Квантовая динамика многомодовых фотонных систем и их анализ в качестве информационного ресурса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Козубов Антон Владимирович

• Козубов Антон Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Козубов Антон Владимирович

Введение

Глава 1. Литературный обзор

Глава 2. Основные определения

2.1 Линейная алгебра на гильбертовых пространствах

2.1.1 Гильбертовы пространства

2.1.2 Нормы и метрики

2.2 Операторы на гильбертовом пространстве

2.3 Группы и алгебры

2.4 Теория вероятностей

2.5 Теория информации

Глава 3. Анализ многомодовых состояний с поляризационным

и фазовым кодированием информации

3.1 Точечные группы симметрии и их представления

3.2 Модель работы электро-оптического модулятора

3.2.1 Гамильтониан и би(2) алгебра Ли

3.2.2 Представление многомодовых неортогональных состояний

3.3 Симметризация пространства генерируемых последовательностей

3.4 Различия многомодовых состояний с фазовым и поляризационным кодированием

3.4.1 Размерность пространства

3.4.2 Линейная зависимость состояний

Глава 4. Квантовая модель декогеренции в поляризационной

области в оптическом волокне

4.1 Постановка задачи

4.2 Феноменологическая модель

4.3 Пример практического применения модели

Глава 5. Атаки на квантовые состояния в канале

5.1 Квантовые каналы

5.2 Общая характеристика атак

5.3 Описание протокола на многомодовых фазомодулированных состояниях

5.4 Коллективная атака со светоделителем и квантовой памятью

5.4.1 Теоретическое описание

5.4.2 Экпериментальное подтверждение

5.5 Невозможность атаки с разделением числа фотонов

5.6 Коллективная атака общего вида

5.7 Оценки получаемой информации при измерении

5.8 Критическая уязвимость систем на неортогональных состояниях

5.9 Атака с квантовым управлением

5.10 Атака с квантовым управлением на протоколы на двух неортогональных состояниях

5.10.1 Описание атаки

5.10.2 Различные стратегии измерения состояний

5.10.3 Оценка получаемой информации

5.11 Квантовый канал как марковская цепочка

Глава 6. Математическое доказательство стойкости протоколов

на когерентных состояниях

6.1 Расширение доказательств стойкости протокол на неортогональных состояниях на случай слабых когерентных импульсов

6.2 Оценка информационной ёмкости слабых когерентных состояний

6.2.1 Описание пространства состояний

6.2.2 Потенциальные уязвимости

6.2.3 Практическое решение

6.3 Оценка возможности генерации ^-стойкого ключа в системах, использующих когерентные состояния

6.3.1 Оценка параметров

6.3.2 Исправление ошибок

6.3.3 Усиление стойкости и выработка стойкой битовой последовательности

6.4 Пример

6.4.1 Оценка производительности системы КРКБЧ

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая динамика многомодовых фотонных систем и их анализ в качестве информационного ресурса»

Введение

На сегодняшний день квантовая теория информации является краеугольным камнем во многих областях современной науки, находясь на пересечении разделов современной физики, информатики и математики, таких как квантовая физика, квантовая оптика, теория информации, а также теория групп и алгебр, что позволяет ей активно развиваться в современном мире. Помимо фундаментальной важности данного направления, существует ряд прикладных аспектов, важнейшими из которых являются квантовая информатика и квантовая коммуникация. Глубокое понимание "квантовости"процессов, в свою очередь, невозможно без их детального теоретического анализа и дальнейшего развития теории функционирования ключевых элементов систем квантовой информатики и коммуникаций.

Область квантовой коммуникации на сегодняшний день вызывает неподдельный интерес уже не только с научной, но и с практической точки зрения. Большое число исследований проводится как в теоретической, так и экспериментальной области уже более 30 лет. Однако, несмотря на большое число имеющихся подходов к оценке стойкости, на сегодняшний день далеко не все существующие (что лабораторные, что коммерческие) системы квантового распределения ключа (КРК) имеют строгое безусловное доказательство стойкости. Главной причиной тому является тот факт, что до сих пор не существует универсального подхода к доказательству стойкости подобных систем. Это вызвано как и различной структурой используемых квантовых состояний, так и различными возможными реализациями систем КРК.

Большая часть используемых протоколов КРК строится на использовании ослабленных когерентных состояний. Важным свойством ослабленных когерентных состояний является то, что внутри любого конечного набора они неортогональны и линейно независимы. В начале этого века был проведен ряд работ, в которых доказывалась стойкость протокола на неортогональных состояниях. В качестве основной идеи данных работ можно выделить утверждение, что рассмотрение протокола на неортогональных состояниях (например, B92) можно свести к рассмотрения протокола дистилляции запутанности (EDP) или же к анализу только однофотонной части аналогичному оригинальному BB84.

В общепринятых подходах показана эквивалентность выбранных методов по аналогии с анализом протокола ББ84. Авторы работы, предполагают, что любое вмешательство злоумышленника в канал будет приводить к ошибкам. Однако, стоит отметить, что авторы работы пользуются рядом сильных допущений при доказательстве. Первое из них - применения неразрушающих измерений и выделение однофотонной на стороне получателя. Подобное допущение справедливо в случае использования кодирования информации по поляризации, однако абсолютно недопустимо для состояний с кодированием по фазе. В ряде работ показана техника доказательства для конечного набора когерентных состояний с кодированием по поляризации. Тем не менее, авторы также используют одно существенное допущение, а именно, - отбрасывание многофотонной части когерентных состояний, тем самым переходя к пространству меньшей размерности, где состояния становятся линейно зависимыми. Подобное допущение не может считаться физичными, потому что значительно изменяет структуру формируемых состояний, не имея на то должных оснований.

В связи с этим, становится очевидно, что необходимо расширение имеющихся теорий, основанное на отказе от вышеперечисленных допущений.

Целью данной работы является разработка методов описания квантовой динамики многомодовых фотонных систем для оценки развития различных квантовых состояний (как однофотонных, так и слабых когеретных или набора фоковских состояний) в произвольных (как линейных, так и не линейных) вполне положительных сохраняющих след квантовых каналах.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать модель описания пространства многомодовых квантовых фазомодулированных состояний, реализуемую на основе представлений абелевой группы точечной симметрии и одномерных представлений симметрической группы Бп.

2. Разработать описание как линейных, так и нелинейных вполне положительных сохраняющих след отображения, соответствующих атакам общего типа на систему квантового распределения ключа, использующих слабые когеретные состояния.

3. Доказать стойкость протоколов, использующих многомодовые неортогональные состояния, с учетом атак, не вносящих ошибок в квантовый канал, а также конечной длины кодовых слов.

4. Разработать модель динамики многочастотных однофотонных состояний с учетом декогеренции в поляризационной области в квантовом канале, и проанализировать ее влияние на пропускную способность канала.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пространство многомодовых квантовых фазомодулированных состояний может быть описано на основе представлений абелевой группы точечной симметрии и одномерных представлений симметрической группы Бп, построенных на принципах теории электро-оптического модулятора, использующей образующие Би(2) алгебры Ли.

