Простые оценки областей устойчивости в дискретных моделях динамики популяций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Комиссарова, Дарья Амировна

• Комиссарова, Дарья Амировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комиссарова, Дарья Амировна

Введение

1 Устойчивость систем разностных уравнений с запаздываниями, описывающих динамику популяций

1.1 Биологическая мотивация.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Характеристическое уравнение общей системы

1.4 Многомерный аналог условия устойчивости Кона

1.5 Перенос методов Березанского-Браверман-Лиза на исследование устойчивости систем.

1.6 Признаки устойчивости и неустойчивости уравнения Axn-i 4- Bxn-k.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Простые оценки областей устойчивости в дискретных моделях динамики популяций»

Постановка задачи. Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка к к 1 ^ ^ QjjXn—i, (0-1) i=1 где Oj 6 N, щ ^ 0, (1 ^ i ^ А;). При изучении локальных процессов, уравнение (0.1) можно рассматривать как модель динамики популяций. На больших временных интервалах уравнение (0.1) рассматривается как линеаризация относительно стационарного решения логистического уравнения Пиелоу [93, 94, 68, 98, 99] с обратной связью по предыстории длины к:

Уп =--к-• (0-2)

1 + Е РгУп-i i=1

Компоненты последовательности уп обозначают численность популяции в момент наблюдений п, а > 1 — коэффициент прироста популяции, fy > 0 (1 ^ i ^ к) — коэффициент обратной связи в момент п — г.

В свою очередь, модель Пиелоу происходит от модели Бевертона-Холта [45, 50, 55] аУп-i /п оч

1 + РУп-1 в которой численность популяции в данный момент наблюдений зависит только от ее численности в предыдущий момент.

Проблема прогнозирования поведения (в частности, устойчивости) биологических систем является одной из основных проблем в экологии. Поэтому необходимы определение признаков устойчивости моделей динамики популяций и установление границ устойчивости в пространстве параметров. Асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (0.1) означает неизбежность депопуляции, если рассматривать это уравнение в качестве модели динамики популяции. Однако, если рассматривать уравнение (0.1) как линеаризацию уравнения (0.2) вокруг его ненулевого стационарного решения, то асимптотическая устойчивость означает стремление популяции к своему ненулевому стационарному решению.

Для частного случая уравнения (0.1), а именнно — уравнения

Хп = CLXn—т -f- (0-4) при <2 — 1, тп — 1 в 1976 г. Левиным и Мэем [75] был найден критерий асимптотической устойчивости. Позднее, в 1994 г., С. Курук-лис определил область устойчивости уравнения (0.4) при m = 1 в пространстве параметров (а, 6). В 2001 г. Ф. Даннан и С. Элайди в работе [51] получили область устойчивости для уравнения (0.4) при m = к — 1. Уравнение (0.4) при произвольных значениях запаздываний mm к изучалось в работах Ю. Николаева [26, 27, 28] (2001 - 2004), Ф. Даннана [52] (2004), М. Кипниса и Р. Нигматулина [10] (2004). В результате была найдена граница области устойчивости уравнения (0.4) в пространстве параметров (а,Ь).

Достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения

0.5) г=1 изучались в работах Л. Березанского, Е. Браверман, Э. Лиза, М. Пи-тука, Б. Феррейро [43, 44, 77, 79, 80] (2002 - 2005 гг.).

Кроме того, к исследованию устойчивости можно отнести работы X. Пуанкаре [95] (1885), О. Перрона [90] (1911) и А. Кона [48] (1922), посвященные изучению расположения корней полинома, поскольку известно, что линейное разностное уравнение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все нули его характеристического многочлена лежат внутри единичного круга. Э.И. Джу-ри [8] (1963) изучал расположение корней полинома на комплексной плоскости относительно единичной окружности и применял полученные результаты для исследования устойчивости линейных дискретных систем. Ю.И. Неймарк [23, 25] (1947, 1948) исследовал расположение корней многочлена с помощью метода D-разбиения, используя этот подход к исследованию устойчивости непрерывных динамических систем управления. Метод D-разбиения применялся в работах А.Н. Вишнякова, Б.Т. Поляка [3, 96] (2000, 2001), Е.Н. Грязиной [5, 61] (2004, 2005) для исследования устойчивости дискретных систем управления.

