Математические модели и алгоритмы для расчета удара при черепно-мозговых травмах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Караваев, Александр Сергеевич

• Караваев, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Караваев, Александр Сергеевич

Оглавление

Введение

Список обозначений

Глава 1. Математическое моделирование ударного воздействия на голову человека

1.1. Обзор существующих исследований

1.2. Физическая постановка

1.3. Дифференциальная и вариационная постановка контактной задачи

1.4. Методы решения контактных задач

Глава 2. Построение расчетных моделей из объемных данных

2.1. Формат объемных данных

2.2. Метод построения шестигранной сетки

2.3. Алгоритм построения агломератов частиц

2.4. Построение и перестроение четырехугольных и смешанных сеток в многосвязных областях

Глава 3. Решение динамических контактных задач

3.1. Итерационный подход решения вариационного неравенства контактной задачи

3.2. Пространственная дискретизация расчетной области

3.3. Алгоритм Шварца решения контактных задач

3.4. Контактный алгоритм для динамических задач

3.5. Метод консервативной интерполяции на нестыкующихся поверхностных сетках

Глава 4. Моделирование удара при черепно-мозговых травмах

4.1. Верификация и валидация математической модели

4.2. Критерии оценки травматизма биологических тканей

4.3. Проведение численных экспериментов

Глава 5. Пакет прикладных программ для решения контакт-

ных задач

5.1. Обзор конечно-элементного комплекса РЕБ^Шо

5.2. Основные особенности создания генераторов расчетных сеток

из объемных данных

5.3. Программная реализация трехмерных контактных задач

Основные результаты

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и алгоритмы для расчета удара при черепно-мозговых травмах»

Введение

Актуальность работы. Травмы головы происходят относительно часто и составляют от 3 до 6% всех несчастных случаев в развитых странах. Нередко они бывают тяжелыми и приводят к значительным, до трех недель, потерям рабочего времени по нетрудоспособности, коме и даже летальному исходу. Причиной травм являются дорожно-транспортные происшествия, спортивные, бытовые и иные несчастные случаи, аварии на производстве, удары головой во время падения или о какие-либо движущиеся предметы и т.д. Выявление физических причин возникновения той или иной травмы весьма затруднительно и современные исследования по этому вопросу не дают однозначного ответа.

Применение в исследованиях математических моделей исключает необходимость проведения большого числа натурных экспериментов и позволяет рассматривать сложные виды контактного взаимодействия, воспроизведение которых на практике зачастую является очень трудоемким процессом. Кроме того, в данном случае существует возможность вычисления параметров нагрузок и деформаций, которые не могут быть определены в реальных экспериментах. В таком случае необходимым шагом является создание и вали-дация конечно-элементной модели головы человека, которая впоследствии будет использована в эксперименте.

Актуальность данной темы подтверждается значительным числом исследований среди которых работы Наума А.М., Тросъели Х., Харди В.Н., Руана Д.С., Виллингера Р., Бандака Ф.А., Белингарди Д. и др. Отечественными исследователями Петровым И.Б. и др. построена двумерная математическая модель механической реакции головы человека на ударные воздействия, описывающая пространственное распределение механических нагрузок на мозг [1].

Методы, генерирующие расчетные сетки напрямую из воксельных массивов, полученных со сканеров магнитно-резонансной или компьютерной томографии, позволяют получать более точное описание контура тканей и внутреннюю структуру биологических органов, в особенности мозга.

Расчетные сетки, состоящие из четырехугольных и шестигранных ячеек имеют ряд преимуществ по сравнению с треугольными и тетраэдральными

сетками, в смысле погрешности численных расчетов, следовательно проблема разработки надежных алгоритмов построения и перестроения таких сеток для сложных многосвязных областей является особенно актуальной.

Разработки алгоритмов построения и перестроения неструктурированных четырехугольных и шестигранных сеток ведутся во многих зарубежных научных учреждениях в числе которых работы Оуэна С., Шнейдера Р., Га-римелла Р., Жанг Ю., Бажаджа Ж., Эбейды М., Митчелла С.

Среди отечественных исследователей, занимающихся разработкой алгоритмов построения и перестроения четырехугольных и шестигранных сеток, известны публикации Сковпеня А.В., Ушаковой О.В., Иваненко С.А., Данилова А.А., Азаренка Б.Н., Гаранжи В.А.

Для успешного исследования процесса ударного воздействия необходимо использование эффективных алгоритмов решения динамических контактных задач. В современной вычислительной механике сплошной среды фактически сложился отдельный раздел, связанный с контактными задачами. Наименее исследованными являются вопросы динамического контактного взаимодействия деформируемых тел. Одним из наиболее сложных динамических эффектов, который представляет особый интерес это ударное взаимодействие тел, исследование которого становится все более важным для использования современных легковесных материалов в различных отраслях.

В настоящее время сохраняется необходимость в развитии существующих и создании новых методов решения контактных задач, что вызвано, во-первых, ростом требований к точности и достоверности проводимых численных экспериментов и, во-вторых, динамически расширяющимися возможностями современных вычислительных средств.

Ввиду своей актуальности контактные задачи и в настоящее время привлекают большое число исследователей как в нашей стране Цвик Л.Б., Гала-нин М.П., Станкевич И.В., Коробейников С.Н., Петров И.Б., Корсаков С.А., так и за рубежом Краус Р., Ларсен Т.А., Доуэн Д., Беличко Т., Нилсон Л., Олденбург М., Достал З., Байда Г. и многие другие.

