Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Шаманаев, Антон Сергеевич

• Шаманаев, Антон Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шаманаев, Антон Сергеевич

Введение.

Обзор литературы.

Глава 1. Существование равновесий Нэша на сетевом рынке из двух симметричных олигополии: Курно.

1.1 Общая модель рынка

1.2. Модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса.

1 3. Модель рынка с неодинаковыми издержками производителей

Глава 2 Структура множества равновесий Нэша на двухузловом аукционе Курно в зависимости от параметров модели.

2 1. Случай с щ левыми потерями и одинаковой скоростью \ бывания спроса на рынках.

Глава 3 Сравнительный анализ аукционов Курно и Викри.

3.1. Необходимые определения и предшествующие результаты.

3.2. Симметричная олигополия.

3 3. Рынок с одним крупным производителем и группой мелких.

3 4. Рынок с двумя группами однородных производителей.

3.5. Численное сравнение исходов аукционов Курно и Викри.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара»

Рынки однородных товаров, к которым относятся металлы, энергоресурсы, электроэнергия и др., играют важнейшую роль в современной экономике. Интерес к их исследованию связан с тем, что в течение последних 30 лет в разных странах активно развиваются рынки электроэнергии и газа. Конкурентный сектор на рынке электроэнергии существует в России с 2003 г. На сегодняшний день по конкурентным ценам продается более 50% потребляемой в России электроэнергии, а к 2011 г., согласно планам правительства, цены будут полностью дерегулированы.

Оптовые рынки упомянутых товаров, как правило, являются олигополиями, т.е. рынками, на которых действует небольшое количество фирм — продавцов. Каждая из фирм на таком рынке обладает рыночной властью, т.е. способна своими действиями влиять на рыночную цену. Важная практическая задача — организовать рынок таким образом, чтобы не допустить большого отклонения цены от значения, оптимального с точки зрения суммарного выигрыша участников рынка. Такое значение реализуется в состоянии конкурентного равновесия (см. (Walras, 1874), (Debreu, 1954)). В связи с этим особый интерес представляет изучение моделей аукционов однородного товара, то есть возможных форм организации такого рынка. В каждом случае аукцион описывают как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. В качестве модели поведения участников аукциона обычно рассматривают равновесие по Нэшу соответствующей игры.

В существующей литературе ((Amir, 1996), (Amir, Lambson, 2000), (Ausubel, Cramton,

2004), (Bertrand, 1883), (Edgeworth, 1925), (Allen, Hellwig, 1986), (Vives, 1986), (Васин,

2005) и др.) исследованы свойства различных аукционов (Курно, Викри, Бертрана-Эджворта, единой цены) и получены методы расчета равновесий Нэша в соответствующих теоретико-игровых моделях. Однако для многих рынков однородных товаров важную роль играет сетевая структура связей производителей, и потребителей, ограничения пропускной способности линий и потери или затраты при транспортировке. Для сетевых рынков в условиях совершенной конкуренции получены достаточно полные результаты относительно расчета состояния конкурентного равновесия (см. (Но§ап, 1995), (Давидсон и др., 2004)). Однако задача расчета равновесий Нэша и анализа их свойств для сетевых рынков — олигополий не решена даже в простейшем случае: для рынка с двумя узлами.

Простейший вариант аукциона однородного товара — аукцион Кур но. Для этого аукциона в (Васин, 2005) установлена связь с аукционом единой цены, который широко используется на практике. В общем виде модель двухузлового аукциона Курно рассмотрена в (Васин, 2005). Предполагается, что два рынка соединены линией передачи, по которой с одного рынка на другой можно перебросить объем д товара, не превышающий О. Линия передачи имеет заданный коэффициент Я потерь товара при переброске. Выявлены 3 возможных типа равновесий Нэша для данной модели:

Тип а) — равновесие с нулевым перетоком (</ = 0), в котором рынки остаются разделенными и переброска товара оказывается невыгодной с учетом потерь;

Тип Ь) — равновесие с положительным перетоком товара между рынками при неактивном ограничении пропускной способности линии передачи (0 < с/ < О);

Тип с) — равновесие с максимально допустимым перетоком товара между рынками (4 = 0 ).

Для модели двухузлового аукциона Курно в (Васин, 2005) в общем виде сформулированы методы расчета равновесий Нэша, однако они предполагают ряд существенных допущений, а также неудобны для анализа конкретных рынков, поскольку их использование связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос существования и единственности равновесий. В диссертации рассматривается двухузловой аукцион Курно в предположении одинаковых предельных издержек производителей в каждом из узлов. Для этого аукциона в диссертации решаются вопросы о существовании и структуре множества равновесий Нэша, разрабатываются методы расчета равновесий.

