Различение фазомодулированных квантовых состояний в коммуникациях по оптическому каналу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Гайдаш Андрей Алексеевич
Гайдаш Андрей Алексеевич
кандидат наук
2019
- Специальность ВАК РФ01.04.05
- Количество страниц 222
Оглавление диссертации кандидат наук Гайдаш Андрей Алексеевич
Реферат
Synopsis
Введение
Глава 1. Описание системы квантового распределения ключа
на боковых частотах фазомодулированного излучения
1.1 Объект исследования
1.2 Электрооптический фазовый модулятор
1.3 Оптоволоконный квантовый канал
1.4 Процесс повторной модуляции получателем, спектральная фильтрация и детектирование сигнала
1.5 Информационная пропускная способность канала
1.6 Основные характеристики системы квантового распределения ключа на боковых частотах
1.7 Приближения
1.8 Коэффициент квантовых ошибок
1.9 Видность
Глава 2. Однозначное различение фазомодулированных
состояний
2.1 Однозначное различение линейно независимых состояний
2.2 Однозначное различение фазомодулированных состояний равнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки
2.3 Однозначное различение одномодовых когерентных состояний равнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки
2.4 Однозначное различение фазомодулированных когерентных состояний неравнораспределенных на фазовой плоскости с
равной априорной вероятностью посылки
2.5 Однозначное различение когерентных состояний равнораспределенных на фазовой плоскости с неравной априорной вероятностью посылки
Глава 3. Методы обнаружения атаки с однозначным различением
3.1 Описание атаки с однозначным различением
3.2 Использование интенсивного опорного излучения
3.3 Увеличение числа состояний
3.4 Использование детектора с различением числа фотонов
3.5 Использование корреляционной схемы
3.6 Использование вспомогательных состояний
Заключение
Список сокращений и условных обозначений
Список литературы
Список иллюстративного материала
Приложение А. Невозможность извлечения информации из
сигналов с фазовым кодированием при проведении неразрушающего измерения,
определяющего число фотонов
Приложение Б. Классическая модель фазовой модуляции
Приложение В. Поляризационные эффекты и декогеренция в
поляризационной области
Приложение Г. Граница Холево
Приложение Д. Квантовый контроль
Приложение Е. Публикации по теме диссертации
Реферат
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Для протоколов квантового распределения ключа с фазовым кодированием были разработаны доказательства криптографической стойкости, в частности, доказательства для квантового канала без потерь [1] и с потерями [2]. Приведенные доказательства не выдерживают критики, т.к. в них получатель использует неразрушающее квантовое измерение для определения числа фотонов в посылках, т.е. проводит проекцию когерентных состояний на базис Фока. В приложении А наглядно показано, что результат такого измерения не содержит фазу когерентного состояния, а, следовательно, не может быть применен для протоколов с фазовым кодированием. Другое доказательство стойкости было получено в 2007 году [3]. Однако, авторы использовали два слабообоснованных предположения. Первое заключается в том, что они использовали модель канала с разделением по числу фотонов [4], которую нельзя использовать для когерентных состояний с фазовым кодированием, что было показано в [5]. Второе предположение заключалось в «отбрасывании» многофотонной части при разложении когерентного состояния в базисе Фока, авторы ссылались на малое значение амплитуды когерентного состояния и, следовательно, пренебрегали старшими порядками. Получившиеся «сокращенные» состояния становились линейно зависимыми и по своим основным свойствам совпадали с состояниями, использующимися в протоколе ББ84 [6] (одиночные фотоны с поляризационным кодированием). Далее доказательство стойкости сводилось к доказательству стойкости проктокола ББ84.
Складывается впечатление, что авторы доказательств стойкости для протоколов квантового распределения ключа с фазовым кодированием по аналогии используют методы и подходы, используемые для доказательств оригинального протокола ББ84 и протоколов с когерентными состояниями и поляризационным
кодированием. При этом свойства используемых состояний в различных протоколах разные (линейно зависимые и линейно независимые) и одинаковые операции над ними (неразрушающее квантовое измерение когерентных состояний с поляризационным и фазовым кодированием) могут приводить к различным результатам. Следовательно, необходимо тщательно исследовать свойства когерентных состояний с фазовым кодированием. В частности, далее в данной работе будут исследованы свойства фазомодулированных состояний и их различение в системе квантового распределения ключа на боковых частотах фа-зомодулированного излучения. Свойства данных состояний ранее не изучены вовсе.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Оптика», 01.04.05 шифр ВАК
Когерентное детектирование в квантовых информационных системах на основе многомодового фазомодулированного излучения2021 год, кандидат наук Самсонов Эдуард Олегович
Квантовая динамика многомодовых фотонных систем и их анализ в качестве информационного ресурса2019 год, кандидат наук Козубов Антон Владимирович
Устойчивость квантовых систем передачи информации на боковых частотах к воздействию нелегитимного пользователя на измерительное оборудование2019 год, кандидат наук Чистяков Владимир Викторович
Влияние хроматической дисперсии и нелинейных эффектов на квантовое распределение ключа на боковых частотах в оптической транспортной сети2021 год, кандидат наук Киселев Федор Дмитриевич
Квантовая коммуникация на боковых частотах лазерного фазомодулированного излучения по атмосферному каналу связи2017 год, кандидат наук Кынев Сергей Михайлович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Различение фазомодулированных квантовых состояний в коммуникациях по оптическому каналу»
Цель работы
Целью работы является исследование методов различения фазомодулированных состояний в коммуникациях по оптическому каналу является актуальной научной задачей.
Задачи работы
Для достижения поставленной цели о было решить следующие задачи:
1. Разработать квантовую модель оптической части системы квантового распределения ключа на боковых частотах, описывающую различение фазомодулированных состояний в данной системе;
2. Разработать квантовую модель преобразования фазомодулированных состояний в оптоволоконном квантовом канале, оказывающего влияние на различение фазомодулированных состояний;
3. Разработать модель однозначного различения фазомодулированных состояний;
4. Исследовать критерии обнаружения атаки с однозначным различением состояний на систему квантового распределения ключа на боковых частотах.
Научная новизна работы
В работе представлено подробное описание работы системы КРК на боковых частотах (КРКБЧ), основные характеристики системы параметризованы более чем десятью параметрами оборудования и оптического канала. Используемые методы и теории (например, квантовая теория электрооптического модулятора [7]) предоставляют более подробное описание механизмов преобразования квантовых состояний, по сравнению с классическими теориями. В отличии от ранних работ в области КРКБЧ, в данной работе впервые исследованы зависимости ключевых параметров системы от несовпадения индексов модуляции, фазы модулирующих сигналов, пропускания моды центральной частоты через оптический фильтр, остальные зависимости выведены строго и более не носят эмпирический характер (по сравнению с [8]).
Впервые представлена квантово-оптическая модель диссипативной динамики квантовых состояний со спектральным уплотнением, разработанная на основе решения уравнения Лиувиля и учитывающая эффекты термализации, дихроизма, двулучепреломления, дисперсии и декогеренции в поляризационной области.
Задача однозначного различения фазомодулированных квантовых состояний в коммуникациях по оптическому каналу решена впервые. Исследованы основные зависимости вероятностей различения от параметров сигналов и положительно-определенных операторных мер. Некоторые разработанные модели могут быть применены для других состояний.
Впервые исследована устойчивость систем КРКБЧ к атаке с однозначным различением состояний. Сама атака была обобщена по сравнению с предложенными ранее реализациями [9; 10], добавлена возможность внесения перехватчиком ошибки и частичного перехвата состояний. Впервые разработан полностью квантовый подход к описанию подобной атаки, приведенный в приложении Д. В
работе предложены различные методы противостояния атаке, рассмотрены как разработанные ранее методы применительно к КРКБЧ, так и новые методы.
Практическая значимость
Разработанная на основе решения уравнения Лиувиля квантово-оптическая модель преобразования оптических сигналов при распространении в оптоволокне описывает их диссипативную динамику, а также эффекты термализации, дихроизма, двулучепреломления, дисперсии и декогеренции в поляризационной области. В отличие от предложенных ранее классических моделей, данная модель может быть применена как к когерентным состояниям (что показано в работе), так и к произвольным осцилляторным квантовым состояниям, т.е. к тем, которые могут быть описаны в виде функции от операторов рождения и уничтожения, действующей на вакуумное состояние.
Разработанная на основе квантово-оптической теории электрооптического модулятора и рассмотрения квантово-классического двоичного симметричного марковского канала со стиранием и ошибкой квантово-оптическая модель объединяет оптические и информационные параметры и характеристики системы квантовой рассылки ключа на боковых частотах и описывает ее работу на уровне оптической схемы. Разработка подробных квантово-оптических моделей является необходимой частью обоснования криптографической стойкости протоколов квантового распределения ключей.
Найденное выражение для вероятности однозначного различения фазо-модулированных состояний позволяет оценить значение данной вероятности, зная лишь число различаемых состояний и их оптическую мощность. Полученная зависимость значительно упрощает расчеты, необходимые для обоснования стойкости протокола квантового распределения ключа на боковых частотах.
Найденное условие, заключающееся в том, что расчетная вероятность детектирования сигнала должна быть выше вероятности однозначного различения фазомодулированных состояний, позволило разработать ряд методов обнаружения атаки с однозначным различением, а также сформулировать расширение для протокола квантового распределения ключа на боковых частотах
фазомодулированного излучения. В частности, предложенные методы улучшают производительность систем квантового распределению ключа на боковых частотах.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Разработанная на основе решения уравнения Лиувилля квантово-опти-ческая модель преобразования спектрально-уплотненных оптических сигналов при распространении в оптическом волокне описывает дисси-пативную динамику, а также эффекты термализации, дихроизма, дву-лучепреломления, дисперсии и декогеренции в поляризационной области в приближении первого порядка среднего числа тепловых фотонов;
2. Разработанная на основе квантово-оптической теории электрооптического модулятора и рассмотрения квантово-классического двоичного симметричного марковского канала со стиранием и ошибкой квантово-оптическая модель описывает асимптотическую скорость генерации бит, полностью коррелированных между пользователями системы квантового распределения ключа на боковых частотах, в приближении малого среднего числа фотонов за время посылки на боковых частотах фазомодулированного излучения;
3. Вероятность однозначного различения N пар фазомодулированных когерентных состояний, равнораспределенных на фазовой плоскости, с равной априорной вероятностью посылки пропорциональна половине среднего числа фотонов за время одной посылки на боковых частотах фазомодулированного излучения в степени N в приближении малого среднего числа фотонов за время одной посылки на боковых частотах фазомодулированного излучения;
4. Расширение протокола квантового распределения ключа на боковых частотах фазомодулированного излучения, состоящее в проверке выполнения найденных условий, заключающихся в том, что расчетная вероятность детектирования сигнала должна быть выше вероятности однозначного различения фазомодулированных состояний, позволяет
обнаружить с заданной точностью атаку с однозначным различением состояний.