Построение и исследование неявных численных схем интегрирования задачи динамического контактного взаимодействия при удовлетворении условий на контактной границе является актуальной задачей. Исследование под-

ходов с разделением на подобласти, таких как метод декомпозиции Шварца, представляет особенный интерес ввиду малой изученности вопроса их применения для решения задач динамического контактного взаимодействия.

Актуальность представленного исследования заключается в разработке надежных алгоритмов построения конечно-элементных моделей с использованием воксельного подхода дискретизации области, в т.ч. по данных томографических срезов биологических органов, созданию эффективных методов решения динамических контактных задач для исследования травматических процессов, происходящих в человеческих тканях под действием ударной нагрузки.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей на основе объемных данных и воксельных сеток, эффективных алгоритмов расчета динамического контактного взаимодействия твердых тел для исследования процесса ударного травмирующего воздействия предмета на человека.

Научная новизна. В работе предложены методы построения расчетных моделей с использованием воксельной структуры представления расчетной области среди которых: алгоритмы автоматического построения и перестроения неструктурированных четырехугольных, шестигранных и смешанных сеток, в т.ч. по данным томографических срезов, генератор агломерата сфер для представления моделей в МДЭ, метод консервативной интерполяции расчетных параметров, позволяющий производить расчеты в случаях, когда границы криволинейной области двух сеток могут не совпадать.

Разработан новый алгоритм динамического контактного взаимодействия твердых тел на основе метода Шварца декомпозиции области с использованием неявной НТТ-а схемы в комбинации с методом перераспределения массы на границе области контакта. Основным преимуществом данного подхода является возможность использовать многосеточные методы для ускорения алгоритма на подобластях, применения технологий распараллеливания, а также высокая надежность.

С использованием объемных данных построена конечно-элементная модель головы человека, проведен ряд экспериментов, исследующих биомеханику соударения твердого тела и разработанной модели. Исследованы соотно-

шения значений критериев черепно-мозговых травм при различных значений приложенной контактной силы. Установлено, что при значениях силы удара в диапазонах 4000-6000 Н можно говорить о получении травмы средней и серьезной тяжести, а нагрузка выше 7000 Н расцениваются как удары, влекущие тяжелые последствия с длительной потерей сознания, при силе 10000 Н с большой долей вероятности наступит смерть потерпевшего.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в создании ряда прикладных программ в т.ч. для автоматического построения и перестроения четырехугольных и шестигранных сеток, консервативной интерполяции расчетных параметров в случаях, когда границы криволинейной области двух сеток могут не совпадать.

Одним из потенциальных преимуществ, разработанного контактного алгоритма на основе метода Шварца декомпозиции области, является возможность его относительно легкой интеграции в любой решатель статической задачи теории упругости благодаря выполнению контактных ограничений посредством поочередного задания простых граничных условий первого и второго рода.

Разработанная конечно-элементная модель головы человека для исследования процессов возникновения черепно-мозговых травм (ЧМТ) представляет интерес для судебно-медицинской экспертизы, при оценке прочностных свойств защитных головных шлемов, систем безопасности автотранспорта, определению в тех или иных случаях предельно допустимых норм ударных нагрузок.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Алгоритмы построения и перестроения расчетных четырехугольных, шестигранных и смешанных сеток, генератор сферических агломератов и оригинальный метод консервативной интерполяции расчетных параметров на неструктурированных сетках в пространстве, разработанные на основе воксельной аппроксимации расчетной области.

2. Разработанный алгоритм решения задач динамического контактного взаимодействия на основе метода Шварца декомпозиции области с ис-

пользованием НТТ-а схемы в комбинации с методом перераспределения массы на границе области контакта.

3. Результаты математического моделирования ударного воздействия травмирующего предмета на голову человека с определением критических значений ударных нагрузок, влекущих тяжелые последствия для пострадавшего.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (КФУ, Казань, октябрь 2010, сентябрь 2012, сентябрь 2014); второй международной научно-практической конференции «Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Технологии высокополигонального моделирования» (ИжГ-ТУ, Ижевск, ноябрь 2010); конференции «Математическая теория управления и математическое моделирование» (ИжГТУ, Ижевск, май 2012); международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ 2017)» (ЮурГУ, Челябинск, апрель 2017), международном симпозиуме «Неравновесные процессы в сплошных средах» (ПГНИУ, Пермь, май 2017).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах, из них 8 статей в изданиях из перечня ВАК, 16 статей в сборниках трудов конференций и тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, выводов и библиографии. Общий объем диссертации 123 страницы, из них 110 страниц текста. Библиография включает 101 наименование на 10 страницах.

Список обозначений

Условные обозначения и сокращения

МКЭ — метод конечных элементов;

МДЭ — метод дискретных элементов;

СМЖ — спинномозговая жидкость;

ЧМТ — черепно-мозговая травма;

ВЧД — внутричерепное давление;

Т — расчётная сетка;

N — множество узлов сетки;

Р — множество объектов сферической формы;

N — число узлов сетки;

х — узел сетки;

С — число ячеек сетки;

с — ячейка сетки;

Р — число сфер в множестве объектов сферической формы; Б — площадь;

V — объем;

5 — уровень деления ячейки (ребра);

&шх х х ^ш^ — размерность объемных данных;

V — воксель;

V — декартова сетка вокселей;

Ь — уровень октодерева декартовой сетки вокселей;

С — узел октодерева декартовой сетки вокселей;

атт — минимальный угол ячейки сетки;

ата,х — максимальный угол ячейки сетки;

@тт — минимальный угол сетки;

