Равновесие в теоретико-игровых моделях переговоров и коллективных решений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Кондратьев Алексей Юрьевич

• Кондратьев Алексей Юрьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Кондратьев Алексей Юрьевич

Введение

1 Модели переговоров при заключении двухсторонних сделок

1.1 Модель одношагового двухстороннего двойного закрытого аукциона Чаттержи и Самюэльсона

1.2 Равновесие в классе дифференцируемых профилей стратегий

1.3 Равновесие в классе пороговых профилей стратегий

1.3.1 Равновесие в классе профилей стратегий с одним порогом

1.3.2 Равновесие в классе 2-пороговых профилей стратегий

1.3.3 Равновесие в классе п-пороговых профилей стратегий

1.4 Равновесие при равномерном распределении резервных цен

1.5 Сравнение найденных решений. Примеры

2 Модели многошаговых переговоров с дисконтированием

2.1 Модель многошаговых двухсторонних торгов

2.1.1 Равновесие в классе дифференцируемых профилей стра-

то г и и

2.1.2 Равновесие в классе пороговых профилей стратегий

2.2 Модель последовательных переговоров о моменте встречи

2.2.1 Постановка задачи и общая схема решения

2.2.2 Равновесие для случая трех участников

2.2.3 Равновесие для случая четырех участников

2.2.4 Равновесие для случая п участников и близком к единице коэффициенте дисконтирования

3 Переговоры с конечным множеством альтернатив

3.1 Задача коллективного ранжирования альтернатив

3.2 Характеристическая функция как значение игры с постоянной суммой

3.3 Ранжирование на основе турнирной матрицы

3.4 Сравнение с классическими процедурами ранжирования

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие в теоретико-игровых моделях переговоров и коллективных решений»

Введение

Актуальность темы. Потребность в принятии коллективных решений возникает во многих сферах человеческой деятельности, например, в политике, экономике, управлении. Стороны могут принять решение в результате переговоров, обмениваясь информацией между собой. Решение также может быть принято независимой стороной, арбитром, учитывающим интересы сторон. Переговоры с участием арбитра совмещают оба подхода, при этом независимая сторона привлекается в спорных ситуациях.

Математическая теория игр является хорошим инструментом для моделирования существующих механизмов принятия коллективных решений и для разработки новых подходов. Математическая модель позволяет исследовать количественные и качественные характеристики механизма принятия решений. Для ее построения необходимо определить множества участников, независимых сторон и доступных альтернатив. Должны быть сформулированы критерии и способы реализации принятия решения, вид информации и правила обмена информацией между участниками.

К задачам переговоров относятся распределение ресурсов, проведение конкурсов и торгов, разрешение политических конфликтов, принятие законов в законодательных органах власти и другие. Удобной моделью решения данной задачи является принцип совершенного подыгрового равновесия в игре с полной информацией, предложенный Рубинштейном, развитый в работах Кардона, Понсати, Бэнкса, Дуггана, Мерло, Предтеченского и других.

Важный подход в моделировании проведения торгов был развит в работах Чаттержи, Самуэльсона, Майерсона, Маскина, Саттервейта, Уильямса и других как теоретико-игровая модель взаимодействия с неполной информацией между продавцами и покупателями. у 1цсс т в ус т много недостаточно изученных аспектов торгов. Среди них - дифференцированность товаров, дополняемость и комплект продуктов, многошаговость торгов, вопросы динамики, процессы

обмена информацией, существование второй и последующих возможностей для сделки, если на первом этапе сделку совершить не удалось, согласованный выбор процедур и правил между продавцами и покупателями, прямое взаимное влияние участников торгов для создания или корректировки правил заключения сделки, вопросы построения наилучшей процедуры заключения сделки.

Для принятия коллективных решений используются различные процедуры. Одной из них является голосование, на основе которого делается ранжирование альтернатив с последующим принятием заключительного решения. Задачам ранжирования альтернатив были посвящен ы работы Эрроу, Брамса, Килгура, Тейлора, Фишбурна, Янга, Смита, Алескерова и других. Важной зйд&чби здесь остается исследование различных свойств ранжирования и построение процедур, удовлетворяющих оптимальным свойствам.

