Математическое моделирование контактного взаимодействия термовязкоупругопластических сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Яковлев, Максим Евгеньевич

• Яковлев, Максим Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Яковлев, Максим Евгеньевич

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Математическая постановка контактной задачи теории упругости

1.2. Альтернирующий метод Шварца

1.3. Вариационная постановка задачи теории упругости

1.4. Вывод соотношений метода конечных элементов

1.5. Алгоритм численного решения контактной задачи теории упругости

1.6. Выбор итерационных параметров

1.7. Решение контактной задачи с учетом трения

1.8. Учет вязкоупругопластического деформирования

1.9. Решение уравнений МКЭ

1.10. Учет кинематических граничных условий при решении уравнений

1.11. Выводы к первой главе

ГЛАВА 2. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Общая структура комплекса прикладных программ

2.2. Программы подготовки данных

2.2.1. Программы построения конечно-элементной модели

2.2.2. Программы аппроксимации физико-механических свойств материалов расчетной схемы

2.2.3. Программы формирования граничных условий

2.3. Программы центрального вычислительного блока

2.3.1. Основные процедуры при решении контактных задач теории

упругости

Стр.

2.3.2. Основные процедуры при решении вязкоупругопластических

контактных задач

2.4. Программы представления данных

2.5. Выводы ко второй главе

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНТАКТНОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

3.1. Контактное взаимодействие полупространства и цилиндра

3.2. Контактное взаимодействие полупространства и полуцилиндра

3.3. Контактное взаимодействие неравномерно нагретых пластин

3.4. Поликонтактное взаимодействие

3.5. Напряженно-деформированное состояние резьбового соединения

3.6 Выводы к третьей главе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

МКЭ - метод конечных элементов;

КПП - комплекс прикладных программ;

Г1Г1П - пакет прикладных программ;

МДТТ - механика деформируемого твердого тела;

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

А В ЦП - аналитическая ведомственная целевая программа;

ЭВМ - электронная вычислительная машина;

CAD - Computer-aided design, система автоматизированного проектирования; CAE - Computer-aided engineering, система инженерного анализа; САМ - Computer-aided manufacturing, автоматизированная система

технологической подготовки производства; МПГГУ - метод переменных параметров упругости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование контактного взаимодействия термовязкоупругопластических сред»

ВВЕДЕНИЕ

Многие ответственные узлы и элементы конструкций объектов энергетического оборудования, авиационной, аэрокосмической, наземной и морской техники работают в условиях контактного взаимодействия. Для оценки их ресурса и надежности требуется определять напряженно-деформированное состояние, для чего необходимо решать соответствующую контактную задачу. Вообще, контакт - это наиболее распространенный способ приложения нагрузок к деформируемому твердому телу, и концентрация напряжений в контактной зоне во многих случаях становится причиной разрушения материала. Как следствие, контактные задачи входят в число важнейших разделов в механике деформируемого твердого тела.

Основополагающие работы в теории контактного взаимодействия принадлежат Г. Р. Герцу, который получил распределение напряжений в зоне контакта упругих тел. Заметный вклад в развитие методов и алгоритмов аналитического решения контактных задач содержится в трудах советских ученых - И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, Н. И. Мусхелишвили, JI. А. Галина, С. Г. Михлина, В. JI. Рвачева, Д. И. Шермана, И. Я. Штаермана, и многих других, а также работах зарубежных механиков и математиков К. Каттанео, Д. Синьорини, Р. Д. Миндлина, Н. Губера и других.

В связи с важностью и сложностью контактных задач, они до настоящего времени продолжают привлекать большое число исследователей в России (И.И. Ворович, В.М. Александров, В.И. Моссаковский, A.B. Манжиров, С.М. Айзикович, B.C. Давыдов, A.C. Кравчук, М.И. Чебаков, И.И. Аргатов, А.Г. Горшков, H.H. Дмитриев, E.H. Чумаченко, A.A. Успехов, Э.Р. Гольник и др.), и за рубежом (A. Curnier, G. Pietrzak, М. Barboteu, Е. Petoch, F. Armero, F. Lebon, E. Zahavi, D. Barlam, P. Wriggers и др.).

Для большого числа видов контактного взаимодействия и форм контактирующих поверхностей, в частности для большинства практически важных задач, не получено соответствующих аналитических решений. В

этих случаях наиболее перспективными представляются численные методы [104, 105, 108, 110 - 112]. В задачах, характеризующихся сравнительно невысокими требованиями к гладкости входящих в их формулировку функций, основным методом расчетов является метод конечных элементов (МКЭ) [1 - 12].

Основными достоинствами МКЭ, способствующими его повсеместному применению, являются, например, высокая технологичность доступность и универсальность. МКЭ позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, учитывать граничные условия различных типов, а также физико-механические свойства материалов расчетных схем. Основные вычислительные процедуры МКЭ просты и прозрачны, что позволяет эффективно отслеживать обработку данных. Наконец, метод конечных элементов как алгоритмически, так и программно удобен для объединения с современными и средствами визуализации.

