Бездифракционные свойства гипергеометрических пучков, формируемых фазовыми дифракционными оптическими элементами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Балалаев, Сергей Анатольевич

• Балалаев, Сергей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балалаев, Сергей Анатольевич

Основные обозначения и сокращения.

Введение.

Глава 1. СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БЕЗДИФРАКЦИОННЫХ СВОЙСТВ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И БЕССЕЛЕВЫХ МОД.

1.1. Расчет гипергеометрических мод.

1.1.1. Гипергеометрические моды.

1.1.2. Алгоритм расчета ГТ мод.

1.1.3. Оптимизация алгоритма расчета ГТ мод.

1.1.4. Моделирование распространения ограниченных апертурой гипергеометрических мод.

1.2. Сравнение свойств Гипергеометрических мод и мод Бесселя.

1.2.1. Решение уравнения Шредингера в различных системах координат, моды Бесселя.

1.2.2. Численное моделирование ГГ мод и мод Бесселя с ограниченной и бесконечной апертурой.

Выводы к главе 1.

Глава 2. НЕПАРАКСИАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ' ГГ-ПУЧКОВ

2.1. Реализация быстрого алгоритма преобразования Кирхгофа для моделирования непараксиального распространения бесселевых пучков.

2.1.1. Интеграл Кирхгофа.

2.1.2. Реализация алгоритма.

2.1.3. Верификация разработанного алгоритма на примере Бесселевых мод

2.1.4. Сравнение с аналитическим решением непараксиального бесселевого пучка.

2.2. Гипергеометрические пучки в ближней зоне дифракции в рамках скалярной модели.

2.2.1. Обобщенные гипергеометрические моды.

2.2.2. Численные эксперименты.

2.2.3. Анализ результатов.

Выводы к главе 2.

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ МЕТОДАМИ ДИФРАКЦИОННОЙ ОПТИКИ.

3.1. Обобщенные гипергеометрические пучки и их свойства.

3.1.1. Аналитическое решение в виде обобщенных гипергеометрических мод.

3.1.2. Исследование сохранения модовых свойств ГГ-пучков, формируемых с помощью ДОЭ.

3.1.3. Определение зависимости сохранения модовых свойств от расстояния распространения гипергеометрического пучка.

3.1.4. Сравнение дифракционных свойств ограниченных ГТ-мод и ОГГ-пучков.

3.2. Сравнительный анализ распределений интенсивности, формируемых дифракционным аксиконом, и дифракционным логарифмическим аксиконом.

3.2.1. Дифракционный аксикон.

3.2.2. Дифракционный логарифмический аксикон.

3.2.3. Сравнение двух типов дифракционных аксиконов.

Выводы к главе 3.

Глава 4. ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ ГГ-ПУЧКОВ И

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ.

4.1. Дифракционные оптические элементы, формирющие ГТ модьь и обобщенные ГТ-пучки.

4.1.1. Формирование ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ.

4.1.2. Анализ различных типов фазовых ДОЭ,- предназначенных для формированияГГ-пучков.

4.1.3. Экспериментальное формирование ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ.

4.1.4. Анализ экспериментальных результатов.

4.2. Кодированные ДОЭ для формирования ГГ-мод.

4.2.1. Метод частичного кодирования.

4.2.2. Расчет ДОЭ для формирования ГГ-пучков.

4.2.3. Экспериментальное формирование ГГ-пучков с помощью кодированного бинарного фазового ДОЭ.

4.3. Сравнение ГГ-мод, сформированных с помощью ДОЭ с кодированием фазы и ДОЭ, полученого методом частичного кодирования

Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бездифракционные свойства гипергеометрических пучков, формируемых фазовыми дифракционными оптическими элементами»

Диссертационная работа посвящена изучению бездифракционных свойств гипергеометрических пучков, являющихся новым классом решений параксиального волнового уравнения в цилиндрической системе координат, а так же сравнению различных типов дифракционных оптических элементов, с помощью которых можно формировать данные пучки.

Актуальность исследования: Уравнение Гельмгольца, описывающее распространение непараксиального' монохроматического светового пучка в однородном пространстве, допускает решения с разделяющимися, переменными в 11 различных системах координат [1]. Это означает, что существуют световые поля;,распространяющиеся вдоль оптической оси без изменения своей структуры. в< поперечной плоскости. Примером являются хорошо известные моды Бесселя [2]. Параксиальный аналог уравнения Еельмгольца — это параболическое уравнение типа Шредингера, которое: описывает распространение параксиальных световых прлей. Это уравнение допускает решения с разделяющимися переменными в 17 системах координат [1].