Степень разработанности. В диссертационной работе исследуется модель двухстороннего двойного аукциона с закрытыми одновременными предложениями [1-8]. Эта модель заключения сделки представляет собой игру с неполной информацией. Продавцы и покупатели должны принимать решение с учетом вероятности того, кто будет участником при заключении сделки. Поэтому в ка-чбствб решения ИЩ6Тся байесовское равновесие, частный случай равновесия по Нэшу. Каждый игрок обладает личной информацией о резервной цене, которую не знает другой игрок. Резервная цена - это цена, ниже которой продавец не согласен продавать свой товар, либо максимальная цена, которую готов заплатить покупатель. Резервные цены являются случайными величинами с произвольными распределениями вероятностей. Игроки появляются на рынке и объявляют цену на товар, не обязательно совпадающую с резервными ценами. Сделка происходит, если предложенная цена покупателя превосходит объявленную цену продавца.

В работе Чаттержи и Самуэльсона [1] впервые предложен этот подход и показано, что в равновесии стратегии неубывающие. Для строго возрастающих и дифференцируемых стратегий найдено необходимое условие существования равновесия, оно является решением системы двух дифференциальных уравнений. Для случая равномерного распределения резервных цен найдено равновесие с линейными оптимальными стратегиями, а в работе [2] показано, что это равновесие стимулирует максимальный суммарный доход участников сре-

п

стратегий быть равновесием, оно является решением системы алгебраических уравнений. Для случая равномерного распределения резервных цен численно найдены симметричные дифференцируемые равновесия и две последовательности п-пороговых равновесий, сходящихся к тривиальному равновесию и к линейному равновесиям. Для широкого класса распределений с непрерывной плотностью найдены условия максимизации общего [5] и индивидуального [4,7] дохода в равновесии в классе двухсторонних механизмов с закрытыми предложениями.

Общая парадигма принципал-агент представлена в [9]. В [10] проведен сравнительный анализ (для равномерных распределений) трех механизмов заключения сделки: модель торгов по схеме предложение-контрпредложение Перри [11], двухсторонний двойной закрытый аукцион Чаттержи и Самуэльсо-на [1] и многосторонний двойной аукцион МакАфи [12]. Показано, что механизм Чаттержи-Самуэльсона с комиссионными приводит к наибольшему ожидаемому доходу продавцов, покупателей и владельца рынка, являясь лучшим компромиссом между количеством участников и вероятностью сделки. В данной постановке все еще недостаточно исследован многомерный случай [14], обмен информацией в ходе торгов [13], прямое взаимное влияние агентов [15] для корректировки правил заключения сделки.

Общая теория аукционов изложена в книгах [16,17]. В недавних работах [18,19] построены модели, стимулирующие честное поведение агентов. Другой подход к теоретико-игровому моделированию взаимодействия между производителями и потребителями в условиях несовершенной конкуренции в виде од-ноэтапных и двухэтапных аукционов однородного товара представлен в [20,21].

Модели переговоров являются традиционным предметом теории игр. Переговоры окружают нас в реальной жизни. Арбитражное решение задачи переговоров было предложено в работах [22,23]. Метод обратной индукции для нахождения стационарного совершенного по подыграм равновесия в классической задаче переговоров двух лиц о разделе пирога был предложен Рубинштейном [24]. Ее важным обобщением является задача совместного выбора альтернативы [25-37]. Игроки по очереди предлагают на голосование альтернативу из некоторого подмножества евклидова пространства. Каждый игрок голосует и предлагает решение с учетом собственных и чужих предпочтений. В [25, 26] исследовано существование стационарного абсолютного равновесия в чистых и

смешанных стратегиях в случае случайного порядка предложений игроками и вогнутых функций предпочтений. Единственность равновесия для случая одномерной альтернативы, случайного порядка предложений и квадратичных функций предпочтений исследовано в [27], а для вогнутых функций предпочтений в [28]. Характеристическое уравнение для нахождения предельного равновесия при случайном порядке предложений, одномерной альтернативе и бесконечно терпеливых участниках исследовано в работах [29,30]. В работе [31] исследовано существование и единственность стационарного совершенного по подыграм равновесия в переговорах n лиц при одномерной альтернативе, непрерывных без локальных максимумов функциях предпочтений участников и неслучайной последовательности предложений.

Задача ранжирования кандидатов на какую-то позицию на основании бюллетеней, проголосовавших за них избирателей, возникает при выборах президента страны, директора компании, профессора кафедры и многих других позиций. При этом, предполагается, что выборы являются свободными, честными и открытыми. При голосовании избиратели заполняют бюллетени, в которых они указывают свои предпочтения представленным кандидатам. Обычно предполагается ^ ч^то бюллетеней значительно больше, чем кандидатов • На основании всех заполненных бюллетеней должен быть определен победитель. Важное значение имеет способ определения победителя. Этот способ обработки бюллетеней должен обладать рядом положительных свойств. От голосующих требуется заполнить бюллетень, указав относительные предпочтения для кандидатов. Существуют разные способы заполнения и обработки бюллетеней.