Повсеместное использование метода конечных элементов в процессе комплексной автоматизации сквозного цикла: проектирование -конструирование - изготовление, привело к возникновению многочисленных комплексов и пакетов прикладных программ, которые можно условно разделить на исследовательские и профессиональные. Для исследовательских КПП наибольшее значение имеет высокая скорость разработки, отладки и проведения численных исследований. В большинстве случаев, они сопровождаются непосредственно авторским коллективом и обладают узкоспециализированной ориентацией. После доработки пользовательского интерфейса, а иногда, и функционального ядра с учетом опыта эксплуатации, возможно доведение исследовательских КПП до профессионального уровня. Примерами известных профессиональных программных пакетов являются такие «средние» и «тяжелые» CAD/CAE/CAM системы, как отечественные МАРС, АСТРА, ЛИРА, FEMHCA, МЕГРЭ-ЗД, КАСКАД-2, МАК, ASTA, и зарубежные ANSYS, CATIA, MSC/NASTRAN, I-DEAS, MATRA,

Pro/ENGINEER, Urographies, MARC+Mentat II, STAADIII, COSMOS/M, BEASY и др. Такие ППП благодаря своей высокой универсальности позволяют решать абсолютное большинство задач, не содержащих специфических сложностей. Основной трудностью в процессе их эксплуатации является достаточно высокая сложность овладения навыками сопровождения, причем процесс полного освоения профессионального пакета, как правило, оказывается длительным и трудоемким. Сравнительный анализ CAD/CAE/CAM систем приводится в работах [13 - 16].

В современных CAE-системах, таких как ANSYS, LS-DYNA, MSC/NASTRAN, численное решение контактных задач производится, как правило, в рамках конечно-элементной технологии, при этом применяются следующие алгоритмы: метод внутренних многоточечных связей (MPC Algorithm); метод множителей Лагранжа (Pure Lagrange multiplier method); расширенный метод Лагранжа (Augmented Lagrange Method), метод штрафных функций (Penalty Method); комбинированный метод штрафов и Лагранжа (Lagrange&Penalty Method).

В число основных алгоритмов решения контактных задач входят метод штрафов, метод множителей Лагранжа и их комбинации [87 - 102], релаксационные схемы [17 - 20, 22], а также методы, основанные на введении контактных конечных элементов [98] или «псевдосреды» [21].

Из числа перспективных, но недостаточно разработанных методов решения контактных задач МДТТ выделяется альтернирующий метод Шварца, основанный на принципе поочередности [23 - 34]. Этот метод требует итерационного уточнения границ зон контакта, однако при его применении не требуется переформирование матриц систем линейных алгебраических уравнений. В отличие от большинства других методов, он также, как правило, не требует при построении конечно-элементных моделей согласовывать расположение узлов на контактных поверхностях.

В настоящее время наблюдается рост требований к точности и эффективности производимых численных исследований, а также

продолжается расширение возможностей вычислительных средств. Поэтому сохраняется необходимость создания и дальнейшего развития методов решения контактных задач МДТТ, реализующих их алгоритмов и исследовательских КПП. Практика численных исследований убедительно показывает, что, одновременно с созданием новых и развитием существующих КПП общего назначения, требуется вести разработку целевых программ, направленных на решение задач в рамках одной или нескольких близких математических моделей, поскольку такие программы в своей предметной области позволяют существенно увеличить эффективность вычислительного эксперимента [36].

Применение метода конечных элементов к новым задачам требует существенного изменения отдельных этапов его реализации, в том числе перестроения собственно математических моделей, описывающих сложные физико-механические процессы, и создание новых численных алгоритмов их реализации для получения достоверных результатов. При этом организация вычислительных процедур должна проводиться с достаточно высокой точностью и максимальной экономичностью.

Актуальность' проблемы. Интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов деформирования с учетом контактного взаимодействия является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как механика деформируемого твердого тела и прикладные методы численного анализа, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

С точки зрения прикладной математики особенно важным является дальнейшее развитие перспективных методов математического моделирования, применяемых для решения новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в общем виде учитывают сложные физико-механические эффекты,

возникающие при вязкоупругопластическом деформировании с учетом контактного взаимодействия и сложного термосилового нагружения. Это дает возможность осуществления более полного анализа напряженно-деформированного состояния ответственных элементов конструкций, подверженных неоднородному термосиловому нагружению, и увеличения точности оценки их ресурса.

Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является развитие перспективных численных методов решения квазистатических нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики, учитывающих особенности контактного взаимодействия ответственных элементов конструкции в условиях сложного термосилового нагружения.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

- Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач механики деформируемого твердого тела в двухмерных областях, имеющих сложное геометрическое оформление, на основе альтернирующего метода Шварца.

- Создание комплекса прикладных программ для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ, реализующего разработанные модели и алгоритмы.