Апробации работы
Основные результаты по теме диссертации докладывались на следующих конференциях:
1. XIX Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», 05.10.2015-07.10.2015, Россия, Казань
2. IX Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2015», 12.10.2015-16.10.2015, Россия, Санкт-Петербург
3. III Международная школа-конференция по Оптоэлектронике, Фотонике и Нанотехнологиям (SPBOPEN 2016), 28.03.2016-31.03.2016, Россия, Санкт-Петербург
4. IV Международная конференция по фотонике и лазерным технологиям (4th International Conference on Photonics & Laser Technology), 28.07.2016-29.07.2016, Германия, Берлин
5. IX Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики», 17.10.2016-21.10.2016, Россия, Санкт-Петербург
6. XX Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», 18.10.2016-21.10.2016, Россия, Казань
7. IV Международная школа-конференция по Оптоэлектронике, Фотонике и Нанотехнологиям (SPBOPEN 2017), 03.04.2017-06.04.2017, Россия, Санкт-Петербург
8. VII Международная конференция по квантовой криптографии (QCRYPT 2017), 18.09.2017-22.09.2017, Великобритания, Кэмбридж
9. XLVII Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТ-МО, 30.01.2018-02.02.2018, Россия, Санкт-Петербург
10. VII Всероссийский конгресс молодых ученых, 16.04.2018-20.04.2018, Россия, Санкт-Петербург
11. VIII Международная конференция по квантовой криптографии (QCRYPT 2018), 27.08.2018-31.08.2018, Китай, Шанхай
12. X Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики», 15.10.2018-19.10.2018, Россия, Санкт-Петербург
13. XVI Международная конференция по квантовой оптике и квантовой информации (1СдОд1 2019), 13.05.2019-17.05.2019, Беларусь, Минск
14. IX Международная конференция по квантовой криптографии ^СБУРТ 2019), 26.08.2019-30.08.2019, Канада, Монреаль
Достоверность научных достижений
Достоверность полученных результатов обеспечивается совпадением полученных теоретических результатов и данных из экспериментов. Результаты диссертации неоднократно представлялись на международных конференциях и публиковались в научных рецензируемых журналах первого квартиля. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.
Внедрение результатов работы
Результаты работы использовались при выполнении работ по проекту гранта № Г6/19 «Квантовая криптография в линиях связи телекоммункиационного стандарта».
Публикации и апробации
Основное содержание диссертации опубликовано в 7 статьях [11-17], из них 7 публикаций в изданиях, индексируемых в базах цитирования Web of Science и/или Scopus.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и шести приложений. Полный объём диссертации составляет 221 страницу с 20 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 130 наименований.
Основное содержание работы
Во Введении приводится краткая историческая справка, где рассматриваются предпосылки для появления рассматриваемой области знаний - квантового распределения ключа, в частности, на боковых частотах фазомодулированного излучения. Также во введении приводится мотивация для исследования.
В Главе 1 приведено квантово-оптическое описание системы квантового распределения ключа на боковых частотах фазомодулированного излучения (КРКБЧ).
В Разделе 1.1 приводится описание объекта исследования данной работы - системы КРКБЧ . На Рисунке 1.1 представлена оптическая схема (полная схема представлена в [8], однако исследование принципов работы элементов упрощенной схемы является достаточной для описания работы системы КРК), в подписи к рисунку представлено краткое описание работы системы. В разделе также подробно описан протокол квантового распределения ключа, т.е. последовательность шагов, которая позволяет передавать последовательность коррелированных бит только между отправителем и получателем, которые связаны квантовым каналом. Важным результатом работы является добавление следующего пункта в этап протокола «Определение параметров»: при выполнении определенных условий для значений дополнительных параметров, протокол должен быть остановлен, например при нарушении условия 3.6, представленного в работе.
В Разделе 1.2 рассмотрено преобразование монохроматического когерентного состояния согласно теории электрооптической фазовой модуляции, представленной в [7]. Рассмотрено взаимодействие + 1 оптических (частот-
ных) мод, характеризующихся частотами ш + где ] - целое число, удовлетворяющее неравенству —Б < ] < Б. В модулятор попадает состояние |а0)0 ® Ьа с)яв, где |г> а с) ев - вакуумные состояния мод боковых частот = 0), |а0)0 - когерентное состояние центральной моды = 0) с амплитудой а0, которая определяется средним числом фотонов д0 = |а0|2 = WАТ/(Нш), где W - мощность лазерного излучения на входе в модулятор, АТ - временное окно излучения (одной посылки). Принимаем фазу когерентного состояния центральной моды нулевой. Электрооптический фазовый модулятор перераспределяет энергию между взаимодействующими модами таким образом, что многомодо-вое состояние на выходе из модулятора описывается следующим образом:
5 5
^ ( Я)
ЖФа)) =09 1«,), = 09 Мй(Я)е—1фА]),,
а^ - амплитуда когерентного состояния на каждой моде, фл - фаза модулирующего радиочастотного сигнала, ^ (Я) - (малая) ^функция Вигнера, часто встречаемая в квантовой теории углового момента [18], аргумент ^функции Я пропорционален индексу модуляции т. Для сравнения, основные положения классического подхода к фазовой модуляции представлены в приложении Б. Однако представленное квантовое описание не приводит к нефизичным результатам - появлению отрицательных частот [19].
В Разделе 1.3 рассмотрено решение уравнение Лиувилля для оптоволоконного канала следующего вида:
д
- р(1) = — [Н, р(^]+Гр(0, р(ъ) к=0 = Ро,
где
Н = ша]а,
Г р = — ^ ((пт +1) (а)аа + аа]а — 2аа<а^ + пт (аа^а + ааа^ — 2а^аа) ^,
где ш - частота излучения в рассматриваемой оптической моде, пт - среднее число тепловых (термальных) фотонов в данной моде, 7 - скорость прихода к тепловому равновесию (скорость термализации), где а) - оператор рожде-
ния, а - оператор уничтожения. Решение уравнение получено в представлении Лиувилля [20] в линейном приближении по малому параметру пт, используя свойства алгебры Зи(1,1). Решение уравнения имеет следующий вид:
№ « ^I + ^(1 - е-11) (к+ - 2Ко + \а|2 • е-^^ |ае-(
^ 2Л / ае 21
где I - елиничный оператор, операторы К+ = а" а и К0 = 2 ^а" а + а выражены в представлении Лиувилля, а = ае-гш1.
Преобразованный оператор плотности сохраняет след Тг(р(£)) ~ 1 с точностью до Пу. Среднее число фотонов в состоянии р(1) может быть найдено в следующем виде:
п(г) = Тг(а" а р(г)) « \а\2е-^ + пт(1 - е-7*) -- пт.
В общем виде (рассматривая две поляризационные моды р € {Ну} и набор частотных мод ] = -Б, -Б + 1,..., Б) предложенная модель учитывает большое число эффектов в волокне, такие как термализация, дихроизм (уровень затухания различных поляризационных компонент разный (т.е. 7у = 7н), дву-лучепреломление (т.е. = шн), дисперсию = )), декогеренцию в поляризационной области. Однако для дальнейших расчетов можно использовать наиболее простую модель, рассматривая полученное решение в приближении нулевого порядка по пт, поскольку типичное время распространения квантовых сигналов меньше Ьс - времени, после которого эффект декогеренции в области поляризации проявляется наиболее сильно (подробнее в приложении В), также система обладает пассивной подсистемой компенсации поляризационных искажений, представленной в [8], вследствие чего, можно пренебречь эффектами, связанными с поляризацией. Эффекты связанные с линейным по пт слагаемым подробнее рассмотрены в приложении В.
Найдена связь между временем распространения £ и длиной распространения Ь, объединив рассмотренный выше подход и известную зависимость Бера-Бугера-Ламберта (в терминах волоконной оптики):
е-^ = т](Ь) = 10 ^,
где ^ - аттенюация в дБ на единицу длины (для оптического волокна используется дБ/км). Предполагаем, что потери не зависят от частоты ввиду относительно узкой ширины спектра модулированного излучения (эффективная ширина, т.е. расстояние между боковыми частотами первых порядков ввиду малого индекса модуляции, единицы-десятки ГГц [8]). Таким образом многомодовое состояние на входе в модулятор получателя имеет следующий вид:
IЫФа)) = 0 I^ÁL)a{)e-°0d60j(3)е—^j)3,
3=-s
где во - набег фазы при распространении в волокне.
В Разделе 1.4 рассмотрены процессы повторной модуляции получателем, спектральной фильтрации и детектирования сигнала. После повторной модуляции многомодовое состояние выглядит следующим образом (согласно [7]):
6
\Фв(Фа, Фв)) = 0 lV^)aoe-(e0+e^d6Oj(3'))j,
з=-6
где 9\ - некоторая общая фаза, определяемая конструкцией модулятора, которой в дальнейшем можно пренебречь, новый аргумент d-функции в общем виде определяется соотношением
cos (3') = cos (3) cos (3а) — sin ((3) sin ((3а) cos ( фА — фв + Аф),
где а - множитель, соответствующий несовпадению аргументов d-функции, А ф - среднее значение небольшого несовпадения фаз модулирующих сигналов ввиду неидеальности системы синхронизации. В идеальных условиях при Фа — фВ = 0 аргумент d-функции удваивается (3' = 23), в то время как при Фа — фВ = к - зануляется (3' = 0) и в соответствии с 1.10 d^ = 50j, что соответствует переносу всей энергии обратно на центральную моду и образованию вакуумных состояний на боковых частотах.
Оптический коэффициент пропускания г]в на стороне получателя после повторной модуляции учитывается аналогично потерям в квантовом канале:
6
ШФа,Фв)) = 0 lVñ^Baoe-(e0+ei)jd6Oj(3'))j. j=—6
Спектральная фильтрация необходима, чтобы выделить полезный сигнал боковых частот. Однако, ввиду неидеальности системы фильтрации, малая часть ($ ^ 1) центральной моды будет оставаться в спектре.
Таким образом, среднее число фотонов, попадающее на детектор одиночных фотонов за время АТ, определяется суммой средних чисел фотонов всех спектральных компонент:
прн(фА,фВ) = 71вао4о(Р')\2 + X) \У^Ь^аое(./)?
= т(Ь)т (1 - (1 -#)\^о(/3')\2) .
Поскольку прь ^ 1, принимая во внимание типично большие оптические потери в квантовом канале, можно воспользоваться теорией Л. Манделя [21], описывающей вероятность срабатывания детектора одиночных фотонов за временное окно А Т в линейном приближении:
РМФл,Фв) = (адпр"АтФв' + А,
где г]в - квантовая эффективность детектора, ^¿агк - частота темновых срабатываний детектора. Если у детектора в наличии гейт, то АЪ < АТ, где АЪ -время открытия гейта, в противном случае полагаем А = А Т.