В 1785 г. Кондорсе описал парадокс, который заключается в том, что для более двух альтернатив коллективное ранжирование альтернатив может быть не транзитивным относительно попарных сравнений, даже если ранжирование всех избирателей является транзитивным. Этот пар адо кс был обобщен в 1951 г. теоремой о невозможности Эрроу [38]. Было доказано, что не существует процедуры ранжирования, удовлетворяющей свойствам универсальности, независимости от посторонних альтернатив, единогласия и отсутствия диктатора.

В методе простого ^Зо л^в ххт и н ств aj от голосующих требуется указать самого предпочтительного » Победителем является кандидат, набравший наибольшее количество голосов. Это распространенная система, она легко pea-

лизуема, требует небольших вычислений, однако не учитывает ньюансы в ситуациях, когда несколько кандидатов одинаково предпочтительны голосующим.

Процедура ранжирования (Ranked elections) требует, чтобы в бюллетене кандидаты стояли в порядке убывания предпочтений. Этот метод наиболее точНО OTp9i-)K9i6T прбдпочтбниб КйНДИД^ТОВ Л .Я ВС6Х избирателей. Здесь с ущвс т в уб т несколько способов подсчета голосов и они по-разному чувствительны к изменению предпочтений голосующих. Каждый избиратель заполняет бюллетень, в котором отмечает всех кандидатов в порядке своих предпочтений по убыванию. По заполненным бюллетеням нужно определить победителя. Существует ряд процедур обработки бюллетеней и определения победителя, среди которых отметим правило болыни Н ОТ BtL • процедуры Borda и Copeland [39], последовательную процедуру попарных сравнений, правило диктатора. Рейтинговое голосование (Instant-runoff voting), в котором последовательно исключаются кандидаты с наименьшим количеством первых предпочтений и пересчитываются голоса, используется, например, для избрания членов в органы власти в Австралии, Индии, Ирландии и других странах. Смесью процедур Борда и рейтингового голосования являются методы Нэнсона [40] и Болдуина [41].

Концепция косвенных побед, так называемых путей, используется в методе Шульце [42] (также метод последовательного исключения Шварца) для ранжирования альтернатив. Другие методы ранжирования были предложены Тайд-меном (Ranked pairs) в [43], Кемени и Янгом (Kemeny rule, VoteFair popularity ranking) в [44,45].

При одобрительном (Approval Voting) голосовании [46, 47] нужно указать только кандидатов, которым голосующий доверяет. Таким образом, каждый голосующий ставит метку 1 кандидату, которому он доверяет, и 0, если нет. Кандидат с наибольшим количеством меток 1 побеждает на выборах. Этот метод более сложный и нечувствителен к предпочтениям голосующих. Идея с тремя метками 0,1, 2 используется в работе [48]. Аксиоматизация tctkhx бальных процедур (score voting) ранжирования (Evaluating voting rule) ПрбДСТйВЛбН cL в [49].

также непрерывная процедура [50] шкалирования (Range Voting rule), при котором каждому кандидату присваивается оценка из интервала от 0 до 100. Эта процедура легко реализуема, но также относительно нечувствительна к предпочтениям между кандидатами.

В методе сортировки (Majority Judgement) каждый кандидат относится к какой-то группе предпочтений, например, A, B,C, D,... [51]. Этот способ зависит от числа групп, сложен при обработке, но несложен с вычислительной точки зрения.

В некоторых случаях нужно определить не одного победителя, а несколько; например, выбрать комитет для управления организацией или команду для выполнения заданий. Для этого могут быть использованы процедуры Minimax и Minisum [52,53].

Задача аксиоматического построения результирующего ранжирования в многокритериальной задаче при условии, что значения критериев имеют только три градации рассматривается в [54].

Целью диссертационной работы является построение оптимальных решений в моделях переговоров, исследование свойств полученных решений, нахождение необходимых и достаточных условий существования равновесия и их применение в задачах принятия коллективных решений.

В работе проведено исследование следующих теоретико-игровых моделей:

1. Двухсторонний двойной закрытый аукцион Чаттержи-Самуэльсона;

2. Последовательные многосторонние переговоры о моменте встречи;

3. Коллективное ранжирование альтернатив по личным предпочтениям.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации являются новыми. В классической модели двухсторонних торгов с одновременными предложениями найдено и исследовано равновесие по Нэшу среди строго возрастающих дифференцируемых профилей стратегий без особых точек.

