Разработка рациональной методики расчета пружинных механизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Су Чжоу

• Су Чжоу
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Су Чжоу

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЁТА ПРУЖИННЫХ МЕХАНИЗМОВ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 14 СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН

1.1. Конструкции пружинных механизмов (ПМ) и технологические режимы

1.2. Использование дифференциальных уравнений для расчета пружин

1.3. Использованием МКЭ в задачах расчета гибких стержней

1.3.1. Традиционные конечно - элементные подходы

1.3.2. Метод теневого элемента (МТЭ)

1.4. Численные методы интегрирования нелинейных систем ^ дифференциальных уравнений

1.5. Различные способы описания больших поворотов

1.6. Экспериментальные исследования цилиндрических пружин

1.7. Выводы по главе

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ВИДЕ ВИТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 36 (ЛКЭВ)

2.1. Уравнения Кирхгофа-Клебша в векторно-тензорной форме

2.2. Конечный элемент в виде витка

2.2.1. Основные особенности ЛКЭВ

2.2.2. Построение матрицы жесткости ЛКЭВ с учетом сдвигов и ^ деформации оси

2.2.3. Построение матрицы масс ЛКЭВ с учетом инерции ^ вращения

2.2.4. Сборка матрицы жёсткости и масс всей пружины и учет ^ Закреплений

2.3. Пример использования ЛКЭВ для расчёта собственных частот и форм реальной цилиндрической пружины с экспериментальной 45 проверкой

2.4. Исследование влияния начального угла на собственные частоты

48

цилиндрической пружины

2.5. Применение ЛКЭВ для расчёта консольной закреплённой пружины, ^ подверженная действию собственного веса

2.6. Приближенный учет контакта витков

2.7. Выводы по главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА И ВЕРИФИКАЦИЯ КЭВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ПРУЖИН 55 (НКЭВ)

3.1. Рациональный способ описания больших поворотов

3.1.1. Векторно-матричное описание больших поворотов

3.1.2. Представление поворота комбинацией фиксированного тензора ^ и варьируемого вектора

3.2. Построение матрица жесткости и вектора упругих сил

59

НКЭВ

3.2.1. Метод «теневого» элемента (МТЭ) при описании больших

59

движений

3.2.2. Представление произвольного перемещения КЭВ как наложения малых деформаций на жесткое перемещение и вычисление 61 матрицы касательных жесткостей

3.3. Верификация НКЭВ на задаче о расчёте консольно закреплённой

65

пружины, нагруженной распределенной нагрузкой

3.4. Верификация НКЭВ на задаче об изогнутой и растянутой ^ пружине

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НКЭВ НА ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВИНТОВОЙ ПРУЖИНЫ

4.1. Динамическое поведение вращающейся изогнутой пружины

4.1.1. Схема изогнутой пружины в ПМ

4.1.2. Построение матрицы обобщенных масс, вектора инерционных ^ нагрузок и гироскопической матрицы НКЭВ

4.1.3. Составление ансамбля конечных элементов и учет граничных

83

условий

4.1.4. Вычисление частот и форм изогнутой в дугу пружины в случае

85

отсутствия вращения

4.1.5. Алгоритм численного интегрирования нелинейных уравнений ^ движения

4.1.6. Результаты моделирования динамического поведения ^ пружины

4.2. Проверка выполнения закона сохранения энергии

4.3. Учет влияния внешней среды и нагрузочной характеристики

96

электродвигателя на динамику пружины

4.4. Выводы по главе

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ

99

ДЕФОРМИРОВАННОЙ ВИНТОВОЙ ПРУЖИНЫ

5.1. Экспериментальное определение низших собственных частот ^

прямой и изогнутой пружины помощью лазерного оборудования

5.1.1. Определение 1-й собственной частоты прямой пружины

101

ударным тестированием

5.1.2. Определение 1-й собственной частоты изогнутой пружины

5.1.3. Определение собственной частоты стенда и установка

5.2. Экспериментальное исследование влияния осевых деформаций на низшие собственные частоты цилиндрической пружины

5.2.1. Схема эксперимента

5.2.2. Определение расчетных собственных частот

5.2.3. Сравнение расчетных собственных частотах и форм колебаний с

107

экспериментом

5.3. Динамическое поведение вращающейся изогнутой в дугу винтовой

113

цилиндрической пружины

5.4. Выводы по главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ПК - программный комплекс;

ПМ - пружинный механизм;

МКЭ - метод конечных элементов;

КЭ - конечный элемент;

КЭВ - конечный элемент в виде витка;

ЛКЭВ - КЭВ для решения геометрически линейных задач;

НКЭВ - КЭВ для решения геометрически нелинейных задач;

ДУ - дифференциальные уравнения;

САУ - система алгебраических уравнений;

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

МТЭ - метод теневого элемента;

CR - co - rotational approach (полностью соответствует МТЭ); CR КЭВ - полностью соответствует НКЭВ.

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка рациональной методики расчета пружинных механизмов»

Актуальность проблемы определяется двумя аспектами.

Во-первых, винтовые цилиндрические пружины могут использоваться не только как упругие элементы, но также как инструменты пружинных мельниц, вибропросеивателей, гибких шнеков и других пружинных механизмов (ПМ), предназначенных для обработки или перемещения материала. Механические явления, вызываемые вращением изогнутой пружины, должны быть правильно предсказаны расчетом. Это необходимо и при конструировании, и при выборе режимов работы указанных устройств. Например, знание конфигурации изогнутой пружины необходимо при конструировании кожуха, выбора величины зазоров между кожухом и пружиной и т.п. Информация о резонансных режимах вращения изогнутой пружины позволяет отстроиться от интенсивных вибраций, либо настроиться на них в зависимости от технологических соображений (интенсивные вибрации существенно ускоряют процесс измельчения и перемешивания сыпучего материала). Данное исследование является продолжением диссертационных работ, выполненных в МГТУ им. Н.Э. Баумана Г. Данаа и Р.Н. Бадиковым, но в гораздо более общей постановке, чем у предшественников. Общность постановки заключается в том, что здесь интегрируются по времени полные нелинейные уравнения движения модели вращающейся изогнутой пружины.

Во-вторых, разработанная в диссертации методика расчета вращающихся деформированных пружин, основанная на использовании специального конечного элемента в форме одного витка (КЭВ), имеет существенные преимущества в сравнении с альтернативными подходами. КЭВ позволяет рассматривать практически все механические явления в пружинных механизмах, при этом он экономичнее традиционного прямолинейного стержневого элемента с прямой осью и приводит к хорошо обусловленным системам уравнений. Кроме того, математические и алгоритмические приемы, которые были апробированы

при разработке КЭВ, могут быть в неизменном виде перенесены и на другие задачи, в которых деформируемые системы совершают большие повороты. В частности, прием раздельного хранения большой части поворота в виде матрицы и малой части поворота в виде вектора может быть полезен и в других задачах, так как полностью снимает проблему «особых точек», известную в теории больших поворотов.

Целью диссертационной работы является существенное снижение трудоёмкости и повышение точности расчета пружинных механизмов с помощью авторского КЭВ, а также тестирование и экспериментальная верификация разработанной методики.

Для реализации постановленной цели были решены следующие задачи:

1. С помощью численного решения ряда краевых задач для системы дифференциальных уравнений Кирхгофа-Клебша построена матрица жесткости КЭВ (малые перемещения) и найдены соответствующие функции формы.

2. По найденным функциям формы рассчитана согласованная матрица масс КЭВ (малые перемещения).

3. С помощью методики «теневого элемента» произведен переход от случая малых перемещений к геометрически нелинейному варианту КЭВ, учитывающему большие перемещений и повороты узлов.

4. Разработан алгоритм численного решения нелинейных задач динамики цилиндрических пружин, на основе моделей, построенных из КЭВ.

5. Выполнены численные расчеты для различных вариантов закрепления и нагружения пружины, как в статике, так и в динамике.

6. Результаты численных расчетов верифицированы натурными экспериментами.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней получены новые научные результаты:

- создана рациональная методика численного расчёта движения пружин, позволяющая эффективно учитывать практически все конструктивные особенности ПМ (начальную кривизну, различные режимы вращения, различные варианты закреплений, взаимодействие с внешней средой);

- получены зависимости резонансных частот и форм колебаний вращающихся изогнутых пружин от конструктивных параметров ПМ различных типов;

- выявлены закономерности и степень влияния различных конструктивных параметров ПМ на режимы движения пружин.

Практическая значимость диссертации заключается в том, что разработанный расчётный метод, основанный на КЭВ, позволяет предсказывать поведение пружин в различных ПМ уже на этапе проектирования. КЭВ намного экономичнее и приводит к гораздо лучше обусловленным системам уравнений, чем традиционный балочный конечный элемент. Использование разработанных расчетных методик значительно сокращает объем экспериментальных исследований и ускоряет сроки разработки новых конструкций ПМ. Кроме того, алгоритмы, разработанные в данной диссертации, окажутся полезными и при решении других геометрически нелинейных задач статики и динамики упругих конструкций.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- эффективная методика численного расчёта движения вращающихся деформированных (изогнутых, растянутых и т.п.) пружин в ПМ различных конструкций;

- сопоставительный анализ результатов численных расчетов и экспериментальных исследований различных режимов движения вращающихся деформированных пружин.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на III международной школе-конференции молодых учёных «Нелинейная

динамика машин School-NDM» (г. Москва, 2016 г.);

- на I Всероссийской научно-технической конференции «Механика и математическое моделирование в технике» (г. Москва, 2016 г.);

- на международной конференции «Vibroengineering-2016 / Special Topic: Dynamics of Strong Nonlinear Systems» (г. Москва, 2016 г.);

- на IV международной школе-конференции молодых учёных «Нелинейная динамика машин» School-NDM» (г. Москва, 2017 г.).

- на II Всероссийской научно-технической конференции «Механика и математическое моделирование в технике» (г. Москва, 2017 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в том числе 3 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и 1 работа в изданиях, индексируемых в Scopus.

