Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Пачина, Анна Викторовна

• Пачина, Анна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пачина, Анна Викторовна

Введение.

ГЛАВА 1. Вариационная задача Мосолова и Мясни-кова с трением на границе по закону Кулона.

§1. Исследование экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона

1.1 Постановка вариационной и вариационной полусглаженной задач.

1.2 Краевая постановка полусглаженной задачи.

1.3 О существовании решения полусглаженной задачи.

1.4 О единственности решения полусглаженной задачи.

1.5 Оценка близости решений исходной и полусглаженной задач.). :у. v.

§2. Построение устойчивого метода решения.

2.1 О сильной сходимости минимизирующей последовательности.

2.2 Метод конечных элементов.

2.3 Метод итеративной ргох-регуляризации.

2.4 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации

§3. Алгоритмы оптимизации.

3.1 Модифицированный метод Ньютона.

3.2 Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага

3.3 Метод поточечной релаксации.

ГЛАВА 2. Полукоэрцитивная задача Синьорини с неоднородным краевым условием

§1. Исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием.

1.1 Переход к задаче с однородным условием.

1.2 Краевая постановка задачи.

1.3 Существование и единственность решения конечномерной задачи

§2. Построение устойчивого метода решения.

2.1 Метод итеративной ргох-регуляризации.

2.2 Построение минимизирующей последовательности.

2.3 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации.

2.4 Линейная скорость сходимости метода итеративной регуляризации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств»

Актуальность темы. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. При этом исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения. В последние десятилетия интенсивно развиваются и вариационные подходы для некоторых нелинейных краевых задач, таких, как задача об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня [1, 22, 59, 60], контактная задача теории упругости (как с трением, так и без него) [10, 16, 34, 48, 52, 54, 61, 63, 64], задача Бингама [53, 66] и т.д. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж.Л. Лионса [12, 14, 22, 23, 52], а в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным уравнениям, механике сплошной среды, математической экономике. Отметим в этой связи работы отечественных исследователей: П.П. Мосолова [31], П.П. Мосолова и В.П. Мясникова [30], В.Л. Бердичевского [4], П.Н. Уральцевой [46], Н.Н. Уральцевой и Т.Н. Рожковской [47], Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова [1], A.M. Хлуднева [48, 57, 58], А.В. Лапина [20] и др.

Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара [40, 63, 64] , Б.Н. Пшеничного [38] , Б.Н. Пшеничного и Ю.М. Данилина [39], И. Экланда и Р. Темама [49], Ж.-П. Обена и И. Экланда [36], Ф.П. Васильева [8, 9], Ж. Сеа [43], А.С. Антипина [2, 3], А.А. Каплана и К. Гроссмана [13], Е.А. Нурминского [35] и др.

Исследования по численному анализу вариационных неравенств осуществляется, как правило, на основе метода конечных элементов. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в книгах [25, 36, 37, 45]. Проблема конечноэлементной аппроксимации вариационных неравенств отражена в монографиях Р. Гловинского, Ж.Л. Лионса, Р. Тремольера [12], И. Главачека, Я. Гаслингера, И. Нечаса, Я. Ловишека [54], Ф. Сьярле [45], С. Бренер и Л. Скотта [51], Ф. Скарпини и М.А. Вивальди [65] и др.

В монографиях [11, 12, 54] и статьях [6, 53, 55, 59, 61, 66] отражен опыт численного решения нелинейных краевых задач с использованием методов оптимизации и проводится анализ этих методов с учетом специфики получающихся в результате аппроксимации конечномерных задач.

Исследования нелинейных краевых задач эллиптического типа проводятся, как правило, в предположении, что минимизируемый функционал является коэрцитивным в исходном гильбертовом пространстве. Этот факт обеспечивает как существование и единственность обобщенного решения, так и квалифицированную сходимость к искомому элементу решений аппроксимирующих задач [11, 12, 49].

Однако для ряда важных в прикладном отношении нелинейных краевых задач выполняется лишь ослабленное условие коэрцитивности. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения требует дополнительного исследования [11, 14], а при построении минимизирующей последовательности, как правило, приходится применять специальные меры, обеспечивающие ее квалифицированную сходимость.