Построена теоретико-игровая модель многошаговых торгов с неполной информацией. В ней найдены необходимые и достаточные условия для дифференцируемых и пороговых профилей стратегий являться равновесием по Нэшу. Исследован вопрос существования равновесия с пороговыми профилями стратегий участников.

В модели переговоров с полной информацией о моменте встречи найден точный вид совершенного подыгрового равновесия для случая бесконечно терпеливых участников с непрерывными без локальных максимумов функциями предпочтений.

В задаче коллективного выбора предложены новые процедуры ранжирования альтернатив, исследованы свойства процедур, и проведено сравнение с классическими способами ранжирования.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты исследования применимы при разработке процедур проведения переговоров, в том числе и многошаговых, связанных с торгами, аукционами, задачами коллективного выбора. Предложенные схемы ранжирования альтернатив могут быть использованы при выборе одной или группы кандидатов на вакантную позицию.

Методы исследования. В диссертации применяются методы кооперативной и некооперативной теории игр, математического анализа и теории вероятностей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на научных конференциях:

1. Шестая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-Петербург, Россия, 27-29 июня, 2012.

2. Международный семинар "Networking Games and Management Петроза-воде К, Россия, 23-25 июня, 2013.

3. Седьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-Петербург, Россия, 26-28 июня, 2013.

4. VII Московская международная конференция по исследованию операций, Москва, Россия, 15-19 октября, 2013.

5. XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014), Россия, Москва, ИПУ РАН, 16-19 июня, 2014.

6. Восьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-Петербург, Россия, 25-27 июня, 2014.

Основные результаты диссертации были получены в рамках выполнения исследований при финансовой поддержке РФФИ (проекты 13-01-91158-ГФЕН_а, 13-01-00033-а), РГНФ (проект 15-02-00352), Отделения математических наук РАН (программа "Алгебраические и комбинаторные методы математической

кибернетики и новых информационных систем") и Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности.

По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 5 статей в рецензируемых научных журналах [56-60] и тезисы 6 докладов [61-66].

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

В первой главе рассматривается теоретико-игровая модель переговоров при заключении сделок на примере двухстороннего двойного закрытого аукциона. В разделе 1.1 рассматривается постановка задачи. В торгах участвуют две группы игроков: продавцы и покупатели. Для переговоров случайным образом формируются пары продавец-покупатель. Главным параметром каждого участника является его резервная цена, которую не знают другие участники. Для продавца это цена, ниже которой он не согласен продавать свой товар, а для покупателя это максимальная цена, которую он готов заплатить. При случайном формировании пары резервная цена продавца и покупателя являются независимыми случайными величинами. Игроки одновременно объявляют цену на товар. Если предлагаемая покупателем цена не меньше предлагаемой цены продавцом, то результатом переговоров является заключение сделки по средней цене. Если предложенная покупателем цена меньше, чем запрашиваемая продавцом цена, то сделка считается несостоявшейся для данной пары участников. Участники переговоров стремятся максимизировать свой доход от сделки. Доходом участников является разница между резервными ценами и ценой сделки. Профиль чистых стратегий участников это функция от резервных цен, т. е. игроки с одинаковой резервной ценой предлагают одинаковые цены. Игроки используют чистые стратегии, но поскольку пара продавец-покупатель формируется случайным образом, то в качестве выигрышей рассматривается ожидаемый доход. Исследуется равновесие по Нэшу в данной игре с профилем чистых стратегий игроков и выигрышами, определяемыми как ожидаемый доход. Равновесие называется стимулирующим доход, если среди всех равновесий оно максимизирует суммарный ожидаемый доход всех участников.

В разделе 1.2 в теореме 1.1 найдены необходимые и достаточные условия равновесия в классе дифференцируемых профилей стратегий для случая непрерывной плотности распределения резервных цен. В теореме 1.2 найдены необ-

ходимые и достаточные условия для равновесия среди строго возрастающих и дифференцируемых профилей стратегий без особых точек. В разделе 1.3 в теоремах 1.3-1.5 найдены необходимые и достаточные условия для равновесия в классе пороговых профилей стратегий для случая непрерывных функций распределения резервных цен. В разделе 1.4 найдены равновесия для случая равномерного распределения резервных цен. В теореме 1.6 в классе пороговых профилей стратегий найдено стимулирующее равновесие для любого числа порогов. В разделе 1.5 приводятся примеры равновесий для случаев неравномерного распределения резервных цен.