Структура диссертации и аннотация глав.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и четырех приложений. Общий объем составляет 154 страниц, 69 рисунок и 9 таблицы. Список используемой литературы содержит 144 наименований.

В первой главе проведен обзор работ по теме диссертации, в частности В.А. Светлицкого, В.В. Елисеева, С.С. Гаврюшина, Г. Данаа, Р.Н. Бадикова, C.A. Felippa, B. Haugen и др. Приведены примеры конструкций ПМ. Представлены различные варианты систем дифференциальных уравнений, предназначенных для расчета гибких стержней. Показаны преимущества и недостатки существующих вариантов МКЭ в применении к расчету пружин. Выполнен анализ различных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений динамики упругих систем. Произведено сопоставление различных способов описания больших поворотов. Рассмотрены экспериментальные исследования других авторов.

Во второй главе разработан вариант КЭВ, предназначенный для решения задач статики и динамики винтовых цилиндрических пружин при малых

перемещениях, то есть для решения геометрически линейных задач (ЛКЭВ). Матрица жесткости ЛКЭВ была получена численным решением ряда линейных краевых задач для системы дифференциальных уравнений Кирхгофа-Клебша, поэтому ее можно рассматривать как численно точную. Функции формы ЛКЭВ являлись побочным продуктом решения указанных краевых задач. Найденные функции формы были использованы при построении матрицы масс, которая поэтому является «согласованной». При построении матрицы жесткости учитывались поперечные сдвиги и растяжимость оси винтового стержня, а при построении матрицы масс - инерция вращения. Сопоставление с экспериментом показало хорошую точность предложенного ЛКЭВ в задачах модального анализа.

В третьей главе ЛКЭВ преобразован в геометрически нелинейный конечный элемент в форме витка (НКЭВ), учитывающий большие перемещения и повороты, предназначенный для решения задач статики. При построении НКЭВ малые относительные перемещения отсчитывались от промежуточного условного «теневого» положения, в котором элемент не деформирован. Матрица касательных жесткостей и вектор упругих сил НКЭВ находились дифференцированием упругой энергии ЛКЭВ, выраженной через относительные перемещения. С целью исключения особых точек полные повороты были представлены комбинацией постоянного тензора поворота и переменного вектора Эйлера. Разработанные алгоритмы вычисления матрицы касательных жесткостей и вектора упругих сил контролировались сопоставлением с решениями нелинейных дифференциальных уравнений механики стержней. Кроме того, апробирован новый способ контроля результатов, основанный на распространении кинетической аналогии Кирхгофа на цилиндрические пружины, несущие распределенные нагрузки. Представлены тестовые примеры.

В четвертой главе НКЭВ распространен на задачи динамики пружин. Матрица обобщенных сил, гироскопическая матрица и вектор инерционных нагрузок НКЭВ были найдены преобразованиями кинетической энергии ЛКЭВ, выраженной через точные линейные и угловые скорости узлов ЛКЭВ. Смысл преобразований состоит в построении и линеаризации той части уравнения

Лагранжа 2-го рода, которая связана с кинетической энергией. Полученные в этой и предыдущей главе матрицы и векторы использованы для построения полной линеаризованной системы дифференциальных уравнений движения модели пружины, представляющей собой систему НКЭВ. Уравнения движения проинтегрированы численно методом Ньюмарка для реальной пружины, использованной в экспериментальных исследованиях. Результаты численного расчета представлены в виде анимации (в тексте диссертации анимация заменена набором последовательных рисунков). Выполнено сопоставление расчетных и экспериментальных конфигураций изогнутой вращающейся пружины в совпадающие моменты времени. Сопоставление показало полную идентичность расчета и эксперимента, чем полностью подтверждена хорошая точность и эффективность разработанного НКЭВ. Результаты также анализировались спектральным методом.

В пятой главе выполнены экспериментальные исследования для определения собственных частот и форм колебании, а также резонансных режимов вращения изогнутой пружины. Часть экспериментов повторяет то, что было выполнено в диссертации Р.Н. Бадикова с использованием строботахометра, но на более современном оборудовании. Кроме этого, экспериментально находилась зависимость резонансной частоты вращения от начального поджатия или начального удлинения прямой пружины. Для подтверждения экспериментальной методики, основанной на использовании строботахометра, низшие частоты определялись также с использованием лазерного оборудования (без вращения пружины). Все экспериментальные результаты сопоставлялись с расчетом. На основании хорошего соответствия эксперимента и расчета сделан вывод о надежности результатов диссертации и разработанных алгоритмов и программ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЁТА ПРУЖИННЫХ МЕХАНИЗМОВ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН

Пружина является одной из широко распространенных деталей машин, станков и приборов. Во многих механизмах имеются десятки и сотни пружин, выполняющих ответственные и сложные функции. Упругие пружины выполняют следующие основные функции: поглощение удара, поддержание структуры, передача нагрузок, позволяющие использовать их для обеспечения силы натяжения или нажатия в муфтах, тормозах, фрикционных передачах и т.п.

Винтовые цилиндрические пружины можно использовать не только как упругие элементы, но и в качестве гибких связей, шнеков и инструментов для измельчения и просеивания различных материалов. Такое нетрадиционное применение пружин приводит к необходимости решения нелинейных краевых задач механики гибких стержней.

В настоящее время существуют 2 основных способа расчёта гибких стержней при больших перемещениях и поворотах: численное интегрирование дифференциальных уравнений и МКЭ. И тот и другой способ имеют свои преимущества и недостатки. Существует множество методов численного интегрирования дифференциальных уравнений (явные и неявные, одношаговые и многошаговые и т.д.). Применение МКЭ к расчету пружин также может выполнено множеством различных способов.

Одной из проблем, связанной с расчетом пружин, является описание больших поворотов, которое может быть выполнено десятками способов. Некоторые из этих способов ограничивают величину угла поворота сравнительно малой величиной, что для пружины, применяемой, например, в качестве шнека совершенно неприемлемо.

Для верификации расчетных методик и контроля результатов весьма целесообразны экспериментальные исследования.

Все отмеченные аспекты отражаются в данном обзоре.

1.1. Конструкции пружинных механизмов (ПМ) и их технологические режимы

Винтовые пружины могут использоваться в качестве инструментов. Такое применение находят пружины в конструкциях, предназначенных для измельчения, перемешивания и транспортирования (пружинные мельницы, пружинные дробилки, пружинные шнеки, пружинные транспортёры, пружинные насосы и т.п.). В указанных устройствах пружины либо вращаются, либо вибрируют.

Практически все технологические машины, использующие вибрацию для воздействия на обрабатываемый материал, содержат пружины в своей конструкции. Множество типов таких машин разрабатывает научно-производственная корпорация «Механобр-техника». Вибрации воздействуют на пружины и могут приводить к нежелательным резонансным явлениям.

Одним из примеров мельницы с пружинным рабочим органом, является мельница тонкого помола (Рис. 1.1, Рис. 1.3), изобретенная и созданная Сиваченко Л.А. (патент № 2037334). Эта мельница относится к оборудованию для помола сравнительно небольших объемов твердого материала.

На Рис. 1.1 изображены две схемы пружинных мельниц. Принцип работы практически всех вариантов пружинных мельниц основан на захвате частиц в клиновом зазоре между витками и дальнейшем уменьшении зазора при вращении пружины. Разрушение происходит за счёт возрастания контактного давления на частицу при вращении изогнутой пружины [62]. (см. Рис. 1.1, б).

Рис. 1.1. Базовые варианты пружинных мельниц [22, 62]

Обычно, в конструкциях пружина изогнута, однако существуют мельницы и с прямыми пружинами [65]. Мельницы, схемы которых представлены на Рис. 1.2, представляет собой изогнутую или прямую пружину, вращающуюся в резонансном режиме в закрытом кожухе. Резонансный режим приводит к многократным ударам пружины о корпус и сопровождается интенсивным локальным разрушением мягких материалов.

В работе [67] Сиваченко Л.А., Хононова Д.М. исследована производительность винтовых аппаратов (Рис. 1.2, а). Решена поставленная задача для наиболее характерных случаев взаимодействия кинематический деформируемого органа с обрабатываемой средой.

(а) (б)

Рис. 1.2. Схема мельницы с изогнутой (а) и прямой (б) пружиной [66]

В работе [66] Сиваченко Л.А., Хононова Д.М. определена мощность привода пружинной мельницы. Особенность поведения пружины в условиях интенсивных колебаний вносит свои коррективы в расчет, что выражается в увеличении объемов одновременно обрабатываемого материала, повышения зазоров между витками и укрупнения разрушаемых частиц материала.

В работах [63, 64] приведены конструкции новых малогабаритных агрегатов с вибрирующими пружинами. На Рис.1.3 показаны 2 схемы пружинных механизмов из [63, 64]. О технических возможностях представленных агрегатов можно судить по их названиям.

а б

Рис. 1.3. Виброуплотнитель строительных смесей (а); агрегат для сушки

минеральных материалов (б)

В диссертации [79] Хононова Д.М. разработан механизм генерирования интенсивных управляемых колебаний пружин путем предварительного их

деформирования и предложены новые конструкции пружинных аппаратов и средств для генерирования и управления колебаниями (Рис. 1.4). Разработана методика выбора основных параметров и режимов работы пружинных мельниц и определены области их рационального использования.

Рис. 1.4. Рабочий орган (а) и деформирование рабочего органа мельницы: 1 этап - установка, 2 этап - нагружение пружины крутящим моментом (б)

Следует также отметить схожие конструкции (Рис. 1.5), в которых винтовых пружины используются не только для перемалывания или размешивания, но и для транспортировки сыпучих или вязких материалов.

Рабочий орган

а

Рис. 1.5. Гибкий шнек

Для упрощенного расчёта пружины при проектировании ПМ в ряде случаев вполне удовлетворительной оказывается схема эквивалентного стержня [21, 22].