Цель работы. Исследование некоторого класса негладких (не-дифференцируемых) полукоэрцитивных вариационных неравенств и развитие приближенных методов их решения с использованием аппарата вариационно-разностных аппроксимаций, выпуклого анализа и математического программирования.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа и вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования. Применяется теория пространств C.JI. Соболева [44], общая теория нелинейных краевых задач [14,22,36].

Научная новизна. В диссертации исследуются задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и задача Синьорини с неоднородным краевым условием. Для данных задач получены следующие новые результаты: а) для задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона получена краевая постановка для соответствующей полусглаженной задачи; доказаны теоремы существования и единственности решения полусглаженнои вариационнои задачи; установлена оценка близости решений исходной задачи и соответствующей ей полусглаженной задачи; установлена сильная сходимость минимизирующих последовательностей для полукоэрцитивного негладкого функционала в полусглаженной задаче; построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией для решения полусглаженной задачи; установлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации; построен и обоснован модифицированный метод Ньютона, разработанный для минимизации негладких функций; построен и обоснован модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага, разработанный для минимизации негладких функций; проведены численные эксперименты; для задачи Синьорини с неоднородным краевым условием исследована краевая постановка для эквивалентной вариационной задачи с однородным условием на границе; установлена сильная сходимость соответствующих минимизирующих последовательностей; построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией; установлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации во вспомогательных задачах; установлена линейная скорость сходимости метода итеративной ргохр егуляризации; проведены численные эксперименты.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры оптимального управления факультета "Вычислительная математика и кибернетика" Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Ф.П.Васильев, к.ф.-м.н., доцент М.М.Потапов), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики СО РАН в 2001 г.(г. Новосибирск, рук. чл.-корр. РАН Аннин Б.Д., д.ф.-м.н., проф. Соснин О.В.), на семинарах "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.), на семинаре "Функциональный анализ" при ВЦ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Степанов В.Д.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Кузнецов Н.В.), на секционных заседаниях Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова во Владивостоке в 1999, 2000 и 2001 гг., в Дальневосточной школе-семинаре по математическому моделированию и численному анализу в 2001 г., на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в 2001 г. (г. Пермь).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей и 5 тезисов выступлений), которые отражают ее основное содержание.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, разделенных на параграфы: §§1-3 в главе 1, §§1-2 в главе 2, §§1-2 в приложении. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из трех чисел; первое число есть номер параграфа в главе, второе - номер пункта, третье - порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация теорем состоит из двух чисел; первое число есть номер главы, второе - порядковый номер теоремы в этой главе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и построению устойчивого итерационного метода её решения.

Рассматривается экстремальная задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона

J (и) = Н\Vu\2dtt - f fudti + f gAVuldtt + f g2\u\dT - min,

Q fi fi Г (J) и e где Ос В? - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, 01,02 - const > 0, / G Ь2{О) [53].

2)

Функционал J (и) недифференцируем. Воспользуемся процедурой его частичного сглаживания

J£(u) = |Vu|2dQ - j fudVt + J giyJ\Vu\'2 + e2dti + J g2\u\dT - min,

Q Г иен1^), где £ - достаточно малый параметр.

Задача (2) эквивалентна вариационному неравенству (v« • V(v -и)+ - - «)) № + f 92(\V\ - M)dT > 0

3) дл яУ^еяЧо).

Вариационная задача (3) соответствует краевой задаче

-Аи

1 + д (gi(du/dxi) \ ^ д f д1(ди/дх2) дхх V^/|Vw|2 + £2/ дх2 W|V«|2 + e2,

91 ди

02, 1 +

9м в Q и + д2\и\ = 0 на Г.

Здесь и далее в краевых задачах через п обозначен единичный вектор внешней нормали на Г.

Очевидно, что функции и = const принадлежат ядру соответствующей билинейной формы a(u,v) = fVuVvdfl.

В пункте 1.3 главы 1 исследуется проблема существования решения полусглаженной задачи (2). Основным результатом этого пункта является

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие

J g2dT - / fdQ

Г Q

0,

4) тогда решение задачи (2) существует.

Далее в предположении, что решение задачи (2) принадлежит пространству Я2(0), доказана следующая теорема о единственности решения полусглаженной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие разрешимости (4). Тогда решение задачи (2) единственно в пространстве Я2(0).

В пункте 1.5 главы 1 установлена связь между решениями. Получена следующая оценка близости по полунорме [66]

J |V(u* - u0)\2dQ < 2giemesti, fi где и* £ Я2(П) - решение задачи (2), щ - произвольное решение задачи (1).