В: последнее время резко увеличилось количество-работ, в-которых решения- с разделяющимися, переменными для уравнения; Гельмгольца и Шредингера используются, в оптике [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10] , [11]. Новые непараксиальные световые; пучки, сохраняющие свою структуру при распространении, рассматривались в [3], [4], [5]. Это параболические пучки [3], волны Гельмгольца-Гаусса [4] и Лапласа-Гаусса [5].

Существует еще одно семейство лазерных мод, являющееся решением с разделенными переменными параксиального волнового уравнения в цилиндрической : системе координат. Эти решения описывают семейство световых полей; которые сохраняют свою структуру, изменяясь только масштабно. Так как функции-, описывающие эти моды,; содержат вырожденную гипергеометрическую функцию, то их называют гипергеометрическими; (ГГ) модами; Они были рассмотрены впервые В.В. Котляром с соавторами [12],[13],[14]. Свойства нового типа мод интенсивно рассматривались как той же группой авторов [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21], так и другими учеными [22],[23],[24]. Ранее были исследованы такие решения параксиального волнового уравнения [6], [7]', [9], [10]: в декартовой системе координат - моды Эрмита-Гаусса [25], в цилиндрической системе координат - моды Лагерра-Гаусса [1] и моды Бесселя [2], а также в эллиптической системе координат - моды Айнса-Гаусса [6], элегантные пучки Айнса-Гаусса [7], названные так, поскольку их решение получается в виде произведения гауссовой функции на многочлены Айн-са [6],[7],[8],[26],[27]. Известны также моды Эрмита-Лагерра-Гаусса [9], которые в зависимости от некоторого параметра могут переходить в моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса [25], а так же чистые оптические вихри [10]. Некоторые из этих пучков были получены в лазерных резонаторах [8], [9], а так же с помощью дифракционных оптических элементов [10]> и жидкокристаллических дисплеев [11].

ГГ моды отличаются от известных параксиальных мод тем, что их основной радиус увеличивается как 2 Следовательно, они обладают наименьшей расходимостью, среди всех известных параксиальных мод, в том числе расходятся меньше, чем параксиальный бесселевый пучок, формируемый с помощью линзы и узкой кольцевой диафрагмы в непрозрачном экране И

Параксиальные ГГ моды как и параксиальные моды Бесселя обладают бесконечной поперечной протяженностью и энергией. На практике из-за поперечного ограничения их можно сформировать только приближенно и на конечном отрезке вдоль оптической оси, с помощью спиральной фазовой пластины [28],[29],[30], освещенной плоской волной. Похожее по структуре, но более компактное, чем у бесселевых мод, распределение энергии (за счет уменьшающегося периода колец) позволяет ГГ модам дольше сопротивляться дифракционным искажениям, связанным с необходимостью обрезать моду до некоторого радиуса.

У любой ГГ моды при пФ0 (целочисленный параметр моды) всегда (кроме начальной плоскости) в центре (на оптической оси) имеется нуль интенсивности, характерный для оптических вихрей. [31].- Кроме этого ГГ моды, в начальной плоскости (г=0) при /=0 имеют гиперболическую особенность амплитуды 1/г и фазовую неустойчивость 1о§(г/-ц>). Поэтому физическая реализация ГТ мод имеет дополнительные сложности: необходимо вырезать или аппроксимировать неоднозначную центральную область совместно с.ограничением апертурой. Также резкий спад амплитудной функции при; росте радиуса затрудняет применение методов кодирования амплитудной информации в фазовую - периферийная часть прописывается очень плохо даже при болыном числе уровней квантования.

Вместо ограничения кольцевой апертурой при получении ГГ пучков прибегают к добавлению Гауссовой составляющей. Обобщение ГГ мод с добавлением гауссовой составляющей рассмотрено в работах [22],[32]. Таким-образом вводится; понятие ГГ пучков [32], энергия которых ограничена, но сами пучки теряют модовые свойства,, сохраняя винтовую фазовую сингулярность.

Пучки с винтовой: фазовой сингулярностью часто используют для передачи орбитального углового момента микрочастицам, при? оптическом* манипулировании [33],[34],[35],[36]. При этом, как правило, используются>классические моды Гаусса-Лагерра, Бесселевы моды- и чистые оптические, вихри: Трехпараметрическое семейство ГГ пучков [32] в отличие от указанных мод имеет больше параметров, позволяющих варьировать распределение интенсивности пучка в соответствии с нуждами микроманипулирования [37].