2. Условие ограничения снизу границей Деветака-Винтера скорости генерации стойкого ключа для протоколов, использующих дискретные переменные, в асимптотическом приближении бесконечного числа бит при наличии коллективных атак, является недостаточным для случая рассмотрения протоколов, использующих линейно независимые состояния

3. Найдены условия, обеспечивающие стойкость протоколов, использующих многомодовые неортогональные состояния, к атакам, не вносящим ошибок в квантовый канал, а также с учетом конечной длины кодовых слов.

4. Декогеренция в поляризационной области однофотонного излучения в оптическом волоконном канале приводит к появлению ошибок, а также снижает пропускную способность квантового канала.

Научная новизна:

1. Впервые была разработана и предложена модель описания многомодовых квантовых фазомодулированных состояний на основе представлений абелевой группы точечной симметрии и одномерных представлений симметрической группы Бп, построенная на принципах теории электро-оптического модулятора, использующей образующие Би(2) алгебры Ли.

2. Впервые были проанализированы различные линейные вполне положительные сохраняющие след отображения, описывающие атаки общего

вида на системы квантового распределения ключа, использующие мно-гомодовые когерентные состояния, а также разработана модель нелинейного вполне положительного сохраняющего след развития состояний в квантовом канале с обратной связью на основе метода унитарной декомпозиции, описывающая динамику развития произвольных квантовых состояний в канале, зависящую от измерения одной из подсти-стем и позволяющая учитывать атаку с засветкой детектора в теоретическом рассмотрении протокола.

3. Впервые была доказана стойкость протоколов, использующих много-модовые неортогональные состояния к атакам, не вносящих ошибок в квантовый канал, а также с учетом конечной длины кодовых слов.

4. Впервые разработана модель неунитарной динамики многомодовых од-нофотонных состояний с учетом декогеренции в поляризационной области в квантовом канале и проанализировать ее влияние на пропускную способность канала.

Научная и практическая значимость Данная работа является значимой как с научной, так и с практической точки зрения, в виду того, что разработанные в диссертации подходы, модели и доказательства были представлены впервые и уже используются для реализации в реально существующих образцах систем квантового распределения ключей, использующих многомодовые состояний.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается хорошим совпадением построенных моделей с полученными экспериментальными данными. Кроме того, работы представлялись на различных ведущих международных конференциях, а также опубликованы в рецензируемых научных журналах, входящих в первый квартиль. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

- Kozubov A.V. Quantum control attack on quantum key distribution systems, Quantum model of decoherence in the polarization domain for the fiber channel // 9th International Conference on Quantum Cryptography, Montreal, Canada, 26.08.2018-30.08.2018

- Kozubov A.V. Dynamics of non-orthogonal states in quantum channels // QKD Security Workshop 2019, Toronto, Canada, 01.08.2019 - 02.08.2019

— Kozubov A.V. Analysis of quantum dynamics of multimode weak coherent states and their information properties // ICQOQI 2019, Minsk, Belarus, 13.05.2019 - 17.09.2019

— Козубов А.В. Квантовая динамика многомодовых фотонных систем и их анализ в качестве информационного ресурса // XLVIII научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, 29.01.2019 - 1.02.2019.

— Kozubov A.V. Finite-key analysis for subcarrier wave quantum key distribution // 8th International Conference on Quantum Cryptography, Shanghai, China, 27.08.2018-31.08.2018

— Kozubov A.V. Subcarrier wave quantum networking for free space communications// 18th International Conference on Laser Optics ICLO 2018, Санкт-Петербург, Россия, 4-8 июня 2018

— Козубов А.В. Исследование неравенства параметров модуляции в системах квантовой коммуникации на боковых частотах и его применение для обнаружения атаки с полным различением состояний //VII Всероссийский конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 17.04.2018 - 20.04.2018

— Козубов А.В. Устойчивость протокола с четырьмя неортогональными когерентными состояниями для системы квантовой коммуникации на боковых частотах к коллективным атакам // XLVII научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, 30.01.2018-02.02.2018

— Kozubov A.V. Practical security for subcarrier wave quantum key distribution against collective beam-splitting attack // 7th International Conference on Quantum Cryptography, Cambridge, UK, 18.09.2017-22.09.2017.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 статьях, из них 6 работ издано в журналах, рекомендованных Перечнем ВАК и входящих в списки Web of Science/Scopus, 1 — в прочих изданиях.

Статьи из списков Web of Science/Scopus, ВАК:

— Kozubov A. Quantum model of decoherence in the polarization domain for the fiber channel / Kozubov A., Gaidash A., Miroshnichenko G. //Physical

Review A. - 2019. - Т. 99. (5), май - №. 5. - С. 053842. (0,31 п.л. / 0,17 п.л.)

- Kozubov A.V. Methods of decreasing the unambiguous state discrimination probability for subcarrier wave quantum key distribution systems / Gaidash A.A., Kozubov A.V., Miroshnichenko G.P. // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. - 2019 (3). - Vol. 36.(3), март - № 3. - Pp. B16-B19 (0, 25 п.л. / 0,1 п.л.)

- Kozubov A.V. Security of subcarrier wave quantum key distribution against the collective beam-splitting attack / Miroshnichenko G.P., Kozubov A.V., Gaidash A.A., Gleim A.V., Horoshko D.B. // Optics express. - 2018. - Vol. 26. - № 9. - Pp. 11292-11308 (1,1 п.л. / 0,5 п.л.)

- Kozubov A.V. Subcarrier wave quantum networking for free space communications / Gleim A.V., Kynev S.M., Egorov V.I., Chistyakov V.V., Volkova K.P., Vasilev A.B., Kozubov A.V., Gaidash A.A., Latypov I.Z., Vitkin V.V., Kolyubin S.A., Bespalov V.G., Bobtsov A.A., Kozlov S.A. //Proceedings - International Conference Laser Optics 2018, ICLO 2018, IET - 2018, pp. 281 (0,06 п.л. / 0,01 п.л.)

- Kozubov A.V. Sideband quantum communication at 1 Mbit/s on a metropolitan area network / Gleim A.V., Chistyakov V.V., Bannik O.I., Egorov V.I., Buldakov N.V., Vasilev A.B., Gaidash A.A., Kozubov A.V., Smirnov S.V., Kynev S.M., Khoruzhnikov S.E., Kozlov S.A., Vasil'ev V.N. //Journal of Optical Technology, IET - 2017, Vol. 84, No. 6, pp. 362-367 (0.37 п.л. / 0,08 п.л.)

- Kozubov A.V. Security conditions for sub-carrier wave quantum key distribution protocol in errorless channel / Gaidash A.A., Kozubov A.V., Chistyakov V.V., Miroshnichenko G.P., Egorov V.I., Gleim A.V. //Journal of Physics: Conference Series, IET - 2017, Vol. 917, No. 6, pp. 062014 (0,12 п.л. / 0,06 п.л.)

Прочие публикации:

- Козубов А.В. Многоузловая квантовая сеть на основе технологии квантовой коммуникации на боковых частотах / Чистяков В.В., Глейм А.В., Банник О.И., Васильев А.Б., Гайдаш А.А., Козубов А.В., Смирнов С.В., Егоров В.И., Козлов С.А //Сборник трудов XI Международного симпо-

зиума по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (ФЭКС - 2017) -2017. - С. 102-103С. 13. (0,06 п.л. / 0,01 п.л.) Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 150 страниц с 16 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 115 наименований.

