Теоретико-игровой анализ процедуры вето-голосования с лидером тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Машечкин, Алексей Игоревич

• Машечкин, Алексей Игоревич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Машечкин, Алексей Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УСЛОВИЯ ПОБЕДЫ РЕШЕНИЯ ЛИДЕРА

§ 1. Формальная постановка задачи

§ 2. Случай 4-х голосующих

§ 3. Условия победности игры Гп

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ ПОБЕДНОГО ПОРЯДКА ХОДОВ

§ 4. Наименее расположенные к варианту лидера партнеры

§ 5. У одного подчиненного место варианта лидера выше 3-го с конца

§ 6. Вариант 1 выше (п-2)-го места у нескольких, но не всех, игроков

§ 7. Предложение лидера выше (п-2)-го у всех игроков

Глава 3. ВЕТО-ГОЛОСОВАНИЕ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ УЧАСТНИКОВ

§ 8. Шансы на победу предложения 1-го игрока

§ 9. Неопределенность в предпочтениях игроков

§ 10. Случай толерантности лидера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровой анализ процедуры вето-голосования с лидером»

ВВЕДЕНИЕ

Достижение коллективного благосостояния на основе выборов уже почти 250 лет является предметом множества научных исследований [1-3, 5, 6, 8, 13, 24, 40, 45, 47, 49, 50, 60, 63, 66, 81-83, 88, 94], начиная с работ Борды и Кондорсе, включая Пигу и Дальтона и вплоть до наших дней. В 1950-м году Нэш [78] предложил использовать функции коллективного выбора, максимизация которых предоставляет возможность выбрать наиболее справедливый из достижимых исходов, оптимизируя все функции полезности одновременно. Отметим, что основными являются две концепции распределения общественного блага - утилитаризм (каждый из агентов максимизирует свое благосостояние) и эгалитаризм (выравнивание индивидуальных полезностей).

Другим витком развития исследований в области теории принятия решений стали кооперативные игры, в которых результат рассматривается не только с точки зрения его выгодности для всего множества игроков, но и для коалиций, состоящих лишь из части игроков (коалиция может состоять и из одного участника, принимающего решения). Основоположниками теории кооперативных игр были Нейман и Моргенштерн [79]. Ключевым понятием кооперативных игр является ядро игры - множество таких распределений полезностей, при которых каждая коалиция получает, как минимум, столько же, сколько в сумме получили бы все ее участники, действуя в одиночку. В частности, в модели, в которой игроки могут объединяться в коалиции в целях минимизации своих затрат, ядро игры может трактоваться как принцип отделения: коалиция никогда не заплатит сумму, превышающую затраты в случае ее самостоятельного действия. Понятие ядра было введено Джиллисом [62]. Впоследствии свойства и возможности применения понятия ядра к широкому кругу задач были рассмотрены в работах Аумана и Шепли [41, 42], Шубика [95], Дебре и Скарфа [51, 90], Фоули [58, 59], Мулена [74], Воробьева и его учеников [4, 9] (в частности, Бондаревой было получено и доказано необходимое и достаточное условие непустоты ядра), Морозова и его учеников [31 -33] и многих других математиков и экономистов. Причем важное значение имело изучение игр с небольшим число игроков (например, для случая 3-5 участников см. [31, 36]).

Аналогично концепции функции коллективного выбора для некооперативных игр, финальной задачей теории кооперативных игр является установление таких методов решения, которые для каждой задачи находили бы единственное распределение полезностей - значение игры. Наиболее распространенными операторами значений стали вектор Шепли [93] (отражает принцип утилитаризма - каждому агенту соответствует его средний вклад во все коалиции, в которых он состоит) и //-ядро (реализует эгалитаризм - минимизацию неудовлетворенности коалиций), введенное Шмайдлером [91]. В работе [92] было доказано важнейшее свойство

выпуклых игр - вектор Шепли занимает центральное положение в ядре выпуклой игры. Понятие вектора Шепли было обобщено для модели с бесконечным числом игроков в книге Аумана и Шепли [41].

Тем не менее, несмотря на обилие теоретических результатов, не редки примеры, когда члены коллектива не в силах договориться о коллективном выборе, а надо принимать совместное решение. В этом случае, если набор возможных альтернатив известен, участники соглашаются выбирать одну из них путем голосования. Термин «голосование» традиционно пошел от способа принятия решения по принципу «кто кого перекричит». Однако при этом осознавалась необходимость выработки правил голосования, в частности, легитимности выбора, определения круга выборщиков и т.п.

