Адаптация метода внутренней точки к решению задач квадратичного программирования, возникающих при моделировании сборки деформируемых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Стефанова Мария Владимировна

• Стефанова Мария Владимировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Стефанова Мария Владимировна

Введение

Глава 1. Контактная задача в задачах сборки

1.1 Постановка контактной задачи и методы ее решения

1.2 Постановка редуцированной задачи

1.3 Вычислительные особенности задачи квадратичного программирования

1.4 Другие постановки задачи квадратичного программирования

1.5 Описание тестовых примеров

Глава 2. Описание методов внутренней точки

2.1 Прямо-двойственный метод внутренней точки

2.2 Алгоритмы уменьшения потенциала

2.3 Алгоритмы следования пути

2.4 Анализ вычислительной сложности методов внутренней точки

2.5 Алгоритм на базе схемы предиктор-корректор Меротры

Глава 3. Поиск начального приближения

3.1 Различные аспекты выбора начального приближения

3.1 Начальное приближение Аппузо

3.2 Начальное приближение для контактных задач

3.3 Сравнение разных подходов на примере контактных задач

Глава 4. Решение системы линейных уравнений

4.1 Решение нормальной системы уравнений

4.2 Решение расширенной системы уравнений

4.3 Сравнение разных подходов решения системы для задач сборки.. 92 Глава 5. Сравнение метода внутренней точки с другими алгоритмами

5.1 Методы активного набора

5.2 Методы проекции

5.3 Методы крайних точек

5.4 Сравнение теоретических оценок

5.5 Сравнение времени счета на задачах сборки

Заключение

Список обозначений и сокращений

Список литературы

Приложение А. Комплекс программ на основе метода внутренней точки и его

интеграция в программный комплекс по моделированию процесса сборки деформируемых конструкций «АБКР»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптация метода внутренней точки к решению задач квадратичного программирования, возникающих при моделировании сборки деформируемых конструкций»

Введение

Актуальность темы исследования. Одной из важнейших задач, стоящих перед различными отраслями машиностроения, является необходимость оптимизации процесса производства. Переход на новые типы материалов, применение новых технологий влекут за собой изменение технологического процесса, необходимость разработки новых критериев качества продукции, проведение дополнительных испытаний. В последнее время все большую популярность приобретает использование компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента для решения технологических проблем производства. Это связано прежде всего с тем, что физический эксперимент, как правило, является дорогим, длительным и сложным, а аналитических решений часто недостаточно для обеспечения требований надежности. Моделирование процесса сборки активно используется в авиастроении, автомобилестроении и других отраслях промышленности. Данное научное направление является сравнительно молодой областью, которая активно развивается в последние 20 лет, и тесно связана с такими областями как теория допусков, моделирование контактного взаимодействия недеформируемых и деформируемых конструкций, методы оптимизации.

Требования надежности и высокого качества конечной продукции диктуют необходимость учета множества факторов при моделировании сборки. К ним относятся, в том числе, учет возможного контакта между собираемыми деталями, а также деформаций конструкции при сборке. Это достигается путем использования конечно-элементного анализа при решении задач сборки [110, 40, 108, 107]. Однако использование его напрямую в статистическом анализе вариаций отклонений от номинальной формы деталей ведет к неизбежному увеличению времени расчета при моделировании. Использование метода коэффициентов

влияния [65] для учета контакта позволяет сократить время вычислений. Однако попытка использовать линейное соотношение между отклонениями формы деталей и конечной сборки ведет к потере точности решения. Повысить точность метода коэффициентов влияния путем использования его совместно со стратегией прямого поиска точек возможного контакта было предложено в работах [109, 63, 67]. Другой подход учета контакта в задачах сборки основан на редуцировании матрицы жесткости [104, 50, 92], переходе от вариационной постановки контактной задачи [42, 10, 64] к задаче квадратичного программирования и использовании эффективных методов оптимизации. Он позволяет в разы сократить трудоемкие вычисления и в то же время сделать возможным получение результатов моделирования с высокой точностью.

Задачи квадратичного программирования, возникающие при моделировании сборки [71, 74], имеют ряд специфических характеристик. К ним относятся большая размерность задач, разреженность матрицы ограничений, заполненность и плохая обусловленность матрицы Гессе. Кроме того, специфика анализа допусков и оптимизации сборочного процесса делает необходимым решение большого количества задач квадратичного программирования (вплоть до 106) [76, 75, 70, 115] на основе одной и той же конечно-элементной модели собираемой конструкции, т.е. с одинаковыми матрицами ограничений и Гессе. Учет данных особенностей при адаптации методов оптимизации позволяет значительно сократить временные затраты при моделировании сборки [98]. Кроме того, непосредственно выбор метода оптимизации для решения подобных задач должен опираться на возможность наилучшим образом преодолевать сложности задач данного типа, сохраняя высокую скорость получения решения контактной задачи.

В настоящее время методы внутренней точки широко используются для решения различных типов задач оптимизации [48, 34, 80, 112, 88, 87, 2], таких как задачи линейного, выпуклого, квадратичного программирования, линейные задачи дополнительности и др. Наиболее эффективны методы внутренней точки в

применении к решению разреженных задач большой размерности. Данные методы задействованы в различных коммерческих оптимизационных программных пакетах, таких как MOSEK, IMSL, Matlab, CPLEX и др. Преимуществами методов внутренней точки является их полиномиальная сложность, позволяющая быстро решать задачи большой размерности, возможность использования для задач оптимизации разных типов, успешное применение с использованием параллельных вычислений, высокая практическая эффективность.

Данная работа сосредоточена на исследовании возможности эффективного использования методов внутренней точки для решения задач сборки. В работе предлагается адаптация прямо-двойственного метода внутренней точки к задачам рассматриваемого типа, которая включает выбор начального приближения и разработку подхода к решению системы линейных уравнений, характерной для методов внутренней точки. Учет как физических, так и математических особенностей задач сборки позволяет разработать экономичный подход к решению контактных задач с точки зрения используемого времени вычислений.

Степень разработанности темы исследования. Использование методов внутренней точки для решения задач квадратичного программирования [101, 85, 47], в том числе задач, возникающих при рассмотрении контактного взаимодействия тел [102, 78, 77], не является новым. В последние десятилетия после публикации Кармаркаром полиномиального алгоритма [53] методы внутренней точки получили значительное развитие. На сегодняшний день эффективными считаются прямо-двойственные методы на основе схемы предиктор-корректор [80, 36]. Известно успешное использование методов для решения задач большой размерности, имеющих разреженную структуру [48]. Однако ряд вопросов, касающихся выбора начального приближения и наиболее трудоёмкого шага метода - решения системы линейных уравнений, имеют решения [24, 22, 29], которые, однако, не всегда могут считаться удовлетворительными, в том числе для задач сборки.

