Расчеты статистических характеристик однородной турбулентности на основе уравнений для вторых двухточечных корреляционных моментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шелегедина, Елена Николаевна

• Шелегедина, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шелегедина, Елена Николаевна

Введение.

Глава 1. Современное состояние вопроса.

1.1. Краткий обзор работ по теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности.

1.2. Некоторые аспекты теории однородной изотропной турбулентности.

1.2.1. Уравнение Кармана-Ховарта и гипотезы самоподобия.

1.2.2. Динамическое уравнение энергетического спектра изотропной турбулентности и гипотезы замыкания этого уравнения.

1.2.3. Гипотезы связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов.

1.3. Результаты экспериментальных исследований однородной турбулентности

1.3.1. Экспериментальные исследования вырождения однородной изотропной турбулентности.

1.3.2. Особенности турбулентных потоков с однородным сдвигом поля средней скорости.

Глава 2. Исследование вырождения однородной изотропной турбулентности с помощью замкнутого уравнения Кармана-Ховарта.

2.1. Физико-математическое описание.

2.1.1. Модель замыкания уравнения Кармана-Ховарта.

2.1.2. Модель пути смешения.

2.1.3. Приведение исходного уравнения к безразмерному виду.

2.1.4. Граничные и начальные условия.

2.1.5. Спектральные характеристики течения.

2.2. Численная реализация.

2.2.1. Описание метода численного интегрирования.

2.2.2. Тестирование численной схемы.

2.2.3. Вычисление спектральной функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчеты статистических характеристик однородной турбулентности на основе уравнений для вторых двухточечных корреляционных моментов»

Как известно, большинство течений газа и жидкости, существующих в природе, являются турбулентными. Теоретическое и экспериментальное исследование турбулентности является важным научным направлением как с точки зрения познания природы, так и для решения широкого круга инженерных задач. Физическая сложность процессов, происходящих при турбулентном режиме течения жидкостей, определяет сложность их математического описания. В настоящее время для теоретических исследований и расчетов турбулентных течений используют в основном два подхода. Один подход базируется на методе расчета турбулентности при помощи прямого численного моделирования решений трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса на вычислительной сетке с ячейками, размер которых соизмерим с наименьшим из возможных характерных масштабов длины турбулентного движения (метод ПЧМ). В принципе, этот метод позволяет получить любые желаемые статистические моменты турбулентных полей скорости, переносимой субстанции и т.д. Практическое применение данного метода сильно ограничено необходимостью использования трехмерных вычислительных сеток с очень большим количеством узловых точек даже для умеренных чисел Рейнольдса, что требует привлечения суперкомпьютеров для решения задач. Кроме того, расчеты конкретных турбулентных потоков часто осложняются отсутствием достаточно подробных опытных данных, которые необходимы при задании начальных условий. Поэтому работы данного направления в основном посвящены исследованиям структуры турбулентности и часто не содержат прямых сравнений расчетов с опытами. Таким образом, несмотря на высокий темп развития вычислительной техники, вряд ли можно рассчитывать на широкое распространение методов ПЧМ в практике инженерных расчетов по крайней мере в ближайшее десятилетие.

