непрерывные производные до второго порядка включительно. Отметим также работу [54], где доказана оптимальность алгоритма из [25] для скалярного случая при меньшей гладкости коэффициентов.

Позже появились кусочно-равномерные сетки, см. [53]. Алгоритмы на их основе несколько уступают в точности алгоритмам с плавно меняющимся шагом сетки, но зато они несколько проще.

В [9], [40], [41], [42] разрабатывается подход, в котором строится преобразование координат, устраняющее особенности решения до определённого порядка, а сетка получается из равномерной при помощи обратного преобразования.

В [20] сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерно по малому параметру ограничена в сеточной интегральной норме, и доказывается равномерная поточечная сходимость второго порядка.

Существуют и другие принципы построения сеток, см., например, [34].

Часто используются адаптивные сетки. Такие сетки строятся итерационно. На каждой итерации сетка получается из предыдущей измельчением или, наоборот, загрублением различных участков на основе информации о приближённом решении, полученной на предыдущей итерации.

Другим распространённым подходом является использование специальных разностных операторов. Существуют различные принципы построения специальных операторов.

Первая схема со специальными операторами была обоснована в [37], хотя она появлялась и в более ранних источниках, например, в [1] и [26]. Эта схема имеет первый порядок точности равномерно по малому параметру и относится к так называемым схемам экспоненциальной подгонки. Она отличается от классической схемы тем, что выражение, аппроксимирующее слагаемое, содержащее старшую производную, домножается на коэффициент, зависящий от узла сетки, называемый подгоночным. Этот коэффициент выбирается так, чтобы в случае постоянных коэффициентов точные решения дифференциального уравнения экспоненциального типа являлись решениями разностного. Аппроксимации более высокого порядка могут быть получены с помощью точных схем, предложенных в [50]. Каждое уравнение точной схемы связывает значение решения в некотором узле сетки со значениями решения в двух соседних узлах и с правой частью уравнения.

Метод аддитивного выделения функций погранслоя также можно отнести к методам со специальными операторами. Он предложен в [23]. Основная идея метода состоит в добавлении к базису, в линейной оболочке которого ищется приближённое решение, функций, позволяющих хорошо аппроксимировать решение в пограничных слоях.

Подход, основанный на использовании аналитических решений, впервые был предложен в [5], где производилась замена коэффициентов на кусочно-постоянные. Позже были предложены способы приближения коэффициентов второго порядка точности (см., например, [27]).

Есть и другие принципы построения специальных операторов (см., например, [24], [22]).

Для приближённого решения задач с малым параметром используются также асимптотические методы (см., например, [38], [10], [45]). Существуют численные методы, существенно опирающиеся на асимптотику, такие, как метод исчерпывания погранслоя (см., например, [24]), численное построение компонент асимптотического разложения (см., например, [47]), экстраполяция (см., например, [44], С. 296).

Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что на классе задач, определяемом заданными предположениями о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности. Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм.

Целью нашего исследования является построение таких алгоритмов решения рассматриваемых краевых задач, которые имеют при заданных предположениях о гладкости коэффициентов уравнений и заданном числе неизвестных в дискретизованной задаче как можно более высокую точность. В частности, для классов задач без точек поворота мы стремились построить алгоритмы, оценки погрешности которых с точностью до константы совпадают с оценками снизу колмогоровских поперечников компактов, состоящих из обобщённых решений задач этих классов. Для задач с точками поворота подобные оценки поперечников неизвестны; для них мы стремились построить метод, имеющий при заданной гладкости коэффициентов как можно более высокий порядок точности, причём чтобы константа в оценке погрешности как можно слабее зависела от малого параметра.

Опишем структуру диссертации. В первой главе рассматривается краевая задача для уравнения, вырождающегося в алгебраическое (под вырожденным уравнением понимается исходное уравнение, в котором малый параметр положен равным нулю). Вторая глава посвящена краевой задаче для уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка, со знакоопределённым коэффициентом при первой производной. В третьей главе рассматриваются краевые задачи для уравнений, вырождающихся в уравнения первого порядка, и, возможно, имеющих точки поворота. Точки поворота могут быть произвольного порядка и располагаться внутри или на границе отрезка.