1.2. Использование дифференциальных уравнений для расчета пружин

Начало исследования упругих стержней (в современном смысле) было положено работами Сен-Венана в 19-ом веке. Сен-Венан рассматривал кручение и изгиб балок, основываясь на теории упругости и используя свой полуобратный метод [82]. Полная теория деформации стержня в пространстве под действием сил и моментов, приложенных по краям, была разработана Кирхгофом в 1859 году [106]. Подход Кирхгофа состоял в том, чтобы рассматривать часть стержня как маленький сегмент с малыми деформациями, чтобы к нему можно было применять уравнения теории упругости, в частности условия непрерывности. Клебш развил теорию Кирхгофа в 1862 году [92, 93]. Ляв улучшил заброшенный подход Кирхгофа - Клебша и придал уравнениям криволинейного стержня практически современный вид в 1892 году [110].

В 20-м веке исследования цилиндрических пружин и других упругих элементов интенсивно развивались, особенно в России. Из-за важной роли, которую пружины играют в различных механизмах, проектирование цилиндрических пружин и отладка работы ПМ представляют собой большой интерес для инженера.

В России были две известные научные школы по исследованию пружин: кафедра «Сопротивление материалов» МВТУ им. Н.Э. Баумана и Ижевский механический институт.

В книге «Расчёт упругих элементов машин и приборов», написанной специалистами МВТУ им. Н.Э. Баумана С.Д. Пономаревым и Л.Е. Андреевой [2], представлена наиболее полная информация по систематическому исследованию пружин, обобщающая разработки профессора С.Д. Пономарева [49-51]. Отметим также классическую монографию «Расчеты на прочность в машиностроении» [50]. В ранних работах Е.П. Попова по механике стержней в основном применялись аналитические методы для случая больших перемещений стержня в плоскости [46].

В работах [49, 50] С.Д. Пономарева изложены методы расчета на прочность и жесткость упругих элементов машин и приборов, приведены эмпирические методики для изготовления и применения упругих элементов на заводах. В работах [10-13] В.Л. Бидермана рассмотрены деформации кривых тонкостенных стержней и проблема колебаний пружин. В работах [41, 42] Н.Н. Малинина представлены формулы деформации для цилиндрических пружин, разработана теория тонких стержней при малых перемещениях.

Работа по совершенствованию методик расчета винтовых цилиндрических пружин были продолжена научной школой МВТУ им. Н.Э. Баумана, под руководством проф. В.А. Светлицкого. Его 2-х томная монография «Механика стержней» и учебники ([55-58] и др.) посвящены одному из разделов механики твердого деформируемого тела, а именно механике пространственного криволинейного стержня. Пространственный криволинейный стержень, частным случаем которого является цилиндрическая пружина, описывается в работе [56] системой геометрически нелинейных дифференциальных уравнений 12-го порядка:

йе йМ

+ р + X х 0 = 0,

+е х 0 + х х м + т = о,

йе

м = А(х - X01}),

+ Ь2х01) - А"1м = 0,

йе

(1.1)

йи

йе

+ X Х и + (111 - 1)е1 + 121е2 + 131е3 = 0

" и

Р = q + £Р0'Це - е); Т = М + £Р(Ще - еу)

2=1

У=1

где Q, М - векторы внутренних сил и момент; Р, Т - векторы внешних сил и моментов; q - вектор внешней распределенной нагрузки; и - вектор перемещений; х - вектор кривизны; ег- - базисные орты; L, L2 - матрицы, связанные с поворотами; А - матрица жесткости сечения [56].

V

Входящие в уравнения (1.1) силы и моменты q, Р(г), ц и Т(¥) в наиболее общем случае могут зависеть от перемещений точек осевой линии стержня щ и углов поворота связанных осей . Аналитическая зависимость векторов

нагрузки от щ и в каждой конкретной задаче считается известной.

Если нагрузка следящая, то компоненты векторов q, Р(г), л и Т(¥), в связанных осях остаются неизменными при любых конечных углах поворота

связанных осей.

Если силы мертвые, а используются уравнения равновесия в связанных осях (1.1), то следует использовать матрицы поворота.

Отличительной особенностью уравнений (1.1) является использование «самолётных» углов для описания больших поворотов. Под самолётными углами подразумеваются углы последовательных поворотов вокруг осей базиса, связанного с главными осями поперечного сечения стержня [3, 56].

Аналогичные уравнения рассматриваются в книге [59], написанной специалистами МГТУ им. Н.Э. Баумана В.А. Светлицким и О.С. Нарайкиным.

Исследования принципиальных вопросов динамики и статики пружин с позиции модели винтового бруса были выполнены М.Ю. Карповым, работающим в ижевском механическом институте на кафедре «Динамика машин» [35, 36]. Результаты и решения задачи были отражены в монографии Д.Ф. Полищука «Обобщенная теория цилиндрических пружин» [43-48].

В книге «Вибрации пружин» М.В. Хвингии [77-78] рассмотрены пружины вибромашин, аппаратов и других устройств в различных условиях их применения, исследованы динамические характеристики и устойчивость пружин при колебаниях.

В докторской диссертации В.В. Гайдачука [20] и кандидатской диссертации Р.Н. Бадикова [3] изложены дифференциальные уравнения механики стержней 18-го порядка, включающие 6 уравнений равновесия и 12 кинематических соотношений:

ё,Р1 (в

Р

(в

Р

(в М (в (М2

(в (м3

(в (г

= -г

1

г2

= -(е12Р3 -е13Р2 + т1)

(е13Р1 -е11Р3 + т2 ) (е11Р2 -е12Р1 + т3)

(в

(Г2 (в

(Гз (в

= е.

11

12

13

(е

11

(в (е

12

(в (е

13

(в (е

21

(в (е

22

(в (е

23

(в (е

31

(в (е

32

(в (е

33

(в

к2е13 Ке12

Ке11 Ке13

Ке12 к2е11

к2е23 к3е22

К е 21 К е23

Ке22 ^2е21

^2е33 ^3е32

к3е31 \е33

Ке32 ^2е31

(1.2)

где (Р1, Р2, Р3} - вектор внутренних сил; (М1, М2, М3} - вектор внутренних моментов; е1, е2, ез - главные орты; [п, гг, гз} - радиус-вектор оси стержня; ^2, k3} - вектор кривизны.

Все векторы в (1.2), в том числе и орты связанного базиса, записаны в проекциях на неподвижные декартовы оси. Уравнения (1.2) должны быть дополнены соотношениями упругости, связывающими компоненты вектора кривизны с внутренними моментами [3].

В кандидатской диссертации Р.Н. Бадикова [3] и его публикациях с Ф.Д. Сорокиным [4-7] на основе известных уравнений механики стержней В.А. Светлицкого (1.1) и В.В. Гайдачука (1.2) сформулирована краевая задача для винтовой цилиндрической пружины с прямой осью, подверженной осадке, решена задача поиска низшей собственной частоты, а также найдено приближенное выражение для зависимости низшей собственной частоты пружины от величины осадки. Дополнительно в их работах [8, 9] рассмотрена задача определения критического крутящего момента для цилиндрической

<

<

пружины, изогнутой в полуокружность, с последующей экспериментальной верификацией.

В работах В.В. Елисеева [27, 29] и еще очень многих авторов рассматривается линейная динамика гибкого упругого ротора во вращающейся системе отсчета, задана полная система уравнений линейной механики упругих стержней с учетом сдвига и инерции при малых перемещениях и поворотах. В книгах В.В. Елисеева [26, 28] изложены основы теории стержней в тензорной форме записи, представлены общая нелинейная теория, различные варианты линейных уравнений, теория устойчивости, особенности тонкостенных стержней. Работы В.В. Елисеева выделены здесь из другой обширной литературы на ту же тему в связи с тем, что многие уравнения данной диссертации взяты непосредственно из книг [26-29].

Другое направление в расчетах цилиндрических пружин развито в работах С.С. Гаврюшина и его учеников ([18] и др.), в которых применен накопленный опыт моделирования цилиндрической пружины с использованием приведённых (эквивалентных) жесткостей. Такой подход позволяет достаточно просто вводить учет контакта витков в тех случаях, когда ось эквивалентного стержня остаётся плоской в процессе деформаций [18, 19, 21-23].

В диссертации [22] Г. Данаа разработана численная методика анализа статических и динамических характеристик рабочего органа винтовых пружинных грохотов на основе расчетной схемы эквивалентного бруса в сочетании с возможностями существующего прикладного программного обеспечения. Методика подтверждена в процессе тестирования и сопоставления с результатами, полученными в среде конечно-элементного ПК «ANSYS» и данными экспериментов. Проведено численное исследование напряженно-деформированного состояния, динамических и усталостных характеристик рабочих органов в виде предварительно деформированных цилиндрических пружин, используемых в смесительном и помольно-грохотальном оборудовании. Дан анализ влияния параметров предварительной деформации рабочего органа

на характеристики оборудования и выработаны рекомендации по совершенствованию существующих конструкций.

В иностранной литературе по исследованиям гибких стержней на основе дифференциальных уравнений [85, 90, 104, 107-108, 117, 134, 136-138] приведены несколько основных методов для расчета собственных частот пружин: метод динамической жесткости (method for calculating the dynamic stiffness) и метод матриц перехода (transfer matrix method).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Су Чжоу, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2004. 248 с.

2. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение, 1981. 392 с.

3. Бадиков Р.Н. Расчётно-экспериментальное исследование напряжённо-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах: дисс. на соиск. уч. ст. канд. тех. наук. Москва. 2009. 166 с.

4. Бадиков Р.Н., Букеткин Б.В., Сорокин Ф.Д. Влияние контакта витков на упругую характеристику заделанной цилиндрической пружины, подверженной сближению краев, за пределами устойчивости. // Изв. вузов. Машиностроение. 2007. №9. С.3-6.

5. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние величины осадки на низшую собственную частоту цилиндрической пружины (модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. 2007. №1. С.10-15.

6. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние радиуса кривизны оси цилиндрической пружины, изогнутой в дугу окружности, на низшую собственную частоту. (модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. 2007. №5. С.14-19.

7. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Приближенное выражение для низшей собственной частоты криволинейного стержня с винтовой осью. // Изв. вузов. Машиностроение. 2007. №7. С.10-12.

8. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. 2006. №4. С.4-6.

9. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Сравнение экспериментального и расчетного значений величины критического крутящего момента изогнутой в

полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. 2008. №1. С.11-14.

10. Бидерман В.Л. Поперечные колебания пружин // Расчеты на прочность. Москова, Машгиз. 1962. Вып.8. С. 256-270.

11. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

12. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций (статика). М.: Машиностроение, 1977. 485 с.

13. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408с.

14. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. 280 с.

15. Бураго Н.Г. Вычислительная механика. М.: 2007. 247 с.

16. Валишвили Н.В., Гаврюшин С.С. Сопротивление материалов и конструкций: учебник для академического бакалавриата. М.: Изд-во Юрайт, 2017. 429 с.

17. Ветюков Ю.М., Елисеев В.В. Моделирование каркасов зданий как пространственных стержневых систем с геометрической физической нелинейностью // Вычислительная механика сплошных сред. 2010, т. 3, № 3, С. 32-45.

18. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы проектирования гибких упругих элементов. Калуга.: ГУП «Облиздат». 2001. 200 с.

19. Гаврюшин С.С., Бадиков Р.Н., Ганбат Д. Численное моделирование процессов нелинейного деформирования рабочих органов пружинных мельниц // Материалы 15-й международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2007). Москова, 2007. С. 139-140.

20. Гайдайчук В.В. Упругое деформирование и колебания пространственно-искривлённых гибких стержней: дисс...докт. техн. наук. Киев, 1992. 244 с.

21. Ганбат Д. Исследование динамических характеристик спирального грохота // Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологии: Сборник научных трудов 6-й международной конференции. Москова, 2006. С. 20-23.

22. Ганбат Д. Расчет и проектирование рабочих органов винтовых пружинных грохотов: дисс...канд. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 198 с.

23. Ганбат Д., Гаврюшин С.С. Исследование статических и динамических характеристик винтовых пружинных мельниц // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2007. №8. С. 10-16.

24. Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. М.: ДМК-Пресс, 2008. 574 с.

25. Елисеев В.В. Механика деформируемого твёрдого тела. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. 231 с.

26. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: Изд-во Полотен уи-та, 2003. 336 с.

27. Елисеев В.В., Авксентьев А.И. Модели упругих стержней в динамике гибких роторов // Современное машиностроение. Наука и образование. 2014. № 4. С. 335-343.

28. Елисеев В.В, Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций Теория стержней. СПб.: Изд-во Полотен уи-та, 2008. 95 с.

29. Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Нелинейно-упругая деформация подводного трубопровода в процессе укладки // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5. № 1. С. 70-78.

30. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.: Нестор, 2001. 276 с.

31. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. 101 с.

32. Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. СПб.: Учебное пособие-Издательство, 2012. 584 с.

33. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. Изд. 2-е, перераб. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. 320 с.

34. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний: Учеб. для вузов. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 272 с.

35. Карпова М.Ю. К вопросу о больших перемещениях винтовых цилиндрических пружин // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск, 1967. С. 29-36.

36. Карпова М.Ю., Демьяшкина Э.Я. К вопросу о больших перемещениях винтового цилиндрического бруса // Механика твердого тела, 1966. № 4. С. 188-190.

37. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2008. 208 с.

38. Лалин В.В., Яваров А.В. Построение и тестирование конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера // Жилищное строительство. 2013. №5. С. 51-55.

39. Левяков С.В. Нелинейный пространственный изгиб криволинейных стержней с учетом поперечного сдвига // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. №2. С. 128-136.

40. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

41. Малинин Н.Н. Основные формулы деформации цилиндрических пружин // Труды кафедры "Сопротивление материалов" МВТУ им. НЭ Баумана. 1947. Р. 1.

42. Малинин Н.Н. Уравнения теории тонких стержней для малых перемещений. // Труды кафедры /Сопротивление материалов МВТУ им. Н.Э. Баумана. разд. 3. 1947. С. 119-128.

43. Полищук Д.Ф. Влияние граничных условий на спектр собственных частот продольных колебаний цилиндрических пружин // Машиноведение. 1969. №6. С. 31-35.

44. Полищук Д.Ф. О концевом эффекте в статике цилиндрических пружин // Машиноведение. 1973. №4. С. 74-78.

45. Полищук Д.Ф. Упругая устойчивость винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1977. Вып. 2. С. 38-47.

46. Полищук Д.Ф., Дьячкова К.Е. Учет поджатия в статике винтовых цилиндрических пружин //Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1975. Вып. 4. С. 22-30.

47. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Собственные частоты винтовых цилиндрических пружин // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1974. №10. С. 28-31.

48. Полищук Д.Ф., Сазонов В.В. Аналитическое и экспериментальное исследование влияния краевых условий в статике винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1975. Вып. 4. С. 31-39.

49. Пономарев С.Д. Расчет и конструкции витых пружин. М.: ОНТИ, 1938. 352 с.

50. Пономарев С.Д. Расчеты на прочность в машиностроении. В 3 т. / Под ред. М.: МАШГИЗ, 1959. Т. 3. 1120 с.

51. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. 326 с.

52. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов // Труды МАИ. 2017. Выпуск № 92.

53. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. — 344 с.

54. Ряховский О.А., Сорокин Ф.Д., Байков Б.А., Расчет и конструирование компенсирующей муфты с промежуточным стальным гибким диском // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2012, №.8, С. 8-14.

55. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

56. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.

57. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 2. М.: Высшая школа, 1987. 304 с.

58. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 279 с.

59. Светлицкого В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин. М.: Машиностроение, 1989. 380 с.

60. Семенов П.Ю. Стержневой конечный элемент для расчетов с большими перемещениями и вращениями // Труды II международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Казань, НИИММ им. Н.Г. Чеботарева. 2009. С. 24-29.

61. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002. 608 с.

62. Сиваченко Л.А. Технологические профессии пружин // Вестник БелГТАСМ. Белгород, 2001. №1. С. 113-119.

63. Сиваченко Л. А., Голушкова О. В. Новое технологическое оборудование для промышленности строительных материалов. Государственное учреждение высшего профессионального образования "Белорусско-Российский университет. 2014. С. 115-125.

64. Сиваченко Л.А., Кутынко Е.И., Шаройкина Е.А., Сиваченко Т.Л., Новые малогабаритные агрегаты для рассредоточенных работ. Механизация строительства. 2010. № 4. С 14 - 17.

65. Сиваченко Л.А., Хононов Д.М. Вибрационные пружинные мельницы. (Препринт). Могилев, 2006. 89 с.

66. Сиваченко Л.А., Хононов Д.М. Определение мощности привода пружинной мельницы. Механики XXI веку. 2006. № 5. С. 146-150.

67. Сиваченко Л.А., Хононов Д.М. Расчёт производительности пружинных мельниц. Механики XXI веку. 2006. № 5. С. 153-159.

68. Сорокин Ф.Д. Векторно-матричное описание больших поворотов при разработке конечных элементов механических систем // Международной научной школы для молодежи «Компьютерные технологии анализа

инженерных задач», ИМАШ РАН. Москва., 2009. С. 106-113.

69. Сорокин Ф.Д. Особенности рационального способа описания больших поворотов в задачах нелинейной динамики роторных машин // III Международная Школа-конференция Нелинейная динамика машин

МОМ 2016), Москва, ИМАШ РАН. 2016, С. 89-93.

70. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 1994, № 1, С. 164-168.

71. Сорокин Ф.Д., Бадиков Р.Н., Су Чжоу Распространение кинетической аналогии Кирхгофа на цилиндрические пружины, несущие распределенные нагрузки // Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2017, № 3, С. 12-21.

72. Сорокин Ф.Д., Су Чжоу. Конечный элемент в виде витка для расчёта частот и форм собственных колебаний пружин с учетом сдвига и инерции вращения // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. №1. С. 3-10.

73. Сорокин Ф.Д., Су Чжоу. Разработка конечного элемента в виде витка цилиндрической пружины // III Международная Школа-конференция Нелинейная динамика машин 2016), Москва, ИМАШ РАН. 2016, С. 261-265.

74. Сорокин Ф.Д., Су Чжоу. Численное исследование динамики вращающейся изогнутой пружины с использованием конечного элемента в форме одного витка // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. №2. С. 11-22.

75. Сорокин Ф.Д., Су Чжоу. «Численное моделирование нелинейной динамики вращения изогнутой в дугу винтовой цилиндрической пружины» // IV Международная школа-конференция молодых учёных "Нелинейная динамика машин" School-NDM. 2017. С. 401-405.

76. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 592 с.

77. Хвингия М.В. Вибрации пружин. М.: Машиностроение, 1969. 286 с.

78. Хвингия М.В. Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов. Тбилиси: Мецниерева. 1974. 284 с.

79. Хононов Д.М. Научно-практические основы повышения эффективности пружинных мельниц путем интенсификации колебаний их рабочих органов: дисс. на соиск. уч. ст. канд. тех. наук. Белгород. 2006. 175с.

80. Argyris J. H., An excursion into large rotations // Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg. 1982. Vol. 32, P. 85-155.

81. Argyris J. H., Kelsey S. Energy Theorems and Structural Analysis. Springer, Boston, MA. 1960, 85 p.

82. Barré de Saint-Venant, Adhémar-Jean-Claude. De la torsion des prismes: avec des consid_erations sur leur exion ainsi que sur l'equilibre des solides elastiques en general et des formules pratiques pour le calcul de leur resistance a divers efforts s'exerant simultanement. Impr. imperiale (Paris), 1855. 332p. URL http: //catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37256910z.

83. Battini J.M., Pacoste C. Co-rotational beam elements with warping effects in instability problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. Vol. 191, iss. 17-18, P. 175-178.

84. Battini J.M., Pacoste C. Plastic instability of beam structures using co-rotational elements // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. Vol. 191, iss 51-52, P. 5811-5831.

85. Becker L.E., Chassie G.G., Cleghorn W.L. On the natural frequencies of helical compression springs // International Journal of Mechanical Sciences. 2002. Vol. 44(4), P. 825-841.

