Синтез управлений в системах с отклоняющимся аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шляпмна, Ольга Владиславовна

• Шляпмна, Ольга Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шляпмна, Ольга Владиславовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. УПРАВЛЕНИЕ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО

СОСТОЯНИЮ.

§ I. Синтез-уцравляемость систем с запаздыванием

§ 2. Синтез оптимальных управлений в линейных системах с запаздыванием.

§ 3. Синтезированное управление получением величины рН в абсорбционной колонне с ре' циклом.

§ 4. Формула Коши и синтез управлений для систем нейтрального типа

§ 5. Явный критерий синтез-уцравляемости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 6. Задача синтеза управлений для систем с распределенным запаздыванием

§ 7. Линейная транспортировка пучков траекторий систем с отклоняющимся аргументом

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I.

ГЛАВА 2. СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ И СМЕШАННЫМ

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ.

§ 8. Неявные условия синтез-уцравляемости систем с запаздыванием

§ 9. Явные условия синтез-управляемости систем с запаздыванием.

§ 10. Синтезированное управление со смешанным запаздыванием.

§ II. Система управления подачей сырья в химический реактор. ИЗ

- 5стр.

§ 12. Оптимальные управления типа обратной связи.

§ 13. Поточечная синтез-управляемость систем с запаздыванием.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

ЗМЖНЕБИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез управлений в системах с отклоняющимся аргументом»

Теория автоматического регулирования, представляющая одно из новых направлений современной науки, бурно развивается охватывая все более широкий круг задач и проблем. Самостоятельным разделом этого направления науки является теория управляемости.

Впервые математически строго проблема управляемости была сформулирована Р.Калманом [19] в своем докладе на I конгрессе ИФАК. С тех пор динамическую систему

X(t)=Ax(i) +CW) , Х(0)=Хо (£) где X(ir) - Y\ -вектор состояния, UCt) - X -вектор управления, А » С - заданные постоянные матрицы соответствующих размерностей, называют полностью управляемой, если для любого состояния Х0 £ Rn » существует такая кусочно-непрерывная функция ЦД) и момент времени Т > 0 » что решение системы (I) с начальным условием Х(0) = Хо под действием управления Ц = Ц0CV) в момент времени Т проходит через начало координат, т.е. Х(Т)~0 . В работах [19,61] было установлено необходимое и достаточное условие полной управляемости системы (I) в явном виде: tomcj

С;АС,.,ГСЬ. и-)

Для нестационарной линейнои системы хс^^Аадхс^+Смыс^а), x(te>xe, (з) у которой /4с-Ь) » Си) суть аналитические функции, критерий полной управляемости был получен в статье [60] , а именно полная управляемость системы (3) эквивалентна существованию такого момента t > t0 » ПРИ котором romg [QKC-t)> K=0,ta-lW, QeC-t)=Ca),

В терминах проблемы моментов необходимые и достаточные условия полной управляемости линейной нестационарной системы были сформулированы и доказаны Н.Н.Красовским \зз}. Ряд критериев управляемости для этих систем доказан Л.Е.Забелло [15"] •

Линейные системы вида (3) являются довольно частным случаем общих линейных систем. И совсем неочевидно, как результат (4) перенести на другие системы.

В 1966 году Ф.М.Кирилловой и С.ВЛураковой [22,23~\ были получены первые результаты по управляемости систем с запаздыванием. Ими рассмотрена относительная управляемость системы xct)=Axa)+Bxc-t-t)+Cuct) (б) с начальным условием Х0 О = I Х0б= ¥Сt), Н[гТ,0\ Х(0)=УД ^ где X - У\ -вектор, М - % -вектор, А » В> »С ~ постоянные матрицы соответствующих размерностей, X > о - запаздывание,Ч(±)-- непрерывная функция. Они предложили называть систему (5) отногр сительно управляемой, если можно указать такой момент 1 < ^о t что для любого начального состояния X * СО и любого наперед заданного П -вектора Xj. существует кусочно-непрерывное управление U Ct) , tctOjT], такое, что траектория X C.-t') системы (5) с начальным условием ХоО) обладает свойством: X(Y) -Х^ Критерий относительной уцравляемости системы (5) в [23] сформулирован на языке рекурентного соотношения

Q^>-A(L(ip + BQk-I(у-г), у к>л,

0лО) = С, 0лц)^О? у ФО , которое очевидным образом составляется по правой части уравнения (5). Это рекурентное соотношение было названо определяющим уравнением системы (5). Оказалось, что система (5) относительно управляема тогда и только тогда, когда lotncj \ Ь( к

По аналогии в работе \$\ был получен критерий относительной управляемости линейной стационарной системы со многими запаздываниями 0-to<Xi<'--<t^<C3°.

Далее С.В.Чураковой [49] было показано, что система xct)=Ac-t)xct)+ ВС-Ь) х Ct-TOtj)+C(f) Ц (£), t* 10, (£)

ХьСО = t6t-fce-ttt.\tcl'\, где + достаточное число раз дифференцируемые матричные функции соответствующих • размерностей, Ц'Ш £ С , относительно управляема, если ее определяющее уравнение

Qk (^ ^ L а)) = L A Ui№) Qk-I (у, <ш)+В U i Ш) * О

С?)

Оо(^С-й)невырождено, т.е. для хотя бы одного ju существует такой момент -fc* >te . что zcwcj. IQu^oi/utt*)),L=p4, ^to^coyibn, eOt)=t, eCcc-t) = CetL-iC-b^^-LC-t^^&Cet-UiC^),- функция обратная к функцииJiOfc) ="t-T(.-tV

Исследование воцроса относительной управляемости систем с отклоняющимся аргументом на основе понятия определяющего уравнения посвящены также работы [5,7,15,16].