Методы исследования, использованные для достижения поставленной цели, основаны на методах теории упругости, деформационной теории пластичности, вариационных принципах и методе конечных элементов.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования в первой главе диссертации рассмотрены математические формулировки квазистатических краевых контактных задач механики деформируемого твердого тела. Их решение построено в рамках конечно-элементной технологии с применением итерационного алгоритма,

основанного на альтернирующем методе Шварца. Основной особенностью метода Шварца является принцип поочередности задания силовых и кинематических граничных условий в контактной зоне. Также в первой главе приведены основные соотношения метода конечных элементов и рассмотрены итерационные методы решения физически нелинейных задач, учитывающие вязкоупругопластическое деформирование.

Во второй главе приведено описание КПП, предназначенного для решения физически нелинейных краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях, имеющих сложное геометрическое оформление. В состав комплекса входят три программных блока, имеющих общую базу данных: препроцессор, предназначенный для подготовки данных; процессор, непосредственно реализующий алгоритмы решения краевых контактных задач в упругой или вязкоупругопластической постановках; постпроцессор, предназначенный для наглядного представления результатов численных исследований. В процессе решения задач используемые программы полностью размещаются в оперативной памяти с целью уменьшения затрат времени на решение задачи.

В третьей главе в качестве примеров реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты численных исследований напряженно-деформированного состояния контактирующих тел, имеющих сложное геометрическое оформление и подверженных неравномерному термомеханическому нагружению. В этой главе рассмотрено контактное взаимодействие полупространства с цилиндром и полуцилиндром, разного числа пластин различных форм и размеров, а также резьбовых соединений.

Научную новизну диссертационной работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач механики деформируемого твердого тела в двухмерных областях, имеющих сложное геометрическое оформление, с учетом

вязкоупругопластического деформирования в условиях неравномерного термосилового нагружения, основанные на альтернирующем методе Шварца. - основанный на разработанных алгоритмах комплекс прикладных программ, позволяющий проводить вычисления полей перемещений, напряжений и деформации, возникающих в ответственных элементах конструкций, находящихся под действием термомеханической нагрузки.

Практическая ценность. Разработанные методы, алгоритмы и КПП позволяют эффективно, с малыми затратами времени проводить численные исследования контактного взаимодействия двухмерных

вязкоупругопластических тел, имеющих сложное геометрическое оформление; решать широкий класс задач МДТТ научного и прикладного характера; исследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов. Комплекс прикладных программ может быть использован в качестве эффективного инструментального средства численного анализа напряженно-деформированного состояния в процессе поисковых, оптимизационных и диагностических исследований ответственных элементов конструкций.

Комплекс прикладных программ, представленный в диссертации, применялся для проведения численных исследований в ПИИ Энергетического машиностроения МГТУ им. Н.Э. Баумана по заказам ряда предприятий энергомашиностроительного профиля.

Результаты работы использовались при выполнении исследование в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»: проект № РНП 2.1.2.884 «Разработка неклассических математических моделей поведения перспективных конструкционных и функциональных материалов при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2009 - 2011г.г., а также грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ, проекты - № НШ-255.2012.8 «Математическое моделирование сложных термомеханических процессов в структурно-чувствительных материалах при высокоинтенсивных

воздействиях», 2012 - 2013 г.г., и № НШ-1432.2014.8 «Математическое моделирование нестационарных термомеханических процессов в консолидированных микро- и нано структурных материалах при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2014-2015 г.г.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости построения описанных математических моделей исследуемых физико-механических процессов;

2) на результатах исследования сходимости представленных алгоритмов;

3) на тщательном и методическом тестировании разработанных алгоритмов и программ на решениях широко известных тестовых задач.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на научно-технической конференции «Научная весна - 2011», посвященной 50-летию полета Ю.А. Гагарина в космос (Москва, 2011); семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, 2011 - 2013); итоговых научных конференциях МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2011 - 2014); научных семинарах отделения ЭМ-2 НИИЭМ МГТУ им. Н. Э. Баумана, (Москва, 2011 - 2014); XXVII и XXX международных научно-практических конференциях «Технические науки -от теории к практике» (Новосибирск, 2013-2014).

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Математическая постановка контактной задачи теории упругости

Рассмотрим два однородных и изотропных линейно-упругих тела А и В, занимающих в двухмерном евклидовом пространстве Я2 с декартовой системой координат ОхХх2 области Ол и имеющих кусочно-гладкие границы дОА и дСв и находящихся в состоянии контактного взаимодействия. (Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема взаимодействующих тел

Математическая формулировка контактной задачи МДТТ включает: уравнения равновесия в перемещениях

+ = 0, хеОа, 1,У = й; ае{А,В}- (1.1)

соотношения Коши

£у(х) = ^(и1,Хх) + ир1(х)), х<=ва, г,у = 1,2;агеЦя}; 0-2)

определяющие уравнения - закон Гука в виде

сг(л:) = Н(^(д:)-^0(л:)), д;е(гд,«бЦВ|, (1.3) и граничные условия (кинематические и силовые соответственно)

и(х)\ =и°(х), хеЗ?адва; ае{А,В}; (1.4)

<г9(и,Т)п\ =р,(х), х^Б? ^два,г,] = 1Л;ае{А,В}, (1.5)

где х =

х

X,

вектор координат, <т = {ег} =

'а

'22

12

вектор напряжений,

компоненты объемной силы 0{х) = {£?(*)} =

[а(*)1

, Н - матрица Гука,

=И=

822 Ум

вектор деформации, уп - 2г?12, £-0 = =

Л22

- вектор

начальной (температурной) деформации, м° (л;)

перемещений точек поверхности р(л;) =

иг(х) щ{х)

Рх(х)

[Мх).

