О свойствах решений разностных уравнений с последействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Косарева, Наталья Петровна

• Косарева, Наталья Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косарева, Наталья Петровна

Введение

1 Общее описание метода построения функционалов Ляпунова

1.1 Об устойчивости дискретных систем.

1.2 Описание процедуры построения 'функций Ляпунова для систем с дискретным временем

2 Об асимптотическом поведении линейных систем с переменными параметрами и последействием

2.1 Постановка задачи

2.2 Дополнительные сведения об устойчивости.

2.3 Существование предела решений.

2.4 Существование аттрактора.

2.5 Условия устойчивости линейного разностного уравнения

2.6 Условия асимптотической устойчивости решения разностного уравнения.

3 Об одном методе построения функционалов Ляпунова

3.1 Детерминированные системы

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Дополнительные факты об устойчивости детерминированных систем.

3.1.3 Скалярная система с конечным запаздыванием

3.1.4 Уравнения Вольтерра.

3.2 Стохастические системы.

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Дополнительные факты об устойчивости стохастических систем.

3.2.3 Скалярная стохастическая система с конечным запаздыванием.

3.2.4 Уравнения Вольтерра.

4 О свойствах решений некоторых разностных систем с переменными коэффициентами

4.1 Уравнения неустойчивого типа

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 О свойстве колеблющегося решения уравнения неустойчивого типа.

4.1.3 О свойстве финально ненулевого решения уравнения неустойчивого типа.

4.2 Уравнения устойчивого типа.

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 О свойстве финально ненулевого решения уравнения устойчивого типа.

4.2.3 Об ограниченности последовательности \уп\.

4.2.4 О неубывании функции уп.

4.2.5 О свойствах финально положительных решений . 115 4.3 Пример использования принципа сравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах решений разностных уравнений с последействием»

Изучение разнообразных явлений окружающего мира приводит к заключению, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим не только от их настоящего, но и существенно определяется всей предысторией. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи уравнений с последействием. Многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, биологии, экономики, медицины и других отраслей описываются дифференциальными уравнениями с последействием. Учет эффекта последействия оказывается важным для правильного качественного и количественного описания различных систем и процессов.

За последние десятилетия появилось множество теоретических исследований качественных свойств систем с последействием, осуществляемых в различных направлениях (например, работы А. Д. Мышкиса, J. Hale, R. Bellman, К. Кука, Я. 3. Цыпкина, Б. С. Разумихина, Н. Н. Красовского, С. Corduneanu, V. Lakshmikan-tham, D. Trigiante, Т. A. Burton (см., [23] — [26], [29], [30] — [33])).

Одним из направлений этих исследований является оптимальное управление. Изучение поведения и конструирование систем управления, обладающих требуемыми в приложениях свойствами, является ключевой задачей теории управления. При этом на первый план выдвигаются такие свойства систем, как устойчивость, оптимальность, поведение в присутствии неопределенных помех и так далее.

Общее понятие абстрактной системы сформировалось за последние 20-30 лет, оно обладает большой общностью, и его строгое определение достаточно сложно.

На описательном уровне под эволюционной системой можно понимать техническую, физическую, биологическую, экологическую и любую иную систему, для которой изучаются изменения, протекающие в ней с течением времени. Математически эволюционные системы могут описываться различными способами. Укажем наиболее часто встречающиеся классы эволюционных систем и способы их описания: непрерывные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями; дискретные системы, описываемые конечно-разностными уравнениями; системы с распределенными параметрами, описываемые эволюционными уравнениями в частных производных, такими, как, например, уравнения теплопроводности, колебаний, гидродинамики; системы с последействием, для описания которых используются функционально-дифференциальные уравнения. Такие системы возникают тогда, когда протекание процесса определяется не только состоянием системы в данный момент, но также и предысторией процесса; стохастические системы. Стохастической может быть любая из названных выше систем, для описания которой используются вероятностные понятия и методы.

