Стратегическая рандомизация при принятии конкурентных экономических решений: теоретико-игровой подход тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Крепс, Виктория Леонидовна

• Крепс, Виктория Леонидовна
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Крепс, Виктория Леонидовна

Введение

0 Некооперативные игры и экономическое поведение

1 Обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков

2 Моделирование биржевых торгов однотипными акциями с помощью повторяющихся игр с неполной информацией

3 Моделирование биржевых торгов акциями двух типов повторяющимися играми с неполной информацией

4 Косвенное использование некооперативных игр для решения экономических задач

Глава 1. Обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков

1.0 Введение к главе

1.1 Конечные некооперативные игры N лиц с заданными единственными ситуациями равновесия

1.1.1 Определения и свойства

1.1.2 Критерий существования игры с заданной единственной ситуацией равновесия

1.2 Теоретико-игровая характеризация стохастической независимости

1.2.1 Отклонение от стохастической независимости

1.2.2 Маргинальные (ЛГ — 1)-мерные распределения

1.2.3 Основной результат

Глава 2. Моделирование биржевых торгов акциями одного типа с помощью повторяющихся игр с неполной информацией

2.0 Введение к главе

2.1 Торги однотипными акциями неограниченной продолжительности с дискретными допустимыми ставками

2.1.1 Повторяющиеся игры с неполной информацией у второго игрока и их рекурсивные свойства

2.1.2 Многошаговые торги с дискретными допустимыми ставками

2.1.3 Верхняя граница значений У™(р)

2.1.4 Асимптотика значений У™(р)

2.1.5 Решения для игр и случайные блуждания

2.2 Модель биржевых торгов. Статический случай

2.2.1 Модель одиошагового торга с произвольными ставками

2.2.2 Решение одношаговых игр С™(р) с дискретными ставками. Предварительные эвристические соображения

2.2.3 Решение одношаговых игр С™(р)

2.3 Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги с тремя допустимыми ставками, и возвратные последовательности

2.3.1 Решение одношаговых игр С\(р) с тремя допустимыми ставками

2.3.2 Решения тг-шаговых игр С^{р). Предварительные соображения

2.3.3 Решения п-шаговых игр 0^{р). Основной результат

2.3.4 Доказательство основного результата

2.4 Обобщение модели на случай произвольных целочисленных цен акции

2.4.1 Повторяющиеся игры с неполной информацией С?„(р): случай счетного числа состояний

2.4.2 Верхняя граница значений Уп(р)

2.4.3 Структура множеств 0(г) и линейных функций на них

2.4.4 Асимптотика значений Vn(p).

2.4.5 Решения для игр Goo(p) и случайные блуждания

2.5 Модели многошаговых аукционов и повторяющиеся игры N лиц с неполной информацией

2.5.1 Повторяющиеся игры N лиц Gn{N, р) с неполной информацией, моделирующие многошаговые аукционы.

2.5.2 Достаточные условия существования совершенной ситуации равновесия в игре Gn(N, р)

2.5.3 Верхняя граница выигрышей инсайдера в совершенной ситуации равновесия игры Gn (N, р)

2.5.4 Асимптотика выигрышей инсайдера в совершенной ситуации равновесия игр Gn(N, р)

2.5.5 Основные результаты для игр G^iN, р) с произвольным числом шагов

Глава 3. Моделирование биржевых торгов акциями двух типов повторяющимися играми с неполной информацией

3.0 Введение к главе

3.0.1 Описание игр торгов двумя рисковыми активами . 171 3.0.2 Результаты главы 3.

3.1 Верхняя граница значений повторяющихся игр, описывающих биржевые торги акциями двух типов

3.1.1 Распределения р с конечными первыми моментами

3.1.2 Распределения р с конечными вторыми моментами

3.2 Решение повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих биржевые торги акциями двух типов. Случай двух состояний

3.2.1 Оптимальные первые ходы Игрока 1 в игре GT£(p) с одним активом и с двумя состояниями . 182 3.2.2 Решение повторяющихся игр торгов двумя активами и с двумя состояниями игры

3.3 Решение повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих биржевые торги акциями двух типов. Случай трех состояний

3.3.1 Решение игры для случая трех состояний

3.3.2 Описание первого шага оптимальной стратегии

Игрока 1.