Построению устойчивого метода решения полусглаженной задачи (2) посвящен §2 главы 1.

Определение. Последовательность {ип}} принадлежащая Н1(С1), называется минимизирующей для задачи (2), если lim Js(un\= JJu*).

В пункте 2.1 главы 1 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (в предположении, что и* £ Н2(0))

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (4). Любая минимизирующая для задачи (2) последовательность {ип} сходится в норме пространства к решению и* задачи (2), т.е.

К&К-«1я.(О)=0.

Решение вариационных неравенств эллиптического типа, как правило, осуществляется на основе их последовательной аппроксимации конечномерными задачами выпуклой оптимизации. Построение минимизирующей последовательности сильно сходящейся к некоторому элементу оптимального множества (множества решений) в полукоэрцитивных вариационных неравенствах, требует существенной модификации основных опимизаци-онных методов, основанной на регуляризации вспомогательных задач.

В §2 главы 1 диссертации исследуется итерационная регуляризация с использованием ргох-отображения. В отличие от методов, построенных на основе регуляризации А.Н. Тихонова, методы с ргох-регуляризацией требуют выполнения несколько более жестких условий последовательной аппроксимации допустимого множества (множества, на котором минимизируется функционал) и иной техники исследования. Однако, при этом обеспечивается существенно лучшая устойчивость решения вспомогательных задач и, следовательно, большая эффективность применяемых средств выпуклой оптимизации.

Для решения задачи (2) применим метод итеративной ргох-ре-гуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области Q. Для классической (без условия трения на границе области) задачи Мосолова и Мясникова исследования по сходимости метода итеративной ргох-регуляризации были проведены в работе X. Шмидта [66].

Пусть последовательность {zk} (к = 0,1,2.) удовлетворяет неравенству

J£(zk) + X\\zk - < шй]{Ми) + А||« - z*"1!!!^} + е*, (5) оо где А > 0 — const, > О, ^sk < оо , zо Е hl(q) - любая начальная точка. к=1

Доказана

Теорема 1.4. Последовательность сильно сходится к решению и* задачи (2).

Предположим далее, что Q Е R2 - выпуклый многоугольник. Для построения последовательности {zk} предлагается использовать метод конечных элементов на последовательности триангуляций с условием lim hk = 0 (hk - параметр триангуляции). к—} со

Обозначим % - фиксированное разбиение области Q на треугольники Г, удовлетворяющие стандартным условиям триангуляции ([25], стр. 109); Nh - множество узлов 7л, Mh = Г П Nh',

Vh - линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций.

Используя алгоритм с ргох-регуляризацией на последовательности триангуляций, на итерации с номером к рассмотрим вспомогательную задачу

Je(u) + \\\u-ulkJ\2L[Q) -min

6) и е н1(о), ^

Где u*h - приближенное решение, полученное на предыдущем шаге триангуляции. Относительно точного решения и*к данной задачи сделаем следующие предположения (см. [12] стр. 287, [52], [61] стр. 220):

1 )и\ен2(П),

2)\\ul\\H2(ty < С, к = 1,2., где С - некоторая константа. Затем, в качестве приближенной к задаче (6) рассмотрим конечномерную задачу

Je(uhk) + X\\uhk -ulkJ\\m - min uh e vhk где hk - параметр триангуляции, lim hk = 0. Существование и единственк—>-оо ность решения конечномерной задачи (7) следует из сильной выпуклости минимизируемого функционала [26]. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки погрешности конечноэлементной аппроксимации задачи (6).

Теорема 1.5. Имеет место

IK-<11 h^)<Chl'\ Мк. В пункте 2.4 главы 1, основываясь на теореме 1.5., доказывается оо I/O

Теорема 1.6. Пусть О - выпуклый многоугольник, Е hk' < оо. Тогда k= 1 имеет, место

В §3 главы 1 дано описание метода поточечной релаксации и двух модификаций классического метода Ньютона, исследованы вопросы сходимости, обсуждены некоторые вычислительные аспекты этих методов.

В пункте 3.1 главы 1 диссертации разработана модификация метода Ньютона, предназначенная для минимизации функции, представленной в виде суммы дважды непрерывно дифференцируемой функции и только лишь непрерывной функции. Обозначим конечномерный аналог минимизируемого функционала задачи (7) через Jp(y), где у £ Rm, т - количество узлов триангуляции.