Приведем примеры эволюционных систем: солнечная система, которая описывается с очень высокой степенью точности системой обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых из закона всемирного тяготения Ньютона; движение жидкости, обычно описываемое нестационарным уравнением в частных производных Навье-Стокса. Для описания турбулентных движений часто используют вероятностные методы; движение самолета. В зависимости от требований точности такая система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями либо при учете упругих элементов конструкций — уравнениями в частных производных. При использовании ЭВМ в контуре управления возникают разностные уравнения.

Необходимо отметить, что одна и та же реальная физическая система может быть описана разными математическими моделями в зависимости от целей исследования и требований точности адекватности описания.

При рассмотрении различных практических задач управления существенную роль играет теория устойчивости. Термин "устойчивость" очень выразителен и имеет много различных значений: устойчивость движения, способность движущейся под действием приложенных сил механической системы почти не отклонятся от этого движения при каких-нибудь незначительных случайных воздействиях (легкие толчки, слабые порывы ветра и тому подобное). Движение, не обладающее этой способностью, является неустойчивым. Условия, при которых имеет место устойчивость движения, называются критерием устойчивости. Устойчивостью движения должны обладать автомобиль, самолет, снаряд, ракета и другие используемые в технике движущиеся объекты; устойчивость равновесия, способность механической системы, находящейся под действием сил в равновесии, после незначительного отклонения возвращаться в положение равновесия; устойчивость энергосистемы, способность энергосистемы восстанавливать исходное (или близкое к нему) состояние после какого-либо возмущения, проявляющегося в отклонении параметров системы от номинального значения. Обеспечивается, например, устройствами автоматического регулирования напряжения и частоты и средствами релейной защиты;

Под устойчивостью в диссертационной работе будем понимать свойство системы или какого-либо состояния сохраняться при малых изменениях начальных состояний, внешних воздействий, параметров системы и так далее.

Конечно, при математической формализации это понятие нуждается в уточнении, причем такая формализация может быть сделана по-разному.

Это приводит к различным математическим понятиям, часть из которых в дальнейшем строго определена.

При исследовании реальных объектов зачастую приходится принимать во внимание разнообразные неопределенные факторы, действующие на систему. Указанные факторы могут быть связаны, например, с неопределенностью в силах, действующих на систему, запаздыванием и ошибками программы управления и другими. Возможны разные способы математической формализации неопределенностей. При вероятностном подходе, используемом в диссертации, разного рода неопределенности интерпретируются как случайные процессы.

Широкий спектр проявлений эффекта последействия дает основание считать его универсальным свойством окружающего мира. Описанию и исследованию моделей реальных явлений, учитывающих последействие, посвящены многие исследования, библиография которых содержится, например, в работах [9, 10, 17, 18, 19, 23].

Ниже приведем некоторые примеры моделей с последействием.

В биологических системах передача управляющего сигнала связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие или вымирание (см., например [10, 20]). В связи с этим эволюция биологической системы в будущем существенно зависит от всей ее предыстории. Учет этой предыстории приводит к появлению последействия в уравнениях системы. Кроме, того при исследовании биологических систем введение последействия позволяет учесть различные неопределенные факторы, например, неоднородность возраста популяции, конечную длительность времени взаимодействия и жизни, конечность времени, необходимого для принятия внешних сигналов и выработки ответной реакции, дискретность сезона развития.

Уравнения с последействием эффективно используются при описании функционирования различных систем живого организма. Изучались математические модели иммунологии, модели наследственного типа для описания функционирования щитовидной железы, системы поддержания уровня сахара в крови, процессов кроветворения (примеры см. в [10]). Рядом параметров в этих моделях можно управлять (температурой, режимом питания, количеством и видом применяемых лекарств).

При этом многие параметры систем измеряются в дискретные моменты времени и поэтому необходимо рассматривать соответствующие разностные уравнения.