Другая актуальная проблема -— изучение возможных альтернатив аукциону единой цены. Недостатком аукциона единой цены является то, что на нем создаются благоприятные условия для реализации продавцами рыночной власти. В результате отклонение исхода Курно от конкурентного равновесия (по Вальрасу) может быть довольно велико, что неблагоприятно для конечных потребителей.

Эмпирические исследования показывают, что производители с целью поднять рыночные цены подают заявки, не соответствующие истинным затратам. (Вогепз1ет, Вш1те11, 1999) изучали границы изменения цен в Калифорнии и оценивали предельные издержки, исходя из объемов производства, загрузки производственных мощностей и объема импорта. Они показали, что в 1998 году цены превышали конкуретные на 15%. На российском оптовом рынке электроэнергии в последние годы средняя оптовая цена превышает цену конкурентного равновесия на 50-70% (по оценкам экспертов).

В качестве альтернативы аукциону Курно в диссертации рассматривается аукцион Викри с резервными ценами (Уюкгеу, 1961; АшиЬе!, Сгапйоп, 2004). На таком аукционе цена и объемы выпуска определяются так же, как на стандартном аукционе единой цены, однако оплата товара, приобретаемого у некоторого производителя, происходит по резервным ценам, рассчитываемым на основе функции спроса и заявок других компаний. Преимуществом этого аукциона является достижение максимального суммарного выигрыша участников (производителей и потребителей) при индивидуально рациональном поведении, соответствующем равновесию Нэша в доминирующих стратегиях.

Преимущество аукциона Викри не абсолютно, и существуют ситуации, в которых аукцион Курно дает лучшую цену с точки зрения конечных потребителей, нежели аукцион Викри. Проведение сравнительного анализа этих аукционов позволяет определить оптимальную форму аукциона в зависимости от параметров реального рынка.

Цель настоящей диссертационной работы — разработка методов расчета равновесий Нэша для теоретико-игровых моделей некоторых рынков однородного товара; изучение вопросов существования и эффективности этих равновесий в смысле цен для конечных потребителей.

Задачи работы:

1. Уточнить и упростить имеющиеся критерии существования равновесия Нэша и методы его расчета для некоторых типичных вариантов структуры двухузлового аукциона Курно.

2. Рассмотреть вопросы сосуществования равновесий различных типов и описать структуру множества равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров.

3. Аналитически решить задачу сравнения исходов аукционов Курно и Викри для ряда типичных вариантов структуры одноузлового рынка.

Новизна полученных результатов состоит в следующем.

Для двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.

Для двухузлового аукциона Курно, на котором в каждом из узлов действуют одинаковые фирмы (т.н. симметричная олигополия) с постоянными предельными издержками, удалось свести задачу расчета равновесия Нэша к простой системе линейных и квадратичных уравнений и неравенств, допускающей наглядную геометрическую интерпретаци ю.

В дополнительном предположении малых потерь товара при передаче изучена структура множества равновесий Курно и определены все возможные комбинации сосуществования равновесий различных типов в этой модели.

Для одноузлового рынка аналитически решена задача расчета и сравнения исходов аукционов Курно и Викри для типичных вариантов структуры рынка:

1) симметричная олигополия;

2) рынок с одной крупной компанией и группой мелких;

3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Обзор литературы

Одно из направлений в литературе, относящейся к теме моделирования рынков однородного товара, посвящено проблеме расчета конкурентного равновесия для сетевого рынка по заданным функциям спроса и предложения участников (McCabe et al., 1989; Hogan, 1995). Для газового сетевого аукциона задача максимизации суммарного благосостояния сводится к задаче линейного программирования, при этом решение двойственной задачи определяет балансовые цены во всех узлах сети. Для рынка электроэнергии задача оптимизации общего благосостояния оказывается в общем случае нелинейной из-за особенностей сетевых ограничений. (Hogan, 1995) не учитывает этих особенностей. Корректная формализация задачи приводится в (Кулиш, 2002) и (Давидсон и др., 2004).