вектор заданных

вектор внешней

распределенной нагрузки, заданный на поверхности .

Если рассматриваемое напряженно-деформированное состояние можно рассматривать как плоское напряженное, то матрица Гука имеет вид

~1 // О

м 1

А

о

О 0 (1-//)/2 в случае плоского деформированного состояния

1 М&1-/*) о

_ Ч\-м)

(1+ /#)(! -2м)

М/{\ -м) 1 о

О 0 (1-2//)/2(1-//)

Кроме того, должны выполняться условия сопряжения на контактной поверхности = = БЦ: кинематическое условие

(*)-«!(*)=%(*)> О-6)

и силовое условие

= хеБк, (1.7)

где и^, - проекции векторов перемещений граничных точек на внешнюю нормаль к поверхности тела А; 8п - проекция начального расстояния (зазора) между контактирующими точками тел А и В на эту нормаль; компоненты напряжений по внешней нормали к границе тела А.

Соотношения (1.1) — (1.7) в совокупности составляют математическую формулировку контактной задачи МДТТ. В данной работе алгоритм ее решения основан на итерационном альтернирующем методе Шварца [24, 34].

1.2. Альтернирующий метод Шварца

Метод Шварца действует следующим образом. На первом шаге задают ожидаемую геометрию контактных поверхностей Б* и тел А и В соответственно. На них задают дополнительные кинематические граничные условия в виде начальных перемещений = и°А (х) и м(лс)|^в = и°в (х).

В зависимости от особенностей постановки контактной задачи теории упругости контактные поверхности и в недеформированном состоянии могут совпадать (Рис. 1.2,а), или не совпадать, то есть иметь переменный зазор (в том числе равный нулю в некоторых точках, Рис. 1.2,6). В деформированном состоянии геометрически скорректированные контактные поверхности совпадают = .

Рис. 1.2. Примеры расчетных схем

Далее на первом шаге решают для тел А и В две независимые задачи теории упругости, на основании решений получают поверхностные силы р£ (х) и рвк (х) на поверхностях контакта Л1/ и , которые корректируют их таким образом, чтобы выполнялись условия сопряжения (1.7).

На втором шаге скорректированные поверхностные силы рлк (х) и

рвк (х) задают на поверхностях контакта и в качестве дополнительных силовых граничных условий

<(«,7>;| =Ла(*)> хвБ^адС, а = А,В = 12, (1.8)

после чего снова решают две независимые задачи теории упругости для тел А и В, затем корректируют векторы перемещений иАк (х) и ик(х) точек

поверхностей контакта и соответственно таким образом, чтобы не возникало взаимопроникания контактирующих тел, т.е. выполнялись кинематические условия сопряжения (1.6). Коррекция векторов перемещений ик (х) и и" (х) приводит к геометрическому изменению контактных

поверхностей и . Кроме того, исключаются из рассмотрения те точки

контактных поверхностей и , в которых нормальные напряжения не

являются сжимающими.

Скорректированные перемещения (х) и и^(х) поверхностей

контакта рассматривают в качестве новых кинематических граничных условий

"МЬ =«£(*)' = (1.9)

и на третьем шаге снова решают независимые задачи теории упругости для тел А и В.

Таким образом, итерационный алгоритм Шварца состоит в реализации поочередного задания на контактных поверхностях и векторов перемещений ик (х) и ивк (х) и поверхностных сил р* (х) и рк (х),

сопровождающегося их коррекцией с тем, чтобы выполнялись либо условия сопряжения (1.6), если в контактной зоне заданы поверхностные силы, либо (1.7), если заданы перемещения [69 - 72, 103, 109]. Сходимость алгоритмов подобного типа рассматривается в работах [23,24, 26].

Конкретные процедуры коррекции векторов сил (х) и (х) и

перемещений и£ (х) и и" (х) рассмотрены в разделе 1.5.

1.3. Вариационная постановка задачи теории упругости

Решение задачи теории упругости в дифференциальной постановке (1.1) - (1.5) , (1.8) и (1.1) - (1.5) , (1.9) совпадает с решением соответствующей задачи в вариационной постановке, то есть задачи нахождения минимума функционала полной потенциальной энергии [2, 4, 7, 8, 36 — 38, 40]. При рассмотрении постановки вариационных задач, т.к. все задачи теории упругости решаются для контактирующих тел независимо, не

будем делать различия между ними и опустим индекс а при обозначении всех величин.