Перечислим основные обозначения, используемые в диссертации. N, 1R - множества натуральных и действительных чисел, deg р — степень многочлена р.

У1 - ближайшее сверху целое к числу reR (JV| -1 < г < ). С - положительные константы, не зависящие от малого параметра и числа неизвестных в дискретизованной задаче. v)n - скалярное произведение в L2 (Q), определяемое по формуле п suppcp - носитель функции ф, т. е. замыкание множества, на котором ср * 0. С00 (ТУ) - совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в области Q.

Q - замыкание области Q.

C(Q) - пространство непрерывных функций на Q,

C*(Q) - пространство функций, имеющих непрерывные производные до порядка к включительно на Q,

HL/pn = max |ф(т) . Hk(Q.) = W* (О) - пространство Соболева, m^-tku

Я'(П) - замыкание C°°(Q) в Н\П). срх - производная функции ср по переменной х.

Если в значке нормы не указана область, то подразумевается область определения функции, стоящей под знаком нормы. Если в значке скалярного произведения не указана область, то подразумевается область, на которой рассматривается краевая задача. Если верхний предел суммирования меньше нижнего, то сумма считается равной нулю.

Если Р - символ, обозначающий некоторый многочлен, то коэффициент при j -той степени этого многочлена обозначается символом Pj. g,j,[B0,BxY) есть интерполяционный многочлен Лагранжа для функции g, построенный по точкам yQ,.,yj X, где

B0+S(B1-B0)/U-1)J>1 \(Bl+B0)/2,j = \

В каждой главе нумерация формул независимая и имеет вид (А, В), где А - номер раздела, В - порядковый номер формулы в разделе. Нумерация лемм и теорем имеет вид А.В, где А - номер главы, В - порядковый номер леммы (теоремы) в главе.

Исследования, представленные в диссертации, частично поддерживались Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 02-0100400).

Л =

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Федоров, Дмитрий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, сформулируем основные результаты диссертационного исследования.

1. Для уравнения, вырождающегося в алгебраическое, построен вариант метода исчерпывания пограничных слоев. Для этого варианта доказаны оценки погрешности в среднеквадратичной и энергетической нормах, совпадающие с точностью до константы с оценками снизу поперечника по Колмогорову компакта, состоящего из обобщённых решений задач рассматриваемого класса. В этом смысле построенный метод является оптимальным. Основная идея метода состоит в переносе в правую часть уравнения дифференциального оператора задачи, применённого к погранслой-ным составляющим решения. Далее дополнение суммы погранслойных составляющих до решения ищется методом Ритца в пространстве сплайнов Эрмита. Погранслойные составляющие решения строятся аналитически. Методы с оптимальными оценками погрешности, основанные на других принципах, существовали и ранее. Отличительной чертой нашего алгоритма является локальность базисных функций и возможность их построения в явном виде. Заслуга автора состоит в обобщении метода исчерпывания погранслоёв на произвольный порядок точности и в предельно точной оценке погрешности.

2. Для уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка, со знако-определённым коэффициентом при первой производной построен вариант метода аддитивного выделения пограничного слоя. Доказана оценка погрешности в среднеквадратичной норме, близкая к оценке снизу колмого-ровского поперечника компакта, состоящего из обобщённых решений задач рассмотренного класса. Метод аддитивного выделения погранслоя первого порядка точности предложен Багаевым и Шайдуровым для самосопряжённой задачи. Его суть состоит в том, что задача решается методом Бубнова-Галёркина с базисом, в который добавлены функции, хорошо описывающие пограничные слои. Эти функции получаются из асимптотического разложения Вишика-Люстерника. В диссертации впервые построен метод аддитивного выделения погранслоя высокого порядка точности для несамосопряжённой задачи с обоснованной оценкой погрешности. 3. Рассмотрены задачи для уравнений, вырождающихся в уравнение первого порядка, и, возможно, имеющих точку поворота, то есть точку, в которой коэффициент при первой производной обращается в нуль. Точки поворота могут быть произвольного порядка и располагаться как внутри, так и на границе отрезка. Для таких задач сконструирован и реализован на практике численный метод на основе точной схемы Тихонова-Самарского на специально подобранной неравномерной сетке. Алгоритм имеет высокий порядок точности в равномерной метрике. Для задач с точкой поворота оценка погрешности зависит от малого параметра лишь логарифмически, а для задач без точек поворота - не зависит от него. Для задач без точек поворота подобные методы применялись ранее другими авторами и доказывалась их равномерность. Для задач с точками поворота в диссертации впервые установлена априорная оценка погрешности метода, использующего приближения высокого порядка к точным схемам Тихонова-Самарского.