В работах первого направления не рассматривается проблема несовершенной конкуренции и использования рыночной силы на сетевых рынках. Эмпирическое исследование этого вопроса проводили (Sykes, Robinson, 1987). Соответствующие теоретические модели рассматривают локальный рынок без учета сетевой структуры. Статические однопериодные модели (Baidick et al., 2000; Green, 1992; Klemperer, Meyer, 1989) описывают закрытый аукцион функций предложения как игру в нормальной форме и характеризуют точки равновесия Нэша такого аукциона. (Klemper, Meyer, 1989) исследовали модель конкуренции с произвольными функциями предложения, назначаемыми производителями. Для заданных функций спроса они получили множество равновесий по Нэшу, соответствующих всем ценам, большим цены Вальраса. (Green, Newbery, 1992) рассмотрели симметричную дуополию с линейными функциями предложения и спроса и получили формулы для расчета равновесия Нэша. (Baidick et al., 2000) обобщают их результат для несимметричной олигополии. (Аболмасов, Колодин, 2002) и (Дьякова, 2003) применяют этот подход для изучения рынков электроэнергии в двух российских регионах. Они используют аффинную аппроксимацию истинных функций предложения.

В применении к рынку электроэнергии предположение об аффинной структуре функций предложения не соответствует ни реальной структуре издержек энергетических компаний, ни практике проведения аукционов функций предложения. В действительности каждый производитель может подать заявку, соответствующую ступенчатой неубывающей функции предложения. Ступенчатая структура функций предложения типична для генерирующих компаний и соответствует су-ществующим правилам и проектам рынков в различных странах (см. (Hogan, 1998)). Проект российского оптового рынка электроэнергии предусматривает до 4 ступеней в заявке одной фирмы на каждый час следующих суток (см. Регламент подачи ценовых заявок Участниками оптового рынка, ред. от 26.02.2010). Ступенчатая структура заявки соответствует в первом приближении реальной структуре переменных издержек компаний-производителей электроэнергии. Обычно каждая такая компания владеет несколькими электрогенераторами с ограниченной мощностью, каждый из которых характеризуется примерно постоянными предельными издержками. Главная составляющая этих издержек — затраты на топливо.

Vasin et al., 2003) исследуют свойства равновесий Нэша для аукциона функций предложения, на котором заявка — это ступенчатая неубывающая функция. Предполагается, что реальные предельные издержки каждого производителя являются постоянными в границах производственной мощности. Функция спроса известна и монотонно убывает по цене. Найдены и исследованы два типа равновесий Нэша, один из которых соответствует равновесиям Курно. Для второго типа равновесные по Нэшу цены лежат между ценой конкурентного равновесия (ценой Вальраса) и ценой Курно для данного рынка. В последующей работе (Васин, 2005) показано, что все равновесия 2-го типа являются неустойчивыми. В то же время равновесие, соответствующее исходу Курно, является устойчивым исходом, к которому в общих предположениях сходятся все траектории адаптивной динамики некоторого класса. В (Moreno, Ubeda, 2002) получен похожий результат для двухшаговой модели, в которой на первом шаге производители выбирают производственные мощности, а на втором шаге они конкурируют, устанавливая резервные цены. Разница заключается в том, что в модели (Васин, 2005) равновесие по Курно всегда существует при фиксированных производственных мощностях.

В работе (Vasin, Vasina, 2006) получена также оценка отклонения исхода Курно от конкурентного равновесия. Эта оценка позволяет оценить возможное снижение общественного благосостояния, исходя из нижней оценки эластичности спроса и максимальной доли отдельного производителя в равновесном по Вальрасу выпуске продукта. В некоторых работах по рынку электроэнергии (см. напр. (Rothwell, Gomez, 2002)) предлагается разрешить прямые сделки между продавцами и покупателями в дополнение к закрытому аукциону заявок. В (Васин, 2005) показано, что в такой модификации рынка нарушается устойчивость равновесия Нэша в модели Курно и увеличивается отклонение от равновесия по Вальрасу.

Изучению вопросов существования равновесия Нэша и его свойств для модели олигополии Курно (1838) посвящено множество работ (см. (Novshek, 1985), (Corchon,

Ritzberger, 1992), (Kukushkin, 1994) и др.). Показано, что в довольно общих предположениях в модели существует единственное равновесие Нэша. Для симметричной олигополии Курно отклонение равновесного исхода по Нэшу от исхода по Вальрасу убывает при возрастании числа производителей.