@тах — максимальный угол сетки;

— максимальный угол искривленности четырехугольной грани сетки; 1тт — длина минимального ребра ячейки сетки; 1тах — длина максимального ребра ячейки сетки; Ьтт — длина минимального ребра сетки; Ьтах — длина максимального ребра сетки;

и — валентность внутреннего узла сетки;

— мера скошенности ячейки сетки; Qs — мера скошенности для сетки в целом; qe — мера гладкости ячейки сетки; Qe — мера гладкости для сетки в целом; да — мера аспектного соотношения ячейки сетки; Qa — мера аспектного соотношения для сетки в целом; MJ — матрица Якоби ячейки сетки; qJ — мера нормированного Якобиана ячейки сетки; QJ — мера нормированного Якобиан для сетки в целом; qk — число обусловленности ячейки сетки; Qk — число обусловленности для сетки в целом; qo — мера искажения А. Одди ячейки сетки; Qo — мера искажения А. Одди для сетки в целом; qw — мера (угол) искривленности четырехугольной грани; М — общая масса сетки; т — масса ячейки сетки; п — нормаль; р — плотность;

ДQT6 — мера вычисляемая как максимальная абсолютная разность среднего значения плотности ячейки рсЬ, вычисленного по функции плотности р, с его средним значением рсЬ, полученным алгоритмом интерполяции УС1;

— относительное значение ДО^; QCp\n — мера минимума локальных разностей плотностей ячеек при интерполяции;

QCp\n — мера максимума локальных разностей плотностей ячеек при интерполяции;

Qv — мера отношения объема множества объектов сферической формы Р к объему расчетной сетки Т, аппроксимирующих одну и ту же модель; QJЬ — относительное значение ДQJЬ; а — тензор напряжение; £ — тензор деформаций; р — давление;

Е — сила;

е — конечный элемент; и — вектор перемещения; и — вектор скорости; и — вектор ускорения; Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; Ю — матрица упругих модулей; К — матрица жесткости; М — матрица масс; Е — общий вектор узловых сил; Р — вектор поверхностных нагрузок; И — вектор контактных сил; Т — время;

О — область, занимаемая неоднородным и изотропным линейно-упругим телом;

Га — часть границы тела О с граничными условиями Неймана; Ги — часть границы тела О с граничными условиями Дирихле; Гс — контактная часть границы тела О; Е^ — кинетическая энергия системы тел; Ер — внутренняя энергия системы тел; Е^ — полная энергия системы тел.

Глава 1

Математическое моделирование ударного воздействия на голову человека

Описывается задача моделирования травмирующего ударного воздействия на голову человека, приводятся ее физическая и дифференциальные постановки. Дается краткий обзор существующих исследований по рассматриваемой тематике. Анализируются известные конечно-элементные модели головы человека и формулируется постановка задачи.

1.1. Обзор существующих исследований

На раннем этапе исследований двумерные и трехмерные конечно-элементные модели головы человека упрощались представлением лишь двух тканей, череп и мозг, построенных в виде эллипсойдных и сферических тел.

В начале 90-х годов с развитием вычислительных возможностей компьютеров стали появляться более сложные и реалистичные ЭЭ-модели. Руан и др. [2] построили первый вариант хорошо известной модели для изучения травм головного мозга ^ЗИБШ). Расчетная сетка WSUBIM содержала 6080 узлов и 7Э51 элементов. Череп, мозг и спинномозговая жидкость (СМЖ) были построены из шестигранных элементов, а скальп, твердая мозговая оболочка и серп мозга описывались четырехугольными поверхностными ячейками. Модель неоднократно дорабатывалась путем более детального моделирования различных участков мозга и головы [Э], а также, введением контактного взаимодействия между черепом и мозговой оболочкой [4].

В 2002 г. Харди и др. [5] разработали модель головы взрослого мужчины, включающую дополнительно одиннадцать пар мостовых вен и упрощенную модель шеи.

Хорган и Гилкрист построили модель для рассмотрения простых аварий (иСЭБТМ) с пешеходами, включающую скальп, трехслойную структуру черепа, состоящий из различных частей мозг, а также слой СМЖ [6].

В работах Петрова И.Б. и д.р. [7] построена двумерная математическая

модель механической реакции головы человека на ударные воздействия, описывающая пространственное распределение механических нагрузок на мозг. В дальнейшем авторы усовершенствовали разработанную модель изменяя реологические свойства биоматериалов [1].

В целом, разрабатывалось достаточное количество прототипов с различной степенью детализации границ и свойств биологических тканей. Как правило, построение таких моделей достаточно трудоемко ввиду необходимости ручного либо полуавтоматического проектирования контуров биологических органов на основании реально существующих образцов. Во многих случаях выделение дополнительных отделов мозга осуществлялось заданием разных свойств ячеек сетки без реального восстановления границы между материалами.

Отдельную группу составляют модели, построенные на основе воксель-ного представления области. В 1995 г. по данным магнитно-резонансной томографии Виллингер и др. [8] создали трехмерную модель для построения альтернативной манекен-модели головы. Бандак и др. [9] использовали данные компьютерной томографии (КТ) для построения моделей с различной степенью разрешения и моделирования ударной нагрузки, которая показала, что максимальные напряжения возникают на внутренней поверхности черепа в точке удара.

В 2005 г. Белингарди и др. [10], предложили численную модель, построенную по данным КТ и установили, что включение в модель тенториальных мембран уменьшает расчетное пиковое внутричерепное давления в лобной и затылочной областях на 17% и 18% соответственно.

