Расчётно-экспериментальное исследование напряжённо-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Бадиков, Руслан Николаевич

• Бадиков, Руслан Николаевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бадиков, Руслан Николаевич

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы расчёта пружинных механизмов и основные задачи, рассмотренные в работе.

1.1. Конструкции пружинных механизмов.

1.2. Обзор известных исследований и методов расчета винтовых цилиндрических пружин.

1.3. Выводы по главе 1.

Глава 2. Основные соотношения механики гибких стержней, применяемые при расчёте пружинных механизмов.

2.1. Статика гибкого криволинейного стержня.

2.1.1. Базисные орты исходного и деформированного состояния.

2.1.2. Векторное уравнение перемещений точек осевой линии стержня.

2.1.3. Дифференцирование базисных ортов поперечного сечения стержня.

2.1.4. Дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня.

2.1.5. Соотношения упругости.

2.1.6. Полная система уравнений статики гибких стержней.

2.2. Система дифференциальных уравнений малых колебаний пространственного криволинейного стержня.

2.3. Система дифференциальных уравнений статической устойчивости деформированного пространственного криволинейного стержня.

2.4. Перенос граничных условий на ось вала для традиционного случая закрепления пружины в пружинном механизме.

2.5. Тождественное соотношение, применяемое для контроля численных результатов.

2.6. Выводы по главе.

Глава 3. Численное решение краевых задач механики стержней в

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчётно-экспериментальное исследование напряжённо-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах»

Актуальность проблемы. Винтовые цилиндрические пружины в машиностроении обычно используются в качестве упругих элементов. Кроме того, прямые или изогнутые цилиндрические пружины» используются- как гибкие валы, шнеки и измельчающие элементы. Нетрадиционное использование пружин порождает множество новых задач, которые ранее исследователей винтовых пружин не интересовали. При разгоне и выбеге двигателя, вращающего пружину, возможно возникновение резонанса. Обычно это явление нежелательно, однако существуют измельчающие механизмы, в которых процесс измельчения, материала с помощью вибрирующей цилиндрической- пружины выполняется именно на резонансных режимах в связи с его. высокой интенсивностью.

Другим специфическим явлением в пружинных механизмах (ПМ) является^ резкая- смена- конфигурации пружины с выходом из рабочей, плоскости, которая вызывается-возрастанием крутящего момента вследствие повышенного трения, или заклинивания в-ведомом подшипнике. Указанное явление в случае открытого кожуха приводит к выскакиванию пружины из рабочей- области и захватыванию ей окружающих предметов; что представляет опасность для. окружающего персонала. При закрытом кожухе и высокой мощности двигателя, пружину может заклинить в кожухе, что приводит к пластическим деформациям или разрушению пружины.

Указанные явления исследованы- недостаточно. В ряде предшествующих работ по расчёту ПМ'использовалась приближённая теория эквивалентного стержня; либо метод конечного элемента (МКЭ) с небольшим количеством витков в,моделях пружины (размерность системы уравнений МКЭ возрастает с увеличением количества витков).

Диссертация- является актуальной, так как применяемая в ней методики и программное обеспечение позволяют исследовать практически все механические явления в ПМ. При этом удаётся сравнительно легко обойти- трудности, связанные с ограничением на максимальный угол поворота, встречающиеся в других методиках. Размерность разрешающей системы уравнений, не зависит от количества* витков, что выгодно отличает предлагаемую методику от МКЭ. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте конструкций с вращающимися или вибрирующими пружинами.

Цели работы состоят:

- в разработке комплекса компьютерных программ, предназначенных для решения задач статики, динамики и устойчивости» предварительно деформированных винтовых пружин;

- в решении наиболее важных задач, возникающих при проектировании ПМ (расчет конфигурации деформированной пружины; определение частот и форм собственных колебаний изогнутой пружины; исследование явления потери устойчивости- при кручении изогнутой- пружины; учёт контактирования витков пружины);

- в разработке стенда для экспериментальных исследований механических явлений'в ПМ;

- в проведении» экспериментальных исследований равновесных конфигураций, частот и форм колебаний предварительно, деформированных винтовых пружин, явления- потери устойчивости изогнутой пружины, при кручении;

-' в выводе удобных для- практики приближенных соотношений, аппроксимирующих расчетные данные; полученные на' основе 3-х мерной модели винтового стержня.

