Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Бештоков, Мурат Хамидбиевич

• Бештоков, Мурат Хамидбиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бештоков, Мурат Хамидбиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Метод функции Римана и априорные оценки для решения краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с нелокальным краевым-условием

§1.1. Метод функции Римана для решения краевых задач.

1.1.1. Постановка нелокальных краевых задач.

1.1.2. Доказательство существования и единственности регулярных решений нелокальных задач методом функции Римана.

§1.2. Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида.

ГЛАВА 2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с нелокальным условием

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Доказательство существования и единственности регулярного решения задачи методом функции Римана.

§2.3. Априорная оценка в дифференциальной форме.

§2.4. Сходимость итерационного процесса.

§2.5. Построение разностной схемы.

§2.6. Погрешность аппроксимации.

§2.7. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

ГЛАВА 3. Краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

§3.1. Первая начально-краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.1.3. Построение разностной схемы.

3.1.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

3.1.5. Устойчивость векторных аддитивных схем для уравнения влаго-переноса.

§3.2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.2.3. Построение разностной схемы.

3.2.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

§3.3. Краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области с нелокальным условием

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.3.3. Сходимость итерационного процесса.

3.3.4. Построение разностной схемы.

3.3.5. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка»

Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют уравнения третьего и более высоких порядков. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопе-репоса в почвогрунтах приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка [5,9,68,73-76,80,81]. Поэтому изучение краевых задач для уравнений третьего и высокого порядков привлекали внимание многих исследователей [8,10-12,19,26-31,37,38.41,42,46,52,60,61,71,76,77,80-90].

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач по краевым условиям и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы J.R.Canon [86], Камынина Л.И. [25] и Чудновского А.Ф. [71,72]. Современное естествознание, в основном физические приложения. потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечается в работе В.А.Стеклова [64].

Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная диссертационная работа. Заметим, что из физических соображений условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом моделировании в тех случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем процессе на границе области его протекания с помощью непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины (см. например, [71]). Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы, при изучении движения почвенной влаги в капиллярно-пористых средах. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье А.А. Самарский [56] и приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач.

Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах [7,10—18,20—29,36,39—42, 44,45,47-51,62,69,70,77-79]

В настоящее время весьма активно изучаются и вызывают большой практический и теоретический интерес исследования локальных и нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений из-за того, что прикладные задачи физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах Шханукова М.Х. [73—77]. В одной из его работ [73] построен аналог функции Римана для уравнения

L(u) = urxt + d(x, t)ut + 7](х, + а(х, t)uT + Ъ(х, t)u = -q(x, t) (0.1) с достаточно гладкими коэффициентами. С помощью метода функции Римана решена задача Гурса, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи. Отметим, что в данной диссертаций используется этот метод для решения нелокальных краевых задач.

Методу Римана для псевдопараболических уравнений также посвящены работы [10-12.19,26,28,37,38,52,60].

А.М.Нахушев [43—46| указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [14,15] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

Нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка также были рассмотрены в работах [26—29,41,42,75], а в работе [62] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского.

Теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальным условием посвящены работы Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, А.В. Гулина и В.А. Морозовой, Д.М. Довле-това, B.J1. Макарова, А.Ю. Мокина, В.А. Ионкина и Н. Зидова и др.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами и разработке разностных методов их решения. Отдельно рассмотрены случаи одномерных и многомерных нелокальных краевых задач. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях нслокаль-ность по времени, впервые изученный А.И. Кожановым [29]. В его работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения

Lv{v) = щ ~ ихх - vuxxt + с{х, t)u = q(x, t) удовлетворяющее условиям u(0, t) = cx(t)u( 1, t) + h(t, т)и( 1, r)dr, 0 < t < T, о х(М) = о, о<t<T, u(x, 0) = щ(х), 0 < x < 1.

Заметим, что данное уравнение при и > 0 есть уравнение Аллера, при v = 0 — уравнение теплопроводности. Подобные задачи встречаются при изучении обратных задач, а также при изз^чении физических процессов с учетом эффекта памяти.

Общая методика исследования. В работе используется метод функции Римана для гиперболических уравнений третьего порядка, теория интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, метод априорных оценок в дифференциальной и разностной трактовках.

Научная новизна. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами как в одномерном; так и в многомерном случаях. Для рассматриваемых краевых задач построены разностные схемы, получены априорные оценки, откуда следует устойчивость, а также сходимость разностных схем. Для первой краевой задачи для псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами в многомерной области построены векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации, доказана устойчивость разностных схем по начальным данным и правой части.