В работе [11] с использованием пакета MIMICS и исходных томографи-чеких данных построена трехмерная модель, состоящую из мозга, черепа для моделирования теста Наума [12].

В 2014 г. на основе поверхностной треугольной сетки, полученной непосредственно из двумерных топографичеких срезов, Янг и др. [13] разработали сложный прототип, содержащий одиннадцать различных типов тканей. Одной из важных особенностей являлось рассмотрение СМЖ как гидростатической жидкости, заполняющей свободной пространство между черепом и мозгом, что отличается от стандартного представления линейно-упругим

материалом с коэффициентом Пуассона близким к 0.5, что привело к увеличению возникающих в мозге максимальных напряжений и деформаций приблизительно на 18%.

Важно отметить следующее, несмотря на то, что человеческие ткани считаются сложной, многофазной, гетерогенной и анизотропной структурой в большинстве конечно-элементных моделей они рассматриваются как изотропные, поскольку на данный момент практически невозможно численно оценить анизотропные свойства того или иного биологического органа. Как правило, все материалы за исключением мозга задаются линейно-упругими, а мозг в свою очередь имеет линейно-упругое или линейно-вязкоупругое поведение. Несмотря на существование по этому поводу различных подходов, следует отметить, что отличие в механических свойствах между линейной и вязкоупругой моделями увеличивается пропорционально времени проведения эксперимента. В задачах кратковременного ударного взаимодействия применение упругих моделей не приводит к существенным погрешностям, однако не следуют пренебрегать вязкоупругими свойствами в приложениях с небольшой скоростью возрастания нагрузок [14].

Кроме того, линейно-упругие свойства тканей головного мозга, получаемые в экспериментальных исследованиях значительно отличаются. Так в обзоре [15] модуль Юнга мозговой ткани изменяется в диапазонах от 6.67 • 10-2 МПа до 68 МПа, коэффициент Пуассона варьируется в пределах 0.48-0.4996, плотность остается в среднем постоянной и составляет 1000 — 1040 кг/м , также отмечаются модели более высокой плотностьи р = 1220 кг/м .

Таким образом, мозг представляет собой сложную неоднородную биологическую структуру механические свойства которой до конца не изучены и представление ее в виде линейно-упругой или вязкоупругой модели является лишь некоторым приближением реальных физических свойств [15,16]. Так эмпирически установлено, что белое вещество на 60% жестче серого вещества, что объясняется наличием в нем аксональных волокон, отдельные части головного мозга (серп, желудочки, мозжечок и т.д.) также имеют различные механические свойства во многих случаях сильно отличающиеся друг от друга [14]. Выбор тех или иных значений линейно-упругих свойств во многом связано типом проводимого вычислительного эксперимента. В некоторых ра-

ботах [17,18] модули Юнга тканей головного мозга отличались по значениям в десятки раз, при этом сама конечно-элементная модель головы не изменялась. В одном случае моделировалось ударное воздействие, в другом - угловое ускорение.

Немаловажным фактором [19] значительно влияющим на результаты вычислительного эксперимента является способ задания взаимодействия между черепом и мозгом в результате полученной ударной нагрузки, приводящей к их относительному смещению.

Наиболее простая постановка задачи заключается в задании общей границы, состоящей из узлов, прилегающих к расчетным ячейкам как первого так и второго материала [10,20]. Иногда в моделях строится разделяющий слой спинно-мозговой жидкости, обладающей как правило линейно-упругими свойствами близкими к несжимаемому материалу и малым значением модуля Юнга [2,5,8,11,13]. Другой подход заключается в использовании различных типов контактных алгоритмов между поверхностями материалов, которые могут исключать взаимное движение контактных узлов, либо допускать скольжение [1,7,15].

Использование слоя СМЖ ведет к возникновению высоких напряжений сдвига и деформации в области контакта. Подобные модели наиболее адекватно описывают изменение внутричерепного давления (ВЧД) при воздействии внешнего удара. Биомеханические модели, использующие контактные взаимодействия, предсказывают хорошее соотношение значений ВЧД в лобной области, где задается ударная нагрузка, однако не достаточно хорошо воспроизводят экспериментальные результаты в задней части головы, где возникают отрицательные значения ВЧД. Как показывают результаты представленного исследования сходным поведением, также, обладают модели с типом взаимодействия по общей границе.

1.2. Физическая постановка

В работе рассматривается процесс кратковременного удара травмирующего предмета (~ 6 мс) на голову человека без перелома костей черепа (малые деформации) (рис. 1.1 а). При этом для оценки степени полученной

черепно-мозговой травмы используются значения ускорения головы и возникающее внутричерепное давления мозговой ткани.

а) б)

Рис. 1.1. Физическая постановка задачи: а) схема нагружения; б) модель головы

С учетом ранее проведенных исследований рассматриваются свободные граничные условия для модели головы и задание только начальной скорости ударника [8].

Моделирование процессов биомеханики связано с рассмотрением объектов сложной формы и необходимостью построения границ, описывающих внутреннюю структуру биологических тканей.

В данной работе конечно-элементная модель строилась из объемных данных и состояла из трех основных материалов: мягкая ткань, череп и мозг, созданных на основе данных компьютерной томографии (рис. 1.1 б).

Свойства тканей лица, слоя скальпа и черепа, рассматриваемого как единое целое, приняты линейно-упругими на основании средних значений из работ [21-23] (таб. 1.1).

