Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Петухова, Маргарита Владимировна

• Петухова, Маргарита Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Петухова, Маргарита Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи и исследование ее разрешимости

1.1 Задача Синьорини: основные уравнения и граничные условия

1.2 Вариационная формулировка и разрешимость задачи Синьорини

1.3 Контактная задача для нескольких тел

1.4 Вариационная постановка задачи контакта нескольких тел

Глава 2. Методика решения контактных задач

2.1 Дискретизация задачи Синьорини

2.2 Обзор алгоритмов решения

2.2.1 Алгоритмы по определению зоны контакта

2.2.2 Алгоритмы для решения вариационных неравенств

2.3 Особенности решаемой задачи

2.4 Метод решения контактных задач, основанный на уменьшении размерности задачи

2.4.1 Этап подготовки данных

2.4.2 Переход к задаче квадратичного программирования

2.4.3 Вычисление нормальных перемещений в зоне контакта

2.4.4 Задача о взаимодействии нескольких деформируемых тел

2.5 Решение задачи квадратичного программирования

2.5.1 Обзор методов минимизации квадратичного функционала

2.5.2 Описание двойственного алгоритма активного набора

2.5.3 Адаптация алгоритма к особенностям задачи

2.5.4 Сравнение производительности исходного и адаптированного алгоритма Г-И-П

2.6 Восстановление информации о решении

Глава 3. Верификация разработанной методики на примере задачи Герца

3.1. Аналитическое решение

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Решение задачи Герца для шаров

3.1.3. Тестовая задача

3.2. Численное решение

3.2.1 Подготовка расчетной модели

3.2.2 Особенности построения расчетной модели по разработанной методике

3.3 Результаты

Глава 4. Верификация методики с помощью физического эксперимента и расчетного комплекса ANSYS Mechanical

4.1 Расчетная модель

4.2 Сравнение результатов

Заключение

Список основных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач»

Введение

Актуальность исследования

Одной из актуальных проблем в области прикладной математики является создание эффективных методов решения задач механики контактных взаимодействий тел. Даже при наличии современной высокопроизводительной вычислительной техники решение контактных задач в общем случае требует значительных затрат как аппаратных ресурсов (процессорного времени и памяти), так и человеческих (рабочее время инженерно-технического персонала и т.п.). Поэтому создание алгоритмов, существенно сокращающих время, необходимое для получения достоверного результата, является важной и практически значимой задачей.

Диссертационная работа посвящена исследованию одного класса контактных задач, который (для удобства) мы обозначим через Этот класс обладает следующими особенностями:

• Зона, в пределах которой возможно возникновение контакта между телами, известна заранее, далее будем называть ее зоной стыка. Отметим при этом, что зона контакта (то есть подмножество зоны стыка, на котором достигается контакт) заранее неизвестна и определяется в ходе решения задачи.

• В зоне стыка касательные смещения каждого из взаимодействующих тел (по отношению к поверхности этого тела) являются пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными смещениями.

• Внешние нагрузки к взаимодействующим телам прикладываются исключительно в зоне стыка, либо могут быть перенесены в эту зону.

• Силы трения, возникающие в результате контакта, не учитываются.

• Напряжённо-деформируемое состояние каждого рассматриваемого тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

• Ищутся установившиеся по времени решения, то есть задачи рассматриваются в стационарной постановке.

Приведённые выше особенности конкретизируют общую постановку контактной задачи, а значит, могут быть использованы при разработке специальных методов решения.

Контактные задачи из класса % возникают, в частности, при моделировании процесса сборки крупногабаритных криволинейных деталей в единую конструкцию посредством заклёпочных и болтовых соединений. Например, в авиастроении окончательная сборка планера самолёта включает в себя несколько достаточно трудоёмких операций: соединение между собой крупногабаритных секций фюзеляжа, присоединение консолей крыла к центроплану, установленному внутри центральной секции фюзеляжа, и т.п. Все эти процессы являются весьма длительными и трудозатратными, поэтому поиск рациональных способов ускорения сборочных операций представляется одной из актуальнейших задач современного авиастроения, решение которой позволит увеличить производительность сборочных линий на авиационных заводах. Одним из наиболее перспективных путей решения указанной задачи является математическое моделирование с целью дальнейшей оптимизации процесса сборки.

Моделирование сборочного процесса влечет необходимость проводить серии многовариантных расчётов, так как на производстве инженер-технолог имеет дело с различными конфигурациями установленных крепёжных элементов в собираемом соединении. К тому же, высокие стандарты по качеству и точности изготовления самолётов порождают повышенные требования к точности расчётных моделей, которые используются в данной области.