Начиная с политической философии Просвещения, установление правил голосования являлось главной этической проблемой. Исследования, направленные на выяснение корректности того или иного порядка проведения голосования, начались во второй половине XVIII века. Авторами первых работ, в которых математически проводилось сравнение различных правил голосования, были Борда [45] и Кондорсе [48]. В [48] был сформулирован так называемый парадокс Кондорсе, заключающийся в том, что коллективное ранжирование вариантов может быть цикличным. Например, было показано, что выбор альтернативы на основе наиболее популярного правила большинства (аксиоматически сформулировано в [72]) может приводить к победе варианта, который при парном сравнении проигрывает любому другому кандидату. Чтобы избежать данной проблемы, Кондорсе предложил ввести ранжирование альтернатив - для любых двух вариантов определяется, сколько голосующих предпочитают одну альтернативу другой. В свою очередь Борда предложил присваивать каждому варианту баллы, увеличивающиеся с ростом позиции, которую занимает альтернатива В гтрдттпитрнияу итлк-пв Кп-эк Г441 пппдппии г.пятшение печупьтятотч ппименения пячпичных

I ' ---- ------ ----X------- ------ I. ■ " J —X----'---- " 1------------ 1 --------—х------------А

методов голосования. Янг [102] сформулировал и доказал теорему, свидетельствующую о преимуществе метода подсчета очков Борды над правилом Кондорсе. В 1951 Эрроу [39] доказал в своей книге один из главных на тот момент результатов теории голосования -теорему о невозможности. Ее суть состоит в том, что при возможности только качественного сравнения исходов (одна альтернатива хуже или лучше другой) не существует способа объединения для трех и более альтернатив, который всегда давал бы логически верный результат. Сравнительный анализ свойств различных процедур голосования и выявленных для них парадоксов в достаточно общей форме проведен в [8].

Существенное влияние на поведение членов коллектива в процессе принятия решений оказывает информированность о предпочтениях партнеров, позволяющая в некотором смысле

предсказывать их стратегии поведения. Фаркуарсон [53] предложил модель, которая исследует расчеты голосующего, использующего для принятия решения эту дополнительную информацию. Игры, которым соответствуют модели такого рода, называют стратегическими. Общая теория игр с учетом информированности игроков была развита в работах Гермейера и его учеников [7, 11, 15, 17, 20-22, 30, 34,36,37].

Многие зарубежные исследователи разрабатывали направление стратегических игр, создавая различные модели для разнообразных процедур голосования. В качестве примеров применения стратегических игр рассматривались Комитеты по жилью и образованию США [86]; Конгресс США [52]; Парламентские выборы 1981 года в Израиле [55]. Фелсенталь [54] доказал, что стратегическое продвижение наименее выгодного варианта может принести игроку больший выигрыш, нежели чем честное недальновидное голосование за наилучшую альтернативу. В [85] были выявлены серьезные основания для использования стратегического поведения в «одобрительных» выборах (когда каждый может голосовать за сколько угодно кандидатов, из которых победит тот, кто наберет больше голосов).

Однако экспериментальные результаты не подтверждали использование игроками оптимальных моделей поведения в стратегических играх. Так, Плот и Левин [84] пришли к заключению, что игроки единообразно следуют недальновидным стратегиям голосования. Аналогичные выводы сделаны в работах [67, 80, 100, 101]. Позднее Ювал [104] (также на основе проведения экспериментальных игр) показала, что выбор в пользу честных недальновидных или стратегических действий зависит от размера группы лиц, принимающих решения. В настоящее время экспериментальные исследования стратегического (сложного) поведения для различных процедур голосования составляют отдельное научное направление [46, 64, 68, 82, 96, 103].

Еще одним значимым аспектом стратегических игр яттяется манипулирование Здесь основополагающую роль играет вывод, полученный Гиббардом [61] и Саттервейтом [89], -невозможно воспроизвести такую процедуру голосования, которая бы была полностью неманипулируемой. В работе Алескерова [3] проводилось сравнение эффективности манипулирования в зависимости от правила голосования для моделей с множественным выбором - необходимостью одновременного выбора нескольких альтернатив. Здесь также вызывает интерес подробное изучение случаев с небольшим (4-5) числом альтернатив [38].

Существенно важной разновидностью стратегических игр являются иерархические игры [11], в частности, игры с лидером [12, 37, 98] и игры с фиксированным порядком ходов [11, 30, 36]. В таких играх использование участниками стратегического поведения обусловлено их информированностью, а также наличием иерархии принятия решений. Иерархия, в свою

очередь, определяет «естественные» способы манипулирования, в том числе, рассматриваемые далее в диссертации.

В работах Гермейера [10-12], Краснощекова [18], Краснощекова и Петрова [19], а также их учеников для анализа моделей принятия решений применяются методы исследования операций. В случаях, когда стратегическая модель поведения партнеров не позволяет однозначно предсказать их стратегию, весомые результаты в исследовании иерархических игр удается получить с использованием принципа гарантированного результата [10, 11] для игрока-лидера.

Кроме того, для повторяющихся игр (в повторяющихся ситуациях), даже если предпочтения партнеров исходно не известны другим игрокам, можно рассчитывать на процедуры типа «нащупывания по Курно» [48] для того, чтобы прийти к тому же исходу, что и при полной информированности. Весь спектр возможностей использования ответных стратегий на действия партнеров и соответствующего учета их рационального поведения при выборе собственных стратегий является предметом современных научных исследований [70].