Научная новизна заключается в новых расчетных и экспериментальных данных, полученных для винтовых пружин, эксплуатируемых в нестандартных условиях, т.е. не в качестве упругого элемента, а в качестве инструмента измельчения и перемешивания сыпучей среды, либо для перемещения сыпучего материала или жидкости с включениями. Винтовые пружины в ПМ сильно деформированы. Ранее такие задачи решались, как правило, с использованием приема замены пружины эквивалентным стержнем либо МКЭ [26, 28]. В данной работе все результаты получены по точным 3-х мерным уравнениям механики стержней. При этом в ряде случаев учтено явление контактирования витков.

Новым является прием переноса граничных условий на ось захвата, что-практически снимает проблему численной неустойчивости и значительно упрощает запись граничных условий.

Новизна заключается и в экспериментальном оборудовании, разработанном для наблюдения частот и форм колебаний деформированной пружины и других механических эффектов.

Новыми являются также приближенные формулы, аппроксимирующие точные решения 3-х мерных задач для предварительно деформированных винтовых пружин.

Основные научные результаты работы заключаются в том, что в ней:

- разработано удобное и надежное программное обеспечение, позволяющее решать, задачи статики, динамики и устойчивости предварительно деформированных винтовых пружин и других типов гибких стержней;

- решены наиболее важные задачи, возникающие при проектировании пружинных механизмов (определены конфигурации деформированных пружин; найдены частоты и- формы собственных колебаний изогнутой-пружины; найдены критические значения крутящего момента для изогнутых пружин);

- проведено экспериментальное исследование винтовых пружин пружинных механизмов для практически важных случаев нагружения; результаты численных исследований доведены до удобных инженерных формул (расчет величины критического значения- крутящего момента и значения первой собственной частоты изогнутой цилиндрической пружины), которые были рекомендованы для конструкторов и используются в настоящее время.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- применением фундаментальных положений' (законов)v механики деформ ируемого «твердого тела; использованием хорошо известных геометрически нелинейных уравнений статики и линеаризованных уравнений динамики малых колебаний^ механики стержней [24, 34, 41, 60; 61];

- применением.- надежных и неоднократно проверенных алгоритмов решения-нелинейных краевыхзадач;

- встроенным контролем численных результатов- на1 основе замкнутого аналитического соотношения (модифицированный'интеграл Кирхгофа);

- решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение;

- сравнениями с результатами^ сходных по тематике работ других исследователей; сопоставлением результатов расчета4 с обширными экспериментальными данными, полученными на» самостоятельно сконструированном авторском оборудовании.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанное программное обеспечение позволяет предсказывать статические и динамические характеристики рабочих органов ПМ на-этапе j проектирования' (геометрическая конфигурация^ изогнутой пружины, I монтажный момент, частоты и формы собственных колебаний, критический I крутящий момент). Использование разработанных расчетных методик значительно сокращает объем экспериментальных исследований и ускоряет сроки разработки новых конструкций ПМ. Получены и внедрены в производство удобные для практического использования^ аналитические выражения, аппроксимирующие точные решения трехмерных уравнений1 для винтового гибкого стержня.

Результаты диссертации использованы при расчёте, создании и модификации ПМ, а также других родственных конструкций, содержащих винтовые пружины, что подтверждается актами внедрения

Разработанный- автором экспериментальный стенд рекомендуется использовать в высших технических учебных заведениях для демонстрации форм колебаний изогнутых пружин и явления потери устойчивости пружины при кручении с петлеобразованием или перехлёстом.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 7-й Всероссийская научно-техническая конференции «Состояние проблемы измерений» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000г.);

- на научных семинарах аспирантов кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2002, 2003, 2004г.);

- на 15-й международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам-BMGL ШС-2007 (г. Алушта, 2007 г.);

- на научном семинаре кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2007, 2008г.);

- на научном семинаре ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН (2009г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе

10 работ в изданиях, рекомендованных ВАК. Численные и экспериментальные результаты диссертации использованы в< монографии [67], написанной конструкторами пружинных мельниц Сиваченко JI.A. и Хононовым Д.М.

Структура диссертации и аннотация глав.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и пяти приложений.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Бадиков, Руслан Николаевич

Общие выводы по работе.

1. Трёхмерная модель пружины в виде гибкого винтового стержня позволила успешно;ОПисатьосновные:механическиеэффекты>вТ1М:

2. Использование- системы дифференциальных уравнений 18-го порядка; с направляющими косинусами вместо углов поворота позволило избежать особенностей^ характерных для всех вариантов систем; 12-го порядка.