В-работах зарубежных авторов [22], [23], [24] так же проводились г исследования формирования различных пучков в основе которых лежали ГГ моды [14]. Исследования- ГГ мод с гауссовой составляющей (ГГГ) в [22] ограничивалось кратким рассмотрением их некоторых подсемейств^ таких: как модифицированные моды Бесселя-Гаусса,, модифицированные экспоненци-• альные Гаусовые моды и модифицированные моды; Лагера- Гаусса, а так же исследованиям ГГГ, полученных в ходе экспериментов. 111 пучки в отличие отГГ пучков, введенных в [14] являются ограниченными энергетически, еледовательно могут быть сформированы физически, что и было проделано авторами [22], с помощью пространственного светового модулятора на жидких кристалах.

В [23] представлено широкое обобщение классов решения параксиального волнового уравнения в круговых цилиндрических координатах, называемое «круговыми пучками», которое соответствует трехпараметрическим модам, содержащим функции Уиттекера [38] или гипергеометрические функции [39]. В [23] подробно изучено распространение таких пучков в свободном пространстве и через оптические системы на основе АВСО-метода с помощью параксиального дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля- в цилиндрической системе координат [25]. «Круговые пучки» сводятся к таким решениям, как стандартные элегантные и обобщенные моды Лагера-Гаусса (ЛГ), моды Бесселя-Гаусса (БГ), ГГ и ГГГ моды, квадратичные БГ, оптические чистые вихри и элегантные ЛГ с вещественным порядком.

В" [24] показано, еще одно решение параксиального волнового уравне ния в виде ГГГ мод второго типа,(ГГТ-2). В отличие от ГГ и ГГГ мод такое решение не имеет никаких особенностей для плоскости формирования (г=0), в остальном они подобны ГГГ модам. Это семейство пучков может быть так же выделено в качестве предельного случая «Круговых пучков», описанных в [23]. В [24] изучены свойства ГГГ-2 мод в фокусе высокоапертурной линзы с помощью векторного дебаевского дифракционного интеграла [40]. Показана возможность субволновой локализации после соответствующей фокусировки (формирование «световой иглы»), которая, по мнению авторов, может быть полезна в качестве приложения в оптике ближнего поля.

Данные работы [22], [23], [24] демонстрируют преимущества ГГГ мод перед остальными параксиальными модами с гауссовой составляющей, однако отсутствует очень важное сравнение дифракционных свойств-ГГГ с ГГ пучками; так как введение гауссовой составляющей может приводить к сильной; расходимости'пучка при распространении и к значительному влиянию дифракции на структуру пучка. В [15] сказано, что у ГГГ пучков наблюдается неограниченное увеличение пространственной частоты картины дифракции в отличие от ГТ пучков, однако изучение этого вопроса ограничивалось теорией.

Амплитудная и фазовая особенности распределения ГТ-мод в центре начальной плоскости (в центре перетяжки) с одной стороны затрудняют физическую реализацию этих мод, а с другой являются причиной неограниченного роста пространственной частоты [15]. Данный факт позволяет рассматривать ГГ-моды в качестве аналога так называемых суперосциллирующих функций [41], [42], используемых для сверхразрешения [43].

Исследования преобразования особенностей ГГ-мод при их распространении в ближней зоне (несколько длин волн) были бы полезны в решении задачи субволновой локализации светового излучения.

В работе [21] были аналитически рассмотрены непараксиальные гипергеометрические пучки, однако оценки размера центрального светового пятна сделаны только для случая отсутствия логарифмической фазовой сингулярности. Использование же амплитудной сингулярности энергетически неэффективно.

С помощью аксиконов [44] формируются бесселевые пучки, представляющие собой длинные тонкие световые фокальные линии, расположенные вдоль оптической оси. Узкий длинный фокус бесселевых пучков весьма полезен в таких приложениях как юстировка, выравнивание и тестирование протяженных объектов, захват и манипулирование микрочастицами, в метрологии и томографии.

Для улучшения характеристик таких пучков - равномерности интенсивности, размера светового пятна или протяженности - используются как аналитические [45], [46], так и численные [47] методы расчета фазы оптических элементов: В последнем случае, как правило, реализовать рассчитанный оптический рельеф можно только методами литографии, т.е. речь идет о дифракционных оптических элементах (ДОЭ) [48], [28], или с помощью жидкокристаллического пространственного модулятора света [49].

С помощью логарифмического аксикона можно воспроизводить ГТ пучки, бездифракционные свойства которых должны быть лучше Бесселевых, но этот вопрос не исследован.

ГГ моды как и Бесселевы моды находят применение в задачах оптических микроманипуляторов [35] (для перемещения и вращения микробиологических препаратов, для сборки микромеханических систем), а также в системах передачи момента движения микромеханическим системам [18] [37]. С помощью жидкокристаллического микродисплея были сформированы гипергеометрические моды, предназначенные для задачи вращения микрообъектов [50].