Рассмотренные нами задачи являются модельными для многих приложений в различных областях науки и техники, поэтому численные методы их решения представляют практический интерес. Диссертация ориентирована на построение методов, имеющих по возможности оптимальные теоретические оценки погрешности. Естественно ожидать, что такие методы будут эффективны на практике. Действительно, расчёты по алгоритму на основе точной схемы показали, что он с успехом может быть использован для численного решения конкретных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоров, Дмитрий Владимирович, 2004 год

1. D. N. De G. Allen, R. V. Southwell Relaxation methods applied to determine the motion, in 2D, of a viscous fluid past a fixed cylinder // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1955, VIII (2), P. 129-145.

2. Axelsson O., Nikolova M. Adaptive Refinement for Convection-Diffusion Problems Based on a Defect-Correction Technique and Finite Difference Method // Computing, 1997, 58, P. 1-30.

3. Berger A. E., Han H., Kellogg B. A Priori Estimates and Analysis of a Numerical Method for a Turning Point Problem // Mathematics of Computation, 1984, V. 42, N. 166, P. 465-492.

4. Du J. Singularly Perturbed Boundary Value Problem for Linear Equations with Turning Points // Journal of Math. Analysis and Applic. 155, 322-337 (1991).

5. El-Mistikawy Т. M., Werle M. J. Numerical method for boundary layers with blowing the exponential box scheme // AIAA J., V. 16, 1978, P. 749-751.

6. Gartland E. C. Uniform High-Order Difference Schemes for a Singularly Perturbed Two-Point Boundary Value Problem // Mathematics of Computation, 1987, V. 48, N. 178, P. 551-564.

7. Kellogg R. В., Stynes M. Optimal approximability of solutions of singularly perturbed two point boundary value problems. // SIAM J. Numer. Anal., 34(1997), P. 1808-1816.

8. Lee June-Yub, Greengard L. A fast adaptive numerical method for stiff two-point boundary value problems // SIAM J. Sci. Comput. V. 18, N. 2, P. 403429, 1997.

9. Liseikin V. D. Layer Resolving Grids and Transformations for Singular Perturbation Problems. VSP, 2001.

10. O'Malley R. E. Introduction to Singular Perturbations. Academic Press, 1974.

11. Melenk J. M. On n-Widths for Elliptic Problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2000, V. 247, P. 272-289.

12. Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. /. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems. Error Estimates in the Maximum Norm for Linear

13. Problems in One and Two Dimensions. World Scientific Publishing Co. Re. Ltd., 1996.

14. Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I., Wang S. A parameter-uniform Schwarz method for a singularly perturbed reaction-diffusion problem with an interior layer // Applied Numerical Mathematics, 35 (2000), P. 323-337.

15. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1996. — 350 p.

16. Roos H.-G., Vulanovic R. A Higher Order Uniform Convergence Result for a Turning Point Problem // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, V. 12 (1993), P. 723-728.

17. Stynes M. An Adaptive Uniformly Convergent Numerical Method for a Se-milinear Singular Perturbation Problem // Institute for Numerical and Computational Analysis, Dublin, Ireland. Preprint №2, January 1987.

18. Stynes M, Kellogg B. N-widths for Singularly Perturbed Problems // Mathe-matica Bohemica, 2002, V. 127, №2, P.343-352.