3.4 Разложение распределений на решетке 1?

3.4.1 Разложение на распределения с двухточечными носителями

3.4.2 Разложение на распределения с трехточечными носителями.

3.5 Построение оптимальных стратегий Игрока 1 в играх

Со^(р) общего вида

Глава 4. Косвенное использование пекооперативных игр для решения экономических задач

4.0 Введение к главе

4.1 Теоретико-игровая модель определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными показателями, на основе экспертного оценивания

4.1.0 Введение к разделу 4.

4.1.1 Экспертная информация и предварительный анализ данных.

4.1.2 Свойства линейной целевой функции.

4.1.3. Игровая модель для определения весов линейной целевой функции.

4.1.4 Пример: построение целевой функции для экономической политики

4.1.5 Построение сводного балла надежности банков

4.2 Критерии положительности значения матричной игры с

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стратегическая рандомизация при принятии конкурентных экономических решений: теоретико-игровой подход»

0. Некооперативные игры и экономическое поведение.

Предметом представляемой диссертационной работы являются задачи принятия экономических решений, для которых ответ (нахождение и исследование равновесия) может быть получен на основе современных достижений теории некооперативных игр, и в частности, теории повторяющихся игр с неполной информацией.

Фундамент общей теории игр был заложен в вышедшей в 1944 году монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" [44], которая обосновала возможность анализа большого массива экономических вопросов с помощью теоретико-игровых моделей и методов. Среди многочисленных определений того, что есть теория игр и каковы ее задачи, авторы сравнительно недавно изданного учебника [48] выделяют четыре формулировки:

Теория игр — это теория рационального поведения людей с несовпадающими интересами" [56];

Теория игр — наука о стратегическом мышлении" [72]; "Теория игр — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов" [13];

Суть теории игр в том, чтобы помочь экономистам понимать и предсказывать то, что будет происходить в экономическом контексте" [92].

Теория игр делится на две составные части: теория некооперативных (бескоалиционных) игр и теория кооперативных игр. В некооперативной игре анализируется "рациональное поведение" индивидуальных участников, которые стремятся извлечь для себя "максимальную выгоду" в соответствии с четко определенными правилами и возможностями. Некооперативная теория стратегически ориентирована. Она изучает то, что должны делать, и как мы ожидаем, будут делать игроки. Теория некооперативных игр — это способ моделирования и анализа ситуаций, в которых оптимальные решения каждого участника (игрока) зависят от его представлений (или ожиданий) об игре оппонентов.

В некооперативной игре предполагается, что в процессе игры кооперация между игроками невозможна: игроки выбирают свои действия (чистые стратегии) одновременно и без обмена информацией. Конечная некооперативная игра (см. [13], [48]) задается тройкой где I = {1,., ТУ} — множество игроков, Si = {1,., пц\ — множество чистых стратегий игрока г, и многомерная вещественная матрица задает выигрыши игрока г в ситуации (^'х,., ., Улг) (при выборе игроком I стратегии ¿1, I = 1,.,

Наряду с выбором чистых стратегий, игроки могут выбирать вероятностные распределения на множестве действий. Такое рандомизированное действие называется смешанной стратегией. Множество смешанных стратегий (вероятностных смесей чистых стратегий) Х{ игрока г представляет собой симплекс размерности т^ — 1:

При использовании игроками смешанных стратегий x¿ функция выигрыша игрока г, г = 1,., N, в ситуации х — (х1;. ., x¿,. ,xjv) имеет вид т.е. выигрыш игрока определяется как математическое ожидание его выигрышей в чистых стратегиях по мере, равной произведению независимых мер - смешанных стратегий игроков.

Основы теории некооперативных игр были намечены еще в статьях Э. Бореля в двадцатых годах прошлого столетия [62], [63], [64]. Хотя Борель дал ясную формулировку важного класса теоретико-игровых

Г =< I, Si, Ai, iel >

3í—3i—3n N

1) задач и ввел понятие чистых и смешанных стратегий, он, как указывает фон Нейман в примечании к переводам упомянутых работ Бореля на английский язык, "не получил основного вывода — теоремы о мини-максе, без которой не может быть никакой теории игр". Эта доказанная фон Нейманом [104] теорема утверждает, что если в матричной игре (игре двух лиц с конечным числом чистых стратегий игроков и с нулевой суммой) игроки могут рандомизировать свой выбор, то существует точка равновесия. Позднее, независимо от Бореля и фон Неймана, Фишер, который столь эффективно ввел рандомизацию в статистической выборке, показал [79], что, благодаря рандомизации, "шансы игры стабилизируются в седловой точке". Он, по сути дела, сформулировал и доказал теорему о существовании равновесия для матричных игр размера 2x2.

