Теоретико-игровые модели формирования коалиций и участия в голосовании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Вартанов, Сергей Александрович

• Вартанов, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вартанов, Сергей Александрович

Оглавление

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Модели формирования коалиций

1.1. Постановка задачи и формальное описание модели

1.2. Множество равновесий Нэша в зависимости от числа коалиций

1.3. Устойчивость равновесий Нэша

1.3.1. Устойчивость к локальному объединению

1.3.2. Устойчивость к расколу 48 Глава 2. Модели участия в голосовании. Множество равновесий в смешанных 57 стратегиях.

2.1. Описание модели, существование равновесий в чистых стратегиях

2.2. Симметричные смешанные равновесия

2.3. Несимметричные равновесия

2.3.1. Частично смешанные равновесия

2.3.2. Полное описание множества смешанных равновесий для малой 103 численности участников Глава 3. Модели участия в голосовании. Устойчивость и свойства смешанных

равновесий, анализ альтернативного механизма голосования.

3.1. Введение и постановка задачи

3.2Локальная устойчивость частично смешанных равновесий

3.2.1. Модель адаптивного поведения при координации избирателей

3.2.2. Модель адаптивного поведения без координации избирателей

3.2.3. Модель фиктивного разыгрывания

3.3. Ожидаемые исходы голосования при равновесном поведении

3.3.1. Об оценке относительных издержек

3.3.2. Ожидаемый исход голосования и выборные парадоксы

3.4. Альтернативный механизм голосования 159 Заключение 172 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровые модели формирования коалиций и участия в голосовании»

Введение

В современном мире одним из важнейших способов принятия коллективных решений являются выборы. Они происходят как в политической, так и во многих других сферах жизни общества: в корпоративной, культурной и даже бытовой. В качестве примеров можно привести ситуацию принятия решения советом директоров корпорации, выборы победителей различных конкурсов. Сам выборный процесс можно разделить на два этапа. На первом этапе формируется коалиционная структура: участники разбиваются на группы, в рамках которых все их члены придерживаются единой позиции. На втором этапе происходит собственно голосование, в котором принимают участие группы сторонников каждой из альтернатив, сформировавшиеся на первом этапе.

В настоящей работе рассматриваются два класса теоретико-игровых моделей, соответствующие указанным двум этапам выборов. Для описания первого этапа применяются модели эндогенного формирования коалиций. Подобные модели предполагают, что участники выборов (агенты) характеризуются идеальными точками, описывающими их предпочтения на некотором множестве. Из этого же множества участники каждой из коалиций выбирают некоторое компромиссное решение, которое характеризует единую позицию всех ее участников (политику коалиции). В зависимости от области применения модели идеальная точка агента может интерпретироваться как политическая программа, наиболее близкая его интересам, желаемая величина налога, уровень дохода агента, место его жительства и т.д.

Функция выигрыша агента зависит от расстояния между его идеальной точкой и политикой коалиции, к которой примкнул агент, а также от размера этой коалиции. При этом предполагается, что чем ближе идеальная точка агента

к политике коалиции и чем больше размер этой коалиции, тем больше выигрыш агента. Итоговая политика коалиции чаще всего определяется как идеальная точка медианного её члена, так как медиана получит большее количество голосов членов коалиции при сравнении с любой другой альтернативой. Кроме того, в некоторых случаях такое определение итогового выбора коалиции является эффективным с точки зрения максимизации суммарного выигрыша её участников ([63]).

В литературе, посвященной исследованию формирования коалиций, рассматриваются равновесные по Нэшу наборы стратегий и соответствующие им распределения агентов по коалициям (совокупность таких распределений для всех коалиций задает коалиционную структуру). В частности, исследованию равновесных по Нэшу структур посвящены работы ([8-9], [40-41], [45], [63-64]). Близким понятием является понятие структуры, устойчивой к индивидуальным отклонениям [40-41].

Важным вопросом также является устойчивость коалиционных структур (не обязательно равновесных) к различным типам коалиционных отклонений. В качестве одного из возможных понятий коалиционной устойчивости в литературе рассматривается понятие сильного равновесия, введенного в [5]. Под сильным равновесием понимается ситуация, в которой не существует такого множества участников, что всем им выгодно одновременно изменить свои стратегии. Как правило, однако, рассматриваются более слабые понятия устойчивости (коалиционная устойчивость, Р-ядро, квазиустойчивость [40-41], локальная устойчивость и слабое коалиционное равновесие [63-64], устойчивость к объединению при условии свободы перемещений, stability under free mobility, SFM [9]). Настоящая работа посвящена анализу равновесий Нэша и соответствующих им коалиционных структур, а также их устойчивости к

некоторым видам коалиционных отклонений (расколу и объединению существующих коалиций), рассмотренных в [63-64].

Во многих работах рассматриваются модели формирования коалиций, допускающие возможность побочных платежей (например, [2-3], [17-19], [26], [29]). В то же время существует широкий спектр приложений, в которых предположение о возможности побочных платежей не соответствует сути модели. В основном это модели формирования политических партий, которые часто основываются лишь на самоорганизации его участников без участия каких-либо «центров силы», заинтересованных в компенсации издержек отдельным агентам с целью реализации определенной коалиционной структуры. В настоящей работе рассматривается модель формирования коалиций, не допускающая побочных платежей.