Более доступным для численной реализации методом моделирования турбулентности является использование дифференциальных уравнений для статистических моментов турбулентности. Замыкание этих уравнений осуществляется посредством полуэмпирических теорий, базирующихся на различных гипотезах о процессах, происходящих при турбулентном режиме течения. Полуэмпирические модели, основанные на уравнениях для статистических моментов низших порядков широко используются в инженерной практике. Однако, несмотря на более чем тридцатилетний опыт разработок и использования таких моделей, до сих пор все они имеют ограниченную универсальность. Одна из причин этого в том, что практически все современные полуэмпирические модели турбулентности базируются на одноточечных статистических характеристиках турбулентности. Возможный путь усовершенствования полуэмпирических моделей - использование двухточечных характеристик турбулентности, с помощью которых можно получить значительно больше информации о структуре турбулентного потока, а именно, двухточечные моменты кроме интегральных характеристик турбулентности - кинетической энергии и масштаба - позволяют w и л . о наити тэилоровские масштабы, спектры пульсации, скорость диссипации энергии в тепло, колмогоровские масштабы и т.д. Например, в работе [1] авторы при разработке модели Рейнольдсовых напряжений применили неодноточечную теорию однородной турбулентности для усовершенствования обменного члена. В работе [2] предложена двухпараметрическая "k-kl "-модель, базирующаяся на уравнениях для одноточечных характеристик турбулентности, но для ее построения использована теория однородной турбулентности при ее спектральном описании. В работе [3] уравнение Кармана-Ховарта для двухточечных корреляций применено для вывода генерационного члена в уравнении для скорости вязкой диссипации в стандартной модели Рейнольдсовых напряжений в предположении локальной изотропии турбулентного движения. В монографии [4] построена потоковая модель второго порядка для описания турбулентности устойчиво-стратифицированной по плотности жидкости, для замыкания которой использован аппарат кинематики двухточечных корреляций для близкорасположенных точек в однородной турбулентности с постоянными градиентами скорости и скалярного поля. Таким образом, разработка полуэмпирических моделей на базе двухточечных моментов является актуальной задачей как в свете возможности усовершенствования с их помощью широко применяемых в инженерной практике моделей типа "к-е", "k-kl", модели Рейнольдсовых напряжений и т.п., так и для самостоятельного их использования при изучении турбулентных течений.

Построение моделей на основе уравнений для двухточечных моментов второго порядка исторически велось в двух направлениях. Одно заключалось в использовании спектральной формы этих уравнений. Однако, модели такого типа не получили широкого распространения, поскольку замыкающие формулы для спектральных уравнений оказались весьма сложными. Второе направление базируется на использовании уравнений для двухточечных корреляций, записанных в физических координатах, замыкание которых может быть осуществлено посредством гораздо более простой и наглядной градиентной гипотезы, позволяющей выразить третьи корреляционные моменты через градиенты вторых. Такие градиентные формулы использованы для замыкания уравнения Кармана-Ховарта в работах [5], [6], [7], [3]. Однако, следует отметить, что в указанных работах эта модель была применена только для изучения вырождения однородной изотропной турбулентности и проверена на небольшом числе опытных данных в сравнительно узком диапазоне значений чисел Рейнольдса.

В настоящей работе, во-первых, была осуществлена подробная проверка одной из таких моделей, а именно градиентной формулы связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов, предложенной Н. И. Акатновым в работе [7]. Для этого с помощью замкнутого посредством указанной градиентной модели уравнения Кармана-Ховарта были сделаны расчеты вырождения однородной изотропной турбулентности в широком диапазоне значений числа Рейнольдса. При этом кроме коэффициентов корреляции, кинетической энергии турбулентности, интегрального и тэй-лоровского масштабов, с помощью алгоритма "быстрое преобразование Фурье" по корреляционным функциям были найдены соответствующие одномерные энергетические спектры турбулентности, не вычислявшиеся в работе [7]. Для сравнения результатов этих расчетов с экспериментом были использованы опытные данные как ранних работ (например, данные Стюарта [8], Дж. Бэтчелора [9]) так и более поздних (например, широко известные опытные данные Конт-Бело и Корсина [10], [11]). Из условия хорошего согласия расчетов с экспериментом были подобраны значения эмпирических коэффициентов модели. В настоящей работе была предложена также модификация рассматриваемой модели, позволяющая получить на корреляционной функции участок закона "2/3" и участок закона "5/3" на соответствующем энергетическом спектре турбулентности, появляющиеся при больших значениях числа Рейнольдса. Выполненные на этом этапе работы исследования подтвердили приемлемость модели для описания вырождающейся однородной изотропной турбулентности.

На втором этапе работы рамки применения указанной модели были значительно расширены. На базе уравнений для вторых двухточечных моментов были построены две полуэмпирические модели для описания однородной турбулентности в потоке с однородной скоростью сдвига. Несмотря на кажущуюся отдаленность рассматриваемого типа турбулентности от практических течений жидкостей и газов, она тем не менее имеет непосредственное отношение как к течениям в окружающей среде (верхняя атмосфера и отдаленные от дна и поверхности области океана), так и к техническим устройствам: в любой проточной машине имеются области с приблизительно однородным сдвиговым распределением скорости, к которым приложима модель однородного сдвигового потока.