С другой стороны, использование постановки контактной задачи в виде задачи квадратичного программирования с предшествующей редукцией матрицы жесткости является сравнительно новым подходом в моделировании сборки деформируемых конструкций [69, 76, 92, 63, 67]. Исследование эффективности использования различных типов методов оптимизации, в том числе методов внутренней точки, для решения подобных задач не является достаточно изученным и определяет основное направление исследования, которому посвящена диссертация.

Цели и задачи исследования. Целью данной диссертации является разработка алгоритма решения задач сборки деформируемых конструкций на основе методов внутренней точки.

В задачи исследования входит:

1. Адаптация метода внутренней точки к решению задач квадратичного программирования, возникающих при моделировании сборки.

2. Модификация формулировки задачи квадратичного программирования с целью улучшения ее свойств для ускорения вычислений.

3. Реализация разработанного алгоритма решения задач квадратичного программирования в виде комплекса программ на языке С++ и интеграция его в программный комплекс по моделированию процесса сборки деформируемых конструкций.

4. Сравнительный анализ наиболее распространённых типов методов оптимизации (методов активного набора, методов проекции, методов крайних точек) с методами внутренней точки на задачах сборки. Выявление основных преимуществ и недостатков. Выявление наиболее эффективных методов в применении к задачам сборки.

Методы исследований. Исследование базируется на использовании теории двойственности, методов квадратичного программирования, численных методов

решения систем алгебраических уравнений, теории упругого контакта. Программная реализация осуществлялась на языке программирования С++.

Научная новизна исследования и положения, выносимые на защиту:

1. Разработан новый алгоритм на основе методов внутренней точки для решения задач сборки, учитывающий специфику области применения.

2. Впервые сформулирована относительная задача квадратичного программирования на базе относительных перемещений в задачах о контактном взаимодействии тел. Доказана теорема о равносильности относительной и исходной формулировок задачи квадратичного программирования. Относительная формулировка позволяет упростить ограничения исходной задачи, сократить размерность, сохраняя близкие к исходным свойства матрицы Гессе и, как следствие, ускорить процесс решения задач сборки.

3. Предложен новый метод поиска «допустимого» начального приближения на основе физической интерпретации условий на начальное приближение. Использование метода позволяет сократить число итераций метода внутренней точки.

4. Произведен сравнительный анализ различных подходов решения системы линейных уравнений для ряда типичных задач сборки.

5. Произведен сравнительный анализ эффективности использования методов внутренней точки, методов активного набора, методов проекции и методов крайних точек для решения задач квадратичного программирования, возникающих при моделировании сборки деформируемых конструкций.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Представленный в диссертации алгоритм на основе методов внутренней точки позволяет сократить вычислительные затраты при моделировании сборки деформируемых

конструкций. Кроме того, исследование проясняет вопрос об эффективности использования тех или иных методов оптимизации и, в частности, метода внутренней точки, в рамках рассматриваемого приложения.

Разработанный алгоритм к решению задач квадратичного программирования, возникающих в задачах сборки, внедрен в программный комплекс по моделированию процесса сборки деформируемых конструкций «ASRP». Алгоритм на основе метода внутренней точки входит в вычислительное ядро «ASRP», позволяя решать задачу о контактном взаимодействии деформируемых тел, которая в свою очередь является ключевым этапом при моделировании сборки деформируемых конструкций. Программный комплекс «ASRP» активно используется для моделирования сборки различных моделей самолётов компании AIRBUS [76, 74, 72].

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях «Optimization and Applications, (OPTIMA-2020)» (Москва, Россия); «ASME 2018 International Mechanical Engineering Congress and Exposition» (Питтсбург, США); «Optimization 2017» (Лиссабон, Португалия); «Неделя науки СПбПУ 2015» (Санкт-Петербург, Россия), на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Виртуально-имитационного моделирования», 2016-2020 (Санкт-Петербург, Россия). По теме работы опубликовано 10 статей, в том числе 9 в журналах входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК. Работа поддержана персональным грантом правительства Санкт-Петербурга в 2017 году.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, список обозначений и сокращений, приложение, 29 рисунков, 22 таблицы. Общий объем работы составляет 131 страниц и 116 библиографических наименования.

В первой главе рассматривается постановка задачи квадратичного программирования, возникающей при моделировании процесса сборки

деформируемых конструкций. Описываются основные особенности задачи о контактном взаимодействии тел для рассматриваемого приложения. Показан переход от вариационной формулировки контактной задачи к задаче квадратичного программирования. Описываются основные характеристики задачи квадратичного программирования в задачах сборки. Вводятся альтернативные формулировки контактной задачи, двойственная и относительная. Доказывается теорема о равносильности относительной и исходной формулировок задачи квадратичного программирования. Описывается ряд практических примеров на базе сборки крыло-фюзеляж, положенных в основу тестовых задач, используемых далее в тексте диссертации.

Во второй главе делается обзор наиболее распространённых типов методов внутренней точки - прямо-двойственных методов. Обсуждаются алгоритмы уменьшения потенциала и алгоритмы следования пути. Рассматривается одна из наиболее значимых теоретических особенностей методов внутренней точки -полиномиальная сложность алгоритмов. Приводятся теоремы, подтверждающие данный результат для прямо-двойственного метода внутренней точки в применении к задачам квадратичного программирования. Затрагиваются вопросы, касающиеся выбора варианта общей схемы метода внутренней точки. Сравниваются разные типы схем на основе идеи предиктор-корректор: стандартная схема Меротры и схема Меротры с частичным пропуском шага корректор. Также для ряда практических задач оценивается эффективность использования адаптивной точности решения системы линейных алгебраических уравнений. Приводится алгоритм метода внутренней точки, используемый далее для адаптации.

Третья глава посвящена выбору начального приближения для старта метода внутренней точки. Описываются особенности и критерии выбора стартовой точки. В работе рассматриваются два подхода к поиску начального приближения, основанный на поиске «допустимой» стартовой точки (feasible) и «недопустимой»

стартовой точки (infeasible). Предлагается новый алгоритм поиска «допустимой» стартовой точки, учитывающий физическую интерпретацию условий на начальное приближение. Описываются известные подходы Аппузо поиска «недопустимой» стартовой точки. Проводится сравнительный анализ этих двух подходов для ряда практических примеров задач сборки.

В четвертой главе обсуждается вопрос решения системы линейных алгебраических уравнений, которое составляет наиболее трудоемкий этап метода внутренней точки. Проводится обзор методов, которые классифицируются по типу метода решения (прямые, итерационные), или по типу формулировки системы линейных алгебраических уравнений (расширенный подход (augmented system approach), нормальный подход (normal equation approach)). Поскольку матрица жесткости, во многом определяющая свойства данной системы, является плохо обусловленной, в диссертации проводится анализ использования различных типов предобуславливателей как для расширенной системы, так и для нормальной. Предобуславливатели сравниваются по сложности вычислений и спектральным свойствам. Для решения нормальной системы уравнений предлагается модификация метода на основе использования метода разложения Холецкого для решения системы и формулы Шермана-Моррисона. Проводится сравнение всех рассмотренных подходов между собой на тестовых примерах задач сборки, на базе которого определяется наиболее подходящий для рассматриваемого приложения.