Поскольку будущее поведение X(tj) С ^ ^-t) системы (6) зависит от значений вектора X Сер на промежутке [t-TCt\tl , то для этой системы естественно следующее определение. Состояние X о О называется полностью управляемым, если существует число

I и кусочно непрерывное управление 1Л такие, что -О, [Т-ТСТ) } Т ] . Система, в которой каждое начальное состояние полностью управляемо, называется полностью управляемой. Задача о полной управляемости линейных стационарных систем с запаздыванием рассматривалась в работах [5,9,37,38]. В общем нестационарном случае еще не найдены условия полной управляемости. введение понятий относительной и полной управляемости обусловлено спецификой дифференциальных уравнений с запаздыванием. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений эти два понятия совпадают.

Число работ в области исследования проблемы управляемости для нелинейных систем достаточно велико. Многие работы посвящены выявлению условий, при которых из управляемости системы линейного приближения следует управляемость нелинейной системы. Рассматриваются и системы с запаздыванием. Исследуются критические случаи управляемости, когда система первого приближения неуправляема. Интересный подход к проблеме управляемости нелинейных систем развивался Н.Н.Петровым [40,4l], который исходил из систем нулевого приближения. Однако пока не предложено универсальных методов исследования воцроса управляемости в теории нелинейных систем.

Кроме задач относительной и полной управляемости систем с запаздыванием существует и ряд других разнообразных задач управляемости, постановка и методы решения которых кратко описаны в обзорных статьях Р.Габасова и Ф.М.Кирилловой [б,7].

В частности, проблема Л -поточечной уцравляемости для линейных нестационарных систем с постоянным запаздыванием и с нулевыми начальными данными рассмотрена в работах [2,4Ц. Эта проблема заключается в определении условий, при которых для заданной совокупности чисел = О-Ло^оС^'" и для любых векторов CL , , l-o?m , существует момент времени Т t ^ , и управление U ОЬ) ^^[ОД1] такие, что все решения системы (6) при tOO = t > О и XoCO^XC^W), КСО)-Хо 1 обладают свойством

XCWc>CL , L = oДП.

При этом искомые условия выражены в явном виде.

В названных задачах об управлении управляющие воздействия U разыскивались в форме функций И от времени 4= , при этом начальное и конечное условия Х0 О) и XСТ) = X А предполагались заданными заранее и строго фиксированными. Подобные задачи носят название проблем программного управления. Это связано с тем, что в рассматриваемых случаях движение осуществляется по программе, диктуемой выбранным заранее вполне определенным управлением и Ofc) . Задачи программного управления составляют важный круг проблем в теории управляемых процессов. Однако во многих случаях управление по программе U C-t) не подходит, оказываясь неудовлетворительным в реальных условиях работы системы, ибо оно не учитывает дополнительные обстоятельства, которые могут возникнуть по ходу цроцесса [ЗЗ].

Так, если в системе, работающей по заранее определенной программе UC-t) » возникнут в некоторый момент -t--Ь' непредвиденные возмущения лХС-Ь') вектора состояния XCV) , то естественно, что заданная, неизменная при -t , программа

U-Cjt) поведет объект, начиная с момента ~fc , в состояние X(Т) отличное от заданного положения Xj. . В подобных случаях управление (Л должно формироваться с учетом дополнительной информации, поступающей в орган управления по ходу цроцесса. Этому условию отвечает управление по принципу обратной связи, который является краеугольным камнем в теории регулирования. Суть этого принципа состоит в следующем: в каждый момент "t воздействие Ub оцределяется на основании информации о текущем состоянии объекта в этот момент. Этот принцип управления был четко сформулирован в середине 50-х годов Ричардом Беллмалом, указавшим на его первостепенную важность: "В этом принципе заключена наиболее важная идея теории управления".

Утверждение, что описание объекта в пространстве состояний представляет собой естественную основу для постановки и решения задач управления, убедительно подтверждается следующими результатами. Главное здесь то, что в текущем состоянии системы содержится вся информация, необходимая для определения требуемого управляющего воздействия, поскольку (по определению динамической системы) будущее поведение объекта полностью оцределяется его нынешним состоянием и будущими управляющими воздействиями.

Будем полагать, что в каждый текущий момент -fc известны реализовавшиеся значения всех фазовых координат XiOt), L~1;H. Тогда управляющее воздействие, построенное по принципу обратной связи будет разыскиваться в форме U("t > X С-О) • Это уцравление обычно изображается в виде следующей структурной схемы

Другими словами, значение входного воздействия в каждый момент времени t зависит лишь от состояния системы Х(1>) в этот момент времени и от t .

Задача синтеза закона управления заключаемся в оцределении условий существования и построении управления (ЛД 1>; X C"t>)) по принципу обратной связи, переводящего заданную динамическую систему из любого начального состояния Х(0)=Хо в конечное положение ХСТ) = , Xi - заданный вектор из пространстваR*.

Систему, для которой эта задача разрешима, будем в дальнейшем называть синтез-уцравляемой на промежутке L0 ;Т] .

Следует отметить, что задачи о программном управлении составляют часто один из этапов общего решения проблемы управления с обратной связью.