В 1950 году Дж.Нэш [46] вводит понятие равновесия в некооперативной игре с несколькими участниками и доказывает важнейший результат теории некооперативных игр — существование равновесия в смешанных стратегиях в конечной некооперативиой игре. Ситуация х* = называется ситуацией равновесия по Нэшу [12] в игре Г, если для всех игроков i = 1,., N справедливы равенства

Hi (х*) = max#j(x*||xi),

XjeXj где x*||xj = (xj,., х*1; Xj, х*+1,., х^) - ситуация, в которой все игроки, за исключением Игрока г, выбрали свои стратегии-компоненты ситуации равновесия х*.

Результат фон Неймана для матричных игр и обобщающий его результат Нэша для конечных некооперативных игр открыли возможность решения многих экономических задач с помощью методов и подходов теории некооперативных (бескоалиционных) игр. Фундаментальную роль в прояснении взаимосвязей между математической экономикой и теорией некооперативных игр сыграли такие монографические работы, как "Игры и решения" Льюса и Райфы [42], "Математические методы в теории игр, программировании и экономике" Кар-лина [30], обзор Фюденберга и Тироля "Non-cooperative Game Theory for Industrial Organization: An Introduction and Overview" [80], а также работа Дэвида Крепса "Game Theory and Economic Modelling" [92].

В последние три десятилетия в теории игр наблюдается значительный подъем, благодаря ее превращению из чисто нормативной дисциплины в науку о поведении, изучающую интерактивные решения в условиях длительного взаимодействия и включающую такие разделы, как эволюционная теория игр, теория повторяющихся игр, теория обучения (learning) и т.д. Эта трансформация привела к существенному расширению сферы приложений теории игр к общественным наукам, таким, как экономика, социальный выбор и социальное поведение.

Актом признания достижений теории игр в области экономических исследований является присуждение выдающимся специалистам в области теории игр нобелевских премий по экономике за последние годы. Дж. Нэш, Д. Харсаньи и Р. Зельтен (1994) получили премию за вклад в анализ равновесия в теории некооперативных игр. Премия была присуждена Р. Ауманну и Т. Шеллингу (2005) за углубленный анализ конфликта и сотрудничества путем анализа методами теории повторяющихся игр. JI. Гурвиц, Э. Маскин и Р. Майерсоп (2007) были награждены за создание на основе теории игр теории экономических распределительных механизмов.

Введение теоретико-игровых моделей в финансы (см. Р. Гиббоне [82], А. Такор [108] ) революционизировало современную теорию финансов. Существенную роль в современных финансовых моделях играют интенсивно развивающиеся теории аукционов и торгов. Заметный вклад в эти теории внесли недавние работы Т. Каплана, Ш. Замира [86], [87], [88], С.Б. Измалкова [28].

Использованию этой теории в экономике и социологии посвящена монография А. А. Васина "Некооперативные игры в природе и обществе" [8]. В ней исследуются модели несовершенной конкуренции на экономических рынках (локальные и сетевые аукционы, ценовая конкуренция, повторяющиеся парные сделки), а также задачи оптимального формирования налоговой системы в условиях уклонения от налогов.

Широкий спектр приложений теории игр содержит выходящий в 2010 году учебник В. В. Мазалова "Математическая теория игр и приложения" [43].

В последние годы уделяется большое внимание вопросу о природе случайных флуктуаций цен на финансовых рынках. См., например, работы Р. Калканьо, С. М. Лово [65], А. Кайла [99], и Б. Де Мейера, М. Салей [71].

Целью настоящей диссертационной работы является комплекса экономических задач, преимущественно связанных с моделированием и анализом финансовых рынков, на основе теории некооперативных игр.

Существование равновесия при предоставлении возможности участникам рандомизировать свой выбор и свойства такого равновесия позволяют получать и исследовать решения различных экономических задач.