86. Belytschko T. and Hsieh B. J., Nonlinear transient finite element analysis with convected coordinates // Int. J. Numer. Meth. Engrg. 1973. Vol. 7, P. 255-271.

87. Bergan P.G. and Horrigmoe G., Incremental variational principles and finite element models for nonlinear problems // Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg. 1976. Vol. 7, P. 201-217.

88. Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 3rd

Edition. Wiley. 2016, 538 p.

89. Caselli F., Bisegna P. Polar decomposition based corotational framework for triangular shell elements with distributed loads // Numerical Methods in Engineering. 2013. Vol. 95, iss 6, P. 499-528.

90. Chassie G.G., Becker L.E., Cleghorn W.L. On the buckling of helical springs under combined compression and torsion // International Journal of Mechanical Sciences Elsevier. 1997. Vol. 39. P. 697-704.

91. Choi B.L., Choi B.H. Numerical method for optimizing design variables of carbon-fiber-reinforced epoxy composite coil springs // Composites Part B: Engineering Elsevier. 2015. P. 42-49.

92. Clebsch A. Theorie der elasticitat fester Korper. Leipzig: Teubner, 1862. 424p. URL http:// catalo gue. bnf.fr/ ark: /12148/cb37264694q.

93. Clebsch A. Theorie de l'elasticite des corps solides. Paris: Dunod, 1883. 400p.

94. Crisfield M.A. A consistent co-rotational formulation for non-linear three-dimensional beam elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1990. Vol. 81, iss. 2, P. 131-150.

95. Crisfield M.A. A unified co-rotational framework for solids, shells and beams // International Journal of Solids and Structures. 1996. Vol. 33, iss. 20-22, P. 29692992.

96. Da Fonseca A.F., De Aguiar M.A.M. Solving the boundary value problem for finite Kirchhoff rods // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2003. Vol. 181, iss. 1-2, P. 5369.

97. Ferziger J. H., Numerical Methods for Engineering Applications, 2nd Edition. Wiley. 1998, 400 p.

98. Felippa C.A. A Systematic Approach to the Element-Independent Corotational Dynamics of Finite Elements. Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures. USA.: University of Colorado, 2000. 42 p.

99. Felippa C.A., Haugen B. Unified Formulation of Small-Strain Corotational Finite Elements: I. Theory. Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures. USA.: University of Colorado, 2005. 46 p.

100. Friswell M., Mottershead J. E. Finite element model updating in structural dynamics. Springer, 1995. 292 p.

101. Geradin M., Cardona A. Flexible multibody dynamics A finite element approach. New York.: Wiley, 2001. 327 p.

102. Girgin K. Free vibration analysis of non-cylindrical helices with variable cross-section by using mixed FEM // Journal of Sound and Vibration. 2006. Vol. 297. P. 931-945.

103. Haugen B. Buckling and stability problems for thin shell structures using highperformance finite elements, Ph. D. Dissertation, Dept. of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado, Boulder, CO, 1994. 398 p.

104. Kacar I., Yildirim V., Natural frequencies of composite cylindrical helical springs under compression // Vibration Problems ICOVP. 2011. Vol. 139. P. 119124.

105. Keller S., Gordon A. P. Stress approximation technique for helical compression springs subjected to lateral loading // ASME 2010 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. 2010. P. 825-831.

106. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dunnen elastischen Stabes // J. f. reine. angew. Math. 1859. 56: 285-313.

107. Lee J., Thompson D.J. Dynamic stiffness formulation, free vibration and wave motion of helical springs // Journal of Sound and Vibration Elsevier. 2001. Vol. 239. P. 297-320.

108. Lee J. Free vibration analysis of cylindrical helical springs by the pseudospectral method // Journal of Sound and Vibration Elsevier. 2007. Vol. 302, P. 185-196.

109. Leung A.YT., Kuang J.L. Spatial chaos of buckled elastica by the Kirchhoff analogy of a gyrostat // Computers & Structures. 2005. Vol. 83, iss. 28-30. P. 23952413.

110. Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Cambridge University Press, second edition, 1906. 369 p.

111. Masud A., Tham C.L., Liu W.K. A stabilized 3-D co-rotational formulation for

geometrically nonlinear analysis of multi-layered composite shells // Computational Mechanics. 2000. Vol. 26, iss. 1, P. 1-12.

112. Mottershead J. E. Finite elements for dynamical analysis of helical rods // International Journal of Mechanical Sciences. 1980. Vol. 22. P. 267-283.

113. Mottershead J. E. The large displacements and dynamic stability of springs using helical finite elements // International Journal of Mechanical Sciences. 1982. Vol. 24. P. 547-558.

114. Nizette M., Goriely A. Towards a classification of Euler-Kirchhoff filaments // Journal of Mathematical Physics. 1999. Vol. 40, iss. 6, P. 2830-2866.

115. Nour-Omid B., Rankin C.C. Finite rotation analysis and consistent linearization using projectors // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991. Vol. 93, P. 351-384.

116. Pavani P.N.L., Prafulla B.K., Rao R.P., Srikiran S. Design, Modeling and Structural Analysis of Wave Springs // Procedia Materials Science. 2014. Vol. 6, P. 988-995.

117. Pearson D. An exact solution for the vibration of helical springs using a Bernoulli-Euler model // International Journal of Mechanical Sciences. 1986. Vol. 28, P. 83-96.

118. Pimenta P. M., Yojo T. Geometrically exact analysis of spatial frames // Applied Mechanics Reviews. 1993. Vol. 46, No. 1, P. 118-128.

119. Rankin, C.C., Brogan, F.A. An Element Independent Corotational Procedure for the Treatment of Large Rotations // Journal of Pressure Vessel Technology. 1986. Vol. 108, P. 165-174.

120. Rankin C.C., Nour-Omid B. The Use of Projectors to Improve Finite Element Performance // Computers & Structures. 1988. Vol. 30(1/2), P. 257-267.

121. Relvas A., Suleman A. Aeroelasticity of Nonlinear Structures Using the Corotational Method // Journal of Aircraft. 2006. Vol. 172, No. 3, p. 749-762.

122. Shu L., Weber A. A symbolic-numeric method for solving boundary value problems of Kirchhoff Rods // Lecture Notes in Computer Science. 2005. Vol. 3718, P. 387-398.

123. Shvartsman B.S. Analysis of large deflections of a curved cantilever subjected to a tip-concentrated follower force // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2013. Vol. 50, P. 75-80.

124. Simo J. C., A finite strain beam formulation. Part I: The three-dimensional dynamic problem // Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg. 1985. 49, P. 55-70.

125. Sorokin F.D., Su Zhou. Numerical simulation of the coil spring and investigation the impact of tension and compression to the spring natural frequencies // Vibroengineering-2016 / Special Topic: Dynamics of Strong Nonlinear Systems. 2016. P. 108-113.

126. Stapleton S.E., Waas A.M., Arnold S.M., Bednarcyk B.A. Corotational Formulation for Bonded Joint Finite Elements // AIAA Journal. 2014. Vol. 52, P. 1280-1293.

127. Szwabowicz M.L. Variational Formulation in the Geometrically Nonlinear Thin Elastic Shell Theory // Int. J. Engrg. Sci. 1986. Vol. 22, P. 1161-1175.

128. Thomas J.R.H. The Finite element method linear statics and dynamic element analysis. Courier Corporation, 2012. 673 p.

129. Thomson W.T. Theory of Vibration with Applications. Cheltenham, Nelson Thornes, 2003. 546 p.

130. Toi Y, Lee J.B., Taya M. Finite element analysis of super elastic, large deformation behavior of shape memory alloy helical springs // Computers & Structures. 2004. Vol. 82, P. 1685-1693.

131. Van der Heijden G.H.M., Thompson J.M.T. Helical and localized buckling in twisted Rods: A unified analysis of the symmetric case // Nonlinear Dynamics. 2000. Vol. 21, iss. 1, P. 71-99.

132. Walter W., Walter D.P. Mechanics of Structures. Variational and Computational. CRC Press, 2002. 912 p.

133. Wempner G.A. Finite elements, finite rotations and small strains of flexible shells // IJSS. 1969. Vol 5, P. 117-153.

134. Wittrick W.H. On elastic wave propagation in helical springs // International Journal of Mechanical Sciences Elsevier. 1966. Vol. 8, P. 25-47.

135. Yang C.J., Zhang W.H., Ren G.X., Liu X.Y. Modeling and dynamics analysis of helical spring under compression using a curved beam element with consideration on contact between its coils // Meccanica. 2014. Vol. 49, P. 907-917.

136. Yildirim V. An efficient numerical method for predicting the natural frequencies of cylindrical helical springs // International Journal of Mechanical Sciences Elsevier. 1999. Vol. 41, P. 919-939.

137. Yildirim V. Free vibration of uniaxial composite cylindrical helical springs with circular section // Journal of Sound and Vibration. 2001. Vol. 239, P. 321-333.

138. Yildirim V. On the linearized disturbance dynamic equations for buckling and free vibration of cylindrical helical coil springs under combined compression and torsion // Meccanica. 2012. Vol. 47, P. 1015-1033.

139. Yu A.M., Hao Y. Effect of warping on natural frequencies of symmetrical cross-ply laminated composite non-cylindrical helical springs // International Journal of Mechanical Sciences. 2013. Vol.74, P. 65-72.

140. Yu A.M., Hao Y. Free vibration analysis of cylindrical helical springs with noncircular cross-sections // Journal of Sound and Vibration. 2011. Vol. 330, iss.11, P. 2628-2639.

141. Zagari G., Madeo A., Casciaro R. Koiter analysis of folded structures using a corotational approach // International Journal of Solids and Structures. 2013. Vol. 50, iss. 5, 1 P. 755-765.

142. Zhilin P.A. Nonlinear theory of thin rods // Advanced Problems in Mechanics. Lecture at XXXIII Summer School-Conference, St. Petersburg, Russia, 2005. P. 227-249.

143. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method Fifth edition Volume 1, The Basis. Butterworth-Heinemann. 2000, 708 p.

144. Zubov L.M. The problem of the equilibrium of a helical spring in the non-linear three-dimensional theory of elasticity // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2007. No. 71, P. 519-526.