Поскольку в одной биологической нише обитают различные биологические виды, на динамику популяции неизбежно оказывают воздействие и особи других популяций. Поэтому целесообразен переход от уравнения (0.5) к многомерной модели к хп = ^ ^ AiXni, (0-6) г=1 где Aj действительные матрицы размера (т х т) (—к ^ г ^ — 1); хп : N —> Кт. Здесь компоненты вектора хп обозначают либо численность различных популяций, либо численность различных страт одной популяции [6], либо численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах [88]. Вектор хп в этом случае называется демографическим вектором [45, 50, 55].

Что касается матричных уравнений, И.С. Левицкая [76] в 2005 г. доказала критерий асимптотической устойчивости уравнения хп = жп1 + Вхп^к (0.7) в терминах ограничений на собственные значения матрицы В. Здесь В действительная матрица размера (га х га), хп : N —» lRm, к £ N. Для частного случая уравнения (0.7), в котором действительная матрица В размера (2 х 2) есть матрица поворота, умноженная на положительную константу, критерий асимптотической устойчивости был найден [84] в 1999 г. В работе [101] получены достаточные условия устойчивости уравнения (0.7) с неавтономной матрицей В. Частный случай уравнения хп = Axn-i + Вхп-к, (0.8) в котором матрицы Л, В перестановочны, изучался в работе И. Ди-блика и Д. Хусаинова [53] (2006). И. Петропоулоу и П. Сиафа-рикас в 2005 г. исследовали существование комплексных решений разностных систем с запаздыванием [92]. Автору диссертации не известны другие работы, в которых бы исследовалась асимптотическая устойчивость матричных уравнений (0.6) и (0.8). Поэтому наша задача — перенести признаки асимптотической устойчивости скалярных уравнений (0.4) и (0.5) на матричные уравнения (0.6) и (0.8). Мы, разумеется, ставим задачу указать характеристическое полиномиальное уравнение для системы (0.6) (как ни странно, это, по-видимому, не было сделано до работ автора диссертации). Но основная наша задача состоит в получении достаточных признаков устойчивости, носящих простой, ясный характер, — то, что по-английски называется explicit stability conditions.

Такого же типа задачу мы ставим в связи со скалярным уравнением (0.1). В 1994 г. в работе К. Кука и И. Дьёри [49] был найден достаточный признак устойчивости уравнения (0.1). Именно, доказано, что при любых неотрицательных щ (1 < г < к) условие к

0<]Гга*<1 (0.9) i=i достаточно для асимптотической устойчивости уравнения (0.1). Позже, в 2001 г., И. Дьёри и Ф. Хартунг [62] улучшили этот результат, увеличив константу 1 в правой части (0.9) до 1 Н—. Оценки Кука-Дьёри и Дьёри-Хартунга неоднократно цитировались другими авторами (например, [79],[77],[43]) с целью сравнения с собственными условиями устойчивости. Так естественно возникла задача продол1 жить последовательность констант в правой части (0.9): 1,1+-, • • •, е доведя ее до максимального значения. Это и стало одной из задач диссертации ^оказалось, что максимальное значение равно

Мы поставили (и решили) и более общую задачу, которая естественно вытекает из предыдущей, но не ставилась ранее. А именно, пусть найдены константы . Аь, такие что принадлежность коэффициентов (ai,. ak) симплексу к щ>0, (0.10) г=1 Ai гарантировала бы устойчивость уравнения (0.1). Тогда мы будем говорить, что найден симплекс устойчивости для уравнения (0.1). Следуя Куку-Дьёри [49], мы получаем симплекс вида (0.10) со зна

1 г 1 + 1 чениями Ai — -4, по Дьёри-Хартунгу 62 Ai = --. Задача дисг ^ сертационного исследования - улучшить эти оценки и довести их до л Я" естественного предела (как оказалось, оценка Ai = — лучше двух

2г л . 7Г предыдущих, но естественный предел есть Ai = 2 sin

2(2г - I)7'

И.С. Левицкая [18] в 2004 г. с помощью численных экспериментов построила области устойчивости для частного случая уравнения (0Л), а именно, уравнения с двумя запаздываниями

Хп = к, (0.11) при различных значениях запаздываний к, т (1 ^ т < к) в плоскости действительных параметров (а, Ъ). Наша задача — спроектировать результаты автора диссертации на это более простое, чем (0.1) уравнение, чтобы осветить важную для теории динамики популяций проблему устойчивости уравнения (0.11). Задача также состоит в переносе результатов диссертации на дискретные уравнения Вольтерра в свертках, которые являются бесконечномерными аналогами уравнения (0.1).