Практическая и теоретическая значимость. Несмотря на то, что диссертационная работа носит в основном теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию, могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для псевдопараболических уравнений, а также для решения прикладных задач, описывающих процессы водно-солевого режима почвогрунтов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 160 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бештоков, Мурат Хамидбиевич, 2009 год

1. Абрашин В.И. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1990. Т. 26. №2. С. 314-323.

2. Абрашин В.Н., Вабишевич П.Н. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1998. Т.34. С. 1666-1674.

3. Абрашина Жадасва М.Г., Романова Н.С. Многокомпонентные векторные схемы расщепления для решения многомерных задач математической физики // ДУ. 2006. Т. 42, №7.С. 883-894.

4. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. т. С. 1218-1231.

5. Ахаев С. С., Гусейнов О.М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка. // —Азерб. унив-т. Баку. 1983. —9 с.

6. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1982. -336 с.

7. Бицадзе А.В. К теории нелокальных краевых задач, j j ДАН СССР. 1984. Т.277. Ж. С. 17-19.

8. Бицадзе Л.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР. 1969. Т.185. №4. С. 739-740.

9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. —М.: Наука. 1990. -432 с.

10. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Нахуше-ва для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса. // ДУ. 1982. Т.18. Ш. С. 280-285.

11. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М.Нахушева.//ДУ. 1983. Т.19. №1. С.163-166.

12. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. // Сборник научных трудов (межведомственный) "САПР и АСПР в Мелиорации". -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 74-80.

13. Гайсина Л.Р. Нелокальная задача с интегральным условием. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. —Самара: Изд. СамГТУ. 2004. С. 54-56.

14. Гордезаани Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ. -Тбилиси. 1981.

15. Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи. // ДУ. 2001. Т.37. №7. С. 926-932.

16. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения теплопроводности. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 99 -101.

17. Довлетов Д.М. О нелокальной краевой задаче первого рода в дифференциальной и в разностной трактовках. // ДУ. 1989. Т.25. j\r-8. С. 12971307.

18. Жегалов В.И. Миронов А.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. // —Казань.: Изд. Казанское математическое общество. 2001. —226 с.

19. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. // ДУ. 1988. Т.24. №5. С. 795-804.

20. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. // ДУ. 1977. Т.13. №2. С. 294-304.

21. Ионкин Н.И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи. //Актуальные вопросы прикладной математики. —М.: Изд-во МГУ 1989. —240 с.

22. Ионкин Н.И., Зидов И. Устойчивость в С разностных схем для одной неклассической задачи. // Вест. Моск. ун-та. Сер.15. Выч. матем. и ки-берн. 1982. Ш. С. 8-16.

23. Ионкин И.И., Моисеев Т.И. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями. // Доклады РАН. Математика. 2005. Т.400. №5. С. 592-595.

24. Камынин Л.А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. №6. С. 1006-1024.

25. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения. // ДУ.

26. Кирсанова Ж. Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 31-37.

27. Кожлтов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. // ДУ. 2004. Т.40. т. С. 763-774.

28. Ко'жанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДАН СССР. 1979. Т.249. №3. С. 536-540.

29. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДУ. 1980. Т. 16. т. С. 86-92.

30. Кошляков Н. С. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. —М.: Физматгиз. 1962. —767 с.

31. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. —М.: Наука. 1975. —304 с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир. 1964. —632с.

33. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. —М.: Наука. 1973. -407 с.

34. Макаров В.Л. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. // Численные методы и приложения 84. София, 1985. С. 82-90.

35. Макеев В.И. Построение функций Римапа для дифференциальных уравнений третьего порядка и их применение. // Труды тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2003. Ч.З. С. 114-117.

36. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве. // Изв. Вузов. Математика. 1999. №7. С. 78-80.

37. Митрополъский Ю.А., Шхануков М.Х., Березовский А.А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения, j j Укр. мат. журнал. 1995. Т.47. т. С. 790-801.

38. Мокин А.Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. // ДУ. 2006. Т.42. №7. С. 969-978.

39. Напсо А.Ф. Задача с внутренними условиями для псевдоиараболическо-го уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2001. Т.З. №4. С. 36-39.

40. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 44-49.

41. Haxyuiee A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа. 1995. -301 с.

42. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т.242. №5. С. 1008-1011.

43. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро- дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДУ. 1979. Т.15. №1. С. 96-105.

44. Нахушев A.M. Об некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. // Сборник научных трудов (межведомственный) "САПР и АСПР в Мелиорации". -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 3-20.