Представим функцию Jp(y) в виде суммы гладкой и негладкой частей

Ш=>Чу) + Ш, Чу) е с2(пт), му)ес(пт).

Если известно п—е приближение уп, то, используя квадратичную аппроксимацию гладкой функции Jo (у) в точке уп, получим функцию

Jn(y) = 4»Ы + Л (у) = ~ Уп) + ^(J'o(yn)(y - Уп),У~ Уп) + Ji{y)

Лемма 1.1. Модифицированный метод Ньютона. Пусть ыу) = ыу) + ыу), My)ec'{Rm), Ji(y)eC(K>

Ж12 < Ьу е Rm, » = const > о,

JS(y)-Jo(z)\\$L\y-z\ y,z £ Rm, L = const > 0. Пусть начальное приближение уо выбрано так, что q = -\yi ~ Уо\ < 1.

Тогда задача минимизации

8)

Л(у«+1) =min Jn(y).

9) разрешима при каждом п = 0,1. и имеет место следующая оценка скорости сходимости метода: лп

U/n-У <тЕ? <Т i-(п = 0,1.

L k=n L I-qz

10) где у* - точка минимума Jp(y) в Rm.

Далее, в пункте 3.2 определяется вспомогательное приближение уп из условия

МУп) = min Jn(y), кт

И) полагается

Уп+i = Уп + ап(Уп ~ Уп),

12) где ап выбирается из условий

Jp{yn) ~ JP(yn+1) > Р<*п [J\(yn) ~ Jn(yn)], 0 < an < 1, (13)

15

3 - некоторое фиксированное число, О < [3 < 1. Формула (13) является ключевой, поскольку, в отличие от классического метода Ньютона с регулировкой шага [8, 9, 39], в правую часть неравенства введена негладкая функция J\{yn). В пункте 3.2 имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.7. Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага. Пусть

Ш = Му) + Ыу), My)ec\rm), ji(y) е c(rm), 2 < (ши) < где /г, М - постоянные, 0 < ц < М. Тогда последовательность {уп}, определяемая методом (11)-(13), при любом начальном приближении Е Rm существует и сходится к у* - точке минимума Jp(y) в Rm. Если, кроме того,

К (у) ~ Jg(z) || < L\y -z\ y,z £ Rm, L = const > 0, то найдется номер щ такой, что при всех п > щ, рассматриваемый метод перейдет в модифицированный метод Ньютона для минимизации негладких функций, скорость сходимости которого - сверхлинейная.

Для численного решения задачи (2) используется аналог метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Алгоритм поточечной релаксации выглядит следующим образом: 1)начиная с точки у0 = {у^.-.у^} и предполагая уп известным, будем последовательно уточнять его отдельные компоненты и у™+1 для — 1, .,ш; о\ п+1/2

Z) определяем yi как решение неравенства

7 (vn+l vn+l vn+l/2 vn iin } < Jn\y 1 > yi-liyi Ут) Ъ

Л(уГ+1,-, 2Й1,*, упт) ж е] - оо,+оо[;

Известно [12]что данный алгоритм не годится, вообще говоря, для минимизации недифференцируемых функционалов. Тем не менее, в [12] установлен положительный результат о применимости метода поточечной релаксации для минимизации функционалов вида т

Q(y) = Qo(y) + Evi\yil о, (и) i= 1

Qo коэрцитивный, строго выпуклый и принадлежит классу С1.

Таким образом, для вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона построен итерационный процесс с глубиной вложения равной 3, основанный на комбинировании итеративной ргох-регуляризации, модифицированного метода Ньютона с регулировкой шага и аналога метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Во второй главе исследуется задача об установившемся течении жидкости в области, ограниченной полупроницаемой мембраной (задача Синьо-рини)

J (и) = I f \4u\2dtt - f fudti - min, fi fi (15) и £ G = {u\u £ : ф-^и<0 п. в. на Г}, где О С Я2 - ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, / £ и ф £ Ьг(Г) - заданные функции, ju £ Н1^2(Т) есть след функции и £ Hl(Q) на Г. Здесь ф> - заданное давление жидкости на границе (жидкость может втекать в О, если и{х) < ф(х), и яе может вытекать ни при каких условиях), / - поток жидкости в П, и - искомое распределение давления.