В предлагаемой диссертационной работе на базе методологии теории иерархических игр и исследования операций изучается задача принятия решений в коллективах с лидером путем последовательного вето-голосования. Процедура последовательного вето-голосования была впервые введена Мюллером [77] и сводится к тому, что п голосующих выбирают одну из (гс+1) альтернатив, последовательно (по порядку голосования) отводя каждый по одному из еще незаветованных вариантов. В работах Мюллера [77], Мулена [75, 76], Сотскова [97] и др. были показаны хорошие свойства такой процедуры, в частности, что результат соответствующей игры - Парето-оптимальный и что нет дискриминации меньшинства большинством. Именно поэтому в диссертации выбран механизм вето-голосования для дальнейшего теоретико-игрового анализа в качестве способа ппинятия пешений пои наличии лидера..

Г 11 * ж

Работы, посвященные последовательному вето-голосованию [56, 77, 82], предсказывают стратегическое поведение голосующих, благодаря тому, что в рамках этой процедуры все участники стремятся точно определять свои предпочтения и оценивать интересы партнеров [77]. В условиях последовательного вето-голосования исход, полученный при исключении наихудших альтернатив, может отличаться от результата, полученного вследствие обдуманного принятия решения хорошо информированными участниками. При этом важно понимать, что для выбора той или иной стратегии поведения игроку необходимо иметь возможность еще до начала голосования произвести анализ расстановки выборщиков и их предпочтений. В работе [104] было экспериментально показано, что при числе игроков, превышающем пять, голосующие в силу сложности проведения предварительного анализа склоняются к

использованию простых (недальновидных, «честных») стратегий, сводящихся к наложению вето на избрание наименее выгодного из еще незаветованных предложений. Если игроки хорошо знают партнеров и уверены, что достаточно осведомлены о предпочтениях друг друга, то этот порог несколько увеличивается.

В данной диссертационной работе модель принятия решений путем последовательного наложения вето анализируется на примере выбора варианта распределения прибыли компании на совете ее директоров (подробнее о голосовании на совете директоров см. [16]). Согласно обследованию 2005 г., в среднем в России совет директоров включал 6-7 человек [14]. Поэтому есть основания полагать, что для такого случая исследуемое сложное равновесие, предполагающее рациональное поведение участников, адекватно реальности. Указанную модельную задачу принятия решений можно сформулировать следующим образом. В процессе выбора п членов совета директоров обсуждают (и+1) вариант решения. Причем п вариантов дальнейшего инвестирования полученных средств выдвинуты самими участниками, а один вариант соответствует отказу от инвестирования - так называемый «статус кво» (аналогичная точка, означающая отказ от распределения некоторого блага, была введена Нэшем [78] и рассматривалась в работах [43, 69, 88]). Голосуют сторонники вариантов инвестирования. Каждый вариант имеет в совете директоров представителя, для которого именно это решение является наилучшим. У варианта отказа от инвестирования нет своего представителя в компании, однако такой вариант не обязательно окажется у голосующих на последнем месте, а может быть более предпочтительным, чем варианты, предлагаемые партнерами.

Далее задача изучается в предположении о неявно заданных функциях выигрыша, т.е. в ситуации, когда индивидуальные предпочтения представляют собой наборы транзитивных бинарных отношений и коллективное решение также описывается бинарным отношением на множестве альтернатив (см. результаты исследований [13, 57, 73, 104]) Данное предположение наиболее соответствует практике принятия решений, поскольку позволяет обойтись без количественных оценок выигрышей участников, которые редко бывают достоверно известны всем.

Будем считать, что принятие итогового решения происходит с помощью процедуры последовательного наложения вето (далее - «ветования»). При этом рассматривается ситуация стратегической игры, когда голосующие моделируют рациональное поведение партнеров. Ясно, что в таком случае порядок голосования играет определяющую роль. Допустим, что есть лидер коллектива (например, председатель совета директоров), и он имеет возможность управлять порядком голосования (в зависимости от предпочтений участников). Как это повлияет на решение? Когда будет выбран вариант лидера? Ответы на эти вопросы даются далее.

Диссертационная работа структурно построена следующим образом. В первой главе для игры п лиц получено необходимое и достаточное условие существования порядка ходов, при котором лидер коллектива (1-й игрок) может обеспечить победу своего варианта при голосовании путем последовательного ветования) [26]. Такой порядок ходов будем называть победным. Данное условие показывает, что, управляя порядком ходов, 1-й игрок добивается победы во всех случаях, когда победа варианта 1 вообще возможна (у подчиненных достаточно вариантов, худших варианта 1, для ветования) по марьяжной теореме Холла [65]. Указанное условие (соответствующее марьяжному условию Холла) гарантирует, что, несмотря на право 1 -го игрока манипулировать процедурой вето-голосования, задавая ее порядок, в результате не может быть выбран вариант, наихудший для какого-либо игрока либо входящий в группу из I вариантов, наихудших для каких-либо / игроков. Тем самым, рассматриваемая процедура голосования не приведет к неприемлемым для участников коллектива решениям.

