Алгоритмы генетического программирования для символьного решения обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Бураков, Сергей Васильевич

• Бураков, Сергей Васильевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бураков, Сергей Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обзор методов решения обыкновенных дифференциальных 10 уравнений и вариационных задач

1.1. Аналитические методы решения

1.2. Численные методы решения

1.3. Алгоритмы генетического программирования

Выводы

ГЛАВА 2. Алгоритм генетического программирования и методы его 33 применения для решения задачи Коши в символьном виде для обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1. Постановка задачи и предлагаемые подходы к решению

2.2. Алгоритм генетического программирования для решения задачи 37 Коши в символьном виде

2.3. Полученные результаты

Выводы

ГЛАВА 3. Алгоритм генетического программирования и методы его 73 применения для решения в символьном виде задач вариационного исчисления

3.1. Постановка задачи и предлагаемые подходы к решению

3.2. Алгоритм генетического программирования для решения 76 краевых задач и вариационных задач

3.3. Результаты численных экспериментов 81 Выводы

ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов генетического программирования для решения задач Коши, краевых задач, вариационных задач

4.1. Программная система для решения задачи Коши

4.2. Программная система для решения вариационной задачи

4.3. Реализация программ для работы алгоритма ГП на 114 распределенных и кластерных вычислительных системах

4.4. Реализация алгоритма генетического программирования для 121 решения в символьном виде задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы генетического программирования для символьного решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Актуальность. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) являются теоретической основой многих моделей, используемых в науке и технике. Такие процессы отражаются в физике, химии, биологии и многих других областях науки. Особенно часто о решении ОДУ приходится говорить применительно к теории колебаний и теории автоматического управления. Такие процессы как колебание маятника, процесс распада радиоактивного вещества, процессы изменения численности популяции биологических видов, хорошо описываются ОДУ. Решение ОДУ представляется важной задачей для многих сфер деятельности человека, а также играет важную роль в познании окружающего мира.

ОДУ (и методам их решения) посвящена большая область математики -теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория ОДУ содержит комплекс математических подходов, позволяющих решать некоторые виды ОДУ. Под решениями ОДУ подразумевается класс функций, удовлетворяющих заданному уравнению. Практическое применение имеют частные решения ОДУ, получаемые для соответствующих задач Коши, краевых задач. Такой метод решения ОДУ строго формализован, математически обоснован, лаконичен. Однако из существующих уравнений только малая часть может быть решена таким методом, т.е. последовательность действий, приводящих к получению решения, определена лишь для немногих уравнений, остальные решают численно.

Решить ОДУ численно означает нахождение частного решения ОДУ по поставленной задаче Коши или краевой задаче. Решение получают, используя ЭВМ, что означает получение приближенного результата. Этот результат записывается в виде последовательности (таблицы) чисел, представляющих аргументы и соответствующие значения искомой функции. Результат 4 решения в виде таблицы чисел может значительно затруднять анализ и дальнейшее его применение. Определение условий сходимости и устойчивости метода может накладывать дополнительные ограничения на процесс решения.

Вариационное исчисление - область, связанная с ОДУ, описывающая методы решения вариационных задач. Вариационная задача состоит в поиске экстремума заданного функционала. Вариационные задачи широко используются в решении практических задач. Решение вариационной задачи может быть получено с использованием уравнения Эйлера, являющегося необходимым условием существования экстремума функционала. Уравнение Эйлера получают из заданного функционала, оно представляет собой ОДУ, что в совокупности с границами интервала (и значениями подынтегральной функции), на котором задан функционал, дает краевую задачу. Решение этой краевой задачи может быть экстремумом функционала, что требует проверки. Краевая задача на практике решается чаще всего численными методами, о недостатках которых говорилось выше.

Таким образом, методы решения ОДУ и вариационных задач, применяемые традиционно, часто (а на практике особенно часто) не дают желаемого результата - функции в символьном виде, причем единственной.

Однако, если решение таких задач рассматривать как процедуру поиска оптимального бинарного дерева, представляющего собой математическую функцию, то для такого поиска можно использовать алгоритмы генетического программирования (ГП), широко и успешно применяемые в области интеллектуального анализа данных. Нужно отметить, что поиск такого дерева, состоящего из многих узлов и содержащего вещественные коэффициенты, является сложной оптимизационной задачей. Метод, использующий алгоритм ГП, в качестве результата может выдавать точные 5 символьные решения, если таковые существуют. То есть такой метод позволяет обойти недостатки традиционных способов решения, а следовательно разработка алгоритмов ГП для поиска символьных решений задач Коши, краевых задач и задач вариационного исчисления является актуальной научно-технической задачей.