Глава 1. Литературный обзор

На сегодняшний день квантовая теория информации является краеугольным камнем во многих областях современной науки. Данное направление является одной из ключевых областей исследования, находящихся на пересечении разделов современной физики, информатики и математики, таких как квантовая физика, квантовая оптика, теория информации, теория групп и алгебр, что позволяет ей активно развиваться в современном мире. Помимо фундаментальной важности данного раздела науки, существует ряд прикладных аспектов, важнейшими из которых являются квантовая информатики и квантовая коммуникация.

Область квантовой коммуникации на сегодняшний день вызывает неподдельный интерес уже не только с научной, но и с практической точки зрения. Большое число созданных в лабораториях устройств успешно функционируют. Часть из них выходит даже на коммерческий рынок. Однако, следует понимать, что в отличие от идеализированных математических моделей, реальные устройства могут в значительной мере от них отличаться. Таким образом, становится очевидной потребность в создании реалистичных моделей, описывающих реальные устройства.

В связи с отсутствием моделей для ряда ключевых устройств, на сегодняшний день далеко не все существующие (что лабораторные, что коммерческие) системы имеют строгое доказательство стойкости. Помимо этого, одной из основных причин тому является тот факт, что все ещё не существует универсального подхода к доказательству стойкости подобных систем. Для правильного описания работы системы квантового распределения ключей (КРК) необходимо квантово-оптически описывать как структурные элементы системы, так и сами состояния, в виду того, что различная структура состояний задает их основные свойства, которые должны приниматься во внимание. Можно выделить несколько характеристик, по которым делятся существующие протоколы. Первая характеристика - дискретность (непрерывность) переменных. Каждая из категорий имеют свои преимущества и недостатки. На сегодняшний день наиболее распространенными и продвинутыми что в экспериментальной, что в теоретической части исследований являются протоколы, использующие дис-

кретные переменные. В свою очередь существует достаточно большое деление и среди этой группы протоколов. Глобально их можно поделить на несколько категорий - протоколы использующие истинно однофотонное излучение, протоколы на ослабленных когерентных/смешанных состояниях и протоколы на запутанных парах. На сегодняшний день наиболее используемыми являются протоколы на ослабленных когерентных/смешанных состояниях. Причиной тому является тот факт, что подобные состояния гораздо проще приготовить экспериментально. В свою очередь, протоколы на подобных состояниях можно так же разделить на несколько подгрупп. Очевидным способом дискретизации подобных протоколов является тип кодирования информации в них. Можно выделить несколько основных типов: протоколы с поляризационным кодированием, протоколы с фазовым кодированием, протоколы с частотным кодирование и протоколы с временным кодированием. Далеко не для всех из них на сегодняшний день существуют полные доказательства стойкости.

Важным свойством ослабленных когерентных состояний является то, что их конечный набор является линейно независимым. В начале этого века был проведен ряд работ, в которых доказывалась стойкость протокола на неортогональных состояниях [1-5]. В качестве основной идеи данных работ можно выделить утверждение, что рассмотрение протокола на неортогональных состояниях (напримре, B92) можно свести к рассмотрения протокола дистилляции запутанности (EDP) или же к анализу только однофотонной части аналогичному оригинальному BB84. В работах [2; 7] показана эквивалентность выбранных подходов по аналогии с анализом протокола BB84. Авторы работы, предполагают, что любое вмешательство злоумышленника в канал будет приводить к ошибкам. Однако, стоит отметить, что авторы работы пользуются рядом сильных допущений при доказательстве. Первое из них - применения неразруша-ющих измерений и выделение однофотонной на стороне получателя. Подобное допущение справедливо в случае использования кодирования информации по поляризации, однако абсолютно недопустимо для состояний с кодированием по фазе. Тем не менее, стоит отметить, что подобное рассмотрение не может быть эквивалентно. Подобная неэквивалентность вызвана тем, что для случая неортогональных состояний существует возможность однозначного различения без ошибки. Это объясняется тем, что подобные состояния являются линейно независимыми, в отличии от состояний в реализации протокола BB84 с помощью

одиночных фотонов. Более подробно аспекты особенностей различных состояний будут представлены в Главе 5.

В работе [5] показана техника доказательства для конечного набора когерентных состояний с кодированием по поляризации. Тем не менее, авторы также используют одно существенное допущение, а именно, - отбрасывание многофотонной части когерентных состояний, тем самым переходя к пространству меньшей размерности, где состояния становятся линейными. Подобное допущение не может считаться физичными, потому что значительно изменяет структуру формируемых состояний, не имея на то должных оснований.

Стоит отметить, что квантовая оптика возглавляет список разделов, лежащих в основе разработки и развития протоколов квантовых коммуникаций, квантовой криптографии, телепортации и плотного кодирования, где основным требованием является полностью квантовый режим функционирования элементов информационных каналов. Глубокое понимание "квантовости"процессов, в свою очередь, невозможно без их детального теоретического анализа и дальнейшего развития теории функционирования ключевых элементов систем квантовых коммуникаций.

Как правило, в существующих системах квантовой информатики квантовые каналы используются параллельно с классическими, использующими частотное кодирование единиц информации. С этой точки зрения, ввиду широко развитой инфраструктуры классических каналов, привлекательным выглядит использование именно частотного кодирования кубитов или фазового кодирования в независимых спектральных каналах. Пионерские работы в этом направлении связаны с квантовой криптографией на боковых (поднесущих) частотах [6; 8-11]. Однако классического описания рассматриваемых устройств недостаточно для корректного моделирования протоколов квантовой информатики, так как попытки рассматривать (квази-) однофотонные модели в рамках классических подходов приводят к неунитарным преобразованиям спектра [12] и, как следствие, нарушению положений квантовой механики. Использование полностью квантовых моделей преобразования спектра затруднено сложностью моделирования квантовых многочастотных каналов и логических устройств, основанных на их взаимодействии. О положении дел в этой области явно говорит тот факт, что квантовые модели всех пассивных оптических элементов, использующиеся в других (поляризационных, путем разнесения в пространстве

и/или времени и пр.) способах кодирования давно известны и описаны, например [13-15], тогда как полностью квантовые модели устройств, преобразующих спектры сигналов (фазовых модуляторов) появились совсем недавно [16].

Основной решаемой научной проблемой данного исследования является возможности управления квантовыми состояниями электромагнитного поля, распространяющегося в кристаллических средах, свойства которых определяются приложенными внешними полями. Важной задачей в данном направлении является описание эволюцию квантовых состояний света в процессе его распространения, а также связанные с ним эффекты модуляции. Теоретический анализ, используемый для решения поставленной задачи охватывает по меньшей мере три крупные направления исследований, которые переплетаются в представляемой диссертации: квантовые режимы фазовой модуляции, квантовая теория световодов и квантовая оптика ориентационно-упорядоченных сред. Описание процесса электрооптической модуляции квантового света будет применено к изучению динамики многомодовых фотонных систем, реализуемых электрооптическим модулятором. Эти устройства являются ключевыми в протоколах квантовой криптографии, основанных на фазовом кодировании. В качестве одного из таких устройств и основного предлагается рассматривать фазовый модулятор, работающий на основе линейного электро-оптического эффекта Поккельса в кристалле, например, ниобата лития (ЫКЬОЗ). Полностью квантовая модель фазового модулятора предполагает квантовое описание как модулирующего микроволнового поля, так и модулируемого оптического. Это сложная задача, один из подходов к которой - исследование эффективно гамильтониана трехбозонного параметрического процесса с образующими, подчиняющимися некоторой алгебре со сложной структурой. В силу этого была построена полуклассическую модель, в которой образующие эффективного гамильтониана подчиняются квантовой деформации исходной алгебры на Би(2). Это предполагает рассмотрение микроволнового поля в классическом приближении, а также ограничение числа взаимодействующих мод (произвольное, но конечное число). Использование данного подхода позволит более точно описывать состояния, формируемые электро-оптическим фазовым модулятором. Отличительной особенностью предложенного подхода является рассмотрение модулятора как многоканального (многопортового) квантового вентиля, реализующего параметрическое взаимодействие между частотными каналами (модами). Данный

подход имеет широкие перспективы с технологической и фундаментальной точек зрения, однако их детальное раскрытие требует науко- и ресурсоемкого моделирования квантовой динамики многомодовых систем.