Таким образом, модель, рассматриваемая в главе 1 настоящей работы, обладает следующими отличительными признаками. Это модель эндогенного формирования коалиций в большом неоднородном множестве участников, не допускающая побочных платежей участникам коалиций. Основным объектом исследования являются равновесия Нэша - ситуации, в которых каждый участник присоединяется к той коалиции, в которой имеет максимальный выигрыш. Кроме того, в равновесии некоторые участники могут воздерживаться от присоединения, если это дает им больший выигрыш, чем участие в любой из коалиций. Множество идеальных точек предполагается одномерным (отрезок [0, 1]), при этом в качестве политики каждой коалиции выбирается идеальная точка её медианного члена. Выигрыш каждого ее сторонника описывается функцией общего вида, возрастающей по размеру коалиции и убывающей по расстоянию от идеальной точки сторонника до политики коалиции.

Подобные модели были рассмотрены в работах [45], [57], [63-64]. В данных работах остались нераскрытыми вопросы структуры множества равновесий, а также их устойчивости в случае неравномерности распределения участников на множестве идеальных точек. Под исследованием структуры множества равновесий понимается определение количества коалиций в равновесной структуре, зависимости размера коалиций от плотности распределения агентов, а также разработка алгоритма расчета всевозможных равновесных коалиционных структур. В Главе 1 настоящей диссертации решаются эти задачи, а также исследуется устойчивость равновесий к двум основным типам изменения коалиционной структуры: расколу и объединению существующих коалиций.

После формирования коалиционной структуры множество, из которого предстоит сделать выбор участникам голосования, существенно сужается. На втором этапе выбор осуществляется из конечного множества альтернатив, мощность которого не превышает количеству сформировавшихся коалиций. На практике многие выборы в конечном итоге сводятся к голосованию при наличии двух альтернатив. Именно эта ситуация рассматривается в настоящей работе.

Существует большое количество процедур голосования. Подробно о них написано в работах [4], [49-50]. Наряду с правилами простого или относительного большинства, можно привести в качестве примеров правила Борда, одобряющего голосования и процедуры голосования Хара и Нэнсона. На практике наиболее распространенным из таких правил является голосование по правилу простого большинства.

Выборы с помощью простого большинства имеют ряд особенностей. Их конечный исход зависит не только от изначальных предпочтений граждан,

имеющих право голоса, но и от их явки. На явку электората влияют различные обстоятельства, связанные с издержками, которые несет избиратель в связи с участием в выборах. Например, необходимо затратить определенное время, чтобы добраться до избирательного участка и вернуться домой. Возможно, потребуется отменять какие-то дела, запланированные на день голосования, и так далее. Кроме того, многие избиратели осознают, что значимость их голоса пренебрежимо мала, особенно если речь идет о голосовании в масштабах целой страны. Таким образом, неучастие в выборах многим избирателям представляется рациональным: какой смысл тратить время и силы на выборы, если остальные все равно придут и проголосуют?

Низкая явка может привести к победе альтернативы с меньшим уровнем поддержки (парадокс голосования, см. [32]). Схожие проблемы можно обнаружить и в других ситуациях, касающихся принятия решений гражданами об участии в каких-либо инициативах, требующих определенных затрат, например, создание общественных благ ([27]). При этом, как показывают некоторые исследования ([47]), введение минимального порога явки не всегда обеспечивает победу наиболее поддерживаемой альтернативе.

Важным вопросом, касающимся исследуемой процедуры голосования, является количество и устойчивость равновесий Нэша, получающихся в соответствующей теоретико-игровой модели. Подобная модель для голосования с двумя альтернативами по правилу простого большинства рассматривалась в работе [25]. Для случая одного сторонника одной альтернативы и N > 1 сторонников другой показано, что чистых равновесий Нэша в модели голосования нет. Более того, количество смешанных равновесий больше одного, при этом в одних равновесиях выше вероятность победы первой альтернативы, а в других - второй. Для общей модели с произвольным

количеством сторонников первой альтернативы приведены примеры возникновения парадокса в смешанном равновесии, при этом вопросы количества и свойств смешанных равновесий в данной работе не рассмотрены.

В главе 2 настоящей работы показано, что для произвольных значений численности избирателей существует большое количество равновесий, приводящих к различным исходам. Это приводит к необходимости рассмотрения вопроса, какие из них наиболее соответствуют реальному поведению при голосовании. Такого рода вопросы возникают в различных теоретико-игровых моделях. Для их решения обычно рассматривают модели динамики, которые позволяют выделить среди точек равновесия устойчивые и неустойчивые.

Для описания динамики поведения в социальных популяциях используются модели адаптивно-подражательного поведения (МАПП, [46], [5254]). Такие модели описывают ситуации, когда голосование происходит многократно примерно в одних и тех же условиях, что позволяет индивидам выбирать свои стратегии исходя из опыта и результатов предыдущих голосований. В теории игр исследование таких моделей проводится анализа устойчивости равновесий, возникающих в статической модели.

Другой широко используемый класс динамических моделей, также описывающих многократно повторяющееся взаимодействие индивидов в одних и тех же условиях, - это модели, аналогичные процессу фиктивного разыгрывания ([60]). Как показывает работа [21], такие модели обладают лучшими свойствами в смысле сходимости: для некоторого класса неантагонистических игр траектории процесса фиктивного разыгрывания ведут себя так же, как и средние по времени траекторий МАПП. Сходимость к смешанному равновесию имеет место для биматричных игр, с помощью

линейных преобразований сводимых к антагонистическим ([51]). Для более полного исследования свойств равновесий статической модели ниже рассматривается динамика поведения обоих указанных типов.