Цель работы: •

Исследование различных методов синтеза ДОЭ, формирующих ГГ пучки с наилучшими бездифракционными свойствами и высокой дифракционной эффективностью.

Задачи диссертации:

1. Изучение влияния ограничения кольцевой диафрагмой бесконечных ГГ мод на их модовые свойства.

2. Численное сравнение бездифракционных свойств ГГ и бесселевых пучков" сформированных с помощью ДОЭ различного типа.

3. Исследование бездифракционных свойств ГГ пучков в ближней зоне дифракции.

4. Разработка и реализация методологии оценки качества изготовленных фазовых' ДОЭ, формирующих гипергеометрические пучки на основе моделирования действия оцифрованного микрорельефа и сравнения экспериментально полученных результатов с численными.

5. Поиск наилучшего решения в изготовлении фазового ДОЭ, формирующего ГГ пучок с наилучшей, дифракционной эффективностью и минимальным расхождением от аналитической моды.

Научная новизна работы:

1. На основе параксиального численного моделирования определены зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей бесконечные ГГ моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой ГТ моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства на расстоянии в 2-3-раза большем, чем моды Бесселя, так же ограниченные диафрагмой.

3. При помощи непараксиального оператора-распространения показано, что нормированные распределения интенсивности ГГ пучков, сформированные с-помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды отличаются менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих ГТ пучкщ по( оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности: Показано преимущество бинарных фазовых ДОЭ, формирующих ГГ пучки над-многоуровневыми, по устойчивости к погрешностям изготовления.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных ГГ мод с погрешностью менее 13%.

На защиту выносятся:

1. Эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей ГГ моды при-их физической реализации от расстояния распространения, на котором отклонение формируемого распределения интенсивности от аналитического решения минимально.

2. Результаты сравнения дифракционных свойств бесселевых и ГГ пучков, ограниченных кольцевой диафрагмой, демонстрирующие преимущество последних в сохранении бездифракционных свойств на больших (в 2-3 раза) расстояниях, чем первые при распространении в свободном пространстве.

3. Результаты непараксиального моделирования фазового ДОЭ, формирующего ГГ пучок в ближней зоне дифракции.

4. Методология оценки качества изготовленных ДОЭ с использованием оцифрованного микрорельефа и экспериментально полученных распределений интенсивности ГГ пучков, с помощью которой показана конкурентоспособность бинарных ДОЭ по сравнению с многоуровневыми в устойчивости к погрешностям изготовления.

5. Анализ экспериментальных результатов по точности и эффективности формирования ГГ мод, полученных с помощью фазовых ДОЭ 4-х типов: многоуровневый, бинарный с кодированием амплитуды и фазы, бинарный с кодированием только фазы и бинарный, полученный* методом частичного кодирования.

Практическая ценность работы:

1. Обладая большей протяженностью фокальной линии (в 2-3 раза большей, чем у бесселевых и гауссовых пучков) ГГ пучки могут использоваться в задачах юстировки.

2. Метод оценки качества микрорельефа изготовленного ДОЭ вместе с методом'численной оценки экспериментальных результатов могут быть использованы для анализа качества изготовления ДОЭ, формирующие другие типы пучков.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были изложены в докладах, представленных на 3-ем международном форуме «Голография ЭКСПО-2006» (Москва, сентябрь 2006), на 8-ой международI ной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2007» (Санкт-Петербург, июнь 2007), на 5-ой международной конференции молодых ученых и специалистов «0птика-2007» (Санкт-Петербург, октябрь 2007), на 6-ой летней школе молодых ученых по дифракционной оптике и обработке изображений (Самара, июнь 2008), на 5-ой международной конференции С^отйшпайс^ООЗ (Санкт-Петербург, сентябрь 2008).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ. Из них 9 - статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, 2 статьи в зарубежных журналах, 5 тезисов докладов конференций и одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и,объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения,- списка цитируемой литературы (100 наименований), одного приложения, изложенных на 155 страницах, содержит 91 рисункок и 8 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Балалаев, Сергей Анатольевич

Выводы к главе 4

В данной главе проведено исследование формирования ГГ пучков с использованием различных типов ДОЭ. Показано, что бинарные элементы, при потере эффективности (которая, однако компенсируется, если имеется целесообразность формирования дополнительного сопряженного пучка) обеспечивают точность формирования пучков, сравнимую с многоуровневыми элементами. В связи со сложностью изготовления многоуровневых элементов это делает их конкурентоспособными для определенного круга задач.