Amir, 1996) и (Amir, Lambson, 2000) исследовали существование и единственность равновесия по Нэшу в модели Курно для лог-выпуклых и лог-вогнутых обратных функций спроса. (Отметим, что ¡У1 (\>) вогнута (выпукла) тогда и только тогда, когда р | D'(p) | возрастает (убывает) по р.) Таким образом, первое свойство сильнее, чем возрастание эластичности функции спроса, в то время как второе свойство может как выполняться, так и не выполняться в нашем случае. Типичным примером функции спроса с возрастающей эластичностью, которая не удовлетворяет обоим условиям, является спрос на товар первой необходимости с низкой эластичностью при низких ценах и высокой эластичностью при высоких ценах, таких, что потребители предпочитают какой-то заменяющий товар.

В (Васин, 2005) рассматривается в общем виде модель двухузлового аукциона Курно. Предполагается, что два рынка соединены линией передачи с заданным уровнем потерь, по которой с одного рынка на другой можно перебросить объем товара, не превышающий пропускной способности линии. С рядом допущений сформулированы и доказаны критерии существования истинных (устойчивых к большим отклонениям) равновесий Нэша всех возможных типов. Однако полученные критерии полезны, в основном, с точки зрения численного анализа конкретных рынков. Их непосредственное аналитическое применение для исследования рынков различных конфигураций затруднительно, поскольку связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос единственности равновесий Нэша в зависимости от параметров модели. В общем случае множественность равновесий не исключается.

Альтернативной стандартному аукциону функций предложения является аукцион Викри с резервными ценами. Первоначально этот тип аукциона был предложен Уильямом Викри (1961) и исследован для продажи неделимого товара в форме аукциона второй цены. Его достоинство — существование равновесия в доминирующих стратегиях, соответствующих объявлению истинных резервных цен покупателей. В результате товар достается тому, кто его больше ценит, то есть суммарный выигрыш участников достигает максимума. Недостаток — доход продавца может оказаться очень низким, кроме того условия аукциона способствуют сговору покупателей.

Попытка избавить модель от этих недостатков была предпринята в (АшиЬе!, Сгапйоп, 2004). Авторы разработали вариант аукциона Викри с резервными ценами для продажи делимого товара. Наличие резервной цены ограничивает возможность сговора и обеспечивает некоторый гарантированный выигрыш продавцу.

Дальнейшая разработка этой модели и ее применение к рынкам однородного товара проведена в работе (Васин, 2005). Описываемый в этой работе аукцион Викри для покупки однородного товара с резервными ценами отражает интересы потребителей, однако игроками являются производители товара. Аукцион обладает вышеуказанными положительными свойствами и позволяет получить лучший результат по сравнению с обычным аукционом функций предложения как в смысле суммарного благосостояния, так и в смысле цены товара для потребителей. Кроме того, исследуется взаимосвязь этого аукциона с аукционом меню, предложенным в работе (ВегпЬе1т, \Vhinston, 1986). Применительно к продаже однородного делимого товара условия аукциона состоят в следующем. Каждый игрок-покупатель назначает функцию спроса, указывающую, сколько товара он готов купить в зависимости от цен, назначенных аукционером для него и других покупателей. Аукционер определяет эти цены, максимизируя свою прибыль, представляющую разность между суммой платежей покупателей и затратами на производство товара. Каждый покупатель стремится максимизировать разность полезности купленного товара и платежа за него. Среди множества совершенных подыгровых равновесий этой игры Бернхейм и Уинстон выделяют «правдивое равновесие» (truthful equilibrium), устроенное следующим образом. Каждый игрок соглашается на предложенные аукционером цены, если при этом получает заданную величину выигрыша, в противном случае его спрос равен нулю. (Bolle, 2004) отмечает, что только такие равновесия сохраняются при наличии редких случайных ошибок (trembling-hand perfect). Автор доказывает, что значение выигрыша данного покупателя в «правдивом равновесии» равно его вкладу в суммарное благосостояние, то есть разности значений характеристической функции для коалиции всех участников аукциона и коалиции всех за исключением данного покупателя, если эта функция является субаддитивной.

Аналогичный результат для исследуемого аукциона функций предложения приведен в (Васин, 2005). Более того, исход, отвечающий «правдивому равновесию», совпадает с исходом решения аукциона Викри с резервными ценами. В отличие от конструкций Бернхейма и Уинстона последнее решение не требует информации об издержках производителей.

В работе (Rothkopf et al., 1990) рассматриваются теоретические вопросы и практика проведения аукционов Викри. Отмечается, что анализ аукциона как однократной игры не адекватен реальным ситуациям, в которых аукцион обычно повторяется. При этом раскрытие информации о реальных издержках участника дает возможность аукционеру в дальнейшем снизить его выигрыш, например, путем введения специально подобранной фиктивной заявки. Модификация аукциона Викри, в которой предельные издержки и максимальные мощности отдельных генераторов общеизвестны, а неопределенность связана со снижением мощностей в результате аварий и ремонтов, рассматривается в (Васин, 2005). В этом случае аргументы против сообщения реальных параметров представляются более слабыми.