Главы 2 и 3 настоящей диссертации посвящены исследованию модели голосования двух неравных групп избирателей, каждая из которых поддерживает свою альтернативу. Выигрыш каждого участника голосования определяется двумя фиксированными значениями. Во-первых, это затраты, которые он несет в случае участия в голосовании. Во-вторых, это выплата, которую он получает в случае победы поддерживаемой им альтернативы. В случае же победы другой альтернативы избиратель лишается точно такой же суммы. В главе 2 приведено формальное описание этой модели, исследуется множество смешанных равновесий - как симметричных, в которых сторонники каждой альтернативы используют одинаковые стратегии, так и несимметричных. В главе 3 полученные смешанные равновесия статической модели исследуются на устойчивость с точки зрения указанных выше моделей динамики поведения. Проведенный анализ показал, что траектории динамики фиктивного разыгрывания в окрестности смешанных равновесий Нэша ведут себя аналогично траекториям МАП П.

Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем.

1) Для модели эндогенного формирования коалиций с неравномерным распределением агентов на одномерном множестве идеальных точек получены условия существования и разработан алгоритм вычисления равновесий Нэша, найдены условия локальной устойчивости полученных равновесий для функций выигрыша общего вида.

2) Для модели голосования с двумя альтернативами полностью исследовано множество симметричных смешанных равновесий в зависимости от соотношения затрат и выигрыша от участия в голосовании. Показано, что при любом их соотношении существуют не более двух таких равновесий. Исследована адаптивная динамика поведения в окрестности подобных равновесий в предположении координированного поведения сторонников каждой из альтернатив.

3) Для модели голосования с малой численностью участников (два сторонника одной альтернативы, три сторонника другой) полностью исследовано множество всех смешанных равновесий Нэша. Показано, что общее число равновесий весьма велико (от десяти до одиннадцати в зависимости от относительных издержек). Исследована динамика поведения участников голосования в окрестности этих равновесий в отсутствие координации поведении участников.

4) Построена новая модель последовательного голосования участников. Показано существование единственного совершенного подыгрового равновесия, исследованы его свойства.

Обзор литературы

Как упоминалось ранее, в любых выборах можно выделить два основных этапа: формирование коалиционной структуры (то есть разделение общества на группы единомышленников) и голосование при фиксированном множестве альтернатив и их сторонников. В этой связи в научной литературе также можно выделить два основных направления, в которых обсуждаются и исследуются математические модели, соответствующие указанным этапам.

Моделям формирования коалиционных структур посвящено большое количество научной литературы, в основном опирающейся на методы теории игр. Такие модели находят применение в экономической географии ([2-3]) и политологии ([22-23]; [45]; [56]; [63-64]), а также при исследовании проблемы создания юрисдикций для оптимального размещения общественных благ ([610]; [17-20]; [40-42]; [61-62]).

В моделях формирования коалиций общество представляет собой множество игроков (агентов, индивидов и т.д.). Каждый агент обладает функцией предпочтений, имеющей единственный максимум на некотором множестве идеальных точек. Это множество в зависимости от сферы применения конкретной модели может иметь различные интерпретации: это могут быть географические координаты проживания агентов ([2-3]; [6-10]; [1720]; [40-42]; [61-62]), политические программы ([22-23]; [45]; [56]; [63-64]) и т.д. Унимодальность предпочтений позволяет полностью характеризовать каждого агента его идеальной точкой. Все общество в целом характеризуется распределением агентов на множестве идеальных точек.

Под коалициями в большинстве работ понимаются подмножества

множества игроков и соответствующие множества идеальных точек. Каждой

коалиции согласно некоторому правилу ставится в соответствие точка

(политика, центр) из того же множества, что и идеальные точки агентов. В литературе, как правило, речь идет о правиле медианы ([40-42]; [61-62]; [17-20]; [6-10]; [56]; [63-64]). Кроме того, в некоторых работах центр коалиции выбирается по правилу среднего (Mean rule, [22-23]; [45]). Совокупность всех коалиций и их центров (политик) задаёт коалиционную структуру. Выигрыш агента определяется, во-первых, расположением его идеальной точки и, во-вторых, параметрами коалиции, в которой он состоит. Конкретный вид функции выигрыша определяется, в первую очередь, сферой применения модели.

В моделях формирования юрисдикций и государственных образований ([2-3]; [6-10]; [17-20]; [40-42]; [57]) агенты - это граждане, распределенные в некотором пространстве в соответствии с географическими координатами их проживания. Юрисдикции формируются для того, чтобы обеспечивать своих членов определенными общественными благами, например, школами, детскими садами, библиотеками, больницами и т.п. Каждая юрисдикция согласно определенному правилу выбирает местоположение центра, в котором предполагается размещение данного блага. Предполагается, что участие граждан в создании общественных благ является обязательным, и основным выигрышем является сам факт получения общественного блага данным агентов. В этом случае вместо максимизации выигрыша целью агентов является минимизация издержек, которые определяются двумя факторами. Расстояние от места его проживания до центра юрисдикции определяет транспортные издержки, которые несет этот агент: чем дальше он живет от центра, тем больше он вынужден затратить на доступ к общественному благу. Кроме того, для создания центра необходимы определенные фиксированные издержки, которые распределяются между всеми членами юрисдикции. Таким образом, каждый агент сталкивается с выбором: либо стать членом маленькой юрисдикции и

экономить на транспортных издержках, но нести большие затраты на создание центра, либо снизить свои вложения в производства общественного блага за счет членства в большой юрисдикции. Однако в этом случае из-за её большого размера агенты, проживающие далеко от центра, понесут существенные транспортные издержки.