Следовательно, весьма актуальной задачей представляется разработка таких алгоритмов решения контактных задач класса которые с одной стороны обеспечивают возможность оперативно проводить многовариантные расчёты (т.е. решать серии задач с похожими исходными данными в реальном времени), а с другой стороны обеспечивать точность результатов, достаточную для проведения количественного анализа моделируемых процессов.

Степень разработанности проблемы

На сегодняшний день опубликовано множество работ, в которых рассматривается моделирование поведения деталей при сборке в окрестности одного или нескольких крепёжных элементов, — так называемое локальное моделирование. Например, в работе [1] изучается процесс заклёпочного соединения деталей с точки зрения выявления наиболее значимых параметров, влияющих на напряжения и деформации при клёпке. Проведены расчеты локальных напряжений и деформаций в окрестности крепёжного элемента при воздействии на него нагрузки от молотка. Используются осесимметричные и периодические модели (плоские и трехмерные конечноэлементные сетки). Полученные значения напряжений сравниваются с экспериментальными данными, относительная разница составляет несколько процентов.

Статья [2] посвящена локальному конечноэлементному моделированию заклёпочного соединения с целью проверки применимости метода конечных элементов к решению данного класса задач. Расчеты проводились для различных типов крепёжных элементов с отличающимися по форме головками. Результаты сравнивались с экспериментальными данными, получено хорошее согласование результатов.

В работе [3] сделана попытка привлечения глобальной модели для решения задачи о взаимодействии тел в процессе клёпки. Цель работы заключается в том, чтобы повысить усталостную долговечность заклёпочных соединений. Моделирование соединения деталей самолета выполняется тремя способами с разными уровнями детализации. Первый уровень - расчет глобальной модели крыла с тем, чтобы задать граничные условия для более точных моделей. На этом этапе крепёжные элементы не моделируются, контакт не учитывается.

Второй уровень - моделирование части крыла между двумя стрингерами. Крепёжный элемент представляет собой два плоских круга, соединенных с помощью специального соединительного элемента. Граничные условия взяты из глобальной модели, цель расчета - получить распределение напряжений вблизи

модели крепёжного элемента с тем, чтобы перенести их как граничные условия на следующий уровень.

Третий уровень — моделирование самого крепёжного элемента и его окрестности трехмерными элементами, учет возможности возникновения контакта, расчет напряжений, определение мест концентрации напряжений.

Однако все упомянутые работы не предоставляют информации об относительном расположении деталей по всей зоне стыка с учетом возможности возникновения контакта. Подобная задача глобального моделирования сборочного процесса с помощью заклепочных соединений является крайне трудоемкой из-за сильной нелинейности, привносимой учетом контакта, и требует применения специальных алгоритмов.

Цели и задачи исследования

Цель данной диссертации состоит в разработке эффективных методов и алгоритмов для решения контактных задач класса 1R.

В работе поставлены следующие задачи:

1) Разработать численный метод, позволяющий максимально эффективно использовать особенности рассматриваемых контактных задач, и обосновать его сходимость;

2) Верифицировать методику путем сравнения полученных результатов с известным аналитическим решением, данными физических экспериментов, а также с результатами расчётов, проведённых с помощью коммерческого программного комплекса ANSYS Mechanical;

3) Создать элементы программного комплекса, реализующего разработанную методику.

Методологическая и теоретическая основа исследования

Основу настоящей работы составили труды преимущественно зарубежных авторов, как в области теоретических исследований контактной механики [4], так и в области численных методов и алгоритмов решения контактных задач, например, [5] и [6]. Также затронуты вопросы конечноэлементного моделирования [7] и теория методов оптимизации [8], [9].

Обоснование существования и единственности решения задачи основано на методах функционального анализа и вариационного исчисления. Численное решение задачи базируется на методе конечных элементов и методах квадратичного программирования. Расчётные процедуры реализованы в виде комплекса компьютерных программ на языке программирования С++. Для верификации результатов используются экспериментальные и аналитические методы. Программный комплекс ANSYS Mechanical привлекается для выполнения расчётов.