Однако если сравнивать исходы аукционов Курно и Викри, преимущество последнего с точки зрения конечных потребителей не всегда имеет место. Сравнение исходов этих аукционов до настоящего момента проводилось лишь в форме численного эксперимента в (Васин и др., 2006) с использованием модельных данных по рынку.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Шаманаев, Антон Сергеевич

Заключение

В настоящей диссертации были рассмотрены вопросы существования равновесий Курно различных типов для сетевого рынка, состоящего из двух симметричных олигополий. Были получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Курно каждого типа: а, Ь и с. Критерии существования равновесий Нэша всех типов для ситуации двух симметричных олигополий Курно, соединенных линией передачи, получены в виде систем линейных и квадратичных уравнений и неравенств.

В главе 2 было выявлено, что существуют области параметров модели, в которых не существует ни одного равновесия, а также области, в которых существуют два равновесия различных типов. Для модели двухузлового аукциона Курно в предположении малых потерь изучена структура множества равновесий Нэша: модель параметризована через 3 переменные, и в множестве параметров выделены области существования равновесий различных типов и область отсутствия равновесий.

Области, в которых равновесия не существует, соответствуют хаотичному рынку, где цены постоянно меняются и не стремятся прийти к какому-либо устойчивому значению. Кроме того, отсутствие равновесия и хаос на рынке - побудительный мотив к заключению картельных соглашений участниками рынка, что также негативно отражается на общем благосостоянии. Множественные равновесия Нэша являются плохой новостью в смысле изучения многоузловых сетевых рынков, поскольку с ростом числа узлов рынка количество сосуществующих равновесий возрастает экспоненциально.

Было показано, что размер области сосуществования двух равновесий напрямую зависит от разности предельных издержек производителей на рынках 1 и 2. Таким образом, на реальных рынках целесообразна деятельность органов власти по регулированию состава участников торгов для поддержания «оптимального баланса» предельных издержек.

В главе 3 был представлен обзор моделей аукционов Курно и Викри и рассмотрен ряд практически важных частных случаев устройства локального рынка, таких как:

• симметричная олигополия,

• рынок с одной крупной компанией и множеством мелких,

• рынок с двумя группами однородных производителей.

Для каждого случая задача сравнения цен исходов аукционов Курно и Викри была решена аналитически. Были охвачен весь спектр частных ситуаций взаиморасположения функций спроса и предложения, характерных для данной модели рынка.

Если смотреть на результаты главы 3 с качественной точки зрения, то можно выявить следующие тенденции, общие для большинства частных ситуаций, рассмотренных в рамках анализа трех вышеописанных моделей рынков.

Цена Курно обычно более выгодна для конечных потребителей (ниже цены Викри), если выполняется одно из следующих условий:

• часть производителей вообще не участвуют в продажах, а у остальных мощности загружены полностью;

• спрос в точке равновесия сильно превышает предложение в этой точке (т.е. равновесная цена устанавливается на достаточно низком уровне).

В свою очередь, цена Викри более выгодна для конечных потребителей, если:

• в продажах задействованы все или подавляющее большинство производителей;

• у некоторых из производителей, которые активно участвуют в продажах, есть запас производственной мощности (т.е. они могут увеличить выработку на величину, соответствующую непокрытому остаточному спросу, если таковой возникнет).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шаманаев, Антон Сергеевич, 2010 год

1. Allen, В., Hellwig, M. (1986) "Bertrand-Edgeworth Oligopoly in Large Markets", Review of Economic Studies, 53, 175-204.

2. Amir, R. and Lambson, M. (2000) "On the Effects of Entry in Cournot Markets, Review of Economic Studies 67, 235-254.

3. Amir, R. (1996) "Cournot Oligopoly and the Theory of Super modular Games", Games and Economic Behavior 15, 132-148.

4. Lawrence M. Ausubel, Peter Cramton, "Vickrey Auctions with Reserve Princing", unpublished manuscript, 2004. Economic Theory. V. 23. P. 493-505.

5. Baldick, Grant, and Kahn. "Linear Supply Function Equilibrium: Generalizations, Application, and Limitations", POWER Working Paper PWP-078. University of California Energy Institute, August 2000.