Также показано, что кодирование с учетом амплитуды при использовании несущей пространственной частоты в суперпозиции комплексно-сопряженных функций, является избыточным. В этом случае улучшение точности очень незначительно по сравнению с дополнительной потерей эффективности.

Рассмотренная аподизация амплитудной информации гауссовым освещающим пучком дает преимущества перед плоским пучком только до некоторого расстояния, на более дальних расстояниях использование плоского пучка позволяет лучше сохранить структуру.

Сравнение экспериментальных результатов с численными показало существенное среднеквадратичное отклонение интенсивности формируемых пучков от идеальных, однако, хорошо выраженная кольцевая структура при этом сохраняется, и основной вклад в погрешность вносят затухающие периферийные кольца.

С помощью метода частичного кодирования был рассчитан бинарный ДОЭ диаметром 4.5 мм (1500x1500 отсчетов), который был изготовлен по технологии прямой записи электронным лучом на резисте (с шагом 3 |Л.т) и использован для формирования двух лазерных пучков, близких к ГГ-модам с номерами у=-Ъ, п=3 и у= 3, п= -3. Дифракционная эффективность ДОЭ при формировании этих пучков около 10%, а среднеквадратичное отклонение от идеальной моды около 13%.

При моделировании распространения ГГ-мод с помощью бинарного фазового ДОЭ, полученного методом частичного кодирования показано, что повышение точности (в 3-5 раз) по сравнению с ДОЭ, полученного при кодировании фазы было достигнуто за счет понижения дифракционной эффективности (в 10 раз).

Заключение по работе

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получены эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей ГГ моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой ГГ моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства (неизменность поперечного распределения интенсивности) на расстоянии в 2-3 раза большем, чем моды Бесселя, также ограниченные диафрагмой.

3. На основе непараксиального численного моделирования показано, что различие между ГГ пучками, сформированными с помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды, различаются по интенсивности, нормированной на максимальное значение, менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих ГГ пучки, по оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных ГГ мод с погрешностью менее 13%.

6. При моделировании распространения ГТ-мод с помощью бинарного фазового ДОЭ, полученного методом частичного кодирования показано, что повышение точности (в 3-5 раз), по. сравнению с ДОЭ, полученного при кодировании только, фазы было достигнуто за счет понижения дифракционной эффективности (в 10 раз).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балалаев, Сергей Анатольевич, 2010 год

1. Miller, W.Jr. Symmetry and Separation of Variables. With a foreword by Richard Askey Text. / Miller W.Jr. - Addison-Wesley Pub., MA, 1977.

2. Durnin, J. Diffraction-free beams Text. / Durnin J., Miceli J.J., Eberly J.H. // Phys. Rev. Lett. 58. 1987. - V. 58. - P. 1499-1501.

3. Bandres, M.A. Parabolic nondiffracting optical wave fields Text. /

4. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega, S. Chavez-Cedra // Opt. Lett. 2004. -V. 29, N. 1.-P. 44-46.

5. Gutierrez-Vega, J.C. Helmholtz-Gauss waves Text. /J.C. Gutierrez-Vega, M.A. Bandres // J. Opt. Soc. Am A. 2005. - V. 22, N. 2. - P. 289-298.

6. Bandres, M.A. Vector Helmholtz-Gauss and vector Laplace-Gauss beams Text. / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega, S. Chavez-Cedra // Opt. Lett:. -2005.-V. 30,N. 16.-P. 2155-2157.

7. Bandres, M.A. Ince-Gaussian beams Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 2. - P. 144-146.

8. Bandres, M.A. Elegant Ince-Gaussian beams Text. / Bandres M.A. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 15. - P. 1724-1726.

9. Schwarz, U.T. Observatiob of Ince-Gaussian modes in stable resonators Text. / Schwarz U.T., Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 16.-P. 1870-1872.

10. Abramochkin, E.G. Generalized Gaussian beamsText. / Abramochkin E.G., Volostnikov V.G. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. - V. 6. - P. 51575161.

11. Bentley, J.B. Generation of helical Ince-Gaussian beams with a liquid-crystal display Text. / J.B. Bentley, J.A. Devis, M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega

12. Opt. Lett. 2006. - V. 31, N. 5. - P. 649-651.

13. Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes Text. / Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Khonina S.N., and Soifer V.A. // Opt. Lett. 2007. - V. 32 - P. 742-744.

14. Котляр, В.В. Непараксиальные гипергеометрические моды Текст. / Кот-ляр В.В., Ковалев А.А. // Компьютерная оптика. 2008. - Т. 32, № 3.1. С. 222-225.