В пятой главе методы внутренней точки и другие типы методов оптимизации, а именно: методы активного набора, методы проекции и методы крайних точек, анализируются по сложности работы, требуемой памяти и времени, необходимому для предобработки данных. Приводятся преимущества и недостатки использования каждой группы методов. Среди методов каждого типа выделяются наиболее эффективные в применении к решению задач сборки: метод Гольдфарба-Иднани-Пауэлла (метод активного набора), проекционный метод Ньютона (метод проекции), метод Лемке (метод крайних точек). Описывается адаптация методов к

задачам сборки, а также проводится сравнение времени работы методов для ряда практических примеров задач сборки.

В заключении представлены основные результаты работы. В приложении приводится описание структуры разработанной программы, а также ее интеграции в программный комплекс по моделированию сборки «ASRP».

Глава 1. Контактная задача в задачах сборки

1.1 Постановка контактной задачи и методы ее решения 1.1.1 Особенности контактной задачи, возникающей в задачах сборки

При анализе и оптимизации сборки (см. Рисунок 1) технически сложных конструкций в машиностроении учет возможного контакта скрепляемых деталей и моделирование напряженно-деформируемого состояния, возникающего в результате контактного взаимодействия, позволяет оценить срок службы оборудования, его прочность и износостойкость, выработать стратегию сборки, обеспечивающую соответствие конечной продукции заданным критериям качества и надежности, сократить затраты и время производства.

Рисунок 1 - Процесс сборки в автомобильной (слева, http://www.auto-assemblyplants.com) и авиационной промышленности (справа, www.airbus.com)

Рассмотрим контактные задачи [92], возникающие при анализе процесса сборки. Задачи данного типа имеют следующие особенности:

1) Зона возможного контакта известна заранее и, как правило, мала по сравнению с размерами соединяемых деталей;

2) Установленные крепежные элементы ограничивают касательные перемещения деталей в зоне соединения. Поэтому касательные перемещения малы в зоне возможного контакта и могут быть исключены из рассмотрения в некоторых задачах сборки;

3) Внешние усилия прикладываются в зоне возможного контакта и действуют по нормали к поверхности контакта;

4) Задача стационарная;

5) Трение не рассматривается из-за малости касательных перемещений;

6) Напряженно-деформированное состояние каждой из собираемых частей описывается линейной теорией упругости.

Основная цель решения контактной задачи в рассматриваемом случае - поиск зазора между скрепляемыми деталями после установки крепежных элементов.

Заметим, что в задачах сборки может возникать необходимость рассматривать более широкий класс задач. Например, для задач, имеющих значительную кривизну деталей, при использовании недостаточно жестких материалов или учете влияния гравитации возникает необходимость учета дополнительно касательных перемещений и поворотов [74]. В ряде задач может требоваться учет трения между крепежом и деталью [73], нестационарных процессов или влияние герметика [39]. В задачах сборки данные эффекты удается учесть, основываясь на формулировке задачи в виде задачи квадратичного программирования, за счет введения дополнительных линейных ограничений на переменные задачи или решения последовательности задач.

1.1.2 Формулировка контактной задачи

Рассматриваемый класс задач представляет собой задачу контактного взаимодействия нескольких деформируемых тел. Для ее постановки рассмотрим р

упругих тел, занимающих ограниченные области П; £ М3 с границей ЗП;, где I =

1, р индекс тела. В условиях 1)-6) задача ставится следующим образом:

Найти перемещения Х_1 для каждого тела I = 1, р такие, что выполнено уравнение равновесия

diva(X})+fi = 0вПi, (1)

и граничные условия

X} = Х0 на ЗП* (2)

<г(Х}) • п^ = на aПf, (3)

. . = . . (4)

>0,ап< 0, ах = 0, = 0 на дПс1.

Здесь ¿,у = 1,р - индексы тел, = С\ е(х) = 1 - тензор напряжений

Коши, <гп, оТ - нормальные и касательные напряжения, С = - тензор

упругих постоянных, е = {б5с}3,с=1 - тензор деформации, - вектор внешней нормали к поверхности тела, /, £ - внешние объемные и поверхностные силы,

соответственно. Граничные условия ставятся на трех составляющих границы каждого тела ЗП; (Рисунок 2):

Рисунок 2 - Схематическое представление контактных задач рассматриваемого класса

• дП* - часть границы, где заданы перемещения (условия Дирихле);

• д, - часть границы, где заданы напряжения (условия Неймана);

• д, - зона стыка, т.е. часть границы, где возможен контакт.

В каждой зоне стыка задан зазор в1,] между -ым и у'-ым телами. В задачах сборки, как правило, фигурируют конструкции, состоящие из деталей, толщина которых мала по сравнению с другими характерными размерами. Поэтому для их описания применима теория пластин или оболочек [14]. В этом случае формулировка контактной задачи (1)-(4) упрощается за счет описания пластины или оболочки как своей срединной поверхности, т.е. поверхности делящей толщину детали пополам [55].

Остановимся подробнее на определении зазора. В задачах о контактном взаимодействии под зазором между двумя телами I и у, приходящими в контакт, понимают скалярную функцию в1'^ (г, ЗПу) от радиус-вектора г £ д, точки slave-поверхности тела I и master-поверхности тела у. Зазор определяют так, чтобы он был:

- положителен (в1,] > 0), когда нет контакта между точкой г и поверхностью д,;

- нулевым (С1,]' = 0), когда контакт есть;

- отрицательным (С1,]' < 0), когда точка пересекает поверхность.

В общем случае функция зазора асимметрична (Рисунок 3), т.е. £1,] (г, ЗПу ) не обязательно совпадает с в },1(^, ЗП^), где £ £ д, - радиус-вектор точки поверхности тела у. Выделяют три основных способа определения зазора [114]:

• нормальный зазор на основе проекции:

лпсЛ _

с (г, д,-) = (г - $ • п/(£,

где £ £ д, - ближайшая точка к г.

• зазор на основе кратчайшего расстояния от г до поверхности dD.j с соответствующим знаком Р = ±1:

GlcJ (bdtf) = P\\L-t\\,

• теневой зазор на основе наименьшего расстояния от г до ее «теневой проекции» на поверхность d0.j :

Gls'j (г, дПЦ) = (г-£)• е(г),

где е_ - единичный вектор, направленный в сторону источника света. Выбор способа задания зазора Gl,J влияет на искомое решение контактной задачи, поэтому важно корректно выбрать тип поверхности (master или slave) и наиболее предпочтительный способ определения зазора G 1'}.