Уравнения в конечных разностях в их различных формах давно изучаются во многих разделах математики. Интересные проблемы в этой области возникли в связи с новыми запросами технических наук. Уравнения в конечных разностях оказались весьма удобной моделью для описания дискретных динамических систем, а также для математического моделирования импульсных систем. Это хорошо показано, например, в монографии Я.З. Цыпкина [15] по импульсным системам. Теорию устойчивости дискретных систем впервые систематически изучал Вольфганг

Хан; изложение этой теории и библиографические указания можно найти в [21]. Интерес к дискретным системам повысился и в связи с использованием цифровых вычислительных машин. Очевидно также, что задачи сходимости итерационных процессов — это фактически задачи устойчивости дискретных систем. К уравнениям в конечных разностях сводятся импульсные и ударные системы. Иллюстрацией данного факта могут служить примеры приведенные в работе [14]. Также к разностным уравнениям приводит применение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений, дискретизация ряда уравнений с непрерывным временем.

Наряду с этим, уравнения в конечных разностях представляют самостоятельную теоретическую ценность. Одним из важных направлений в теории разностных уравнений является исследование свойств решений линейных разностных уравнений, где значительное место занимают работы, посвященные устойчивости (см., например, [4]— [7], [2, 11, 24, 34, 35, 36, 56, 58]).

В диссертации методом исследования устойчивости систем уравнений выбран второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова). Метод Ляпунова является не только одним из основных методов анализа уже созданных, существующих систем, но также важным методом синтеза вновь создаваемых систем управления. С его помощью можно находить достаточные условия устойчивости. В качестве инструмента исследования во втором методе используются некоторые специальные функции, называемые функциями Ляпунова. В теории устойчивости Ляпунова исследуется на устойчивость какое-нибудь одно решение.

В классической работе Ляпунова [1] сформулированы основные теоремы, которые полностью решают большинство задач устойчивости, но их применение в ряде случаев сложно, поскольку трудно построить функции Ляпунова, удовлетворяющие условиям этих теорем. Многие авторы развили идеи Ляпунова в своих работах, в которых доказали модифицированные теоремы Ляпунова. В этих теоремах используются более простые функции Ляпунова. Некоторые из них, например, теоремы Барбашина - Красовского, Матросова, Румянцева, сформулированы в [2, 24].

Важным представителем сисем с неограниченным последейсвием являются уравнения Вольтерра, то есть уравнения, зависящие от рассматриваемого процесса на всем интервале времени от начального до текущего моментов. Уравнения типа Вольтерра изучали, например,

A. Д. Мышкис, В. Б. Колмановский, А. М. Родионов, Л. Е. Шайхет,

B. Р. Носов, R.K. Miller, Н. Brunner, Р. J. Van der Houwen, S. Elaydi (см., например, [6, 7, 24, 27, 28, 34, 57, 63]) и другие.

Как отмечалось [6, 7], разница между дискретными уравнениями Вольтерра и дискретными уравнениями с фиксированной конечной памятью существенна. Последние в отличие от уравнений Вольтерра всегда могут быть сведены к системе одношаговых процессов фиксированной размерности, что, в частности, позволяет как сформулировать общие теоремы в терминах существования функций Ляпунова, так и получить конкретные условия устойчивости. Невозможность указанной редукции для дискретных уравнений Вольтерра приводит к формулировкам общих теорем об устойчивости (подобным соответствующим результатам для уравнений с неограниченным запаздыванием) в терминах существования подходящих функционалов, определенных на решениях рассматриваемых уравнений и зависящих от всей предыстории решения.

Еще одним методом исследования устойчивости различных классов систем является первый метод Ляпунова, который основан на линеаризации исходного уравнения (исследование устойчивости по так называемым "уравнениям первого приближения"). Когда исходное уравнение линеаризуют в окрестности одного из решений, и рассматривают линейную систему, которую и называют уравнением первого приближения для исходной задачи. Далее изучают устойчивость полученного линейного уравнения и по ней судят об устойчивости нелинейной системы (см., например, [16], [2]). В настоящей работе данный метод рассмотрен не будет.