15. Ebrahim Karimi Hypergeometric-Gaussian modes Text. / Ebrahim Karimi, Gianluigi Zito, Bruno Piccirillo, Lorenzo Marrucci, and Enrico Santamato // Optics Letters. 2007. - V. 32, N. 21. - P. 3053- 3055.

16. Miguel A. Circular beams Text. / Miguel A. Bandres and Julio C. Gutiérrez-Vega // Optics Letters. 2008. - V .33, N. 2. - P. 177-179.

17. Ebrahim Karimi Improved focusing with Hypergeometric-Gaussian type-II optical modes Text. / Ebrahim Karimi, Bruno Piccirillo, Lorenzo Marrucci, and Enrico Santamato // Opt. Express. 2008. - V .16, N .25. - P. 2106921075.

18. Siegman, A. E. Lasers Text. / A. E. Siegman University Science, Mill Valley, Calif, 1986.

19. Bandres, M.A. Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // J. Opt. Soc. Am. A. -2004. V. 21, N. 5. - P. 873-880.

20. Bandres, M.A. Higher-order complex source for elegant Laguerre-Gaussian waves Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 19.-P. 2213-2215.

21. Khonina, S.N. The phase rotor filter Text. / Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkaryev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. // J. Mod. Opt. 1992. -V. 39,N. 5.-P. 1147-1154.

22. Beijersbergen, M.W. Helical-wave front laser beams produced with a spiral phase plate Text. / Beijersbergen M. W., Coerwinkel R.P.C., Kristiensen M., Woerdman LP. // Opt. Commun. 1994. - V. 112. - P. 321-327.

23. Soskin, M.S. Topological charge and anguliar momentum of light beams carrying optical vortices Text. / Soskin M.S., Gorshkov U.N., Vasnetsov M.V. // Phys. Rev. A. 1997. - V.56, N.5. - P. 4064-4075.

24. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric. laser beams Text. / Kotlyar V.V. and Kovalev A.A. // J. Opt. Soc. Am. 2008. - V. 25, N. 1. - P. 262-270.

25. He, H. Optical particle trapping with higher order doughnut beams produced using high efficiency computer generated phase holograms Text. / He H., Heckenberg N: R., Rubinsztein-Dunlop H: // J. Mod: Opt:. 1995. - V. 42, N. 1. - P. 217-223. t : .

26. Gahagan, К. T. Optical vortex trapping of particles Text. / Gahagan К. Т., Swartzlander G. A. // Opt. Letters. 1996. - V. 21, N. 11.-P. 827-829:

27. Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function." From Math World—A Wolfram Web Resource Internet-Link.http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html.

28. Richards, B. Electromagnetic diffraction in optical systems II. Structure of the image field in an aplanatic system Text. / B. Richards, and E. Wolf //

29. Proc. R. Soc. London. 1959. - V. 253. - P. 358-379.

30. Berry, M.V. Evolution of quantum superoscillations and optical superresolution without evanescent waves Text. / M.V. Berry and S. Popescu //

31. J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V. 39. - P. 6965-6977.

32. Ferreira, P. J. S. G. Superoscillations: faster than the Nyquist rate Text. / P.J.S.G. Ferreira, and A. Kempf// IEEE transactions on signal processing. -2006. V. 54, N. 10. - P. 3732-3740.

33. Huang, F.M. Super-Resolution without Evanescent Waves Text. / Fu Min Huang and Nikolay I.Zheludev // Nano Lett. 2009. - V. 9, N. 3. - P. 12491254.

34. McLeod, J.H. The axicon: a new type of optical element Text. / McLeod J.H. // J. Opt. Soc. Am. 1954. - V. 44. - P. 592-597.

35. Sochacki, Jacek Annular-aperture logarithmic axicon Text. / Jacek Sochacki, Zbigniew Jaroszewicz, Leszek Rafal Staroiski, Andrzej Kolodziejczyk //

36. J. Opt. Soc. Am. 1993. - V. 10, N. 8. - P. 1765-1768.

37. Mikula, G. Imaging with extended focal depth by means of lenses with radial and angular modulation Text. / G. Mikula, Z. Jaroszewicz, A. Kolodziejczyk, K. Petelczyc, and M. Sypek // Opt. Express. 2007. - V. 15, N. 15.1. P. 9184-9193.

38. Котляр, B.B. Дифракционный расчет фокусаторов в продольный отрезок Текст. / Котляр В.В., Сойфер В.А., Хонина С.Н. // Письма в ЖТФ. -1991.-Т. 17, №24.-С. 63-66.

39. Turunen, J. Holographic generation of diffraction-free beams Text. / J. Tu-runen, A. Vasara, and A. T. Friberg // J. Appl. Opt. 1988. - V. 27, N. 19. -P. 3959-3962.