Рисунок 3 - Различные способы определения зазора: Сп - нормальный зазор, Сс - зазор на основе кратчайшего расстояния, С 5 - теневой зазор

Вариационная формулировка контактной задачи обсуждается в работах [10, 52], и может быть записана как минимизация функционала энергии при выполнении геометрических ограничений задачи Б:

1=1 \ ъ да? Ъ )

где 5 = {X} £ [ШК,)]3^ =Х0 на дП?, >0 на дI,} = 1^,1* )}, Ш1(П) - пространство Соболева [15]. Решение задачи минимизации Х_1 удовлетворяет соответствующему вариационному неравенству:

| е(Х1):С_1:е(8Х_1)аа1> | 8Х1а(да(() + | fi•SX}dПi, £ V

Ъ дп? ъ

где V = {8Х_1 £ №(,)]318Х} = 0 на д,*, (г + 8г-±-8±)^п1< на дП?,

1,] = 1,р,1 * У}, 8Х_1 - возможные перемещения, = 8Х_1 на д, и 8^ = 8Х; на

д,, - начальный зазор.

Существует множество разнообразных подходов к решению контактных задач [1, 114, 111], отличающихся алгоритмами определения зоны контакта, моделями контакта, алгоритмами решения вариационных неравенств.

1.1.3 Дискретизация

Метод конечных элементов является [17] основным инструментом при численном решении контактных задач разного типа. Суть метода состоит в разбиении исходной области решения на конечное число подобластей (конечных элементов) и минимизации функционала энергии на совокупности аппроксимирующих функций, каждая из которых определена на своей подобласти - конечном элементе, а вне ее равна нулю. Совокупность конечных элементов заданной формы и размера образует конечно-элементную сетку. Используемая сетка должна строиться таким образом, чтобы позволять получить решение контактной задачи с требуемой точностью, однако, число конечных элементов не

должно быть слишком большим, т.к. оно напрямую связано с размерностью результирующей численной задачи.

При рассмотрении контактных задач сборки типа 1)-6) из-за предположения малости деформаций и малости скольжения поверхностей контакта друг относительно друга оказывается применима простейшая модель контакта - узел-в-узел. При использовании данной модели конечно-элементные сетки приходящих в контакт деталей должны быть конформными. В рамках модели контакт может происходить только между узлами, составляющими пару узлов сетки. Таким образом, контролировать условие непроникновения деталей друг в друга необходимо и возможно только внутри каждой пары узлов.

После дискретизации по методу конечных элементов и при использовании контакта узел-в-узел контактная задача формулируется как задача квадратичного программирования [111, 71]:

1 т т (5)

чип П — — ^^ — ^

xesyip xeSd 2

min Uv — min —ху Kx — flx

xesd и xesd2

где К ЕЖпхп - матрица жесткости, xGEn - полный вектор перемещений вне и в зоне возможного контакта, f ЕЖп - вектор внешних сил, п - число неизвестных задачи, соответствующее всем степеням свободы для каждого узла конечно-элементной модели, Sd - допустимое множество решений задачи, определяемое условием непроникновения скрепляемых деталей друг в друга и граничными условиями задачи, зависящим от устройства сборочного стенда.

1.2 Постановка редуцированной задачи

Малость зоны возможного контакта по сравнению с размером скрепляемых деталей (Рисунок 4) и малость касательных перемещений позволяет существенно уменьшить размерность задачи на основе редуцирования матрицы жесткости [104,

50, 92, 71], сократив при этом вычислительные и временные затраты при решении контактной задачи:

Р(хс) = \хтсКсхс — fTxc ^ min (6)

при условии Атхс — д <0, где Кс Е Шпсхпс - редуцированная матрица жесткости, хс Е МПс - вектор нормальных перемещений в зоне возможного контакта, fc Е МПс - вектор внешних сил, А = [а±,а2,... ,ат] е ШПсХтс - матрица ограничений, задающая пары контактных узлов, д Е МШс - начальный зазор между деталями до установки крепежных элементов, пс - число неизвестных задачи, соответствующее нормальным перемещениям в зоне возможного контакта, тс - число пар контактных узлов. Далее по тексту мы опустим индекс «с» для простоты обозначений, подразумевая его для х, К и f.

Рисунок 4 - Схематическое представление контактных задач. Слева - до установки крепежных элементов (красным пунктиром показана зона возможного контакта), справа - после установки двух крепежных элементов

Задача (6) является задачей выпуклого квадратичного программирования (матрица К - положительно определена), поэтому для нее условия Каруша-Куна-Таккера являются необходимыми и достаточными условиями оптимальности.

Теорема 1. (Каруша-Куна-Такера) Пусть х*- допустимое решение задачи (6). Вектор х*- оптимальное решение задачи (6) тогда и только тогда, когда существует вектор А* £ Мт, А* > 0 такой, что выполнены условия

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стефанова Мария Владимировна, 2021 год

Список литературы

1 . Бураго, Н. Г. Обзор контактных алгоритмов / Н. Г. Бураго, В. Н. Кукуджанов //

Известия РАН, МТТ,- 2005. - № 1. - С. 45-87.

2 . Войтов, О. Н. Алгоритмы скошенного пути для решения задач линейного

программирования / О. Н. Войтов, В. И. Зоркальцев, А. Ю. Филатов // Дискретн. анализ и исслед. опер. сер. 2. - 2001. - Т.8. - №2. - С.17-26.

3 . Дикин, И.И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного

программирования / И.И. Дикин // Докл. АН СССР. - 1967. - Т.174. - С. 747748.

4 . Евтушенко, Ю. Г. Численные методы нелинейного программирования / Ю. Г.

Евтушенко // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 221. - №5. - С. 1016-1019.

5 . Евтушенко, Ю. Г. Численные методы решения некоторых задач исследования

операций / Ю. Г. Евтушенко, В. Г. Жадан // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1973. - Т. 13. - №3. - С.583-598.

6 . Евтушенко, Ю. Г. Двойственные барьерно-проективные и барьерно-

ньютоновские методы для задач линейного программирования / Ю. Г. Евтушенко, В. Г. Жадан // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1996. - Т.36. -№7. - С.30-45.

7 . Жадан, В. Г. Двойственные методы внутренней точки для линейной задачи

полуопределенного программирования / В. Г. Жадан, А. А. Орлов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2011. - Т.51. - №12. - С.2158-2180.

8 . Зоркальцев, В. И. Обоснование алгоритмов внутренних точек /

B. И. Зоркальцев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1999. - Т.39. - №2. -

C.208-221.

9 . Зоркальцев, В. И. Ввод в область допустимых решений методом внутренних

точек / В. И. Зоркальцев // УБС. - 2016. - Т.59. - С.23-44.

10 . Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения. / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья - М.:Мир, 1983. - 256 с.

11 . Левитин, Е. С. Методы минимизации при наличии ограничений / Е. С. Левитин, Б. Т. Поляк // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1996. - Т.6. - №5. -С. 787-823.

12 . Миневич, О. Л. Численные методы решения линейной задачи дополнительности: выпускная квалификационная работа магистра / О. Л. Миневич - Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2018. - 59 с.