Таблица 1.1. Линейно-упругие свойства материалов модели головы

Ткань Е, МПа v р,кг/м3 Источник

Слой скальпа 3,45 0.4 1200 Халил и др. [23]

Мозг 0,25 0.49 1000 Хван и др. [20]

Череп (как целое) 6000 0.21 2100 Виллингер и др. [22]

Ткани лица 5000 0.23 2500 Виллингер и др. [21]

Введение материала лицевой ткани позволило скорректировать массу головы и привести ее к диапазону средних значений 4.5 - 5 кг, составляющих

около 7-8% массы тела взрослого человека [24]. Масса построенной биомеханической модели составила 4.9 кг, в то время как мозг весил 1.4 кг, что также находится в пределах средних показателей 1.3-1.4 кг [25]. В рассматриваемой работе линейно-упругие свойства ткани мозга заимствованы из работы [20]. Кроме того, предполагалось, что как и в [20] взаимодействие между черепом и мозговой оболочкой представлялось через общую границу, это позволяло дополнительно провести сопоставления результатов тестирования.

1.3. Дифференциальная и вариационная постановка контактной задачи

Рассматривается два неоднородных и изотропных линейно-упругих контактирующих тела, занимающих в пространстве области , к = 1, 2, при

этом граница каждой области Г(к) содержит три непересекающиеся части

г(к) г(к) г(к)

г а , г и , г с .

Контактирующие поверхности могут воспринимать только сжимающие напряжения, также на тела не действуют какие-либо объемные силы.

В моделируемом процессе деформации полагаются малыми, что позволяет считать контактные границы на телах близкими и единичные внешние нормали к поверхностям тел практически совпадают п(1) ~ —п(2). Поэтому можно использовать линеаризованное условие вместо геометрического условия непроникания.

Несмотря на сделанное приближение, условия по-прежнему остаются нелинейными, т.к. граница контакта определяется и зависит от де-

ф°рмир°вания граничных поверхностей. Отме- рис. 1.2. Начальное перекрытие тим, что допускаемая погрешность будет иметь тел

тот же порядок, что сделанные упрощения при

линеаризации.

Будем полагать, что контактные границы гСк) достаточно гладкие и та-

и( 2)

кие, что для каждой х(к) € гСк) существует единичная

внешняя нормаль

п(к) = п(к) (х(

Зададим контактное непрерывное однозначное отображение п : гС^ ^ гС2), определяющее для каждой точки х € гС^, соответствующую сходную точку на контактной границе противополжного тела 1С .

Для каждой точки х € гСк) вычислим соответствующую единичную внешнюю нормаль к границе противоположного тела

| п(х) — X / / \

тг-Н—гт если х Ф 7г(х)

П,(х) = I ||эт(х)-х11 ^ ^ ; (1.1)

1п1(х) = —п2(х) если х = п(х).

Также определим начальное перекрытие д0(х) = (х—п(х)) , оператор скачка вектора перемещений вдоль нормальной составляющей вычислим как [и(х,£)] = и(1)(х,£) • пп — и(2)(п(х),£) • пп

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Караваев, Александр Сергеевич, 2018 год

Список литературы

1. Васюков А. В., Петров И. Б. Моделирование механических факторов черепно-мозговых травм сеточно-характеристическим численным методом // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. № 10. С. 42-51.

2. Ruan J. S., B. T. B. K. T., King A. I. Finite element modeling of direct head impact //In Proceedings of 37th Stapp Car Crash Conference. No. 933114. San Antonio, USA: 1993. P. 69-81.

3. Zhang L., Yang K. H., Dwarampudi R. et al. Recent advances in brain injury research: a new human head model development and validation //In Proceedings of 45th Stapp Car Crash Conference. No. 2001-22-0017. San Antonio, USA: 2001. P. 369-394.

4. King A. I., Yang K. H., Zhang L. et al. Is head injury caused by linear or angular acceleration // In: Proceedings of International IRCOBI Conference on the Biomechanics of Impacts. Lisbon, Portugal: 2003. P. 1-12.

5. Kleiven S., Hardy W. N. Correlation of an FE model of the human head with local brain motion-consequences for injury prediction // In: Proceedings of 46th Stapp Car Crash Conference. No. 4. Ponte Vedra, USA.: 2003. P. 123-144.

6. Horgan T. J., Gilchrist M. The creation of three dimensional finite element models for simulating head impact biomechanics // International Journal of Crashworthiness. 2003. Vol. 8. P. 353-366.

7. Агапов П. И., Белоцерковский О. М., Петров И. Б. Численное моделирование последствий механического воздействия на мозг человека // Вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 9. С. 1711-1720.

8. Willinger R., Taleb L., Pradour P. From the finite element model to the physical model //In Proceedings of the International IRCOBI Conference on the Biomechanics of Impacts. 1995. P. 245-259.

9. Bandak F. A., Vorst M. J. V., Stuhmiller L. M. et al. An imaging-based computational and experimental study of skull fracture: Finite element model development // Journal of Neurotrauma. 1995. Vol. 12, no. 4. P. 679-688.

10. Belingardi G., G. G. C., Gaviglio I. Development and Validation of a New

Finite Element Model of Human Head // In: Proceedings of 19th International Technical Conference on the Enhanced Safety of Vehicles. No. 05-0441. Washington, USA: 2005. P. 1-9.

11. Patel A., Goswami T. Comparison of Intracranial Pressure by Lateral and Frontal Impacts - Validation of Computational Model Engineering Biomedical Engineering Injury and Skeletal Biomechanic / Ed. by book edited by Tarun Goswami. 2012.

