Критерии и алгоритмы проверки асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Матвеева, Оксана Изотовна

• Матвеева, Оксана Изотовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Оксана Изотовна

Введение.:.

Глава I. Системы разностных уравнений

§1. Матричные ряды Нр

§2. Асимптотическая устойчивость решений линейных разностных уравнений.

§3. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных разностных уравнений

§4. Границы изменения параметра.

§5. Алгоритм для исследования асимптотической устойчивости решений линейных разностных уравнений.

§6. Примеры.

Глава II. Периодические дифференциальные уравнения.

§1. Матричные ряды Хр.

§2. Интегралы Ср.

§3. Асимптотическая устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от параметра.

§4. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных периодических систем с параметрами.

§5. Алгоритм для исследования асимптотической устойчивости решений периодических дифференциальных уравнений.96.

§6. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критерии и алгоритмы проверки асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений»

При моделировании систем различной природы с помощью дифференциальных и разностных уравнений наиболее часто используются линейные и квазилинейные уравнения. Например, квазилинейными уравнениями описываются химические реакции, физические процессы, развитие популяций, экономические процессы, системы массового обслуживания.

При качественном исследовании моделей большой интерес представляет изучение устойчивости решений уравнений, в частности, условия асимптотической устойчивости и оценки ее областей. Описанию какого-либо процесса сопутствуют возмущающие факторы, которые имеют различную природу и могут быть случайными или даже неизвестными. Они, например, возникают в процессе измерений и за счет неизбежной погрешности измерительных приборов приводят к неточным исходным данным. Возмущающие факторы могут быть непрерывными, но очень малыми и фактически неподдающимися измерениям. В этом случае соответствующие разностные и дифференциальные уравнения будут несколько отличаться от истинных. Поэтому для исследователя важно знать, насколько существенными могут быть отклонения результатов, полученных в процессе исследования теоретической модели, от получаемых на практике. Поскольку возмущающие факторы существуют практически всегда, то проблема устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение.

Исследованиям устойчивости, основы которых заложил в конце 19-го века А.М.Ляпунов [25], посвящены монографии Е. А. Барба-шина, Н. Н. Красовского, С. К. Годунова, Ю. JI. Далецкого, М. Г. Крей-на, Б.П. Демидовича, В.И.Зубова, И. Г. Малкина, А. А.Мартынюка, С. Лила и В. Лакшмикантана, Н. Руша, П. Абетса и М. Лалуа, Л. Чезари, Н.Г. Четаева, В.Я.Якубовича и В.М.Старжинского, R. Р. Agarwal, S.N.Elaydi, V.L.Kocic, G.Ladas и других математиков [1-3, 7-10, 13, 15-24, 26-29, 33-35, 38, 39, 41-43, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 69].

Теория устойчивости решений разностных уравнений развивалась с некоторым запаздыванием, но сейчас этот вопрос изучен в ряде работ (см., например, [42, 43, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 65, 66]), и количество публикаций по этой тематике постоянно растет (см., например, [5, 6, 44, 54, 57, 60, 64, 67, 68, 70]).

В последнее время разработаны критерии асимптотической устойчивости линейных уравнений, которые реализуются на компьютере. Этот вопрос изучается в работах С. К. Годунова, А. Я. Булгакова, Г. В. Демиденко и др. [5, 6, 10, 11, 14, 54, 56].

В настоящей диссертации получены критерии и алгоритмы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных и периодических дифференциальных уравнений.

Целями работы являются:

1. разработка алгоритмов проверки на асимптотическую устойчивость линейных разностных и дифференциальных уравнений на основе новых критериев и оценок;

2. создание пакета программ для реализации алгоритмов на компьютере;

3. получение оценок областей асимптотической устойчивости квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительной линейной алгебры. При получении критериев асимптотической устойчивости решений разностных и дифференциальных уравнений были использованы свойства матричных рядов и несобственных матричных интегралов со специальными весами.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1. разработаны новые критерии асимптотической устойчивости линейных разностных и дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами;

2. на основе разработанных критериев построены алгоритмы асимптотической устойчивости и разработан комплекс прикладных программ, численно реализующих алгоритмы на компьютере;

3. получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений;

4. оценена скорость сходимости к нулю решений обоих видов квазилинейных уравнений.