Научная новизна исследования

В данной диссертации предлагается метод решения контактных задач класса JR. В частности, такие задачи возникают при глобальном численном моделировании процесса соединения деталей посредством клёпки. Этот метод позволяет учитывать контакт между деталями в пределах всей возможной контактной области и вычислять соответствующие перемещения и контактные силы реакции, в то время как большинство исследований посвящено локальному моделированию, где контактная задача решается лишь в небольшой окрестности одного или нескольких крепёжных элементов (см., например, [3]). Предложенный метод составляет вычислительное ядро программного комплекса, предоставляющего инструментарий для анализа перемещений и напряжений, возникающих при сборке, инженеру-технологу сборочной линии. Расчёты с использованием данного комплекса могут проводиться в режиме реального времени и обеспечивают возможность прогнозирования поведения деталей при сборке в масштабных соединениях (типа крыло-фюзеляж и др.).

Разработанный метод успешно применен как для решения модельных задач, так и для задач, возникающих при моделировании сборочного процесса реальных деталей.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается благодаря проведению сравнительного анализа с аналитическим решением, с

экспериментальными данными и с результатами численного моделирования, выполненного в среде ANSYS Mechanical.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработан и верифицирован эффективный алгоритм решения контактных задач класса 1R. Работа над диссертацией велась в 2009-2012 гг. в рамках совместных проектов СПбГПУ и компании AIRBUS. Программный комплекс, в основе которого лежит разработанная методика, включён в план внедрения в компанию AIRBUS. При этом совместные исследования продолжаются и расширяются.

Положения, выносимые на защиту

1. Методика расчёта перемещений и сил реакции в зоне стыка.

2. Вычислительное ядро программного комплекса, предназначенного для решения задач класса 1R.

3. Результаты сравнения численного решения, полученного с использованием разработанного алгоритма, с аналитическим решением модельной задачи, а также с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием стороннего программного обеспечения, при расчете деформированного состояния деталей при их соединении крепёжными элементами.

Апробация результатов исследования

Результаты работы докладывались:

• на международной конференции SAE 2009 AeroTech Congress & Exhibition, г. Сиэтл, США;

• на международной конференции SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition, г. Тулуза, Франция;

• на международной конференции 17th European Conference on Mathematics for Industry 2012, г. Лунд, Швеция.

• на совещаниях с рабочей группой AIRBUS (г. Санкт-Петербург, г. Тулуза, Франция, 2009-2012 гг.);

• на семинарах кафедры "Прикладная математика" СПбГПУ (г. Санкт-

Петербург, 2009-2013 гг.).

Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов ВУЗов и академических институтов в 2010 году.

По теме диссертации опубликовано девять работ, три из них в журналах, входящих в список ВАК: "Научно-технические ведомости СПбГПУ" (2009), SAE International Journal of Aerospace1 (2010, 2011).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 120 страниц. В тексте содержится 66 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 62 наименования.

В первой главе рассмотрены различные постановки стационарной контактной задачи без трения при условии малых деформаций и вопросы существования и единственности решения данной задачи. Сначала рассматривается взаимодействие деформируемого тела и абсолютно жёсткого препятствия. Контактная задача формулируется в обобщенном виде как вариационное неравенство, а также приводится эквивалентная вариационная задача. В работе кратко описано известное доказательство существования и единственности решения вариационной задачи на основе теорем функционального анализа.

Также в первой главе постановка контактной задачи обобщается на случай взаимодействия нескольких деформируемых тел.

Вторая глава включает описание методов численного решения поставленной контактной задачи. В первом параграфе с помощью метода конечных элементов получен дискретный аналог вариационной задачи в случае взаимодействия деформируемого тела и жёсткого препятствия.

Для поставленной задачи приведены теоремы сходимости метода конечных элементов для случаев многоугольной и криволинейной границы рассматриваемой области.

1 Входит в систему цитирования Scopus

Во втором параграфе дан обзор различных подходов к решению построенной дискретной задачи. Сложность контактных задач состоит в том, чтобы отследить возникновение контакта на поверхности исследуемых тел в произвольном (непрогнозируемом) месте. В работе наиболее подробно описан метод Лагранжа, так как впоследствии он используется для верификации разработанного численного метода решения.

В третьем параграфе проанализированы особенности контактных задач класса которые могут быть использованы для построения эффективного алгоритма.

Четвёртый параграф содержит описание метода сокращения размерности дискретной задачи. Его суть заключается в том, чтобы вычислять перемещения не во всей расчётной области, а только в зоне стыка. После его применения от исходной задачи переходим к задаче квадратичного программирования, где в качестве вектора неизвестных переменных рассматриваются только перемещения в зоне стыка. Доказана теорема об эквивалентности исходной и преобразованной задач.

Для решения задачи квадратичного программирования выбран алгоритм Голдфарба-Иднани [10], зарекомендовавший себя как быстрый и эффективный, а также как пригодный для адаптации под конкретную задачу. Пятый параграф посвящён адаптации алгоритма Голдфарба-Иднани-Пауэлла к особенностям рассматриваемой задачи.