3. Для решения краевых задач, возникающих при проектировании и эксплуатации ПМ, разработан; алгоритм и прикладной программный комплекс SPRING, с графическим интерфейсом. Многоуровневое тестирование и сопоставление с экспериментом показало высокую надёжность и точность разработанного программного обеспечения.

4. С помощью разработанных алгоритмов и программ решены наиболее важные задачи; возникающие при проектировании и эксплуатации ГГМ:

- определение конфигурации'деформированных пружин; ;

- потеря устойчивости изогнутых пружин при кручении;

- расчёт частот и форм собственных: колебаний изогнутых пружин. 5. Для расчёта пружин с контактирующими витками предложен вариант алгоритма- Удзавы с дискретным расположением контактирующих узлов:

6. Многочисленные эксперименты, выполненные- на- самостоятельно разработанном стенде, подтвердили? приемлемую точность реализованных алгоритмов.

7. На основании обобщения больших массивов: численных экспериментов, построены упрощённые «инженерные» формулы для определения низшей собственной частота и критического крутящего момента изогнутых пружин, хорошо подтверждаемые точными решениями.

8. Разработанные методики и программное обеспечение использованы при модификации и доводке ряда ПМ с винтовыми пружинами.

9. Полученные в процессе исследований результаты и расчётные методики внедрены на предприятиях: «Промышленные технологии и комплексы» г. Могилев, ООО «Альфа-Транзит» г. Москва.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бадиков, Руслан Николаевич, 2009 год

1. Амосов А А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

2. Андреева JI.E. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение, 1981.-392 с.

3. Артёмьев В.Г. Пружинно-транспортирующие органы сельскохозяйственных машин. Ульяновск: Изд-во СХИ, 1995. - 200с.

4. Бадиков Р.Н. Исследование влияния продольной сжимающей силы на собственную частоту колебаний цилиндрической пружины ( спирального грохота. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№1. — С. 15-20.

5. Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование частотных характеристик цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№11. С.20 -24.

6. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2006. -№4. — С.4 -6.

7. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние величины осадки на низшую собственную частоту цилиндрической пружины (модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№1.-С.Ю- 15.

8. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние угла поворота консольной пружины, подверженной действию сил гравитации, вокруг оси в заделке на прогибы свободного края и собственные частоты. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№4. — С. 13 —16.

9. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние радиуса кривизны оси цилиндрической пружины, изогнутой в дугу окружности, на низшуюсобственную частоту. ( модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№5. С. 14 -19

10. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Приближенное выражение для низшей собственной частоты криволинейного стержня с винтовой осью. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№7. С. 10 -12 .

11. Бадиков Р.Н., Букеткин Б.В., Сорокин Ф.Д. Влияние контакта витков на упругую характеристику заделанной цилиндрической пружины, подверженной сближению краев, за пределами устойчивости. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№9. С.З -6 .

12. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Сравнение экспериментального и расчетного значений величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№1. С.11 -14.

13. Бадиков Р.Н. Устойчивость изогнутой в дугу окружности цилиндрической пружины, подверженной действию крутящего момента. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№2. С. 15 -22.

14. Н.Белкин А.Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного и теплового состояния автомобильных радиальных шин: Дисс.докт. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. - 283 с.

15. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

16. Бидерман B.JI. Поперечные колебания пружин // Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1962. - Вып.8. - С. 256-270.

17. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992.- 280с.

18. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. / Под ред. К.В. Фролова. — М.: Машиностроение, 1980. Т. 3. - 544 с.

19. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Изв. РАН. МТТ. -1994.- №1. С. 109-119.

20. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы проектирования гибких упругих элементов. Калуга: ГУЛ «Облиздат», 2001. - 200с.

21. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991.- 160с.

22. Гайдайчук В.В. Упругое деформирование и колебания пространственно-искривлённых гибких стержней: Дисс.докт. техн. наук. Киев, 1992. - 244 с.

23. Гайдайчук В.В., Гуляев В.И., Кравцов В.И. Упругое деформирование фасонного витого стержня // Прикладная механика (УССР). 1988. -№8.

24. Ганбат Д. Исследование динамических характеристик спирального грохота // Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологии: Сборник научных трудов 6-й международной конференции. М., 2006. - С.20 -23.