В литературе, посвященной формированию юрисдикции, исследуется существование и устойчивость разбиений общества на юрисдикции (юрисдикционных структур), эффективных с точки зрения максимизации суммарного выигрыша (минимизации суммарных издержек) всех агентов. В этом случае часто предполагается допустимость побочных платежей, что позволяет компенсировать отдельным агентам их индивидуальные издержки за счет перераспределения общих затрат в рамках каждой юрисдикции. Поиск эффективных и устойчивых юрисдикционных структур, таким образом, сводится к построению оптимальных компенсационных схем ([2-3]; [17-20]; [26]). В указанных работах исследование проводится в рамках кооперативной теории игр, и в качестве решений рассматриваются структуры, принадлежащие С-ядру возникающей кооперативной игры.

В работах [2-3] подобная модель использовалась применительно к формированию границ государств в одномерном мире с равномерным распределением индивидов. Исследовалось, является ли эффективное с точки зрения максимизации общественного благосостояния разбиение устойчивым к различным изменениям государственных границ. Исследовались следующие типы устойчивости: к присоединению приграничных регионов к соседней стране, формированию новой страны с согласия хотя бы половины жителей всех затронутых стран исходного деления и к одностороннему отколу регионов от стран-метрополий. Согласно полученным результатам, при отсутствии

побочных платежей эффективная структура - это разбиение всего множества граждан на государства одинакового размера. Оно не является устойчивым к рассматриваемым отклонениям. Однако существуют компенсационные схемы, гарантирующие устойчивость эффективного разбиения. В работе [26], данный результат был обобщен: для произвольного распределения игроков по идеальным точкам всегда существует такое распределение издержек, что множество устойчивых структур совпадает с множеством структур, эффективных с точки зрения максимизации суммарного благосостояния агентов. Также показано, что при отсутствии побочных платежей эффективное распределение может быть неустойчивым к расколу. Для многомерного множества идеальных точек ситуация намного сложнее. Даже в двумерном случае, как показано в работе [17], предположение о возможности побочных платежей не гарантирует существования устойчивой и эффективной юрисдикционной структуры, и для стабилизации эффективной структуры требуется внешнее субсидирование агентов с наибольшими транспортными издержками.

Модели без побочных платежей рассматривались в работах ([6-10]; [40-42]; [57]; [61-62]). В этих работах предполагалось, что фиксированные издержки на создание общественного блага распределяются между членами юрисдикции поровну ("equal share"), выигрыш агентов линейно зависит от расстояния между его идеальной точкой и центром юрисдикции, расположенным в медиане распределения её членов. В частности, в работе [41] исследовались вопросы коалиционно устойчивых структур в модели с конечным числом агентов. В случае с 2, 3 или 4 агентами такая структура существует всегда, но для большего числа агентов, как было показано в данной работе, это не так. В частности, для модели с 5 агентами построен пример, в котором устойчивых

структур нет. Отдельное внимание в данной работе также уделяется структурам, соответствующим равновесиям Нэша, и структурам, устойчивым к индивидуальным отклонениям агентов. Похожая концепция (миграционная устойчивость) исследовалась у Савватеева и позднее, например, в работе [61], где было показано, что единственной эффективной и миграционно устойчивой структурой является разбиение всего общества на юрисдикции одинакового размера.

В работе [9] исследуется модель с континуумом игроков, распределенных равномерно на единичном интервале. Основной вопрос заключается в соотношении и взаимосвязи различных типов устойчивости структур, возникающих в результате разделения общества на юрисдикции с целью создания определенных общественных благ. Рассматривались три типа устойчивости: устойчивость к присоединению при условии единодушного одобрения (присоединение, выгодное всем участникам вновь образованной юрисдикции), при условии свободы передвижений (присоединение, выгодное лишь присоединяющимся к существующей юрисдикции агентам) и С-устойчивость. С-устойчивые структуры представляют собой элементы ядра: для них не существует блокирующих юрисдикций любого вида (то есть позволяющих всем их участникам увеличить свои выигрыши по сравнению с имеющимися). Согласно полученным результатам, любое разбиение общества, удовлетворяющее условию безразличия граничных агентов и размеры юрисдикций в котором лежат в определенном интервале, является устойчивым при условии свободных перемещений, а любое разбиение, устойчивое при условии свободных перемещений, С-устойчиво.

Другое направление, где используются модели формирования коалиций, связано с исследованием формирования политических партий ([11]; [33]; [2215

23]). В качестве политики партии в указанных работах (также, как и в случае формирования юрисдикций) рассматривается либо медиана, либо центр масс распределения её сторонников. При этом количество партий предполагалось фиксированным, а исследования устойчивости политических структур к образованию новых партий не проводилось.