Методы построения победного порядка ходов в зависимости от расположения в предпочтениях игроков варианта, победа которого интересует лидера, предложены во второй главе [27].

Глава 3 посвящена играм с небольшим числом голосующих. Причем для случая трех голосующих рассмотрена постановка с неполной определенностью их предпочтений. Такая модель соответствует случаю, когда в целях минимизации сложности либо предварительного анализа, либо поиска своего оптимального стратегического поведения, игроки объединяются в группы, представители которых непосредственно принимают участие в процессе выбора одного из укрупнеенных вариантов развития компании [28]. При этом с точки зрения теории игр речь идеет уже о многокритериальной игре (каждый голосующий имеет вектор интересов в соответствии с функциями выигрышей игроков в своей группе [23]). В результате в предпочтениях голосующих возможно появление нескольких равнозначных вариантов, побела которых сулит их сторонникам несравнимые между собой выигрыши [29].

Кроме того, для случая трех игроков проведен сравнительный анализ двух возможностей у игрока лидера: управлять порядком наложения вето или ввести в игру дополнительного (4-го) игрока с расчетом на увеличение шансов на победу своего варианта [25] (одними из первых, но для других постановок, изучали добавление нового агента и его влияние на распределение общественного блага авторы работ [71, 99]). Показано, что в случае если новый вариант для 2-го и 3-го игроков хуже варианта 1, шансы 1-го игрока на победу своего варианта повышаются, а в противном случае для него важнее возможность управлять порядком ходов между остальными игроками, нежели чем ввод дополнительного голосующего.

В работе используется сквозная нумерация формул, утверждений, глав и параграфов, а номер раздела сохраняет первую цифру номера параграфа (двойная нумерация) и номер пункта или под случая наследует нумерацию раздела (тройная или четверная и более нумерация).

ГЛАВА 1. УСЛОВИЯ ПОБЕДЫ РЕШЕНИЯ ЛИДЕРА

§ 1. Формальная постановка задачи

Для моделирования правил принятия коллективных решений используется математический аппарат теории игр и исследования операций. Основной моделью для анализа поведения лиц, принимающих решение, в частности, выборщиков, является игра в нормальной форме. Дадим ее определение, следуя [35].

Пусть N = {I, 2,..., п} - фиксированное конечное множество, представляющее собой модель коллектива или другого сообщества, членов которого будем обозначать индексом г = 1, 2,..., п и называть игроками.

Определение 1. Игрой в нормальной форме называется совокупность, которая включает в себя множество N и для каждого / из N содержит:

• множество стратегий Х„ элементы которого обозначаются через х„

• функцию выигрыша и„ являющуюся отображением из X=X]х... хХп в Я.

Игрок г независимо от других и одновременно с ними выбирает любую стратегию X,.

После того как каждый игрок выбрал свою стратегию, определяется вектор стратегий х = (х|, х2,..., х„..., хп) из множествами выигрыши и,{х) каждого из игроков / = 1,2,..., п.

В игре, соответствующей голосованию, функции выигрыша представимы в виде

и,(х) = Щтг(х)),

где л - функция голосования, которая ставит в соответствие набору х стратегий, выбранных игроками, вариант решения я(х), II, - отображение множества вариантов решений на числовую ось. Для рассматриваемого правила голосования путем наложения вето стратегия любого игрока приводит к вычеркиванию очередного варианта, а решение выбрано, если никем не заветовано. Через Щт) обозначается выигрыш, который получит г'-й игрок при принятии решения под номером т, т.е. насколько г-му голосующему выгоден вариант т. Каждый игрок стремится к максимизации своей функции выигрыша. Далее в этой и следующей главе не допускаем возможности наличия нескольких одинаково выгодных вариантов решений.

Для примера рассмотрим задачу выбора на совете директоров компании одного из вариантов инвестирования ее средств. Пусть в процессе выбора обсуждаются (/7+1) вариантов решения. Причем п из них выдвинуты членами совета директоров, а один соответствует отказу от инвестирования. Голосуют сторонники вариантов инвестирования. Каждый вариант имеет в совете директоров представителя, для которого это решение является наилучшим. У варианта отказа от инвестирования нет своего представителя в компании, однако этот вариант не обязательно окажется у голосующих на последнем месте, а может представляться более предпочтительным, чем варианты, предлагаемые партнерами.

Решения будем обозначать номерами 1, 2,..., п, п+1. Каждый номер /, кроме п+1, соответствует номеру представителя данного решения / во время голосования, т.е. номеру игрока /; Л(/) - место г'-го игрока по порядку ветования. Рассматривается игра с открытым голосованием, когда игроки накладывают вето последовательно, причем каждый из них знает, запрет на выбор каких решений уже был наложен, и удаляет одно из еще не заветованных решений. Тем самым вето может быть наложено на каждый из вариантов решения максимум один раз. При этом перед голосованием все игроки проинформированы о предпочтениях друг друга.