В частности, требуется учесть поляризационные степени свободы излучения с целью использования их в комбинации с частотными каналами для улучшения/модификации/ускорения существующих протоколов передачи, а также описания возможных ошибок и методов их устранения. Рассматриваемый анализ был бы неполным без изучения поляризационных эффектов в процессе распространения квантового света по оптическому волокну. К ним относятся учет эффектов, связанных с геометрической фазой света, учет поляризационной мо-довой дисперсии, возникающей вследствие несовпадения групповых скоростей ортогонально-поляризованных мод, а также учет зависящих от поляризации потерь. Для этого будет разработан математический аппарат, основанный на алгебраическом подходе к задачам, использующим эффективные гамильтонианы. Данный анализ будет дополнен методами оценки и исследованиями квантовых состояний, созданных при помощи электро-оптического фазового модулятора, в качестве информационного ресурса, будут оценены пропускные способности различных конфигураций квантовых и классических каналов.

После построения квантовой модели элеткро-оптического фазового модулятора становится возможным описать формирование используемых квантовых состояний и провести их оценку в качестве информационного ресурса.

В качестве основного, преобразуемого электро-оптическим модулятором, состояния для оценки информационных свойств, формируемых многомодовых фотонных систем, в данной работе будет работе будут рассмотрены когерентные состояния. Данный выбор обусловлен тем, что одним из самых востребованных направлений использования электро-оптических модуляторов является квантовая криптография. На сегодняшний момент развития технологий для увеличения производительности подобных систем (увеличение скорости генерации ключей, предельной дальности распределения) общепринятым является использование когерентных состояний. Несмотря на очевидные недостатки, возникающие при переходе от одиночных фотонов в качестве носителя информации к когерентным состояниям, данный подход позволяет обеспечить распределенное формирование ключа между двумя легитимными пользователями. Вопрос доказательства устойчивости систем квантовой криптографии использующих

когерентные состояния вместо однофотонных пакетов является одним из важнейших областей развития квантовой теории информации.

Комплексный подход к понимаю природы подобных оценок позволяет проанализировать и найти решение главной задачи теории информации - оценке пропускной способности зашумленного квантового канала. Стоит отметить, что в общепринятом представлении принято рассматривать квантовые каналы как вполне положительные сохраняющие след отображения. В зависимости от того, какой тип информации должен быть передан, существует несколько пропускных способностей, которые могут быть определены для квантового канала, среди них, например, классическая, квантовая и конфиденциальная пропускные способности. В отличие от классической теории информации, где пропускная способность выражается известной однобуквенной формулой Шеннона, статус пропускной способности квантовых каналов гораздо сложнее. Известно, что соответствующие величины являются неаддитивными, что является одной из важных задач в квантовой теории информации, и наилучшая известная формула для расчета пропускной способности включает в себя оптимизацию по растущему числу использования («регуляризация») каналов , где необходимо выполнить оптимизацию по бесконечному числу переменных, что делает невозможным прямой численный перебор в лоб. Это затрудняет получение ответов на вопросы, связанные с пропускной способностью квантового канала, даже на некоторые простые качественные вопросы, такие как например, имеет ли смысл использовать данный квантовый канал для передачи квантовой информации. Подобная неаддитивность в квантовой теории Шеннона связана с запутанностью, которая не имеет классического аналога. Использование запутанных входных состояний нескольких каналов, позволяет передавать больше информации, чем последовательное использование входных состояний. Запутанные входные состояния различных квантовых каналов открывают двери для всех видов эффектов, которые невозможны в классической теории информации. Таким феноменом является, например, суперактивация - существуют два квантовых канала, которые не могут передавать квантовую информацию, когда они используются по отдельности, но могут передавать с положительной скоростью, когда они используются вместе. Феномен суперактивации и, в более широком смысле, супераддитивности подразумевает, что пропускная способность квантового канала не характеризует канал адекватно, поскольку полезность

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козубов Антон Владимирович, 2019 год

Список литературы

1. Koashi, M. Unconditional security of coherent-state quantum key distribution with a strong phase-reference pulse/ M. Koashi //Physical review letters. -2004. - Т. 93. - №. 12. - С. 120501.

2. Tamaki, K. Unconditionally secure key distribution based on two nonorthogonal states / K. Tamaki, M. Koashi, N. Imoto // Physical review letters. - 2003. - Vol. 90, no. 16. - P. 167904.

3. Christandl, M. A generic security proof for quantum key distribution / M. Christandl, R. Renner, A. Ekert // arXiv preprint quant-ph/0402131. — 2004.

4. Renner, R. Information-theoretic security proof for quantum-key-distribution protocols / R. Renner, N. Gisin, B. Kraus // Physical Review A. — 2005. — Vol. 72, no. 1. — P. 012332.

5. Lo, H.-K. Security of quantum key distribution using weak coherent states with nonrandom phases / H.-K. Lo, J. Preskill // Quantum Information Computation. — 2007. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 431-458.

6. Miroshnochenko, G. P. Security of subcarrier wave quantum key distribution against the collective beam-splitting attack / G. P. Miroshnichenko, A. V. Kozubov,A. A. Gaidash , A. V. Gleim, D. B. Horoshko // Optics express. — 2018. — Vol. 26, no. 9. — Pp. 11292-11308.

7. Tamaki, K. Unconditional security of the Bennett1992 quantum keydistribution protocol over a lossy and noisy channel / K. Tamaki, N. Liitkenhaus //Physical Review A. — 2004. — Vol. 69, no. 3. — P. 032316.

8. Gleim, A.V. Sideband quantum communication at 1 Mbit/s on a metropolitan area network / A.V. Gleim, V.V. Chistyakov, O.I. Bannik, V.I. Egorov, N.V. Buldakov, A.B. Vasilev, A.A. Gaidash, A.V. Kozubov, S.V. Smirnov, S.M. Kynev, S.E. Khoruzhnikov, S.A. Kozlov, V.N. Vasil'ev //Journal of OpticalTechnology. — 2017. — Vol. 84, no. 6. — Pp. 362-367.