Рассматриваемая в диссертации проблематика включает в себя исследование стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на финансовых рынках, а также проблему определения рейтингов различных финансовых институтов, инструментов и т.п., сводящуюся к агрегированию многомерных показателей.

Для разработанных в диссертации моделей многошаговых торгов рисковыми активами (акциями) использование теории повторяющихся игр с неполной информацией дало возможность исследования стратегических и информационных аспектов формирования цен на фондовых рынках. Впервые подобная модель с произвольными допустимыми ставками, однотипным акциями с двумя возможными ценами была введена в работе Б. Де Мейера и М. Салей [71]), чтобы продемонстрировать стратегическое происхождение броуновского движения в финансах.

Поскольку реальные торги проводятся в тех или иных денежных единицах, представляется более реалистичным считать, что игроки могут назначать только дискретные ставки пропорциональные этой минимальной денежной единице. Об актуальности и важности дискретных моделей финансовых рынков см. также в книге Дж. Кемпбелла, А. Ло и А. МакКинли [66].

Отсутствие в рассматриваемых в диссертации моделях ограничения на число возможных случайных цен акций и наличие рисковых активов двух типов также приближает модель к реальности.

В полученных в диссертации решениях повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих модели многошаговых торгов и аукционов, оптимальная стратегическая рандомизация инсайдера порождает случайное блуждание цен совершенных сделок. Тем самым, для моделей, приближенных к реальности, демонстрируется справедливость гипотезы о возможном эндогенном происхождении случайных флуктуаций цен на финансовых рынках.

Актуальной для всех общественных наук является проблема определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, см. С. А. Айвазян [1], [2]. Применение в диссертации теоретико-игрового подхода дает эффективную методику решения этой задачи. Новой является предложенная организация экспертного оценивания в задаче определения рейтингов. Эксперту предлагается проранжировать небольшое число хорошо известных ему объектов. Веса искомого ранжирующего функционала определяются на основе принципа максимизации минимальной разности значений функционала для смежных выбранных экспертом объектов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Крепс, Виктория Леонидовна, 2010 год

1. Айвазян С.А. К методологии измерения синтетических категорий качества жизни населения // Экономика и мат. методы. -2003. - Т.39. - Вып.2. - С. 38-53.

2. Айвазян С.А. Эмпирический анализ синтетических категорий качества жизни населения // Экономика и мат. методы. 2003. -Т.39. - Вып.З. - С. 19-53.

3. Айвазян С. А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика. 1974.

4. Айвазян С. А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика. 1989.

5. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити. 1998.

6. Алехин Б.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 1991. -160 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1969.

8. Васин А. А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макспресс. 2005.

9. Вершик A.M. Задача о положительно определенных квадратичных формах на конусе и геометрия пространств форм. В кн.: Зап. научн. семинаров ЛОМИ. Пробл. теории вероятностных распределений. VI. Л.: Наука. 1983.

10. Вершик A.M., Черняков А.Г. Поля выпуклых многогранников и оптимум по Парето-Смейлу // Оптимизация. Новосибирск. -1982. Т. 28(45). - С. 112-145.

11. Воробьев H.H. Аналитическая характсризация независимости и марковости // Теор.вер.и ее примен. 1961. - Т. VI. - Вып.4. - С. 422-426.

12. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. М.: Наука. 1969. - 112 с.

13. Воробьев Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука. 1984. - 496 с.

14. Гейл Д., Шерман С. Решения конечных игр двух лиц. В сб.: Матричные игры. / Под ред. Н. Н. Воробьева. М.: Физматгиз. -1961. С.45-61.

15. Доманский В.К. Разложение распределений на двумерной целочисленной решетке и модели биржевых торгов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т.16. - В.4. -С.644-646.

16. Доманский В.К., Крепе B.JI. Об одном методе ранжирования // Мат .методы в социальных науках. Вильнюс, ИМК АН Лит. СССР. 1985. - вып.18. - С. 29-34.

17. Доманский В.К., Крепе В.Л. Функция значений транспортной задачи и мультиномиальное распределение // Экономика и математические методы. 1998. - Т.34. - вып.4. - С. 119-133.

18. Доманский В.К., Крепе В.Л. Ранжирование многомерных альтернатив на основе экспертного оценивания. Теоретико-игровая модельОбозрение прикладной и промышленной математики. 2004. -Т.Н. - Вып.2. - С. 328-330.