Функционал полной потенциальной энергии линейно-упругого тела, в пространстве К2, нагруженного массовыми <2(х), поверхностными р(х) и

сосредоточенными Яп = силами, имеет вид [2, 4, 7, 8] П = I ¡(е - е0)т а & - ¡ит&Ь - - £ итпКп - 0 РксЬ, (1.10)

G

п=\

где и (je) =

w(jc) v(x)

«w

v

К)

вектор перемещении точек тела;

вектор перемещений фиксированных точек

хп тела, в которых заданы дискретные силы Кп = /? = 0, если на

контактной поверхности Бк заданы перемещения ик(х), /? = 1, если на контактной поверхности заданы поверхностные силы рк.

Вариационная задача, эквивалентная задаче (1.1) - (1.5) , (1.9) имеет

вид

П -> min;

и(л:)|5 = и0 (дс); xeS1cz dG\ и(х)|5 = uk(x);xeSk czdG.

(1.11)

Вариационная задача, эквивалентная задаче (1.1) - (1.5) , (1.8) имеет

вид

П min;

w(x)|5 = и° (дс); х е S1 с dG. Для решения вариационных задач (1.11) и (1.12) используем МКЭ.

(1.12)

1.4. Вывод соотношений метода конечных элементов

Функционал (1.10) с учетом закона Гука (1.5) представляется в виде П = 1 |(гг - гг0)т Н(s-e0)dv- ¡uTQdv - JuTpds - ¿u¡Rk - p Ju1 pkds =

G G S2 k=l sk

= -J^Hedv-^eTYLeüdv + - js0TH¿r0¿fr - (1.13)

-\uTQdv- \i?pds -Y^ulRk-/3 Ju{pkds.

G S2 k=1

Для интегралов, стоящих в правой части (1.13), введем следующие обозначения:

П =-Е о J

G G ^ G

«nQ=-jiiT^v; (1.14)

G

n¿=- ¡uTpkds.

Отсюда

П = Ц,+Ц>ь+Ц1Ь+Ц + Ц,+Ц1 + /?Пк. (1.15)

Для минимизации функционала (1.15) применяется метод конечных элементов. Пусть функционал (1.15) задан на замкнутой двухмерной области G. Триангулируем эту область, то есть введем ее аппроксимацию областью

состоящей из общего числа Ке пронумерованных треугольников.

Построенные треугольники рассматриваются как двухмерные 3-х узловые

_ к* _

симплекс-элементы У{е), причем Общее число вершин

е=1

тругольников (узлов разбиения) обозначим Ки, узлы треугольников -символами "/", "у" и "к" в направлении против часовой стрелки, а

глобальные координаты этих узлов - ххк и х2к, к = 1,Ки (Рис. 1.3). Локальным номерам узлов "/", "у" и "к" каждого конечного элемента можно поставить в соответствие глобальные номера узлов конечно-элементной сетки. Для полного задания конечно-элементной модели достаточно двух таблиц: в первой (Таблица 1) указываются координаты узлов в глобальной (исходной) системе координат Оххх2, во второй (Таблица 2) - соответствие между локальными и глобальными номерами узлов каждого конечного элемента.

Для произвольного конечного элемента (е) (Рис. 1.3) обозначим локальные номера узлов /, у и к, соответствующие им глобальные номера р, и г, координаты узла / Хи = х1р и Хъ = х2р, координаты узла / -= Х1 а и ~ х2д и координаты узла к - Хи = хХг и Х2к = .

Таблица 1

Глобальный номер узла Глобальные координаты узла

х2

1 хп х21

2 хп Х22

• • • ... • • •

Ки х\ки Х2 Ки

Таблица 2

Номер конечного элемента Глобальные номера узлов

/ У к

1 1 7 3

2 1 3 10

3 2 3 5

, , , ... • • •

е Р Я г

... • • • , . , • • •

£ г Ки

с

да

Рис. 1.3. Конечно-элементная модель

Тогда функции формы этого элемента записываются в виде [2,4] и? = ^|>, + Ь}хх + с х2];

( = ¿оК + ЬЛ + СЛ]>

(1.16)

где (х1?х2) е . При этом площадь 5(е) конечного элемента (е) можно вычисляется по формуле

2 1 Л Х2г

1

1 Х2 к

= \(аг + ал+ак)

(1.18)

и выполняются соотношения параметров

а, = Х1}Х2к ~ Х\кХ2}' ~Х2к->

с, = Х\к

ак ~ ХиХ2} - Х1}Х2г,

К ~Х2,~Х2}->

ск = Хь ~Хи-

(1.17)

1 кХ2, ~ ХьХ2к,

^ =х2к ~хъ, С} = Х1, "" Х\к

Функции формы (1.16) обладают следующими свойствами:

1) = Ь ^,(е)(х1ях2у) = ^(е)(х1„х2,) = 0, аналогично для ^е)(хрх2)

и ^е)(х15х2);

2) Л^1(е)(х1,х2) + ^(е)(х1,х2) + ^е)(х1,х2) = 1 для V(x1Уx2)(EV(e);

3)

— (Х1' Х2 ) + —тМХ1> Х2 ) + —' х2 ) =

сЬс1 с1Ы{,е)

с!х1

( \ \ ^ < \ _ ^ 1Х1?Х21+ (ХрХ2)+ I ХрХ2 I и,

ах2 сЬс2 ах2

для У(х1?х2)еК^.