Проведён сравнительный анализ производительности исходной и модифицированной версий алгоритма на нескольких тестовых примерах.

В шестом параграфе обсуждается несколько способов восстановления результатов во всех конечноэлементных узлах, если мы располагаем информацией о перемещениях и силах реакции в зоне контакта.

Третья глава диссертации посвящена сравнению результатов расчётов по разработанной методике с аналитическим решением задачи Герца для двух шаров. Используются две расчётные модели, построенные на грубой и подробной

конечноэлементных сетках, с тем, чтобы проследить сходимость численного решения к аналитическому при измельчении сетки.

В качестве сопоставляемых величин выбраны давление в центре контактной области, радиус контактной области и расстояние, на которое сблизились центры шаров после деформации.

В последней главе выполнено сравнение результатов, полученных с помощью разработанной методики, с экспериментальными данными и результатами, полученными при моделировании в программном комплексе ANSYS Mechanical. Эксперимент проводился в компании AIRBUS, параметры тестовой модели являются конфиденциальными данными, поэтому в работе приводятся только основные результаты моделирования. В комплексе ANSYS задача решалась с помощью метода Лагранжа.

Глава 1. Постановка задачи и исследование ее разрешимости

В данной главе опишем постановку интересующей нас контактной задачи в два этапа: сначала подробно рассмотрим задачу, в которой только одно тело деформируется в результате контактного взаимодействия (задачу Синьорини), изучим разрешимость такой задачи, а затем будем рассматривать задачи, где возможна деформация нескольких тел при контакте. Первая задача практически аналогична второй в части основных уравнений и подхода к исследованию разрешимости, но при этом не так перегружена индексами и проще в изложении.

1.1 Задача Синьорини: основные уравнения и граничные условия

В общем виде задача нахождения положения равновесия при контакте упругого тела (возможно, анизотропного и неоднородного) и неподвижного препятствия, без учета трения между ними и при условии действия массовых сил, была поставлена Антонио Синьорини [11] в 1933 г. Она включает два типа граничных условий - условия типа равенств и условия типа неравенств, которые должны выполняться в каждой точке зоны контакта.

Пусть задано некоторое тело, занимающее в пространстве область С! В", 2,3, ограниченное границей Г = дО.. Второе тело считаем абсолютно жестким и неподвижным, оно лишь ограничивает перемещения точек первого тела.

Границу Г можно представить в виде объединения трех взаимно непересекающихся частей (см. Рис. 1):

Г = Г^ иГ^ иГс, (1.1)

где Ти — часть границы, на которой заданы условия на перемещения (обозначена красными треугольниками на Рис. 1);

Г„. - часть границы, на которой заданы условия на напряжения (в частности, условия свободной границы). На рисунке 1 ей соответствует синяя штриховая линия;

Гс - часть границы, на которой возможно возникновение контакта с препятствием (красная линия на Рис. 1).

Упругое тело

Рис. 1 Контакт упругого тела и препятствия Запишем систему уравнений теории упругости, которой удовлетворяют поле перемещений и поле напряжений тела, в векторной и покоординатной форме: 1) закон сохранения количества движения:

- сИус= / в Ох (О; 7), 812 = -

где ^ е (0,7 ) - время, а Т - длительность процесса; р - плотность материала, из которого изготовлено тело; и = {и,}1\ - вектор перемещений;

2 = _

(1.2)

тензор напряжении, причем а-а ;

- {/, е \[}(О)]^- объемные силы, действующие в В покоординатной форме уравнение выглядит так:

(1.3)

2) условие малых деформаций, обеспечивающее линейность тензора деформаций:

ИЛИ £„ = -

ди1 ди, + ■

у дх] Ох,

где £ = {£у - тензор малых деформаций, £ = £Г; 3) закон Гука:

(1.4)

(1.5)

а = С\Е{и), (1.6)

или сту = Сик1ек1 1, у,к,1= ЦУ, (1.7)

где С= - тензор четвертого ранга, называемый тензором модулей

упругости, ":" — двойное скалярное произведение тензоров;

Тензор £, описывающий упругие свойства материала, удовлетворяет

условиям:

- ограниченности: Сук, е Г? (П);

- симметричности: С1]к1 = Срк1 = Су!к = Ск,у;

N

-эллиптичности: ^С yk¡£,yE,kl>v % , где £ е RN*N - произвольный тензор.

ij,k,l=1 =

4) граничные условия Дирихле:

u = Ue на (1.8)