12. Nahum A. M., Smith R., Ward C. C. Intracranial pressure dynamics during head impact // Proceedings of 21st Stapp Car Crash Conference. San Diego, USA: 1977. P. 339-366.

13. Yang B., et al. Development of a Finite Element Head Model for the Study of Impact Head Injury // Hindawi Publishing Corporation BioMed Research International Volume. 2014. 14 p.

14. Kwong, et al. A review of head injury and finite element head models // American Journal of Engineering. 2014. Vol. 1, no. 5. P. 28-52.

15. Claessens M., Sauren F., Wismans J. Modelling of the human head under impact conditions: A parametric study // Transactions of SAE. 1997. no. 973338. P. 3829-3848.

16. Zong Z., Lee H., Lu C. A three-dimensional human head finite element model and power flow in a human head subject to impact loading // Journal of Biomech. 2006. Vol. 39, no. 2. P. 284-292.

17. Zhou C., Khalil T. B., King A. I. A new model comparing impact responses of the homogeneous and inhomogeneous human brain // In Proceedings 39th Stapp Car Crash Conference. No. 952714. 1995.

18. Zhou C., Khalil T. B., King A. I. Viscoelastic response of the human brain to sagittal and lateral rotational acceleration by finite element analysis // In Proceedings of the International IRCOBI Conference on the Biomechanics of Impacts. 1996. P. 35-48.

19. Kleiven S. Finite Element Modeling of the Human Head: Tech. rep. Sweden, Stockholm: Department of Aeronautics Royal Institute of Technology, 2002.

20. Huang H., et al. Finite element analysis of brain contusion: an indirect impact study // Medical Biological Engineering Computing. 2000. Vol. 38, no. 3. P. 253-259.

21. Willinger R., Baumgartner D. Numerical Modeling of the Human Head under Impact: New Injury Mechanisms and Tolerance Limits // In: Gilchrist, M. D. (Ed.) IUTAM Symposium on Impact Biomechanics: From Fundamental Insights to Applications. Netherlands, Springer: 2005. P. 195-203.

22. Willinger R., Taleb L., Kopp C.-M. Modal and temporal analysis of head mathematical models // Journal of Neurotrauma. 1995. Vol. 12, no. 4. P. 743-754.

23. Khalil T. B., Hubbard R. P. Parametric study of head response by finite element modeling // Journal of Biomechanics. 1977. Vol. 10, no. 2. P. 119-132.

24. de Leva P. Adjustments to Zatsiorsky-Seluyanov's Segment Inertia Parameters // Journal of Biomechanics. 1996. Vol. 29, no. 9. P. 1223-1230.

25. Bigos K. L., Hariri A. R., Weinberger D. R. Neuroimaging Genetics: Principles and Practices. Oxford University Press, 2015. 156 p.

26. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН, МТТ. 2005. № 1. С. 44-85.

27. Laursen T. Computational Contact and Impact Mechanics. Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2003. 454 p.

28. Michalowski R., Mros Z. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems // Arch. mech. stosow. 1976. no. 3. P. 259-276.

29. Murakami S., Yamada Y. Effects of hydrostatic pressure and material anisotropy on the transient creep of thick-walled tubes // Int. J. Mech. Sci. // Int. J. Mech. Sci. 1974. no. 3. P. 145-208.

30. Абрамян Б. Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // Изв. АН ССР. Механика твердого тела. 1969. № 6. С. 134-139.

31. Belytschko T., Neal M. Contact-impact by the pinball algorithm with penalty and Lagrangian methods // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. Vol. 31, no. 3. P. 547-572.

32. Krause R., Walloth M. Presentation and Comparison of Selected Algorithms for Dynamic Contact Based on the Newmark Scheme // Appl. Numer. Math. 2012. Vol. 62. P. 1393-1410.

33. Галанин М. П., Лукин В. В., А.С. А. С. Р., Глизнуцина П. В. Сравнение вариантов метода множителей Лагранжа для решения двумерных кон-

тактных задач // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2017. № 5. С. 15-48.

34. Коробейников С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Издательство Сибирского отделения РАН, 2000. 262 с.

35. Цвик Л. Обобщение алгоритма Шварца на случай областей, сопряженных без налегания // ДАН СССР. 1975. Т. 224. С. 309-312.

36. Галанин М., Лукин В., Родин А., Станкевич И. Применение метода Шварца для моделирования контактного взаимодействия системы тел // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. С. 1429-1443.

37. Eck C., Wohlmuth B. Convergence of a Contact-Neumann Iteration for the Solution of Two-Body Contact Problems // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2003. Vol. 13. P. 1103-1118.

38. Bayada G., Sabil J., Sassi J. A Neumann-Neumann domain decomposition algorithm for the Signorini problem // Applied Mathematics Letters. 2004. Vol. 17. P. 1153-1159.

39. Sassi T., Ipopa M., Roux F. Generalization of Lions' Nonoverlapping Domain Decomposition Method for Contact Problems // Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVII. Springer Berlin Heidelberg: 2008. P. 623-630.

40. Jones M. W. 3D Distance from a Point to a Triangle: Tech. Rep. CSR-5-95. Cardiff, Wales, UK: Department of Computer Science, University of Wales Swansea, 1995. — February. http://www-compsci.swan.ac.uk/ cs-mark/PDFS/dist.pdf.

41. Barentzen J. A., Aanas H. Signed Distance Computation Using the Angle Weighted Pseudonormal // Transactions on Visualization and Computer Graphics. 2005. —May. Vol. 11, no. 3. P. 243-253.