В Разделе 1.5 рассмотрена информационная пропускная способность канала, на основе которой можно связать информационные и оптические характеристики системы, в терминах классическо-квантового симметричного марковского двоичного канала со стиранием и ошибкой [22]. Структура канала полностью определяется матрицей условных вероятностей Р(у\х), где х - событие посылки отправителем бита в канал («0» или «1») с соответствующей вероятностью Р(х) (равной 1/2), у - события, соответствующие результату измерения получателя («0», «1» и «?», где последний символ обозначает неопределенный результат измерения, например, отсутствие срабатывания детектора) с соответствующими вероятностями Р(у). Условная вероятность получения неопределенного результата измерения получателем обозначена С, а условная вероятность неверного измерения бита (результат измерения - бит «1» вместо посланного бита «0», и наоборот) - Е. Пропускная способность канала описывается взаимной
информацией 1(х;у):
1(х;у) = Н(у) -Н(у\х),
где
Н (у) = -^Р (у)\сЫР (У)
у
= -(1 - С) \с^2 ^ ЦС^ -С \0g2G,
и
Н(у\х) = - ^ Р(х)^2 Р(У\х) ^2 Р(у\х)
X у
= -(1 -С -Е) \с§2 (1 -С -Е) -С \с%2С -Е \с%2Е.
Таким образом, пропускная способность квантового канала выражается следующим образом:
1(у\х) = (1 -С)^1 - ^^ = (1 - С)(1 - Н(Я)),
где
КЯ) = -Я 1°92Я - (1 - Я)1092(1 - Я)
- функция бинарной энтропии, Я - квантовый коэффициент ошибок, являющийся основополагающим параметром, характеризующим работу системы. Таким образом, пропускная способность квантового канала состоит из двух множителей: 1 - С - определяет вероятность срабатывания детектора, 1 - Н(Я) -определяет уменьшение длины ключа за счет публичного оглашения части бит (избыточности) Н(Я) (в асимптотическом пределе) для исправления Я ошибок в ключе.
В Разделе 1.6 объединены основные информационные и оптические характеристики системы квантового распределения ключа на боковых частотах. Условная вероятность получения неопределенного результата измерения получателем С и условная вероятность неверного измерения бита Е выражены через вероятность срабатывания детектора одиночных фотонов Раег(Фл,Фв) следую-
щим образом:
Е = Pdet(0,7 + Дф), 1 -G -Е = Pdet(0, Дф),
где Д ф - среднее отклонение фазы модулирующего сигнала ввиду неидеальности системы синхронизации. Справедливость выражений может быть подтверждена рассмотрением простого примера. Допустим отправитель выбрал фл = 0. У получателя обнаружится ошибка, если он выберет противоположную фазу фв = 7, но его детектор сработает. Аналогично, получатель верно декодирует бит, если, выбрав фв = 0, его детектор сработает.
Таким образом квантовый коэффициент ошибок Q выражается в следующей форме:
Q = Е = Pdet(0,7 + Дф) = 1 — V
Q 1 — G Pdet(0, Дф) + Pdet(0,7r + Дф) 2 ,
где V - видность, еще одна важная характеристика, по которой можно оценить ожидаемый средний уровень коэффициента квантовых ошибок еще на моменте отладки системы, определяемая в виде:
V = Pdet(0, Дф) Pdet(0,7 + Дф) Pdet(0, Дф) + Pdet(0,7 + Дф)'
Справедливость полученных выражений была подтверждена экспериментально в [15].
В разделе 1.7 представлены приближения, упрощающие расчеты. Воспользовавшись приближением большого числа взаимодействующих мод в электрооптическом модуляторе S ^ ж, и, следовательно, 3 ^ 0, справедливыми оказываются следующие утверждения:
( 3' )2
cos (3') « 1 — ^,
(1 + г2)(3)2
2 ,
2
cos (3) cos (3 () ~ 1 —
sin (3) sin (3 г) ~ (32.
Воспользовавшись приближением малого индекса модуляции т < 1, можно оценить среднее число фотонов на боковых частотах за время посылки следующим образом:
2
(1 т2/ \\ _ ¡0т
ц = ¡о(1 - Jg(т)) ^ —.
Тогда выражение для определения среднего числа фотонов на боковых частотах будет иметь следующий вид (принимая во внимание пропорциональность т и
Р):
прн(Фа,Фв) = v(L)Цв (¡(1 + 2аcos (Фа - фв + Аф) + а2)(1 - $) + .
Следовательно, выражение для определения вероятности срабатывания детектора преобразуется следующим образом:
Pde ь(Фа фв) = ¡щ (1 -tf)(1 + 27 cos (Фа -фв + Аф) + а2) + $ЦоГ1 + Pdark,
где г] = г]вТ](L)г]в - суммарный оптический коэффициент пропускания в системе, pdark = jdarkT - вероятность темнового срабатывания детектора.
В Разделе 1.8 подробно исследуется зависимость квантового коэффициента ошибок от различных параметров системы. Выражение для квантового коэффициента ошибок Q может быть представлено в следующем виде:
Q = ¡Щ(1 - #)(! - 2а cos (Аф) + а2) + УцоТ] + Pdark Q = 2цг] (1 -$)(1 + а2) + 2{}цоГ1 + 2pdark .
Далее в разделе приведено исследование данной зависимости при поочередном пренебрежении всеми эффектами кроме одного, рассматривая различные режимы.
В Разделе 1.9 подробно исследуется зависимость видности от различных параметров системы. Выражение для видности V может быть представлено в следующем виде:
4цг]аcos (Аф)(1 -$)
2щ (1 -$)(1 + а2) + 2$poV + 2pdark'
Далее в разделе приведено исследование данной зависимости при поочередном пренебрежении всеми эффектами кроме одного, рассматривая различные режимы.
В Главе 2 приведено исследование свойств однозначного различения фа-зомодулированных состояний.
В Разделе 2.1 представлены основные понятия однозначного различение линейно независимых состояний, представленные в тексе диссертации и в основополагающих работах [23-25]. В частности, в в работе [25] было показано, что оптимальная вероятность однозначного различения определяется обратным максимальным собственным числом оператора Л 1 имеющим следующий вид:
2М
± |,,,1// \\ / / I/
Л1 = £ Ф,)){Ф1(Ф,)\,
{=1
где |ф1( ф) - состояния, образующие с сигнальными состояниями |'(ф^)) биор-
тогональный базис, т.е. )) = 6,
В разделе было показано, что собственные числа оператора
Л1 идентичны собственным числам матрицы перекрытий Ф1 = ('ф1(ф,¡^|'ф1(фj)). Далее рассмотрено, как связаны матрицы перекрытий ф1 и Ф^ = ('(ф^)|'(ф^)). Показано, что ф1 = Ф-1. Следовательно, их собственные числа обратны друг другу, а значит, оптимальная вероятность однозначного различения может быть оценена не только с помощью обратного максимального собственного числа оператора
Л1, но и более простым способом - с помощью минимального собственного числа матрицы перекрытий различаемых векторов Ф^.
В Разделе 2.2 найдено выражение, определяющее вероятность однозначного различения фазомодулированных состояний равнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки. В разделе рассмотрен набор из N пар фазомодулированных (сигнальных) состояний |'(ф^)), где фазы ф3 равнораспределены на фазовой плоскости:
5 5
^п(ф3 )/п ~ 1 ------^
г=—Б п=—Б
Шз)) = 0 Мэ))» = Ы60п((3)е-^'п)п.
Рассмотрена задача о нахождении собственных чисел Хк оператора Л (что аналогично нахождению собственных чисел матрицы перекрытий векторов, обра-
зующих данный оператор):
Л=£ 1Ф( Фг№Ш1
%=1
Л 1рк > = Лк >,
где |^к> - собственный вектор оператора Л. Решение, с учетом упрощений, приведенных в Разделе 1.7, может быть представлено в следующем виде:
2М-1
Лк = Е )>
3=0 2К-1
= ^ е ге-^(1-с°8 (^)).
3=0
В текущем виде решение имеет неочевидную зависимость от д и N, более того неочевиден номер к, соответствующий минимальному собственному числу. Для нахождения более очевидной закономерности рассмотрим ряд преобразований и упрощений на основе разложения Якоби-Ангера. В таком виде решение имеет вид безконечного ряда, учитывая тот факт, что с ростом индекса при малом аргументе значение модифицированной функции Бесселя первого рода значительно убывает (1п(р) ^ 1п+1(р)), допустимо оставить только первые значащие слагаемые:
то
Лк = е-^ ^ 1{Шг-к)(д)
^ _к)М + 1к Ы).
Очевидно, что наименьшего значения собственное число достигает при к = N:
шт( Лк) « е-м4 N1Н(ц). к
Следовательно, согласно результатам предыдущего раздела, вероятность однозначного различения фазомодулированных состояний равнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки определяется приведенным выше выражением для нахождения наименьшего собственного
числа. Стоит отметить, что разложение приближенного решения в первом порядке по малому аргументу р всегда ограничивает его сверху:
Ш ^ 2.
4 N
е-»4NIя(р) < - (|) .
В Разделе 2.3 представлено решение аналогичной задачи, представленной в предыдущем разделе, в случае одномодовых когерентных состояний с целью сравнения. Рассматриваемые выражения имеют следующий вид:
103) = е - ),
где |а) - начальное когерентное состояние с абсолютным значением амплитуды
а (|а|2 = р), фу - фазовый сдвиг.
Способом, аналогичным тому, которое было использовано в предыдущем Разделе 2.2, получаем выражения для вероятности однозначного различения одномодовых когерентных состояний с фазовым кодированием:
Похожие диссертационные работы по специальности «Оптика», 01.04.05 шифр ВАК
Квантовое распределение ключа с высокочастотным поляризационным кодированием2019 год, кандидат наук Дуплинский Александр Валерьевич
Совершенствование системы квантового распределения ключа по протоколу B92 с фазовым кодированием состояний фотонов2022 год, кандидат наук Шакир Хайдер Хуссейн Шакир
Аппаратно-программный демонстратор универсальной радиофотонной системы квантового распределения ключей на основе тандемной амплитуд-но-фазовой модуляции оптической несущей2022 год, кандидат наук Габдулхаков Ильдарис Мударрисович
Модель системы квантового распределения ключа с временным кодированием по волоконно-оптической линии связи2016 год, кандидат наук Махорин Дмитрий Алексеевич
Двухэтапный алгоритм однофотонной синхронизации автокомпенсационной системы квантового распределения ключей2018 год, кандидат наук Рудинский Евгений Андреевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гайдаш Андрей Алексеевич, 2019 год
Список литературы
1. Tamaki K, Koashi M, Imoto N. Unconditionally secure key distribution based on two nonorthogonal states // Physical review letters. — 2003. — Vol. 90, no. 16. — P. 167904.
2. Tamaki K, Lutkenhaus N. Unconditional security of the Bennett 1992 quantum key-distribution protocol over a lossy and noisy channel // Physical Review A.