45. Олисаев Э.Г., Лафишева М.М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. .№2. С. 50-56.

46. Пулъкина Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // ДУ. 2000. Т.36. .№2.

47. Пул ъкина Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". —Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 190-192.

48. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебания струны. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 192-195.

49. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. —М.: Высшая школа. 2003. -255 с.

50. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1963. Т.З. №2. С. 266-298.

51. Самарский А А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // ДУ. 1980. Т.16. №11. С. 1925-1935.

52. Самарский А. А., Вабишевич П.Н., Мат ус П.П. Устойчивость векторных аудитивных схем // Докл. РАН. 1998. Т. 361. №6. С. 746-748.

53. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. —М.: Наука. 1973. -415 с.

54. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука. 1978. -589 с.

55. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка. // Изв. Вузов. Математика. —Казань. 1997. №5. С. 69-73.

56. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. —Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. 2002. -144 с.

57. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А.А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987. Т.297. №3. С. 547-552.

58. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. —М.: Наука. 1964. —206 с.

59. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. —М.: Наука. 1983. -432 с.

60. Соболев С.JI. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1992. -431 с.

61. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1966. -724 с.

62. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз. 1960. -656 с.

63. Хилькевич Г.И. Аналог принципа Сен-Венапа, задача Коши и первая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений. // УМН. 1981. Т.36. №3. С. 229-230.

64. Худалов М.З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа, j j Владикавказский математически й журнал. 2002. Т.4. т. С. 59-64.

65. Чудновскии А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве. // Сб. трудов АФИ. 1969. №23. С. 41-54.

66. Чудновскии А.Ф. Теплофизика почв. —М.: Наука. 1976. —352 с.

67. Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка методом функции Римана. // Сообщения АН СССР. 1983.

68. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений. // ДУ. 1983. Т. 19. №1. С. 145-152.

69. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. // ДУ. 1982. Т.18. №4. С. 689-699.

70. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнении третьего порядка. // ДАН СССР. 1982. Т.265. №6. С. 1327-1330.

71. Шхануков М.Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского. // Докл. АМАН. 1994. С. 38-43.

72. Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системам. // -Нальчик. 1989. С. 275-283.

73. Шхануков М.Х. Олисаев Э.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ. Серия — Естественные науки. 1999. Т.1. №1. С. 70-71.

74. Янгарбер В.А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса. // Докл. BACXHHJI. 1966. №8.

75. Hallaire М. L'eau et la production vegetable. // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. №9.

76. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip. // Arch. Rat. Mech. Anal.,

77. Cotton D.L. Pseudoparabolic equations in one space variable. // J. Different, equations. 1972. Vol.12, p. 559-565.

78. Cotton D.L. Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients. // J. Different equations. 1973. Vol.13, p. 506-522.

79. Calistry N. On the existence and asymptotic behavior of the solution of a boundary value problem, j j Analele stiinfiface ale Universitatis "Al. J.Cuza". Jaci Tomul. 24, S.J. a.f. 1978. p. 135-140.i

80. Canon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy, // Quart. Appl. Math. 1963, 21, -2, p.155-160.

81. Lanckau Eberhard Zur behandlung pseudoparabolisher differential gleichun-gen mit functionen theoretischen Methoden. "Beitr. Anal". 1981. Vol.16., p. 96-97.

82. Stecher M., Rundell \V. Maximum principles for pseudoparabolic partial differential equations. // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol.57, p. 110-118.

83. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations non-cylindrical domains. // J. Different equations. 1978. Vol.28, p. 394-404.

84. Showalter R.E., Ting T. Pseudoparabolic partial differential equations. // Siam. J. Math. Anal. 1970. Vol.1, p. 1-26.

85. Бештоков М.Х. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Тематический сборник научных трудов "Математическое моделирование и краевые задачи". —Нальчик. 2006. С. 4-8.

86. Бештоков М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Сборник научных трудов молодых ученых. —Нальчик. 2006. С. 339-341.

87. Бештоков М.Х. О сходимости разностной схемы нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Известия КБНЦ РАН. —Нальчик. 2006. №2. (16). С. 86-93.

88. Бештоков М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения гиперболического типа в многомерной области с нелокальным краевым условием. // Известия КБНЦ РАН. -Нальчик. 2007. №3 (19). 4.1. С. 88-96.

89. Бештоков М.Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Доклады АМАН. —Нальчик. 2007. Т.9. №1. С. 22-25.

90. Бештоков М.Х. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. — Ростов. 2007. Ш. С. 6-9.