В дальнейшем для упрощения изложения будем опускать символ 7 у следов функций. Функционал J (и) не является коэрцитивным на множестве G и, поэтому, задача может и не иметь решения. Однако, если то J(y) —> +00, если ||г;||#1(0) —У 00, v Е G и, следовательно, задача разрешима [14, 54]. Условие (16) обеспечивает и единственность решения. Ниже считаем, что условие (16) выполнено.

В ранних работах [16], [34], [61] исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини проводилось в предположении однородности (равенства нулю) граничной функции ф. В данной работе это предположение не является необходимым.

Пусть ф - след на границе некоторой функции Ф Е H2(Q). В задаче (15) произведем замену тогда экстремальная задача (15) сводится к эквивалентной задаче J(oj) = If IVcj\2dQ - I ftudtt + /Vw Vtfdft - min,

ZQ 0 0: (17) си e G = {u\lv £ H^tt) : и > 0 п. в. на Г}. Очевидно, что функционал J (и) на множестве G ведет себя также, как J (и) на множестве G, то есть

Задача (17) минимизации функционала J (со) на множестве G эквивалентна вариационному неравенству

16) и — и — Ф

J(u) +00, если ||^||я1(о) —> оо, и Е G.

18) а(и*, v - uj*)> F(v - uj*), v Е G,

19) где а(и>, v) = / Vw • VvdQ, F{u) = J(fu — УФ • Vcu)dfl, и* - решение задачи (17).

В пункте 1.2 главы 2 установлена эквивалентность вариационной задачи (19) и следующей краевой задачи

-Дш = / + ДФ в ' и,

Tn + fn >0, (£ + £)" = 0 П-В- на Г.

В пункте 1.3 главы 2 воспользуемся методом конечных элементов для перехода к следующей конечномерной задаче, соответствующей задаче (17) min

21) h, где Gh = {uh £ Vh Uh(s) >0 Vs E Mh}. Легко видеть, что специальный выбор базисных функций и однородные граничные условия обеспечивают вложение Gh С G. На основании указанного вложения, с учетом (18) получаем, что задача (21) разрешима. Более того, решение задачи (21), как и (17), единственно.

Назовем приближенным решением задачи (15) сумму + где u*h -решение задачи (21). В предположении, что выполнено условие разрешимости (16) задачи (15) и решение и* задачи (15) принадлежит пространству Я2(О), в работе [62] получена следующая оценка скорости сходимости метода конечных элементов

В задаче (17), как и в задаче Синьорини, минимизируемый функционал J (и) является полукоэрцитивным [16]. Поэтому конечноэлементная аппроксимация формы а приводит к конечномерной квадратичной форме j(uh) Uh G 1 с вырожденной матрицей, что существенно усложняет поиск приближенного решения. Это обстоятельство обуславливает необходимость применения специальных мер, обеспечивающих квалифицированную сходимость минимизирующей последовательности. Для задачи (17), как и в главе 1, эффективный алгоритм решения строится на основе использования метода итеративной ргох-регуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области О.

В пункте 2.2 главы 2 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (аналогичная теореме 1.3. главы 1).

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (16). Любая минимизирующая последовательность {соп}, ьоп G G, сходится в норме пространства Н1{О) к решению задачи (17), т.е.

Следуя схеме итеративной ргох-регуляризации, на {к)-й итерации имеем вспомогательную задачу вида

Здесь oj*hkx - конечноэлементное решение, полученное на предыдущей (к — 1)-й итерации, h& - параметр к-ой итерации, h^-^fO.

Пусть Q - выпуклый многоугольник. Для данного hk, как и в главе 1, вводим регулярным способом [25] многоугольную триангулированную область, вершины которой лежат на Г.

Отбрасывая постоянные слагаемые в минимизируемом функционале, заlim IIujn "-" 0.

22) ueG = {veH1(Q):v> 0 п. в. на Г}. меним (22) приближенной конечномерной задачей

Va;bJ2 + 2А u2hk)dQ - /(/ + 2А oj*hkJu;hkdn + f Vujhk ■ УФсШ - min, ft n n u>hk 6 Ghk = G V/JtyKfci) >0 Vi G Mh}.

23)

Обозначим через ш*к и uj*hk решения задач (22) и (23) соответственно. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки ошибки аппроксимации.