40. Chattrapiban, N. Generation of nondiffracting Bessel beams by use of a spatial light modulator Text. / Narupon Chattrapiban, Elizabeth A. Rogers, David Cofield, Wendell T. Hill, III, Rajarshi Roy // Opt. Lett. 2003.

41. V. 28,N. 22.-P. 2183-2185.

42. Abramovitz, M! Handbook of mathematical function Text. / M. Abramovitz, I.A. Stegun NBS, Appl. Math. Ser. 55, 1964. - 1046 P.

43. Hart, J.F., et al., Computer Approximations Text. / Hart, J.F., et al. Krieger Publishing Co., Inc. Melbourne, FL, USA, 1978. - 352 P.

44. Luke, Y.L. Mathematical Functions and Their Approximations Text. / Luke Y.L. New York: Academic Press, 1975. - 584 P.

45. Hastings, C., Approximations for Digital Computers, assisted by J. T. Haward and J. P. Wong Text. / C. Hastings, J. T. Haward and J. P. Wong Princeton: Princeton University Press, 1955. - 8+201 P.

46. Вырожденная гипергеометрическая функция Интернет ссылка. -http://dic.academic.rU/dic.nsf/encmathematics/919/ ВЫРОЖДЕННАЯ

47. Сойфер; В.А. Дифракционная Компьютерная Оптика. Под редакцией

48. B.А. Сойфера Текст. / Д.Л. Головашкин, JI.JT. Досколович,

49. Н.Л. Казанский, В.В. Котляр, B.C. Павельев, Р.В. Скиданов, В.А. Софер,

50. C.Н. Хонина. М.: «Физматлит», 2006. - 736 С.

51. Виноградова, М.Б. Теория волн Текст. / М.Б. Виноградова О.В. Руден-ко, А. П. Сухоруков М.: Наука, 1979. - 383 С.,

52. MacDonald, М.Р. Creation and manipulation of three-dimensional* optically trapped structures Text. / M.P. MacDonald, L. Paterson, K. Volke-Sepulveda, J; Arlt, W. Sibbett, K. Dholakia // Science. 2002. - V. 296;1. N. 5570 P. 1101-1103:

53. Garces-Chavez, V. Simultaneous micromanipulation in:multiple planes using a self-reconstructing light beam Text. / V. iGarces-Chavez, D. McGloin,

54. H. Melville, W. Sibbett, K. Dholakia // Nature: 2002. V.419.- P. 145-147.

55. Khonina^ S: N: Rotating microobjects using a DOE-generatedilaser. Besselbeam Text. / S. N. Khonina, R.V. Skidanov, V. V. Kotlyar, V, A. Soifer// Proceedings of SPIH. 2004. - V.5456. - P. 244-255.

56. Schneider, J. B. FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation

57. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) Текст. / Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1975. -630с.

58. Полуширина (англ. FWHM) Internet-Link.http://ru.wikipedia.org/wiki/Пoлнaяшиpинaнaпoлoвинe высоты.

59. Totzeck, М. Validity of the scalar Kirchhoff and Rayleigh-Sommerfeld diffraction theories in the near field of small phase objects Text. / M. Totzeck // J. Opt. Soc; Am. A. 1991. - V. 8, N. 1. - P. 27-32.

60. Tsoy, V.I. The use of Kirchhoff approach for the calculation of the near field amplitudes of electromagnetic field Text. / V.I. Tsoy, L.A. Melnikov // Optics Communications.-2005. V, 256, N. 1-3. - P. 1-9.

61. Сивухин, Д.В. Общий курс физики (том 4). Оптика Текст. / Сиву-хин Д.В. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1980. - 768 С.

62. Хонина, С.Н. Фраксикон дифракционный оптический элемент с переменным радиусом фокального пятна Текст./Хонина С.Н:, Волотов-ский С.Г. // Компьютерная»оптика. - 2009. - Т. 33; № 4. - С. 23-28.

63. Ковалев, А.А. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида и их известные частные случаи Текст. / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. 2007: - Т. 31;, № 4. - С. 29-32.

64. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям Текст. / Под ред. М. Абрамовича, И. Стигана М.: Наука, 1979. - 830 С.

65. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices Text. / D. Rozas, C.T. Law, and G.A.,Swartzlander, Jr //.J. Opt. Soc. Am. B. 1997. - V. 14,1. N. 11.- P. 3054-3065. ■

66. Hennan, R. M. Production and uses of diffractionless beams Text. /

67. R.M. Herman and T.A. Wiggins // J. Opt. Soc. Am. A.-1991.-V. 8, N; 6.-P. 932-942. \ \ •

68. Davidson, N. Holographic axilens: high resolution and long focal depth Text. /N. Davidson, A. A. Friesem, and E. Hasman // Opt. Lett. 1991. - V. 16, N. 7.-P. 523-525.