Актуальность темы диссертации. В последние годы модели динамики популяций интенсивно изучались в работах таких авторов, как Е.С. Pielou [93, 94], C.W. Clark [47], К. Gopalsamy [59], V.L. Kocic [68], H.B. Nichols [88], M. Begon , M. Mortimer [42], J.H. Jaroma, S.A. Kuruklis, G. Ladas [65, 71], F.R. Gell, C.M. Roberts [58], Л.В. Недорезов [22], B.H. Новосельцев [29] и многих других.

В настоящее время актуальна проблема устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений, являющихся линеари-зациями дискретных уравнений динамики популяций. Изучению этой проблемы посвящены работы В.Б. Колмановского [12, 13, 14], A.M. Родионова [34, 35, 36, 37], Ю.П. Николаева [26, 27, 28], А.Н. Новоселова, А.Д. Козака [11], М.М Кипниса [9, 10, 67], L. Berezansky,

E. Braverman [43, 44], Е. Liz, J.В. Ferreiro, М. Pituk [77, 79, 80],

F.M. Dannan [52, 51], S.N. Elaydi, S. Zhang [56, 57,103], K. Gopalsamy [60, 59], K.L. Cooke , I. Gyori, F. Hartung [49, 62, 63], E.I. Jury [8, 66], I. Kovacsvolgyi [69], S.A. Kuruklis [70], J.P. LaSalle [17, 73], S.A. Levin,

R. May [75, 85, 86], M. Chen , J.S. Yu [46, 102] и многих других авторов.

При нынешней вычислительной технике любая задача об устойчивости конкретной дискретной системы с точно определенными коэффициентами невысокой размерности решается в секунды. Но практически в любой модели динамики популяций коэффициенты не могут быть высчитаны точно (это касается и технических систем, хотя, возможно, в меньшей степени). Поэтому актуальна задача исследования геометрии области устойчивости самых общих дискретных уравнений, чтобы по "облаку" возможных коэффициентов модели динамики популяций оценить, находится ли оно, полностью или частично, в области устойчивости в пространстве параметров. Полное описание области устойчивости скалярного разностного уравнения с двумя запаздываниями, например, проведено в работе М.М. Кипниса и P.M. Нигматулина [10]. Геометрия области устойчивости для более общих уравнений и систем изучается в работах Б.Т. Поляка и Е.Н. Грязиной [5, 61] и Ю.П. Николаева [26, 27]. Вышеуказанные работы обнаруживают такую изощренность областей устойчивости, что становится очевидной нужда в простых, эффективных, быстро проверяемых (explicit) методах оценки областей устойчивости, причем для самых общих уравнений, которые могут содержать несколько (или много) запаздываний. Именно это и является темой диссертации.

Актуальность этой задачи подтверждается публикациями последних лет, наряду со статьями автора диссертации и ее научного руководителя, работ Э. Лиза [77], Л. Березанского и Е. Браверман [43, 44], К. Кука и И. Дьери [49], И. Дьери и Ф. Хартунга [62]. Результаты автора диссертации переносят результаты двух первых из вышеназванных работ на более общие системы, и усиливают оценки двух последних работ. Об актуальности темы также свидетельствует появление с интервалом в четыре месяца в одном журнале статьи китайских исследователей [100] и статьи автора диссертации [110] (совместно с научным руководителем). Эти две статьи конкурируют в простых оценках областей устойчивости. Как показано в диссертации, во многих случаях оценки автора диссертации эффективнее.

Методы исследования. В работе используются методы Z-преобразования, принцип аргумента, конструирование и анализ годографов систем и уравнений. Используется также один из современных методов — удлинение памяти разностных уравнений. Этот метод был применен впервые А. Халанаем [39, 64] для дифференциальных уравнений, а затем перенесен на разностные уравнения Э. Лизом, А. Ивановым и Б. Ферейро [77, 78].

