Соотношение равновесий Нэша и конкурентного равновесия в математических моделях обмена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Дуракович Небойша

• Дуракович Небойша
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дуракович Небойша

Введение.

Глава I. Теоретико - игровые модели олигополий

1.1. Постановка проблемы.

1.2. Основной рынок и модель Курно.

1.3. Конкуренция функций предложения.

1.4. Модель Бертрана - Эджворта.

1.5. Решение по доминированию и адаптивная динамика цен.

1.6. Некоторые задачи экономического регулирования.

Глава II. Модели некооперативного обоснования концепции экономического равновесия.

2.1. Постановка проблемы.

2.2. Рынок обмена. Модель Рубинштейна -Волынского. 2.3. Модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соотношение равновесий Нэша и конкурентного равновесия в математических моделях обмена»

В современной экономической теории важную роль играет понятие конкурентного равновесия. Конкурентное равновесие - это такое состояние экономики, когда цены устанавливаются на уровне, который балансирует предложение и спрос, причем каждый агент - производитель товара принимает решение о выпуске продукции, максимизируя свою прибыль. Согласно известным «теоремам о благосостоянии» (см. Debreu R. (1954) [12]), конкурентное равновесие является оптимальным состоянием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эффективности. Основное предположение теории экономического равновесия состоит в том, что в условиях совершенной конкуренции экономический рынок приходит в состояние конкурентного равновесия. Условия совершенной конкуренции включают:

1) наличие большого числа экономических агентов с близкими характеристиками; большое число означает, что отдельный агент не может повлиять на агрегированные показатели рынка, не «имеет власти» на рынке;

2) отсутствие транзакционных издержек при осуществлении обмена;

3) наличие у всех агентов полной информации относительно состояния рынка и возможность свободно выбирать партнеров с рынка.

Удовлетворяющие этим условиям рынки D. Gale (1986) [16, 17] назвал рынками без трения. Данное качественное описание условий совершенной конкуренции (см. также Walras (1874) [37]) не является конструктивным в том смысле, что не позволяет определить для конкретного рынка, выполнены ли эти условия, и если нет, то на сколько могут отклоняться цены от равновесных по Вальрасу. В частности, по поводу этих условий возникают два вопроса:

1. Что значит: отдельный агент не имеет рыночной власти, не может влиять на цены?

2. Что означает возможность свободно выбирать партнеров, для каких механизмов выбора партнеров справедливо указанное предположение?

Для ответа на эти вопросы в литературе используются теоретико-игровые модели. В частности, по первому вопросу рассматриваются различные модели олигополий (см. Gale D. (1986) [16, 17]; Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30]). Значительная доля реальных рынков относится к олигополиям: в то время, как любой отдельный потребитель, по-видимому, не обладает рыночной властью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента, наиболее крупный производитель на таких рынках обеспечивает не менее 10% от общего потребления. Поэтому исследования математических моделей и оценки ожидаемого отклонения от состояния конкурентного равновесия для различных типов олигополии представляют большой интерес.

Типичным подходом к количественной характеристике условий совершенной конкуренции и к оценке ожидаемого отклонения является сравнение конкурентного равновесия с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию. При этом предполагается, что рынок функционирует как некоторый аукцион. В модели Курно (см. Amir R. (1996) [4], KukushkinN. (1994) [21], Novshek W. (1985) [26]) производители выбирают объемы, в модели конкуренции функций предложения (см. Klemperer P. Meyer М. (1989) [19]) они указывают функции предложения, в модели Бертрана и ее обобщениях (см. Edgeworth E.Y. (1925) [13]) они назначают цены на товар. В каждом случае аукцион можно описать как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. Рассматриваются также динамические модели принятия решений для аукциона, и исследуется сходимость его состояний к конкурентному равновесию.