19. Доманский В.К., Крепе В.Л. Повторяющиеся игры с асимметричной информацией и случайные блуждания цен на финансовых рынках // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2005. -Т. 12. - В.4. - С.950-952.

20. Доманский В.К., Крепе В.Л. О стратегическом обосновании случайных флуктуаций цен на финансовых рынках // Препринт ПОМИ им. В.А.Стеклова РАН. 2006. - 01/2006.

21. Доманский В.К., Крепе В.Л. О стратегической мотивировке случайного блуждания цен на финансовых рынках. Государственный университет Высшая школа экономики. "Модернизация экономики и государство". Под ред. Е.Г.Ясина. - 2007. - Т 3. - С. 428-439.

22. Доманский В.К., Крепе В.Л. Момент обнаружения "инсайдерской" информации на торгах с асимметричной информированностью агентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14. - Вып.З. - С. 399-416.

23. Доманский В.К., Крепе В.Л. Многошаговые торги с несколькими рисковыми активами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. - Вып.2. - С. 324-325.

24. Доманский В.К., Крепе В.Л. Решения игр торга двумя рисковыми активами. Общий случай // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т.17. - Вып.2. - С.229-230.

25. Доманский В.К., Крепе В.Л., Калягина Л.В. Построение целевой функции для оценки экономических ситуаций на основе экспертного ранжирования // Вестник КрасГАУ. 2006. - Т 11. - С. 38-48.

26. Дрозд Ю.А. Преобразование Кокстера и представление частично упорядоченных множеств // Функц. анализ и его прилож. 1974 - Т.8. - Вып.З. - С. 34-42.

27. Измалков C.B. Аукционы с активным продавцом.

28. Калягина JT.B., Котюков М.М. Модель управления эффективностью бюджетного процесса //Государственное управление. Электронный вестник. 2007. - Вып.13. -С.1-9.

29. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир. 1964.

30. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: Изд-во иностранной литературы. -1963.

31. Крепе B.J1. Конечные бескоалиционные игры с зависимыми стратегиями. В сб.: Теория игр, под ред. Н.Н.Воробьева. Ереван. -1970. С. 211-215.

32. Крепе В. JI. О квадратичных формах, неотрицательных на ортан-те // Журнал вычисл.математики и мат. физики. 1984. - Т.24. - Вып.4. - С. 497-503.

33. Крепе B.JI. О воздействии выбора денежной единицы на исход многошаговых торгов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т.13. - Вып.З. - С.503-505.

34. Крепе В.Л. Теоретико-игровой подход к проблеме однозначной разрешимости уравнений конкурентного равновесия // Вестник КрасГАУ. 2006. - Т. 13. - С.85-90.

35. Крепе В.Л. Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги, и возвратные последовательности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. - Вып. 4. - С. 109-120.

36. Крепе В.Jl. Конечные бескоалиционные игры с единственными ситуациями равновесия // Вестник Санкт-Петербургского гос. университета. Сер. 10. 2009. - Вып.З. - С.55-62.

37. Крепе В.Л. Модель одношагового биржевого торга // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. - Вып.6.- С.1086-1087.

38. Крепе В.Л. Теоретико-игровая характеризация стохастической независимости // Дискретная математика. 2010 - Т.22 - Вып.1.- С.115-125.

39. Крепе В.Л. Решения игр торга двумя рисковыми активами. Случаи двух и трех состояний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т. 17. - Вып.2. - С.234-235.

40. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Изд-во Иностранной литературы. - 1960.

41. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения, СПб.: Изд-во Лань. - 2010. - 455 с.44. фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970

42. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.- М.: Мир. 1972.

43. Нэш Дж. Бескоалиционные игры. В сб.: Матричные игры. / Под ред. Н. Н. Воробьева. М.: Физматгиз. 1961. - С.205-221.

44. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. - 1998.

45. Печерский С. Л., Беляева А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. СПб.: Изд-во Европ. ун-та. 2001. - 342 с.

46. Постановление правительства ленинградской области от 22 августа 2002 г. N 147. Об организации мониторинга социально-экономического развития ленинградской области.