Особый интерес с содержательной точки зрения представляет изучение возможности игрока, голосующего первым, определять порядок, в котором накладывают вето остальные игроки за ним, причем после того, как ему станут известны их предпочтения. Назовем это возможностью управления порядком ходов.

Данная модель принятия решений представима в виде игры в нормальной форме

= <Ы,Х„и,>,

здесь и далее: Ы= {\, 2,..., п} - множество игроков, т.е. голосующих (выбирающих) участников, X, - множество стратегий, а и, - функция выигрыша /-го игрока. Для 1-го игрока множество стратегий Х\ = У\ХЛ, где У\ = {2, 3п+1} - варианты для ветования 1-м игроком (все множество альтернатив, кроме варианта 1, предложенного им самим), Л = {А: И—»./V | Л(1)=1} -набор перестановок среди подчиненных игроков, задающий порядок ходов между ними, А(г) -место /-го игрока по порядку голосования. Для остальных игроков (/ > 2) множество стратегий X, - это множество отображений из Уяц)х в У„ где У,= {1,2,..., п, и+1}\ {г,ум\),...ух(,).\} ~

множество действий игрока /, заключающихся в выборе решения, на которое он накладывает вето (и такое решение уже выбывает из рассмотрения), переменная у, соответствует номеру решения, выбираемого г'-м игроком. Таким образом, стратегия /'-го игрока х, = у,{уя(1 ),■■■, Уяоу\) -функция его действий в зависимости от действий уже проголосовавших игроков (с меньшими по порядку ветования номерами), а действие (ход) /-го игрока - ветование варианта у,. При условии, что игроки пронумерованы по порядку ходов, функция выигрыша /-го игрока запишется как

Ы,(Х) = и,(л(х)), Л(Х) = л(У1,У2(У1),...,У1(У1,...,У1-1),...,УП(У1,-,УП-\))-

Если же у 1-го игрока нет возможности управлять порядком ходов, то такая игра далее обозначается через Г„ и отличается от Г„ тем, что стратегия 1-го голосующего аналогична стратегиям остальных игроков, т.е. Х\ = У\ - состоит только из множества вариантов, на которые лидер может наложить вето. По умолчанию в Г„ А,(/)= /, т.е. в играх с фиксированным порядком ходов будем по умолчанию использовать естественную нумерацию.

Предположим, что для каждого голосующего функции выигрыша заданы не явно, а системой предпочтений, т.е. известны строгие неравенства между значениями функций выигрыша в случае принятия каждого из вариантов. Например, для п=3

Так как рассмотрение проводится с точки зрения первого голосующего (1-го игрока), а ему выгоден лишь свой вариант, то его предпочтения относительно других вариантов для исследования безразличны. Поэтому далее для спецификации конкретных условий игры будем вместо (1) использовать сокращенную запись в форме матрицы предпочтений подчиненных игроков:

где варианты в строках (2) упорядочены по убыванию функций предпочтения соответствующих голосующих; а2,..., с2 Е{1, 3,..., п+1}; а3,..., с3 €{1, 2, 4,..., п+1};...; а",..., с" £{1,..., п-1, п+1}.

Задача состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях 1-й игрок обеспечивает прохождение своего варианта, в зависимости от порядка голосования и расположения предпочтений других голосующих, т.е. вида соотношений (2), формирующих конкретную игру. Игры, в которых для заданного порядка ходов у 1 -го игрока есть стратегия, гарантирующая при рациональном поведении остальных участников выбор варианта 1, будем называть победными.

Формально в победной игре для сложного равновесия х° выполнено я(х°) = 1.

Отдельно отметим, что (как будет видно из дальнейшего) возможность полностью задать порядок голосования, когда 1-й игрок определяет и свое место в ветовании, не дает ему дополнительных преимуществ по сравнению с рассматриваемой возможностью управления порядком ходов подчиненных игроков при собственном первом ходе, поскольку в общем случае его предложение побеждает в тех же расстановках предпочтений партнеров.

£/,( 1) > их{ах) > £7,(6') > их{с\ а\ Ъ\ сх £{2,3,4}; и2(1) > и2(а2) > и2(Ь2) > и2(с2), а2, Ъ2, с2 €{1,3,4}; £/з(3) > иъ{аъ) > и3(Ь3) > и3(с3), а\ Ъ\ с3 €{1,2,4}.

(1)

(2)

§ 2. Случай 4-х голосующих

2.1. Необходимое условие существования победного порядка ходов.

Для иллюстрации дальнейших рассуждений рассмотрим сначала игру 4-х лиц, осуществляющих выбор из 5 вариантов. Для победности игры 1-й выборщик (лидер) должен обеспечить, чтобы его вариант не вычеркнули другие игроки (подчиненные). Для этого ни у одного из них вариант 1 не должен стоять на последнем месте (Требование 1), а для игрока, у которого вариант 1 стоит на предпоследнем месте, не должен быть другими заветован вариант, стоящий на последнем месте.