В литературе получены результаты о существовании равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в модели олигополии по Курно (см. Amir R., Lambson М. (2000) [3]); доказано, что для нескольких типов рынков с ценовой конкуренцией или с конкуренцией функций предложения исходы, соответствующие совершенному подыгровому равновесию, совпадают с исходом по Курно (см. Kreps D., Sheinkman J. (1983) [20], Moreno D., Ubeda L. (2002) [24]). Рассматривались вопросы существования и единственности равновесия Нэша в модели Курно (см. Amir R. (1996) [4]). Исследовались модели конкуренции с произвольными функциями предложения, назначаемыми производителями (Klemperer P., Meyer М. (1989) [19]).

Вторая проблема касается децентрированных механизмов взаимодействия. Этот тип обмена соответствует неорганизованному рынку и здесь рассматриваются различные модели повторяющихся парных и групповых сделок в форме динамических игр.

Важный теоретический вопрос заключается в том, на любых ли рынках, удовлетворяющим условиям «рынков без трения» по Гейлу, обмен осуществляется согласно принципу конкурентного равновесия. Другая интересная проблема — более точная формулировка условий «рынков без трения».

Вопрос, можно ли ожидать формирование конкурентного равновесия, в литературе сводится к его сравнению с совершенным подыгровым равновесием или последовательным равновесием соответствующей динамической игры.

Этой проблеме посвящены работы Gale D. (1986) [16,17], Rubinstein А., Wolinskiy А. (1984) [30]. В них рассматривается рынок с большим числом агентов, каждый из которых располагает начальным запасом товаров и характеризуется функцией полезности. Агенты случайным образом объединяются в пары, один из агентов (случайным образом) оказывается в роли лидера и делает предложение относительно условий обмена. Другой агент может лишь согласиться, либо отказаться от предложения. В последнем случае агенты встречаются с новыми партнерами в следующий период времени. Полезность либо не дисконтируется, либо дисконт стремится к 1. Все три условия совершенной конкуренции кажутся выполненными. В то же время, исследованные модели различаются в том, могут ли агенты неоднократно заключать сделки, являются ли делимыми обмениваемые товары и как меняется состав состав агентов от периода к периоду. Оказалось, что указанные особенности рынков существенно влияют на исход обмена. В модели Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30] два типа агентов: у каждого агента первого типа единицы неделимого товара, потребление которой приносит агенту второго типа единицу трансферабельной полезности. Агенты, договорившись об обмене покидают рынок. За счет притока новых агентов все время поддерживается фиксированное отношение численностей. Если агентов первого типа больше, то в состоянии конкурентного равновесия агенты первого типа получают 0, а второго - 1. В то же время последовательное равновесие в соответствующей игре двух групп агентов соответствует арбитражному решению Нэша для задачи о парной сделке, при этом выигрыши обоих типов положительны. В работе Gale D. (1986) [16] 1) агенты обмениваются фиксированным числом делимых товаров; 2) каждый агент может неоднократно вступать в сделки. Всякое последовательное равновесие этой модели соответствует конкурентному равновесию рынка с заданным распределением агентов по начальным запасам и полезностям.

Вместе с тем, полученные результаты далеко не являются исчерпывающими и не дают ответа на ряд важных вопросов. Так, для олигополии Курно условия существования единственного равновесия по Нэшу установлены лишь для вогнутых функций спроса. Оценки отклонений от конкурентного равновесия получены только для симметричных олигополии. Для аукциона функций предложения не исследован практически важный случай, когда множество стратегий продавца ограничено ступенчатыми неубывающими функциями, как на реальных рынках электроэнергии и газа (см. Hogan, 1998, [18]). Для моделей ценовой конкуренции существовал большой разрыв между достаточными условиями существования равновесия Нэша (Эджворт, 1925, [13], Васин, 1993, [38]) и необходимыми условиями (Allen, Hellwig, 1986 [1]).

Относительно моделей повторяющихся парных сделок в литературе не выяснено, какие особенности моделей Рубинштейна-Волынского и Гейла определяют различные исходы обмена в этих моделях. Кроме того, обе модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. Представляет интерес исследование данной проблемы для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами.