— 2004. — Vol. 69, no. 3. — P. 032316.
3. Lo H-K, Preskill J. Security of quantum key distribution using weak coherent states with nonrandom phases // Quantum Information & Computation. — 2007. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 431-458.
4. Ma X. Quantum cryptography: theory and practice // arXiv preprint arX-iv:0808.1385. — 2008.
5. Ma X, Zeng P, Zhou H. Phase-matching quantum key distribution // Physical Review X. — 2018. — Vol. 8, no. 3. — P. 031043.
6. Bennett CH. Quantum crytography // Proc. IEEE Int. Conf. Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, India, 1984. — 1984. — Pp. 175-179.
7. Algebraic approach to electro-optic modulation of light: Exactly solvable multimode quantum model / GP Miroshnichenko, AD Kiselev, AI Trifanov, AV Gleim // JOSA B. — 2017. — Vol. 34, no. 6. — Pp. 1177-1190.
8. Secure polarization-independent subcarrier quantum key distribution in optical fiber channel using BB84 protocol with a strong reference / AV Gleim, VI Egorov, Yu V Nazarov et al. // Optics express. — 2016. — Vol. 24, no. 3.
— Pp. 2619-2633.
9. Dusek M, Jahma M, Lutkenhaus N. Unambiguous state discrimination in quantum cryptography with weak coherent states // Physical Review A. — 2000.
— Vol. 62, no. 2. — P. 022306.
10. Advanced unambiguous state discrimination attack and countermeasure strategy in a practical B92 QKD system / H Ko, B-S Choi, J-S Choe, C J Youn // Quantum Information Processing. — 2018. — Vol. 17, no. 1. — P. 17.
11. Gaidash AA, Kozubov Av, Miroshnichenko GP. Methods of decreasing the unambiguous state discrimination probability for subcarrier wave quantum key distribution systems // JOSA B. — 2019. — Vol. 36, no. 3. — Pp. B16-B19.
12. Gaidash AA, Egorov VI, Gleim AV. Revealing beam-splitting attack in a quantum cryptography system with a photon-number-resolving detector // JOSA B. — 2016. — Vol. 33, no. 7. — Pp. 1451-1455.
13. Gaidash AA, Medvedeva SS, Miroshnichenko GP. Compact transmission system using single-sideband modulation of light for quantum cryptography // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2019. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 398-401.
14. Gaidash AA, Kozubov AV, Miroshnichenko GP. Countermeasures for advanced unambiguous state discrimination attack on quantum key distribution protocol based on weak coherent states // Physica Scripta. — 2019. — Vol. 94, no. 125102. — Pp. 1-6.
15. Security of subcarrier wave quantum key distribution against the collective beam-splitting attack / GP Miroshnichenko, AV Kozubov, AA Gaidash et al. // Optics express. — 2018. — Vol. 26, no. 9. — Pp. 11292-11308.
16. Kozubov AV, Gaidash AA, Miroshnichenko GP. Quantum model of decoher-ence in the polarization domain for the fiber channel // Physical Review A. — 2019. — Vol. 99, no. 5. — P. 053842.
17. Sideband quantum communication at 1 Mbit/s on a metropolitan area network / AV Gleim, VV Chistyakov, OI Bannik et al. // Journal of Optical Technology. — 2017. — Vol. 84, no. 6. — Pp. 362-367.
18. Varshalovich DA, Moskalev AN, Khersonskii VK. Quantum theory of angular momentum. — World Scientific, 1988.
19. Capmany J, Fernandez-Pousa CR. Quantum model for electro-optical phase modulation // JOSA B. — 2010. — Vol. 27, no. 6. — Pp. A119-A129.
20. Diagonal invariance and quasi-trapped states in the micromaser model based on N-atom clusters / IP Vadeiko, GP Miroshnichenko, AV Rybin, Yu Timonen // Optics and Spectroscopy. — 2000. — Vol. 89, no. 2. — Pp. 300-307.
21. Mandel L, Wolf E. Optical coherence and quantum optics. — Cambridge university press, 1995.
22. Cover TM, Thomas JA. Elements of information theory. — John Wiley & Sons, 2012.
23. Peres A. Quantum theory: concepts and methods. — Springer Science & Business Media, 2006. — Vol. 57. — Pp. 282-285.
24. Peres A, Terno DR. Optimal distinction between non-orthogonal quantum states // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1998. — Vol. 31, no. 34. — P. 7105.
25. Chefles A. Unambiguous discrimination between linearly independent quantum states // Physics Letters A. — 1998. — Vol. 239, no. 6. — Pp. 339-347.
26. Jaeger G, Shimony A. Optimal distinction between two non-orthogonal quantum states // Physics Letters A. — 1995. — Vol. 197, no. 2. — Pp. 83-87.
27. Koashi Masato. Unconditional security of coherent-state quantum key distribution with a strong phase-reference pulse // Physical review letters. — 2004.
— Vol. 93, no. 12. — P. 120501.
28. Invited review article: Single-photon sources and detectors / MD Eisaman, J Fan, A Migdall, SV Polyakov // Review of scientific instruments. — 2011.
— Vol. 82, no. 7. — P. 071101.
29. Lutkenhaus N. Security against individual attacks for realistic quantum key distribution // Phys. Rev. A. — 2000. — Apr. — Vol. 61. — P. 052304.
30. Gaussian quantum information / C Weedbrook, S Pirandola, R Garcia-Patron et al. // Rev. Mod. Phys. — 2012. — May. — Vol. 84. — Pp. 621-669.
31. Vernam GS. Cipher printing telegraph systems: For secret wire and radio telegraphic communications // Journal of the AIEE. — 1926. — Vol. 45, no. 2. — Pp. 109-115.
32. Shannon CE. Communication theory of secrecy systems // Bell system technical journal. — 1949. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 656-715.
33. Cocks CC. A note on non-secret encryption // CESG Memo. — 1973.
34. Ellis JH. The possibility of secure non-secret digital encryption // UK Communications Electronics Security Group. — 1970. — P. 6.
35. Feynman RP. Simulating physics with computers // International journal of theoretical physics. — 1982. — Vol. 21, no. 6. — Pp. 467-488.
36. Feynman RP. Quantum mechanical computers // Foundations of physics. — 1986. — Vol. 16, no. 6. — Pp. 507-531.
37. Benioff P. Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines // Journal of Statistical Physics. — 1982. — Vol. 29, no. 3. — Pp. 515-546.
38. Benioff P. Quantum mechanical models of Turing machines that dissipate no energy // Physical Review Letters. — 1982. — Vol. 48, no. 23. — P. 1581.
39. Shor PW. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // Proceedings 35th annual symposium on foundations of computer science / Ieee. — 1994. — Pp. 124-134.
40. Shor PW, Preskill J. Simple proof of security of the BB84 quantum key distribution protocol // Physical review letters. — 2000. — Vol. 85, no. 2. — P. 441.
41. Efficient decoy-state quantum key distribution with quantified security / M Lu-camarini, KA Patel, JF Dynes et al. // Optics express. — 2013. — Vol. 21, no. 21. — Pp. 24550-24565.
42. Gobby C, Yuan ZL, Shields AJ. Quantum key distribution over 122 km of standard telecom fiber // Applied Physics Letters. — 2004. — Vol. 84, no. 19. — Pp. 3762-3764.
43. Overcoming the rate-distance limit of quantum key distribution without quantum repeaters / M Lucamarini, ZL Yuan, JF Dynes, AJ Shields // Nature. — 2018. — Vol. 557, no. 7705. — P. 400.
44. Long-distance quantum key distribution secure against coherent attacks / B Frohlich, M Lucamarini, JF Dynes et al. // Optica. — 2017. — Vol. 4, no. 1. — Pp. 163-167.
45. Merolla J-M, Mazurenko YT, Goedgebuer J-P. Quantum Gryptography using Frequency Modulation of Weak Ligh Pulses // Technical Digest. 1998 EQEC. European Quantum Electronics Conference (Cat. No. 98TH8326) / IEEE. — 1998. — Pp. 101-101.
46. Single-photon interference in sidebands of phase-modulated light for quantum cryptography / J-M Merolla, YT Mazurenko, J-P Goedgebuer, WT Rhodes // Physical review letters. — 1999. — Vol. 82, no. 8. — P. 1656.
47. Quantum cryptographic device using single-photon phase modulation / J-M Merolla, YT Mazurenko, J-P Goedgebuer et al. // Physical review A.
— 1999. — Vol. 60, no. 3. — P. 1899.
48. Phase-modulation transmission system for quantum cryptography / J-M Merolla, YT Mazurenko, J-P Goedgebuer et al. // Optics letters. — 1999. — Vol. 24, no. 2. — Pp. 104-106.
49. Bennett CH. Quantum cryptography using any two nonorthogonal states // Physical review letters. — 1992. — Vol. 68, no. 21. — P. 3121.
50. Townsend PD, Rarity JG, Tapster PR. Single photon interference in 10 km long optical fibre interferometer // Electronics Letters. — 1993. — Vol. 29, no. 7. — Pp. 634-635.
51. Design of quantum cryptography systems for passive optical networks / PD Townsend, SJD Phoenix, KJ Blow, SM Barnett // Electronics Letters.
— 1994. — Vol. 30, no. 22. — Pp. 1875-1877.
52. Quantum cryptography over underground optical fibers / RJ Hughes, GG Luther, GL Morgan et al. // Annual International Cryptology Conference / Springer. — 1996. — Pp. 329-342.
53. "Plug and play" systems for quantum cryptography / A Muller, T Herzog, B Huttner et al. // Applied Physics Letters. — 1997. — Vol. 70, no. 7. — Pp. 793-795.
54. Enhanced orientational Kerr effect in vertically aligned deformed helix ferroelectric liquid crystals / EP Pozhidaev, AK Srivastava, AD Kiselev et al. // Optics letters. — 2014. — Vol. 39, no. 10. — Pp. 2900-2903.
55. Kiselev Alexei D, Chigrinov Vladimir G. Optics of short-pitch deformed-he-lix ferroelectric liquid crystals: Symmetries, exceptional points, and polarization-resolved angular patterns // Physical Review E. — 2014. — Vol. 90, no. 4.
— P. 042504.
56. Light modulation in planar aligned short-pitch deformed-helix ferroelectric liquid crystals / SP Kotova, SA Samagin, EP Pozhidaev, AD Kiselev // Physical Review E. — 2015. — Vol. 92, no. 6. — P. 062502.
57. Blinov LM, Chigrinov VG. Electrooptical Effects Due to the Uniform Distortion of Nematic Liquid Crystals // Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. — Springer, 1994. — Pp. 133-234.
58. Yariv A, Yeh P. Optical Electronics in Modern Communications 6th edn, 359.
— 2007.
59. Nielsen MA, Chuang IL. Quantum computation and quantum information. — Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
60. Tsang M, Shapiro JH, Lloyd S. Quantum theory of optical temporal phase and instantaneous frequency // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 5. — P. 053820.