25. Ганбат Д. Расчет и проектирование рабочих органов винтовых пружинных грохотов: Дисс.канд. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.- 198 с.

26. Ганбат Д., Гаврюшин С.С. Исследование статических и динамических характеристик винтовых пружинных мельниц // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2007. - №8. - С. 10-16.

27. Груд ев И. Д. Расчет собственных частот и форм колебании цилиндрических пружин // Известия ВУЗов. Машиностроение, 1970. -№ 8. С. 24-29.

28. Джанелидзе Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней // Труды Ленинградского политехнического института. 1946. - № 1.

29. Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения // Труды XXIV Всесоюзной школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем 1996», С.-Пб., 1997.-С.313-337.

30. Карпова М.Ю. К вопросу о больших перемещениях винтовых цилиндрических пружин // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск, 1967. - С. 29-36.

31. Карпова М.Ю., Демьяшкина Э.Я. К вопросу о больших перемещениях винтового цилиндрического бруса // Механика твердого тела, 1966. № 4. - С. 188-190

32. Кравцов В.И. Упругое деформирование и устойчивость гибких пространственно искривлённых стержней: Дисс.канд. техн. наук. -Киев, 1989.- 168 с.

33. Ляв.А. Математическая теория упругости. JL: — 1935. - 675с.

34. Малинин Н.Н. Основные формулы деформации цилиндрических пружин // Труды кафедры "Сопротивление материалов" МВТУ им. НЭ Баумана, 1947.-Р. 1.

35. Малинин Н.Н. Уравнения теории тонких стержней для малых перемещений. // Труды кафедры "Сопротивление материалов" МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1947. Р. 1.

36. Матвеев А.С., Полищук Д.Ф. Влияние поджатая на частотный спектр цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность детелей машин. Вып. 2 - Ижевск, 1973. - С. 21-30.

37. Миненков Б.В. Семенов-Ежов И.Е. Бидерман Т.В. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: Ч. 1. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

38. Наумов A.M. Нелинейная задача статики винтовых стержней при произвольных нагрузках // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1991. -№1. С. 21 -29.

39. Наумов A.M. Расчет пространственно-криволинейных стержней, нагруженных силами произвольного напрвления: Дисс.канд. техн. наук. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1996.

40. Николаи E.JI. К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Сборник работ Е.Л.Николаи. "Труды по механике", Гостехиздат, 1955.

41. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1979. -384с.

42. Полищук Д.Ф. Влияние граничных условий- на спектр собственных частот продольных колебаний цилиндрических пружин // Машиноведение. 1969. - №6. - С. 31-35.

43. Полищук Д.Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин.- Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 216 с.

44. Полищук Д.Ф. Статика пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1973. Вып.2. - С. 6-14.

45. Полищук Д.Ф. О концевом эффекте в статике цилиндрических пружин // Машиноведение. 1973. - №4. - С. 74-78.

46. Полищук Д.Ф. Упругая устойчивость винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. -Ижевск, 1977. Вып. 2. - С. 38-47.

47. Полищук Д.Ф. О единой трактовке различных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение, 1977.-№3.-С. 60-65.

48. Полищук Д.Ф., Дьячкова К.Е. Учет поджатая в статике винтовых цилиндрических пружин //Динамика, прочность и долговечнось деталей машин. Ижевск, 1975. - Вып. 4. - С. 22-30.

49. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Собственные частоты винтовых цилиндрических пружин // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1974. -№10. -С. 28-31.

50. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Аналитическое и экспериментальное исследование частотного спектра винтовых цилиндрических пружин при жесткой заделке концов // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1974. - Вып.З. - С. 31-44.

51. Полищук Д.Ф., Сазонов В.В. Аналитическое и экспериментальное исследование влияния краевых условий в статике винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечнось деталей машин. Ижевск, 1975. - Вып. 4. - С. 31-39.

52. Пономарев С.Д. Расчет и конструкции витых пружин. М. : ОНТИ, 1938.-352 с.

53. Пономарев С.Д., Андреева JI.E. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. - 326 с.

54. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. -Гостехиздат, 1948.

55. Расчеты на прочность в машиностроении. В 3 т. / Под ред. С.Д. Пономарева.- М.: МАШГИЗ, 1959. -Т. 3. 1120 с.

56. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978.-222.

57. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. - 279 с.

58. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. -320 с.

59. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 2. М.: Высшая школа, 1987. -304 с.