В 1-ой главе настоящей диссертации рассматриваются математические модели конкуренции для трех различных механизмов взаимодействия производителей товаров и покупателей: олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта. В каждом случае рассматривается игра в нормальной форме, соответствующая изучаемому механизму, и исследуется ее равновесие Нэша (в чистых стратегиях): выясняется существование и свойства равновесий, прежде всего их соотношение с конкурентным равновесием.

Новизна полученных результатов состоит в следующем. Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка: минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и максимальной доли отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене. Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них соответствует равновесию по Курно. Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует. В этом случае оценка отклонения ожидаемых цен от конкурентного равновесия получена на основе последовательного исключения доминируемых стратегий. Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца — организатора аукциона.

Во 2-ой главе рассматривается реализация конкурентного равновесия для неорганизованного рынка (повторяющихся случайных парных сделок), исследуются динамические игры с континуумом игроков и неполной информацией, описывающие указанный механизм обмена. Принимая решение в очередной период, каждый игрок знает состояние партнера, но не знает его предшествующих действий, как, и действий остальных игроков.

Рассматриваются промежуточные стратегии между программными (зависящими лишь от времени) и позиционными (зависящими от текущего состояния игры). Для таких игр наиболее подходящим уточнением понятия равновесия Нэша является последовательное равновесие. Распределение по стратегиям будет последовательным равновесием, если в подыгре, соответствующей состоянию, которое может реализоваться при отклонении малой доли игроков от данных стратегий в предшествующих состояниях, усеченные стратегии образуют равновесие Нэша.

Также во второй главе анализируются и сравниваются результаты Rubinstein A., Wolinsky А. (1984) [30] и Gale D. (1986) [16, 17]. Обе указанные модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. В главе 2 построена и исследована модель, описывающая данную проблему для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

Новизна полученных результатов главы 2 состоит также в следующем. Показано, что для сходимости последовательных равновесий модели повторяющихся парных сделок к конкурентному равновесию в общем случае необходима возможность многократного участия в обмене для агентов всех типов. Предложенная схема доказательства годится для любого рынка, на котором агенты могут за один шаг поменяться так, чтобы достичь оптимального (с точки зрения суммарной полезности) распределения ресурсов.

Построена и исследована модель, описывающая проблему формирования конкурентного равновесия для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Дуракович Небойша

Заключение

В первой главе настоящей работы для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка. Эта оценка обратно пропорциональна минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и прямо пропорциональна максимальной доле отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене.

Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них соответствует равновесию по Курно. Для всякого равновесия Нэша соответствующая цена лежит между Вальрасовской ценой и ценой Курно. Более того, для некоторого класса моделей адаптивного поведения показано, что стратегии игроков с течением времени сходятся к равновесию Курно.

Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша, касающиеся скорости сходимости исходной и остаточной функций спроса. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует.

Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца - организатора аукциона. Показано, что продавец может таким путем обеспечить себе монопольную прибыль.

В главе 2 настоящей работы для модели повторяющихся парных сделок в случае, когда каждый агент может совершить лишь одну сделку, найдено последовательное равновесие и показано, что оно не всегда соответствует конкурентному равновесию.

Получены достаточные условия сходимости последовательного равновесия к конкурентному равновесию для замкнутого рынка, на котором сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости. Предложенная схема доказательства годится для любого рынка, на котором агенты могут за один шаг поменяться так, чтобы достичь оптимального (с точки зрения суммарной полезности) распределения ресурсов. В этом случае утверждение теоремы 2.4. остается справедливым с очевидными изменениями.

Отметим важное отличие рассматриваемой модели от модели Gale D. (1986) [17]. В последней агенты на каждом шаге объединяются в пары случайно, независимо от их типов. В этом случае изложенная схема доказательства требует изменения. Хотя утверждение о сходимости к конкурентному равновесию, по видимому, справедливо, скорость сходимости снижается, поскольку часть агентов неправильно объединяются в пары.