Разнообразные решения задачи синтеза управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений получены в работах [20, 28-30,10,17,18}. Наиболее подробно проблема управления по принципу обратной связи для линейных систем (3) исследована В.И.Зубовым в монографии [17]. Им было доказано, что если вектор-функции, являющиеся столбцами матрицы Qct)-(Cct)F Об) » линейно независимы в любом промежутке £-t;T] » teLo;T] » то существует семейство управлений а=Н c-t) xot)+N c-f), U) при котором любое решение системы (3) Х-Х(±) будет обладать свойством: Х-Хо при "t - О и X =0 цри t =Т » где

Хо - произвольное начальное фазовое состояние, Fc.-tf) - фундаментальная матрица системы (3), удовлетворяющая следующему матричному соотношению cit

Также определены условия существования в неявной форме и аналитическое представление синтезированного управления \Х Ct; X при котором решение системы (3) удовлетворяет более общим граничным условиям типа интеграла Стилтьеса где iJtjj;- произвольная вещественная матрица, элементы которой суть функции ограниченной вариации, Ц - постоянный вектор.Кроме того рассмотрены постановки и методы решения различных задач синтеза оптимальных управлений в линейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным временем существования и в системах с ограниченным временем. В.И.Зубов исследовал и вопрос синтеза управлений с последействием, т.е. возможность построения управления в виде м и =

Ct)X(t-r) +N(t), (9) решающего двухточечную задачу для линейной системы (3).

В отличии от управления (8) синтезированное управление (9) с запаздыванием Т >0 по состоянию зависит от состояния К С -Ь -Т) системы (3) в предшествующий момент "fc-T и от текущего момента t • Управляющее воздействие (9) во многих практических случаях более удобно, чем управление (8). Это связано, во-первых, с тем, что информация о состоянии управляемого объекта может передаваться в управляющее устройство с некоторым запаздыванием V , а во-вторых, с тем, что коэффициенты Met) и N(V) в уцравлении (8) принимают неограниченные значения в момент t =Т , а следовательно возникают оцределенные трудности при практической реализации синтезированного управления (8).

Поскольку в настоящее время не существует удовлетворительной теории уцравляемости нелинейных неавтономных систем, пока невозможно сказать, какие глобальные ограничения накладываются на синтез-уцравляемость нелинейных динамических систем.

Проблема синтеза оптимального управления в линейных системах с запаздыванием и с квадратичным критерием качества была впервые рассмотрена в работе Н.Н.Красовского [3l\. Результаты этой статьи развивались и обощались многими авторами [58,59,62, 63]. В указанных работах рассматривалась задача со свободным концом на конечном и бесконечном промежутке времени. Синтез управления в них связан с решением громоздкой системы нелинейных уравнений в частных производных типа Риккати. При этом искомое синтезированное управление строится, как правило, в виде о и = M(t)x(t) + [ Rc-t^xct+^fllg +Ntt), иб) и, следовательно, формируется в момент t на основании поведения регулируемой величины на предыдущем отрезке времени 1"Ь-Т,"И и в текущий момент t .

Основываясь на результатах ранее названных работ, А.М.Родионов [44,4б][ предложил использовать интегро-дифференциальные уравнения для синтеза оптимального управления в линейной нестационарной однородной системе с постоянным запаздыванием и с квадратичным критерием качества. Этот метод расширил возможность аналитического расчета систем с запаздыванием по сравнению с традиционным методом, использующим громоздкую систему уравнений в частных производных. А.М.Родионов построил синтезированное управление в форме (Ю), переводящее систему (6) при Л^О, за время T-to либо в точку X(T) = Xt (закрепленный конец), либо положение точки Х(Т) может быть произвольным (свободный конец), так, что функционал т

J = LxT®Pot)x(-t) + aTc-t)Ea)act)]cit t. принимает наименьшее значение. Здесь Pob) - неотрицательно определенная (v\*n) матрица, h Ct) - положительно определенная (ххг) матрица - непрерывные матричные функции на [1>в Т]. А.М.Родионовым были выражены коэффициенты М (t) ,R(t;lp »NKt) в синтезированном управлении (ю) через параметры f\(i) , ^Q-t) , Cct) » P(t-) » Е(Л) системы (6) и заданного функционала а также через матричные функции Z(T,|) , \\ jf) , Y CT/fc) » удовлетворяющие некоторой системе интегро-дифференциальных уравнений. В частности, при Р(Л) =0 искомое оптимальное управление получено в виде и ш = Е ct) CT(t) LT(T;t) Q ct) i x t - L x ct) -0 где т

Qct)= \ LCT^CupE С^Сс^СсТ,^)^,

- фундаментальная матрица системы (6), TC-t) , являющаяся решением матричного уравнения

- L СТ, ^ Ас 1р ■- L ст^ +t)B CyvtT), у <т.

Из выражения (II) видно, что коэффициенты М Ct)»^^^), Nit) в форме (ю) неограничены цри . Нельзя, однако,игнорировать трудности, связанные с существованием неограниченных элементов.

Заканчивая обзорную часть введения, следует отметить, что управление системами с запаздыванием представляет собой большой интерес, так как в большинстве производственных процессов существуют запаздывания, которыми нельзя пренебречь, ибо их влияние на динамику процесса довольно велико. Многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, биологии и т.д. описываются дифференциальными уравнениями с запаздыванием [12-14,27,35,42,43,58,62]. Интерес к дифференциальным уравнениям с запаздыванием растет вместе с ростом потребностей практики. Хотя отдельные задачи теории систем с отклоняющимся аргументом изучались еще в 19 веке, однако до сих пор теория управления системами с запаздыванием богата нерешенными задачами и проблемами.

Данная работа посвящена развитию теории управляемости по принципу обратной связи для систем с отклоняющимся аргументом.

Основной целью исследований, результаты которых приводятся в диссертации, являлось получение достаточных условий существования и аналитического представления семейств синтезированных управлений с запаздываниями по состоянию разного рода, решающих для линейных систем с отклоняющимся аргументом двухточечную задачу и граничные задачи более общего вида на конечном промежутке времени, а таете выделение из наиденных семейств оптимальных управлений, минимизирующих заданный функционал качества т о

В диссертации предпринята попытка общего подхода к исследованию синтез-управляемости линейных систем с отклоняющимся аргументом. Основными элементами предлагаемого подхода являются использование свойств фундаментальной матрицы Коши линейных систем ^1,7], метода исследований синтез-управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений [l7,I8l и понятие определяющего уравнения, введенного в ^3,23,49"].