47. Фрадков M.JL, Якубович В.А. S-Процедура и состояние двойственности в невыпуклых задачах квадратичного программирования // Вестн. ЛГУ. Сер. матем.-механ. 1973. - Т.1. - С.81-87.

48. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теор. вер. и ее примеп. 1994. - Т.39, Вып.1, С.5-22.

49. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 1998.

50. Aumann R.J. Subjectivity and correlation in randomized strategies // Journal of Mathematical Economics. 1974. - V.l. - P.67-95.

51. Aumann R.J. Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality // Econometrica. 1987. - V.55. - P. 1-18.

52. Aumann R.J. Lectures on game theory. San Francisco; West view Press. 1989 (y)

53. Aumann R.J., Maschler M. Game Theoretic Aspects of Gradual Disarmament. В сб: Report of the US Arms Control and Disarmament Agency ST-80. 1966. - Washington, D.C., V1-V55.

54. Aumann R.J., Maschler M. Repeated Games with Incomplete Information. The MIT Press. - Cambridge, Massachusetts - London, England. - 1995.

55. Bachelier L. Theorie de speculation // Ann. Ecole Norm. Sup. -1900. V.17. - P.21-86.

56. Blackwell D. An analog of the minimax theorem for vector payoffs // Pacific Journal of Mathematics. 1959. - V.6. - P. 1-8.

57. Bohnenblast H.F., Karlin S., Shapley L.S. Solutions of Discrete Two-person Games. In: Contributions to the Theory of Games 1. 1950.- Princeton. P. 51-72.

58. Borel E. La theorie du jeu et les equations intégrales a noyau symetrique gauche. C.R.Acad. Sci. - V.173. - 1921.

59. Borel E. Sur les jeux ou le hasard se combine avec l'habilite des joueurs. C.R.Acad. Sci. V.178 - 1924.

60. Borel E. Applications aux jeux de hasard, traite du calcul des probabilité et de ses applications. Guathier-Villars, Paris. 1928.

61. Calcagno R., Lovo S.M. Bid-ask price competition with asymmetric information between market makers. CORE Discussion Paper 9816, Louvain-la-Neuve, Belgium; 1998.

62. Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay A.C. The econometrics of financial markets. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.- 1997.

63. Chin H., Parthasarathy T., Raghavan T. Structure of equilibria in N-person non-cooperative games // Intern. Journ. of Game Theory.- 1974. V.3. - N.l. - P.l-19.

64. Chipman J.S. The Foundation of Utility // Econometrica. 1960. -V. 28. - P. 193-224.

65. Debreu G. Topological Methods in Cardinal Utility Theory, In: Math. Methods in Social Sciences, ed. by K.Arrow. Stanford: Stanford University Press. - 1960. - P. 16-26.

66. De Meyer B., Marino A. Continuous versus discrete market game. Cowles Foundation Discussion Paper. 2005. - No 1535.

67. De Meyer B.; Moussa Saley H. On the Strategic Origin of Brownian Motion in Finance // Int. Journal of Game Theory. 2003. - V.31. -P. 285-319.

68. Dixit A., Nalebuff B. Thinking strategically: The competitive edge in business, politics and everyday life. N.Y.: Norton -1991.

69. Domansky V., Kreps V. "Eventually revealing" repeated games with incomplete information // Int. J. of Game Theory. 1994. - V.23. -P. 89-99.

70. Domansky V., Kreps V. Repeated Games and Multinomial Distributions // ZOR Math. Methods of Operations Research. -1995. - V.42. - P.275-293.

71. Domansky V., Kreps V. Repeated Games with Incomplete Information and Transportation Problems // ZOR Math. Methods of Operations Research. - 1999. - V.49. - Is.3. - P.283-298.

72. Domansky V., Kreps V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets: the case of countable state space. Centre d'Economie de la Sorbonne. Univ. Paris 1 Pantheon - Sorbonne. - Preprint 2009.40 - MSE 2009.

73. Fishburn,P.C. Methods of Estimating Additive Utilities // Management Science. 1967. - V. 7. - P.435-453.

74. Fisher R.A. Randomisation and its old enigma of card play// Math. Gasette. 1934. V.18. - P.294-297.

75. Fudenberg D., Tirole J. Non-cooperative Game Theory for Industrial An Introduction and Overview. Handbook for industrial organization / R.Schmalensee and R.Willing (eds.) Elsevier Science Publishers. -1989.