Для выполнения 2-й части указанного условия необходимо, чтобы вариант 1 не был на предпоследнем месте у двух игроков с одним и тем же вариантом на последнем месте (далее -Требование 2).

Предположим наличие возможности формирования порядка ходов. При этом необходимым, очевидно, является требование 1 с требованием 2, но нужно и еще одно требование.

Требование 3. Число различных вариантов, находящихся правее варианта 1 в матрице упорядоченных предпочтений подчиненных игроков, должно быть больше двух.

Свойство 1. Требование 3 является необходимым условием победной игры в Г4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Машечкин, Алексей Игоревич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. М.: Наука, 1990.

2. Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии. М.: Академия, 1995.

3. Алескеров Ф.Т., Карабекян Д.С., Санвер P.M., Якуба В.И. Оценка степени манипулируемости известных схем агрегирования в условиях множественного выбора // Журнал Новой экономический ассоциации. 2009. Т. 1. № 1. С. 37-61.

4. Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. 1963. № 10. С. 119 - 140.

5. Васин A.A. Модели динамики коллективного поведения. М.: Издательство Московского университета, 1989.

6. Васин A.A. Модели процессов с несколькими участниками. М.: Издательство Московского университета, 1983.

7. Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005.

8. Вольский В. И., Лезина 3. М. Сравнительной анализ процедур голосования (обзор проблемы и новые задачи). Автомат, и телемех. 1992. № 2. С. 3-29.

9. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985.

10. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

11. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

12. Гермейер Ю.Б. Об играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов // ДАН. 1971. Т. 198. №5. С. 1001-1004.

13. Данилов В.И., Сотсков А.И. Механизмы группового выбора. М.: Наука, 1991.

14. Долгопятова Т.Г., Ивасаки И., Яковлев A.A. Российская корпорация: внутренняя организация, внешние взаимодействия, перспективы развития. М.: Юстицинформ, 2009.

15. Ерешко Ф. И., Кононенко А.Ф., Решение игры с правом первого хода при неточной информации о цели партнера // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13. № 1. С. 217-221

16. Карпов A.B. Модель голосования на выборах совета директоров акционерной компании // Журнал Новой экономической ассоциации. 2011. № 12. С. 10-23.

17. Кононенко А.Ф., Новикова Н.М. Обзор развития теории игр Гермейера // Программное оборудование и вопросы принятия решений. М.: Издательство Московского университета. 1989. С. 201-210.

18. Краснощеков П.С. Математические модели в исследовании операций. Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», 1984.

19. Краснощеков П.С., Петров А.А Принципы построения моделей. Издание второе, пересмотренное и дополненное. М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000.

20. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: Издательство Московского университета, 1984.

21. Кукушкин Н.С. Условия существования устойчивых исходов в теоретико-игровых моделях. Диссертация доктора физико-математических наук. ВЦ РАН, 1999.

22. Кукушкин Н.С. Роль взаимной информированности сторон в играх двух лиц с непротивоположными интересами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 4. С. 1029-1034.

23. Лотов В.А., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: учебное пособие. М: МАКС Пресс, 2008.

24. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. Санкт-Петербург-Москва-Краснодар: Лань, 2010.

25. Машечкин А.И., Новикова Н.М. Дополнительный игрок в задаче о вето-голосовании // Прикладная математика и информатика. 2012. Т. 40. С. 105-121. Переиздание: Mashechkin A.I., Novikova N.M. An additional player in the voting by veto problem // Computational Mathematics and Modeling. 2013. V. 24. № 1. P. 153-166.

26. Машечкин А.И., Новикова Н.М. Управление порядком ходов при вето-голосовании. I. Условия принятия заданного решения // Известия РАН. ТИСУ. 2013. № 1. С. 69-83. Переиздание: Mashechkin A.I., Novikova N.M. Controlling the order of moves in voting by veto. I. Conditions for making the given decision // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2013. V. 52. № 1. P. 66-79.

27. Машечкин А.И., Новикова Н.М. Управление порядком ходов при вето-голосовании. II. Алгоритмы построения оптимального порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 2. С. 55-82. Переиздание: Mashechkin A.I., NovikovaN.M. Controlling the order of moves in voting by veto. II. Algorithms for constructing an optimal order of moves // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2013. V. 52. № 2. P. 186-214.

28. Машечкин А.И. Оценка шансов принятия решения первого игрока в условиях голосования путем ветования // Вестник МГУ, серия "Вычислительная математика и кибернетика". 2012. № 4. С. 31-36. Переиздание: Mashechkin A.I. Estimating the winning chances of a solution suggested by the first player under conditions of voting by veto // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2013. V. 37. № 1, P. 28-34.

29. Машечкин А.И., Поспелова И.И. Свойства голосования с правом вето // Прикладная математика и информатика. 2009. Т. 31. С. 83-94. Переиздание: Mashechkin A.I., Pospelova I.I. Properties of voting with veto power // Computational Mathematics and Modeling. 2009. V. 20. № 4. P. 427-437.