61. Tsang M, Shapiro JH, Lloyd S. Quantum theory of optical temporal phase and instantaneous frequency. II. Continuous-time limit and state-variable approach to phase-locked loop design // Physical Review A. — 2009. — Vol. 79, no. 5.
— P. 053843.
62. Dirac PAM. The quantum theory of the emission and absorption of radiation // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. — 1927. — Vol. 114, no. 767. — Pp. 243-265.
63. Barnett SM, Vaccaro JA. The Quantum Phase Operator: A Review. — CRC Press, 2007.
64. Capmany J, Fernandez-Pousa CR. Quantum modelling of electro-optic modulators // Laser & Photonics Reviews. — 2011. — Vol. 5, no. 6. — Pp. 750-772.
65. Louisell WH, Yariv A, Siegman AE. Quantum fluctuations and noise in parametric processes. I. // Physical Review. — 1961. — Vol. 124, no. 6. — P. 1646.
66. She WL, Lee WK. Wave coupling theory of linear electrooptic effect // Optics communications. — 2001. — Vol. 195, no. 1-4. — Pp. 303-311.
67. Wave coupling theory of the linear electro-optic effect in a linear absorbent medium / D Wu, H Chen, W She, W Lee // JOSA B. — 2005. — Vol. 22, no. 11. — Pp. 2366-2371.
68. Kumar P, Prabhakar A. Evolution of quantum states in an electro-optic phase modulator // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2008. — Vol. 45, no. 2.
— Pp. 149-156.
69. Controling the coupling properties of active ultrahigh-Q WGM microcavi-ties from undercoupling to selective amplification / A Rasoloniaina, V Huet, TKN Nguyen et al. // Scientific reports. — 2014. — Vol. 4. — P. 4023.
70. Tunable optical single-sideband modulator with complete sideband suppression / AA Savchenkov, W Liang, AB Matsko et al. // Optics letters. — 2009.
— Vol. 34, no. 9. — Pp. 1300-1302.
71. Whispering-gallery-mode electro-optic modulator and photonic microwave receiver / VS Ilchenko, AA Savchenkov, AB Matsko, L Maleki // JOSA B. — 2003. — Vol. 20, no. 2. — Pp. 333-342.
72. Cohen DA, Levi AFJ. Microphotonic components for a mm-wave receiver // Solid-state electronics. — 2001. — Vol. 45, no. 3. — Pp. 495-505.
73. On fundamental quantum noises of whispering gallery mode electro-optic modulators / AB Matsko, AA Savchenkov, VS Ilchenko et al. // Optics express. — 2007. — Vol. 15, no. 25. — Pp. 17401-17409.
74. Single-sideband electro-optical modulator and tunable microwave photonic receiver / AA Savchenkov, AB Matsko, W Liang et al. // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2010. — Vol. 58, no. 11. — Pp. 3167-3174.
75. Tsang M. Cavity quantum electro-optics // Physical Review A. — 2010. — Vol. 81, no. 6. — P. 063837.
76. Lidar DA, Whaley KB. Decoherence-free subspaces and subsystems // Irreversible quantum dynamics. — Springer, 2003. — Pp. 83-120.
77. Omnes R. General theory of the decoherence effect in quantum mechanics // Physical Review A. — 1997. — Vol. 56, no. 5. — P. 3383.
78. Zurek WH. Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical // Reviews of modern physics. — 2003. — Vol. 75, no. 3. — P. 715.
79. Scully MO, Zubairy MS. Quantum optics. — 1997.
80. Born M, Wolf E. Principles of Optics. Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Forth edition. — 1968.
81. Агранович ВМ, Гинзбург ВЛ. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. — Наука, 1965.
82. Gisin N, Huttner B. Combined effects of polarization mode dispersion and polarization dependent losses in optical fibers // Optics communications. — 1997. — Vol. 142, no. 1-3. — Pp. 119-125.
83. Measurement of Mueller matrix for an optical fiber system with birefringence and polarization-dependent loss or gain / H Dong, P Shum, M Yan et al. // Optics communications. — 2007. — Vol. 274, no. 1. — Pp. 116-123.
84. Palmieri L. Polarization properties of spun single-mode fibers // Journal of lightwave technology. — 2006. — Vol. 24, no. 11. — Pp. 4075-4088.
85. Rashleigh SC, Ulrich R. Polarization mode dispersion in single-mode fibers // Optics Letters. — 1978. — Vol. 3, no. 2. — Pp. 60-62.
86. Poole CD, Winters JH, Nagel JA. Dynamical equation for polarization dispersion // Optics Letters. — 1991. — Vol. 16, no. 6. — Pp. 372-374.
87. Nolan DA, Chen X, Li M-J. Fibers with low polarization-mode dispersion // Journal of lightwave technology. — 2004. — Vol. 22, no. 4. — Pp. 1066-1077.
88. Lee J-S. Analysis of the polarization-mode-dispersion vector distribution for linearly birefringent optical fibers // IEEE Photonics Technology Letters. — 2007. — Vol. 19, no. 13. — Pp. 972-974.
89. Savovic S, Djordjevich A. Solution of mode coupling in step-index optical fibers by the Fokker-Planck equation and the Langevin equation // Applied optics.
— 2002. — Vol. 41, no. 15. — Pp. 2826-2830.
90. Gisin N, Von der Weid J-P, Pellaux J-P. Polarization mode dispersion of short and long single-mode fibers // Journal of lightwave technology. — 1991.
— Vol. 9, no. 7. — Pp. 821-827.
91. Observation of polarization domain wall solitons in weakly birefringent cavity fiber lasers / H Zhang, DY Tang, LM Zhao, Xuan Wu // Physical Review B.
— 2009. — Vol. 80, no. 5. — P. 052302.
92. Vector dark domain wall solitons in a fiber ring laser / H Zhang, DY Tang, LM Zhao, RJ Knize // Optics Express. — 2010. — Vol. 18, no. 5. — Pp. 4428-4433.
93. Dual-wavelength domain wall solitons in a fiber ring laser / H Zhang, D Tang, L Zhao, X Wu // Optics express. — 2011. — Vol. 19, no. 4. — Pp. 3525-3530.
94. The security of practical quantum key distribution / V Scarani, H Bechmann-Pasquinucci, NJ Cerf et al. // Reviews of modern physics. — 2009. — Vol. 81, no. 3. — P. 1301.
95. Ma X, Razavi M. Alternative schemes for measurement-device-independent quantum key distribution // Physical Review A. — 2012. — Vol. 86, no. 6. — P. 062319.
96. Proof-of-principle experimental demonstration of twin-field type quantum key distribution / X Zhong, J Hu, M Curty et al. // arXiv preprint arX-iv:1902.10209. — 2019.
97. Beating the fundamental rate-distance limit in a proof-of-principle quantum key distribution system / S Wang, D-Y He, Z-Q Yin et al. // Physical Review X. — 2019. — Vol. 9, no. 2. — P. 021046.
98. Experimental quantum key distribution beyond the repeaterless secret key capacity / M Minder, M Pittaluga, GL Roberts et al. // Nature Photonics. — 2019. — Vol. 13, no. 5. — P. 334.
99. Miroshnichenko GP. Hamiltonian of photons in a single-mode optical fiber for quantum communications protocols // Optics and Spectroscopy. — 2012. — Vol. 112, no. 5. — Pp. 777-786.
100. High Bit-Rate Quantum Communication Chips / TK Paraiso, I De Marco, T Roger et al. // Optical Fiber Communication Conference / Optical Society of America. — 2019. — Pp. Th1J-4.
101. Helstrom CW. Quantum detection and estimation theory. — Academic press, 1976.
102. Holevo AS. Statistical structure of quantum theory. — Springer Science & Business Media, 2003. — Vol. 67.
103. Holevo AS. Probabilistic and statistical aspects of quantum theory. — Springer Science & Business Media, 2011. — Vol. 1.
104. Helstrom CW. Detection theory and quantum mechanics // Information and Control. — 1967. — Vol. 10, no. 3. — Pp. 254-291.
105. Helstrom CW. Detection theory and quantum mechanics (II) // Information and Control. — 1968. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 156-171.
106. Holevo AS. Statistical decision theory for quantum systems // Journal of multivariate analysis. — 1973. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 337-394.
107. Yuen H, Kennedy R, Lax M. Optimum testing of multiple hypotheses in quantum detection theory // IEEE Transactions on Information Theory. — 1975. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 125-134.
108. Davies E. Information and quantum measurement // IEEE Transactions on Information Theory. — 1978. — Vol. 24, no. 5. — Pp. 596-599.
109. Barnett SM. Quantum information via novel measurements // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1997. — Vol. 355, no. 1733. — Pp. 2279-2290.
110. Chefles A. Quantum state discrimination // Contemporary Physics. — 2000.
— Vol. 41, no. 6. — Pp. 401-424.
111. Barnett SM. Quantum limited state discrimination // Fortschritte der Physik: Progress of Physics. — 2001. — Vol. 49, no. 10-11. — Pp. 909-913.
112. Barnett SM. Optical demonstrations of statistical decision theory for quantum systems // Quantum Information & Computation. — 2004. — Vol. 4, no. 6. — Pp. 450-459.
113. Bergou JA, Herzog U, Hillery M. 11 Discrimination of quantum states // Quantum state estimation. — Springer, 2004. — Pp. 417-465.
114. Chefles A. 12 quantum states: discrimination and classical information transmission. A review of experimental progress // Quantum state estimation. — Springer, 2004. — Pp. 467-511.
115. Bergou Janos A. Quantum state discrimination and selected applications // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Vol. 84. — 2007. — P. 012001.
116. Barnett SM, Croke S. Quantum state discrimination // Advances in Optics and Photonics. — 2009. — Vol. 1, no. 2. — Pp. 238-278.
117. Chefles A, Barnett SM. Optimum unambiguous discrimination between linearly independent symmetric states // Physics Letters A. — 1998. — Vol. 250, no. 4. — Pp. 223 - 229.
118. Ivanovic ID. How to differentiate between non-orthogonal states // Physics Letters A. — 1987. — Vol. 123, no. 6. — Pp. 257 - 259.
119. Chefles A. Condition for unambiguous state discrimination using local operations and classical communication // Phys. Rev. A. — 2004. — May. — Vol. 69.
— P. 050307.
120. Kennedy TAB, Walls DF. Squeezed quantum fluctuations and macroscopic quantum coherence // Phys. Rev. A. — 1988. — Jan. — Vol. 37. — Pp. 152-157.
121. Schleich W, Pernigo M, Kien FL. Nonclassical state from two pseudoclassical states // Phys. Rev. A. — 1991. — Aug. — Vol. 44. — Pp. 2172-2187.
122. Molmer K. Non-Gaussian states from continuous-wave Gaussian light sources // Phys. Rev. A. — 2006. — Jun. — Vol. 73. — P. 063804.