60. Светлицкий В.А., Наумов A.M. Определение напряженно-деформированного состояния пружины, нагруженной распределенными силами произвольного направления // Расчеты на прочность. 1990. - Вып. 29, С. 50 - 55.

61. Сиваченко JI.A. Новая концепция развития помольной техники // Обогащение руд, 1994. №1. - С. 36 -41.

62. Сиваченко JI.A. Создание винтовых пружинных аппаратов для помола и смешивания, исследование их рабочих процессов и разработка методов расчета основных параметров: Автореф. .докт. техн. наук. -М., 1995.-47 с.

63. Сиваченко JI.A. Технологические профессии пружин //Вестник БелГТАСМ. Белгород, 2001. - №1. - С. 113 - 119.

64. Сиваченко JI.A., Гаврюшин С.С., Селезнев Н.Г. и др. Основы теоретического расчета винтовых мельниц // Технологические проблемы измельчения и активации: Матер, науч.- техн. семинара.-Могилев, 1992. С. 184-191.

65. Сиваченко JI.A., Хононов Д.М. Вибрационные пружинные мельницы. -(Препринт). Могилев, 2004.

66. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. //Изв. РАН. МТТ. 1994. - № 1. - С. 164-168.

67. Устройство для помола. Патент США № 4899941 Авт. Сиваченко JI.A., Кургузиков A.M., Бочков C.JI. и др. 1987, 39с.

68. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. — М.: Машиностроение, 1988. — 392с.

69. Хвингия* М.В. Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов. Тбилиси: Мецниерева, 1964.

70. Хвингия М.В. Вибрации пружин. М.: Машиностроение, 1969. - 286 с.

71. Чернышев Н.А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости // Новые методы расчета пружин. Машгиз, 1946.

72. Чернышев Н.А. Устойчивость пружин сжатия // Новые методы расчета пружин. Машгиз, 1946.

73. Чернышев Н.А. Напряженное состояние и деформация цилиндрических пружин, свитых из круглого витка // Динамика и прочность пружин. — Изд-во АН СССР, 1950.

74. Чернышев Н.А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических пружин // Расчеты на прочность. Вып. 3. - Машгиз, 1958.

75. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424с.

76. Besseling J. Non-linear theory for elastic beams and rods and its finite element representation // Comp.-Meth. in Appl.Mech. and Eng.- 1982. -№31.- P. 205-220.

77. Crivelli L., Felippa C. A three-dimensional non-linear Timoshenko beam, based on the core-congruential formulation // Int. Jnl. Num. Meth. Eng. -1993.- №36. P. 3647 - 3673.

78. Geradin M., Cardano A. Flexible Multibody Dynamics. A Finite Element Approach. New York, 2000. - 327p.

79. Danielson D., Hodges D. A beam theory for large global rotation, moderate local rotation, and small strain // ASME Jnl. Apl. Mech. 1988. - №55. - P.179.184.

80. Kafadar C.B. On the non-linear theory of rods. International Journal of Engineering Science, 1972. V.10. - №4, - P.369 - 391.

81. Keysor H.C. Calculation of the Elastic Curve of a Helical compression Spring // Trans.A.S.M.E. 1940. - V.62. - №4. - P. 319-324.

82. Mizuno Masao. Problem of Large Deflection of coiled springs // Bull. Of J.S.M.E., 1960. V.3. - №9. - P.95-103.

83. Pearsonf D. The transfer matrix method for the vibration of compression helical spring // T.E.E.S., 1932. V.24 - № 4. - P. 163-171.

84. Shimizu Hiroshi, Jnove Junkishi. On the Static and Dynamic Behavior of Coil Springs // Mem. of the Fac. Sc. Kyus. Univ., 1964. -V.23 №3. P. 123168.

85. Simo J. A finite strain beam formulation the three - dimensional dynamic problem , part I.- Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. №49. - P.55-70, 1985.

86. Simo J., Tarnow N., Doblare M. Non-linear dynamics of three -dimensional rods. Int. Jnl. Num Meth. Eng., 1995. - №38. - P. 1431-1473.

87. Whitman A.B., Desilva C.N. Exact solution in a nonlinear-theory of rods.-Journals of Elasticity, 1974. V.4. - P. 265-280.

88. Whitman A.B., Desilva C.N. Dynamics and stability of elastic Cosserat curves.- International Journal of Solids and Structure, 1970. V.6. - №4. -P.411 -422.