Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сабатулина, Татьяна Леонидовна

• Сабатулина, Татьяна Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сабатулина, Татьяна Леонидовна

Обозначения

Введение

Глава I. Объект исследования и постановка задачи

§ 1.1 Примеры биологических моделей и их эволюция.

§ 1.2 Линейное функционально-дифференциальное уравнение

§ 1.3 Линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием и его свойства.

Глава II. Линейные автономные уравнения с распределённым запаздыванием

§ 2.1 Автономные уравнения и их свойства.

§ 2.2 Устойчивость линейных автономных дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием.

§ 2.3 Устойчивость линейных автономных дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием. Общий случай

§ 2.4 Положительность функции Коши.

Глава III. Линейные неавтономные уравнения с распределённым запаздыванием

§ 3.1 Положительность функции Коши уравнения (1.23).

§ 3.2 Положительность функции Коши уравнения (1.24).

§ 3.3 Устойчивость уравнения (1.23).

§ 3.4 Устойчивость полуавтономных уравнений.

Глава IV. Приложение к моделям

§4.1 Обобщённая модель Хатчинсона.

§ 4.2 Модели кроветворения

4.2.1 Обобщённая модель Ласоты-Важевски.

4.2.2 Обобщённая модель Мэкки-Гласса.

§ 4.3 Обобщённая модель мясных мух Николсона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием»

Актуальность темы исследования. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), начало которой было положено в 50-х годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса [30] и H.H. Красовского [21], за последние 50 лет оформилась в самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел теории дифференциальных уравнений. Ее основы излагаются, например, в монографиях Э. Пинни [33]; Р. Беллма-на и К. Кука [6]; Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [61]; А.Д. Мышкиса [31]; Дж. Хейла [53]; Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1]; В.Г. Пименова и A.B. Кима [34]; циклах работ С.Н. Шиманова [55-59] и A.M. Зверкина [9,14-16]. Если дифференциальное уравнение изучается на бесконечном промежутке, то для него определяющую роль играют вопросы устойчивости, и здесь функционально-дифференциальные уравнения не составляют исключения. На них легко были перенесены классические понятия устойчивости, введённые A.M. Ляпуновым для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для исследования устойчивости решений ФДУ наряду с модификациями классических методов (метод D-разбиений, принцип аргумента, критерии Понтрягина, Эрмита-Билера, Чеботарёва-Меймана), возникли новые методы (метод функционалов Красовского, теоремы Разумихина, W-метод Азбелева). Вопросы устойчивости ФДУ изучались в десятках монографий и сотнях статей; отметим лишь несколько монографий, либо полностью, либо в значительной своей части посвященных вопросам устойчивости ФДУ: [79], [6], [3], [53], [17], [21], [75], [31], [36], [35], [52]. Наиболее полная библиография (415 наименований) содержится в монографии Н.В. Азбелева и П.М. Симонова [3].

Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ. Особый интерес вызывали результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия на получение именно таких признаков: A.A. Андронов [4], П.С. Громовой [9], С.А. Гусарепко [10], Ю.Ф. Долгий [12,13], A.M. Зверкин [15], А.И. Кирья-нен [19], М.М. Кипнис [18,83], В.В. Малыгина [25,26], Ю.М. Репин [38], З.И. Рехлицкий [37], С.Н. Шиманов [55-59], Т. Amemiya [63], L. Berezansky и Е. Braverman [64,67], Т. Burton [71,72], I. Györi [77,78], N. Hayes [80], Т. Krisztin [84], G. Ladas [86], E. Liz [85], X. Tang [96], T. Yoneyama [101], J.A. Yorke [102] и др.

Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, да и в дальнейшем этим уравнениям посвящалось большинство исследований. Уравнения с распределенным запаздыванием (в других терминах — интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением) исследованы гораздо меньше. Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида, потому эти признаки часто далеки от точных. Исключение составляют работы, в которых целенаправленно изучались ФДУ с распределенным запаздыванием; они появились относительно недавно, и их немного. Это работы S. Wu, S. Gan [100] и М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74], в которых для вещественных а и к получен критерий асимптотической устойчивости уравнения x(t) + ax(t) + к / x(s) ds — 0,

Jt-h а также работы М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной [7,18], в которых (для вещественного к) был найден критерий асимпототической устойчивости уравнения к Г x(t) — — — / x(s)ds. h Jt-t-h

Для частного случая этого уравнения (при г = 0) критерий асимптотической устойчивости был установлен в работе J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93].

Результаты этих исследований сразу обращают внимание на существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздыванием; это указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.

Математические модели в биологии. Одна из причин быстрого развития теории ФДУ — то, что эти уравнения с самых первых работ связывались с прикладными задачами. В частности, математическая биология, в особенности исследования динамики популяций, была и остается как источником новых задач, так и объектом приложения новых результатов. При этом особое внимание всегда уделялось задачам, требующим прогнозировать развитие популяции на достаточном большом временном промежутке.

Если биологическая система существует в неизменном виде достаточно долгое время, то она обладает способностью противостоять возмущениям со стороны окружающей среды. Эту способность системы естественно назвать устойчивостью. Описать границы области устойчивости — значит указать те условия существования системы, выход за которые может привести к её разрушению. Чтобы их описание было содержательным, оно должно быть количественным, то есть математическим.

Кроме того, изучение многих биологических процессов в принципе невозможно иными методами, кроме построения адекватной математической модели: в живой природе опасны эксперименты с необратимыми (или непредсказуемыми) последствиями, а наблюдение за развитием живых организмов на небольшом промежутке времени не всегда даёт основания для надёжной экстраполяции.

Для математического моделирования динамически развивающихся систем используется производная (имеющая значение скорости изменения изучаемого объекта), а значит, дифференциальные уравнения и системы. Довольно долго исследователи динамики популяций ограничивались моделями, представляющими собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие модели характеризуются предположением, что скорость изменения изучаемого объекта (численности популяции) в любой момент времени зависит только от состояния объекта в тот же момент времени. Однако желание описать процесс точнее привело к тому, что эта гипотеза стала заменяться более гибкой: скорость изменения объекта зависит не только от его состояния в данный момент времени, но и от «предыстории», то есть от состояний в некоторые предыдущие моменты времени.

Одна из самых известных биологических моделей, в которой учитывается эффект запаздывания по времени — уравнение Хатчинсона [82,99], описывающее динамику популяций при условии ограниченности ресурсов: где АГ(^) — величина популяции в момент времени К — максимальное число особей, способных прокормиться при заданном количестве пищи, г — коэффициент прироста популяции, к — запаздывание по времени. Наличие запаздывания 1г > 0 привело к появлению немонотонных решений, оцилля-ции решения около положения равновесия, существованию точек бифуркации и периодических режимов. Всё это богатство свойств решений, каждое из которых легко интерпретировать как некоторое свойство популяции, показывает, что уравнение Хатчинсона является более адекватной моделью, чем логистическое уравнение, которое соответствует случаю /1 = 0.

Учёт запаздывания позволил описывать динамику популяций более глубоко и полно: вслед за моделью Хатчинсона (1948 г.) появились модель Ласоты-Важевски (1976 г.), модель Мэкки-Гласса (1977 г.), модель Никол-сона (1980-1983 гг.). Модель Николсона описывает динамику популяции лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными.

Устойчивость численности популяции, то есть способность популяции возвращаться к равновесному состоянию, математически описывается как устойчивость решений выбранного в качестве модели уравнения. Математические определения устойчивости даются в рамках теории дифференциальных уравнений соответствующего класса. Все перечисленные модели динамики популяций являются нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. Исследование асимптотических свойств их решений в большинстве случаев проводится по следующей схеме: изучаются свойства линейного приближения (как можно точнее) и на их основе делаются выводы о поведении решения нелинейного уравнения. Если исходная модель учитывала эффект последействия, то его линейное приближение попадает в класс линейных функционально-дифференциальных уравнений. Поэтому с прикладной точки зрения наиболее интересными являются результаты, дающие эффективное (и возможно более точное) описание области устойчивости конкретных классов таких уравнений.