Целью работы является разработка и реализация алгоритмов генетического программирования и методов их применения, способных получать на заданном множестве функций символьные решения задачи Коши и краевой задачи для ОДУ, а также задач вариационного исчисления.

Задачи, решение которых необходимо для достижения поставленной цели, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Провести обзор существующих методов решения задач теории ОДУ и оценить их достоинства и недостатки, определяющие направления разработки альтернативных методов, использующих алгоритмы ГП.

2. Разработать алгоритм ГП, способный получать на заданном множестве функций символьные решения указанных задач.

3. Разработать подходы для применения таких алгоритмов при решении различных типов задач теории ОДУ и вариационного исчисления при разных условиях.

4. Разработать программные системы, реализующие разработанные алгоритмы ГП, в том числе и для использования на распределенных вычислительных системах.

5. Оценить работоспособность предлагаемых методов на тестовых задачах, сформулировать рекомендации для решения различных типов задач, выполнить анализ полученных результатов.

Методами исследования и решения поставленных задач являются методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений, б вариационного исчисления, численные методы, эволюционные алгоритмы моделирования и оптимизации, статистические методы анализа данных.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

1. Разработан новый эволюционный метод на базе алгоритма генетического программирования для получения на заданном множестве функций символьных решений задачи Коши для ОДУ.

2. Разработан новый гибридный метод приближенного решения задачи Коши для ОДУ, состоящий в применении численного метода для получения приближенного решения и алгоритма генетического программирования, решающего задачу символьной регрессии на основе этих результатов, для получения символьного решения.

3. Разработан новый эволюционный метод на базе алгоритма генетического программирования для получения на заданном множестве символьных решений краевых задач для ОДУ.

4. Разработан новый эволюционный метод на базе алгоритма генетического программирования для решения задач вариационного исчисления в символьном виде.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что разработанный подход позволяет автоматически получать символьные решения задач Коши и краевых задач для ОДУ и вариационных задач с различными типами уравнений (подынтегральных функций). При этом такой метод обладает преимуществами как аналитического метода решения (находит решения в символьном виде), так и численного метода решения (способен решать те задачи, которые не решаются в квадратурах или не представимы элементарными функциями), а также позволяет решать задачи, для которых не выполнены условия единственности решения или непрерывности решения по входным данным.

Практическая ценность работы состоит в разработке программных систем, которые позволяют автоматически получать символьные решения задач Коши и краевых задач для ОДУ, а также символьные решения вариационных задач, визуально отслеживать процесс поиска решения. Данные программные системы можно рассматривать в качестве альтернативных инструментов при решении ОДУ в дополнение к традиционным методам решения. Реализованы и апробированы программы для работы на распределенных вычислительных системах, в том числе - на кластерных суперкомпьютерах, что значительно увеличивает возможности по их использованию в научных исследованиях.

Реализация результатов работы

По итогам работы реализованы 4 программные системы, зарегистрированные в Роспатенте, а также 2 программные реализации для кластерных ЭВМ.

Результаты диссертационной работы включены в отчеты по госбюджетным НИР Б8.5541.2011 «Развитие теоретических основ автоматизации математического моделирования физических систем на основе экспериментальных данных», Б 1.7.08 «Разработка теоретических основ решения задач автоматизации проектирования распределенных многопроцессорных вычислительных комплексов интеллектуального анализа данных в режиме реального времени» и НК-409П/49 «Разработка устойчивого гибридного генетического алгоритма для определения кристаллических структур химических соединений из данных порошковой дифракции» мероприятия 1.2.1 Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».

Основные защищаемые положения

1. Алгоритм генетического программирования решения задачи Коши для ОДУ позволяет получить на заданном множестве функций точное символьное решение, если оно существует.

2. Гибридный метод приближенного решения задачи Коши для ОДУ позволяет получить требуемый результат при меньших затратах вычислительных ресурсов.

3. Алгоритм генетического программирования решения краевых задач для ОДУ позволяет получить на заданном множестве функций точное символьное решение, если оно существует.

4. Алгоритм генетического программирования для решения задач вариационного исчисления позволяет получить на заданном множестве функций символьное решение, если оно существует.