Новизна полученных результатов. Новыми являются следующие результаты работы:

1. Ослаблены известные ранее достаточные условия устойчивости разностного уравнения (0.1) посредством построения симплекса устойчивости в пространстве его параметров.

2. Доказана максимальность найденного симплекса устойчивости для (0.1).

3. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках.

4. Для разностных систем (0.6) и (0.8) найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости и неустойчивости, аналогичные известным признакам для соответствующих скалярных уравнений.

5. Найден критерий асимптотической устойчивости системы (0.8) при А = —Е, где Е - единичная матрица.

6. Получено характеристическое уравнение для (0.6), на основании которого доказан критерий асимптотической устойчивости системы (0.6).

Теоретическая и практическая значимость. Изучение динамики популяций — важный раздел прикладной математики, в котором существенную роль играют запаздывания, длинная память, последействие — три названия по существу одного феномена. Те же эффекты возникают и в технических системах. Задача выявления устойчивости в таких случаях имеет первостепенную важность.

Чаще устойчивость в динамике популяции является желательным фактом, если речь идет об устойчивости ненулевого уровня популяции тех видов, которые важны для сохранения биологического многообразия Земли. Устойчивость нежелательна — если речь идет об устойчивости нулевого уровня популяции, так как в этом случае устойчивость означает ее неизбежную гибель. Поэтому для нас важны признаки устойчивости моделей динамики популяций, которые и являются предметом диссертации.

В исследовании устойчивости, как показал опыт, разностные модели ничуть не хуже дифференциальных. В них выявляются те же эффекты (проблемы устойчивости, бифуркации и т.д.), но по количеству исследование разностных уравнений значительно уступает исследованию дифференциальных уравнений.

Данная работа является вкладом в установление равновесия между исследованиями непрерывных и дискретных моделей.

Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Математика.

Механика. Информатика" (Челябинск, 2006 г.) [106], XIV Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2007 г.) [107], XII региональной научно-практической конференции "Математика. Информатика. Технологический подход к обучению в вузе и школе" (Курган, 2007 г.) [111], Международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Киев, 2007 г.), 12-й Международной конференции по разностным уравнениям (ICDE 2007, Лиссабон, Португалия, 2007 г.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007 г.) [113], а также на семинаре профессора В. П. Тананы в Южно-Уральском государственном университете (Челябинск, 2006 г.).

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 113 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Комиссарова, Дарья Амировна

Заключение

Исследование устойчивости линейных разностных уравнений и систем остается актуальной проблемой и в настоящее время. Наиболее важными являются результаты, отражающие качественные взаимосвязи между параметрами системы и ее поведением.

В диссертации получены признаки асимптотической устойчивости скалярных и матричных уравнений, представляющих линеаризованную модель динамики популяций с учетом предыстории. Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:

- найдено характеристическое уравнение общей линейной разностной системы (1.1.6), позволяющее анализировать поведение демографического вектора в моделях популяций;

- определены овалы устойчивости для уравнения (1.2.10);

- получены многомерные аналоги известных достаточных признаков асимптотической устойчивости скалярных уравнений;

- найден симплекс устойчивости линейного разностного уравнения (2.1.10) в пространстве неотрицательных коэффициентов;

- доказана максимальность найденного симплекса устойчивости;

- найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках для моделей динамики популяций с учетом неограниченной предыстории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Комиссарова, Дарья Амировна, 2007 год

1. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук. М. : Мир, 1967.

2. Вагина, М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями / М.Ю. Вагина, М.М. Кипнис // Мат. заметки. 2003. - Т. 74, Вып. 5. - С. 786789.

3. Вишняков, А.Н. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений / А.Н. Вишняков, Б.Т. Поляк // АиТ. 2000. - № 9.-С. 112-119.

4. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гель-фонд. М. : Наука, 1967.

5. Грязина, Е.Н. К теории D-разбиения / Е.Н. Грязина // АиТ. 2004. - № 12. - С. 15-28.

6. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М. : Наука, 1967.

7. Кипнис, М.М. Устойчивость некоторых разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // АиТ. 2003. - № 5. - С. 122-130.

8. Кипнис, М.М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // АиТ. 2004. - № И. - С. 25-39.