Отдельное направление в научной литературе посвящено исследованию моделей эндогенного формирования политических партий, аналогичных моделям формирования юрисдикций ([45]; [56]; [63-65]). Для описания формирования партий в указанных работах используются теоретико-игровые модели без побочных платежей с большим числом игроков. Эти модели обладают следующими общими свойствами. Рассматривается множество агентов, стратегия которых - либо примкнуть к одной из партий, либо не вступать ни в одну из них. Множество агентов характеризуется функцией распределения их по идеальным точкам, описывающим их политические взгляды. Политика партии определяется как медиана распределения по идеальным точкам ее сторонников. Выигрыш члена некоторой партии определяется её размером и разницей между её политикой и взглядами данного агента: чем она больше, тем меньший выигрыш получает агент от членства в данной партии. В упомянутых работах исследуются партийные структуры, устойчивые к локальному расколу и объединению, а также слабые коалиционные равновесия, в которых не существует групп агентов со связным множеством идеальных точек, всем членам которых выгодно образовать новую партию.

В работе [63] рассматривались случаи линейной и квадратичной зависимости выигрыша от расстояния между идеальной точкой члена партии и её политикой".

г-а\х-р\ г-а(х-р)2 р г

1 1 или 4 ' , где г - размер, и - политика этой партии, А -

идеальная точка агента. В линейном случае для монотонного распределения игроков при достаточно низких значениях параметра СС единственное слабое коалиционное равновесие - объединение всех граждан в одну партию, а при высоких значениях этого параметра партии не образуются. В случае квадратичной функции коалиционные равновесия для равномерного распределения игроков существуют при любом значении а , более того, слабые коалиционные равновесия из и партий одинакового размера существуют тогда и только тогда, когда 4п/3><а<4п. При таких значениях а любое равновесие Нэша является слабым коалиционным равновесием. В работах [45]; [65] данные результаты обобщаются на случай функций выигрыша агентов, имеющих произвольный вид. Также исследовалось множество локально устойчивых равновесий Нэша и их связь со слабыми коалиционными равновесиями для случая многомерного множества идеальных точек агентов. Основным результатом, полученным в данных работах, являются необходимые и достаточные условия локальной устойчивости коалиционных структур, соответствующих разбиению пространства идеальных точек на прямоугольные подмножества. Другое обобщение указанной модели рассматривалось в работе [56], где агенты отличались не только идеальными точками, но и видом функций выигрыша.

Модель, исследуемая в главе 1 настоящей работы, аналогична модели, исследовавшейся в работах Ю.В. Сосиной, A.A. Васина и Д.С. Степанова. Задача данной работы - определить структуру множества равновесий Нэша этой модели в случае неравномерного распределения участников по идеальным точкам и исследовать их устойчивость к основным типам коалиционных отклонений.

Принципиально другие модели используются для описания взаимодействия индивидов на втором этапе - голосования при фиксированном множестве альтернатив и групп их сторонников. Существует большое количество процедур голосования, подробно описанных в работах [4] и [49-50]. Наряду с правилами простого или относительного большинства, можно привести в

качестве примеров правила Борда, правила одобряющего голосования и процедуры голосования Хара и Нэнсона. На практике наиболее распространенным из таких правил является голосование по правилу простого большинства.

Значительная часть реальных голосований, так или иначе, может быть сведена к выбору из двух альтернатив (в частности, если речь идет о политической сфере, то можно привести в качестве примера президентские выборы, как правило, приводящие ко второму туру с двумя возможными кандидатами). Конечный исход голосования зависит не только от изначальных предпочтений граждан, имеющих право голоса, но и от их явки. На явку электората влияют различные обстоятельства, связанные с издержками, которые несет избиратель в связи с участием в выборах. Например, необходимо затратить определенное время, чтобы добраться до избирательного участка и вернуться домой, возможно, потребуется отменять какие-то дела, запланированные на день голосования, и так далее. Предположение о том, что сам факт участия в голосовании уже приводит к издержкам у избирателей, обосновывалось в работах [16], [38] и [44]. Кроме того, многие избиратели осознают, что значимость их голоса пренебрежимо мала, особенно если речь идет о голосовании в масштабах целой страны. Таким образом, неучастие в выборах может представлять собой пример рационального поведения: какой смысл тратить время и силы на выборы, если остальные все равно придут и проголосуют? Нежелание граждан участвовать в политической жизни общества может привести к низкой явке, победе кандидатов-маргиналов и даже к срыву голосования.

Ситуациям, когда исход голосования в определенном смысле не соответствует предпочтениям всех его участников, посвящено большое

количество исследований, начиная с классических трудов [14-15]. В частности, в работе [32] приводится следующее определение парадокса: парадокс голосования возникает в том случае, когда отношение между исходом голосования и предпочтениями избирателей вступает в противоречие с интуитивными представлениями или даже является в определенном смысле неразумным.

Впервые задача о явке при голосовании двух групп граждан с двумя альтернативами с точки зрения теории игр рассматривалась в работе [36] в следующей постановке. Есть две группы избирателей, каждая из которых поддерживает своего кандидата. При его победе участники группы получают фиксированный выигрыш, а при поражении теряют столько же. Кроме того, участие в голосовании сопряжено с издержками, независимо от того, кто побеждает в результате. В данной работе впервые был получен результат об отсутствии чистых равновесий при различной численности групп (см. также [25], [58]). Кроме того, были исследованы смешанные равновесия и для малых значений предельных издержек показано существование симметричных смешанных равновесий, в которых вероятности участия в голосовании участников первой и второй групп дают в сумме единицу. Дальнейшее исследование этой модели предполагало случайность издержек, связанных с участием в голосовании ([37]). Корректность такой теоретико-игровой модели и её соответствие реальным голосованиям подтверждается рядом экспериментальных исследований, например, [30].