9. Gleim, A.V. Secure polarization-independent subcarrier quantum key distribution in optical fiber channel using BB84 protocol with a strong reference

/ A. V. Gleim, V. I. Egorov, Yu. V. Nazarov, S. V. Smirnov, V. V. Chistyakov, O. I. Bannik, A. A. Anisimov, S. M. Kynev, A. E. Ivanova, R. J. Collins, S. A. Kozlov, and G. S. Buller // Optics express. — 2016. — Vol. 24, no. 3. — Pp. 2619-2633.

10. Merolla, J.-M. Single-photon interference in sidebands of phase-modulated light for quantumcryptography / J.-M. Merolla, Yu. Mazurenko, J.-P. Goedgebuer,W.T. Rhodes //Physical review letters. — 1999. — Vol. 82, no. 8. —P. 1656.

11. Merolla, J.M. Integrated quantum key distribution system using single sideband detection / J. M. Merolla, L. Duraffourg, J. P. Goedgebuer, A. Soujaeff, F. Patois, W. T. Rhodes// The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. — 2002. — Vol. 18, no. 2. — Pp. 141-146.

12. Kumar, P. Evolution of quantum states in an electro-optic phase modulator / P. Kumar, A. Prabhakar // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2008. — Vol. 45, no. 2. — Pp. 149-156.

13. Marcikic, I. Time-bin entangled qubits for quantum communication created by femtosecond pulses / I. Marcikic, H. de Riedmatten, W. Tittel, V. Scarani, H. Zbinden, N. Gisin // Physical Review A. — 2002. — Vol. 66, no. 6. — P. 062308.

14. Spring, J.B. Boson sampling on a photonic chip / J.B. Spring, B.J. Metcalf, P.C. Humphreys, W.S. Kolthammer, X.-M. Jin, M. Barbieri, A Datta, N. Thomas-Peter, N. K. Langford, D. Kundys, J.C. Gates, B.J. Smith, P.G. R. Smith, I.A. Walmsley // Science. — 2013. — Vol. 339, no. 6121. — Pp. 798-801.

15. Stenholm, S. Polarization coding of quantum information / S. Stenholm // Optics communications. — 1996. — Vol. 123, no. 1-3. — Pp. 287-296.

16. Miroshnichenko, G.P. Algebraic approach to electro-optic modulation of light: exactly solvable multimode quantum model / G.P. Miroshnichenko, A.D. Kiselev, A.I. Trifanov, A.V. Gleim //J. Opt. Soc. Am. B. — 2017. — Jun. — Vol. 34, no. 6. — Pp. 1177-1190.

17. Renner, R. Simple and tight bounds for information reconciliation and privacy amplification / R. Renner, S. Wolf // International Conference on the Theoryand Application of Cryptology and Information Security / Springer.

- 2005.- Pp. 199-216.

18. Winter, A. Potential capacities of quantum channels / A. Winter, D. Yang // IEEE Transactions on Information Theory. — 2016. — Vol. 62, no. 3. — Pp. 1415-1424.

19. Sutter, D. Approximate degradable quantum channels / D. Sutter, V.B. Scholz, A. Winter, R. Renner //IEEE Transactions on Information Theory. — 2017.

— Vol. 63, no. 12. — Pp. 7832-7844.

20. Renner, R. Smooth Renyi entropy and applications / R. Renner, S. Wolf // International Symposium onInformation Theory, 2004. ISIT 2004. Proceedings. /IEEE. — 2004. — P. 233.

21. Renner, R. Security of Quantum Key Distribution / R. Renner //arXiv preprint quant-ph/0512258. — 2005.

22. Tomamichel, M. A framework for non-asymptotic quantum information theory / M. Tomamichel //arXiv preprint arXiv:1203.2142. — 2012

23. Shannon, C. E. A mathematical theory of communication / C. E. Shannon //Bell system technical journal. — 1948. — Vol. 27, no. 3. — Pp. 379-423.

24. Tomamichel, M. A fully quantum asymptotic equipartition property / M. Tomamichel, R. Colbeck, R. Renner //IEEE Transactions on information theory. —2009. — Vol. 55, no. 12. — Pp. 5840-5847.

25. Gaidash Andrei, Kozubov Anton, Miroshnichenko George. Methods of decreasing the unambiguous state discrimination probability for subcarrier wave quantum key distribution systems / A. Gaidash, A. Kozubov, G. Miroshnichenko //JOSA B. — 2019. — Vol. 36, no. 3. —Pp. B16-B19.

26. Gaidash, A. Countermeasures for advanced unambiguous state discrimination attack on quantum key distribution protocol based on weak coherent states / A. Gaidash, A. Kozubov, G. Miroshnichenko // Physica Scripta. — 2019. — Vol. 94, no. 12. — P. 125102.

27. Bloch, M. Frequency-coded quantum key distribution / M. Bloch, S. W. McLaughlin, J.-M. Merolla, F. Patois // Optics letters. - 2007. - Vol. 32, no. 3. - Pp. 301-303.

28. Ilchenko, V.S. Whispering-gallery-mode electro-optic modulator and photonic microwave receiver / V.S. Ilchenko, A.A. Savchenkov, A.B. Matsko, L. Maleki // JOSA B. - 2003. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 333-342.

29. Tsang, M. Cavity quantum electro-optics / M. Tsang // Physical Review A.

- 2010. - Vol. 81, no. 6. - P. 063837.

30. Matsko, A.B. On fundamental quantum noises of whispering gallery mode electro-optic modulators / A. B. Matsko, A. A. Savchenkov, V. S. Ilchenko, D. Seidel, L. Maleki //Optics express. - 2007. - Vol. 15, no. 25. - Pp. 17401-17409.

31. Savchenkov, A.A. Single-sideband electro-optical modulator and tunable microwave photonic receiver / A. A. Savchenkov, A. B. Matsko, W. Liang, V. S. Ilchenko, D. Seidel, L. Maleki // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 2010. - Vol. 58, no. 11. - Pp. 3167-3174.

32. Louisell, W.H. Quantum uctuations and noise in parametric processes. I. / W.H. Louisell, A. Yariv, A.E. Siegman // Physical Review. - 1961. - Vol. 124, no. 6. - P. 1646.

33. Armstrong, J.A. Bloembergen N, Ducuing J Pershan. PS: Interactions between light waves in a nonlinear dielectric / J.A Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P.S. Pershan // Phys. Rev. - 1962. - Vol. 127. - Pp. 1918-1939.

34. Gordon, J.P. Quantum fluctuations and noise in parametric processes. II / J.P. Gordon, W.H. Louisell, L.R. Walker // Physical Review. - 1963. - Vol. 129, no. 1. - P. 481.

35. Dodonov, V.V. Quantum phenomena in nonstationary media / V.V. Dodonov, A.B. Klimov, D.E. Nikonov // Physical Review A. - 1993. - Vol. 47, no. 5.

- P. 4422.

36. Brown, L.S. Quantum-mechanical parametric amplification / L.S. Brown, L.J. Carson // Physical Review A. - 1979. - Vol. 20, no. 6. - P. 2486.

37. Biedenharn, L.C. Angular momentum in quantum physics. Theory and application / L.C. Biedenharn, J.D. Louck // Encycl. Math. Appl. — 1981.

— Vol. 8. — Pp. 1-716.

38. Ribordy, G. Long-distance entanglement-based quantum key distribution / G. Ribordy, J. Brendel, J. D. Gautier, N. Gisin, H. Zbinden // Physical Review A. — 2000. — Vol. 63, no. 1. — P. 012309.