В работе также уделяется большое внимание приложению полученных результатов к исследованию возможности управления по принципу обратной связи конкретными динамическими системами с запаздывающим аргументом.

Весь материал диссертации разделен на две главы ^

В первой главе решены 4 задачи построения синтезированных управлений с сосредоточенным переменным запаздыванием ^ (1?) ^ d С^О,00), , в следующей форме

О >t<t; где t .

В § I для линейных и квазилинейных систем с переменными запаздываниями xct) + BiC^X(t-XcCid +

L—i C(t)uct) * <f(t) + G(t;X, U4) оцределены условия, при которых синтезированное управление вида (13) переводит любое решение заданной системы с начальным условием ХоО = {т)=т), -и t-tco),o), хсо)=\ , где

H'Ct) - фиксированная вектор-функция из множества Cl-T(0),0), tCO) = vtqo(x ti.C.0) ? из любой точки пространства в начало координат за время [о,Т]. При этом в линейном случае найдены формулы для коэффициентов t^Ct) и , не зависящие от начальной точки Х0 , в искомом управлении (13). Здесь же рассмотрена возможность управления по принципу обратной связи системой (14) при ju -О так, чтобы любое ее решение XC"V) при заданном начальном состоянии ХоС-") , Х0 - любой W -вектор, удовлетворяло граничному условию типа интеграла Стилтьеса т являющегося обобщением условий S i > i где t="b0 ^t^-'-^tK^T , S^ ; ~ зад5™6 постоянные матрицы.

В § 2 из построенного семейства синтезированных управлений (13), решающего двухточечную задачу для системы (14) при = О и зависящего от некоторой произвольной вектор-функции V (V) , выделено оптимальное управление по отношению к минимизации функционала качества (12).

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений эти задачи были решены В.И.Зубовым.

При проверке условий существования и построения синтезированных управлений (13), решающих сформулированные задачи, были использованы коэффициенты, граничные условия и фундаментальная матрица исходной системы (14), J^-О , которая определяется следующими соотношениями

Ъ L(t^) . где oCc (» - Функция, обратная к фикции (Л-Тс(Л)) , Поэтому в данном параграфе для системы (14) ,ум - О , в случае К -1 предложен алгоритм определения фундаментальной матрицы L(T,lp , при условии, что известна фундаментальная матрица ЦСТ; соответствующей линейной системы x(-t) = A(t)x(t) us) и выполняются следующие неравенства: t1Cj&LCT^)>0, I = ОД - i где j^Ct) j3i.Ci) ^(jSi-itt)), U 1,2 t - такое натуральное число, что j6e CV) ^ 0 ^цСТ) . Аналитические и численные методы построения фундаментальной матрицы линейной стационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в работах [36,47,56^. В монографии Ф.чаки [48] предложено три способа вычисления фундаментальной матрицы для нестационарной линейной системы (15).

В § 3 на основе результатов § 1,2 построено синтезированное управление с сосредоточением запаздывания по состоянию в виде (13), которое решает двухточечную задачу для линейного стационарного уравнения с постоянным запаздыванием, представляющего математическую модель. объекта получения гидроксиламищшсуль-фаната рН в насадочно абсорбционной колонне с рециклом [34,58] и минимизирует функционал 2

J = \ и,Ч1>)с1ъ . о

В § 4 для линейной нестационарной системы нейтрального типа

XCb) =A(t)XCb) biCt)XC-b-tLU))-v найдено представление решения в форме Коши. Частным случаем полученного представления является формула Коши для решения соответствующей стационарной линейной системы нейтрального типа, выведенная в статье В.Б.Колмановского [25~\.

Следует отметить, что существует довольно много различных интегральных представлений для решений систем с отклоняющимся аргументом 25,27,39}. Все они отличаются способами построения, а именно определяющими соотношениями для фундаментальной матрицы исходной системы. В работе выведены и использованы наиболее удобные интегральные представления решений линейных систем с отклоняющимся аргументом для исследования вопросов синтез-управляемости.

В этом же параграфе для исходной системы (16) решены задачи осуществления управления по принципу обратной связи, поставленные и рассмотренные для линейных систем с запаздыванием в §§ 1,2 , и приведен иллюстрирующий пример.

§ 5 посвящен выводу явных условий существования синтезированного управления вида (13), переводящего любую нестационарную систему обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений из любой точки Х(0}=Хо в точку ХСТ) = 0 • Доказано, что если существует такое целое неотрицательное число N '• гошд ^0(Т)Д(.Т),.,СЦТ)ЬП, где * то синтезированным уцравлением вида (13) можно осуществить перевод системы (3) из точки в точку» где A(V) » CC"t) , <f("t) -заданные при *t >0 , вещественные, непрерывные и достаточное число раз непрерывно-дифференцируемые матричные функции. Это утверждение использовано для рассмотрения разрешимости задачи распределения капиталовложении по отраслям согласно плану. В § 6 рассмотрена линейная система с последействием

X(t)=A(t)X(t) + \ +(?Ci)UCi>) + 0 где tC±) p/vCtH^Co^) :

Для решения этой системы построена формула Коши, которая является обобщением выражения, найденного в [7,§ б] для решения системы (17) при rc-t)=t>0, =

Используя построенную формулу Коши, для системы (17) продолжено исследование возможности решения двухточечной задачи и задачи с граничными условиями типа интеграла Стилтьеса уцравлением вида (13). Кроме того, найдено аналитическое представление оптимального управления (13), минимизирующего функционал (12) на решениях системы (17).