В дальнейшем будем опускать аргументы функций формы. Вычисление интегралов (1.14) производить проще, если для каждого конечного элемента ввести плоские локальные ¿-координаты, представляющие собой отношения площадей (Рис. 1.4)

(1.19)

где М - произвольная точка, принадлежащая конечному элементу (е);

Я(е) = 51, + Я + - площадь конечного элемента (е).

Так как ¿-координаты также являются функциями формы и с учетом (1.16), справедливы равенства

N,=1,, ЛГ=1,2 и (1.20)

Для ¿-координат выполняются интегральные формулы [2 - 4]

а\Ъ\

\ЦЬ\(И =

Ч

(а + Ь +1)!^'

(1.21)

где Ь - длина отрезка между узлами / и у;

\ЦЬь2Ь^з = —

а\Ь\с\

(1.22)

уа + Ь + с + 2)!'

где 5(е) - площадь конечного элемента (е).

Если требуется вычислить интеграл (1.21) или (1.22) от меньшего числа сомножителей, то соответствующий показатель степени принимается равным нулю:

8(е) 5(е) (/

2!1!0! (.) = 1 м + 1 + 0 + 2)! 30

Рис. 1.4. Построение ¿-координат

Рассмотрим матрицу функций формы

>(е) 0

[>(е>] =

о

о

0 0 N

(е)

о

(1.23)

и матрицу градиентов

0 сш^р 0 с1Ы{ке) 0

с1х{ (Лхх с!ху

0 0 0

(1х2 (Лх2 бх2

с1Ы1е) аыр

<%х2 с!хх сЬс2 с1х1 (Ьс2 дхх

2Б{е)

о ь; о ьк о

О с О

О

С, Ъг с} Ь3 ск Ък

(1.24)

Обозначим перемещения узла / в направлении координатных осей Охх и Ох2 как и\е) и соответственно. Обозначенные таким образом перемещения узлов /, и к (Рис. 1.3) любого конечного элемента (е) можно

представить в виде локального вектора узловых перемещений

Г («) и}'

и

и

v;

;М

I

м

}

м к

м

(1.25)

Вектор перемещения и

м _

и

можно вычислить в любой точке

(х,,х2)еКм конечного элемента (е) при помощи интерполяционного соотношения

и

и

лг,(е) о

О 7У(е)

о

о

о

о

И]

I I

(«)

"У

и

м

м

. (1.26)

Перемещения всех узлов конечно-элементной модели образуют глобальный вектор узловых перемещений, размерность которого равна 2хКи, поскольку каждый узел имеет два перемещения. Имеем

их

и,

и,

(1.27)

где все перемещения узлов в направлении осей Ох, и Ох2 имеют соответственно нечетные и четные индексы.

Между компонентами глобального {и} и локального

И}

векторов

перемещений узлов можно установить связь

{£/«} =

Г М1 и)'

(е) V,

ик' и2

] с/.

м 1_ J 3

•

^2хКи ^

(1.28)

В формуле (1.28) используется матрица [я(е)] геометрических связей рассматриваемого конечного элемента (е), которая состоит из шести срок, имеющих длину 2хКи. Один элемент каждой строки равен 1, остальные

нулевые. Локальному номеру г соответствуют первые две строки, номеру у -вторые две, а номеру к последние две (Рис. 1.3). Так как этим локальным номерам соответствуют глобальные номера р, д и г, то равны единице

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яковлев, Максим Евгеньевич, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.

Зенкевич О.Н. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 351 с.

Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. A.C. Сахарова, И. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. 480 с. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

Зарубин B.C., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

Шабров H.H. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. Л.: Машиностроение, 1983. 212 с.

Гаврюшин С.С., Коровайцев A.B. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991. 160 с. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во «Основа» ХГУ, 1991.272 с. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.494 с.

Бреббия К., Теллес Д.К.Ф., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

Погребинский А., Павлов А. Сравнительный анализ CAD/CAM-систем // САПР и графика. 2000. № 8. С. 75-77.

Мазурин А. Компьютерное моделирование изделий и CAE-системы // САПР и графика. 2001. №1. С. 56-63.

15. Мазурин А. Совместный семинар ведущих российских разработчиков САПР // САПР и графика. 2000. № 8. С. 37-47.

16. Назаров Д. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. 2000. № 2. С. 52-55.

17. Сакало В.И., Косов B.C. Контактные задачи железнодорожного транспорта. М.: Машиностроение, 2004. 496 с.

18. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 1. С. 45-87.

19. Nour-Omid В., Wriggers P. A Two-Level Iteration Method for Solution of Contact Problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. V. 54. P. 131-144.

20. Wriggers P. Computational contact Mechanics. Hanover: Springer, 2002. 441 p.

21. Бабин А.П., Зернин M.B. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия с использованием положений механика контактной псевдо среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2009. №4. С. 84-107.