42. Kaczmarz S. International Journal of Control // Approximate solution of systems of linear equations. 1993. Vol. 57, no. 6. P. 1269-1271.

43. Ильин В. П. Об итерационном методе Качмажа и его обощениях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. Т. 9, № 3. С. 39-49.

44. Иванов А. А. Решение задачи полиномиальной аппроксимации с использованием итерационного метода Качмажа // Вестник Самарского госу-

дарственного аэрокосмического университета им. С. П. Королева. 2008. № 2. С. 179-182.

45. Азаренок Б. Н. Вариационный метод построения гексаэдральных сеток с управляющей метрикой // Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 9. С. 3-22.

46. Canann S. A., Tristano J. R., Staten M. L. An Approach to Combined Laplacian and Optimization-Based Smoothing for Triangular, Quadrilateral, and Quad-Dominant Meshes // International Meshing Roundtable / Sandia National Labs. Michigan, U.S.A.: 1998. P. 479-494.

47. Huang L., Zhao G., Wang Z. Shape Quality Improvement of Three-Dimensional Hexahedral Meshes // Journal of Information and Computational Science. 2011. Vol. 8, no. 16. P. 4007-4014.

48. Zhang Y., Bajaj C. Adaptive and Quality 3D Meshing from Imaging Data // Proceeding SM '03 Proceedings of the eighth ACM symposium on Solid modeling and applications. 2003. P. 286-291.

49. Schneiders R. Refining quadrilateral and hexahedral element meshes // 5th International Conference on Grid Generation in Computational Field Simulations. 1996. P. 679-688.

50. Luding S. Introduction to discrete element methods: basic of contact force models and how to perform the micro-macro transition to continuum theory // European Journal of Environmental and Civil Engineering. 2008. Vol. 12, no. 7-8. P. 785-826.

51. Amberger S., Friedl M., Goniva C. et al. Approximation of objects by spheres for multisphere simulations in DEM // European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012) / Ed. by J. E. et al. Vienna, Austria: 2012. P. 1-13.

52. Zhang C., Zhou X. Evaluation of the Packing Density of Non-spherical Particles Using Discrete Element Cluster Algorithm // Journal of Information & Computational Science. 2012. Vol. 9, no. 16. P. 4969-4977.

53. Gao R., Du X., Zeng Y. et al. A new method to simulate irregular particles by discrete element method // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. 2012. Vol. 4, no. 3. P. 276-281.

54. Ferellec J.-F., McDowell G. R. A method to model realistic particle shape

and inertia in DEM // Granular Matter. 2010. Vol. 12, no. 5. P. 459-467.

55. Garcia X., Latham J. P., Xiang J., Harrison J. P. A clustered overlapping sphere algorithm to represent real particles in discrete element modelling // Geotechnique. 2009. Vol. 59, no. 5. P. 779-784.

56. Price M., Murariu V., Morrison G. Sphere clump generation and trajectory comparison for real particles // Proceedings of Discrete Element Modelling.

57. Чхартишвили Л. С. Объем области пересечения трех сфер // Математические заметки. 2001. № 3. С. 466-476.

58. Караваев А. С., Копысов С. П., Сармакеева А. С. Моделирование динамики произвольных тел методом дискретных элементов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25, № 4. С. 473-482.

59. Караваев А. С., Копысов С. П., Сармакеева А. С. Построение агломератов сфер для метода дискретных элементов // Известия института математики и информатики УдГУ. 2015. Т. 46, № 2. С. 53-59.

60. Nagai Y., Ohtake Y., Suzuki H. CT Reconstruction on Unstructured Mesh for Multi-material Object //In Proceedings of the 6th Conference on Industrial Computed Tomography. 2016.

61. Owen S. J., Staten M. L., Canann S. A., Saigal S. Q-Morph: An Indirect Approach to Advancing Front Quad Meshing // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999. Vol. 44, no. 9. P. 1317-1340.

62. Levik K. E. Q - Morph - Implementing a Quadrilateral Meshing Algorithm. Master thesis, University of Oslo, Department of Informatics, Norway, Oslo, 2002. P. 68.

63. Сковпень А. В. Реализация фронтального алгоритма построения нерегулярных четырехугольных сеток // ВАНТ. Серия: Математическое моделирование физических процессов. 2005. № 1. С. 9-30.

64. Knupp P. M. Algebraic Mesh Quality Metrics // SIAM Journal on Scientific Computing. 2001. Vol. 23, no. 1. P. 193-218.

65. Караваев А. С., Копысов С. П. Перестроение неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. № 4. С. 62-78.

66. Караваев А. С., Копысов С. П., Пономарёв А. Б. Алгоритмы построения

и перестроения неструктурированных четырехугольных сеток в многосвязных областях // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. № 2. С. 144-150.

67. Шабров Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. Ленинград: Машиностроение, 1983. 212 с.

68. Gu Q., Barbato M., , Conte J. P. Handling of Constraints in Finite-Element Response Sensitivity Analysis // Journal of Engineering Mechanics. 2009. P. 1427-1438.

69. Li M., Wittek A., Miller K. Efficient Inverse Isoparametric Mapping Algorithm for Whole-Body Computed Tomography Registration Using Deformations Predicted by Nonlinear Finite Element Modeling //J Biomech Eng. 2014. Vol. 136, no. 8.

70. Цвик Л. Принцип поочередности в задачах сопряжения и контакте деформируемых тел // Прикл. механика. 1980. Т. 16. С. 13-18.

71. Hilber H. M., Hughes T. J. R., Taylor R. L. Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics // Earthquake Engrg. Struct. Dynam. 1977. Vol. 5. P. 283-292.