В § 7 даны постановка и решение задачи линейной транспортировки уцравлением вида (13) пучков траекторий всех рассмотренных ранее линейных систем с отклоняющимся аргументом (14),(16),(Г?) из ограниченного множества Qa в множество G± , имеющее внутренние точки. В монографии В.И.Зубова ]j8"] эта задача решена для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений при ^ С i>) = О .На основании выведенных результатов для уравнения получения щцроксиламиндисульфаната в насадочно-абсорбци-онной колонне с рециклом осуществлена линейная транспортировка пучка траекторий, заполняющего в начальный момент -t -О промежуток [0,1] в промежуток LO ? i 7 -bfiV 1 за время \0,2\.

Вторая глава посвящена выводу неявных и явных условий, достаточных для разрешимости задач линейной транспортировки всех траекторий систем с запаздыванием из любого начального состояния Х о СО в одну или несколько точек за конечное время с помощью синтезированных управлений с распределенным запаздыванием и со смешанным запаздыванием по состоянию. Под синтезированным управлением со смешанным запаздыванием по состоянию для системы (6) здесь понимается управление, зависящее в момент времени "t как от поведения объекта в предшествующий момент "t , так и от поведения объекта на предыдущем промежутке (t (i) , "t ("tj) ? т.е. управление, в котором присутствует как сосредоточенное, так и распределенное запаздывание по состоянию. Под явными условиями понимаются условия, зависящие только от коэффициентов системы, а под неявными - условия, выраженные как через параметры, так и через фундаментальную матрицу системы.

В § 8 определены неявные условия существования и аналитическое представление управлений, построенных по принципу обратной связи в форме t a = M(t>)X(1d+£ \ Ric^^x^ola+Nci), ш)

Li -t-tttt) ООО и переводящих все траектории системы (14), JU -О, из любого начального состояния Х0 СО в конечное положение ХСТ)~ Xi 5 где Xi - произвольно заданный Л -вектор. При этом был использован метод построения синтезированного управления (8), которое решает двухточечную задачу для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [17].

В § 9 для линейных нестационарных систем с переменным запаздыванием продолжено получение условий разрешимости этой задачи в явной форме, которая практически более удобна для проверки, чем неявная. Основные результаты опирались на понятие решения определяющего уравнения (?) системы

X(t) = Aa)XCi>)+B(i)X(i-XCt))+C(i)aCi>H|Ci). (49)

В § 10 введено понятие невырожденной на промежутке Lti^l системы с запаздыванием. А именно, система (18), имеющая неособую фундаментальную матрицу Lc^t) для всех \ из промежутка Lti^til , называется невырожденной на промежутке Lti;til. Доказано, что если можно указать такое целое число £ О , что где Gr= l»^: ^NIjQl^TXc-^Eрешение уравнения (7), и система (19) не вырождена на промежутке , то существует синтезированное управление со смешанным запаздыванием по состоянию вида

•b-^C-fc) u - с-йха-^t)) * \ RCt>LpXCy)dу +N(t), tН переводящее любое решение системы (19) с произвольным начальным условием Х0С) в точку ХСТ) = ХА за время [о,т\. В отличии

Г(№( от синтезированного управления типа (18), матричные коэффициенты Met-) » Net) » управления (20) не принимают неограниченного значения на всем промежутке Lt,T3 . Таким образом, управление со смешанным запаздыванием по состоянию (20) практически более реализуемо, чем управление с распределенным запаздыванием (18).

В § II результаты § 10 применены при исследовании возможности перевода системы управления подачей сырья в химический реактор [58,62] из любого начального состояния Х0 СО в конечное положение Х(Т) - Xi синтезированным управлением вида (20) для ^(t) - 1 , Т - £ . Линеаризованная система уравнений,описывающая динамику цроцессов в химическом реакторе, представляет собой линейную стационарную однородную систему с запаздыванием t - 1 четвертого порядка.

В § 12 из всего семейства управлений вида (20), решающих двухточечную задачу для системы (19), выделено оптимальное управление, доставляющее функционалу (12) наименьшее значение.

В последнем параграфе введено определение оС -поточечно синтез-управляемости системы с переменным залаздвванием. А именно, система (19) называется oL -поточечно-синтез-управляемой, если для заданной совокупности чисел = Ыо,cdt, ** ^ О , любых векторов p^R^ l-Q^m и фиксированного момента времени Т ? (o(v*;oo) , существует синтезированное управление IXCt--^)) , при котором любое решение системы (19) с произвольным начальным условием X о С-) обладает свойством: X CT+oCi4)~ |pL, W = 0У Иа.

Рассмотрено два случая: I) ^ € Col ,Т) у ol = max СoL„} ol^ J тил Ul+ЫС) tO, (cLi-JLi-X\. В первом

L-O, Wl-i 'О ' > J случае для системы (6) при tC.V> = t •> О доказано, что если эта система невырождена на промежутках L^+^T^lI и для решений соответствующего ей определяющего уравнения (7) существует такое целое число t z- О , что где ju^Е|/г1 , | - minCT-^^) » то система (6),

0, оС -поточечно синтез-управляема. Во втором случае вывод явных условий di -поточечной синтез-уцравляемости системы (19) построен исходя из определения синтезированного управления, решающего двухточечную задачу для системы (19) на каждом промежутке LT+o6i-i Д "Ы-Л > l -0,т » последовательно, где^-Т. Используя полученные теоремы, проиллюстрирована разрешимость задачи об -поточечной синтез-уцравляемости для рассмотренной в § II системы управления подачей сырья в химический реактор I) при ^Cfc)' =3,5 , Т = 4 , сl = и 2) при ^ =

T=i, об = (0,1,2)

Основные идеи диссертации могут быть использованы в задачах исследования разного рода вопросов существования и построения управления по принципу обратной связи объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом.