13 . Нестеров, Ю. Е. Метод решения задачи выпуклого программирования со скоростью сходимости 0(1/&2) / Ю. Е. Нестеров // Докл. АН СССР. - 1983. -Т.269. - №3. - С.543-547.

14 . Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикардс // Рига: Зинатне. 1988. - 284 с.

15 . Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев // М.: Наука. 1988. - 336 с.

16 . Стефанова, М.В. Применение метода внутренней точки для решения специального класса контактных задач / М.В. Стефанова, С.А. Якунин, М.В. Петухова, С.В. Лупуляк // Неделя науки СПбПУ: материалы научного форума с международным участием. Институт прикладной математики и механики. СПб.: Изд-во Политехн. Ун-та. - 2015. - С.48-50.

17 . Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле -М.:Мир.1980. - 512 с.

18 . Филатов А. Ю. Развитие алгоритмов внутренних точек и их приложение к системам неравенств: дис. . . . к-та физ.-мат. наук : 05.13.18 / Александр Юрьевич Филатов. Иркутск: ИГУ, 2001. - 123 с.

19 . Якунин, С. А. Исследование эффективности применения методов внутренней точки для решения специального класса контактных задач: выпускная

квалификационная работа магистра. / С. А. Якунин - Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2014. - 46 с.

20 . Alizadeh, F. Interior Point Methods in Semidefinite Programming with Applications to Combinatorial Optimization / F. Alizadeh // SIAM J. Optimization. - 1995. - V.5. - №1 - P.13-51.

21 . Alizadeh, F. Second-order cone programming / F. Alizadeh, D. Goldfarb // Math. Program., Ser B - 2003. - V.95. - P.3-51.

22 . Altman, A. Regularized symmetric indefinite systems in interior point methods for linear and quadratic optimization / A. Altman, J. Gondzio // Optimization Methods and Software. - 1999. - V.11/12, - P.275-302.

23 . Anderson, E.D. Implementation of Interior-Point Methods for Large Scale Linear Programs / E.D. Anderson, J. Gondzio, C. Meszaros, X. Xu // In: Terlaky T. (eds) Interior Point Methods of Mathematical Programming. Applied Optimization. V.5. Springer, Boston, MA. 1996. - P.189-253.

24 . D'Apuzzo, M. Starting-point strategies for an infeasible potential reduction method / M. D'Apuzzo, V. De Simone, D. di Serafino // Optimization Letters. - 2010. -V.4. - №1. - P.131-146.

25 . Auricchio, F. Augmented lagrangian finite-elements for plate contact problems / F. Auricchio, E. Sacco // International Journal For Numerical Methods In Engineering. - 1996. - V.39. - P.4141-4158.

26 . Baklanov, S. Newton projection method as applied to assembly simulation / S. Baklanov, M. Stefanova, S. Lupuleac // Optimization Methods and Software. -2020. https://doi.org/10.1080/10556788.2020.1818079.

27 . Barzilai, J. Two-point step size gradient methods / J. Barzilai, J.M. Borwein // IMA J. Numerical Analysis. - 1988. - V.8. - P.141-148.

28 . Bathe, K.J. On the constraint function-method for contact problems / K.J. Bathe, P.A. Bouzinov // Computers & structures. - 1997. - V.64. - №(5-6) - P.1069-1085.

29 . Bergamaschi, L. Preconditioning Indefinite Systems in Interior Point Methods for Optimization / L. Bergamaschi, J. Gondzio, G. Zilli //Computational Optimization and Applications. - 2004. - V.28. - P.149-171.

30 . Bertsekas, D. P. Projected Newton methods for optimization problems with simple constraints / D. P. Bertsekas // Siam Journal on control and optimization. - 1982. -V.20. - №2. - P.221-246.

31 . Birgin, E. G. Spectral projected gradient methods: review and perspectives / E. G. Birgin, J. M. Martnez, M. Raydan // Journal of Statistical Software. - 2014. - V.60.

- P.1-21.

32 . Boyd, S. Convex Optimization / S. Boyd, L. Vandenberghe - Cambridge University Press. Cambridge. - 2004.

33 . Bunch, J. R. Direct methods for solving symmetric indefinite systems of linear equations / J. R. Bunch, B. N. Parlett // SIAM Journal on Numerical Analysis. -1971. - V.8. - P.639-655.

34 . Byrd, R. H. An interior point algorithm for large-scale nonlinear programming / R. H. Byrd, M. E. Hribar, J. Nocedal // SIAM Journal on Optimization. - 1999. - V.9.

- №4 - P.877-900.

35 . Chai, J. S. Preconditioning and iterative solution of symmetric indefinite linear systems arising from interior point methods for linear programming / J. S. Chai, K.C. Toh // Computational Optimization and Applications. - 2007. - V.36. - P. 221-247.

36 . Colombo, M. Further development of multiple centrality correctors for interior point methods / M. Colombo, J. Gondzio // Computational Optimization and Applications. - 2008. - V.41. - №3. - P.277-305.

37 . Crisci, S. Steplength selection in gradient projection methods for box-constrained quadratic programs / S. Crisci, V. Ruggiero, L. Zanni // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - V.356. - P.312-327.

38 . Dollar, H. S. Implicit-Factorization Preconditioning and Iterative Solvers for Regularized Saddle-Point Systems / H. S. Dollar, N. I. M. Gould, W. H. A. Schilders, A. J. Wathen // SIAM J. MATRIX ANAL. APPL. - 2006. - V.28. - №1. - P.170-189.

39 . Eliseev, A. Numerical simulation of aircraft assembly process with presence of sealant / A. Eliseev, S. Lupuleac, B. Grigor'ev, J. Shinder, J. Bouriquet // In SAE Technical Paper. - 2021. - 2021-01-0001. - 8p.

40 . Falgarone, H. Variation simulation during assembly of non-rigid components. realistic assembly simulation with anatoleflex software / H. Falgarone, F. Thiebaut, J. Coloos, L. Mathieu // In 14th CIRP CAT 2016 - CIRP Conference on Computer Aided Tolerancing. - 2016. - V.43. - P.202-207.

41 . Fountoulakis, K. Matrix-free Interior Point Method for Compressed Sensing Problems / K. Fountoulakis, J. Gondzio, P. Zhlobich // P. Math. Prog. Comp. -2014. - V.6. - №1. - P.1-31.

42 . Galin L. A. Contact problems in the theory of elasticity / L. A. Galin - North Carolina State College, Raleigh. 1961.

43 . Gill, P. E. On projected Newton barrier methods for linear programming and an equivalence to Karmarkar's projective method / P. E. Gill, W. Murray, M. A. Saunders, J. A. Tomlin, M. H. Wright // Mathematical Programming. - 1986. -V.36. - №2 - P.183-209.

44 . Goldfarb, D. A numerically stable dual method for solving strictly quadratic programs / D. Goldfarb, A. Idnani // Mathematical Programming. - 1983. - V.27. -№1. - P.1-33.