Первая из предлагаемых моделей представляет собой обобщение уравнения Кармана-Ховарта на случай однородного сдвигового течения в предположении, что турбулентность остается изотропной. Основное уравнение модели выведено из уравнения для следа тензора вторых двухточечных моментов и отличается от обычного уравнения Кармана-Ховарта наличием генерационного слагаемого. Расчеты с помощью этого уравнения турбулентного потока с однородным сдвигом осредненной скорости должны были показать степень приемлемости описания неизотропной турбулентности изотропной моделью. Расчеты, проведенные в настоящей работе, и сравнения их результатов с опытными данными показали, что для некоторых величин (кинетическая энергия турбулентности, тэйлоровский масштаб турбулентности) имеет место удовлетворительное согласие расчетов с опытом, для других (например, интегральные масштабы) только качественное.

Вторая модель основана на предположении осевой симметрии статистических характеристик пульсационного движения и для ее построения применена теория без-сдвиговой осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара [12], [13]. Заключение о возможности применения данной теории для приближенного описания турбулентности в сдвиговых потоках было сделано на основе анализа опытных данных. В этом случае задача сводится к решению системы из двух уравнении относительно двух скалярных функций, через которые с помощью формул теории осесимметричной турбулентности могут быть выражены все диагональные компоненты тензора вторых двухточечных моментов, позволяющие в свою очередь найти соответствующие энергетические спектры турбулентности, продольные и поперечные интегральные и тэй-лоровские масштабы, дисперсии продольной и поперечной пульсационных скоростей и т.д. Таким образом, предлагаемая модель позволяет с известной степенью приближенности описать анизотропию характеристик турбулентности, существующую в сдвиговых потоках. Замыкание уравнений модели было осуществлено посредством градиентных формул, записанных по аналогии с формулой из [7]. Далее в настоящей работе при помощи этой модели были сделаны расчеты однородного сдвигового потока при различных значениях числа Рейнольдса и скорости сдвига, а также была рассмотрена задача о внезапном наложении сдвигового потока на первоначально изотропную турбулентность. Результаты этих расчетов удовлетворительно согласуются с опытными данными [14], [15], [16], [17]. Важно отметить, что в расчетах однородного сдвигового потока, сделанных с помощью осесимметричной модели и с помощью обобщенного уравнения Кармана-Ховарта, использовались те значения эмпирических коэффициентов замыкающей градиентной формулы, которые были подобраны из условия наилучшего согласия расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности с соответствующими экспериментальными данными на первом этапе данной работы.

Проведенная работа показывает, что градиентная формула связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов может использоваться гораздо шире, чем это делалось ранее, и, возможно, не только в рассмотренном случае потока с однородным сдвигом, айв других задачах. Обе представленные модели могут быть использованы для расчетов однородных сдвиговых потоков, а также для построения подсеточных моделей при исследовании турбулентных течений методом моделирования крупных вихрей.

Основное содержание настоящей работы изложено в четырех главах.

В главе 1 приведен обзор имеющейся в настоящее время литературы, посвященной теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности. Кратко изложена история вопроса. Достаточно подробно рассмотрена теория однородной изотропной турбулентности: кратко описаны выводы энергетических уравнений динамики изотропной турбулентности в физическом пространстве и в спектральной форме, приведены существующие гипотезы их замыкания. Особое внимание уделено градиентным гипотезам связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов. Раздел 1.3. посвящен экспериментальным исследованиям вырождения однородной изотропной турбулентности и однородного сдвигового потока. Приведенные здесь опытные материалы использовались в настоящей работе для сравнения с ними результатов выполненных в работе расчетов.

Глава 2 посвящена исследованию вырождения однородной изотропной турбулентности с помощью замкнутого уравнения Кармана-Ховарта. Подробно описана использованная градиентная модель замыкания и ее модификация на случай больших чисел Рейнольдса, а также особенности постановки начальных и граничных условий. В разделе 2.2. приведены метод решения исходного уравнения, тестирование численной схемы и методика вычисления одномерного энергетического спектра турбулентности. Раздел 2.3 содержит результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности и сравнение их с опытными данными.