Практическое значение работы. Результаты диссертации носят как теоретический, так и прикладной характер. Разработанные алгоритмы и оценки могут быть использованы при качественном анализе моделей, описываемых разностными и дифференциальными уравнениями.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждаются проверкой математической строгости постановок задач и математических предложений, а также апробацией работы в научных докладах и публикациях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах "Избранные вопросы современного анализа" кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета, "Дифференциальные уравнения с частными производными" в Якутском государственном университете, и были представлены на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" в Улан-Удэ (2000 г.), на Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" в Санкт-Петербурге (2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В каждой из глав сначала получены критерии асимптотической устойчивости линейных систем, на которых основываются алгоритмы. Далее приведен ряд новых оценок, используемых в алгоритмах и при оценке областей асимптотической устойчивости квазилинейных уравнений. Последние части глав содержат алгоритмы, реализуемые с помощью написанного нами комплекса при

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Матвеева, Оксана Изотовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследована качественная картина поведения решений разностных и обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одними из основных инструментов при моделировании различных природных и технических процессов. Все теоретические результаты работы направлены на их применение при алгоритмизации и проведении численных расчетов. Разработанные алгоритмы и комплексы прикладных программ позволяют проверять на асимптотическую устойчивость решения линейных разностных и дифференциальных уравнений. Для квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений получены практически применимые оценки областей асимптотичекой устойчивости решений.

В первой главе диссертации проведены исследования асимптотической устойчивости нулевого решения систем разностных уравнений вида

Х{+1 = АХг + ¿=1,2,. (0.1) с комплексным параметром ¡1.

Получены следующие результаты.

1.1. Предложен новый способ для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы (случай ¡л = 0). Этот способ основан на проверке сходимости матричных рядов вида оо

1 + к)-2р{А*)кА\ 0 <р < 1/2. (0.2)" а;=0

В ряде случаев этот способ является более эффективным при вычислениях на компьютере, чем существующие в настоящее время.

1.2. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для проверки на компьютере сходимости матричных рядов (0.2).

1.3. Получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных уравнений. Установлены границы изменения параметра при которых для решения {хг} квазилинейной системы (0.1) имеет место сходимость х{\\ 0, г оо, (0.3) для любых начальных данных из заданного шара В(0,р).

1.4. Установлены оценки скорости сходимости к нулю (0.3) решений квазилинейных разностных уравнений.

Во второй главе диссертации проведены исследования асимптотической устойчивости нулевого решения двух периодических систем дифференциальных уравнений следующего вида = В(ь)х, г > о, (0.4) и пт = {А + цВ(1))х + г;<р^,х), £ > 0. (0.5)

И/С

Получены следующие результаты.

II.1. Предложены два новых способа для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы (0.4). Эти способы основаны на проверке сходимости матричных рядов оо

1 + к)~2р(Х*(Т))к(Х(Т))к, 0 <Р< 1/2 (0.6) к=0 и интегралов оо

1 + 5)-2рх*(5)х(5)сг5, о < р < 1/2, о где Х(£) — матрицант системы (0.4).

И.2. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для проверки на компьютере сходимости матричных рядов (0.6).

П.З. Получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных дифференциальных уравнений.

Установлены границы изменения параметров /¿, г/, при которых для решения ж(£) квазилинейной системы (0.5) имеет место сходимость

И0||-»-О, £ —» +оо, (0.7) для любых начальных данных ^о из заданного шара В(0,р).

II.4. Установлены оценки скорости сходимости к нулю (0.7) решений квазилинейных дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Оксана Изотовна, 2000 год

1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

2. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1996.

5. Булгаков А.Я., Годунов С.К. Круговая дихотомия матричного спектра // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 5. С. 59-70.

6. Булгаков А.Я., Демиденко Г.В. Новый критерий принадлежности матричного спектра замкнутому единичному кругу и приложения в теории устойчивости // Сиб. журн. индустр. матем. 2000. Т. 3, N 1. С. 47-56.

7. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981.

8. Валеев К.И., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

10. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. 1994.

11. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

12. Голуб Дж., Ван Лоан Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

13. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

14. Демиденко Г.В. Об одном классе спектральных характеристик матриц // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 5. С. 1032-1051.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

16. Дубошин Г.Н. Основы теории устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ, 1952.

17. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957.

18. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

19. Каменков Г.В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971.

20. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972.

21. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973.

22. Ла Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

23. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

24. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.

25. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

26. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

27. Мартынюк A.A. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975.

28. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1983.

29. Мартынюк А.А, Лакшмикантан В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1989.

30. Матвеева О.И. Об асимптотической устойчивости решений периодических систем // Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск: Челябинский госуниверситет. 1999. С. 78.

31. Матвеева О.И. Апериодические колебания, описываемые квазилинейными уравнениями // Международная конференция "Математика в восточных регионах Сибири". Улан-Удэ: Бурятский госуниверситет. 2000. С. 66-67.

32. Матвеева О.И. Апериодические колебания в электромагнитном поле // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, вып. 1. С. 105-109.

33. Матвеева О.И. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных разностных уравнений. Якутск, 2000, 13 с. (Препринт / Научно-исследовательский институт прикладной математики и информатики Якутского госуниверситета; М? 1).

34. Матросов В.Н., Козлов Р.И. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. Новосибирск: Наука, 1983.

35. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

36. Перов А.И. Об интегральных неравенствах // Тр. семинара по функц. анализу. Воронеж. 1957, № 5. С. 87-97.

37. Перов А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Изв . ВУЗов. Математика. 1965. Т. 47, № 4.

38. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1958.

39. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.; Л.: Наука, 1964.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

41. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980

42. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

43. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

44. Слюсарчук В.Е. Нелинейные разностные уравнения с асимптотически устойчивыми решениями // Укр. матем. журн. 1997. Т. 49, №. 7. С. 981-987.

45. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

46. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963.

47. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.

48. Хорн Р., Джонсон П. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

49. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

50. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

51. Шилов Г.Е. Математический анализ. II специальный курс. М.: Наука, 1965.

52. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

53. Agarwal R.P. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods and Applications. Marcel Dekker Inc., New York, 1992.

54. Bulgak H. Pseudoeigenvalues, spectral portrait of a matrix and their connections with different criteria of stability // Error Control and Adaptivity in Scientific Computing. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999. P. 95-124.

55. Edelstein-Keshet L. Mathematical Models in Biology. Random House, New York, 1988.

56. Elaydi S.N. An Introduction to Difference Equations. SpringerVerlag, New York, 1996.

57. Elaydi S.N., Kocic // J. Difference Equ. Appl. 1996. V. 2, №. 1. P. 87-96.

58. Goldberg S. Introduction to Difference Equations. Dover, New York, 1986.

59. Kelley W.G., Peterson A.C. Difference Equations. Academic, New York, 1991.

60. Krause U. Stability trichotomy, path stability, and relative stability for positive nonlinear difference equations of higher order // J. Difference Equ. Appl. 1995. V. 1, №. 4. P. 323-346.

61. Kocic V.L., Ladas G. Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.

62. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. Academic, New York, 1988.

63. Matveeva O.I. On asymptotic stability of solutions of difference equations//The Third International Conference "Differential Equations and Applications". Saint Petersburg: Saint Petersburg State Technical University. 2000. P. 70.

64. Medina R. Asymptotic properties of solutions of nonlinear difference equations //J. Comput. Appl. Math. 1996. V. 70, №. 1. P. 57-66.

65. Mickens R. Difference Equations. Van Nostrand Reinhold, New York, 1990.

66. Miller K.S. Linear Difference Equations. W.A. Benjamin, New York, 1968.

67. Papaschinopoulos G., Schinas C.J. Stability of a class of nonlinear difference equations // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 230, №. 1, P. 211-222.

68. Peng M., Huang L., Xu Q. Oscillation and stability for a class of nonlinear difference equations of higher order //J. Math. Study. 1997. V. 30, №. 3. P. 303-307.

69. Yoshizawa T. Stability Theory by Lyapunov's Second Method. Math. Soc. Japan, Tokyo, 1966.

70. Zhou Z., Zhang Q. Uniform stability of nonlinear difference systems // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 225, №. 2. P. 486-500.