39. Varshalovich, D.A. Quantum theory of angular momentum / D.A. Varshalovich, A.N. Moskalev, V.K. Khersonskii.// — World Scientific, 1988.

40. Simon, B. Representations of finite and compact groups. No. 10. / B. Simon//

— American Mathematical Soc., 1996.

41. Ma, X. Phase-matching quantum key distribution / X. Ma, P. Zeng, H. Zhou // Physical Review X. — 2018. — Vol. 8, no. 3. — P. 031043.

42. Ma, X. Quantum cryptography: theory and practice / X. Ma // arXiv preprint arXiv:0808.1385. — 2008.

43. Gobby, C. Quantum key distribution over 122 km of standard telecom fiber / C. Gobby, Z.L. Yuan, A.J. Shields // Applied Physics Letters. — 2004. — Vol. 84, no. 19. — Pp. 3762-3764.

44. Lucamarini, M. Efficient decoy-state quantum key distribution with quanti ed security / M. Lucamarini, K. A. Patel, J. F. Dynes, B. Frohlich, A. W. Sharpe, A. R. Dixon, Z. L. Yuan, R. V. Penty, and A. J. Shields // Optics express. — 2013. — Vol. 21, no. 21. — Pp. 24550-24565.

45. Kraus, B. Lower and upper bounds on the secret-key rate for quantum key distribution protocols using one-way classical communication / B. Kraus, N. Gisin, R. Renner // Physical review letters. — 2005. — Vol. 95, no. 8. — P. 080501.

46. Lo, H.-K. Unconditional security of quantum key distribution over arbitrarily long distances / H.K. Lo, H.F. Chau // Science. — 1999. — Vol. 283, no. 5410.

— Pp. 2050-2056.

47. Lucamarini, M. Robust unconditionally secure quantum key distribution with two nonorthogonal and uninformative states / M. Lucamarini, G. Di Giuseppe, K. Tamaki // Physical Review A. - 2009. - Vol. 80, no. 3. - P. 032327.

48. Lidar, D.A. Decoherence-free subspaces and subsysytems / D.A. Lidar, K.B. Whaley // Irreversible quantum dynamics. — Springer, 2003. — Pp. 83-120.

49. Omnes, R. General theory of the decoherence effect in quantum mechanics / R. Omnes // Physical Review A. — 1997. — Vol. 56, no. 5. — P. 3383.

50. Zurek, W.H. Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical / W.H. Zurek // Reviews of modern physics. — 2003. — Vol. 75, no. 3. — P. 715.

51. Mandel, L. Optical coherence and quantum optics / L. Mandel, E. Wolf // — Cambridge university press, 1995.

52. Born, M. Principles of Optics. Electromagnetic theory of propagation, interference and di raction of light. Forth edition. / M. Born, E. Wolf// — 1968.

53. Агранович, В. М. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. / В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург// - Наука, 1965.

54. Gisin, N. Combined effects of polarization mode dispersion and polarization dependent losses in optical fibers / N. Gisin, B. Huttner // Optics communications. — 1997. — Vol. 142, no. 1-3. — Pp. 119-125.

55. Dong, H. Measurement of Mueller matrix for an optical ber system with birefringence and polarization-dependent loss or gain / H. Dong, P. Shum, M. Yan, J. Q. Zhou, G. X. Ning, Y. D. Gong, C. Q. Wu // Optics communications. — 2007. — Vol. 274, no. 1. — Pp. 116-123.

56. Palmieri, L. Polarization properties of spun single-mode fibers / L. Palmieri // Journal of lightwave technology. — 2006. — Vol. 24, no. 11. — Pp. 4075-4088.

57. Rashleigh, S.C. Polarization mode dispersion in single-mode fibers / S.C. Rashleigh, R. Ulrich // Optics Letters. — 1978. — Vol. 3, no. 2. — Pp. 60-62.

58. Poole, C.D. Dynamical equation for polarization dispersion / C.D. Poole, J.H. Winters, J.A. Nagel // Optics Letters. — 1991. — Vol. 16, no. 6. — Pp. 372-374.

59. Nolan, D.A. Fibers with low polarization-mode dispersion / D.A. Nolan, X. Chen, M.-J. Li // Journal of lightwave technology. — 2004. — Vol. 22, no. 4. — Pp. 1066-1077.

60. Zhang, H. Vector dark domain wall solitons in a ber ring laser / H. Zhang, D.Y. Tang, L.M. Zhao, R.J. Knize // Optics Express. — 2010. — Vol. 18, no. 5. — Pp. 4428-4433.

61. Zhang, H. Observation of polarization domain wall solitons in weakly birefringent cavity ber lasers / H. Zhang, D.Y. Tang, L.M. Zhao, X. Wu // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 5. — P. 052302.

62. Zhang, H. Dual-wavelength domain wall solitons in a ber ring laser / H. Zhang, D.Y. Tang, L. Zhao, X. Wu // Optics express. — 2011. — Vol. 19, no. 4. — Pp. 3525-3530.

63. Zanardi, P. Noiseless quantum codes / P. Zanardi, M. Rasetti// Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 17. — P. 3306.

64. Han, C. Long distance quantum communication over a noisy channel / C. Han, Z.-W. Zhou, G.-C. Guo // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2006. — Vol. 39, no. 7. — P. 1677.

65. Walton, Z.D. Decoherence-free subspaces in quantum key distribution / Z. D. Walton, A. F. Abouraddy, A. V. Sergienko, B. E. Saleh, M. C. Teich // Physical review letters. — 2003. — Vol. 91, no. 8. — P. 087901.

66. Nielsen, M.A. Chuang IL. Quantum computation and quantum information. / M.A. Nielsen, I.L. Chuang // — Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

67. Fano, U. Description of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques / U. Fano // Reviews of Modern Physics. — 1957. — Vol. 29, no. 1. — P. 74.

68. Gisin, N. Quantum cryptography and long distance Bell experiments: How to control decoherence / N. Gisin, J. Brendel, J-D. Gautier, B. Gisin, B. Huttner, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Decoherence: Theoretical, Experimental, and Conceptual Problems. - Springer, 2000. - Pp. 191-200.

69. Miroshnichenko, G.P. Hamiltonian of photons in a single-mode optical ber for quantum communications protocols / G.P. Miroshnichenko // Optics and Spectroscopy. - 2012. - Vol. 112, no. 5. - Pp. 777-786.

70. Miroshnichenko, G.P. Optimization of optical ber parameters to reduce errors of quantum key distribution using entangled polarization states of biphotons /

G.P. Miroshnichenko, A.A. Sotnikova // Optics and Spectroscopy. - 2012. -Vol. 112, no. 3. - Pp. 327-334.

71. Korolkova, N. Polarization squeezing and continuous-variable polarization entanglement / N. Korolkova, G. Leuchs, R. Loudon, T.C. Ralph, C. Silberhorn // Physical Review A. - 2002. - Vol. 65, no. 5. - P. 052306.

72. Lehner, J. Unpolarized light: classical and quantum states / J. Lehner, U. Leonhardt, H. Paul // Physical Review A. - 1996. - Vol. 53, no. 4. - P. 2727.