9. Козак, А.Д. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка / А.Д. Козак, А.Н. Новоселов // Мат. заметки. 1999. - Т. 66, Вып. 2. - С. 211-215.

10. Колмановский, В.Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра / В.Б. Колмановский // АиТ. 1995. - № 11. - С. 50-64.

11. Колмановский, В.Б. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра / В.Б. Колмановский, A.M. Родионов // АиТ. 1995. - №2. - С. 3-13.

12. Колмановский, В.Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием / В.Б. Колмановский // АиТ. 1993. - № 11. -С. 45-59.

13. Колмогоров, А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций / А.Н.Колмогоров // Проблемы кибернетики. М. : Наука, 1972. - Вып. 25. - С. 101-106.

14. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М. : Наука, 1978.

15. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. М. : Мир, 1964.

16. Левицкая, И.С. Область устойчивости линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями / И.С. Левицкая // Изв. Челябинского науч. центра УрО РАН. 2004. - Вып. 3(24). -С. 12-16. - http://csc.ac.ru/news/20043/

17. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов М. : Гостехиздат, 1950.

18. Маркушевич, А.И. Краткий курс теории аналитических функций / А.И. Маркушевич. М. : Наука, 1978. - 416 с.

19. Меныпуткин, В.В. Математическое моделирование популяций и сообщество водных животных / В.В. Меныпуткин. Л. : Наука, 1971.

20. Недорезов, Л.В. Модификация моделей Морана-Риккера динамики численности изолированной популяции / Л.В. Недорезов, Б.Н. Недорезова // Журнал общей биологии. 1994. - Т. 55, № 4/5. - С. 514-521.

21. Неймарк, Ю.И. К задаче распределения корней полиномов / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1947. - Т. 58, № 3.

22. Неймарк, Ю.И. О допустимости линеаризации при исследовании устойчивости / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1959. -Т. 127, № 5. - С. 961-964.

23. Неймарк, Ю.И. Структура D-разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1948. - Т. 59, № 5.

24. Николаев, Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы / Ю.П. Николаев // АиТ. -2004. № 12. - С. 49-61.

25. Николаев, Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем / Ю.П. Николаев // АиТ. 2002. - № 7. - С. 44-54.

26. Николаев, Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем / Ю.П. Николаев // АиТ. 2001. - № 11. - С. 109-120.

27. Новосельцев, В.Н. Математическое моделирование в биологии: системы, способные жить и умирать / В.Н. Новосельцев // АиТ. 2006. - № 4. - С. 3-25.

28. Полуэктов, Р.А. Динамические модели экологических систем / Р.А. Полуэктов, Ю.А. Пых, И.А. Швытов. JI. : Гидрометео-издат, 1980.

29. Прасолов, В.В. Многочлены / В.В. Прасолов. М. : МЦ MHO, 2001.

30. Разумихин, B.C. Устойчивость по первому приближению систем с запаздываниями / B.C. Разумихин // ПММ. 1958. -Т. 22.- С.155-166.

31. Рехлицкий, З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве / З.И. Рехлицкий // ДАН СССР. 1956. - Т. Ill, № 1. - С. 29-32.

32. Родионов, A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений /A.M. Родионов // АиТ. 1992. - № 9. - С. 86-93.

33. Родионов, A.M. О достаточных условиях абсолютной устойчивости дискретных уравнений / A.M. Родионов // АиТ. 1998. - № 12. - С. 127-131.

34. Родионов, A.M. Об ограниченности решений дискретных уравнений / A.M. Родионов // АиТ. 1994. - № 5. - С. 32-37.

35. Родионов, A.M. Об одной возможности применения второго метода Ляпунова к уравнениям Вольтерра / A.M. Родионов // АиТ. 1998. - № 4. - С. 57-64.

36. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. М. : Наука, 1978.

37. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Ха-ланай, Д. Векслер. М. : Мир, 1971.

38. Agarwal, R.P. Difference equations and inequalities. Theory, methods and applications / R.P. Agarwal. New York : Marcel Dekker, Inc., 1992.

39. Baker, С.Т.Н. Modelling and analysis of time-lags in some basic patterns of cell proliferation / C.T.H. Baker, G.A. Bocharov, C.A.H. Paul, F.A. Rihan // J. Math. Biol. 1998. - V. 37. - P. 341371.