Структура множества смешанных равновесий для случая одного сторонника одной альтернативы и ^>1 сторонников второй рассматривалась в [25]. Согласно полученным результатам, в этом случае при стремлении издержек от участия в голосовании к возможному выигрышу вероятность

победы менее поддерживаемой альтернативы в смешанном равновесии стремилась к 1. В работе [58] данная модель была рассмотрена для случая произвольных параметров голосования. Были найдены пять типов смешанных равновесий Нэша, при этом в трех из них более вероятной оказалась победа менее поддерживаемого кандидата.

В общем случае, как показывают результаты приведенных выше работ, общее количество равновесий в модели голосования весьма велико, что приводит к необходимости рассмотрения вопроса, какие из них наиболее соответствуют реальному поведению при голосовании. Такого рода вопросы возникают в различных теоретико-игровых моделях. Для их решения обычно рассматривают модели динамики, которые позволяют выделить среди точек равновесия устойчивые и неустойчивые. Одним из примеров таких моделей являются модели адаптивного поведения ([46], [52-54]). Другой класс динамических моделей, описывающих многократно повторяющееся взаимодействие в одних и тех же условиях, - это модели, аналогичные процессу фиктивного разыгрывания ([21], [51], [60]).

В главах 2 и 3 настоящей работы изучаются модели участия избирателей в голосовании с двумя альтернативами (кандидатами), Рассматриваются две группы избирателей с известными численностями, которые выдвигают своего кандидата и на выборах голосуют только в его поддержку. Стратегия избирателя - участвовать в выборах или нет. Задача данной работы - определить множество смешанных равновесий Нэша в зависимости от параметров модели (численности голосующих, их выигрышей и затрат на участие в голосовании) и исследовать сходимость к найденным смешанным равновесиям адаптивной динамики поведения и процесса фиктивного разыгрывания.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы работах [67-74].

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Вартанов, Сергей Александрович

Основные результаты работы, выносимые на защиту, таковы.

• Для модели формирования коалиций с унимодальным распределением агентов и функцией выигрыша игроков с вогнутой зависимостью как от размера коалиции, так и от расстояния между идеальной точкой и политикой коалиции, описаны качественные особенности изменения размеров коалиций в равновесных структурах по мере возрастания плотности распределения агентов. Разработан алгоритм поиска всевозможных коалиционных структур, соответствующих локально устойчивым равновесиям Нэша.

• Найдены новые необходимые, а также достаточные условия устойчивости равновесий Нэша к расколу входящих в него коалиций. Показано, что вогнутости функции выигрыша недостаточно для устойчивости к расколу, однако убывание её второй производной не является для этого необходимым.

• Для модели голосования с двумя альтернативами найдено множество симметричных смешанных равновесий в зависимости от издержек участия в голосовании. Показано, что при любых относительных издержках существует не более двух таких равновесий. Выяснено, к каким из равновесий сходится динамика адаптивного поведения в предположении координированного поведения сторонников каждой из альтернатив.

• Для модели голосования с двумя сторонниками одной альтернативы и тремя сторонниками другой полностью описано множество всех смешанных равновесий Нэша. Описана динамика поведения участников голосования в окрестности этих равновесий в отсутствие координации поведения участников. Показано, что в этом случае ни одно смешанное равновесие не является локально устойчивым.

• Построена и исследована модель последовательного голосования избирателей. Для этой модели доказано существование единственного совершенного подыгрового равновесия. Это равновесие соответствует победе альтернативы с большим количеством сторонников. Для модели со случайными значениями издержек найдены условия, при которых СПР совпадает с СПР модели с фиксированными издержками.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вартанов, Сергей Александрович, 2013 год

Список литературы.

1. Abramowitz, M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables // N.Y., Dover Publications, 1970.

2. Alesina A., Spolaore E. The size of Nations // MIT Press, Cambridge, MA, 2003

3. Alesina A., Spolaore E., On the number and size of nations // The Quarterly Journal of Economics, vol. 112(4), November 1997, p. 1027-56

4. Aleskerov F.T., Yakuba V.I., Karabekyan D.S., Sanver R.M. On the manipulability of voting rules: the case of 4 and 5 alternatives // Mathematical Social Sciences, 2012. Vol. 64. № 1. pp. 67—73

5. Aumann R.J. The core of a cooperative game without side payments // Transactions of American Mathematical Society, 1961

6. Bogomolnaia A., Jackson M. The Stability of Hedonic Coalition Structures // Games and Economic Behavior, vol.38, 2002

7. Bogomolnaia A., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. Heterogeneity Gap in Stable Jurisdiction Structures // Journal of Public Economic Theory, vol. 10, n. 3, June 2008, p. 455-473

8. Bogomolnaia A., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. Stability of jurisdiction structures under the equal share and median rules // Economic Theory, Springer, vol. 34(3), p. 525-543, March 2008

9. Bogomolnaia A., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. Stability under unanimous consent, free mobility and core // International Journal of Game Theory. Volume 35, Number 2, 185-204, January 2007

10. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Sawateev, A, Weber S. Heterogeneity Gap in Unidimensional Spatial Models // Journal of Public Economic Theory, 2008, Vol. 10, pp. 455-473.