45 . Goldstein, A. A. Convex Programming in Hilbert Space / A. A. Goldstein // Bulletin of the American. - 1964. - V.70. - №5. - P.709-710.

46 . Gondzio, J. Convergence Analysis of an Inexact Feasible Interior point method for Convex Quadratic Programming / J. Gondzio // SIAM J. Optim. - 2013. - V.23. -№3. - P.1510-1527.

47 . Gondzio, J. Interior point methods 25 years later / J. Gondzio // European Journal of Operational Research. - 2012. - V.218. - №3. - P.587-601.

48 . Gondzio, J. Direct Solution of Linear Systems of Size 10A9 Arising in Optimization with Interior Point Methods / J. Gondzio, A. Grothey // in Parallel Processing and Applied Mathematics, R. Wyrzykowski, J. Dongarra, N. Meyer, and J. Wasniewski, eds. - 2006. - V.3911. - P.513-525.

49 . Gould, N. I. M. On the solution of equality constrained quadratic problems arising in optimization / N. I. M. Gould, M. E. Hribar, J. Nocedal // SIAM J. Sci. Comput. - 2001. - V.23. - P. 1375-1394.

50 . Guyan, R. J. Reduction of Stiffness and Mass Matrix / R. J. Guyan // AIAA Journal. - 1965. - V.3. - №2. - P.380.

51 . Hintermüller, M. The primal-dual active set method for a crack problem with nonpenetration / M. Hintermüller, V. Kovtunenko, K. Kunisch // IMA J Appl Math. -2004. - V.69. - P.1-26.

52 . Hlavacek, I. Solution of variational inequalities in mechanics / I. Hlavacek, J. Haslinger, J. Necas, J. Lovisek // Springer-Verlag. New York. 1998. - 275 p.

53 . Karmarkar, N. A. New Polynomial Time Algorithm for Linear Programming / N. A. Karmarkar // Combinatorica. - 1984. - V.4. - №4. - P.373-395.

54 . Khapaev, M. Sparse approximation of FEM matrix for sheet current integro-differential equation / M. Khapaev, M. Y. Kupriyanov// Matrix Methods: Theory, Algorithms And Applications. World Scientific. - 2012. - P.510-522.

55 . Kikuchi, N. Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods / N. Kikuchi, J.T. Oden // SIAM, Philadelphia. 1988. -495p.

56 . de Klerk, E. Nonlinear Optimization (CO 367) / E. de Klerk, C. Roos, T. Terlaky // University of Waterloo. Canada. 2006. - 100p.

57 . Klintberg, E. An inexact interior point method for optimization of differential algebraic systems / E. Klintberg, S. Gros // Computers & Chemical Engineering. -2016. - V.92. - P.163-171.

58 . Kojima, M. A polynomial-time algorithm for a class of linear complementarity problems / M. Kojima, S. Mizuno, A. Yoshise // Mathematical Programming. -1989. - V.44. - P.1-26.

59 . Kojima, M. A primal-dual interior point algorithm for linear programming / M. Kojima, S. Mizuno, A. Yoshise // In Megiddo N., editor, Progress in mathematical programming: interior point and relate d methods. Springer Verlag. New York. -1989. - P.29-47.

60 . Krukier, L.A. Preconditioning of GMRES by the skew-Hermitian iterations / L.A. Krukier, T.S. Martynova // Num. Anal. Appl. - 2016. - V.9. №3. - P.207-217.

61 . Lemke C. E. On complementary pivot theory / C. E. Lemke // Mathematics of the Decision Science. - 1968. - V.1 - P.95-114.

62 . Lin, C. J. An Incomplete Cholesky Factorization for Dense Symmetric Positive Definite Matrices / C. J. Lin, R. Saigal // BIT Numerical Mathematics. - 2000. -V.40 - P.536-558.

63 . Lindau, B. Efficient contact modeling in nonrigid variation simulation / B. Lindau, S. Lorin, L. Lindkvist, R. Söderberg // ASME J. Comput. Inf. Sci. Eng. - 2016. -V.16. №1. - P.011002.

64 . Lions, J. L.Variational inequalities / J. L. Lions, G. Stampacchia // Commun Pure Appl Math. - 1967. - V.20. - P.493-519.

65 . Liu, S. C. Variation simulation for deformable sheet metal assemblies using finite element methods / S. C. Liu, S. J. Hu // ASME J. Manuf. Sci. Eng. - 1997. -V.119. - №3. - P.368-374.

66 . Lobo, M.S. Applications of second-order cone programming / M.S. Lobo, L. Vandenberghe, S. Boyd, H. Lebret // Linear Algebra and its Applications. - 1998. -V.284. - P. 193-228.

67 . Lorin, S. Efficient compliant variation simulation of spot-welded assemblies / S. Lorin, B. Lindau, L. Lindkvist, R. Soderberg // ASME. J. Comput. Inf. Sci. Eng. -2019. - V.19. - №1. - P.011007.

68 . Luenberger, D.G. Linear and Nonlinear Programming / D.G. Luenberger, Y. Ye // 4nd ed., Kluwer Academic Publishers. - 2016. - 546p.

69 . Lupuleac, S. Assembly simulation of riveting process / S. Lupuleac, M. Kovtun, O. Rodionova, B. Marguet // SAE International Journal of Aerospace. - 2010. - V.2. -P.193-198.

70 . Lupuleac, S. Optimization of fastener pattern in airframe assembly / S. Lupuleac, T. Pogarskaia, M. Churilova, E. Bonhomme, M. Kokkolaras // Assembly Automation. - 2020. - V. 40. - №. 5 - P. 723-733.

71 . Lupuleac, S. V. Methodology for solving contact problem during riveting process / S. V. Lupuleac, M. V. Petukhova, Y. K. Shinder, B. Bretagnol // SAE International Journal of Aerospace. - 2011. - V.4. - №2. - P.952-957.

72 . Lupuleac, S. Software complex for simulation of riveting process: Concept and applications / S. Lupuleac, M. Petukhova, Y. Shinder, M. Stefanova, N. Zaitseva, T. Pogarskaia, E. Bonhomme // In SAE Technical Paper. - 2016. - 2016-01-2090. -4p.

73 . Lupuleac, S. Simulation of the airframe assembly process with regard to friction in fastening elements. / S. Lupuleac, M. Petukhova, Y. Shinder, M. Churilova, E. Bonhomme // The 53rd CIRP Conference on Manufacturing Systems, - 2020. (в печати).

74 . Lupuleac, S. Simulation of body force impact on the assembly process of aircraft parts / S. Lupuleac, A. Smirnov, M. Churilova, J. Shinder, N. Zaitseva, E. Bonhomme // Proceedings of the ASME 2019 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. V.2B: Advanced Manufacturing. Salt Lake City, Utah. USA. November 11-14. 2019. V02BT02A057.