Во второй главе рассматриваются модели многошаговых переговоров. В разделе 2.1 предложена модель многошагового двухстороннего закрытого аукциона, обобщающая классическую модель из первой главы. Вводится коэффициент дисконтирования, и рассматривается игра с бесконечным временным горизонтом. Предполагается, что на каждом шаге количество продавцов равно количеству покупателей, а распределения резервных цен не меняются. На каждом шаге для переговоров формируются случайным образом пары продавец-покупатель. После этого игроки одновременно объявляют цену на товар. Если запрашиваемая покупателем цена не меньше предлагаемой продавцом, то результатом переговоров является заключение сделки по средней цене. Покупатель и продавец, заключившие сделку, покидают игру. Если предложенная покупателем цена меньше, чем запрашиваемая продавцом цена, то сделка не заключается, игроки переходят на следующий шаг, на котором покупатель (продавец) вступает в переговоры для заключения сделки с другим продавцом (покупателем).

Участники переговоров стремятся максимизировать свой доход от сделки. Доходом участников является разница между резервными ценами и ценой сделки. Профиль чистых стратегий участников это функции от резервных цен. Игроки используют чистые стратегии, но поскольку пары продавец-покупатель формируются случайным образом, то в качестве выигрышей рассматривается суммарный ожидаемый доход при заключении сделки на текущем шаге и при продолжении игры. Исследуется равновесие по Нэшу в данной игре с профилем чистых стратегий игроков и выигрышами, определяемыми как ожидаемый

В теореме 2.1 получены необходимые и достаточные условия равновесия в классе дифференцируемых профилей стратегий. Случай дисконтирования, равного нулю, соответствует одношаговой задаче из первой главы. В теореме 2.2 найдены необходимые и достаточные условия равновесия среди строго возрастающих (т.ч. производная конечна и больше нуля во всех точках) и дифференцируемых профилей стратегий. По теореме 2.3 можно найти все равновесия среди пороговых профилей стратегии для любых (необязательно непрерывных \ распределений для резервных цен. По теореме 2.4 для любой маргинальной цены при ограниченных плотностях распределения игроков и достаточно близком к единице коэффициенте дисконтирования будет иметь место равновесие с одним порогом. Показано, что для случая равномерного распределения резервных цен участников равновесие с одним порогом существует, если коэффициент дисконтирования не меньше 2/3, а равновесие с возрастающими и дифференцируемыми профилями стратегий не существует при дисконтировании большем 4/5.

В разделе 2.2 исследуется модель последовательных переговоров о моменте встречи. В i юдр азделе 2.2.1 рассматривается постановка задачи. Участники договариваются о времени встречи из замкнутого интервала. Предполагается, что их предпочтения описываются неотрицательными непрерывными функциями с одним локальным максимумом. Игроки по очереди предлагают одну альтернативу, для принятия которой нужно согласие всех участников. На первом шаге первый игрок предлагает альтернативу, и остальные игроки либо принимают, либо отвергают ее. Если все игроки согласны, то время встречи выбрано и переговоры завершаются. Иначе, игра переходит на второй шаг, на котором второй участник предлагает решение, а остальные голосуют. И так далее, пока игроки не придут к согласию. Решение ищется в виде стационарного совершенного по подыграм равновесия по Нэшу. В подразделах 2.2.2 и 2.2.3 найдены точные решения для случаев трех и четырех участников. В подразделе 2.2.4 в теореме 2.6 найден точный вид совершенного подыгрового равновесия для любого количества участников при близком к единице коэффициенте дисконтирования.

В третьей главе рассматривается задача коллективного ранжирования альтернатив согласно личным предпочтениям участников переговоров. Личные предпочтения участников задаются линейным порядком на конечном множестве альтернатив, возможно и нестрогим. Профилем предпочтений называются

сгруппированные с учетом веса участника личные предпочтения всех участников. Процедура ранжирования каждому профилю предпочтений сопоставляет линейный порядок на множестве альтернатив, возможно и нестрогий. Такая процедура позволяет определить коллективное решение: выбор одной альтернативы, выбор нескольких альтернатив, ранжирование альтернатив по местам.

Предлагаются процедуры ранжирования. Для этого специальным образом строится характеристическая функция на множестве альтернатив, и доказывается ее монотонность и неотрицательность. В качестве критерия ранжирования используется усреднение по всем перестановкам альтернатив, аналогичное вектору Шепли в кооперативной теории игр.