40. Begon, M. Population ecology: a united study of animals and plants / M. Begon, M. Mortimer. Oxford : Blackwell Sci. Publ., 1981.

41. Berezansky, L. On exponential dichotomy, Bohl-Perron type theorems and stability of difference equations / L. Berezansky, E. Braverman // J. Math. Anal. Appl. 2005. - V. 304, № 2. -P. 511-530.

42. Berezansky, L. Sufficient conditions for the global stability of nonautonomous higher order difference equations / L. Berezansky, E. Braverman, E. Liz // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 9. - P. 785-798.

43. Beverton, R.J.H. On the dynamics of exploited fish population / R.J.H. Beverton, S.J. Holt // Fishery invest. 1957. - Ser. 2, № 19.- P. 1-533.

44. Chen, Ming-Po. Oscillations and global attractivity in a delay logistic difference equation / Ming-Po Chen, J.S. Yu // J. Difference Equ. Appl. 1995. - V. 1. - P. 227-237.

45. Clark, C.W. A delay-recruitment model of population dynamics, with an application to baleen whale populations / C.W. Clark // J. Math. Biol. 1976. - V. 3. - P. 381-391.

46. Cohn, A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise / A. Cohn // Mathematische Zeitschrift.- 1922. V. 14, № 1. - P. 110-148.

47. Cooke, K.L. Numerical approximation of the solutions of delay differential equations on an infinite interval using piesewise constant arguments / K.L.Cooke, I. Gyori // Сотр. Math. Appl.- 1994. V. 28. - P. 81-92.

48. Cushing, J.M. A periodically forced Beverton-Holt equation / J.M. Cushing, S.M. Henson // J. Difference Equ. Appl. 2002. - V. 8, № 12. - P. 1119-1120.

49. Dannan, F.M. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type /F.M. Dannan, S.N. Elaydi // J. Сотр. Anal. Appl. 2004. - V. 6, № 2. - P. 423-428.

50. Dannan, F.M. The asymptotic stability of x{n + k) + ax{n) + bx{n 0 = 0 / F.M. Dannan // J. Difference Equ. Appl. - 2004.- V. 10, № 6. P. 589-599.

51. Diblik, J. Representation of solutions of discrete delayed system х(к + 1) = Ах{к) Bx(k — m) + /(fc) with commutative matrices / J. Diblik, D.Ya. Khusainov // J. Math. Anal. Appl. 2006. -V. 318, № 1. - P. 63-76.

52. Elaydi, S.N. An introduction to difference equations / S.N. Elaydi.- New York : Springer-Verlag, Inc., 1999.

53. Elaydi, S. Periodic difference equations, population biology and the Cushing-Henson conjectures / S. Elaydi, R.J. Sacker // Mathematical Biosciences. 2006. - V. 201. - P. 195-207.

54. Elaydi, S.N. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems / S.N. Elaydi // J. Math. Anal. Appl. 1994. - V. 181, № 2 - P. 483-492.

55. Elaydi, S. Stability and periodicity of difference equations with finite delay / S. Elaydi, S. Zhang // Funkcialaj Ekvac. 1994. -V. 37. - P. 401-413.

56. Gell, F.R. Benefits beyond boundaries: the fishery effects of marine reserves / F.R. Gell, C.M. Roberts // Trends in Ecology and Evolution. 2003. - V. 18, № 9. - P. 448-455.

57. Gopalsamy, K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics / K. Gopalsamy. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1992.

58. Gopalsamy, K. Time lags and global stability in two-species competition / K. Gopalsamy // Bull. Math. Biol. 1980. - № 42. - P. 729-737.

59. Gryazina, E.N. Stability regions in the parameter space: D -decomposition revisited / E.N. Gryazina, B.T. Polyak // Automatica. 2006. - № 1. - P. 13-26.

60. Gyori, I. Stability in delay perturbed differential and difference equations / I. Gyori, F. Hartung // Fields Institute Communications. 2001. - V. 29. - P. 181-194.

61. Gyori, I. Asymptotic stability in a linear delay difference equation / I. Gyori, M. Pituk // Proc. of SIGDEA, Veszprem, Hungary, August 6-11, 1995. Langhorne, PA : Gordon and Breach Science, 1997.