В главе 3 изложена постановка задачи о потоке с однородным сдвигом осред-ненной скорости в приближении изотропной турбулентности. Особое внимание уделено выводу обобщенного на случай сдвигового потока уравнения Кармана-Ховарта из уравнений вторых двухточечных моментов. Приведены качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта и результаты численных расчетов в сравнении с экспериментальными данными.

Глава 4 посвящена исследованию турбулентного потока с однородным сдвигом в приближении осесимметричной турбулентности. В разделе 4.1. проведен анализ некоторых опытных данных по сдвиговым потокам, имеющий целью оценить степень адекватности применения осесимметричного приближения для описания рассматриваемого течения; изложены некоторые аспекты теории осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара, а также методика построения с помощью этой теории полуэмпирической модели для описания однородного сдвигового потока. Некоторые детали вывода основных уравнений модели приведены в приложении. В разделе 4.2. коротко описаны постановка граничных и начальных условий и метод численного решения уравнений модели. Раздел 4.3. содержит результаты расчетов однородного сдвигового потока и решения задачи о внезапном наложении сдвига на первоначально изотропную турбулентность, а также сравнение этих результатов с опытными данными.

Основные выводы настоящей работы изложены в заключении.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шелегедина, Елена Николаевна

Основные результаты проведенной работы следующие:

1. Проведено тестирование градиентной модели замыкания уравнения Кармана-Ховарта, предложенной Н. И. Акатновым. С этой целью сделаны расчеты вырождения однородной изотропной турбулентности в широком диапазоне значений числа Рейнольдса и подробные сравнения их результатов с большим числом опытных данных. Подобраны эмпирические коэффициенты указанной модели, позволяющие достичь качественного и количественного согласия рассчитанных с ее помощью характеристик турбулентности с измеренными в экспериментах.

Проанализирована проблема постановки граничного условия на "бесконечности" для коэффициента корреляции. Предложены два варианта постановки этого граничного условия: условие, учитывающее асимптотическое поведение коэффициента корреляции f(z j, г) при г -» со, и условие равенства нулю производной при г — Ггр . or

Предложена модификация модели пути смешения, позволяющая учесть появление при больших значениях числа Рейнольдса интервала закона "2/3" на корреляционной функции и, соответственно, возникновение инерционного интервала волновых чисел при спектральном описании (закон "5/3" на энергетическом спектре).

2. Сделано обобщение уравнения Кармана-Ховарта на случай турбулентного потока с однородным сдвигом осредненной скорости. Обобщенное уравнение выведено из уравнения для следа тензора вторых двухточечных моментов в предположении изотропности пульсационного движения и отличается от обычного уравнения Кармана-Ховарта наличием генерационного слагаемого.

Проведенные на основе принятой модели расчеты показали возможность использования для определения касательной компоненты тензора вторых двухточечных моментов {ti'2Aii[B) обобщенного соотношения Невзглядова-Драйдена при том же значении эмпирического коэффициента Д которое было установлено в результате экспериментальных исследований различных сдвиговых течений, а именно: « 0,3.

Рассмотрен вопрос о характере изменения кинетической энергии и характерных масштабов турбулентности с течением времени, явившийся предметом спора экспериментаторов, исследовавших однородный сдвиговый поток (см. [14], [15], [16]). Установлено, что в асимптотической области, то есть там, где коэффициент корреляции близок к самоподобию, кинетическая энергия пульсаций и интегральный масштаб растут по экспоненциальному закону, а тэйлоровский масштаб остается постоянным.

Характер изменения с ростом z i рассчитанных с помощью данной модели коэффициента корреляции f(z\,r) и одномерного энергетического спектра Еп (zx, к i) отражает явление роста под действием сдвига энергии крупных вихрей вниз по потоку, отмечаемое в экспериментах.

Степень согласия результатов выполненных с помощью обобщенного уравнения Кармана-Ховарта расчетов с опытными данными указывают на возможность использования этой модели для количественного описания кинетической энергии, диссипации и тэйлоровского масштаба, а также для получения качественного характера поведения корреляционных моментов, интегральных масштабов и энергетических спектров турбулентных течений с однородным сдвигом.