123. Kim MS, Buzek V. Photon statistics of superposition states in phase-sensitive reservoirs // Phys. Rev. A. — 1993. — Jan. — Vol. 47. — Pp. 610-619.
124. Klyshko DM. Polarization of light: fourth-order effects and polarization-squeezed states // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1997. — Vol. 84, no. 6. — Pp. 1065-1079.
125. Measurement of qubits / DFV James, PG Kwiat, WJ Munro, AG White // Phys. Rev. A. — 2001. — Oct. — Vol. 64. — P. 052312.
126. Stinespring WF. Positive functions on C*-algebras // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1955. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 211-216.
127. Theory of light detection in the presence of feedback / JH Shapiro, G Saplakoglu, S-T Ho et al. // JOSA B. — 1987. — Vol. 4, no. 10. — Pp. 1604-1620.
128. Semiclassical theory of light detection in the presence of feedback / JH Shapiro, MC Teich, BEA Saleh et al. // Physical review letters. — 1986. — Vol. 56, no. 11. — P. 1136.
129. Gradient-based closed-loop quantum optimal control in a solid-state two-qubit system / G Feng, FH Cho, H Katiyar et al. // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 5. — P. 052341.
130. Mendes RV. Universal families and quantum control in infinite dimensions // Physics Letters A. — 2009. — Vol. 373, no. 30. — Pp. 2529-2532.
Список иллюстративного материала
1.1 Оптическая схема (упрощенная) исследуемой системы КРКБЧ. Источник когерентного излучения ИКИ испускает слабый монохроматический свет (сигнал), в спектре которого после фазовой модуляции в электрооптическом модуляторе ФМА, к которому приложен осциллирующий электрический сигнал с частотой Q порядка нескольких ГГц и фазой Фа , появляются боковые частоты (на схеме показаны только первые боковые частоты). Далее модулированный сигнал проходит через квантовый канал КК (оптическое волокно), где претерпевает затухание. После сигнал прохождит второй электрооптический модулятор, к которому также приложен осциллирующий электрический сигнал с частотой Q и фазой фв. В зависимости от разности фаз Фа и фв амплитуды боковых частот увеличиваются (забирая часть энергии с центральной частоты в случае Фа = фв) или уменьшаются (энергия перетекает на центральную частоту). Узкополосный фильтр Ф пропускает только боковые частоты (и малую часть центральной частоты), далее происходит регистрация сигнала с помощью детектора одиночных фотонов Д......................... 67
1.2 Схема симметричного марковского двоичного канала со стиранием и ошибкой. Обозначения на схеме: х - событие посылки отправителем бита в канал («0» или «1»), у - события, соответствующие результату измерения получателя («0», «1» и «?», где последний символ обозначает неопределенный результат измерения), G = Р(?|0) = Р(?|1) - вероятность получения неопределенного результата (стирания), Е = Р(0|1) = Р(1|0) -вероятность инверсии бита (ошибки)................. 81
1.3 Схематичная зависимость коэффициента ошибок Ц от доли пропускания центральной моды спектральным фильтром Пунктирной линией с точками отмечены критические значения. Пунктирной линией со штрихами показана линейная аппроксимация при $ ^ 1....................... 86
1.4 Схематичная зависимость коэффициента ошибок от несовпадения фаз модулирующих сигналов Аф. Пунктирной линией с точками отмечены критические значения ......... 87
1.5 Схематичная зависимость коэффициента ошибок от вероятности темнового срабатывания детектора раагк. Пунктирной линией с точками отмечена асимптота при ^ ^ 0. Пунктирной линией со штрихами показана линейная аппроксимация при раагк ^ V..................... 88
1.6 Схематичная зависимость коэффициента ошибок от коэффициента несовпадения индексов модуляции а. Показан случай, когда а > 1, т.к. Q(a) = Q( 1). Пунктирной линией с точками отмечена асимптота при а ^ то. Пунктирной линией со штрихами показана квадратичная аппроксимация в области
|1 - < 1................................ 89
1.7 Схематичная зависимость видности V от доли пропускания центральной моды спектральным фильтром $........... 90
1.8 Схематичная зависимость видности V от несовпадения фаз модулирующих сигналов Аф..................... 91
1.9 Схематичная зависимость видности V от вероятности темнового срабатывания детектора роагк..................... 92
1.10 Схематичная зависимость видности V от коэффициента несовпадения индексов модуляции а. Показан случай, когда
а > 1, т.к. V(а) = V(1)........................ 92
2.1 Зависимости усредненных условных вероятностей различения Р(у\х) двух фазомодулированных когерентных состояний неравнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки \и) и \у) от дисперсии а случайного отклонения фазы Аф одного из состояний (при среднем значении Аф = 0) при различных событиях х посылки одного из двух состояний, и различных событиях у результатов различения. Символом «?» обозначен неопределенный результат. Расчет выполнен при д = 0.2.....................109
2.2 Зависимости усредненных условных вероятностей различения Р(у\х) двух фазомодулированных когерентных состояний неравнораспределенных на фазовой плоскости с равной априорной вероятностью посылки \и) и \у) от среднего значения Аф случайного отклонения фазы Аф одного из состояний (при дисперсии а = 0) при различных событиях х посылки одного из двух состояний, и различных событиях у результатов различения. Символом «?» обозначен неопределенный результат. Расчет выполнен при д = 0.2.....................111
3.1 Взаимное расположение элементов разбиения канала в случае, когда перехватчик производит атаку с однозначным различением состояний. Перехватчик разделяет канал на два, он посылает сигнальные квантовые состояния в канал аналогичный оригинальному с вероятностью 1 — Ре, а в идеальный канал без потерь (где он будет производить дальнейшие манипуляции с состояниями) - с вероятностью Ре соответственно. Канал аналогичный оригинальному может быть характеризован вероятностью получения в нем неопределенного результата С и вероятностью инверсии бита Е. В свою очередь канал перехватчика для измерений может быть характеризован вероятностью неопределенного результата С и вероятностью инверсии бита Е. Более того, канал перехватчика может быть представлен в виде последовательных каналов (которые показаны на Рисунке 3.2). Первый А ^ Е может быть характеризован вероятностью неопределенного результата при однозначном различении Рц. Второй Е ^ Е' - вероятностью произведения инверсии бита перехватчиком для сохранения числа ошибок Рр. Третий Е' ^ В - вероятностью неопределенного результата Се и вероятностью инверсии бита Ее для усиленного сигнала......................117
3.2 Атака с однозначным различением состояний может быть реализована в виде трех последовательных классическо-квантовых симметричных двоичных каналов со стиранием и/или ошибкой A ^ E ^ E' ^ B. (а) Канал со стиранием A ^ E моделирует процесс измерения с однозначных различением и может быть характеризован вероятностью получения неопределенного результата Ри = Р(?|0) = Р(?|1), где символом "?" обозначен неопределенный результат. (b) Канал E ^ E' с ошибкой моделирует внесение перехватчиком дополнительных инверсий бита для сохранения количества ошибок в битах легитимных пользователей, характеризуется вероятностью инверсии бита Рр = Р(011) = Р(110). Также считаем, что Р(?|?) = 1. (с) Канал E' ^ B со стиранием и ошибкой, моделирующий детектирование легитимными пользователями усиленный перехватчиком сигнал. Характеризуется вероятностью неопределенного результата
Ge = Р(?|0) = Р(?|1) и вероятностью инверсии бита
Ее = Р (0|1) = Р (1|0)..........................119
3.3 Различные комбинации вероятностей однозначного различения сигнальных состояний Ps и добавочных состояний Рм, удовлетворяющих условию det(A0) = 0 показаны схематично (серая линия) в плоскости (Ps, Рм). Значение параметра А, приведенного в выражении 3.20, является максимальным значением вероятности однозначного различения сигнальных и добавочного состояний.........................126
3.4 Зависимость параметра А, ограничивающего вероятность однозначного различения сигнальных и добавочного состояний в зависимости от абсолютного значения амплитуды когерентного состояния а при фиксированном значении параметра сжатия вакуума г = 0.2. Минимальное значение А « 4.36 х 10-4 получается при а ~ л/г ~ 0.45, или более точно, когда а и г связаны как в выражении 3.24 .................... 127
В.1 Зависимость степени поляризации И, приведенной в
выражении В.16 от нормированного безразмерного времени распространения в канале Ь/Ьс, где нормировочный коэффициент Ьс, приведенный в выражении В.17, указывает время, при котором степень поляризации значительно падает.
Параметры распространения приведены в тексте .......... 158
В.2 Временная эволюция нормированных параметров Стокса на
главной плоскости (срезе) (51,52,0) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале Ь/Ьс. Начиная с точки (0, 0, 1), состояние поляризации осциллирует за счет двулучепреломления, стремясь к точке (1, 0, 0) за счет дихроизма (^у > 1н) при Ь/Ьс < 1, а затем направляется в точку (0, 0, 0) за счет декогеренции в поляризационной области при Ь/Ьс > 1. Параметры
распространения приведены в тексте ................. 159
В.3 Временная эволюция нормированных параметров Стокса на
главной плоскости (срезе) (Б\, 0,53) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале Ь/Ьс. Начиная с точки (0, 0, 1), состояние поляризации осциллирует за счет двулучепреломления, стремясь к точке (1, 0, 0) за счет дихроизма (^у > 7н) при Ь/Ьс < 1, а затем направляется в точку (0, 0, 0) за счет декогеренции в поляризационной области при Ь/Ьс > 1. Параметры
распространения приведены в тексте ................. 161
В.4 Временная эволюция нормированных параметров Стокса на
главной плоскости (срезе) (0,52,5з) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале Ь/Ьс. На рисунке видны осцилляции (вращение) за счет двулучепреломления при Ь/Ьс < 1, однако последняя стадия развития при Ь/Ьс > 1 не видна в данной плоскости (перпендикулярна плоскости рисунка). Параметры распространения приведены в тексте.................162
Приложение А
Невозможность извлечения информации из сигналов с фазовым кодированием при проведении неразрушающего измерения, определяющего число фотонов
Рассмотрим когерентное состояние 1аег^) с модулем амплитуды а и с некоторой фазой которая кодирует значение бита. Покажем, что при измерении числа фотонов (проекции на базис Фока) в когерентном состоянии результаты измерений и редуцированное состояние после измерения не содержат информации о фазе (р. Вероятность получения опереденного результата измерения, указывающего на присутствие в данном отсчете или импульсе п фотонов, находится путем рассмотрения следа от произведения матрицы плотности когерентного состояния р и проектора на базис Фока |п)(п|:
Рп = ТГ(р|п)(п|) = Тг(|ае^)(ае^|п)(п|)
= Тг(££ (-)1Г1 ) 1к)Нп)(п\)
к=0 т=0 У/К.т.
^^^ -и2 (ае1^)к (а*е-11*)т ,ль.\, I \/ 1Л
= 1 1-тш-О МЫ^^Ь)
2 =0к=0т=0 Vb.ui.