75 . Lupuleac, S. Simulation and optimization of airframe assembly process / S. Lupuleac, N. Zaitseva, M. Stefanova, S. Berezin, J. Shinder, M. Petukhova, E. Bonhomme // Proceedings of the ASME 2018 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. V.2: Advanced Manufacturing. Pittsburgh, Pennsylvania, USA. November 9-15. - 2018. - V002T02A109.

76 . Lupuleac, S. Simulation of the Wing-To-Fuselage Assembly Process / S. Lupuleac, N. Zaitseva, M. Stefanova, S. Berezin, J. Shinder, M. Petukhova, E. Bonhomme // ASME. J. Manuf. Sci. Eng. - 2019. - V.141. - №6. - P.061009.

77 . Mangoni, D. A primal-dual predictor-corrector interior point method for non-smooth contact dynamics / D. Mangoni, A. Tasora, R. Garziera // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2018. - V.330. - P.351-367.

78 . Mazorche, S. R. Solution of contact problems in linear elasticity using a feasible interior point algorithm for nonlinear complementarity problems / S. R. Mazorche, J. Herskovits, A. Canelas, G. M. Guerra // Proceedings of the Seventh World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, COEX, Seoul, May, 2125 - 2007.

79 . Megiddo, N. Pathways to the optimal set in linear programming / N. Megiddo // In Megiddo N., editor, Progress in mathematical programming: interior point and related methods. Springer Verlag. New York. - 1989. - P.131-158.

80 . Mehrotra, S. On the Implementation of a Primal-Dual Interior Point Method / S. Mehrotra // SIAM J. Optimization. - 1992. - V.2. - №4. - P. 575-601.

81 . Mészáros, C. The Bpmpd Interior Point Solver for Convex Quadratically Constrained Quadratic Programming Problems / C. Mészáros // In: Lirkov I., Margenov S., Wasniewski J. (eds) Large-Scale Scientific Computing. LSSC 2009. Lecture Notes in Computer Science. Springer. Berlin. - 2010. - V.5910. - P.813-820.

82 . Mizuno, S. Infeasible-interior-point primal-dual potential-reduction algorithms for linear programming / S. Mizuno, M. Kojima, M. J. Todd // SIAM J. Optim. - 1995.

- V.5. - P.52-67.

83 . Mizuno, S. On adaptive step primal-dual interior-point algorithms for linear programming / S. Mizuno, M. J. Todd, Y. Ye // Mathematics of Operations Research. - 1993. - V.181 - P.964-981.

84 . Monteiro, R.D.C. Interior path following primal-dual algorithms. part I: Linear programming. / R.D.C. Monteiro, I. Adler // Mathematical Programming. - 1989. -V.44. - P.27-41.

85 . Monteiro, R.D.C. Interior path following primal-dual algorithms. part II: Convex quadratic programming / R.D.C. Monteiro, I. Adler // Mathematical Programming.

- 1989. - V.44 - P.43-66.

86 . Murty, K. G. Linear Complementarity. Linear and Nonlinear Programming / K. G. Murty - Helderman-Verlag. 1988.

87 . Nemirovski, A. S. Interior-point methods for optimization / A. S. Nemirovski, M. J. Todd // Acta Numerica. - 2008. - V.17. - P.191-234.

88 . Nesterov, Y. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming / Y. Nesterov, A. Nemirovskii - Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia. 1994. - 396p.

89 . Ogita, T. Accurate and robust inverse Cholesky factorization / T. Ogita, S. Oishi // Nonlinear Theory and Its Applications. IEICE 3. - 2012. - P. 103-111.

90 . Ogita, T. Accurate sum and dot product / T. Ogita, S.M. Rump, S. Oishi // SIAM Journal on Scientific Computing (SISC). - 2005. - V.26. - P. 1955-1988.

91 . Oliveira, A. R. L. A new class of preconditioners for large-scale linear systems from interior point methods for linear programming / A. R. L. Oliveira, D. C. Sorensen // Linear Algebra and its Applications. - 2005. - V.394. - P. 1-24.

92 . Petukhova, M. Numerical approach for airframe assembly simulation / M. Petukhova, S. Lupuleac, Y. Shinder, A. Smirnov, S. Yakunin, B. Bretagnol // Journal of Mathematics in Industry. - 2014. - V.4. - №8.

93 . Powell, M. J. D. On the quadratic programming algorithm of Goldfarb and Idnani / M. J. D. Powell // In Mathematical programming essays in honor of George B. Dantzig, Part II of the Springer Mathematical Programming Studies book series. -1985. - V.25. - P.46-61.

94 . Rump, S.M. Inversion of extremely ill-conditioned matrices in foating-point / S.M. Rump // Japan J. Indust. Appl.Math. - 2009. - V.26. - P. 249-277.

95 . di Serafino, D. On the steplength selection in gradient methods for unconstrained optimization / D. di Serafino, V. Ruggiero, G. Toraldo, L. Zanni // Applied Mathematics and Computation. - 2018. - V.318. - P.176-195.

96 . Schoberl, J. Solving the Signorini problem on the basis of domain decomposition techniques

/http://dl.acm.org/author page.cfm?id=81100243643&coll=DL&dl=ACM&trk=0& cfid=940736076&cftoken=86549357 J. Schoberl // Journal Computing. - 1998. -V.60. - №4. - P.323 - 344.

97 . Stefanova, M. The interior point method adaptation for solving the quadratic programming problems arising in the assembly of deformable structures / M. Stefanova, S. Lupuleac // In: Olenev N., Evtushenko Y., Khachay M., Malkova V. (eds) Optimization and Applications. OPTIMA 2020. Lecture Notes in Computer Science. - 2020. - V. 12422.

98 . Stefanova, M. Convex optimization techniques in compliant assembly simulation / M. Stefanova, O. Minevich, S. Baklanov, M. Petukhova, S. Lupuleac, B. Grigor'ev, M. Kokkolaras // Optim Eng. - 2020. - V. 21. - P. 1665-1690 https://doi.org/10.1007/s 11081 -020-09493-z.

99 . Stefanova, M. An interior-point method-based solver for simulation of aircraft parts riveting / M. Stefanova, S. Yakunin, M. Petukhova, S. Lupuleac, M. Kokkolaras // Engineering Optimization. - 2017. - V.50. - №5. - P.781-796.

100 . Stojkovic, N. Initial point in primal-dual interior point method / N. Stojkovic, P. Stanimirovic // Facta Universitatis. Series Mechanics, Automatic Control and Robotics. - 2001. - V.3. - №11. - P.219-222.

101 . Tamra, C. J. Higher-Order Predictor-Corrector Interior Point Methods with Application to Quadratic Objectives / C. J. Tamra, I. Lustig, J. M. Mulvey, D. F. Shanno // SIAM Journal on Optimization. - 1993. - V.3. - P.696-725.

102 . Tanoh, G. Computational experience with an interior point algorithm for large scale contact problems / G. Tanoh, Y.Renard, D. Noll // Optimization Online. -2004. http://www.optimization-online.org/DB HTML/2004/12/1012.html.