В разделе 3.1 рассматривается постановка задачи. В разделе 3.2 характеристическая функция строится как значение биматричной игры с постоянной суммой. В теоремах 3.1 и 3.2 доказаны свойства построенных процедур. В разделе 3.4 приводятся численные примеры использования процедур, и проводится сравнение с классическими процедурами Шульце, Борда, Коупленда и макси-мина на основе турнирной матрицы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены необходимые и достаточные условия для строго возрастающих дифференцируемых профилей стратегий без особых точек являться равновесием по Нэшу в классической модели двухсторонних торгов с одновременными предожениями, в предположении непрерывности плотности распределения резервных цен.

2. Построена теоретико-игровая модель многошаговых двухсторонних торгов с дисконтированием. Найдены необходимые и достаточные условия для дифференцируемых профилей стратегий в предположении непрерывности плотности распределения резервных цен и для профилей стратегий с одним порогом в случае произвольных распределений резервных цен быть равновесием по Нэшу. Показано, что в случае распределений резервных цен с ограниченной плотностью равновесие в классе профилей стратегий с одним порогом существует при близком к единице коэффициенте дисконтирования.

3. В модели последовательных переговоров о моменте встречи с близким к единице коэффициентом дисконтирования найден точный вид совер-

шейного подыгрового равновесия для случая непрерывных без локальных максимумов функций предпочтений участников.

4. Предложены процедуры коллективного ранжирования альтернатив на основе методов кооперативной и некооперативной теории игр. Для этого специальным образом строится характеристическая функция на множестве альтернатив, и доказывается ее монотонность и неотрицательность. В качестве критерия ранжирования используется вектор Шепли. Доказано, что построенные процедуры удовлетворяют свойствам гомогенности, единогласия, монотонности, Кондорсе.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и подразделы, заключения и списка литературы. Общий объем рукописи составляет 110 страниц. Работа содержит 13 рисунков и 21 таблиц. Библиографический список включает 66 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кондратьев Алексей Юрьевич, 2015 год

Литература

1. Chatterjee К., Samuelson W. Bargaining under incomplete information // Operations Research. - 1983. - Vol. 31, N. 5. - P. 835-851.

2. Myerson R., Satterthwaite M. A. Efficient mechanisms for Bilateral Trading // Journal of Economic Theory. - 1983. - Vol. 29. - P. 265—281.

3. Myerson R. Two-Person Bargaining Problems with Incomplete Information // Econometrica. - 1984. - Vol. 52. - P. 461-487.

4. Wilson R. Incentive efficiency of double auctions // Econometrica. - 1985. -Vol. 53. - P. 1101-1115.

5. Williams S. Efficient perfomance in two agent bargaining // Journal of Economic Theory. - 1987. - Vol. 41. - P. 154-172.

6. Leininger W., Linhart P. В., Radner R. Equilibria of the sealed-bid mechanism for bargaining with incomplete information // Journal of Economic Theory. -1989. - Vol. 48. - P. 63-106.

7. Satterthwaite M. A., Williams S. Bilateral trade with the sealed bid k-double auction: Existence and efficiency // Journal of Economic Theory. - 1989. -Vol. 48. - P. 107-133.

8. Мазал об В. В., Токарева Ю. С. Равновесие в задаче о сделках с неравномерным распределением резервных цен // Математическая Теория Игр и ее Приложения. - 2011. - Т. 3, Вып. 2. - С. 37-49.

9. Mas-Colell A., Whins Ion М., Green J. Microeconomic Theory. - N. ¥.: Oxford University Press, 1995.

10. Зенкевич H. А. Механизмы заключения сделки на В2В рынках: Сравнительный анализ // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 8: Менеджмент. - 2008.

Вып. 1. С. 3 30.

11. Perry М. An Example of Price Formation in Bilateral Situations: A Bargaining Model with Incomplete Information // Econometrica. - 1986. - Vol. 54, N 2. -P. 313 321.

12. McAfee R. P. A Dominant Strategy Double Auction // Journal of Economic Theory. - 1992. - Vol. 56, issue 2. - P. 434-450.

13. Maskin E. S.. Riley J. G. Auction Theory with Private Values // American Economic Review. - 1985. - Vol. 75, N 2. - P. 150-155.

14. Maskin E. S.. Riley J. G. Optimal Multi-Unit Auctions // The Economics of Missing Markets, Information, and Games / Ed. by F. Hahn. Oxford: Oxford University Press; Clarendon Press. - 1989. - P. 312-335.