3. Разработана новая полуэмпирическая модель для описания потока с однородным сдвигом осредненной скорости, основанная на использовании уравнений для вторых двухточечных корреляционных моментов поля скорости и предположении об осевой симметрии пульсационного движения. При выводе основных уравнений модели применена теория осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара [12], [13], ранее использовавшаяся только для изучения финальной стадии вырождения осесимметричной турбулентности. Предложенная модель позволяет не только рассчитать кинетическую энергию, интегральные и тэйлоровские масштабы, корреляционные моменты и спектры турбулентности в рассматриваемом течении, но, кроме того, приближенно описать анизотропию статистических характеристик турбулентности, возникающую под действием сдвига поля осредненной скорости.

Обнаружено, что эмпирический коэффициент J3 в соотношении Невзглядова

М d (их)

Драйдена в этом случае слабо зависит от параметра гм = -—г-—-—-. Использование dz2 этой зависимости /3 от гд{ позволяет существенно улучшить количественное согласие расчетов с экспериментальными данными.

Проведены расчеты однородного сдвигового потока для различных значений числа Рейнольдса и скорости сдвига. Рассмотрена задача о мгновенном возникновении сдвига в первоначально изотропной турбулентности. Введено релаксационное уравнение для определения коэффициента /3 в этом случае, позволяющее учесть конечность времени установления значения Д соответствующего величине скорости сдвига. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с опытными данными.

Подводя итог проведенному исследованию, отметим тот важный результат, что градиентная гипотеза о связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов, ранее применявшаяся только в задаче о вырождении изотропной турбулентности, может быть применена и при замыкании уравнений для более сложных турбулентных потоков, какими являются однородные сдвиговые течения с анизотропной турбулентностью. Важно также отметить, что удовлетворительное согласие расчетов неизотропной турбулентности в сдвиговых потоках с опытными данными получено при тех значениях эмпирических коэффициентов градиентной гипотезы, которые были подобраны для случая вырождении изотропной турбулентности. Это открывает возможности для дальнейшего обобщения построенных моделей, например, на случаи неизотермических однородных сдвиговых потоков, турбулентных потоков в магнитном поле и некоторые другие.

Построенные в настоящей работе модели могут быть непосредственно применены для расчетов статистических характеристик турбулентности в однородных потоках. Такие потоки могут иметь место, например, в верхних слоях атмосферы и в областях океанских течений, удаленных от дна и от поверхности океана, а также в потоках с приблизительно однородным сдвиговым распределением скоростей в проточных частях технических устройств.

Построенные модели могут таюке использоваться для уточнения или модификации отдельных членов уравнений полуэмпирических моделей типа "к-кГ\ моделей Рейнольдсовых напряжений и т.п., как это делалось, например, в [2], [3], [4].

Наконец, универсальность разработанных моделей по отношению к турбулентному числу Рейнольдса позволяет использовать их при разработке подсеточных моделей для метода моделирования крупных вихрей (МКВ) в предположениях локаль

О U U f— SJ нои изотропии или локальной осевой симметрии мелкомасштабной турбулентности. Действительно, одним из ключевых вопросов крупномасштабного моделирования турбулентности является выбор подсеточной статистической модели. В настоящее время в качестве подсеточных обычно используют сравнительно простые модели, включающие лишь уравнение баланса кинетической энергии мелкомасштабного движения, а масштаб турбулентности считают пропорциональным размеру ячейки расчетной сетки. Фактически же мелкомасштабное движение в объеме ячейки сетки определяется естественными масштабами турбулентности, например, тэйлоровским масштабом, которые лишь косвенно могут быть связаны с размерами ячейки (см., например, [105]). Разработанные в настоящей работе модели позволяют вычислить и кинетическую энергию турбулентности, и интегральный и тэйлоровский масштабы непосредственно через коэффициент корреляции. Таким образом, обе эти модели после необходимых модификаций могут быть использованы для расчетов мелкомасштабной турбулентности в методе МКВ. Причем применение первой модели (обобщенного уравнения Кармана-Ховарта) в этом случае будет соответствовать приближению локальной изотропии, а применение второй - локальной осевой симметрии пульсационного движения.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шелегедина, Елена Николаевна, 2000 год

1. Launder В., Reece G., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds stress turbulence closure // J. Fluids Mech., 1975, vol. 68, part 3, pp. 537-566.