Теорема 2.2. Имеет место

1/2

Ук.

Ставя в соответствие последовательности {ек} абстрактной схемы (5) по

1 /2 следовательность {Chk }, заключаем, что для сходимости метода итераоо тивнои ргох-регуляризации достаточно выполнения условия £ hk < оо. к=1

Например, можно менять параметр триангуляции по правилу hk = где hо - некоторая начальная величина. Таким образом, в пункте 2.3 главы 2 доказана следующая

Теорема 2.3. Пусть Q - выпуклый многоугольник, ф есть след функции Ф G H2{Q), £ hk < оо. Тогда имеет место

При практической реализации метода каждую фиксированную триангуляцию естественно использовать на нескольких шагах алгоритма. Кроме того, пользуясь результатами, приведенными в [17], можно доказать следующую теорему об оценке скорости сходимости метода итеративной ргох-регуляризации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пачина, Анна Викторовна, 2001 год

1. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. -М.: Наука, 1983. - 239 с.

2. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа.-М.,1979. -74с. (Препринт ВНИИ системных исследований).

3. Антипин А.С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. -т.35, №5. с. 688-704.

4. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Булгаков В.К., Липанов A.M., Чехонин К.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести. //Механика композитных материалов. -1988. №6. -с. 1112-1116.

6. Булгаков В.К., Чехонин К.А. Гидродинамика течений полимеризую-щейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность. // ИФЖ. 1990. -т.59, №4. - с.764-771.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М., Мир, 1977. 542 с.

8. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.-М.: МГУ, 1974. 374 с.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1980. 518 с.

10. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. -М.: Наука, 1980. 303 с.

11. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. -М., Мир, 1986. 270 с.

12. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М., Мир, 1979. 574 с.

13. Гроссман К. Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. -Новосибирск: Наука, 1981. 278 с.

14. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980. 480 с.

15. Жанлав Т., Пузырин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. -т.32, JY-6. с.846-856.

16. Каплан А.А., Намм Р.В. К характеристике минимизирующих последовательностей для задачи Синьорини //Доклад АН СССР. -1983. -т.273, JN4.-C.797-800.

17. Каплан А.А., Намм Р.В. Об оценке скорости сходимости итерационных процессов с ргох-регуляризацией. // В сб. "Исследования по условной корректности задач математической физики". -Новосибирск, 1989. с.60-77.

18. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970. 250 с.

19. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. 456 с.

20. Лапин А.В. Решение вариационных неравенств с нелинейными полукоэрцитивными операторами. В кн. Вычислительные процессы и системы. -М.: Наука, 1986. с.219-264.

21. Лебедев К.А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1996. т.36, №3. с.6-14.

22. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М., Мир, 1972. 587с.

23. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. -М., Мир, 1972. 415с.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 346 с.

25. Марчук Г.И. Агошков Ю.М. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1975. 430 с.

26. Мину М. Математическое программирование. -М.: Наука, 1990.-342с.

27. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 454 с.

28. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.-М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

29. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. 432 с.

30. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. -М.: Наука, 1981. 208 с.

31. Мосолов П.П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред. // ПММ. -1978. -т.42, вып.4. -с.737-746.

32. Намм Р.В. Приближенные методы исследования полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики с односторонними граничными условиями. Дис . докт. физ.-матем. наук. Хабаровск, ХГТУ, 1995. -199 с.

33. Намм Р.В. О единственности решения в модельной задаче с трением по закону Кулона. //Динамика сплошной среды. -1994. -Вып.109. -с.79-82.

34. Намм Р.В. О некоторых алгоритмах для решения задачи Синьорини // Оптимизация. -1983. -вып. 33 (50). -с.63-78.

35. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. -М., Наука, 1991. 167 с.

36. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. -М., Мир, 1988. 510 с.

37. Оганесян JI.A., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1,2. Дифференциальные уравнения и их применение, Вильнюс, 1974, вып. 5,8. - 394 с.

38. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

39. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1976. 319 с.

40. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. -М., Мир, 1973. 469 с.

41. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -403 с.

42. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики. //УМН. -1976. -т.31, №6. -с.167-197.

43. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. -М., Мир, 1973. -244 с.

44. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. -255 с.

45. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических систем. -М., Мир, 1980. -512 с.

46. Уральцева Н.Н. О регуулярности решений вариационных неравенств. //УМН. 1987. -т.42, вып. 6. -с.151-174.