В диссертации используются традиционные обозначения и символы. Главы, параграфы и теоремы нумеруются по порядку. Формулы, примеры, определения и рисунки в главах имеют двойную нумерацию, цри которой первая цифра означает номер параграфа, а вторая -номер формулы, примера, определения или рисунка в параграфе соответственно. В работе используется векторно-матричная запись. Векторы (размерность указывается при их введении) мыслятся всюду записанными в виде столбцов. Для обозначения операции транспонирования используется символ туры. Производная по времени обозначается двояким образом: , X(t) . Символ tcmg, как обычно, означает ранг. Запись { Хк К \ означает матрипу { XXa-j) ••• ;> Xw^ t составленную из элементов Ха> X* > как из столбцов. Единичная диагональная (.Kixft) матрица обозначается Е ^ . Множество функций, непрерывно дифференцируемых вместе со своей К - производной на промежутке Lti, t^] , обозначается через С * ["t^ "Ъа.1 , а множество n-мерных векторных функций, элементы которых суть функции, интегрируемые вместе со своими квадратами на промежутке L t^l, -через LCk;«- ^У1®3™ N и 1 обозначаются множество натуральных и множество целых чисел соответственно. Запись 1/ia означает последовательность чисел 1,2П.

Ссылки на цитируемую литературу даются в квадратных скобках. Литература вынесена в конец диссертации и составлена в алфавитном порядке.

По материалам диссертации сделаны доклады на научно-технической конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" (Пермь, 1982,1983), на конференции молодых ученых БГУ им.Б.И.Ленина (шнек, 1983), на объединенном семинаре по проблемам оптимального управления Института Математики АН БССР и Белгосунивер-ситета (Минск, 1983), на ежегодной конференции молодых ученых факультета ПМ-ПУ ЛГУ им.А.А.Панова (Ленинград, 1982-1984), и на семинаре кафедры теоретической кибернетики математико-механическо-го факультета ЛГУ им.А.А.Жданова (Ленинград, 1984). Работа неоднократно обсуждалась на городском семинаре "Дифференциальные уравнения и математическая физика" при ЛГПИ им.А.И.Герцена (1982-1984) и на семинаре кафедры высшей математики факультета ПМ-ПУ ЛГУ им. А.А.Еданова (1982-1984).

Основные результаты диссертации содержатся в работах [50-55"].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Шляпмна, Ольга Владиславовна

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2

1. Рассмотрена задача построения и определения условий существования синтезированного управления с распределенным запаздыванием по состоянию t переводящего линейную нестационарную систему Н -порядка с переменными запаздываниями из .: любого начального состояния ХоСО ={.XCi) =4)CtVi>e[-mcoctLCoYO\XCO>X0'l в конечное i-AjK J

ХСТ) = Xi , где Xi - произвольно заданный вектор из ^ -мерного Евклидова пространства.

2. Полученные достаточные условия существования синтезированного управления с распределенным запаздыванием по состоянию, решающего двухточечную задачу для линейных систем с запаздываниями (теорема 12), значительно проще условий существования синтезированного управления с сосредоточенным запаздыванием по состоянию (теорема I). Это дало возможность определить явные условия разрешимости задачи перевода линейной нестационарной системы с переменным запаздыванием из любого состояния в положение ХСТ)= Xi с помощью синтезированного управления с распределенным запаздыванием по состоянию.

3. Найденные явные условия позволяют по коэффициентам невырожденных на LO/YI систем судить о их синтез-управляемости.

4. Предложено управление типа обратной связи со смешанным запаздыванием по состоянию вида

М (й х Ct-y 06) * J Яс^лхсаш+N ф} t * t

1Л g *

О > с помощью которого линейная нестационарная система с переменным запаздыванием переводится из любого положения ХоС") в ХСТ) = Xi. . Для синтезированных управлений со смешанным запаздыванием по состоянию во всей области их действия [-ЦТ1 матричные коэффициенты \\(S) , ^CV,^) » N (Л) ограничены и, следовательно, они более практически реализуемы, чем управления с распределенным запаздыванием по состоянию, коэффициенты которых в момент i-Т принимают неограниченные значения.

5. Все коэффициенты построенных в главе П управлений по принципу обратной связи не зависят как от начальной точки так и от начальной функции , Ь L-tC.0) у О) , т.е. инвариантны относительно начального условия У. о СО . Таким образом, синтезированные управления с распределенным или смешанным запаздыванием по состоянию осуществляют перевод всех траекторий системы в точку X — Xi за конечное время t-0/Г^. Рассмотренные в главе I синтезированные управления с сосредоточенным запаздыванием по состоянию имеют коэффициенты, инвариантные относительно начального состояния Хо системы в момент j? = О , но зависящие от начальной функции

6. Условия существования синтезированного управления со смешанным запаздыванием найдены как в явной, так и в неявной формах. Эти условия являются более слабыми по сравнению с условиями существования синтезированного управления с распределенным запаздыванием.

7. На основании того, что указанные семейства управлений построены в зависимости от некоторой произвольной вектор-функции

V CV) , удовлетворяющей определенным условиям ортогональности, рассматривалась задача выбора оптимального уцравления по принципу обратной связи. Дано представление оптимального синтезированного управления, переводящего линейную нестационарную систему с запаздыванием (10.I) из любого начального состояния ХоС-) в точку XCT) = Xi и доставляющего наименьшее возможное значение функционалу

At С\>) x c-6 + CI ($) a <л) + u7( i} u, с t)) d t.