6. Berheim, B.D., Whinston, M.D., "Menu Auctions, Resource Allocation, and Economic Influence", Quarterly Journal of Economics, 1986, pp. 1-31.

7. Bertrand, J. (1883), "Review of Theorie mathématique de la richesse sociale" and "Recherches sur les principes mathématiques de la theorie des richesses", Journal des Savants, 499-508.

8. Corchon, L. C., Ritzberger, K. "On the Non-Cooperative Foundations of Cooperative Bargaining". // Discussion paper, WP-AD 92-06. Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas, 1992.

9. Cournot, A. Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses // Paris, 1838. Ch. VII.

10. Friedel Bolle, "On Unique Equilibria of Menu Auction", unpublished manuscript, 2004

11. U.S. Borenstein and J. Bushnell, "An Empirical Analysis of the Potential for Market Power in California's Electricity Industry" // The Journal of Industrial Economics, 47. September, 1999.

12. Debreu, R. (1954) "Valuation Equilibrium and Pareto Optimum" , Proc of the National Academy of Sciences of the USA, 40, 588-92.

13. Edgeworth, E.Y. (1925) "The Pure Theory of Monopoly" in Edgeworth, Papers Relating to Political Economy, VI, 111-142, New York, Brut Franklin.

14. Green, R., "Increasing Competition in the British Electricity Spot Market", Journal of Industrial Economics, 44(2), 205-216, 1996

15. Green, R and D. Newbery (1992), "Competition in the British Electricity Spot Market ", Journal of Political Economy, 100(5), 929-953, 1992.

16. Hogan, W. (1998) "Competitive Electricity Market Design: A Wholesale Primer", Harvard University, WP.

17. Hogan, YV., "Electricity Transmission and Merging Competition: Why the FERC's Mega-NOPR Falls Short", Public Utilities Fortnightly, v.133, no.13 (1995) 32-36.

18. Klemperer, P. and Meyer, M. (1989) "Supply Function Equilibrium in Oligopoly under Uncertainty", Econometrica 57(6), 1243 1277.

19. Kukushkin, N. (1994) "A Fixed Point Theorem for Decreasing Mappings", Economic Letters 46, 23-26.

20. McCabe, K.A., Rassenti, S.J. and V.L. Smith, "Desighning 'Smart' Computer-Assisted Markets (an Experimental Auction for Gas Networks)", Journal of Political Economy 5, 259-283 (North-Holland), 1989

21. Moreno, D. and Ubeda, L. (2001) "Capacity Recommitment and Price Competition Yield Cournot Outcomes", Universudad Carlos 3 de Madrid, Economic Series 08 WP 01-44.

22. Novshek, W. (1985) "On the Existence of Cournot Equilibrium", Review of Economic Studies 52, 85-98.

23. Rothkopf, M., Teisberg, Т., Kahn, E. (1990) "Why are Vickrey Auctions Rate?", Journal of Political Economy, 98, 94-109.

24. Rothwell, G. and Gomez, T. (2002) "Electricity Economics: Regulation and Deregulation" // IEEE Press Series on Power Engineering. New York, 2003.

25. Sykes, Allen and Robinson, Colin. Current Choices: Good Ways and Bad to Privatize Electricity. Policy Study no 87. London: Centre Policy Studies, 1987.

26. Vasin, A., Durakovich, N., Vasina, P., Cournot equilibrium and competition via supply functions, Game Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol.9, New York, 2003, p. 181 191.

27. Vasin, A., Vasina, P. Electricity Markets Analysis and Design // Working Paper #2006/053. Moscow, New Economic School, 2006.

28. Vives, X. (1986) "Rationning rules and Bertrand-Edgeworth equilibria in Large markets", Economics Letters, 21, 113-116.

29. Walras, L. (1874) "Elements d'Economie Politique Pure". Lausanne.

30. Аболмасов А., Колодин Д., Конкурентный рынок или создание монополий: структурные проблемы российского оптового рынка электроэнергии. ERRC final report. 2002.

31. Васин А. А. Некооперативные игры в природе и обществе // М.: МАКС пресс, 2005.

32. Васин А. А., Васина П. А., Рулева Т. Ю. Об организации рынков однородных товаров // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 98 112.

33. Давидсон М. Р. и др. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2004. № 3. С. 72-83.

34. Imp www nn-si m ido icLplft'?IdcSonice~GF,T FIU-.&d.>ocName-SR 0\00724o£RevisionSelectionMethod4.jlo4t