Развитие идеи запаздывания привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко: вместо одного запаздывания появилось несколько, запаздывание и коэффициенты начали зависеть от времени, наконец, наряду с сосредоточенным стали рассматривать распределённое запаздывание.

Интересно отметить, что первая модель динамики популяции, в которой учитывался эффект последействия, была как раз уравнением с распределённым запаздыванием: В. Вольтерра в работах 1926-28 годов рассматривал интегро-дифференциальное уравнение [97] m = Ht) (l - ^jïï I jT fit - s)N(s) ds^j N(t), t > 0, (0.1) моделирующее влияние на смертность ухудшения условий окружающей среды, вызванного накоплением отходов и умерших организмов. Вводя в логистическое уравнение интегральное слагаемое, Вольтерра стремился учесть всю историю процесса от начального момента до текущего. К сожалению, эти работы не были замечены и оценены другими исследователями и потому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений. Однако на фоне успешного использования моделей с запаздыванием (поначалу только сосредоточенным и даже постоянным) идея распределённого запаздывания не могла не возникнуть снова. Очевидно, что есть ситуации, где введение сосредоточенного запаздывания не имеет смысла (как в приведённой выше модели Вольтерра — загрязнение окружающей среды, носит, очевидно, кумулятивный характер). Однако даже когда сосредоточенное запаздывание достаточно хорошо описывает моделируемый процесс, на самом деле имеет место некоторое «размытие» запаздывания вблизи некоторого среднего значения. В этом случае использование распределённого запаздывания позволяет учитывать вероятностные эффекты в моделях, которые в противном случае были бы детерминированными. Единственное (но существенное) отличие современных моделей с распределённым запаздыванием от модели Вольтерра состоит в том, что длина промежутка интегрирования, как правило, предполагается ограниченной — учитывать всю историю процесса «от начала времён» вряд ли необходимо. Например, уравнение Хатчинсона с распределённым запаздыванием, которое является обобщением уравнения (0.1), выглядит так:

N(t) = r(t) (l - 1 jT J N(s) ds^j N{t), t ^ 0.

На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются (см. например, недавний обзор [70] об уравнении Николсона). С другой стороны, модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но оказывается, что для них признаков устойчивости мало, а те, что получаются как следствие из теорем общего вида — далеки от точных.

Таким образом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей.

Основной объект изучения — линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием: rt-r(t) x(t) + a(t)x(t) + / k(t, s)x(s) ds = f(t), t <E R+. (0.2)

J t—r(t)—h(t)

Наибольшее внимание в работе уделяется интегральному слагаемому, которое является определяющим при изучении асимптотических свойств решения. Добавление слагаемого a{t)x(t) продиктовано желанием применить полученные для линейного уравнения результаты к исследованию биологических моделей, в которых это слагаемое обоснованно присутствует.

Цели и задачи исследования. Цель настоящей диссертации — изучение асимптотических свойств решений линейных дифференциальных уравнений (0.2), при этом основное внимание уделяется признакам устойчивости и знакоопределенности.

Такие признаки должны быть:

- эффективными, то есть давать результат в терминах параметров исходного уравнения;

- точными, то есть должна быть показана либо необходимость, либо существенность всех предположений;

- наглядными, то есть представленными в виде области на плоскости или в пространстве параметров уравнения.

В качестве реализации полученных результатов ставится задача описания свойств биологических моделей, которые обеспечивают устойчивость численности биологического сообщества (для уравнений динамики популяций Хатчинсона и Николсона) или численность эритроцитов (в моделях кроветворения Мэкки-Гласса и Ласоты-Важевски).