Это представление при у Ci) - О; t ($=t >0 тождественно совпадает с полученным А.М.Родионовым 44,45 выражением для оптимального управления, переводящего линейную нестационарную однородную систему с запаздыванием V- >0 за время в точку X СТ) = Х± и минимизирующего функционал т

Cf= \ HTCtW-b")clt. о

8. Поставлена и исследована задача <L -поточечно синтез-управляемости, а именно определены достаточные явные условия существования синтезированного управления со смешанным запаздыванием по состоянию, при котором любое решение линейной нестационарной системы с запаздыванием обладает свойством

XCT-^uV > L -О; м^ где d. L L" О, . ~ заданные вещественные числа, 0 ^oL0 <o[L< < • • j pu у l~0, i/w; - произвольные вектора из V\ -мерного Евклидова пространства. При этом найдены конкретные формулы для определения синтезированного управления, решающего данную зада чу, через параметры и фундаментальную матрицу системы.

9. В качестве примера, отражающего результаты проведенных в этой главе исследований, рассмотрена система управления (II.2) подачей сырья в химический реактор. Для нее рассмотрен вопрос разрешимости задачи синтез-управляемости при ^("V)^! >Т = и показана справедливость выполнения достаточных условий для tk--поточечной синтез-управляемости при d-(.0j = 0,5 ?

Т= 1 и при ^CtV-3,5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе для систем с отклоняющимся аргументом рассмотрены условия существования и процедура построения синтезированных управлений трех видов:

1. синтезированные управления с сосредоточенным запаздыванием по состоянию, зависящие в каждый момент времени %> от состояния заданной системы в предшествующий момент времени t-^C't) и от текущего момента \ ;

2. синтезированные управления с распределенным запаздыванием по состоянию, формирующиеся в момент на основании поведения регулируемой величины на предыдущем отрезке времени и в текущий момент "t ;

3. синтезированные управления с,о: смешанным запаздыванием по состоянию, зависящие в момент "t как от состояния объекта в предшествующий момент времени ct-yoe) так и от поведения объекта на предыдущем промежутке времени L"t-^i; "t^ yiCi^C^ + 'tC-fc-^).

Получены достаточные условия существования и представление семейств управлений вида I, решающих двухточечную задачу, граничную задачу типа интеграла Стилтьеса и задачу линейной транспортировки пучка траекторий линейных систем с переменным, распределенным запаздыванием, а также систем нейтрального типа на конечном интервале времени £ 0;Т .

При этом для решений линейной нестационарной системы с распределенным переменным запаздыванием и линейной нестационарной системы нейтрального типа построены формулы Коши, которые являются обобщением выражений, найденных в работах £7,25*1 для решений этих систем в стационарном случае постоянного запаздывания.

Описан алгоритм построения фундаментальной матрицы линейной нестационарной системы с переменным запаздыванием при использовании фундаментальной матрицы соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выведены явные условия синтез-управляемости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые выражены только через коэффициенты системы и тем самым очень удобны для практической проверки.

Предложено решение проблемы синтеза управлений вида 2,3. Определены неявные и явные достаточные условия возможности осуществления перевода всех траекторий линейной нестационарной системы с переменным запаздыванием в одну или несколько заданных точек.

Из всех построенных семейств управлений по принципу обратной связи Еида 1,2,3, решающих перечисленные проблемы синтеза на промежутке [0,Т1 , выделены оптимальные управления, доставляющие заданному на функционалу качества наименьшие возможные значения.

На основании изложенных результатов для уравнения получения гидроксиламивдисульфаната рН в насадочно абсорбционной колонне с рециклом найдена конструкция синтезированных управлений, решающих как двухточечную задачу, так и задачу линейной транспортировки пучка траекторий из симплекса в симплекс на интервале [0,2] и доставляющих одновременно наименьшее возможное значение квадратичному функционалу качества.

Изучен вопрос разрешимости двух- и четырех- точечных задач синтезированными управлениями вида 2,3 для системы управления подачей сырья в химический реактор, которая описывается линейной стационарной системой с постоянным запаздыванием четвертого порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шляпмна, Ольга Владиславовна, 1984 год

1. Беллман Р.,Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.,1967.«548с. 2. By Куок Хань.Поточечная управляемость линейных нестационар- ных систем с запаздыванием.ВИНИТИ, 1929«78 Деп.-30.5.1978.

3. Габасов Р. ,Забелло Л.Е. .Кириллова Ф.М. Управляемость линейных нестационарных систем. ДАН СССР, 1975,т.225,№ 5,с,1035'^ 1037".

4. Габасов Р. ,Забелло Л.Е.,Кириллова Ф.М.,Марченко В.М. Проб« лемы управления системами с последействием. Устойчивость движения. Аналит.мех.Управление движением,М.,I98I,c.I37«I56.

5. Габасов Р. ,Кцриллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов.М. ,1971.-5080.

6. Габасов Р. ,Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов. Автоматика и телемеханика, 1972,J& 9, с.31-63.

7. Габасов Р.Ф. ,Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск,1973.-248с.

8. Габасов Р.,Кириллова Ф.М. Математическая теория оптимального управления. Итоги науки и техники.Математический анализ, 1979,т.16,с.55«в0.

9. Габасов Р. ,Чуракова С В . К теории управляемости линейных систем с запаздыванием.Изв.АН СССР,Техническая кибернетика, 1969,16 4,0.17-28.

10. Гальперин Е.А. Синтез линейных управлений в стационарной линейной системе. Изв.АН СССР, Техническая кибернетика,1968, № 4,0.130-136.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.М.,1953.-491с.