= е-Н2, (А.1)
п.
где мы использовали свойство ортогональности базисных векторов Фока, т.е. (к\п) = 5кп, и представили когерентное состояние в базисе Фока в виде:
КЧ = £ е-^ ^^\п). (А.2)
п=0 *П.
Следовательно, состояние после измерения будет редуцированно следующим образом:
У1п)(п\ 1аег^)(аег^^1п)(п\ Р р . (А.3)
Найдем, каким образом оператор у7|п)(п| действует на вектора в базисе Фока |ш), представив его в виде ряда Тейлора. Рассмотрим два случая:
1. т = п
= £ (1"><П| — ')"И' (Д.4)
где I - единичный оператор. Воспользовавшись следующими свойствами:
I |т> = |т>, (А.5)
(|п><п|)к |ш> = (Н<п|)к—1|п><п|ш> = 0, (А.6)
получаем:
= £ (1(—2 (—|™> = ^ (А.7)
2. т = п
Воспользуемся следующим свойством:
(|п><п| )к ^ = (|п><п| 1 |п><п|п> = (|п><п| = ... = |п>, (А.8) тогда
00
= £ (Л 2 (!п><п' — /}*|">
00
= |»> + Г (Г-1^^ С"><^ —
= |п> +0= |п>. (А.9)
Следовательно, редуцированное состояние имеет следующий вид:
~ 1 ^^ —И2(ае^/Г\П\и\/ I /ТТЛ Р = -Тг^-^/|n><n||k><m|^/|n><n|
п 1 г\ п Л/ К* | |
/г=0 т=0 у
= ^>)<п| = |п><п|. (А.10)
Таким образом, согласно полученным выражениям А.1 и А.10 при измерении числа фотонов (проекции на базис Фока) в когерентных состояниях результаты измерений и редуцированное состояние после измерения не содержат информации о фазе когерентного состояния В случае фазомодулированных состояний задача сводится к рассмотренному выше случаю.
Приложение Б Классическая модель фазовой модуляции
Рассмотрим монохроматическое излучение А(р) = А0егшг, где А0 - комплексная амплитуда, ш - частота излучения. Процесс модуляции можно представить в виде гармонически изменяющегося показателя приломления в кристалле, дающее соответствующий гармонически меняющийся сдвиг фазы егт вт(ш+фА) , где т -индекс модуляции (пропорционален амплитуде модулирующего сигнала), О -частота модулирующего сигнала, фл - фаза модулирующего сигнала. Применяя разложение Якоби-Ангера, модулированный сигнал принимает следующий вид:
00
A(t)éim= Ait) £ Зп(т)еь(ш+фА)п
п\
п=—оо
00
£ [АоЬп(т)]ег(ш+Пп)1+гфАП, (Б.1)
п=
где >]п(т) - функция Бесселя первого рода n-го порядка. Таким образом, получаем излучение на боковых частотах с амплитудой А03п(т) и частотой ш + Qn. Недостатком классической теории фазовой модуляции считается появление отрицательных частот, когда п < — ^.
Рассмотрим также случай повторной модуляции с фазой модулирующего сигнала фв :
= А(1)е'Ъпс™()=™(ш+^) _ _ A(t) jr J„2rn cos( ^-^B )y«»+^ )» _
п
п=—ж
£ [ЛoJп2т cos(^^)]ei(w+Qп)t+^п. (б.2)
п=
Таким образом, получаем излучение на боковых частотах с амплитудой А03п2т еов(Фа—Фв ) и частотой и + Оп. Значение амплитуды зависит от разности
фаз модулирующих сигналов Фа — фв, происходит аналог интерференции. При разнице фаз Фа — фв = 0 индекс модулияции увеличивается (с т до 2т), соответственно энергия с центральной моды (при п = 0) дополнительно перетекает на боковые моды. При разнице фаз Фа — фв = я индекс модуляции зануляется, приводя к возвращению всей энергии в центральную моду.
Мощность излучения на каждой из частот может быть выражена в виде |A0Jп(m)|2. В свою очередь, используя тождество ^ТО=-оо Jn('m)2 = 1, мощность на всех боковых частотах |А0|2(1 — J0(т)2) зависит от изначальной мощности излучения |А0|2 и индекса модуляции т.
Приложение В
Поляризационные эффекты и декогеренция в поляризационной
области
В обозначениях Раздела 1.3 (квантовые состояния из выражения 1.11 преобразуются согласно выражению 1.18), начальная матрица плотности (в начале канала) многомодовых квантовых состояний выглядит следующим образом:
5
Р0 = | ®
3=—5
® 1азУе^) (азУе)ф |). (В.1)
Фаза Фз = была выбрана таким образом для более удобного учета набега фазы, вызванного распространением в канале до детектора, расположенного на расстоянии . Тогда момент измерения удовлетворяет следующему уравнению:
Р3х — ш(Р3 )г = 0. (В.2)
Во временной области частоты ортогонально поляризованных состояний слегка отличаются за счет эффекта двулучепреломления согласно выражению 1.17:
и3,н = ^н (Рз) = и(Рз )(1 + е), (В.3)
ШзУ = иу (Рз) = и(Рз )(1 — £). (В.4)
Тогда матрица плотности в момент измерения соответствует следующему выражению, согласно решению 1.53:
5
т = П р(*)з# ® №зУ, (В.5)
з=—5
Рисунок В.1 — Зависимость степени поляризации И, приведенной в выражении В.16 от нормированного безразмерного времени распространения в канале ¿/¿с, где нормировочный коэффициент , приведенный в выражении В.17, указывает время, при котором степень поляризации значительно падает. Параметры распространения приведены в тексте
где
('+
Пт
1 + Пт
X
(1 - е-7^)
~ - ^ г аз,ре 2
К+р
+ |а^|2е-7^1 IX
■ >)
аЗ,Р = аЗ,Ре
~ - "2- г а2
Х-Ш^^р£)
;в.6;
:В.7)
где р = Н или V соответственно. В общем случае скорость термализа-ции (и соответственно поглощения) ур зависит от типа поляризации (явление дихроизма). Операторы К+р,К0Р определяются выражениями, где операторы рождения и уничтожения отмечены соответствующими индексами (т.е. и
1 -0.5 0 0.5 1
878п, а.и.
Рисунок В.2 — Временная эволюция нормированных параметров Стокса на главной плоскости (срезе) (61,62,0) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале . Начиная с точки (0, 0, 1), состояние поляризации осциллирует за счет двулучепреломления, стремясь к точке (1, 0, 0) за счет дихроизма (7^ > 7я) при ^ 1, а затем направляется в точку (0, 0, 0) за счет декогеренции в поляризационной области при > 1. Параметры распространения
приведены в тексте
áj p). Выражение для матрицы плотности в момент измерения t учитывает зависимость коэффициента поглощения от типа поляризации и эффект двулуче-преломления. Оба эффекта изменяют тип поляризации сигнала (при измерения относительно начального при t = 0). Без дополнительных мер компенсации поляризационных искажений это может приводить увеличению числа ошибок в приемнике.
Для оценки степени поляризации одномодового когерентного состояния после распространения вдоль оптического волокна необходимо определить операторы и параметры (средние значения операторов) Стокса. Операторы Стокса определены в соответствии с [124]:
So = а)нан + Oyáv, (В.8)
S\ = ájy ááH — áy áy, (В.9)
S2 = á^Háv + áy á#, (В.10)
S3 = — i(cáHáv — áyá^. (В.11)
Для нахождения параметров Стокса необходимо ввести следующие соотношения, полагая á|a) = a|a):
Tr (|a)(a|áfá) = |a|2, Tr (|a)(a|á) = a, Tr (|a)(a|áj) = a
+ (|U/(U||á á | — 1 +3|tt|2 + |tt|4
n = a*
Tr (K+(|a)(a|)á^áj = 1 + 3|a|2 + |a|4, Tr (K+|a)(a|á) = 2a + |a|2a, Tr (k+ |a)(a|á^ = 2a* + |a|2a*, Tr (2 Ko|a)(a|áfá) = 3|a|2 + 2|a|4,
Tr (2 Ko|a)(a|á) = 2a + 2|a|2a, Tr (2 Ko|a)(a|á^ = 2a* + 2|a|2a*.
1 -0.5 0 0.5 1
8/8п, а.и.
Рисунок В.3 — Временная эволюция нормированных параметров Стокса на главной плоскости (срезе) (61, 0, £3) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале . Начиная с точки (0, 0, 1), состояние поляризации осциллирует за счет двулучепреломления, стремясь к точке (1, 0, 0) за счет дихроизма (7^ > 7я) при ^ 1, а затем направляется в точку (0, 0, 0) за счет декогеренции в поляризационной области при > 1. Параметры распространения
приведены в тексте
1 -0.5 0 0.5 1
82/80, а.и.
Рисунок В.4 — Временная эволюция нормированных параметров Стокса на
главной плоскости (срезе) (0, $2, $з) сферы Пуанкаре с течением нормированного безразмерного времени распространения в канале £ /£с. На
рисунке видны осцилляции (вращение) за счет двулучепреломления при t/^с < 1, однако последняя стадия развития при £/£ с > 1 не видна в данной плоскости (перпендикулярна плоскости рисунка). Параметры распространения приведены в тексте
Тогда параметры Стокса определяются следующим образом:
} = |2е* + пт(1 - е-1н*) + |2е* + пт(1 - е-7У'), (В.12) ] = К#|2е-1Н1 - ^у |2е-7У' + пт(е-7У* - е-1н 1), (В.13)
] = [(а,н )*азУег2г^ * + (азУ )*а^не-г2е^ ^ е-2(В.14)
4я = -г ((а,,яУазУег2^* - (азУУа^е-^<) е-2+7-X. (В.15)
Для экспериментального наблюдения поляризационных преобразований, вызванных рассмотренными релаксационными процессами, можно воспользо-
ваться стандартными квантовыми измерениями операторов Стокса для одиночных фотонов, представленными, например, в [124; 125].