Теоретические основы и методы исследования. Методы современной теории ФДУ предполагают применение, с одной стороны, методов классических комплексного и вещественного анализа, с другой стороны, специфических методов, разработанных за полвека развития теории ФДУ. В вопросах теории ФДУ мы в основном опираемся на результаты и следуем традициям научной школы проф. Н.В. Азбелева.

Не менее важным основанием проведённых исследований послужили стремительно развивающиеся возможности программного обеспечения. С помощью программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. признаки устойчивости и положительности решений исследуемых моделей удалось представить в наглядном и удобном для практического использования виде.

Научная новизна и практическая значимость результатов. Основными результатами диссертации являются следующие. Впервые получены необходимые и достаточные условия устойчивости и положительности решений автономного уравнения (0.2), которые включают все предыдущие результаты такого рода как частные случаи (см. работы М.М. Кип-ниса и М.Ю. Вагиной [7,18]; М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74]; S. Wu, S. Gan [100]; J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93]). Получены точные достаточные условия устойчивости и положительности решений неавтономного уравнения (0.2). Удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию результатов, прргчём даже в случаях четырёх- и пятимерного пространств параметров. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций (Хатчинсона, мух Николсона) и кроветворения (Ласоты-Важевски, Мэкки-Гласса), получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Представление в пригодном для непосредственного практического использования виде полагалось в работе не менее важным, чем аналитическое описание. С этой целью каждый существенный результат диссертации приводится в двух видах: в аналитической записи и в геометрической интерпретации.

Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов. Это определяет практическую значимость результатов данной работы, которые существенно расширяют наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Результаты работы можно использовать также при исследовании моделей, возникающих в экономике, технике, иммунологии и других моделей, для описания которых требуются дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием.

Структура и основные результаты работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 113 страниц, включая 18 рисунков. Библиографический список содержит 102 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сабатулина, Татьяна Леонидовна

Основные результаты работы:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода как частные случаи.

2. Получены достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, а также показана их точность.

3. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. указанные признаки удалось представить в наглядном и удобном для практического применения виде.

4. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций и кроветворения получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Заключение

Целенаправленное изучение дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием позволило найти для них области устойчивости и знакоопределенности. Существенное отличие их от соответствующих результатов для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием прямо указывает на необходимость при учете эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием оказываются тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов, расширив тем самым наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сабатулина, Татьяна Леонидовна, 2011 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Известия вузов. Математика. 1994. № 6. С. 20-27.

3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

4. Андронов A.A., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 368 с.

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

7. Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. 2003. № 4. С. 167-173.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

9. Громова П.С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция-решение уравнения с отклоняюпщмея аргументом / / Дифферент уравнения. 1968. Т. 4, № 10. С. 1774-1784.

10. Гусаренко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцил-ляционных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

11. Гусарепко С.А., Жуковский Е.С., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами // ДАН СССР. 1986. Т. 287. №2. С. 268-272.

12. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996. 84 с.

13. Долгий Ю.Ф. Использование самосопряженных краевых задач при исследовании устойчивости периодических систем с запаздыванием // Труды ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12. № 2. С. 78-87.

14. Зверкин A.M. Исследование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высшей школы. Физ.-матем. науки. 1959. №1. С. 30-37.

15. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями, соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1481-1492.

16. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 882-885.

17. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

18. Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Мат. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5. С. 786-789.

19. Киръянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. СПб.: Издательство Санкт-Петербургск. ун-та, 1994. 240 с.

20. Коплатадзе P.P., Чантурия Т.А. О колеблющихся и монотонных решениях дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1982. № 8. С. 1463-1465.

21. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

22. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

23. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды. Пермь: ПГУ, ПСИ, ПССГК, 2003. 306 с.

24. Малыгина В. В. О положительности функции Коши линейного уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. 2006. № 2. С. 80-84.

25. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производной // Изв. вузов. Математика. 1992. №7. С. 46-53.

26. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72-85.

27. Малыгина В.В., Куликов А.Ю., Чудинов K.M. Неулучшаемые достаточные условия устойчивости скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вычислительная механика. 2008. №7. С. 106-119.

28. Малыгина В.В., Сабатулина Т.Д. Знакоопределённость решений и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2008. № 8. С. 73-77.

29. Мартынюк A.A., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1979. 272 с.

30. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 256 с.

31. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

32. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

33. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

34. Пименов В.Г., Ким A.B. г-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 256 с.

35. Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1986. 109 с.

36. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983. 360 с.

37. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 29-32.

38. Репин Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях // Учён. зап. Урал, ун-та. Свердловск, 1960. Вып. 23. С. 34-42.

39. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

40. Сабатулина Т.Д. Об устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2005. Выпуск 2. С. 110-113.

41. Сабатулина Т.Д. Решение уравнений динамики популяций с распределённым последействием // Математическое моделирование в естественных науках. Тез. докл. 15 Всеросс. конф. молодых учёных. Пермь: ПГТУ. 2006. С. 79.

42. Сабатулина Т.Д. Об устойчивости одного класса дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2007. № 6. С. 99-106.

43. Сабатулина Т. Л. О положительности функции Коши одного интегро-дифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С.122-123.

44. Сабатулина Т.Л. Признаки положительности функции Коши уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2008. № 7. С. 140-149.

45. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости обобщённого уравнения Хатчинсона с распределённым переменным запаздыванием // Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1. С. 46-56.

46. Сабатулина Т.Л. Признаки положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2010. №11. С. 50-62.

47. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ, Прикладная математика и механика, 2004. № 1. С. 112-118.

48. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса систем дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ, Прикладная математика и механика, 2006. №4. С. 27-34.

49. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об условиях положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Вычислительная механика. 2006. №5. С. 71-75.

50. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. № 6. С. 5563.

51. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80 с.

52. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.

53. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 с.

54. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // Прикладн. математика и механика. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 836-844.

55. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладн. математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 450-458.

56. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 102-116.

57. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения системы с запаздыванием по времени // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 1. С. 55-63.

58. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 3. С. 447-457.

59. Щеглов В.А. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 12. С. 1665-1669.

60. Элъсголъц Н.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

61. Agarwal R. P., Domoshnitsky A. Nonoscillation of the first order differential equations with unbounded memory for stabilization by control signal // Appl. Math. Computat. 2006. Vol. 173. № 1. P. 177-195.

62. Amemiya T. On the Delay-Independent Stability of Delayed Differential Equations of the 1st Order // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. №1. P. 13-25.

63. Berezansky l, Braverman E. On stability of some linear and nonlinear delay differential equations// J. Math. Anal. Appl. 2006. V.314. №2. P. 391-411.

64. Berezansky L., Braverman E. On non-oscillation of a scalar delay differential equation // Dynam. Systems Appl. 1997. V. 6. P. 567-580.

65. Berezansky L., Braverman E. On oscillation of equations with distributed delay // Z. Anal. Anwendungen. 2001. V.20. №2. P. 567-580.

66. Berezansky L., Braverman E. On exponential stability of linear differential equations with several delays //J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 324. P. 1336-1355.

67. Berezansky L., Braverman E. Linearized oscillation theory for nonlinear equation with a distributed delay // Appl. Math, and Comp. Model. 2008. V. 48. P. 287-304.

68. Berezansky L., Braverman E.} Domoshnitsky A. First order functional differential equations: nonoscillation and positivity of Green's functions // Functional different, equat. 2008. № 1-2. P. 57-94.

69. Berezansky L., Braverman E., Idels L. Nicholson's blowflies differential equations revisited: Main results and open problems // Appl. Math. Model. 2010. V. 34. №6. P. 1405-1417.