131

ПРИЛОЖЕНИЕ

П. 1. Программа определения матриц жесткости и масс КЭВ с учетом инерции вращения, осевых деформаций и сдвигов на языке пакета Wolfram Mathematica

D1 ¿id [jc_ , \ '■- Transpose[{x}] -{y}V адное произведение *)

sMa.x = 2 * 7Г * R / Cos [y] ;

Parairietric.P 1 оt.3D [i? , [s, 0, sMax} r AxesLabel -> {xl, x2 , x3}]

Dm = 1 / E Jx * (ET - tt) + tt/GJk:; (* тензор податлив ост ей сечения *) DmOl = tt / ЕЕ / Al + kx / G / Al * (ET - tt) ;

Jm = тг * d л 4 / 32 * tt + /г * d л 4 / 64* (ET - tt) ; * моменгг инерция * )

у = Join[Pr М, ur 19] ; (* вектор основных неизвестных 12x1 *)

sol = NDSolve [Join [eql, eq2 , eq3 , eq4 , bcl, Ьс2 , ЬсЗ , be 4] , y, {s, 0, sMax)] ;

PlotfM / . sol, {s, 0, sMax) , AxesLabel -> {s, M) ]

Plot[P / . sol, [s, 0 , sMax} , AxesLabel -> {s , P} ]

nx = u / . sol ;

(9x = & / . sol ;

Px = P / . sol ;

Mx = M / . sol;

Px2 = Px / . s -» sMax; Mx2 = Mx / . s sMax;

Pxl - -Px2;

Mxl = -Mx/. s -» 0;

k9 = {Pxl[ [1]] , Mxl[[l]] , Px2[[l]] , Mx2[[l]]}

(+ вычисление u j *) Pj = {Pjl[s], Pj2[s], Pj3[s]}; Mj = {Mjl[s], Mj2[s], Mj3[s]}; uj = {ajl[s] , uj2[s] , uj3[s] } ; <9j = {(9jl[s] , (9 j2 [ s] , <9j3[s] };

(+ дифференциальные уравнения *) eqjl = Thread [D [Pj , s] == - {0, 0, 0}] ; eqj 2 = Thread [D [Mj , s] = =-Cross [ t, Pj]] ;

eqj3 = Thread [D [uj , s] = Cross [ (9 j, t] +Dm.01.Pj] ;l eqj 4 = Thread [D [(9j , s] = = Dm. Mj ] ;

(* граничные условия *) be j 1 = Thread [ (uj / . s-sO) == {0, 1, 0} ] ; bej2 = Thread [ (i9j / . s 0) == null] ; bcj3 = Thread [ (uj / . s sMax) == null] ; bo j 4 = Thread [ ((9j / . s -> sMax) == null] ;

yj = Join[Pjf Mj , u j , (9j] ; (+ вектор основных неизвестных 12x1 *)

sol = NDSolve[Join[eqj1, eqj2f eqj3f eqj4f bcjl, bcj2f bcj3f bcj4]f yj , [s, 0, sMax}]

u jx = u j / . sol ; (9jx = (9j / . sol; Pjx = Pj / . sol; Mjx ~ Mj / . sol ;

Plot[Mj / . sol, {s , 0 , sMax) , AxesLabel -> {s , Mj } ] k79 = NIntegrate [Mjx. Dm . Transpose [Mx] , {s , 0 , sMax}]

m7 9 = NIntegrate [p * A1 + ux. Transpose [ujx] + p * (9x. Jnt. Transpose [(9 jx] , {s, 0, sMax}]

П. 2. Программа применения метода теневого элемента для винтовой пружины на языке пакета Wolfram Mathematica

f 1 [je ] : = If [jc == 0, 1 / 2 , (1- Cos [jí] ) / x " 2] ; * коэффициенты в тензорах связанных с поворотами *)

f2 [ jx ] := If[j£ ==0, 1, Sin [ж] / x] ; :* коэффициенты в тензорах,

связанных с поворотами *)

аЬлг[а_] : = Sqrt[a[[1] ] А2 + а[ [2]] А2 + а[[3] ] А2] ; [лина вектора *)

ET = IdentityMatrix[3] ;

spin[s_] := {{0, -a[[3]], a[[2]]}, {д[[3]] , 0, -а[[1]]}, {-а[[2]] , а[[1]] , 0} };

(* кососимметричный тензор от вектора а *)

diad[ , Л>_] : = ТаЫе [а [ [i] ] * Ь [ [ j ] ] , {1, 1, 3}, { j , 1, 3}]; ::чдное произведение * )

versor [ а ] : = Modale [ {z} , z = a±>v [л] ; ET * Cos [z] + diad [л, л] * fl[z] + spin[д] * f2 [z] ] ;

(* тензор поворота *)

Wh[2>_] : = [b[[ï, 3]] -b[[3, 2]], i[[3, 1]] -i[[l, 3]], b[[l, !]] - i[[2, 1]]}; (* векторный инвариант *)

Sp[jb_] : = Ь[[1, 1] ] + ii[ [2, 2] ] + Ь[ [3, 3] ] ; * след тензора *)

(* выделение матрицы среднего поворота и вектора малого дополнительного поворота *) MidVers[Яд_, ДЬ_] := Module [ {whba, abvtel, tel, Rm} , whba = Wh[Jîb . Transpose [Яд] ] ;

abvtel = 1 / 2 * ArcSin[ 1 / 2 * abv[whba]]; tel = -1 / (4 * f2 [abvtel] ) + whba ; Bm = versor [tel] .ra; {Em, tel}];

n = 38; -количество витков*) 335 * Pi

angle = -; гол подъема винтовой линии*)

У 100 х 180

265

R= в—--10 А3 ; (*радиус цилиндра, описывающего винтовую линию*)

L = 2 * Pi * R * Tan[angle] ; одного элемента*)

coordMax = n* L; тгина пружины*)

г [ oooílÍ ] := {cooi'd, 0, 0} ; (* геометрия пружины в свободном состоянии *) гг [ i ] : = г [coordMax * (i — 1) / n] // N; ( * радиусы-векторы узлов (1,2,..., n+1) *) ez[i ] := (rr[i + 1] - rr [i] ) / abv[rr [i + 1] - rr[i] ] ; (* орты осей z участков исходные*) ex[i ] : = {0,0,1};

ey[i ] := Cross[ez[i] , ex[i]] ; осей x участков исходные*)

radius = L * n / Pi ; (»примерный радиус кривизны изогнутой пружины*) zeta[i_] : = Pi * (i - 1) /п;

(♦угловая координата узла в полярной СК с началом в центре кривизны*) rrnew[í_] : = {radias * Sin [ zeta [ i] ] , 0, radins*( 1 - Cos[zeta[i] ])} ;

(*радиуса-вектор узла в изогнутом положении*)

uunode[i_] :=rrnew[í] -rr[í]; вектор перемещения i-ro узла*) RRnode[ i_ ] : =

Transpose[{{Cos[zeta[i] ] , 0 , Sin[zeta[i] ] } , {0 , 1, 0} , {- Sin[zeta[i]] , 0 , Cos[zeta[i]]]}]

(»тензор поворота i-го узла из ненагруженного состояния в начальное изогнутое*)

(* матрица масс в локальных осях * ) NullVect= ConstantArray[0, {3}]; (* нулевой вектор 3x1 *)

NullMatr= ConstantArray[0, {3, 3}]; (* нулевая матрица 3x3 *)

RR = Table [RRnode [i] , {i , 1, n + 1} ] ;

(* хранилище базовой части поворотов узлов (матриц поворотов) *) tt = Table [NullVect, {i, 1, n+1}];

dtt = Table [NullVect, [i, 1, n + 1}];

ddtt = Table [NullVect, [i, 1, n+1}];

uu = Table [minode [i] , {i, 1, n+1}];

(+ хранилище векторов перемещений узлов *)

tiuu = Table [NullVect, {i, 1, n + 1}];

dduu = Table [NullVect, [i, 1, n+1}];

Rail = Cons tant Array [0, {12, 12}];

(+ подготовка глобальной матрицы среднего поворота одного стержня +) LBall = Cl = С2right = C31eft = ConstantArray[0, {12, 12}] ; {H = DiagonalMatrix [ {1 / 2, 1/2, 1/2, 1, 1, 1, 1/2, 1/2, 1/2, 1, 1, 1}], Do[H[[i, 6 + i]] = H[[G + i, i]] = -1/2, {i, 1, 3}] ,

(+ подготовка неизменной части матрицы [H] +) HT - Transpose[H]};

{ + вычисление упругой энерпии,

упругого вектора и матрицы жесткости стержня с номером к *) Beam [Л_ ] : =

Module [{R0, Km, tel, К2, ua, Ra, tea, ub, Rb, teb, yO, y, U, P, Ktang, Pa, Ma, Pb, Mb, SPa, SMa, SPb, SMb, S}, {ua, Ra, tea} = {uu[ [i] ] , RR[[t]], tt[[Jt]]}; состояние узла "а":

перемещение, большой поворот, малый поворот *) {ub, Rb, teb} = {uu [ [ к + 1] ] , RR[ [к + 1] ] , tt[ [Jt + 1] ] } ;

(* состояние узла " b": перемещение, большой поворот, малый поворот *) RC = {ex[k] , еу[£] , ez[i:] } / / Transpose; (+ матрица ориентации исходного состояния +) {Rm, tel} = MidVers [Ra, Rb] ;

(* разбиение поворотов на средний и дополнительный +) Rail [ [1 ; ; 3, 1 ; ; 3] ] = Rail [ [4 ; ; 6, 4 ; ; 6]] = Rail [ [7 ; ; 9 , 7 ; ; 9] ] = Rail [ [ 10 ; ; 12 , 10 ; ; 12] ] = Rm . R0 ; (+ матрица ориентации теневая *) К2 - Rail.Klocal.Transpose[Rail] ;

у - Join[ua, tea, ub, teb] ; (* вектор состояния стержня *)

yO = Join [ (Rm - ET) . ez [Л] * L / 2 , - tel, - (Rm - ET) . ez [J:] * L / 2 , tel] ;