76. Gale,D., Nikaido H. The Jacobian Matrix and Global Univalence of Mappings // Mathematische Annalen. 1965. - V.159. - P.81-93.

77. Gibbons, R. Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 1992.

78. Gruber,J., A.S.Tanguiane A.S. Constructing an Objective Function of Economic Policy. FernUniversitat Hagen. Preprint. 1994.

79. Harsanyi J.C. Games with incomplete information played Bayesian players, Parts I,II,III // Management Science. 1967-1968. - V. 14.- P.159-182. P.320-334. - P.486-502.

80. Heuer M. Optimal Strategies for Uninformed Player // Int. J. of Game Theory. 1991. - V.20. - P.33-51.

81. Kaplan T., Zamir S. 2000. Revenue effects of asymmetry in auctions // Int. Economic Review. - 2000. V.41. - Is.2. - P.399-409.

82. Kaplan T., Zamir S. A note on revenue effects of asymmetry for price auctions. Discussion Paper. 2002. - Series dp291. - Center for rationality and interactive decision theory. - Hebrew Univercity.- Jerusalem.

83. Kaplan T., Zamir S. Asymmetric first price auctions: analitic solutions to the general uniform case. Discussion Paper. 2007. -Series dp432. - Center for rationality and interactive decision theory.- Hebrew Univercity. Jerusalem.

84. Kaplansky, I. A Contribution to von Neumann' Theory of Games // Anaals of Mathematics. -1945. V.45. - 1.3. - P.474-479.

85. Kemp,M.O., Kimura Y. Introduction to Mathematical Economics. Springer-Verlag. New York. - 1979.

86. Kohlberg E. Optimal Strategies in Repeated Games with Incomplete Information // Int. J. of Game Theory. 1974. - Vol.4. - N 1. - P. 7-14.

87. KrepsD. Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Clarendon Press. (M) 1990.

88. Kreps V. Bimatrix games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. 1974. - V.3. - i.2. - P.115-118.

89. Kreps V. Finite N-person non-cooperative games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. 1981.- V.10. P.125-129.

90. Kreps V. On quadratic forms non-negative over an octant // U.S.S.R. Comput. Maths. Math.Phys. 1984. - V. 24. - i.2. - P.105-109.

91. Kreps V. On Games with Stochastically Dependent Strategies // International Journal of Game Theory. 1994. - V.23. - P.57-64.

92. Kreps V. Repeated Games Simulating Exchange Auctions and Return Sequences // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. - Vol.48. - i.4. P. 604-615.

93. Kreps V., Vorob'ev N. On probabilities of pure strategies n-tuples in non-cooperative games // International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 2000. - V.10. - Is.3. - P.209-215.

94. Kyle A.S. Continuous auctions and insider trading // Econometrica.- 1985. V.53. - P.1315-1335.

95. Luce,R.D., Suppes P. Preference, Utility, and Subjective Probability. In: R.D.Luce, R.R.Bush, E.Galanter eds.]: Handbook of Mathematical Psychology III, Wiley, New York. 1965. - P. 249410.

96. Mertens J.F., Zamir, S. The Normal Distribution and Repeated Games // Int. J. of Game Theory. 1976. V.5. - P. 187-197.

97. Mertens J.F., Sorin S., Zamir, S. Repeated Games. CORE Discussion Paper. - 2000. - 9420.104. von Neumann J. Zur Theorie der Gesellschaftspiele // Math. Annalen. 1928. - V. 100. - P. 295-320.

98. Olech O., Parthasarathy T., Ravindran G. Almost N-matrices and its Applications to Linear Complementarity Problem and Global Univalence // Indian Alg. Appl. 1991. - V.145. - P. 107-125.

99. Shapley L.S. Stochastic games // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA). 1953. - V.39. - P.1095-1100.

100. Shapley L.S., Snow R.N. Basic Solutions of Discrete Games. In: Contributions to the Theory of Games 1. 1950. - Princeton. - P.27

101. Thakor A. Game Theory in Finance // Financial Management, -1991. Spring, - P. 71-94.

102. Wan Y.-H. On the second order criteria of the local Pareto optima // J. Math.Ecnom. 1975. - V.2. - I.2.- P.35-42.35.