или i = на ти, (1-9)

где и= {U, - заданный вектор перемещений; IV - часть границы, на которой заданы ограничения на перемещения;

5) граничные условия Неймана:

ал=ап = Е на Гет, (1.10)

или ' nj j = hÑ на Га, (1.11)

j=i

где n={n,}Z\ — вектор внешней нормали к границе Г; F = {Ft , F е (Г)]^ -вектор сил, заданных на границе; Га - часть границы, на которой заданы условия на напряжения;

6) граничные условия в контактной зоне:

un<gD на Гс, (1.12)

<7Л<0 на Гс, (1.13)

<Tn(«n-Sa) =0 на Гс, (1.14)

N

где ип = и ■ п = ^ и, п1 - нормальные перемещения на границе гс, п - внешняя

1-Х

нормаль, определенная в каждой точке д- е Гс, gn— величина зазора между телом и

препятствием в направлении нормали п (см. Рис. 2); ип = п а- п= п1а0пу -

нормальное напряжение на границе, Гс - часть границы, где может произойти контакт.

Рис. 2 Зазор в направлении нормали

Условие (1.12) возникает из чисто геометрических соображений и выражает непроникновение тел друг в друга. Формула (1.13) справедлива, так как в точке контакта возникает сила реакции, направленная по нормали, и эта сила может быть только сжимающей.

Возможны две ситуации:

ип <ёп на Гс, т.е. контакт еще не достигается, тогда <тп =0;

ип = ёп на Гс, тогда <тп <0.

Оба случая объединяются в формулу (1.14).

Условия (1.12)-(1.14) называются условиями Синьорини.

Для постановки контактной задачи в общем виде также требуются условия, определяющие закон для силы трения между телами. Но в задачах из класса ^ трение не играет существенной роли, так как касательные смещения деталей пренебрежимо малы по сравнению с нормальными. Поэтому мы не будем учитывать трение между соединяемыми деталями. Будем считать, что:

егг = 0 на Гс (1-15)

7) начальные условия:

5 и

и(0,х) = ип, —(0 ,х)-и. лгеО

дГ -1 (1.16)

или и.(0,х) = (и0)., -^-(0,х) = (и1)/, хеП, (1.17)

о/1

где — заданные функции.

При моделировании сборочного процесса нас в большей степени интересует не то, как детали перемещаются друг относительно друга в момент установки крепежа, а то, каким будет поле зазора после установки некоторого количества крепёжных элементов, то есть какое решение имеет стационарная контактная задача. Поэтому в уравнении (1.2) мы можем пренебречь зависимостью от времени, соответственно исключаются также и начальные условия (1.16)-(1.17). После указанных упрощений запишем полную систему уравнений задачи:

-<ЙУ£ = / вП; (1-18)

и = Ц. на Ти\ (1.19)

а п = Е на Г,; (1.20)

ип<вп, СГЯ<0, <тг =0, стп(ип-£п)=0 на Гс (1.21)

Определение 1.1

Будем называть классическим решением задачи Синьорини векторное поле смещений ие[с1(о)пС2(о)]^, удовлетворяющее уравнению равновесия (1.18) и краевым условиям (1.19), (1.20), (1.21).

1.2 Вариационная формулировка и разрешимость задачи Синьорини

Гаэтано Фикера занимался исследованием задачи (1.18)-(1.21) и в 1963 г. доказал ее разрешимость. Работа Фикеры [12] стала отправной точкой для использования теории вариационных неравенств применительно к исследованию разрешимости контактных задач.

Будем искать решение в пространстве возможных перемещений V :

Утверждение 1.1

Условия Синьорини (1.21) можно представить в виде:

ип —ёп> о-п(уп-ип)>О для Уу^У:уп<ёп (1.23)

Доказательство:

Введем функцию V е V таким образом, что уп < на Гс:

~ уп) = °п{ип -ёп-Уп+ ёа) = -о"я(- (1.24)

Уп-ёп^ О <ХЛ<0

-стЛуп-ёп)< 0 (1.25)

Из (1.24) и (1.25) получаем новую форму условий (1.23). □

В дальнейшем введем билинейную форму:

А(и,у) = ^£^):С:е{у)(1х (1.26)

о

и линейный функционал:

= \Eydi. (1.27)

£1 Г„

Утверждение 1.2

Классическое решение задачи Синьорини удовлетворяет вариационному неравенству:

Ж^К-^АЕ-И), We^S, (1.28)

где £ - допустимое множество:

Я = {уеУ\уп<3пнаГс} (1.29)

Доказательство:

Запишем вариационное неравенство для задачи (1.18)-(1.21). Для этого следует умножить уравнение (1.18) на функцию у_-и, где и

проинтегрировать по всей области О:

¡-Жуа(у-и)с/х = $£(у-и)(Ь(1.30)

п п

Рассмотрим отдельно левую часть равенства (1.30).