19. Sun G., Stynes M. Finite element methods on piecewise equidistant meshes for interior turning point problems // Numer. Algorithms V. 8 (1994), P. 111-129.

20. Алексеевский M. В. Разностные схемы высокого порядка точности для сингулярно возмущённой краевой задачи // Дифференциальные уравнения, 1981, Т. 17, №7, С. 1171-1183.

21. Андреев В. Б. О сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского на гладко сгущающейся сетке // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, Т. 38, №8, С. 1266-1278.

22. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.

23. Багаев Б. М., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем: В 5 частях. Новосибирск: Сибирское предприятие "Наука" РАН, 2001. - Часть 2.

24. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // Дифференциальные и интегро-дифференциальныеуравнения: Сб. науч. тр. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1977. - С. 8999.

25. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем: В 5 частях. — Новосибирск: Сибирское предприятие "Наука" РАН, 1998.-Часть 1.

26. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969, Т. 9, №4, С. 841-859.

27. Бахвалов Н. С. Конспекты по курсу "Основы вычислительной математики". Ч. 1-3. М.: Моск. ун-т, 1966.

28. Бахвалов Н. С. Об оптимизации методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с сильно осциллирующими решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971, Т. 11, № 5.

29. Блатов И. А., Стрыгин В. В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем. Воронеж: ВГУ, 1997 — 406 с.

30. Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, М.: Мир, 1974.

31. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

32. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук, 1957, Т. 12, №5 (77), С. 3-122.

33. Власов В. И., Безродных С. И. Метод решения сингулярно возмущённой системы нелинейных дифференциальных уравнений // Доклады академии наук, 2004, Т. 394, №6, С. 731-734.

34. Емельянов К. В. Применение оптимальных разностных сеток К решению задач с сингулярным возмущением // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1994, Т. 34, №6, С. 936-943.

35. Емельянов К. В. Разностная схема для уравнения ги/! + ха(х)и' Ь(х)и = f(x) II Труды Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР, вып. 21, 1976, С. 5-18.

36. Емельянов К. В. Усечённая разностная схема для линейной сингулярно возмущенной краевой задачи // Доклады АН СССР, 1982, Т. 262, №5, С. 1052-1055.

37. Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Математические заметки, 1969, Т. 6, №2, С. 237-248.

38. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

39. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики, М.: Наука, 1973.

40. Лисейкин В. Д. О методе координатных преобразований для численного решения сингулярно возмущённых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады академии наук, 2000, Т. 374, № 6, С. 744748.

41. Лисейкин В. Д. О численном решении сингулярно возмущенного уравнения с точкой поворота // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984, Т. 24, №12, С. 1812-1818.

42. Лисейкин В. Д. О численном решении сингулярно возмущенных задач с точками поворота // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001, Т. 41, № 1, С. 57-85.

43. Лисейкин В. Д. Об оценках производных решений дифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями // Сибирский математический журнал, 1992, Т. 33, №6, С. 107-117.

44. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

45. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

46. Петухоеа Н. Ю. Численные методы расчёта асимптотических разложений решений некоторых сингулярно возмущённых задач. Диссертация на соискание учёной степени к. ф. м. н., МГУ, ВМК, 1994.

47. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

48. Сечин А. Ю. Численный метод высокого порядка точности для сингулярно возмущённой краевой задачи // Известия высших учебных заведений, Математика, 1983, №7 (254), С. 75-80.

49. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах высокого порядка точности // Доклады АН СССР, 1960, Т. 131, №3, С. 514-517.

50. Фёдоров Д. В. О численном решении краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной // Доклады Академии Наук, 2004, Т. 396, №4, С. 460-464.

51. Фёдоров Д. В. Оптимальный метод решения краевой задачи с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, Т. 43, №2, С. 226-234.

52. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущённых эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992. -232 с.

53. Якубенко Т. А. Оценка погрешности численного решения краевой задачи с пограничным слоем // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1997, Т. 37, №8, С. 945-950.1. ДЛЯ ЗАМЕТОК