Публикации по теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 2 в изданиях из перечня ВАК и 4 свидетельства о регистрации компьютерных программ в Роспатенте.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на 7 Всероссийских, 4 Международных и одной зарубежной конференциях.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Бураков, Сергей Васильевич

Выводы

Итак, разработанные программные системы позволяют получать точные символьные решения для поставленных задач Коши, краевых задач и вариационных задач.

Первая программная система позволяет получать символьные решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Реализовано два варианта решения задачи. При решении гибридным методом задачу нужно решить сначала численно, затем запустить алгоритм поиска символьной функции. Для запуска процесса необходимо задать уравнение в общем виде и начальные условия. Производные могут вычисляться приближенно с различным порядком точности или аналитически (путем получения производной функции решения). В случае, когда не выполнено условие единственности решения, это не является критическим режимом: достаточно записать известное решение в список тривиальных функций и ввести коэффициент штрафа. Программная система реализует графическую поддержку процесса решения задачи - в каждый момент можно посмотреть как проходит график функции.

Вторая программная система позволяет получать символьные решения вариационной задачи. В качестве определяющих задачу параметров нужно задать ОДУ (подынтегральную функцию) в символьном виде и граничные условия. Реализовано два варианта решения. Результаты решения дублируются в файл. Реализована графическая возможность оценки результата

Распределенные программы реализуют параллельный вариант алгоритма генетического программирования для выполнения вычислений, например на суперкомпьютере или распределенной сети. Эти программы позволяют значительно сократить время выполнения процесса поиска решения, что повышает эффективность решения задачи. Благодаря параллельной реализации, возможно решение более сложных задач.

При реализации параллельной версии программы решения в символьном виде задачи Коши для систем ОДУ появилась возможность решения задачи за приемлемое время, что делает это направление перспективным, учитывая сложность решения систем ОДУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Предложен новый гибридный метод решения задачи Коши: прямой метод, использующий уравнение и начальные "условия, и метод решения, комбинированный с численным методом.

2. Разработанный алгоритм генетического программирования для решения задачи Коши позволяет получать на заданном множестве функций символьные решения. При решении задач с помощью алгоритма ГП несущественным становится отсутствие условия единственности решения, что для численных методов является фактором, значительно осложняющим решение. Алгоритм ГП при решении задачи Коши делает несущественным влияние погрешности во входном векторе начальных условий, которое при численном решении требует специальных схем.

3. Проведенные исследования на различных типах задач показывают эффективность предложенных алгоритмов ГП, позволяющих получать символьные решения задач, получать разложение функции в ряд Тейлора, а также приближенные символьные решения для задач, не имеющих решения, представимого элементарными функциями.

4. Разработан гибридный метод решения вариационной задачи: решение краевой задачи с использованием уравнения Эйлера и прямой метод решения с использованием только заданного функционала.

5. По результатам решения различных задач можно сделать вывод, что каждый из вариантов решения вариационной задачи имеет право на существование: решение краевой задачи требует меньше ресурсов и работает надежнее, однако это лишь необходимое условие существования экстремума.

Решение же прямым методом дает однозначно экстремальное решение, но лишь

125 при условии ограниченности функционала, а также требует значительно большего времени и является менее надежным.

6. По результатам решения задач Коши и вариационных задач можно говорить о том, что в большинстве случаев находится точное символьные решение или решение, приводимое к точному элементарными преобразованиями.

7. Созданы программные системы, позволяющие решать поставленные задачи пользователям, которые могут не быть специалистами в области эволюционных вычислений.

8. Разработаны программные реализации алгоритмов для параллельного решения задач на кластерном компьютере и на распределенной сети компьютеров. По результатам решения задач на параллельных вычислительных системах можно сказать, что главная проблема предложенных алгоритмов, т.е. высокая вычислительная сложность, легко решается при использовании параллельных реализаций.

Таким образом, в данной диссертации разработаны, реализованы и апробированы алгоритмы генетического программирования, позволяющие получать символьные решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями, что имеет существенное значение для теории и практики моделирования сложных динамических систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бураков, Сергей Васильевич, 2012 год

1. Айне Э.JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // НТИ Украины, 1939.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Ижевск: УдмГУ, 2000.

3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. / Б. Банди. // М.: Радио и связь, 1988.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. // М.: Наука, 1987.

5. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. // СПб, 2005.

6. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. // М.: Издательство иностранной литературы, 1950.

7. Боресков A.B. Основы работы с технологией CUDA. / A.B. Боресков, A.A. Харламов. // ДМК Пресс, 2010.

8. Боярчук А.К. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. / А.К. Боярчук, Г.П. Головач. // М.: Эдиториал УРСС, 2001.

9. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. // М.: Высш.шк. 2002.

10. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. / В.М. Вержбицкий. // Высш.шк., 2000.

11. Ворожейкин А.Ю. Разработка и исследование адаптивноговероятностного генетического алгоритма для многокритериальныхзадач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин. //127

12. Труды международных научно-технических конференций «Интеллектуальные системы» (AIS'08) и «Интеллектуальные САПР» (CAD-2008). М.: Физматлит, 2008, Т.1. - С. 15-21.

13. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление. / И.М. Гельфанд, C.B. Фомин. // М., Наука, 1969.

14. Гладков JI.A. Генетические алгоритмы. / JI.A. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. // Ростов-на-Дону: Росиздат, 2004.

15. Данилина Н.И. Численные методы. / Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша, Г.Л. Смирнов, Г.И. Феклисов. // М.: Высшая школа, 1976.

16. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. // М.: Физматлит, 2001

17. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. // М.: Едиториал УРСС, 2004.

18. Калиткин H.H. Численные методы. // М.:Наука,1978

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. // М. :Наука:1Физматлит,;1971.

20. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа. /Л.В. Канторович, В.И. Крылов. //М.: Физматлит, 1962.

21. Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. // М., Наука, 1980.

22. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон // М.: Изд. иностранной лит-ры, 1958.

23. Корнев В.Д. Параллельное программирование в MPI. / В.Д. Корнев // Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2002.

24. Краснов JI. М. Вариационное исчисление. / JI.M. Краснов, Г.И. Макаренко Г. И., А.И. Киселёв // М.: Наука, 1973.

25. Круглински Д. Программирование на Microsoft Visual С++ 6.0 для профессионалов. / Д. Круглински, С. Уингоу, Дж. Шеферд// СПб Питер, 2004.

26. Курейчик В.М. и др. Методы генетического поиска / Под редакцией В.М. Курейчика. //-Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002

27. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. // М.:Наука,1989

28. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. // М.: Высшая школа, 1967

29. Мейерс С. Наиболее эффективное использование С++. // М.: ДМК Пресс, 2000.

30. Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. / Дж. Ортега, У. Пул. // М.: Наука. 1986.

31. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Наука, 1984.

32. Подбельский В.В. Язык Си++: Учеб. пособие. — 5-е изд. // М.: Финансы и статистика, 2003.

33. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // М: Наука, 1974.

34. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.: Физматлит, 2001

35. Рубан А.И. Методы оптимизации: учеб. пособие / А. И. Рубан. // Красноярск: НИИ ИЛУ, 2001.

36. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

37. Самарский A.A. Численные методы./ A.A. Самарский, A.B. Гулин. // М.:Наука, 1989.

38. Семенкин Е.С. Оптимизация технических систем. Учебное пособие / Е.С. Семенкин, О.Э. Семенкина, С.П. Коробейников. //-Красноярск: СИБУП, 1996.-284 с.

39. Сопов Е.А. Вероятностный генетический алгоритм и его исследование // VII Королевские чтения. Том 5. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2003. - С. 38-39.

40. Сопов Е.А. Вероятностный генетический алгоритм решения сложных задач оптимизации и его исследование // Молодежь Сибири науке России. - Красноярск: СИБУП, 2004. - С. 26-29

41. Сопов Е.А. Вероятностный генетический алгоритм с прогнозированием сходимости // Вестник университетского комплекса. Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2004. - Вып 1 (15). - С. 219-227

42. Сопов Е.А. О вероятностном генетическом алгоритме // Современные техника и технологии. В 2-х т. Томск: Изд-во Томского политехи, унта, 2004. - Т.2. - С. 197-199

43. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. // Эдиториал УРСС, 2004.

44. Страуструпп Б. Язык программирования С++. //СПб: Бином 2004

45. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. / А.Н. Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников// М.: Наука, Физматлит, 1998 г.

46. Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. // М.: Наука, 1990.

47. Турчак Л.И. Основы численных методов. /Л.И. Турчак, П.В. Плотников. //М.: Физматлит, 2003.

48. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. // М.: Интеграл-пресс, 1998.

49. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. // SpringerVerlag, 1984.

50. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // М.: Мир, 1970г.

51. Хьюз К. Параллельное и распределенное программирование с использованием С++. / К. Хьюз, Т. Хьюз. // М.: "Вильяме", 2004.

52. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. // М.: Наука, 1970.

53. Шилдт Г. Полный справочник по С++. // М.: "Вильяме", 2003.