30. Меньшиков И.С. Динамические игры с иерархической структурой. Диссертация кандидата физико-математических наук, факультет ВМиК МГУ, 1977.

31. Меньшикова О.Р. Методы поиска ядер кооперативных игр и их приложения. Диссертация кандидата физико-математических наук, МГУ, 1977.

32. Морозов В.В., Аъзамхужаев М.Х. О поиске дележей дискретной кооперативной игры // Применение вычислительных средств в научных исследованиях и учебном процессе. 1992. С. 49-62.

33. Морозов В.В. Основы теории игр. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2002.

34. Мохонько Е.З. Об оценке полезности информации в неантагонистической дифференциальной игре. М.: ВЦ АН СССР, 1990.

35. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М: Мир, 1985.

36. Новикова Н.М. Игры двух и трех лиц со связанными ограничениями при фиксированном порядке ходов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. 16. №2. С. 325-339.

37.

38.

39.

40.

41,

42.

43.

44

45

46

47

48

49

50

Новикова Н.М. Централизованная оптимизация систем с заданными участниками // Известия АН СССР. Серия Техническая кибернетика. 1987. № 6.

Aleskerov F.T., Yakuba V.I., Karabekyan D.S., Sanver R.M. On the manipulability of voting rules: the case of 4 and 5 alternatives // Mathematical Social Sciences. 2012. V. 64. № 1. P. 67—73.

Arrow K.J. Social choice function and individual values. Wiley, New York, 1951.

dAspremont C. and Gevers L. Equity and the informational basis of collective choice // Review of Economic Studies. 1977. V. 44. № 2. P. 199-209.

Aumann R. J., Shapley L.S. Values of non-atomic games, Princeton University Press, Pinceton, 1974.

Aumann R. J. The Core of a Cooperative Game Without Side Payments // Transactions of the American Mathematical Society. 1961. № 98, P. 539-552.

Binmore K., Rubinstein A., and Wolinsky A. Nash bargaining solution in economic modeling // Rand Journal of Economics. 1986. № 17. P. 176-188.

Black D. The Theory of Committees and Elections. Cambridge: Cambridge University Press. 1958.

Borda J.C. de. Memoire sur les elections au Scrutin. Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Paris, 1781.

Braham M., Steffen F. The Chairman's Paradox Revisited // Social Choice and Welfare. 2007. V. 28. №2. P. 231-253.

Condorcet Marquis de. Essai sur l'application de l'analyse a la probabilité des decisions rendues a la pluralité des voix, Paris, 1785.

Cournot A.A. Recherches sur les principles mathématiques de la theorie des richesses. Hachette, Paris, 1983.

Dalton H. The Measurement of the Inequality of Incomes // Economic Journal. 1920. Jsfe 30. P. 348-361.

Debreu G. Topological methods in cardinal utility theory. Mathematical Methods in the Social Sciences. Stanford: Stanford University Press. 1960.

51.

52.

53,

54

55,

56

57

58

59

60

r 1

U1

62

63

64

65

Debreu C., Scarf H. A limit theorem on the core of an economy // International Economic Review. 1963. № 4. P. 235-246.

Enelow J., Koehler D. The amendment in legislative strategy: Sophisticated voting in the U.S. Congress // Journal of Politics. 1980. № 5. P. 396-413.

Farquharson R. Theory of Voting, New Haven, CT: Yale University Press, 1969.

Felsenthal D.S. Topics in Social Choice: Sophisticated Voting, Efficacy and Proportional Representation, New York: Praeger, 1990.

Felsenthal D.S., Brichta A. Sincere and sophisticated voters: An Israeli study // Political Behavior. 1985. № 7. P. 311-324.

Felsenthal D.S., Machover M. Sequential voting by veto: Extending the applicability of the Mueller-Moulin algorithm // Theory and Decision. 1992. № 33. P. 223-240.

Fishburn P.C. The Theory of Social Choice. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1973.

Foley D. Lindahl's solution and the core of an economy with public goods // Econometrica. 1970. №38. P. 66-72.

Foley D. Resource allocation and the public sector // Yale Economic Essays. 1967. V. 7. № 1. P. 45-98.

Foster J. Inequality measurement In Fair Young, ed., AMS Short Course Lecture Providence: the American Mathematical Society, 1985.

Giubaiu A. Manipulation of vuliiig schemes /'/' Econometrica. 1973. № 41. P. 587—601.

Gilles D.B. Solutions to general non-zero-sum games // Contributions to the theory of games. IV Annual Mathematic Studies. 1959. № 40. P. 47-86.

Gorman W.M. The structure of utility functions // Review of Economic Studies. 1968. № 35. P. 369-390.

Groseclose T., Milyo J. Sincere versus sophisticated voting when legislators vote sequentially // Social Choice and Welfare. 2013. V. 40. № 3. P. 745-751.