2. Jeandel D., Brison J. F., Mathieu J. Modelling methods in physical and spectral space // Physics of Fluids, 1978, vol. 21, № 2, pp. 169-182.

3. Oberlack M., Peters N. Closure of the Two-point correlation equation as a basis for Reynolds stress models // Applied Scientific Research, 1993, vol. 51, pp. 533-538.

4. Коловандин Б. А., Ватутин И. А., Бондарчук В. У. Моделирование однородной турбулентности. Минск: "Белоруская навука", 1998, 240 с.

5. Лыткин Ю. М., Черных Г. Г. Об одном способе замыкания уравнения Кармана-Ховарта // Динамика сплошной среды. Сборник научных трудов, 1976, вып. 27, Новосибирск, с. 124-130.

6. Domaradzki J. A., Mellor G. L. A simple turbulence closure hypothesis for the triple-velocity correlation functions in homogeneous isotropic turbulence // J. Fluid Mech., 1984, vol.140, pp. 45-61.

7. Акатнов H. И. О замыкании уравнения двухточечных моментов, описывающего вырождение однородной изотропной турбулентности // Гидрогазодинамика. Сборник научных трудов, 1990, Ленинград, с. 31-40.

8. Stewart R. W. Triple velocity correlations in isotropic turbulence // Proc. of Cambr. phil. Soc., 1951, vol. 47, part 1, pp. 146-157.

9. Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М.: "Иностранная литература", 1955, 197 с.

10. Comte-Bellot G. S., Corrsin S. The use of a contraction to improve the isotropy of grid-generated turbulence // J. Fluid Mech., 1966, vol. 25, part 4, pp. 657-682.

11. Comte-Bellot G. S., Corrsin S. Simple Eulerian time correlation of full- and narrowband velocity signals in grid-generated, 'isotropic' turbulence // J. Fluid Mech., 1971, vol. 48, part 2, pp. 273-337.

12. Chandrasekhar S. The theory of axisymmetric turbulence // Philos. Trans. A, 1950, vol. 242, pp. 557-582.

13. Chandrasekhar S. The decay of axisymmetric turbulence // Proc. Roy. Soc. A, 1950,vol. 203, pp. 358-364.

14. Tavoularis S., Corrsin S. Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flow with a uniform mean temperature gradient. Part 1 // J. Fluid Mech., 1981, vol. 104, pp. 311-347.

15. Tavoularis S., Corrsin S. Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flow with a uniform mean temperature gradient. Part 2. The fine structure // J. Fluid Mech., 1981, vol. 104, pp. 349-367.

16. Rohr J., Itsweire E., Helland K., Van Atta C. An investigation of the growth turbulence in a uniform-mean-shear flow // J. Fluid Mech., 1988, vol. 187, pp. 1-33.

17. Champagne F., Harris V., Corrsin S. Experiments of nearly homogeneous turbulent shear flow // J. Fluid Mech., 1970, vol. 41, part 1, pp. 81-139.

18. Robertson H. P. The invariant theory of isotropic turbulence // Proc. Camb. Phil. Soc., 1940, vol. 36, № 2, pp. 209-223.

19. Колмогоров A. H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших значениях числа Рейнольдса // Доклады АН СССР, 1941, вып. 30, № 4, с. 299-303.

20. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Доклады АН СССР, 1941, вып. 32, № 1, с. 22-24.

21. Batchelor G. К. The theory of axisymmetric turbulence // Proc. Roy. Soc. A, 1946, vol. 186, pp. 480-502.

22. МоффатХ. К. Взаимодействие турбулентности с поперечным градиентом ветра. В кн.: "Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн". М.: "Наука", 1967, с. 139-156.

23. Crow S. С. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence // J. Fluid Mech., 1968, vol. 33, part 1, pp. 1-20.27.