54. Шпаковский Г.И. Программирование для многоядерных систем в стандарте MPI. / Г.И. Шпаковский, Н.В. Серикова. // Минск: БГУ, 2002.

55. Элджер Д. Библиотека программиста С++. // СПб: Питер, 1999.

56. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. //М.: Наука, 1965.

57. Эхтер Ш. Многоядерное программирование. / Ш. Эхтер, Д. Роберте. // СПб.: Питер, 2010.

58. Abell, M.L. Differential Equations with Maple V. / M.L. Abell, J.P. Braselton // Academic Press, London, 2000.

59. Banzhaf W. Genetic Programming. An Introduction. / W. Banzhaf, P. Nordin, R.E. Keller, F.D. Francone. // Morgan Kaufman Publishers, 1998.

60. Burgess G. Finding approximate analytic solutions to differential equations using genetic programming. / G. Burgess. //Surveillance Systems Division, Electronics and Surveillance Research Laboratory, Department of Defense, Australia, 1999.

61. Chapman B. Using OpenMP. Portable shared vevory parallel programming. / B. Chapman, G. Jost, R. Van Der Pas. // MIT press, 2008.

62. Cao H. Evolutionary Modelling of Systems of Ordinary Differential Equations with Genetic Programming. / H. Cao, K.Lishan, Y. Chen. // 2000.

63. Diver D.A. Applications of genetic algorithms to the solution of ordinary differential equations. J. Phys. A: Math. Gen. 26, 3503-3513 Analytic Solutions to Differential Equations 243, 1993.

64. Durrbaum A. Comparison of Automatic and Symbolic Differentiation in Mathematical Modeling and Computer Simulation of Rigid-Body Systems. / A. Durrbaum, W. Klier, H. Hahn. // Multibody System Dynamics 7, 331355, 2002.

65. Esparcia-Alcazar A. Learning schemes for genetic programming / A. Esparcia-Alcazar, K. Sharman. // In Proceedings Late Breaking Papers at the Genetic Programming Conference, pp. 57-65, Stanford University, 1997.

66. Fasshauer G.E. Solving partial differential equations by collocation with radial basis functions, in Surface Fitting and Multiresolution Methods. / A. LeMhaut, C. Rabut, L. Schumaker. // Eds. Nashville, TN: Vanderbilt Univ. Press, 1997.

67. Fasshauer G.E. Solving differential equations with radial basis functions: Multilevel methods and smoothing. Advances in Comput. Math., vol. 11, no. 2-3, pp. 139-159, 1999.

68. Fox C. An Introduction to the Calculus of Variations. Dover Publ., 1987.

69. Franke C. Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions. / C. Franke, R. Schaback. //Appl. Math. Comput., vol. 93, pp. 73-83, 1998.

70. Clegg, J.C. Calculus of Variations. //Interscience Publishers Inc., 1968.

71. Goldberg D.E. Genetic algorithms in search, Optimization and Machine Learning. // Addision Wesley, 1989.

72. Howard D. Genetic Programming Solution of the Convection Diffusion Equation, / D. Howard, S.C. Roberts. // GECCO, 2001.

73. Howard D. Solution of differential equations with Genetic Programming and the Stochastic Bernstein Interpolation. / D. Howard, J. Kolibal // University of Limerick, 2005.

74. Iba H. Inference of differential equation models by genetic programming / H. Iba, E. Sakamoto. //Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 2002), 2002, pp. 788-795.

75. Kamke E. Differential Equations. Solution Methods and Solutions. // Teubner, Stuttgart, 1983.

76. Kinnear K.E. Alternatives in Automatic Definition of Functions: A Comparison of Performance. Advances in Genetic Programming, Ch. 6, MIT Press, 1994.

77. Kirk D.B. Programming Massively Parallel Processors: A Hands-on Approach. / B.D. Kirk, Wen-mei, W. Hwu // Applications of GPU Computing Series, 2004.

78. Kirstukas SJ. A hybrid genetic programming approach for the analytical solution of differential equations. / S.J. Kirstukas , K.M. Bryden. // Ashlock International Journal of General Systems 34, 279-299, 2005.

79. Koza J.R. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection. // MIT Press, Cambridge, MA, 1992.

80. Koza J.R. Genetic Programming II: Automatic Discovery of Reusable Programs. // MIT Press, 1994.

81. Koza J.R. Hierarchical genetic algorithms operating on populations of computer programs. // Proceedings of the 11th International Joint Conference on Artificial Intelligence, Vol. 1. Morgan Kauffman, 1989.