(+ вспомогательный вектор для записи энерпии *) Р = -НТ.К2. (уО + Н.у); (* вектор узловых упругих сил *) {Ра, Ma, Pb, Mb} = Partition[Р, 3] ;

{SPa, SMa, SPb, SMb} = {spin[Pa] , spin[Ma] , spin[Pb] , spin[Mb] } ; (+ подготовка к вычислению матрицы [S] +) S - ConstantArray[0, {12, 12}] ; (* подготовка к вычислению матрицы [S] +) Do[ S[[i, j + 3]] = S[[i, j + 9]] = SPa[[i, j]];

S[[i + 3, j + 3]] = S[[i + 3, j + 9]] = SMa [ [ i , j]] ; S[[i + 6, j + 3]] = S[ [i + 6, j + 9]] = SPfc[[i, j]] ;

S[[i + 9, j + 3]] = S[[i + 9, j + 9]] = SMb [ [ i , j]] , {i, 1,3}, {j, 1,3}];

(+ заполнение матрицы [S] +)

Ktang = HT.K2.H + 1/4 * (S + Transpose[i]);

(* приближенная тангентная матрица жесткости [Ktang1]+[Ktang2] +) U = 1 / 2 * (y0 + H. y) . K2 . (yO + H. y) ; ( + энергия деформаций * )

{U, P, Ktang} (* процедура возвращает энергию U,

вектор упругих сил Р и тангентную матрицу жесткости Ktang *)

]

(* вычисление кинетической энерпии,

инерционного вектора и гиросконической матрицы стержня с номером к *)

Masslnerc[.fc_] : =

Module [ {tea, teb, Ra, Rbf RO, Rm, tel, dua, dtea, dub, dteb, ddua, ddtea, ddub, ddteb, dyr ddy, M2, La, Ba, Lb, Bb, LBallT, Mtang, T, S, Si, S2, S3, S4, Pinero, Cgiro}, {Ra, tea} = {RR[[i]], tt[[i]]}; l(* состояние узла "а": большой поворот, малый поворот + )

{Rb, teb} = {RR [ [Jt + 1] ] , tt[ [Jt + 1] ] } ;

{* состояние узла "b": большой поворот, малый поворот *) RO = {ех[к] , еу[к] , ez[i:]} // Transpose; (* матрица ориентации исходного состояния + ) {Rm , tel} = MidVers [Ra, Rb] ;

{* разбиение поворотов на средний и дополнительный *) Rail [ [1 ; ; 3, 1 ; ; 3] ] = Rail [ [4 ; ; б, 4 ; ; 6] ] = Ra.RO;

(* матрица ориентации теневая *)

Rail [ [7 ; ; 9, 7 ; ; 9] ] = Rail [ [10 ; ; 12 , 10 ; ; 12] ] = Rb.RO;

{* матрица ориентации теневая *)

М2 = Rail. Ml ocal.Transpose[Rail]; ( + матрица масс теневого состояния + ) {dua, dtea, dub, dteb} = {duu[ [Jt] ] , dtt[ [Jt] ] , duu [ [к + 1] ] , dtt[ [Jt + 1] ] } ; {ddua, ddtea, ddub, ddteb} = {dduu[ [*] ] , ddtt[ [Jc] ] , dduu[ [Jt + 1] ] , ddtt[ [Jt + 1] ] } dy = Join[dua, dtea, dub, dteb];

(* вектор обобщенных скоростей стержня *) ddy - Join[ddua, ddtea, ddub, ddteb] ; {* вектор обобщенных ускорений стержня *)

{La, Ba, Lb, Bb} = {ET + spin [tea] , ET + 1 / 2 * spin [tea] , ET + spin [teb] ,

ET + 1 / 2 * spin[teb]}; LBall [ [1 ; ; 3, 1 ; ; 3] ] = La; LBall [ [ 4 ; ; 6, 4 ; ; 6] ] = Ba; LBall [[7 ;; 9, 7 ;; 9]] = Lb; LBall[[10 ; ; 12 , 10 ; ; 12]] = Bb; LBallT = Transpose[LBall]; Mtang = LBall.M2.LBallT;

T = 1 / 2 * dy. Mtang. dy; (* кинетическая энергия *) S = M2 . LBallT . dy ;

{SI, S2, S3, S4} = Partition[S, 3] ; Pinero -

- Join[Cross[dtea, Si] , Cross[dua, Si] +Cross[dtea, S2] , Cross[dteb, S3] , Cross [dub, S3] + Cross [dteb, S4] ] + LBall. M2 .Join[Cross[dtea, dua] , NullVect, Crossfdteb, dub] , NullVect]; Cl[[l ;; 3, 4 ;; 6]] = Cl[[4 ;; 6, 1 ; ; 3]] = -spin[Sl]; Cl[[4 ; ; 6, 4 ; ; 6]] = -spin[S2] ;

CI[[7 ;; 9, 10 ;; 12]] = CI[[10 ; ; 12, 7 ;; 9]] = -spin[S3]; Cl[[10 ; ; 12 , 10 ; ; 12] ] = -spin[S4] ;

C2right[[1 ; ; 3, 1 ; ; 3]] =C2right[[4 ; ; 6, 4 ; ; 6] ] = spin[dtea]; C2right[[4 ; ; 6, 1 ; ; 3] ] = spin[dua] ;

C2right[[7 ;; 9, 7 ;; 9]] =C2right[[10 ;; 12, 10 ;; 12]] = spin[dteb];

C2right[[10 ;; 12, 7 ;; 9]] = spin[dub];

C31eft[[1 ; ; 3, 1 ; ; 3] ] = spin[dtea];

C31eft[[l ; ; 3, 4 ; ; 6] ] = -spin[dua];

C31eft[[7 ;; 9, 7 ;; 9]] = spin[dteb];

C31eft[[7 ;; 9, 10 ;; 12]] = -spin[dub];

Cgiro = CI + LBall.M2.Transpose[C2right] + Transpose[C31eft] .M2.LBallT;

[T, Pinerc, Mtang, Cgiro} (* процедура возвращает кинетическую энергию Т,

вектор инерционных сил Pinero,

тангентные матрицу масс Mtang и гироскопическую матрицу Cgiro*)|] ;

nG = (n + 1) *6; (* количество степеней свободы ("G4 - глобальный) *)

alfa = 1/5; параметры метода Ньгамарка *)

gamma. = 1 / 2 + alfa;

betta = 1 / 4 * (gamma + 1/2) Л2;

Niter = 8;

h =0.1; (* шаг1 интегрирования метода Ньюмарка *)

fC = gamma/ (betta* h) ; * коэффициенты метода Ньюмарка *)

fM = 1/ (betta*Ьл2); i коэффициенты метода Ньюмарка *)

(* Создание ансамбля конечных элементов и одна Ньютоновская итерация *) Model [Force_] := Module [{yG, PG, KG, Ue, Pe, Ks, il, jl}, PG= ConstantArray[0, {nG}]; (* подготовка *} KG= ConstantAiray[0, {nG, nG}]; * подготовка *)

Do[{Ue[k], Pe[k], Ke[k]} =Beam[k], {k, 1, n}]; (* упругая часть балки: энергия, вектор, матрица *)

Do [il = 1 + 6 * (k - 1) ; jl = j + 6* (k- 1) ; KG[ [il, jl] ] = KG[ [il, jl] ] + Ke [k] [ [ i , j ] ]

{k, 1, n} , {i, 1, 12} , {j, 1, 12}] ; Do [il = i + 6* (k - 1); PG [ [il] ] = PG [ [ il ] ] + Pe[k] [ [i] ] , {k , 1, n} , { i , 1, 12}] ; PG[[nG-3]] = PG[[nG-3]] + .Force; (* учет вертикальной внешней силы *) Do [KG [ [ i , j]] = KG[[j, i]] =0, {i, 1, 6}, {j, 1, nG}]; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*) Do [PG [ [ i] ] = 0; RG[[i, i]] = 1, {i, 1, 6>] ; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*) Do [KG [ [ i , 5]] =KG[[;, i]] =0, {i, nG - Б , nG - 4}, {j, 1, nG}]; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*) Do [PG [ [ i] ] = 0; KG[ [i, i] ] =1, {i, nG - Б , nG - 4}] ; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*) Do [KG [ [ i , j]] - KG [ [ j , i]] =0, {i, nG-2, nG} , {j, 1, nG}]; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*) Do[PG[ [i] ] = 0; KG[ [i, i] ] =1, {i, nG-2, nG}] ; (* учет закрепления первого узла (метод крестика)*)

LinearSolve[KG, PG] ];

(* размещение Ньютоновской поправки в глобальном векторе решения *) PutSolve [yG_] : - Module [ {k, i} ,

Do [ uu[[k]] [[i]] = uu[[k]] [[i]] + yG[[6* (k - 1) + i]] ;

tt[[k]] [[i]] = yG [ [ 6 * (k-1) + 3 + i ] ] , {k, 1, n+ 1} , {i, 1,3}]; Do[RR[[k]] = versor[tt[[k]]] .KR[[k]] ; tt[[k]] = NullVect, {k, 1, n + 1}] ] ;

PutSo1ve[yG_] : = Module[{k, i} ,

Do[ uu[[k]][[!]] = uu[[k]] [[!]]+ yG[[6* (k - 1) + i] ] ;

tt[[k]] [[!]] =yG[[ 6* (k - 1) + 3 + i]] , {k, 1, n + 1} , {1, 1, 3}] ; Do[RR[[k]] = versor[tt[[k]]] ,RR[[k]] ; tt[[k]] = NullVect, {k, 1, n + 1}] ]

P0 = 0; (* внешня сила в зависимости от номера нагружения *) Do [ у Iter = Model [PO] ;

Print["ylter = 11 , Normylter = Norm [ylter] ] ;

{* номер итерации и норма вектора невязки *) PutSolve[ylter] ;

If[Normylter< (1 / 10) A 6 , Break [ ] ] , {20}];

(* 20 Ньютоновских итераций *)

rP[s_] := Join [ {NullVect} , Table [ rr[k] + s * im[ [k] ] , {k, 1, n+1}] ];