73. White, R.M. Quantum theory of magnetism. / R.M. White // - Springer, 1983. - Vol. 1.

74. Klyshko, D.M. Polarization of light: fourth-order e ects and polarization-squeezed states / D.M. Klyshko // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1997. - Vol. 84, no. 6. - Pp. 1065-1079.

75. James, D.F.V. Measurement of qubits/ D.F.V. James, P.G. Kwiat, W.J. Munro, A.G. White // Phys. Rev. A. - 2001. - Oct. - Vol. 64. - P. 052312.

76. Shor, P.W. Simple proof of security of the BB84 quantum key distribution protocol / P.W. Shor, J. Preskill // Physical review letters. - 2000. - Vol. 85, no. 2. - P. 441.

77. Scarani, V. The security of practical quantum key distribution / V. Scarani,

H. Bechmann-Pasquinucci, N.J. Cerf, M. Dusek, N. Lütkenhaus, M. Peev // Reviews of modern physics. - 2009. - Vol. 81, no. 3. - P. 1301.

78. Csiszar, I. Broadcast channels with con dential messages / I. Csiszar, J. Korner // IEEE transactions on information theory. — 1978. — Vol. 24, no. 3. — Pp. 339-348.

79. Devetak, I. Distillation of secret key and entanglement from quantum states / I. Devetak, A. Winter // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and engineering sciences. — 2005. — Vol. 461, no. 2053. — Pp. 207-235.

80. Pirandola, S. Advances in Quantum Cryptography / S. Pirandola, U. L. Andersen, L. Banchi, M. Berta, D. Bunandar, R. Colbeck, D. Englund, T. Gehring, C. Lupo, C. Ottaviani, J. Pereira, M. Razavi, J. S. Shaari, M. Tomamichel, V. C. Usenko, G. Vallone, P. Villoresi, P. Wallden // arXiv preprint arXiv:1906.01645. — 2019

81. Christandl, M. Postselection technique for quantum channels with applications to quantum cryptography / M. Christandl, R. Konig, R. Renner // Physical review letters. — 2009. — Vol. 102, no. 2. — P. 020504.

82. Stinespring, W.F. Positive functions on C*-algebras / W. F. Stinespring // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1955. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 211-216.

83. Holevo, A.S. The capacity of the quantum channel with general signal states / A.S. Holevo // IEEE Transactions on Information Theory. — 1998. — Vol. 44, no. 1. — Pp. 269-273.

84. Schumacher, B. Sending classical information via noisy quantum channels / B. Shumacher, M.D. Westmoreland // Physical Review A. — 1997. — Vol. 56, no. 1. — P. 131.

85. Cover, T. M. Elements of information theory / T.M. Cover,J.A. Thomas // Wiley Series in Telecommunications. — 1991.

86. Guerreau, O.L. Quantum key distribution without a single-photon source using a strong reference / O.L. Guerreau, F.J. Malassenet, S.W. McLaughlin, J.-M. Merolla // IEEE photonics technology letters. — 2005. — Vol. 17, no. 8. — Pp. 1755-1757.

87. Ekert, A.K. Eavesdropping on quantum-cryptographical systems / A.K. Ekert, B. Huttner, G.M. Palma, A. Peres // Physical Review A. - 1994. - Vol. 50, no. 2. - P. 1047.

88. Kozubov, A. Finite-key security for quantum key distribution systems utilizing weak coherent states / A. Kozubov, A. Gaidash, G. Miroshnichenko // arXiv preprint arXiv:1903.04371. - 2019.

89. Helstrom C.W. Quantum detection and estimation theory. / C.W. Helstrom // — Academic press, 1976.

90. Diamanti, E. Practical challenges in quantum key distribution / E. Diamanti, H.-K. Lo, B. Qi, Z. Yuan // npj Quantum Information. — 2016. — Vol. 2. — P. 16025.

91. Dupuis, F. Entropy accumulation / F. Dupuis, O. Fawzi, R. Renner // arXiv preprint arXiv:1607.01796. - 2016.

92. Arnon-Friedman, R. Practical device-independent quantum cryptography via entropy accumulation / R. Arnon-Friedman, F. Dupuis, O. Fawzi, R. Renner, T. Vidick // Nature communications. - 2018. - Vol. 9, no. 1. - P. 459.

93. Shapiro, J. H. Theory of light detection in the presence of feedback / J. H. Shapiro, G. Saplakoglu, S. T. Ho, P. Kumar, B. E. A. Saleh, M. C. Teich // JOSA B. - 1987. - Vol. 4, no. 10. - Pp. 1604-1620.

94. Shapiro, J. H. Semiclassical theory of light detection in the presence of feedback / J. H. Shapiro, M. C. Teich, B. E. A. Saleh, P. Kumar, G. Saplakoglu // Physical review letters. - 1986. - Vol. 56, no. 11. - P. 1136.

95. Feng, G. Gradient-based closed-loop quantum optimal control in a solid-state two-qubit system / G. Feng, F. H. Cho, H. Katiyar, J. Li, D. Lu, J. Baugh, R. Laflamme// Physical Review A. - 2018. - Vol. 98, no. 5. - P. 052341.

96. Mendes, R.V. Universal families and quantum control in in nite dimensions / R.V. Mendes // Physics Letters A. - 2009. - Vol. 373, no. 30. - Pp. 2529-2532.

97. Bennett, C.H. Experimental quantum cryptography / C. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail, J. Smolin // Journal of cryptology. — 1992.

— Vol. 5, no. 1. — Pp. 3-28.

98. Gaidash, A. Revealing beam-splitting attack in a quantum cryptography system with a photon-number-resolving detector / A. Gaidash, V. Egorov, A. Gleim // JOSA B. — 2016. — Vol. 33, no. 7. — Pp. 1451-1455.

99. Chistiakov, V. Controlling single-photon detector ID210 with bright light / V. Chistiakov, A. Huang, V. Egorov, V. Makarov // arXiv preprint arXiv:1905.09380. — 2019.

100. Ko, H. Advanced unambiguous state discrimination attack and countermeasure strategy in a practical B92 QKD system / H. Ko, B.-S. Choi, J.-S. Choe, C.J. Youn // Quantum Information Processing. — 2018. — Vol.17,no.1.— P.17.

101. Wyner, A.D. The wire-tap channel / A.D. Wyner // Bell system technical journal. — 1975. — Vol. 54, no. 8. — Pp. 1355-1387.

102. Stucki, D. Fast and simple one-way quantum key distribution / D. Stucki, N. Brunner, N. Gisin, V. Scarani, H. Zbinden // Applied Physics Letters. — 2005.

— Vol. 87, no. 19. — P. 194108.

103. Inoue, K. Differential phase shift quantum key distribution / K. Inoue, E. Waks, Y. Yamamoto // Physical Review Letters. — 2002. — Vol. 89, no. 3. — P. 037902.

104. Lucamarini, M. Overcoming the rate-distance limit of quantum key distribution without quantum repeaters / M. Lucamarini, Z.L. Yuan, J.F. Dynes, A.J. Shields // Nature. — 2018. — Vol. 557, no. 7705. — P. 400.

105. Zhong, H. Proof-of-principle experimental demonstration of twin- eld type quantum key distribution / X. Zhong, J. Hu, M. Curty, L. Qian, H. K. Lo,// arXiv preprint arXiv:1902.10209. — 2019.