Hall P. On Representatives of Subsets // Journal of the London Mathematical Society. 1935. V. 10. № l.P. 26-30.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74,

75.

76,

77

78

79,

80

81

Hammond P. Equity, Arrow's conditions and Rawls' difference principle // Econometrica. 1976. V. 44. №4. P. 793-804.

Herzberg R.O. and Wilson R.K. Results on sophisticated voting in experimental setting, Journal of Politics. 1988. V. 50. P. 471-486.

Hug S. Strategic Voting in a Bicameral Setting, Reform Processes and Policy Change // Public Choice. 2011. V. 16. P. 231-245.

Kalai E., M. Smorodinsky. Other solutions to Nash's bargaining problem // Econometrica. 1975. V. 43. №3. P. 513-18.

Kukushkin N.S. Improvement paths in strategic games: a topological approach, 2010. Lensberg T. Stability and collective rationality // Econometrica. 1987. V. 55. № 4. P. 935-962.

May K. A set of independent necessary and sufficient conditions for simple majority decision // Econometrica. 1952. № 20. P. 680-684.

McKelvey R., Niemi R. A multistage game representation of sophisticated voting for binary procedures // Journal of Economic Theory. 1978. № 18. P. 1-22.

Moulin H. Axioms of cooperative decision maiking. Cambridge University Press, 1988.

Moulin H. Prudence versus sophistication in voting strategy // Journal of Economic theory. 1981. №24. P. 398—412.

Moulin H. The Strategy of Social Choice, Amsterdam: North-Holland, 1983. Mueller D.C. Voting by veto // Journal of Public Economics. 1978. № 10. P. 55-75. Nash J.F. The bargaining problem // Econometrica. 1950. № 28. P. 155-162.

von Neumann J., O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behaviour, 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1947.

Niemi G.R., Frank A.Q. Sophisticated voting under the plurality procedure: A test of a new definition//Theory and Decision. 1985. № 19. P. 151-162.

Peleg B. Game theoretic analysis of voting in commities. Cambridge: Cambridge University Press. 1984.

82.

83.

84,

85,

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

Peress M. Selecting the Condorcet Winner: single-stage versus multi-stage voting rules // Public Choice. 2008. V. 137. № 1-2. P. 207-220.

Pigou A.C. Wealth and Welfare, London: Macmillan, 1912.

Plott C.R., Levine M. A model of agenda influence on committee decisions // American Economic Review. 1978. № 68. P. 146-160.

Rapoport A., Felsenthal D.S., Maoz, Z. Sincere versus strategic voting behavior in small groups. T.R. Palfrey, (ed.), Laboratory Research in Political Economy. 1991. P. 201-235.

Riker W. Arrow's theorem and some examples of the paradox of voting // J. Claunch (ed.), Mathematical Application of Political Science. 1965. P. 41-69.

Roberts K. Possibility theorems with interpersonally comparable welfare levels. Review of Economic Studies. 1980. № 47. P. 409-420.

Rubinstein A. Perfect equilibrium in a bargaining model // Econometrica. 1982. № 50. P. 97109.

Satterthwaite M. Strategy-proofness and Arrow's conditions: existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions// Journal of Economic Theory. 1975. № 10. P. 187-217.

Scarf H. The core of an N person game // Econometrica. 1967. № 35. P. 50-69.

Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1969. № 17. P. 1163-1170.

Shapley L.S. Core of convex games // International Journal of Game Theory. 1971. № 1. P. 1126.

Shapley L.S., Snow R.N. Basic solutions of discrete games. Contributions to the theory of games. I Annual Mathematics Studies. 1953. № 24. P. 51-73.

Shorrocks A.F. Aggregation Issues in Inequality Measurement, 1985.

Shubik M. Incentives, decentralized controls, the assignment of joint costs and internal pricing // Management Science. 1962. V. 8. № 3. P. 325-343.

Choice and Welfare. 2000. V. 17. № 4. p. 655-672.

97. Sotskov A.I. Vetoing in social choice with blockings // Mathematical social sciences. 1994. № 27. P. 203-216.

98. Stackelberg H. Marktform und Gleichgewicht. Vienna: Julius Springer. 1934.

99. Thomson W. The fair division of a fixed supply among a growing population // Mathematics of Operations Research. 1983. № 8. P. 319-326.

100. Wilson R.K. Results on the Condorcet winner // Simulation and Games. 1986. № 17. P. 217243.

101. Wilson R.K., Pearson A. Evidence of sophisticated voting in committee setting: Theory and experiments // Quality and Quantity. 1987. № 21. P. 255-273.

102. Young H.P. Social choice scoring functions // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1975. № 28. P. 824-838.

103. Yuval F., Herne K. Sophisticated Behavior under Majoritarian and Non-Majoritarian Voting Procedures // Political Behavior. 2005. V. 27. № 3. P. 217-237.

104. Yuval F. Sophisticated voting under the sequential voting by veto // Theory and Decisions. 2002. V. 53. P. 343-369.