69. Jie Lin Design of microlenses with long focal depth based on the general focal length function Text. / Jie Lin, Jianlong Liu, Jiasheng Ye, and Shutian Liu // J. Opt. Soc. Am. A. 2007. - V. 24, N. 6. - P. 1747-1751.

70. Burvall, A. Axicon imaging by scalar diffraction theory Text. / A. Burvall // PhD thesis / Stockholm, 2004. P.3-78.

71. Parigger, C. Spherical aberration effects in lens-axicon doublets: theoretical study Text. / Christian Parigger, Y. Tang, D. H. Plemmons, and

72. J.W.L. Lewis // Appl. Opt. 1997. - V. 36, N. 31. - P. 8214-8221.

73. Kotlyar, V.V. Generating hypergeometric laser beams with a diffractive optical element Text. / Kotlyar V.V., Kovalev A.A., Skidanov R.V., Khonina S.N., and Turunen J. // Appl. Opt. 2008. - V. 47, N. 32. - P. 61246133.

74. Indebetouw, G. Nondiffracting optical fields: some remarks on their analysis and synthesis Text. / G. Indebetouw // J. Opt. Soc. Am. A. 1989. - V. 6, N. l.-P. 150-152.

75. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory Text. / Durnin J. // J. Opt. Soc. Am. A. 1987. - P. 4, N. 4. - P. 651- 654.

76. Lesem, L.B. The kinoform: a new wavefront recon-struction device Text. / Lesern L.B., Hirsh P.M., Jordan J.A. // IBM J. Res. Develop. 1969. - Y.13, N. 3. - P.150-155.

77. Kotlyar, V.V. Fractional encoding method for spatial filters computation Text. / Kotlyar V.V., Khonina S.N., Melekhin A.S., Soifer V.A. // Asian Journal of Physics. 1999. - V. 8, N. 3. - P. 273-286.

78. Khonina, S.N. Phase diffractive filter to analyze an output step-index fiber beam Text. / Khonina S.N., Skidanov R.V., Kotlyar V.V., Jefimovs K., Turunen J.' // Optical Memory and Neural Networks (Allerton Press). 2003. -V. 12, N. 4.-P. 317-324.

79. Soifer, V.A. Iterative methods for diffractive optical elements computtion Text. / Soifer V.A., Kotlyar V.V., Doskolovich L.L. London: Taylor & Francis, 1997.-244 P.

80. Kirk, J.P. Phase-only complex-valued spatial filters Text. / Kirk J.P., Jones A.L.//J.OptSoc.Am. 1971.- V. 61, N. 8.-P. 1023-1028.

81. Haskell, R.F. New coding technique for computer-generated holograms Text. / Haskell R.F., Culver B.C. // Appl. Opt. 1972. - V. 11, N. 11. -P. 2712-2714.

82. Chu, D:C. Recent approach to computer-generated holograms Text. / Chu D.C., Fienup J.R.// Opt. Eng.- 1974.- V. 13, N. 3.-P. 189-195.

83. Zhon, M. Design of diffractive optical elements based on several simple formulas Text. / Zhon M., Lin D., Cui Z., Prenett D.P., Guo L., Guo Y. // Opt. Eng. 1998. -V. 37, N. 5. - P. 1488-1493.

84. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes Text. / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman // Phys. Rev. A. 1992. - V. 45, N. 11. -P. 8185-8189.

85. Khonina, S.N. Generating a couple of rotating nondiffarcting beams using a binary-phase DOE Text. / Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Lauta-nen J., Honkanen M., Turunen J. // Optik. 1999. - V. 110, N. 3. - P. 137144.

86. Lopez-Mariscal, C. The generation of nondiffracting beams using inexpensive computergenerated holograms Text. / Lopez-Mariscal C. and Gutierrez-Vega J. C. // Am. Jl'Phys. 2007. - V. 75; N. 1. - P. 36-42.

87. Комплекс автоматизированного аналогового моделирования (СААМ) Интернет-ссылка. http://byterix.net/developments.html.

88. Черных, И.В. 81ти1тк: Инструмент моделирования динамических систем Интернет-ссылка. http://matlab.exponenta.ru/simulink/bookl/15.php.

89. Комплекс автоматизированного аналогового моделирования Интернет-ссылка. http://byterix.net/download.html.

90. СААМ Документация Интернет-ссылка. -http://byterix.net/caam/Russian/.