-|сйУа• (у-и)ёх = -|сгг • (у-и)ёГ + |ст: е(у-и)с/х =

"г ' \ ~ • (1-31)

= 1 £: - • (к - -°Аул -

Замечаем, что |сл(кл - ип)(/х> 0 из условия (1.23).

Гс

Подставляем (1.31) в (1.30) с учетом выше приведенного замечания и получаем неравенство:

¡е(и):С:£(у-и)&>$£(у-и)(&+1£(у-и)сГ (1.32)

£1 П Г„

Перепишем (1.32) с учетом (1.26) и (1.27):

А(и,у-и)>Цу-и), Му&Б □

Определение 1.2

Будем называть слабым решением задачи Синьорини функцию и е 5, удовлетворяющую неравенству (1.28) для \fveS.

Исходя из утверждения 1.2, каждое классическое решение задачи Синьорини является так же и слабым решением.

Кроме того, из приведенных выше рассуждений вытекает, что, если и — решение неравенства (1-28) и также является дважды непрерывно дифференцируемой функцией в С2, то и - классическое решение исходной задачи (1.18)-(1.21).

Введем следующий функционал:

'(У) = ^А(у,У)-Ь(У), уеУ (1.33)

Утверждение 1.3

Функция и - решение вариационной задачи:

тш (1.34)

является также решением вариационного неравенства (1.28).

Доказательство равносильности (1.28) и (1.34) приведено в [13].

Легко проверить, что /(у) — строго выпуклый, дифференцируемый по Гато, непрерывный и коэрцитивный функционал (см., например, [13]).

Тогда по теореме о существовании минимума выпуклого функционала на выпуклом множестве [13] задача (1.34) имеет решение, причем оно единственно.

Следовательно, согласно утверждению 1.3 можно заключить, что неравенство (1.28) на множестве (1.29) также имеет единственное решение.

1.3 Контактная задача для нескольких тел

Теперь рассмотрим задачу о взаимодействии /»(/»> 2) деформируемых тел. Например, пусть заданы три тела, занимающие в пространстве области О1, О2 и О3, ограниченные границами Г1, Г2 и Г3 соответственно (см. Рис. 3).

Каждую из границ Г' можно разбить на три части, как и в пункте 1.1. При этом части границы, на которых возможно возникновение контакта, будем обозначать двумя индексами, а именно Г^ - часть границы ьго тела, где возможен контакт с ]-м телом. Например, на Рисунке 3 первое и второе тело взаимодействуют по Г^,2 и Г^1 соответственно.

Рис. 3 Контакт трех упругих тел Для каждого из тел выполняются:

1) условие равновесия тел:

-Луа' =£' в П', / = 1р; (1.35)

где а' - тензор напряжений /-го тела; £ — интенсивность объемных сил, действующих в £2';

2) условие малых деформаций, обеспечивающее линейность тензора деформаций:

(1.36)

где е'— тензор малых деформаций /-го тела, и' — вектор перемещений точек 1-го тела;

3) закон Гука:

где И[' — заданный вектор перемещений 7-го тела; Гц - часть границы 1-го тела, где заданы ограничения на перемещения; 5) граничные условия Неймана:

где п — вектор нормали к границе Г'; — вектор сил, заданных на границе; П — часть границы, на которой заданы ограничения на напряжения;

Будем считать, что между точками Г^ и можно установить взаимнооднозначное соответствие дгеГ^./еГ^, а также внешние нормали к поверхностям в каждой точке различаются незначительно, т.е.:

а' =£' :е'(и'), У=1 ,р\ где С— тензор модулей упругости /-го тела; 4) граничные условия Дирихле:

и =и0' на Тц, 1=1, р;

(1.37)

(1.38)

а'-п'=£' на Г;, 1=1,р;

(1.39)

п'{х)-п\у) „ <е, у = Щх),хеГ*,уеГ*;

я

(1.40)

6) условия Синьорини:

' / / т-"/ У+1

икгй <ёп на гс' ,

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

^<0 на Т'с',+Х

п

<т'т = 0 на Г^1

1,1+1

где

и? — относительное смещение между ьм и (1+1 )-м телом, если считать, что тела пронумерованы сверху вниз; — величина зазора между телами в направлении нормали; — часть границы, на которой может произойти контакт между 1-м и (1+1 )-м телом.