62. Halanay, A. Differential equations: stability, oscillations, time lags / A. Halanay. New York : Academic press, 1966.

63. Jaroma, J.H. Oscillations and stability of a discrete delay logistic model / J.N. Jaroma, S.A. Kuruklis, G. Ladas // Ukrain. Math. J. 1991. - № 43. - P. 734-744.

64. Jury, E.I. A simplified stability criterion for linear discrete systems / E.I. Jury // ERL Report. Series. 1961. - № 60. - P. 373.

65. Kocic, V.L. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications / V.L. Kocic, G. Ladas. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993.

66. Kovacsvolgyi, I. The asymptotic stability of difference equations / I. Kovacsvolgyi // Appl. Math. Letters. 2000. - № 13. - P. 1-6.

67. Kuruklis, S.A. The asymptotic stability of x(n -f 1) — ax(n) -f bx(n k) = 0 / S.A. Kuruklis // J. Math. Anal. Appl. - 1994. -V. 188, № 3. - P. 719-731.

68. Kuruklis, S.A. Oscillations and global attractivity in a discrete delay logistic model / S.A. Kuruklis, G. Ladas // Quart. Appl. Math. 1992. - № 50. - P. 227-233.

69. Ladas, G. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations / G. Ladas, Y.G. Sficas, I.P. Stavroulakis // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 88, № 3. - P. 247-253.

70. LaSalle, J.P. The Stability of Dynamical Systems / J.P. LaSalle. -Pennsylvania : SIAM, 1976.

71. Lasunkii, A.V. A remark on the stability theory of linear systems of finite-difference equations / A.V. Lasunkii // Differential Equ.- 1998. V. 34, № 4. - P. 569-572.

72. Levin, S.A. A note on difference-delay equations / S.A. Levin, R. May // Theor. Pop. Biol. 1976. - V. 9, № 2. - P. 178-187.

73. Levitskaya, I.S. A note on the stability oval for xn+i = xn+Axn-k / I.S. Levitskaya // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 8. -P. 701-705.

74. Liz, E. On explicit conditions for the asymptotic stability of linear higher order difference equations / E. Liz // J. Math. Anal. Appl.- 2005. V. 303. - P. 492-498.

75. Liz, E. Discrete Halanay-type inequalities and applications / E. Liz, A. Ivanov, J.B. Ferreiro // Nonlinear Analysis. 2003.- V. 55, № 6. P. 669-678.

76. Liz, E. A note on the global stability of generalized difference equations / E. Liz, J.B. Ferreiro // Appl. Math. Letters. 2002. -V. 15, № 6. - P. 655-659.

77. Liz, E. Asymptotic estimates and exponential stability for higher-order monotone difference equations / E. Liz, M. Pituk // Advances in Differernce Equ. 2005. - V. 2005, № 1. - P. 41-55.

78. Liz, E. Global stability in discrete population models with delayed-density dependence / E. Liz, V. Tkachenko, S. Trofimchuk // Math. Biosciences 2006. - V. 199, № 1. - P. 26-37.

79. Liu, P. A discrete analogue of an integrodifferential equation / P. Liu, L. Chen, X. Cui // Сотр. Math. Appl. 1999. - № 37. -P. 41-55.

80. Liu, P. Hyperbolic logistic difference equation with infinitely many delays / P. Liu, X. Cui // Math, and Сотр. in Simulation. 2000.- № 52. P. 231-250.

81. Matsunaga, H. The asymptotic stability of a two-dimensional linear delay difference equation / H. Matsunaga, Т. Hara // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1999.- V. 6. P. 465-473.

82. May, R.M. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos / R.M. May //J- Theor. Biol. 1975. - V. 51, № 2. - P. 511-524.

83. May, R.M. Stability and complexity in model ecosystems / R.M. May. Princeton : Princeton Univ. Press, 1973.

84. Murakami, K. Stability and bifurcation in a discrete-time predator-prey model / K. Murakami //J. Difference Equ. Appl.- 2007. V. 13, № 10. - P. 911-925.

85. Nichols, H.B. Canadian east coast marine protected areas / H.B. Nichols // Ocean and Coastal Management. 1998. - V. 39.- P. 87-96.