12. Гликман Б.Ф. Автоматическое рехулирование гкидкостных ракетных двигателей.М.,1974.-396с.

13. Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М. ,1977.-296с.

14. Гурецгши X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием.. М ., 1974 . -328с .

15. Забелло Л.Е. К вопросу управляемости нестационарных систем. I .Изв. вузов,Математика, 1976 ,Ji' 12, с. 30-37. о

16. Забелло Л.Е. К вопросу управляемости нестационарных систем. П.Изв.вузов,Математика,1977,1^ 2,с.27-36.

17. Зубов В.И. Лекции по теории управления.М.,1975.-496с.

18. Зубов В.И. Динамика управляемых систем.М. ,1982.-285с.

19. Калглан Р.Е. Об общей теории систем управления.Труды I мел^ дународного конгресса ИФАК по автоматическовлу управлению. M.,I96I,T.2,c.52I-548.

20. Калман Р. ,Фалб П.,Арбиб М. Очеркл по математической теории систем.М.,1971.-4000.

21. Квакернаак X.,Сиван Р. Линейше оптимальные системы управле- ния.М.,1977.-6500.

22. Кирьянен А.И. Устойчивость решений дифференциальных урав- нени11 с отклоняющимся аргументом.М., 1983.-102с. А^Л

23. Колмановскии В.Б. Оптшлальное уцравление системами с запаздыванием выбором начальных условий.Г1ММ,1970,т.30,вып.5, с.827-835.

24. Колмановскии В.Б. Представление решений уравнений нейтрального типа.Украинский математический журнал, 1972,т.24,J^ 2, C.I7I-I78.

25. Колмановскии Б.Б.,Носов В.Р. Устойчивость и периодические решшы регулируемых систем с последействием.!. ,1981.-448с.

26. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости.Матем.сб. ,ВЛ. ,1979, т.109(151),J^ 4(8),с.582-606.

27. Коробов В.И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости. ДАН СССР, 1979,т.248,J»^ 5,0.1051-1056.

28. Коробов В.И. Решение задачи синтеза в дифференциалышх играх с помощью функции управляемости.ДАН СССР, 1982,т.266, J^^ 2,0.269-274.

29. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени.ШМ, 1962,т.26,с.39-51.

30. Красовский Н.Н. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием. Труды П мехздународного конгресса ИФАК по автоматическому уцравлению.Оптимальные системы.Статистические методы.М. ,1965,0.201-210.

31. Красовский Н.Н. Теория управления'движением.М., 1968.-476с.

32. Мазуров В.М. ,Малов Д.И. ,Саломыков В.И. Система автоматического регулирования величины рН в абсорбционной колонне с рециклом.ХиГуШческая промышленность, 1974,)Г^ 4,с.303-306.

33. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии.М.Д980, -2640.

34. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения.Минск,1976.-368с. 37. №нюк А. К теории полной управляемости линейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.Дифференциальные уравнения,I97I,т.7,№ 7,c.II92-II99.

35. Штыюк А. О полной управляемости линейных систем с запаз-. дыванием.Дифферешитальные уравнения, 1972,т.8,i^ 2,с.254-260.

36. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.М. ,1972.-3520.

37. Петров Н.Н. Об уцравляемости автономных систем.Дифференци- альные уравнения,1968,т.4,Je 4,с.606-617.

38. Петров Н.Н. Решение одной задачи теории управляемости.Дифь ференциальные уравнения, 1969,т.5,J^ 5,0.962-964.

39. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, М. ,1961.-2480.

40. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием.М.,1983.-360с.

41. Родионов,A.M. Применение интегро-дифференщальных уравнений в задаче синтеза линейных оптимальных систем с запаздыванием. Дифференциальные уравнения,1979,т.15,1' 6,с.1106-III2.

42. Родионов A.M. Метод синтеза линейных оптимальных систем с запаздыванием.Изв.АН СССР,Техническая кибернетика, 1982, 1^ 3,с.П-16.

43. Солодов А.В.,Солодова Е.А. Систеилы с переменным запаздыванием. М. ,1980.-384с.

44. Холл Лж. и Уатт Лж. Современные численные методы решенияЕ обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1979.-312 с.

45. Чаки Ф, Современная теория управления. М., I975.-424 с,

46. Чуракова С,В. Об относительной управляемости линейных систем с переменным и распределенным запаздыванием.Дифференциальные уравнения, 1969,т.5,№ б, с.10б8*»1075.

47. Шаляпина 0.6. Синтезированное управление системами с запаздыванием. ВШИТЙ,4690«83 Деп.-26.8.1983. 48. Шаляпина О.В. Явный критерий синтез-управляемости линейных систем.ВШИТИ,4707-83 Деп.-2б.8.1983.

49. Шаляпина О.В, Линейнаж транспортировка пучков траекторий систем с запаздыванием.Вестник ЛГУ,1983,вып.4,№19,с.118-120.

50. Шаляпина О.В. Задачи синтеза управлений для систем с запаздыванием. ВИНИТИ, 6878-83 Деп.-20.12.1983.

51. Шаляпина О.В. Синтез управлений и формула Коши для линейных систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа.Вестник ЛГУ,1984, вып.I,» 1,0.120-123.

52. Шаляпина О.В. Синтез управлений линейных .систем с запазды- ванием.Вестник Л1У,1984,вып.2,11 7, C.I2I-I24.

53. Эльсгольц Л.Э, Дифференциальные уравнения.М.,1957.-272с.

54. Эльсгольц Л.Э,,Норкин Б, Введение в теорию дифференци-, альных уравнений с отклоняющимся аргументом.М.,1971.-29бс.

55. Якушевекий Р.Т. Управление объектами с запаздыванием.М., I978.-4I6C.