15. Maskin E. S. Auctions and Privatization // Privatization: Symposium in Honor of Herbert Giersch / Ed. by H. Siebert. Tbbingen: Mohr (Siebeck). - 1992. -P. 115 136.

16. Klemperer P. The Economic Theory of Auction. - Northampton, MA: Edward Elgar Publishing, Inc., 2000.

17. Krishna V. Auction Theory. - 2nd edition, Academic Press, 2009.

18. Brams S. J., et al. A simple bargaining mechanism that elicits truthful reservation prices / / Group Decision and Negotiation. - 2014. -DOI 10.1007/sl0726-014-9395-5.

19. Brams S. J., Mitts J. Law and mechanism design: procedures to induce honest bargaining // NYU Annual survey of American law. - 2014. - vol. 68, issue 4. - P. 729-790.

20. Васин А. А., Гусев А. Г., Шарикова А. А. Теоретико-игровой анализ одно-этапных и двухэтапных аукционов однородного товара // УБС. - 2010. -Vol. 31.1. Р. 210-238.

21. Васин А. А., Дайлова Е. А. Теоретико-игровая модель взаимодействия агентов на двухэтапном рынке со случайным фактором // Математическая теория игр и ее приложения. - 2012. - Т. 4, № 4. - С. 3-22.

22. Nash J. F. The Bargaining Problem // Econometrica. -1950. - Vol. 18. - P. 155162.

23. Kalai E., Smorodinsky M. Other solutions to the Nash bargaining problem // Econometrica. - 1975. - Vol. 43. - P. 513-518.

24. Rubinstein A. Perfect equilibrium in a bargaining model // Econometrica. -1982. - Vol. 50. - P. 97-109.

25. Banks J. S., Duggan J. A bargaining model of collective choice // Amer. Polit. Sci. Rev. - 2000. - Vol. 94. - P. 73-88.

26. Banks J. S., Duggan J. A general bargaining model of legislative policy-making // Quart. J. Polit. Sci. - 2006. - Vol. 1. - P. 49-85.

27. Cho S., Duggan J. Uniqueness of stationary equilibria in a one dimensional model of bargaining // Journal of Economic Theory. - 2003. Vol. 113. - P. 118— 130.

28. Cardona D., Ponsati C. Uniqueness of stationary equilibria in bargaining one-dimensional policies under (super) majority rules // Games and Economic Behavior. - 2011. - Vol. 73. - P. 65-75.

29. Predtetchinski A. One-dimensional bargaining with a general voting rule // METEOR Research Memorandum 07/045, Maastricht University. - 2007.

30. Predtetchinski A. One-dimensional bargaining // Games and Economic Behavior. - 2011. - Vol. 72(2). - P. 526-543.

31. Cardona D., Ponsati C. Bargaining one-dimensional social choices // Journal of Economic Theory. - 2007. - Vol. 137. - P. 627-651.

32. Merlo A., Wilson C. A stochastic model of sequential bargaining with complete information // Econometrica. - 1995. - Vol. 63. - P. 371—399.

33. Ponsati C., Sakovics J. Rubinstein bargaining with two-sided outside options / Ponsati C., Sakovics J. - Economic Theory. - 1998.

34. Eraslan H., Merlo A. Majority rule in a stochastic model of bargaining // Journal of Economic Theory. - 2002. - Vol. 103, issue 1. P. 31-48.

35. Kalandrakis T. Regularity of pure strategy equilibrium points in a class of bargaining games // Economic Theory. - 2006. - Vol. 28. - P. 309-329.

36. Herings P., et al. One-dimensional bargaining with Markov recognition probabilities // Journal of Economic Theory. - 2010. - Vol. 145. - P. 189—215.

37. Kultti K., Vartiainen H. Multilateral non-cooperative bargaining in a general utility space // International Journal of Game Theory. - 2010. - Vol. 39. -P. 677-689.

38. Arrow K. Social choice and individual values. - New York: John Wiley and Sons, Inc., London: Chapman and Hall, Limited, 1951.

39. Klamler C. On the closeness aspect of three voting rules: Borda-Copeland-Maximin // Group Decision and Negotiation. - 2006. -vol. 14, Issue 3. P. 233-240.

40. Nanson E. J. Methods of Election // Transactions and Proceedings of the Royal Society of Victoria. - 1882. - vol. 18. - P. 197-240.