11. Caplin A., Nalebuff B. Aggregation and social choice: A mean voter theorem // Econometrica, 59(1), January 1991, pp. 1-23

12. Cox G.V. Electoral Equilibrium under Alternative Voting Institutions //American Journal of Political Science. 1987. №31: 82-108.

13. Cox G.V. Electoral Equilibrium under Approval Voting //American Journal of Political Science. 1985. №29: 112-118.

14. de Borda J.C. Memo ire sur les elections au scrutin. // Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Paris, 1781

15. de Condorcet M. Essay on the application of mathematics to the theory of decision making. // in Baker K. (ed) Condorcet, selected writings. Bobbs-Merill, Indianapolis, 1976

16. Downs. A. An economic theory of Democracy // N.Y., Harper & Row, 1957

17. Dreze J., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. "Almost" subsidy-free spatial pricing in a multi-dimensional setting // Journal of Economic Theory 143 (2008) 275291

18. Dreze J., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. 0.19% Subsidy-Free Spatial Pricing // IDEI Working Papers 423, Institut d'Économie Industrielle (IDEI), Toulouse, 2006.

19. Dreze J., Le Breton M., Sawateev A., Weber S. A Problem of Football Bars: Vertically and Horizontally Differentiated Public Goods // X Международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества, Т. 2. М.: ИД ГУ ВШЭ, 2010, с. 86-90.

20. Dreze J., Le Breton M., Weber S. Secession-Proofness in Large Heterogeneous Societies // IDEI Working Papers 410, Institut d'Économie Industrielle (IDEI), Toulouse, 2006

21. Gaunersdorfer A., Hofbauer J. Fictitious play, Shapley polygons and the Replicator Equation // Games and economic behavior, vol.11, 1995

22. Gomberg A.M., Marhuenda F. Endogenous platforms: the case of many parties // International Journal of Game Theory, Springer, vol. 35(2), pages 223-249, January 2007

23. Gomberg A.M., Marhuenda F., Ortuno-Ortin I. A Model of Endogenous Political Party Platforms // Economic Theory Vol. 24, No. 2 (Aug., 2004), pp. 373-394

24. Haan M. Endogenous Party Formation in a Model of Representative Democracy // Econometric Society World Congress 2000 Contributed Papers 0598, Econometric Society, 2000.

25. Haan M., Cooreman P. How majorities can lose the election. Another voting paradox // Social Choice and Welfare, Springer, 2003, #20

26. Haimanko O., Le Breton M. Weber S. Transfers in a polarized country: bridging the gap between efficiency and stability // Journal of Public Economics, Elsevier, vol. 89(7), pages 1277-1303, July 2005

27. Heijnen, P. On the probability of breakdown in participation games // Social Choice and Welfare, Springer, Vol. 32 (3), pp.493-511, 2009

28. Le Breton M., Weber S. Stable Partitions in a Model with Group-Dependent Feasible Sets // Economic Theory, vol. 25, n. 1, Springer Berlin/Heidelberg, January 2005, p. 187-201.

29. Le Breton M., Weber S. The Art of Making Everybody Happy: How to Prevent a Secession// IMF Staff Papers, vol. 50, 2003, p. 403-435

30. Levine D.K., Palfrey T.R. The paradox of voter participation? A laboratory study // American Political Science Review, 101(1), 2007, pp. 143-158

31. Muller E., Satterthwaite M. Strategy-proofness: the existence of dominant-strategy mechanisms // in L. Hurwicz, D. Schmeidler and H. Sonnenschein (eds.). Social Goals and Social Organization. Cambridge University Press. Cambridge, 1985

32. Nurmi H. Voting paradoxes and referenda // Social Choice and Welfare, Springer, vol. 15(3), pp. 333-350, 1998.

33. Ortuño-Ortín I., Roemer, J.E. Endogenous Party Formation And The Effect Of Income Distribution On Policy // Working Papers. Serie AD 2000-06, Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas, S.A. (Ivie).

34. Ortuno-Ortin I., Schultz C. Public funding of political parties // Journal of Public Economic Theory, Association for Public Economic Theory, vol. 7(5), pages 781-791, December 2005

35. Osborne M.J., Rosenthal J.S., Turner M.A. Meetings with Costly Participation// American Economic Review, American Economic Association, vol. 90(4), pages 927943, September 2000.

36. Palfrey T. R., Rosenthal H. A Strategic Calculus of Voting // Public Choice, 1983, 41 (1), pp. 7-53.

37. Palfrey T. R., Rosenthal H. Voter Participation and Strategic Uncertainty// American Political Science Review, March 1985, 79 (1), pp. 62-78

38. Riker W., Ordeshook P. A theory of the calculus of voting // American Political Science Review, 1968, 62 (1), pp. 25-42

39. Satterthwaite M. Strategy-proofness and Arrow's conditions: existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions // Journal of Economic Theory. 1975. Vol. 10. P. 187-217.