В случае возникновения контакта, в обоих телах возникнут нормальные реакции, и по третьему закону Ньютона

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петухова, Маргарита Владимировна, 2013 год

Список литературы

1. Blanchot V., Daidie A. Study and numerical characterization of a riveting process // International Journal of Material Forming, № 1, 2008. - стр. 1275-1278.

2. Chen N., Ducloux R. Numerical and experimental studies of the riveting process // International Journal of Material Forming, № 4, 2011. - стр. 45-54.

3. Kaniowski J., Wronicz W., Jachimowicz J., Szymczyk E. Methods for FEM analysis of riveted joints of thin-walled aircraft structures within the Imperja project // ICAF 2009, Bridging the Gap between Theory and Operational Practice. - стр. 939-967.

4. Eck C., Janusek J., Krbec M. Unilateral contact problems. Variational methods and existing theorems. - CRC Press, Taylor & Francis, 2005. - 395 c.

5. Wriggers P. Computational contact mechanics. Second edition. - Springer Berlin Heidelberg, 2006. -518 c.

6. Kikuchi N., Oden J.T. Contact problems in elasticity: a study of variational inequalities and finite element methods. - SIAM, Philadelphia, 1988. - 491 c.

7. Bathe K.J. Finite element procedures. - Prentice-Hall, New Jersey, 1996 — 1037 c.

8. Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. - Springer, 1999. - 651 c.

9. Bertsekas D.P. Constrained optimization and lagrange multiplier methods. -Athena Specific, Belmont, Massachusetts, 1996. - 395 c.

10. Goldfarb D., Idnani A. A numerically stable dual method for solving strictly quadratic programs // Mathematical programming, Vol. 27, № 1,1983. - стр.1-33.

11. Signorini A. Sopra akune questioni di elastostatica // Atti della Societa Italiana per il Progresso delle Scienze, 1933 — стр. 513-533.

12. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. — М.:Мир, 1974. — 159 с.

13. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. -М.Мир, 1983. - 256 с.

14. Репин С.И., Фролов М.Е. Математические методы в нелинейных задачах механики сплошных сред: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 72 с.

15. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.:Мир, 1980.-512 с.

16. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И. Решение вариационных неравенств в механике. - М.:Мир, 1986. - 270 с.

17. Necas J. On the regularity of weak solutions to variational equations and inequalities for nonlinear second order elliptic systems // Equadiff IV, Lecture Notes in Mathematics, volume 703, 1979. - стр. 286-299.

18. Уральцева H.H. О сильных решениях обобщенной задачи Синьорини // Сибирский математический журнал, т. 19, № 5, 1978. - стр. 1204-1212.

19. Petrosyan A., Shahgholian Н., Uraltseva N.N. Regularity of free boundaries in obstacle-type problems. - AMS, 2012.-221 c.

20. Бураго Н.Г., Кукуджанов B.H. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН, МТТ, № 1. 2005. - стр. 45-87.

21. Wang S.P, Nakamachi Е. The inside-outside search algorithm for finite element analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 40, 1997.-стр. 3665-3685.

22. Belytschko Т., Yeh L.S. The splitting pinball method for contact-impact problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 105, 1993. - стр. 375-393.

23. Williams J.R., O'Connor R. Discrete element simulation and the contact problem// Archives of computational methods in engineering, Vol. 6, № 4, 1999. - стр. 279304.

24. Eterovic A.L., Bathe K.J. On the treatment of inequality constraints arising from contact conditions in finite element analysis // Computers & Structures, V. 40, № 2, 1991.-стр. 203-209.

25. Benson D.J., Hallquist J.O. A single surface contact algorithm for the post-buckling analysis of shell structures// Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, № 78, 1990. - стр. 141-163.

26. Kane C., Repetto E.A., Ortiz M., Marsden J.E. Finite element analysis of nonsmooth contact // Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, № 180,1999.-стр. 1-26.

27. Гловински P., Лионе Ж.-Д., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.:Мир, 1979. - 576 с.

28. Kanno Y., Martins J.A., Pinto da Costa A. Three-dimensional quasi-static frictional contact by using second-order cone linear complementarity problem // International journal for numerical methods in engineering, № 65, 2006. - стр. 6283.

29. Luenberger D.G. Linear and nonlinear programming. Second edition. - Addison-Wesley,Inc., Reading, Massachusetts, 1984. - 487 c.