82. Kumaresan N. Solution of Fuzzy Differential Equation under Generalized Differentiability by Genetic Programming / N. Kumaresan, J. Kavikumar, M. Kumudthaa, and Kuru Ratnavelu // World Academy of Science, 2011.

83. Langdon W.B. Data Structures and Genetic Programming: Genetic Programming + Data Structures = Automatic Programming. // Kluwer, Boston, 1998.

84. Montelora C. Solving the nonlinear schrodinger equation with an unsupervised neural network: Estimation of error in solution, / C. Montelora, C. Saloma // Opt. Commun., vol. 222, no. 1-6, pp. 331-339, 2003.

85. Morton K.W. Numerical Solution of Convection Diffusion Problems. // Chapman & Hall, 1996.

86. Murphy G.M. Ordinary Differential Equations and Their Solution // Princeton, NJ: VanNostrand, 1960.

87. Poli R. A field guide to genetic programming. / R Poli W Langdon N.F. McPhee. // http://www.gp-field-guide.org.uk 2008.

88. Poli R. Solving high-order boolean parity problems with smooth uniform crossover, sub-machine code GP and demes, / R. Poli, J. Page. // Genetic Programming And Evolvable Machines, 1(1/2), 37-56, 2000.

89. Press W. Numeric recipes. / W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling, B. Flannery. // Cambridge University Press, 2007.

90. Prosise J. Programming Windows with MFC 2nd Edition. // Microsoft Press, 1999.

91. Rauber T. Parallel programming for multicore and cluster systems. / T. Rauber, G. Riinger. // Springer, 2010.

92. Sanders J. CUDA by Example: An Introduction to General-Purpose GPU Programming / J. Sanders, E. Kandrot. // Addison-Wesley, 2010.

93. Scmidt M. Comparison of Tree and Graph Encodings as Function of Problem Complexity. / M. Scmidt, L. Hod. // In: Genetic and Evolutionary Computation Conference, pp. 1674-1679, 2007.

94. Tsoulos I. G. Solving differential equations with genetic programming. /1. G. Tsoulos, I. E.Lagaris. // Genet. Program Evolvable Mach, 7, 2006.

95. Wendland H. Meshless Galerkin methods using radial basis functions. // Math. Comput., vol. 68, no. 228, pp. 1521-1531, 1999.

96. Wu C.X. Approximate solutions, existence and uniqueness of the Cauchy problem of fuzzy differential equations. / С. X. Wu, S. Song, Stanley Lee. // J. Math. Anal. Appl., 202, 629-644, 1996.

97. Wu C.X. Existence theorem to the Cauchy problem of fuzzy differential equations under compactness-type conditions, / С. X. Wu, S. Song. // Inform. Sciences, 108, 123-134, 1998.1. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

98. Бураков С.В. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом генетического программирования / С.В. Бураков, Е.С. Семенкин // Журнал СФУ -"Математика и физика" Том 4, вып. 1. - 2011 - С. 61-69.

99. Бураков С.В. О решении вариационной задачи методом генетического программирования / С.В. Бураков, Е.С. Семенкин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнёваю №5 (38). - 2011. - С. 19-24.

100. Burakov, S., Semenkin E. Solving Variational and Cauchy Problems with Genetic Programming Algorithms. In: Proceedings of the 5th International Conference on Bioinspired Optimization Methods and their Applications (BIOMA'2012). Bohinj, Slovenia, 2012.

101. Бураков C.B. Алгоритм генетического программирования для приближенного аналитического решения задач вариационного исчисления. / C.B. Бураков, Е.С. Семенкин. М.: Реестр программ для ЭВМ, 2012-№ гос. per. 2012612021.

102. Бураков C.B. Алгоритм генетического программирования дляприближенного аналитического решения задачи Коши для139обыкновенных дифференциальных уравнений. / C.B. Бураков, Е.С. Семенкин. М.: Реестр программ для ЭВМ, 2012 № гос. per. 2012612022.

103. Бураков C.B. Алгоритм генетического программирования для приближенного аналитического решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. / C.B. Бураков, Е.С. Семенкин. М.: Реестр программ для ЭВМ, 2012 № гос. per. 2012612111.

104. Бураков C.B. Алгоритм генетического программирования для приближенного аналитического решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / C.B. Бураков, Е.С. Семенкин. М.: Реестр программ для ЭВМ, 2012 № гос. per. 2012612023.