(* вычисление деформированного положения *)

Print ["Force = PO, " rEnd = rP [1] [ [ -1] ] ] ;|,

{iForce, 1, 1}]

rOO - {2 * radius + Sin [s / sEnd + n / 2] * Cos [s / sEnd + 7r / 2] - R * Cos [s / R] + Sin[s / sEnd * 7r] R * Sin [ s / R] , 2 * radius * Sin [ s / sEnd * n / 2] * Sin[s / sEnd * tt / 2] + R * Cos [ s / R] * Cos [ s / sEnd * 7r] } ;

s End = * Pi ^ R / Cos angle ; * n;

ConfigOl = Table[uu[[k]] - uunode[k], {k, 1, n+1}];

fuxl = Interpolation [ Table [ {2 * Pi * R / Cos [angle] * (k - 1) , ConfigOl [ [All, 1] ] [ [k] ] } , {k, 1, n+ 1}]] ;

fux2 = Interpolation [ Table [ {2 * Pi * R / Cos [angle] * (k - 1) , ConfigOl [ [All, 2] ] [ [k] ] } , {k, 1, n+ 1}]] ;

fux3 = Interpolation [ Table [ {2 + Pi * R / Cos [angle] * (k - 1) , ConfigOl [ [All, 3] ] [ [k] ] } ,

{k, 1, n + 1}]] ; Config02 = rOO + {fuxl[s] , fux2[s] , fux3[s]};

aOOl = ParametricPlot[ {Config02[[3]] , Config02[[1]]}, {s, 0, sEnd}, PlotStyle -) {Black , Thickness [0 . 005] } , GridLines -»■ Automatic,

PlotRange-î {{-0.02, 0.15}, {0, 0.08}}, LabelstyleDirective [Black , 16, Thick], AxesLabel -> {"xa, m11 , "xi , m"}]; rpOl = Table [ {0, 0} , {i , 1, n + 2} ] ;

Do[rp01[[i]] = rp01[[i]] + {rP[l] [[i, 1]] , rP[l] [[i, 3]] } , {i, 1, n + 2}] ; Graphics [Line [rpOl] , Axes-) True, AxesLabel {xl, x2}]

П. 3. Способ контроля численных расчетов винтовых цилиндрических пружин при больших перемещениях

Использование винтовых цилиндрических пружин в качестве гибких связей, шнеков и инструментов для измельчения и просеивания различных материалов приводит к сложным геометрически нелинейным краевым задачам механики гибких стержней. Решение таких задач в общем случае удается найти только численными методами, которые вносят в получаемые результаты трудно контролируемые погрешности.

В данном разделе предлагается способ оценки указанных погрешностей с помощью закона сохранения, основанного на модификации «кинетической аналогии Кирхгофа».

Разработка средства контроля численного решения нелинейной краевой задачи для цилиндрической пружины, нагруженной не только по краям, но и распределенной нагрузкой. При этом последняя может быть вызвана любыми причинами: взаимодействием пружины с обрабатываемой средой или с внешним потоком, вибрациями, вращением, движением с ускорением и т. п.

В середине XIX века Густав Кирхгоф обратил внимание на то, что задача о движении твердого тела с одной неподвижной точкой и задача о больших перемещениях гибкого стержня приводят к одинаковым системам дифференциальных уравнений. Поскольку уравнения совершенно идентичны (с точностью до обозначений), их решения также должны быть одинаковыми. Эта теорема получила название «кинетической аналогии Кирхгофа» [40] и достаточно часто применяется в аналитических и численных исследованиях [94, 107, 112, 120, 121, 129].

П.3.1. Интеграл Кирхгофа-Лармора

Согласно аналогии Кирхгофа, закон сохранения механической энергии для вращающегося твердого тела может быть преобразован в следующее тождество

из механики гибких стержней:

м2 м2 м2 „

- + Т-Т- + + & = соп^ (П.3.1)

2 Ап 2 ^22 2 А:

33

где М1 — крутящий момент; Ап — жесткость сечения на кручение; М2, М3 — изгибающие моменты; А22, А33 — жесткости сечения на изгиб; Q1 — осевая сила (здесь и далее обозначения и терминология соответствуют или близки к используемым работе [55]).

Сумма первых трех слагаемых в выражении (П.1) является аналогом кинетической энергии вращения твердого тела, слагаемое Q1 — аналогом потенциальной энергии. Формула (П.3.1) справедлива для прямолинейного в исходном состоянии стержня постоянного сечения, который изгибается и закручивается силами и моментами, приложенными по краям стержня. Распределенные нагрузки в соотношении (П.3.1) не предусмотрены.

На стержни, имеющие кривизну и/или кручение в начальном состоянии, к которым относится и цилиндрическая пружина, кинетическая аналогия Кирхгофа была распространена Джозефом Лармором в 1884 г. ([41, с. 417]). Полученный им закон сохранения в обозначениях книги [55] имеет вид

м2 м2 м2

ь ——+ ж10 м + ®2о м2 + ®30 мз + & = сотг (П.3.2)

2 Ап 2 А22 2Азз

где жю, Ж20, Жзо — проекции вектора кривизны недеформированного стержня на главные оси сечения.

Все коэффициенты в этом выражении (П.3.2) должны быть неизменными. Постоянство величин ж10, ж20, ж30 означает, что тождество (П.3.2) применимо для стержня, выполненного:

• прямолинейным (в том числе естественно закрученным);

• с осью, имеющей форму дуги окружности;

• в виде винтовой цилиндрической пружины.

Как указано в работе [40], и в этом случае (жг-0 = const) для гибкого стержня может быть подобран аналог из динамики (система из двух соединенных друг с другом вращающихся твердых тел). При этом сохранять за соотношением (П.3.2) название «аналогия Кирхгофа» не совсем логично, так как последняя становится довольно запутанной и не такой информативной как в случае, описываемом выражением (П.3.1). Фактически соотношение (П.3.2) является интегралом системы дифференциальных уравнений больших перемещений гибкого стержня и имеет самостоятельное значение, поэтому авторы статьи предлагают закрепить за ним название «интеграл Кирхгофа-Лармора».

Нагрузки в виде сил и моментов, соответствующие выражению (П.3.2), должны быть приложены только по краям стержня, как и в случае, определяемом соотношением (П.3.1). Распределенные нагрузки интегралом Кирхгофа-Лармора не предусмотрены.

П.3.2. Модификация интеграла Кирхгофа-Лармора (учет распределенных нагрузок)

По теме расчета больших перемещений винтовых цилиндрических пружин за последние два десятилетия вышло множество работ, но тождество (П.3.2) в них практически не встречается, можно сказать, что его незаслуженно забыли (при этом кинетическая аналогия Кирхгофа в исходной формулировке и тождество (П.3.1) упоминаются не так уж редко).

По мнению авторов, одной из причин недостаточной популярности интеграла Кирхгофа-Лармора в форме (П.3.2) является довольно ограниченный набор возможных нагрузок: силы и моменты могут быть приложены лишь по краям пружины. Учет распределенных нагрузок — аэродинамических от потока жидкости или газа, инерционных, собственного веса, и т.п. — позволил бы резко расширить область применения закона сохранения (П.3.2) почти на все задачи, важные для практики.

Ожидается, что учет распределенных нагрузок не должен существенно изменить общую форму выражения (П.3.2), поэтому для вывода модификации интеграла Кирхгофа-Лармора достаточно продифференцировать левую часть формулы (П.3.2) по осевой координате стержня и скомбинировать полученный результат с уравнениями равновесия и упругости стержня.

Обозначим левую часть выражения (П.3.2) символом Ж:

ттг м2 м7 2 м,2 , , , , , , „ ж = + +ж10 ы+х20 ы+жзо Ы + ^

2 А11 2 ^22 2 А

33

При отсутствии распределенных нагрузок выполняется закон сохранения (П.3.2), т. е. W = const, но если распределенные нагрузки не равны нулю, то величина W не обязана оставаться константой.

Дифференцирование W по дуге стержня проводится элементарно:

dW ds

M

А11

-f x

10

dMj

ds

M

A

V A22

+ x

20

dM

ds

M

A

v Азз

+ X

30

dM dQx

ds ds

где я — осевая координата стержня.

Согласно работе [55], уравнения равновесия сил гибкого стержня в проекциях на главные оси сечения имеют вид:

ds

+ X2Q3 - X3Q2 + q = 0

^J2 + X3Q1 - x1Q3 + q2 = 0, ds

(П.3.3)

dQ3

ds

f X1Q2 - X2Q1 + q3 = 0,

А уравнения равновесия моментов имеют вид:

<

СМ!

СМ2 Съ СМЪ Съ

+ ж2М3 - ж3М2 = 0,

+ ЖМ1 - ®М3 - 03 = 0

+ Ж^2 - ЪМх + 02 = 0.

(П.3.4)

где д2, — распределенные по дуге стержня нагрузки в проекциях на главные оси сечения; 02, 03 — поперечные силы; ж1, ж2, ж3 — проекции вектора кривизны деформированного стержня на главные оси сечения.

Проекции вектора кривизны на главные оси сечения в исходном и деформированном состояниях связаны соотношениями упругости

М1 = А11 (Ж1 - Ж10 ), М2 = А22 (Ж2 - Ж20 ), М3 = А33 (Ж3 - Ж30 ).

(П.3.5)

Из выражений (П.3.5) следует, что слагаемые, сгруппированные скобками в выражении (П.3.2), могут быть заменены на ж1, ж2, ж3:

СЖ СМ СМ СМ СО,

-= Ж,-1 + Ж2-2 + Ж3-3 + ^=±

Съ Съ Съ Съ Съ

Если первое из уравнений (П.3.4) умножить на ж1, второе на ж3 и сложить результаты, то получается тождество

(П.3.6)

на Щ2, третье

СМ СМ СМ^

ж, —1 + ж0 —2 + ж

1 Съ

Съ

3 ж2°3 + ж3°2 = 0,

Съ

из которого следует, что формула (П.3.6) может быть представлена в следующем виде:

СЖ _ п п аох_