Рассмотрим пример, который наглядно демонстрирует описанные выше эффекты. Для простоты зафиксируем одну моду ]. Выберем длину волны Л = 1.55 мкм, температуру Т = 300 К, тогда « 30 и пт ~ 10-13 (пренебрежем малой разностью между пт для горизонтальной и вертикальной поляризационной мод). Также выберем у71ан|2 + |2 = 1. Введем два параметра связанные с дихроизмом Д7 = ^ и двулучепреломлением Дш = ^. Будем полагать Д7 = 0.75 и Дш = 0.75 (соответственно £ = -1/7) 1. Рассмотрим следующее начальное состояние параметров Стокса: 51 = 0, 52 = 0, 53 = 1. Заменим £ на нормированным безразмерный параметр, для этого оценим критическое значение Ьс, при котором степень поляризации О, определнная ниже, снижается значительно:
/
52 + 5| + 5|
~о2
О = , -1 1 Г2 ' 3. (В.16)
'0
Согласно выражению 1.56 и, принимая во внимание, что |ан|2 = |ау|2 = 1/2 ^ пт и 7у > 7н, критическое значение Ьс определяется следующим образом:
гс = 1п(-Ц —. (В.17)
\2пт; 7я
Таким образом, мы будем рассматривать нормированный безразмерный параметр Ь/Ьс в интервале 0 < Ь/Ьс < 1.5. В самом деле, на Рисунке В.1 можно наблюдать резкое уменьшение степени поляризации при Ь/Ьс ~ 1. Развитие во времени нормированных параметров Стокса продемонстрировано на основных плоскостях (сечениях) (51?52,0), (51?0,53), и (0,52,53) сферы Пуанкаре на Рисунках В.2, В.3, и В.4 соответственно. На Рисунке В.2 и В.3, начиная с точки (0, 0, 1), состояние поляризации осциллирует за счет двулучепреломления, стремясь к точке (1, 0, 0) за счет дихроизма (7^ > 7я) при Ь/Ьс < 1, а затем направляется в точку (0, 0, 0) за счет декогеренции в поляризационной области при Ь/Ьс > 1. На Рисунке В.4 отчетливо видны осцилляции (вращение) за
1 Данные параметры выбраны только для наглядной демонстрации исследуемых эффектов и могут не совпадать с типичными значениями.
счет двулучепреломления при Ь/Ьс < 1, однако последняя стадия развития при Ъ/Ъс > 1 не видна в данной плоскости (перпендикулярна плоскости рисунка).
Приложение Г Граница Холево
Оценим количество информации доступное перехватчику с помощью теоремы Стайнспринга [126], в которой квантовый канал рассматривается как положительное сохраняющее след линейное отображение - унитарная изометрия и : А ^ В ® Е, которая отображает систему А в объединенную систему В ® Е. Тогда, полагая посылки идентичными и независимыми, емкость Холево для комплиментарного (А ^ Е) квантового канала (часть классической информации, которую можно надежно передать по квантовому каналу) имеет следующий вид:
(Еp*Qc(PZ)) — Е
\ X / X
x(Q°(p)) = s VPxQc(Px)\ — VPxS(Qc(Px)), (Г.1)
где Qc(p) = Tr-UpUt - комплиментарный канал, определяемый взятием частичного следа по подсистеме B от измененного изометрией оператора плотности безусловного канала р = ^XpXpX, pX - вероятности посылки чистых состояний pX, S = — Tr(p logp) - энтропия фон Неймана. Рассмотрим пару состояний, которые отправитель посылает в квантовый канал |и)л и |г>)л. Тогда в общем виде они преобразуются следующим образом:
Ил —+ а(1и)в ® M)E) + b(lv)- ® )E), (Г.2)
Ил —+ Ь(1и)в ® №)E) + a(lv)- ® )E), (Г.3)
где |й)в и |г;)в - состояния в подсистеме получателя, №)E и №)E - состоя-
ния (анциллы) в подсистеме Евы (полагая, что ее начальное состояние /е коэффициенты а и Ь удовлетворяют свойствам унитарности и нормировки. Емкость Холево максимальная, когда а = 1 и Ь = 0 (или наоборот), подразумевая незапутанные (но провзаимодействовавшие) состояния, т.е.
ИА ^ \й/В ® \ЛЕ, (Г.4)
И А ^ \г?/в ® \Г/Е. (Г.5)
Поскольку изометрия унитарная, она сохраняет перекрытия:
лЖЛ = БЖБ • E mr >E. (Г.6)
Для того, чтобы извлечь информацию из анцилл, они должны быть различимы, т.е. E(^u>E < 1. Учитывая, что б(м|^>б < 1, следовательно,
Л(Ф>Л < E(W>E. (Г.7)
Емкость Холево убывающая функция от перекрытий. Подставляя выражение с левой стороны от знака неравенства (вместо выражения с правой стороны) в выражении Г.7 как аргумент емкости Холево, получаем выражение границы Холево % (или х(р)), которое ограничивает сверху количество информации доступное Еве в комплиментарном канале вне зависимости от вида изометрии U.
Стоит отметить, что рассмотрение лишь двух состояний является наиболее общим, т.к. перехватчик производит измерение анцилл после согласования базисов между отправителем и получателем, соответственно он может произвести операцию унитарного поворота следующего вида [15]:
s s s
exp(^ kâ{âkфЬаа) ® Кd60k(P)e—i(ф-+ф-)k>k = ® laod6ok(f3)e->k,
k^=—S k=—S k=—S
(Г.8)
где фьи = {0,^} - фаза определяющая бит, фЬаа = {0, N,..., 1)} - фаза определяющая базис, â - оператор уничтожения, тем самым перехватчик может различать лишь между двумя состояниями.
Таким образом, в случае фазомодулированных состояний
Р = 11«><«| + 2ИМ = 2И0))№(0)| + 2 №М>«-М1, (Г.9)
где (0)> и |^(^)> - состояния определенные в выражении 1.1. Энтропия фон Неймана может быть рассчитана путем взятия энтропии Шеннона от собствен-
ных чисел оператора р:
Ах,2 = 2(1 ±1№(0)№М>|). (Г.10)
Собственные числа удовлетворяют следующему свойству:
1 - Лх = Л2, (Г.11)
Следовательно, энтропия Шеннона от собственных чисел преобразуется в функцию двоичной энтропии 1.68 от любого из собственных чисел. А перекрытие состояний определяется следующим выражением, которое может быть упрощенно с учетом выражений 1.9, 2.44, 2.43, 1.78:
<^(0)|^)> = е-МоМоо^)) « (Г.12)
Таким образом, количество информации доступное перехватчику при попытке извлечь информацию из фазомодулированных состояний, оценивается следующим образом:
х = ^2(1 - ^ ^. (Г.13)
Приложение Д
Квантовый контроль
В данном разделе рассмотрим полностью квантовое описание атаки, представленное в Разделе 3.1. Рассмотрим гильбертовы пространства Л, Б, Б отправителя, получателя и перехватчика соответственно. Отправитель приготовил набор состояний (И)а,..., |^п)л}, перехватчик приготовил вспомогательные состояния (анциллы) \ф)Е. На данном этапе их состояния не взаимодействуют и не коррелированы. Для того, чтобы перехватчик получил информацию о состояниях отправителя их состояния должны провзаимодействовать. В общем случае взаимодействие может быть описано унитарной операцией следующего вида ¿Тле:
где (|м1)в,...,|'йп)в} и (|фи1 )Е,1'фип)е} - пространство измененных в результате взаимодействия ^ле в квантовом канале состояний отправителя и анцилл перехватчика соответственно. Далее перехватчик должен сконструировать ПОМ (положительно-определенную операторную меру), состоящую из набора положительно-определенных операторов (АЕ}хех (здесь неопределенный результат измерения включен в индекс х):
Далее воспользуемся техникой полярной (унитарной) декомпозиции, согласно которой любой положительно-определенный оператор можно разложить в произведение двух операторов - один из них (модуль разлагаемого оператора) сохраняет вероятности, в то время как второй (унитарный) обеспечивает произвольное унитарное преобразование, такая декомпозиция является основой техники квантового контроля [127-130]. В общем случае ПОМ можно выразить
<
(Д.1)
Е ЛЕ = I.
(Д.2)
х
через оператор Крауса:
= А^. (Д.3)
В свою очередь, полярная декомпозиция оператора Крауса ^Е будет выглядить следуюшим образом:
кЕ = ¿/^Е, (Д.4)
где и - произвольный униатрный оператор.
Аналогичным образом перехватчик может применить унитарную декомпозицию к оператору Крауса, действующему в большем пространстве:
^Ев = ^ (^Б ® , (Д.5)
где в - оператор Крауса, УБЕ - унитарный оператор, который позволяет изменить состояния после измерения, результат измерения обозначен индексом х. Применяя данную технику мы описываем на квантовом языке процедуру изменения состояний отправителя в канале (аналогично приготовлению новых состояний в зависимости от результата измерения). Тогда состояния в канале после измерения выражаются следующим образом:
? >Б ® >Е
|й4>Б ® \Ф^ >Е = --, (Д.6)
- |^>Б 1Гг>Е |йг>в ® \ф^>Е =--, (Д.7)
где >Е} - анциллы перехватчика после измерения. Стоит отметить,
что из состояний
е он не получает никакой информации, т.к. они относятся к неопределенным результатам измерений (обозначенного символом «?»). Условные вероятности различных результатов обобщенного измерения опреде-
ляются следующим образом:
Р(?к) = ТГЕ (лЕ1Гг)е(Фщ|), (Д.8)
Р(щ 1т) = ТГЕ(ЛЕ^' 1Гг)е(Фщ|) , (Д.9)
где Р(?|мг) - условная вероятность неопределенного результата измерения состояния щ, Р(и31и г) - условная вероятность верного различения при % = ] или условная вероятность ошибочного различения при % = ].
После измерения перехватчик применяет описанную выше унитарную операцию ЩЕ следующим образом:
|«<)в ® 1Г-)е -Н |т?)в ® |Фи*?)Е
V
-3
(Д.10)
И)в ® )е > |иг)в ® )Е
где (|йг)в, |т?)в} и (1фщ1)Е, )Е} - измененные состояния в канале после при-
менения операторов УвЕ и УВЕ. Операторы УвЕ и УВЕ определяют унитарные операции, примененные в результате различения и неопределенного результатов измерения соответственно. Стоит отметить, что выбранные унитарные операторы У^Е и УВЕ должны сохранять перекрытия состояний, т.е. выполнять следующие условия:
вЫт )ве(Ф |Ф )Е = в<т,|т )ВЕ <Ф |Ф )Е, (Д.11)
в№) ВЕ (фф |Ф)Е = в<т?|й??}вЕ<фиг?|фи' ? )Е. (Д.12)
В качестве примера рассмотрим простой случай, в котором отправитель приготавливает только два неортогональных состояния. Обозначим состояния отправителя - (|т)л,|^)л}, начальные состояния анцилл перехватчика - |ф)Е, их унитарное взаимодействие - оператором ^АЕ:
ИЛ ® |Ф)Е и^ I Ив ® |фи)
'Е
Ил ® |ф)
Е
Ив ® |Ф)
(Д.13)
Е
где {|й>в,|^>в} и {|'фu>E,|'фv>Е} пространства измененных в результате взаимодействия ¿/"ае в канале состояний получателя (посланных отправителем) и анцилл перехватчика соответственно. Обозначим перекрытия состояний перехватчика следующим образом (обращаясь к свойству Г.7):
а = >Е > л<Ф>А. (Д.14)
Сконструируем векторы элементов ПОМ общего вида (а затем приведем их в вид ПОМ для однозначного различения):
1Фи>Е = Г>Е - Ь!Г>Е, (Д.15)
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.