30. Madenci, E., Guven, I. The finite element method and applications in engineering using ANSYS® First edition. - Springer, 2005. - 686 c.

31. Vinson J.R. Plate and panel structures of isotropic, composite, and piezoelectric materials, including sandwich construction. - Springer, 2005. -418 c.

32. Release 11.0 Documentation for ANSYS

33. Pedersen P. A direct analysis of elastic contact using super elements// Computational Mechanics, № 37, 2006. - стр. 221-231.

34. Pedersen P. On shrink fit analysis and design // Computational Mechanics, № 37, 2006.-стр. 121-130.

35. Pedersen N.L., Pedersen P. Stiffness analysis and improvement of bolt-plate contact assemblies // Mechanics based design of structures and machines, №36, 2008. - стр. 47-66

36. Adams.R.A. Sobolev Spaces. - Academic Press, 1975. - 265 c.

37. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.:Мир, 1975.-536 с.

38. Bertsekas D.P. Projected Newton methods for optimization problems with simple constraints // Siam Journal on control and optimization, Vol.20, № 2, 1982. - стр. 221-246.

39. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. - Cambridge University Press, 2004.-716 c.

40. Potra F.A., Wright S.J. Interior-point methods // Journal of Computational and Applied Mathematics, № 124, 2000. - стр. 281-302.

41. Nesterov Yu., Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. - SIAM Studies in Applied Mathematics, 1994. -415 c.

42. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.:Мир, 1985. -509 с.

43. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.:Мир, 1979.-400 с.

44. Hager W. The dual active set algorithm // Advances in Optimization and Parallel Computing, 1992.-стр. 137-142.

45. Wong E. Active-set methods for quadratic programming: Dissertation for PhD in Mathematics. - University of California, San Diego, 2011. - 137 c.

46. Hintermuller M., Ito K., Kunisch K. The Primal-Dual Active Set Strategy as a Semismooth Newton Method // SIAM Journal on Optimization, № 13(3), 2003. -стр. 865-888.

47. Brunssen S., Schmid F., Schaefer M. and Wohlmuth B. A fast and robust iterative solver for nonlinear contact problems using a primal-dual active set strategy and algebraic multigrid // International Journal for Numerical Methods in Engineering, № 69(3), 2006. - стр. 524-543.

48. Hintermuller M., Kovtunenko V.A., Kunisch K. The primal-dual active set method for a crack problem with non-penetration // IMA Journal of Applied Mathematics, №69(1), 2004.-стр. 1-26.

49. Burton D., Toint Ph.L. On an instance of the inverse shortest paths problem // Mathematical programming, № 53, 1992. - стр. 45-61

50. Gaspero L., Tollo G., Roli A. and Schaerf A. Hybrid metaheuristics for constrained portfolio selection problems // Quantitative Finance, V.ll(10), 2011. - стр. 14731487

51. Marron, J.S., Turlach, B.A. and Wand, M.P. Local polynomial smoothing under qualitative constraints // Graph-Image-Vision, Vol. 28 of Computing Science and Statistics, 1997. - стр. 647-652.

52. Powell M.J.D. On the quadratic programming algorithm of Goldfarb and Idnani // Mathematical programming studies, V.25, 1985. - стр 46-61.

53. IMSL С Library 8.0 User Guide, Volume 1 - Math Library.

54. Scilab 5.4.0 help, Optimization and Simulation.

55. Boland N.L. A dual-active-set algorithm for positive semi-definite quadratic programming // Mathematical programming, № 78, 1997. - стр. 1-27.

56. Goswami N., Mondal S.K., Paruya S. A Comparative Study of Dual Active-Set and Primal-Dual Interior-Point Method // Advanced Control of Chemical Processes, Vol. № 8(1), 2012. - стр. 620-625.

57. Schittkowski K., Zillober C., Zotemantel R. Numerical comparison of nonlinear programming algorithms for structural optimization // Structural Optimization, № 7, 1994.-стр. 1-19.

58. Hertz H. On the contact of firm elastic bodies (in German: Ueber die Beruhrung fester elastischer Korper) // J. Reine Angewandte Mathematik 92, 1882. - стр. 156-171.

59. Fischer-Cripps A.C. Introduction to contact mechanics. - Springer, New York, 2007.-221 c.

60. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.-428 с.

61. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII - М.: Наука, 1987. -248 с.

62. Lupuleac S., Petukhova М., Shinder Y., Bretagnol, В. Methodology for Solving Contact Problem during Riveting Process // SAE International Journal of Aerospace, № 4(2), 2011. - стр. 952-957.