Выбор типа агента-партнера можно включить в стратегию, предполагая, что на каждом шаге агент в роли лидера выбирает, с агентом какого типа он хотел бы встретиться. Множество типов меняется от периода к периоду в соответствии с множеством возможных начальных запасов агентов. Полученные нами результаты сохраняются в случае такой модификации: в состоянии последовательного равновесия на первом шаге агенты типа 1 будут встречаться с агентами типа 2, и наоборот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дуракович Небойша, 2003 год

1. Allen, В., Hellwig, М. (1986) "Bertrand-Edgeworth Oligopoly in Large Markets", Review of Economic Studies, 53,175-204.

2. Allen, В., Thisse, J.-F. (1990) "Price Equilibria in Pure Strategies for Homogeneous Oligopoly", Center for Operations Research and Econometrics discussion paper N9034, Universite Catholique de Louvain.

3. Amir R. and Lambson M. (2000) "On the Effects of Entry in Cournot Markets, Review of Economic Studies 67,235-254.

4. Amir R. (1996) "Cournot Oligopoly and the Theory of Super modular Games", Games and Economic Behavior 15,132-148.

5. Arrow, K.J., Debreu, G. (1954) "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy", Econometrica, 22,265-290.

6. Arrow, K.J., Hurwicz, L. (1960) "Competitive Stability under Weak Gross Substitutability: The "Euclidian distance" approach", Internat.Econ.Rev., 1, N1.

7. Bertrand, J. (1883), "Review of Theorie mathematique de la richesse sociale" and "Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses", Journal des Savants, 499-508.

8. Binmore, K., and Herrero, M. (1984) "Frictionless Non-Walrasian Markets", ICERD Discussion paper, 84/103, London School of Economics.

9. Borgers, Т. (1992) "Iterated Elimination of Dominated Strategies in a Bertrand-Edgeworth model", Review of Economic Studies, 59, 163-176.

10. Brown, G.W. (1951) "Iterative Solutions of Games by Fictitious Play", in Activity Analysis of Production and Allocation (T.C.Koopmans, Ed), 374376, New York, Wiley.

11. Corchon, Ritzberger, (1992) Discussion paper, WP-AD 902-06 Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas.

12. Debreu R. (1954) "Valuation Equilibrium and Pareto Optimum" , Proc of the National Academy of Sciences of the USA, 40, 588-92.

13. Edge worth, E.Y. (1925) "The Pure Theory of Monopoly" in Edgeworth, Papers Relating to Political Economy, VI, 111-142, New York, Brut Franklin.

14. Friedman, J. (1986) "On the Strategic Importance of Prices Versus Quantities" Rand Journal of Economics, №4, 607-622.

15. Fundenberg, D., Mashin, E. (1986) "The Folk Theorem in Repeated Game with Discounting and with Incomplete Information", Econometrica, 54, 533554.

16. Gale, D. (1986) "Bargaining and competition I" Econometrica, Vol. 54, 785806.

17. Gale, D. (1986) "Bargaining and competition II, Existence" Econometrica, 54, 807-818.

18. Hogan W. (1998) "Competitive Electricity Market Design: A Wholesale Primer", Harvard University, WP.

19. Klemperer P. and Meyer M. (1989) "Supply Function Equilibrium in Oligopoly under Uncertainty", Econometrica 57(6), 1243 1277.

20. Kreps D. and Scheinkman J. (1983) "Quantity Recommitment and Bertrand Competition Yield Cournot Outcomes", The Bell Journal of Economics 14, 326-337.