40. Sawateev A. Achieving stability in heterogeneous societies // Economics Education and Research Consortium Working Paper Series No 04/13, 2005

41. Sawateev A. Achieving Stability in Heterogeneous Societies: multi-jurisdictional structures, and redistribution policies // Moscow: EERC, 2005

42. Sawateev A. Uni-dimensional models of coalition formation: non-existence of stable partitions. // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 2012

43. The 2012 annual report of the board of trustees of the federal old-age and survivors insurance and federal disability insurance trust funds //U.S. government printing office, 2012

44. Tullock G. Towards a mathematics of Politics // University of Michigan Press, 1967

45. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Mathematical and Computer Modelling 48 (2008) 1519-1526

46. Vasin A.A. On stability of mixed equilibria // Nonlinear Analysis, 38, 1999, pp. 793-803

47. Zwart S. Fixing the Quorum: Representation versus Abstention// Economics Working Papers EC02007/07, European University Institute, 2007.

48. Алескеров Ф.Т. Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по созданию коалиций // Доклады Российской академии наук, Т.414, №5 (2007) С.594-597

49. Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии // М.: Академия, 1995

50. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А., Бинарные отношения, графы и коллективные решения // М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006.

51. Богданов А.В. Об условиях сходимости итерационного метода Брауна-

Робинсон для биматричных игр // Сборник «Прикладная математика и информатика», №2, 1999

52. Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. // МАКС-Пресс, Москва, 2005

53. Васин А.А., Богданов А.В. Модели адаптивно-подражательного поведения:

I. Связь с равновесиями Нэша и решениями по доминированию // Изв. РАН. ТиСУ. №1, 2002

54. Васин А.А., Богданов А.В. Модели адаптивно-подражательного поведения:

II. Устойчивость смешанных равновесий // Изв. РАН. ТиСУ. №2, 2002.

55. Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике // М.: МАКС Пресс, 2003

56. Васин A.A., Сосина Ю.В., Степанов Д.С. Устойчивость коалиций в неоднородной популяции // Математическая теория игр и её приложения, т. 1, вып.З, 2010

57. Мусатов Д.В. Существование устойчивого разбиения на группы при убывающей плотности населения // Дипломная работа, РЭШ, 2008.

58. Николаев А.Н. Теоретико-игровая модель поведения избирателей на выборах // V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2007), посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Моисеева, Москва, 10-14 апреля, 2007.: Труды. М.:МАКС Пресс, 2007.

59. Риордан Дж. Комбинаторные тождества // М.: Наука, 1982

60. Робинсон Дж. Итеративный метод решения игр // Сб. «Матричные игры», Физматтиз, Москва, 1961.

61. Савватеев А. В. Миграционно-устойчивая организация одномерного мира: теорема существования решения // Известия Иркутского государственного университета, 2012.

62. Савватеев А. В. Анализ коалиционной устойчивости «биполярного мира». // Журнал НЭА,. № 1(17), 2013, с. 10-43

63. Сосина Ю.В. Теоретико-игровые модели политической конкуренции: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук: 01.01.09. - Москва, 2006. - 120 с.

64. Сосина Ю.В., Эндогенное формирование политических структур и исследование их устойчивости // Препринт WP7/2004/04, Серия WP7 "Теория и практика общественного выбора", Москва, ГУ ВШЭ, 2004

65. Степанов Д.С. Модель эндогенного формирования коалиционных структур: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук: 01.01.09. - Москва, 2011. - 151 с.

66. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трех томах) //М.: ФИЗМАТ ЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003

Публикации автора по теме диссертации.

67. Вартанов С. Модель электорального поведения // Математическая теория игр и ее приложения, выпуск 5.— Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2013,— Vol. 1.— Pp. 3-26.

68. Вартанов С. Об устойчивости к расколу равновесий в модели эндогенного формирования коалиций // Математическая теория игр и ее приложения, выпуск 4,— Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2012,— Vol. 1— Pp. 3-20.

69. Вартанов С., Сосина Ю. О структуре равновесий Нэша и их устойчивости к локальному объединению в модели эндогенного формирования коалиций // Математическое моделирование, том 25.—М.: Академиздатцентр «Наука», 2013,— Vol. 4,— Pp. 44-64.

70. Вартанов С., Васин А., Сосина Ю. Об устойчивости равновесий в модели эндогенного формирования коалиций // XIII Международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. В четырех книгах.—М.: НИУ ВШЭ, 2012.—Vol. 1.—Pp. 203-215.

71. Вартанов С. Свойства равновесий в коалиционных играх с неравномерным распределением агентов // Сборник тезисов XVII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010»; секция «Вычислительная математика и кибернетика: Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 12-15 апреля 2010 года».— М.: МАКС Пресс, 2010.

72. Вартанов С. О локальной устойчивости равновесий в модели эндогенного формирования коалиций // Сборник тезисов XVIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011»; секция «Вычислительная математика и кибернетика: Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 11-15 апреля 2011 года».— М.: МАКС Пресс, 2011.

73. Вартанов С. О структуре равновесий Нэша и их локальной устойчивости в модели эндогенного формирования коалиций // Сборник тезисов XIX международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2012»; секция «Вычислительная математика и кибернетика: Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 9-13 апреля 2012 года».— М.: МАКС Пресс, 2012.

74. Вартанов С. Исследование равновесий в модели эндогенного формирования коалиций // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2010 года.— М.: МАКС Пресс, 2010.

ч