70. Burton T.A. Liapunov's direct method for delay equations // Proc. 11th Internat. Conf. nonlinear oscillations. Budapest, 1987. P. 26-33.

71. Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for non-autonomous functional differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. V. 3. P. 285-293.

72. Erbe L. H., Kong Q., Zhang B. Oscillation theory for functional differential equations. New York: Marcel Dekker, 1995.

73. Funacubo M., Hara T., Sakata S. On the uniform asymptotic stability for a linear integro-differential equation of Volterra type //J. Math. Anal. Appl. 2006. № 324. P. 1036-1049.

74. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

75. Gurney W. S. C., Blythe S. P., Nisbet R. M. Nicholson's blowflies revisited 11 Nature. 1980. №287. P. 17-21.

76. Gyori I., Ladas G. Oscillation theory of delay differential equations with applications. New York: Clearendon Press, Oxford University Press, 1991.

77. Gyori Hartung F. Stability in delay perturbed differential and difference equations // Fields Istitute Communications. 2001. V. 29. P. 181-194.

78. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York: Academic Press, 1966.

79. Hayes N.D. Roots of the transcendental equation associated with acertial differential-difference equation //J. London Math. Soc. 1950. Vol.25. P. 221-246.

80. Horn R., Johnson C. Matrix Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.

81. Hutchinson G.E. Circular causal in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

82. Krisztin T. On stability properties for one-dimensional functional-differential equations // Funkcial. Ekvac. 1991. V. 34. №2. P. 241-256.

83. LizE., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for scalar functional differential equations // SIAM J. Math. Anal. 2003. №35. P. 596-622.

84. Ladas G., Sficas Y.G., Stavroulakis LP. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations 11 Proc. of AMS. 1983. № 88. P. 247-253.

85. Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. 1977. V. 197. P. 287-289.

86. May R.M. Models for single populations // Theoretical Ecology: Principles and Applications (ed. May R.M.). Oxford: Blackwell Scientific, 1976. P. 4-25.

87. Morgenthal K. Uber das asymptotische der Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit Nachwirkung // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 1985. Bd. 4. №2. 8. S. 107-124.

88. Nicholson A.J. Compensatory reactions of populations to stresses, and their evolutionary significance // Austral. J. Zool. 1954. №2. P. 1—8.

89. Nicholson A. An outline of the dynamics of animal populations // Austral. J. Zool. 1954. № 2. P. 9-65.

90. Nisbet R., Gurney W. Modelling fluctuating populations. New York: John Wiley, 1982.93. de Oliveira J.C.F., Carvalho L.A. V. A Lyapunov functional for a retarded differential equation // SIAM. J. Math. Anal. 1985. № 16. P. 1295-1305.

91. Sabatulina T.L. On the positiveness of the Cauchy function of integro-differential equations with bounded aftereffect // Functional differential equation. 2008. №.3-4. P. 273-282.

92. Sugie J. Oscillation solutions of scalar delay-differential equations with state dependence // Applicable Analysis. 1988. V. 27. № 1-3. P. 217-227.

93. Tang X.H. Asymptotic behavior of delay differential equations with instantaneously terms // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 302, № 2. P. 342359.

94. Volterra V. Sur la theorie Mathematique des phenomenes hereditaires // J. Math. Pures Appl. 1928. №7. P. 249-298.

95. Wazevska-Czyzevska M., Lasota A. Mathematical problems of dynamics of red blood cells production (Polish) // Mat. Stos. 1976. V. 3. № 6. P. 23-40.

96. Wrigth E.M. A nonlinear difference-differential equation // J. Reine und angew. Math. 1955. Bd. 194. S. 66-87.

97. Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. № 56. P. 2426-2443.

98. Yoneyama T., Sugie J. On the stability region of scalar delay-differential equations// J. Math. Anal. Appl. 1988. V. 134, №2. P. 408-425.

99. Yorke J.A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations// J. Different. Equat. 1970. V. 7, № 1. P. 189-202.