22. Лукашевич A.A. Численное решение динамических односторонних контактных задач методом пошагового моделирования // Известия вузов. Строительство. 2010. № 1. С. 3-10.

23. Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 1. С. 13-18.

24. Цвик Л.Б. Принцип поочередной непрерывности при решении задач теории поля по частям // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243. Вып.1. С. 74-77.

25. Цвик Л.Б., Пинчук Л.М., Погодин В.К. К выбору параметров итерационных методов сопряжения решений в контактирующих телах // Проблемы прочности. 1985. № 9. С. 112-115.

26. Цвик Л.Б. О невязках сопряжения перемещений и напряжений в задачах о сопряжение и контакте упругих тел // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. Вып. 3. С. 570-574.

27. Гнучий Ю.Б. К решению контактных задач теории упругости и пластичности // Проблемы прочности. 1982. № 12. С. 99-104.

28. Цвик Л.Б. Применение метода конечных элементов в статике деформирования. Иркутск: Издательство ИГУ. 1995. 128 с.

29. Можаровский Н.С., Овсеенко А.6., Рудаков К.Н. Решение контактных задач методом конечных элементов. Сообщение 1. Описание алгоритма // Известия Вузов. Машиностроение. 1989. № 6. С. 3-8.

30. Можаровский Н.С., Овсеенко А.6., Рудаков К.Н. Решение контактных задач методом конечных элементов. Сообщение 2. Тестовые задачи // Известия Вузов. Машиностроение. 1989. № 7. С. 6-10.

31. Рудаков К.Н. К выбору рациональных параметров сходимости в итерационном методе сопряжения решений контактной краевой задачи. Сообщение 1. Задача теплопроводности // Проблемы прочности. 1994. № 8. С. 62-68.

32. Рудаков К.Н. К выбору рациональных параметров сходимости в итерационном методе сопряжения решений контактной краевой задачи. Сообщение 2. Задача упругости // Проблемы прочности. 1994. № 9. С. 78-85.

33. Рудаков К.Н. К выбору рациональных параметров сходимости в итерационном методе сопряжения решений контактной краевой задачи. Сообщение 3. Задача термоупругости // Проблемы прочности. 1994. № 10. С. 53-58.

34. Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Методы и алгоритмы решения краевых задач. Киев: Вища школа, 1991.287 с.

35. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

36. Пакеты прикладных программ: Программное обеспечение математического моделирования / Под ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1992. 153 с.

37. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 224 с.

38. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.

39. Станкевич И.В. Хранение и использование разреженных матриц в конечно-элементной технологии // Информационные технологии. 1998. №12. С. 9-12.

40. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

41. Кравчук A.C. Развитие метода решения контактных задач с учетом трения при сложном нагружении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 22-32.

42. Кравчук A.C. О решении трехмерных контактных задач с трением // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 3. С. 485-496.

43. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

44. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.270 с.

45. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.

46. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302 с.

47. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1975. 455 с.

48. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 398 с.

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Машиностроение. Энциклопедия: В 3 т. / Под общ. ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1994. Т. 2. С. 226-272. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит., 1977. 456 с.

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600 с.

Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. 191 с.

Эстербю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц. М.:

Мир, 1987.120 с.

Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. 264 с.

Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. 192 с.

Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988. 160 с.

Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 410 с.

Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения

алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. 228 с.

Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.

Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 391 с.

Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные

методы. М.: Мир, 1983.387 с.

Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 592 с.

64. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448 с.

65. Малышев А. Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1991. 229 с.

66. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский [и др.] // Изв. вузов. Математика. 1983. №7. С. 3-12.

67. Станкевич И.В. Сравнительный анализ вычислительной эффективности прикладных итерационных методов решения сеточных уравнений теплопроводности // Тепломассо-обмен: Труды Второй Российской национальной конференции. М., 1998. Том 7. С. 213-216.

68. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. 288 с.

69. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. Спецвыпуск: «Прикладная математика». 2011 г. С. 134-141.

70. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615170. Решение нелинейной контактной задачи МДТТ в двумерной области / Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 01.06.2011.

71. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013612071. KZ TVU-2D - Решение термовязкоупругой контактной задачи МДТТ в двухмерной области / И.В. Станкевич, М.Е. Яковлев Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 13.02.2013.

72. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических сред // Наука и образование [электронный ресурс]. 2012. № 4. URL: http://technomag.edu.ru/doc/353180.html (дата обращения 04.04.2012).

73. Математика и САПР: В 2 кн. / П. Шенен [и др.]. Кн. 1 М.: Мир, 1988. 204 с.

74. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-JI. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989. 192 с.

75. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Алгоритм автоматического построения сеток из четырехузловых конечных элементов // Наука и образование [электронный ресурс]. 2012. № 2. URL: http://technomag.edu.ru/doc/332595.html (дата обращения 04.04.2012).

76. Математика и САПР: В 2 кн. / П. Жермен-Лакур [и др.]. Кн. 2. М.: Мир, 1989. 264 с.

77. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

78. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

79. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

80. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 215 с.

81. Климов A.C. Форматы графических файлов. Киев: НИПФ «ДиаСофт Лтд», 1995. 480 с.