21. Kukushkin N. (1994) "A Fixed Point Theorem for Decreasing Mappings", Economic Letters 46,23-26.

22. Mas-Colell, A., Wainston, M.,D., Green, J.,R., (1995) "Microeconomic theory", Oxford University Press, Inc.

23. Milgrom, P., Roberts, J. (1990) "Rationalizability, Learning and Equilibrium in Games with Strategic complementarities", Econometrica, 58, N6.

24. Moreno D. and Ubeda L. (2001) "Capacity Recommitment and Price Competition Yield Cournot Outcomes", Universudad Carlos 3 de Madrid, Economic Series 08 WP 01-44.

25. Moulin, H. (1984) "Dominance-solvability and Cournot-stability", Mathematical social sciences, 7, 83-102.

26. Novchek W. (1985) "On the Existence of Cournot Equilibrium", Review of Economic Studies 52, 85-98.

27. Robinsone, J. (1951) "Expectations and Stability in Oligopoly Models", Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 138, Berlin New York, Springer-Verlag.

28. Rothwell G. and Gomez T. (2002) "Electricity Economics: Regulation and Deregulation", to be published by IEEE Press.

29. Rubinstein, A. (1982) "Perfect Equilibrium in a Bargaining Model", Econometrica, 50,97-108.

30. Rubinstein, A. and Wolinsky, A. (1984) "Equilibrium in a Market with Sequential Bargaining" ICERD Discussion paper, 83/91, London School of Economics.

31. Selten, R. (1975) "Reexamination of Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games", Int. J. of Game Theory, 4,25-55.

32. Sharpe, W.F. (1985) "Investments", N.-Y., Prentice-Hall, (3-rd edit.)

33. Thorlund-Petersen, L. (1990) "Iterative Computation of Cournot Equilibrium", Games and Economic Behavior, 2, 61-75.

34. Usawa, H. (1961), "The Stability of Dynamic Processes", Economenteca, 29, N4.

35. Vasin, A. (1992) "On the convergence to competitive equilibrium and the conditions of pure competition."

36. Vives, X. (1986) "Rationning rules and Bertrand-Edgeworth equilibria in Large markets", Economics Letters, 21,113-116.

37. Walras, L. (1874) "Elements d'Economie Politique Pure". Lausanne.

38. Васин A.A., (1992) «О Моделировании коллективного поведения в экологических и социальных системах» Вестник Московского Университета. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн. N1.

39. Васин, А.А. (1990) "Модели динамики коллективного поведения", МГУ, Москва.

40. Васин, А.А. (1990) "Эволюционная модель поведения в СУПЕР ИГРЕ", МГУ ВМиК, Москва.

41. Васин, А.А., Сомов, С.В. (1996) «Теоретико-игровая модель одностороннего аукциона».

42. Вурос, А., Розанова, Н. (2000) "Экономика отраслевых рынков", МГУ Экономический факультет, Москва.

43. Гермейер Ю.Б. (1971) «Введение в теорию исследования операций», М.:Наука.

44. Мулен Э. (1997) "Теория игр с примерами из экономики" М: Мир.

45. Павловская Е.Я. Поспелов И.Г. Скрипкин И.Г. (1988) «Точка Нэша и общественно необходимые затраты труда в хозяйстве» М, ВЦ АН СССР, 64с.

46. Полтерович В.М. (1970) «Об Одной Модели Перераспределения Ресурсов» М, Экономика и Математические Методы, том VI, вып. 4.

47. Розенмюллер М.Т. (1974) "Кооперативные игры и рынки' М: Мир.

48. Durakovitch N., Somov S.V. (1998) "A First-Price Auction Model with a Fictitious Buyer", Тезисы докладов 2-ой Московской Международной Конференции по Исследованию Операций. М.: ВЦ РАН. Стр. 12.

49. Н. Дуракович, Модель аукциона первой цены с фиктивным участником, Вестн. Моск. ун-та Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000 №1. С.40-44.

50. Vasin, N. Durakovich, P. Vasina, Cournot equilibrium and competition via supply functions, Game Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol.9, New York, 2003, p.181 191.