72. Deuflhard P., Krause R., Ertel S. A contact-stabilized Newmark method for dynamical contact problems // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 2008. Vol. 73. P. 1274-1290.

73. Laursen T. A., Chawla V. Design of energy conserving algorithms for fric-tionless dynamic contact problems // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 1997. Vol. 40. P. 863-886.

74. Khenous H. B., Laborde P., Renard Y. Mass redistribution method for finite element contact problems in elastodynamics // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2008. Vol. 27, no. 5. P. 918-932.

75. Hager C., Hiieber S., Wohlmuth B. A stable energy conserving approach for frictional contact problems based on quadrature formulas // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2008. Vol. 73. P. 205-225.

76. Taylor. R. L., Papadopoulos P. On a patch test for contact problems in two dimensions. 1991. P. 690-702.

77. Sitzmann S. Robust Algorithms for Contact Problems with Constitutive Contact Laws. Master's thesis, Zur Erlangung des Doktorgrades Dr.-Ing, Der

Technischen Fakultat der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurn-berg, 2016.

78. Dostal Z., Kozubek T., Brzobohaty T. et al. Scalable TFETI with optional preconditioning by conjugate projector for transient frictionless contact problems of elasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2012. Vol. 247-248. P. 37-50.

79. Караваев А. С., Копысов С. П. Метод построения неструктурированных шестигранных сеток из объемных данных // Компьютерные исследования и моделирование. 2013. Т. 5, № 1. С. 11-24.

80. MINAMOTO H., EBERHARD P., KAWAMURA S. Restitution properties in direct central collision of three inelastic spheres // Mechanical Engineering Journal. 2016. Vol. 3, no. 6. P. 1-13.

81. Garimella R., Kucharik M., Shashkov M. An efficient linearity and bound preserving conservative interpolation (remapping) on polyhedral meshes // Computers and Fluids. 2007. no. 36. P. 224-237.

82. Berndt M., Breil J., Galera S. et al. Two-step hybrid conservative remapping for multimaterial arbitrary Lagrangian-Eulerian methods // Journal of Computational Physics. 2011. no. 17. P. 6664-6687.

83. Paar C., Pelzl J., Preneel B. Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners. Germany: Springer, 2011. 372 p.

84. Караваев А. С., Копысов С. П., Кузьмин И. М. Метод консервативной интерполяции на нестыкующихся поверностных сетках // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. № 4. С. 64-75.

85. Белошицкий В. Принципы моделирования черепно-мозговой травмы в эксперименте // Украинский нейрохирургический журнал. 2008. № 4. С. 9-15.

86. Trosseille X., Tarriere C., Lavaste F. Development of a FEM of the human head according to a specific test protocol // Proceedings of 30th Stapp Car Crash Conference. Warrendale, USA: 1992. P. 235-253.

87. Hardy W. N., Foster C., Mason M. et al. Investigation of head injury mechanisms using neutral density technology and high-speed biplanar Xray // Proceedings of 45th Stapp Car Crash Conference. San Antonio, USA: 2001.

P. 337-368.

88. Ruan J. S., Khalil T. B., King A. I. Dynamic response of the human head to impact by three-dimensional finite element analysis // Journal of Biome-chanical Engineering. 1994. Vol. 116, no. 1. P. 44-50.

89. Караваев А., Копысов С. Математическое моделирование ударного воздействия на голову при черепно-мозговых травмах // Российский журнал биомеханики. 2018. Т. 22, № 2. С. 178-195.

90. Громов А. Биомеханика травмы. М.: Медицина, 1979. 270 с.

91. Zhang L., Yang K. H., King A. I. A proposed injury threshold for mild traumatic brain injury // Journal of Biomechanical Engineering. 2004. Vol. 126, no. 2. P. 226-234.

92. Marjoux D., Baumgartner D., Deck C., Willinger R. Head injury prediction capability of the HIC, HIP, SIMon and ULP criteria -New injury criteria for the head // Accident Analysis and Prevention. 2008. Vol. 40, no. 3. P. 1135-1148.

93. Deck C., Willinger R. Improved head injury criteria based on head FE model // International Journal of Crashworthiness. 2008. Vol. 13, no. 6. P. 667-678.

94. Недугов Г. В. Определение и экспертная оценка силы удара // Проблемы экспертизы в медицине. 2012. Т. 12. С. 14-17.

95. Henn H. Crash Tests and the Head Injury Criterion // Teaching mathematics and its applications. 1998. Vol. 17, no. 4. P. 162-170.

96. Копысов С. П., Новиков А. К., Пономарев А. Б., Рычков В. Н. Программная среда расчетных сеточных моделей для параллельных вычислений // Программные продукты и системы. 2008. № 2. С. 87-89.

97. Копысов С. П., Новиков А. К., Пономарев А. Б., Рычков В. Н. Программная среда генерации, перестроения и разделения сеток и построения расчетных моделей для параллельных распределенных вычислений // Вычислительные методы и программирование. 2009. Т. 7. С. 137-150.

98. Копысов С. П., Новиков А. К., Сагдеева Ю. А. и др. Программная среда построения расчетных моделей метода конечных элементов для параллельных распределенных вычислений // Информационные технологии. 2008. № 3. С. 75-82.

99. Караваев А. С., Копысов С. П. Программа QMM для генерации неструктурированных четырехугольных сеток в многосвязных областях. 2012.

100. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М. Мир, 1980. 410 с.

101. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М. Мир, 1977. 172 с.