47. Уральцева Н.Н., Рожковская Т.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач. //Дифференциальные102уравнения с частными производными (Труды международной конференции). -Новосибирск: Наука, 1986. с.187-192.

48. Хлуднев A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствием. //Сибирский математический журнал. 1990. - т.31, №1.- с.172-178.

49. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979. 400 с.

50. Bercover М., Engelman М. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows. //J. of computational physics. -1980. -№3, pp. 313326.

51. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. -Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg , 1996. 297 p.

52. Brezis H. Problemes unilateraux. J. de Math.Pures et Appliquees, 51 (1972), pp, 1-168.

53. Fortin A., Cote D. On the imposition of friction boundary conditions for the numerical simulation of Bingham fluid flows. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 88(1991). -North-Holland, pp. 97-109.

54. Glavacek I., Haslinger J., Necas I., Lovisek J. Numerical solution of variational inequalities. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988. 322 p.

55. Glowinski R. Numerical method for nonlinear variational problem. New York: Springer, 1984. 381 p.

56. Kaplan A., Tichatschke R. On New Proximal Methods for Variational Inequalities. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1994. -V.429, pp. 198-213.

57. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. //WIT Press, Southampton-Boston, 2000. 408 p.

58. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. //Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. 384 p.

59. Namm R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity. //International series of numerical mathematics. -Basel, 1992. -V.106, pp. 223-228.

60. Namm R.V. On a rate of convergence of the finite element method in variational inequalities with a weakly coercive operator. -Khabarovsk, 1991. 13 p. -(Report №4, Institute for Applied Mathematics F.-E.B. of the Russian Academy of Sciences).

61. Namm R.V. Stable methods for ill-posed variational inequalities in mechanics. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 214-228.

62. Namm R.V., Woo G. On a convergence rate of finite element method in Signorini's problem with nonhomogeneous boundary condition. //Дальневосточный математический журнал. 2001. - т.2, №1. - с.77-80.

63. Rockafellar R.T. Characterization of the sub differentials of convex functions. //Pacific J. Math. -1966. -V.17, pp. 497-510.

64. Rockafellar R.T. Convex programming and systems of elementary mono-tonic relations. //J. Nath. Anal. Appl. -1967. -V.19, pp. 543-564.

65. Scarpini F., Vivaldi M.A. Error estimates for the approximation of some unilateral problems. // R.A.I.R.O. Ser. Rouge Anal. Numer. -1977. -V.ll, №2, pp. 197-208.

66. Schmitt H. On the regularized Bingham problem. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 298-315.

67. Tanner R.I., Nicrell R.E., Bilger W.W. Finite element methods for the solution of some incompressible fluid mechanics problem with free surfaces. //Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. -1975. -V.6, pp. 155-160.

68. Webster M.F. A technique to solve incompressible non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1986. -V.20, pp. 227-240.

69. Webster M.F., Suli E.E., Morton K.W. Numerical case study of a non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -V.26, pp. 695-704.Список работ, опубликованных по темедиссертации

70. Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В. О методе Ньютона для минимизации негладких функций. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В.Золотова. -Владивосток, 1999. -с.48.

71. Пачина А.В. Решение регулиризованной задачи Бингама. Математическое моделирование: методы и приложения. Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2000. -с.94-100.

72. Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В. Приближенное решение вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. //Сиб. журн. вычисл. математики. РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2000. - Т. 4, №2. - с.163-177.

73. Пачина А.В. Об устойчивом методе решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.- Хабаровск, 2000. 39 с.-(Препринт 2000-48, ВЦ ДВО РАН).

74. Пачина А.В. О единственности решения задачи Бингама с трением на границе по закону Кулона. //Сборник научных трудов НИИ КТ / Под ред. С.В. Соловьева. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 10. -с.94-100.

75. Пачина А.В. Исследование задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. Математическое моделирование. //Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2001. -с.70-76.

76. Золотухин А.Я., Пачина А.В. О решении полукоэрцитивной задачи Си-ньорини с неоднородным краевым условием. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В.Золотова. -Владивосток, 2001. -с.16.

77. Намм Р.В., Пачина А.В. Устойчивый метод решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь, 2001. с.447.

78. Пачина А.В. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. //Дальневосточный математический журнал. 2001. - т.2, т. - с.81-89.