103 . Tapia, R.A. The predictor-corrector interior-point method as a composite Newton method / R.A. Tapia, Y. Zhang, M. Saltzman, A. Weiser // Technical Report TR 9017, Dept. of Mathematical Sciences. Rice University. Houston. TX 77251. USA. -1990.

104 . Turner, M. J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M. J. Turner, L. J. Topp, H. C. Martin, R. W. Clough // J Math Ind. - 1956. - V.23. -P.805-823.

105 . Van der Vorst, H. A. Bi-CGSTAB: A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the Solution of Nonsymmetric Linear Systems / H. A. Van der Vorst // SIAM J. Sci. and Stat. Comput. - 1992. - V.13. - № 2. - P.631-644.

106 . Wang, W. The convergence of an interior-point method using modified search directions in final iterations / W. Wang// Computers & Mathematics with Applications. - 2002. - V.44. - №3-4. - P.347-356.

107 . Wang, H. Identifying sources of variation in horizontal stabilizer assembly using finite element analysis and principal component analysis / H.Wang, X. Ding // Assembly Automation - 2013. - V.13. - №1. - P.86-96.

108 . Wang, H. Computer aided tolerancing of composite elevator assembly involving clamping forces coordination / H. Wang, S. Zhang, J. Yu // Procedia CIRP. - 2018. - V.75 - P.256 - 260.

109 . Warmefjord, K. Tolerance simulation of compliant sheet metal assemblies using automatic node-based contact detection / K. Warmefjord, L. Lindkvist, R. Soderberg // In ASME 2008 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. - 2008. - V.14. - P.35-44.

110 . Warmefjord, K. Joining in nonrigid variation simulation / K. Warmefjord, R. Soderberg, B. Lindau, L. Lindkvist, S. Lorin // Computer-aided Technologies, R. Udroiu, ed., Intech Open, London. 2016. - P.41-68.

111 . Wriggers P. Computational Contact Mechanics / P. Wriggers - 2nd ed.. Springer-Verlag. Berlin. 2006. - 518p.

112 . Wright M. The interior-point revolution in optimization: history, recent developments, and lasting consequences / M. Wright// Bulletin of the American mathematical society. - 2005. - V.42. №1 - P.39-56.

113 . Wright S. J. Primal-Dual Interior Point Method / S. J. Wright - SIAM Philadelphia. 1997. - 289.

114 . Yastrebov V. A. Numerical Methods in Contact Mechanics / V. A. Yastrebov -ISTE/Wiley. 2013. - 400p.

115 . Zaitseva, N. High performance computing for aircraft assembly optimization / N. Zaitseva, S. Lupuleac, M. Petukhova, M. Churilova, T. Pogarskaia, M. Stefanova // In 2018 Global Smart Industry Conference, IEEE. Chelyabinsk. - 2018. - P.1-6.

116 . Zhang, Y. On the convergence of a class of infeasible-interior-point methods for the horizontal linear complementarity problem / Y. Zhang // SIAM Journal on Optimization. — 1994. - V.4. - P.208-227.

Приложение А Комплекс программ на основе метода внутренней точки и его интеграция в программный комплекс по моделированию процесса сборки деформируемых конструкций «ASRP»

Реализация метода внутренней точки выполнена на языке С++. Программа разделена на несколько взаимосвязанных модулей:

- Модуль 1. Метод внутренней точки (различные схемы);

- Модуль 2. Поиск начального приближения;

- Модуль 3. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений;

- Модуль 4. Предобуславливание.

Взаимодействие и описание модулей представлено на Рисунке 27.

Разработанный алгоритм на основе метода внутренней точки интегрирован в программный комплекс по моделированию сборки деформируемых конструкций «АБКР» [72, 92], в качестве соответствующего модуля для решения контактной задачи в заданной постановке (Рисунок 28). Наравне с методом внутренней точки, программный комплекс предоставляет возможность использовать другие методы решения контактной задачи, адаптированные к особенностям задач сборки, т.е. метод Гольдфарба-Иднани-Пауэлла, проекционный метод Ньютона и метод Лемке. Пользователю доступны постановки контактной задачи в виде задачи квадратичного программирования (прямая, двойственная и относительная), а также в виде линейной задачи дополнительности, которая строится на основе тех же матриц, что и двойственная постановка.

Место модуля решения контактных задач в структуре программного комплекса по моделированию сборки «АБЯР» показано на Рисунке 29. Данная схема описывает использование модуля решения контактных задач лишь для двух типов задач сборки: единичный расчет для заданных параметров сборки

(начального зазора и шаблона расстановки крепёжных элементов) статистический анализ остаточных зазоров сборки для различных вариантов

и

Рисунок 27 - Структура программы

начального зазора и расстановок крепежа. Данный модуль также используется при решении других задач сборки, таких как оптимизация шаблона расстановки крепежа, анализ влияния динамической нагрузки, анализ влияния герметика на процесс сборки и др. Задачи сборки часто требуют решения множества контактных задач для одной и той же конструкции, но с разными параметрами сборки (начальным зазором и шаблоном расстановки). Поэтому для каждой конкретной модели сборки, описываемой матрицами жесткости К и матрицей ограничений А,

у ASRP Sim File View

\ЛЛ

îulatoi

Gap Fastening Tools Help

Customize

iemng Tools Help

ifffrj ? ♦ < л* л л ? ja a rt »«

0 Multinets JJ Camera V Light "j Colors Test solvers

Active set method

1 I Solve primal problem 1 1 Solve relative problem

1^1 Solve dual problem

Interior point method

0 Solve dual problem 1 1 Solve relative problem

Gradient projection method

1 I Solve primal problem 1 1 Solve relative problem

0 Solve dual problem

Lemke's method

1 1 Solve dual problem

Calculation mode

® Gap calculation O Force calculation

Рисунок 28 - Диалог настройки (слева) и тестирования (справа) параметров решения контактной задачи

проводятся предварительные вычисления, необходимые для построения разных постановок задачи квадратичного программирования, и результат сохраняется во внешнем файле. Таким образом, при повторном использовании модели сборки время на эти дополнительные вычисления не тратится, что позволяет значительно ускорить процесс работы с моделью. Пользователю также доступен модуль тестирования эффективности использования различных методов оптимизации для конкретной модели сборки (Рисунок 28). Данный модуль позволяет запустить серию расчетов с разными параметрами сборки для нескольких постановок задачи и методов решения. По результатам проведенных вычислений создается файл .обу, где приводится информация по каждому расчету: размер задачи, число элементов

Рисунок 29 - Схема решения задачи сборки

крепежа в шаблоне расстановки, число активных ограничений в точке оптимума, постановка задачи, метод оптимизации, время решения в сек., точность. В результате можно оценить эффективность использования для каждой конкретной задачи сборки того или иного метода оптимизации и постановки задачи, которые в дальнейшем использовать для решения задач сборки.