82. Гюнтер Б. Форматы данных. Киев: Торгово-издательское бюро BHV, 1995. 472 с.

83. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 507 с.

84. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013612073. SETKA3U-2D - Построение конечно-элементных треугольных сеток в двухмерных областях / И.В. Станкевич, М.Е. Яковлев. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 13.02.2013.

85. Колодежный В.А., Можаровский Н.С., Овсеенко А.Б., Рудаков К.Н. Численный расчет контактных напряжений в лопаточном замке диска ГТД с учетом относительного смещения в зоне контакта лопатки и паза // XXII Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей. Тез. докл. М. 1988. С. 118-120.

86. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах конструкций. М.: Наука, 1996. 240 с.

87. Барлам Д.М. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов // Проблемы прочности. 1983. № 4. С. 39-43.

88. Шевченко Ю.А. Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта без трения // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII, № 6. С. 139-147.

89. Шевелева Г.И. Численный метод решения контактной задачи при сжатии упругих тел // Машиноведение. 1981. № 5. С. 90-94.

90. Морев П.Г. Вариант метода конечных элементов для контактных задач с трением // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 4. С. 168182.

91. Пыхалов A.A., Милов А.Е. Контактная задача метода конечных элементов в математическом моделировании динамического поведения сборных роторов турбомашин // Вестник ИрГТУ. Транспортные средства. 2005. № 3. С. 86-95.

92. Нигина E.JI. К решению контактных задач методом конечных элементов // Машиноведение. 1978. № 5. С. 87-92.

93. Буздалов А.П. Решение методом конечных элементов задачи о контакте жесткого гладкого штампа с упругим телом конечных размеров // Проблемы прочности. 1987. № 1. С. 97-101.

94. Давыдов B.C., Чумаченко E.H. Метод реализации модели контактного взаимодействия в МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. № 4. С. 53-63.

95. Дувидзон И.А., Уманский С.Э. К вопросу о решении контактных задач теории упругости и пластичности // Проблемы прочности. 1982. № 1. С. 50-54.

96. Блох М.В., Оробинский A.B. О модификации метода конечных элементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Проблемы прочности. 1983. № 5. С. 21-27.

97. Боранов A.M., Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Оредосеев А. И. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов. Серпухов: Ин-т физики высоких энергий, ОМВТ, 1979. С. 79- 106.

98. Лукашевич A.A. Численное решение динамических односторонних контактных задач методом пошагового моделирования // Известия вузов. Строительство. 2010. № 1. С. 3-10.

99. Васильев В.А. Конечно-элементный анализ контактной задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М. 1977.163 с.

100. Блох М.В., Оробинский A.B. О модификации МКЭ для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Проблемы прочности. 1983. № 5. С. 21-27.

101. Комаров В.О., Линьков A.M. Вариант МКЭ для решения контактных задач // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Л.: ЛИСИ. 1987. С. 60-65.

102. Каршибаев К.Д., Шехтман Ю.В. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов // Труды ЦИАМ. 1982. № 99. С. 70-76.

103. Яковлев М.Е. Решение контактных задач теории упругости с помощью альтернирующего метода Шварца // Технические науки - от теории к практике: сборник статей по материалам XXVII международной научно-практической конференции. «СибАК», Новосибирск, 2013. 4.1. №10. С. 108 - 114.

104. Егоров Д.Л. Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Казань. 2011. 101 с.

105. Шептунов Б.В. Моделирование контактного взаимодействия твердого тела с регулярным рельефом и вязкоупругого основания: Дис. ... канд. тех. наук. Иваново. 2013. 106 с.

106. Яковлев М.Е. Применение альтернирующего метода Шварца к решению поликонтактных задач теории упругости. // Технические науки - от теории к практике: сборник статей по материалам XXX международной научно-практической конференции. «СибАК», Новосибирск, 2014. №1. С. 38-45.

107. Яковлев М.Е. Математическое моделирование поликонтактного взаимодействия. //Вестник Моск. гос. тех. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. Спец. выпуск № 2 «Математическое моделирование в технике». 2012. С. 219 - 224.

108. Малкин С.А. Решение контактных задач теории пластин и плоских негерцевских контактных задач методом граничных элементов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань. 2004. 166 с.

109. Математическое моделирование термоупругого контактного взаимодействия осесимметричных тел / М.Е. Яковлев [и др.] // Инженерный журнал: наука и инновации. Электронный журнал. 2013. №4. URL: http://engjoumal.ru/catalog/mathmodel/hidden/667.html (дата обращения 05.07.2013).

110. Раковская М.И. Численное моделирование контактного взаимодействия основания и плит покрытия временных автомобильных дорог: Дис. ... канд. тех. наук. Петрозаводск. 2004. 148 с.

111. Любичева А.Н. Контактное взаимодействие и изнашивание неоднородных тел: Дис.... канд. физ.-мат. наук. М. 2008. 88 с.

112. Саламатова В.Ю. Контактное взаимодействие накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М. 2009. 125 с.