86. Papanicolaou, V.G. On the asymptotic stability of a class of linear difference equations / V.G. Papanicolaou // Mathematics Magazine. 1996. - V. 69, № 1. - P. 34-43.

87. Perron, O. Uber lineare Differenzengleichungen / O. Perron // Acta Math. 1911. - № 34. - P. 109-137.

88. Perron, O. Uber Stabilitat und Asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen / O. Perron // Math. Zeit. 1929. - № 29. - P. 129-160.

89. Petropoulou, E.N. Existence of complex l2 solutions of linear delay systems of difference equations / E.N. Petropoulou, P.D. Siafarikas // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 1. - P. 4962.

90. Pielou, E.C. An introduction to mathematical ecology / E.C. Pielou. New York : Wiley Interscience, 1969.

91. Pielou, E.C. Population and community ecology / E.C. Pielou. -New York : Gordon and Breach, 1974.

92. Poincare, H. Sur Les Equations Lineaires aux Differentielles Ordinaires et aux Differences Finies / H. Poincare // Amer. J. Math. 1885. - V. 7. - P. 203-258.

93. Polyak, B.T. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index / B.T. Polyak, M.E. Halpern // Int. J. Adapt. Contr. and Signal Proc. 2001. - V. 15, № 2. - P. 129-152.

94. Seno, H. A discrete prey-predator model preserving the dynamics of astructurally unstable Lotka-Volterra model / H. Seno // J. Difference Equ. Appl. 2007. - V. 13, № 12. - P. 1155-1170.

95. Skellam, J.G. Random dispersal in theoretical populations / J.G. Skellam // Boimetrika. 1951. - V. 38. - P. 196-218.

96. Skellam, J.G. Seasonal periodicity in theoretical population ecology / J.G. Skellam // Proc. 5th Berkeley. 1967. - V. 4. -P. 179-205.

97. Tang, X.H. Asymptotic behavior of Volterra difference equations / X.H. Tang, Z. Jiang // J. Difference Equ. Appl. -2007. V. 13, № 1. - P. 25-40.

98. Tang, X.H. Stability in m-dimensional linear delay difference system / X.H. Tang, Z. Jiang //J. Difference Equ. Appl. 2007.- V. 13, № 10. P. 927-944.

99. Yu, J.S. Asymptotic stability for a linear difference equation with variable delay / J.S. Yu // Сотр. Math. Appl. 1998. - V. 36, № 10/12. - P. 203-210.

100. Zhang, S. Stability of infinite delay difference systems / S. Zhang // Nonlin. Analysis, Theory, Methods, Applications. -1994. V. 22, № 9. - P. 1121-1129.

101. Kipnis, M.M. Stability of a delay difference system / M.M. Kipnis, D.A. Komissarova // Advances in Difference Equ. 2006. - V. 2006.- P. 1-9. http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/ADE/2006/31409

102. Комиссарова, Д.А. Устойчивость некоторых разностных систем / Д.А. Комиссарова, М.М. Кипнис // Изв. Челябинского науч. центра. 2006. - Вып. 1(31). - С. 1-4.http://csc.ас.ru/еj/issue/ru/34

103. Комиссарова, Д.А. Устойчивость разностных систем с запаздыванием / Д.А. Комиссарова // Математика. Механика. Информатика: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 1922 сент. 2006. Челябинск : ЧелГУ, 2006. - С. 71.

104. Комиссарова, Д.А. Достаточные условия асимптотической устойчивости общей разностной системы / Д.А. Комиссарова // Вестник ЮУрГУ. Сер. математика, физика, химия. -2007. Вып. 8, № 3(75). - С. 24-27.

105. Kipnis, М.М. A note on explicit stability conditions for autonomous higher order difference equations / M.M. Kipnis, D.A. Komissarova //J. Difference Equ. Appl. 2007. - V. 13, № 5. - P. 457-461.

106. Комиссарова, Д.А. Простые признаки устойчивости дискретных моделей динамики популяций / Д.А. Комиссарова // Системы управления и информационные технологии. 2007. -№ 2.2(28). - С. 240-242.

107. Комиссарова, Д.А. Об устойчивости дискретных моделей динамики популяций / Д.А. Комиссарова, М.М. Кипнис // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2007. - Т. 14, Вып. 4. -С. 726-727.