106. Minder, M. Experimental quantum key distribution beyond the repeaterless secret key capacity / M. Minder, M. Pittaluga, G. L. Roberts, M. Lucamarini, J. F. Dynes, Z. L. Yuan, A. J. Shields // Nature Photonics. — 2019. — Vol. 13, no. 5. — P. 334.

107. Clarke, R.B.M. Experimental demonstration of optimal unambiguous state discrimination / R.B.M. Clarke, A. Chefles, S.M. Barnett, E. Riis // Physical Review A. - 2001. - Vol. 63, no. 4. - P. 040305.

108. Mohseni, M. Optical realization of optimal unambiguous discrimination for pure and mixed quantum states / M. Mohseni, A.M. Steinberg, J.A Bergou // Physical review letters. - 2004. - Vol. 93, no. 20. - P. 200403.

109. Scarani, V. Security bounds for quantum cryptography with finite resources / V. Scarani, R. Renner // Workshop on Quantum Computation, Communication, and Cryptography / Springer. - 2008. - Pp. 83-95.

110. Scarani, V. Quantum cryptography with nite resources: Unconditional security bound for discrete-variable protocols with one-way postprocessing / V. Scarani, R. Renner // Physical review letters. - 2008. - Vol. 100, no. 20. - P. 200501.

111. Renner, R. de Finetti representation theorem for infinite-dimensional quantum systems and applications to quantum cryptography / R. Renner, J.I. Cirac // Physical review letters. - 2009. - Vol. 102, no. 11. - P. 110504.

112. Serfling, R.J. Probability inequalities for the sum in sampling without replacement / R.J. Serfling// The Annals of Statistics. - 1974. - Pp. 39-48.

113. Tomamichel, M. Leftover hashing against quantum side information/ M. Tomamichel, C. Schafner, A. Smith, R. Renner // IEEE Transactions on Information Theory. - 2011. - Vol. 57, no. 8. - Pp. 5524-5535.

114. Arnon-Friedman, R. Simple and tight device-independent security proofs / R. Arnon-Friedman, R. Renner, T. Vidick // arXiv preprint arXiv:1607.01797. -2016.

115. Scully, M.O. Quantum optics. / M.O. Scully, M.S. Zubairy - 1999.

Список рисунков

3.1 Графическое представление процесса модуляции в системах с многомодовыми слабыми когерентными состояниями, показывающее изначальный и промодулированные спектры. ... 37

4.1 Траектории векторов Р(п)(£) на плоскости жг Стокса-Пуанкаре представлены жирными черными линиями. Числа п = 1, 2,3,4 отмечают номера векторов. Графики рассчитаны по формулам 4.30, 4.31, 4.32 при условии формулы 5.34. Канал параметризован следующим образом: в = 10, т = "£ -безразмерная длина канала (т < 1). Н, V, £, ^ отмечают начальные точки траекторий и соответствуют чистым состояниям из формулы 4.25...................... 57

4.2 Траектории векторов Р(п)(£) на плоскости жг Стокса-Пуанкаре представлены жирными черными линиями. Числа п = 1, 2,3,4 отмечают номера векторов. Графики рассчитаны по формулам 4.30, 4.31, 4.32 при условии формулы 5.34. Канал параметризован следующим образом: в = 0.2, т = "£ -безразмерная длина канала (т < 1). Н, V, £, ^ отмечают начальные точки траекторий и соответствуют чистым состояниям из формулы 4.25...................... 58

4.3 Зависимость квантового коэффициента ошибок Q от безразмерной длины канала т = "£ (т < 1) в зависимости от выбранной конфигурации канала как Рис. 4.1 и Рис. 4.2, т.е.

в/" = 10 и в/" = 0.2 соотвественно.................. 59

4.4 Зависимость критической длины канала тсгц, от различного соотношения параметров канал в/". Здесь т = "£ (т < 1) -безразмерная длина канала, тсгц - критическая длина канала, при которой скорость генерации стойкого ключа падает до нуля, т.е. когда 1 — 2Н^(тсгц)) = 0 [76], где ^(ж) - функция бинарной энтропии Шеннона........................... 60

5.1 Принципиальная схема системы квантового распределения ключа на основе многомодовых слабых когерентных состояний. ФМ- фазовый модулятор, СФ - спектральный фильм, ДОФ -детектор одиночных фотонов...................... 70

5.2 Диаграммы (а) двоичного симметричного канала с ошибкой и стиранием и (б) эквивалентного каскада симметричного двоичного канала и канала стирания. Вопросительный знак обозначает неопределенный результат................. 76

5.3 Среднее число фотонов, обеспечивающее максимальное значение скорости генерации стойкого к коллективной атаке со светоделителем ключа как функцию от потерь канала для двух типов детекторов............................ 78

5.4 Зависимость скорости генерации стойкого к коллективной атаке со светоделителем ключа от потери канала в системе КРКБЧ с параметрами, заданными в таблице при использовании двух типов фотоприемников. Скорость генерации стойкого к коллективной атаке со светоделителем ключа К рассчитывается по формуле (5.33) для оптимальных значений д, показанных на

рис. 5.3.................................. 79

5.5 Экспериментальная скорость генерации просеянного ключа (а) и квантовый коэффициент ошибок (Ь) как функция от от потерь в канале в системе КРКБЧ с ЛФ, реализующей протокол с четырьмя состояниями......................... 80

5.6 Экспериментальная зависимость скорости генерации стойкого к коллективной атаке со светоделителем ключа как функция от потерь в канале в системе КРКБЧ с ЛФ, реализующей протокол

с четырьмя состояниями........................ 81

5.7 Визуальное представление рассматриваемой изометрии, где начальные состояния | и)д и отображаются (распространяются в) квантовым каналом Я,(р) и комплиментарным квантовым каналом 02с(р) в состояния |и)# и

доступные Бобу и состояния анцилл Евы и

соответственно. Серая зона означает возможное запутывание состояний или, по крайней мере, их предыдущее взаимодействие. Здесь и перепутаны с |и)# и |й)# соотвественно. ... 85

5.8 Графическое представление линейного вполне положительного сохраняющего след отображения с измерением одной из подсистем 94

5.9 Зависимости вероятностей различения от разной конструкции ПОМа для и = 0,6. Кривые обозначают вероятность правильной дискриминации Р(и^щ) (уравнение 5.123) и вероятность ошибки Р(м \и{) (уравнение 5.124) в разных конфигурациях ПОМа варьирующихся д. В частности, наименьшее значения д указывают на режим измерения в базисе Брейдбарда (уравнения 5.132 и 5.133). Значение д = и = 0,6 указывает на однозначное различение состояний без ошибки ( уравнение 5.126)........110

5.10 Зависимость взаимной информации между Алисой и Евой,

I(А; Е), от параметра, который обозначает построение ПОМа по уравнению 5.139 с и = 0.6.......................112

6.1 Зависимость скорости генерации стойкого ключа Я от потерь в канале в системе КРКБЧ с разным количеством задетектированных квантовых битов. Следует отметить, что для п = 105 нельзя сгенерировать стойкий ключ, а для п чуть более 105 скорость генерации стойкого ключа резко падает по сравнению с близкими к асимптотическим случаям......... 131

Список таблиц

1 Описание параметров модели

132