41. Baldwin J. M. The technique of the Nanson preferential majority system of election // Proceedings of the Royal Society of Victoria. - 1926. - Vol. 39. -P. 42-52.

42. Schulze M. A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, and condorcet-consistent single-winner election method // Social Choice and Welfare. - 2011. - volume 36, number 2. - P. 267-303.

43. Tideman T.N. Independence of clones as a criterion for voting rules // Social Choice and Welfare. - 1987. Vol. 4. - P. 185-206.

44. Kemeny J. Mathematics without numbers // Daedalus. - 1959. - Vol. 88. -P. 577-591.

45. Young H. P. Group choice and individual judgements. Chapter 9 of Perspectives on public choice: a handbook, edited by Dennis Mueller Cambridge UP. - 1997. P. 181-200.

46. Brams S. J., Fishburn P.C. Approval voting // The American Political Science Review. - 1978. - vol. 72, no. 3. - P. 831-847.

47. Brams S. J., Fishburn P.C. Going from theory to practice: The mixed success of approval voting // Social Choice and Welfare. - 2005. - Vol. 25(2-3). - P. 457474.

48. Hillinger C. The case for Utilitarian Voting // Homo Oeconomicus. - 2005. -vol. 23. - P. 295-321.

49. Gaertner W., Xu Y. A general scoring rule // Mathematical Social Sciences. -2012. - vol. 63, no. 3. - P. 193-196.

50. Smith W.D. Range voting. - Technical Report 56, NEC Research, Princeton, NJ, USA, 2000.

51. Balinski M., Laraki R. A theory of measuring, electing, and ranking // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 2007. - vol. 104, no. 21. - P. 8720-8725.

52. Brams S. J., Kilgour D. M., Sanver M.R. A minimax procedure for electing committees // Public choice. - 2007. - vol. 132, no.3-4. - P. 401-420.

53. Kilgour D.M. Approval balloting for multi-winner elections. - Handbook on approval voting, Springer, 2010. - P. 105-124.

54. Aleskerov F. T., Yuzbashev D. A., Yakuba V. I. Threshold aggregation of the three-graded rankings // Automation and Remote Control. - January 2007. -Vol. 68, Issue 1. - P. 133-138.

55. Алескеров Ф. Т., Юзбашев Д. А., Якуба В. И. Пороговое агрегирование трехградационных ранжировок // Автомат, и телемех. - 2007. - № 1. -С. 147-152.

56. Мазалов В. В., Кондратьев А. Ю. Задача о сделках с неполной информацией // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. - 2012. - Вып. 1. - С. 33—40.

57. Мазалов В. В., Кондратьев А. Ю. Равновесие в сделках с пороговыми стратегиями // Математическая теория игр и ее приложения. - 2013. - Т. 5, № 2. - С. 046-063.

58. Кондратьев А. Ю. Равновесие по Нэшу в стационарном состоянии в многошаговой модели двойного закрытого аукциона // Современные проблемы науки и образования. — 2013. - № 6. - URL: http://www.science-education. га/113-11533 (дата обращения: 12.01.2014)

59. Kondratev A. Y. Stationary State in a Multistage Auction Model // Contributions to game theory and management. - 2014. - Vol. 7, SPbSU. -P. 151-158.

60. Mazalov V. V., Kondratev A. Y. The bargaining solution among threshold strategies // Automation and Remote Control. - March 2015. - Vol. 76, Issue 3.

- P. 507-520.

61. Kondratev A. Y. The relationship between discrete and continuous equilibria in bargaining model // Collected abstracts of papers presented on the Seventh International Conference Game Theory and Management. St. Petersburg, Russia June 26-28, 2013. - P. 115-116.

62. Kondratev A. Y. N-threshold approximation of continuous equilibrium in internet auction// Extended abstracts presented on international workshop "Networking Games and Management". Petrozavodsk, Russia, june 23-25, 2013.

- P. 51-52.

63. Кондратьев А. Ю. Модели сделок с честными стратегиями // Труды VII Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, Россия, Октябрь 15-19, 2013). - Т. II. - С. 183-185.

64. Кондратьев А. Ю. Многошаговая задача о сделках с неполной информацией // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. - С. 8314-8320.

65. Kondratev A. Y., Mazalov V. V. Bargaining about meeting time // Game theory and management. Abstracts. St. Petersburg. - 2012. - P. 122-123.

66. Kondratev A. Y. Bargaining about meeting time with piecewise-linear utilities // Game theory and management. Abstracts. - 2014. - P. 118-119.