В теории устойчивости дискретных систем функция Ляпунова впервые была использована в работах [21], [22].

Приведенный обзор литературы не претендует на полноту. Он лишь отражает основные тенденции применения и развития второго метода

Ляпунова для исследования устойчивости разностных уравнений.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Косарева, Наталья Петровна

Заключение

Основой научных результатов, полученных в диссертации, является исследование качественных свойств решений некоторых уравнений с последействием.

В диссертационной работе получены следующие результаты: для линейных уравнений с переменными параметрами и последействием выявлены следующие условия:

1) существование предела решений нестационарных разностных уравнений;

2) равенство полученного предела нулю;

3) устойчивость нестационарных разностных уравнений;

4) асимптотическая устойчивость нестационарных разностных уравнений.

Для скалярных систем с конечным временем запаздывания и уравнений Вольтерра в детерминированном и стохастическом случаях получены различные условия устойчивости и асимптотической устойчивости в зависимости от разных способов реализации процедуры построения функционалов Ляпунова, базирующуюся на втором методе Ляпунова. Построены графики областей устойчивости с помощью программного пакета Maple V.

121

Для решений нелинейных уравнений Вольтерра получены условия р-су ммиру емости.

Для решений разностных уравнений устойчивого и неустойчивого типов с переменными коэффициентами и отклонениями аргументов получены следующие результаты:

1) условие, при котором любое колеблющееся решение уравнения неустойчивого типа стремится к нулю при п —У оо;

2) условия на коэффициенты уравнения, при выполнении которых для любого решения х(п) уравнения неустойчивого типа функция у(п) = х(п)/х1(п) ограничена для всех достаточно больших п, здесь хх(п) -финально ненулевое решение;

3) условие, при котором любое финально ненулевого решения уравнения устойчивого типа стремится к нулю при п —У оо;

4) условия на коэффициенты уравнения, при выполнении которых для любого колеблющегося решения х(п) уравнения устойчивого типа последовательность \у(п)\ = \х(п)/х\(п)\ ограничена, здесь жДтг) -знакопостоянное решение;

5) условия на коэффициенты уравнения устойчивого типа, при выполнении которых функция у(п) = х(п)/х\{п) не убывает, здесь ^(п) -положительное решение;

6) теорема о свойствах финально положительных решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косарева, Наталья Петровна, 2001 год

1. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. - М. - Л., ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, 1935.

2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., Высшая школа, 1998.

3. Родионов A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных систем. // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 86-93.

4. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием. // Автоматика и телемеханика. 1993. № 11. С. 45-59.

5. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием. // ДАН России. 1993. Т. 22. № 9. С. 1121-1129.

6. Колмановский В.Б., Родионов A.M. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра. // Автоматика и телемеханика. 1995. № 2. С. 3-13.

7. Колмановский В.Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра. // Автоматика и телемеханика. 1995. № И. С. 50-64.

8. Колмановский В.В., Шайхет Л.Е. Асимптотическое поведение некоторых систем с дискретным временем. / / Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 58-66.

9. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., Наука, 1981.

10. Андреева Е.А., Колмановский В.В., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М., Наука, 1992.

11. Колмановский В.В., Хасьминский Р.З. Об устойчивости линейных систем с запаздыванием. — Изв. вузов. Математика, 1966. № 4. С. 5965.

12. Колмановский В. Б. О применении метода Ляпунова к линейным системам с запаздыванием. — Прикладная математика и механика, 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 959-963.

13. Колмановский В.Б. Об одной задаче управления системами с последействием. // Автоматика и телемеханика, 1970, № 10. С. 47-53.

14. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М., Мир, 1971.

15. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М., Физматгиз, 1958.

16. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М., Наука, 1971.

17. Андронов A.A., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика. — 1946. — Т. 7, № 2, 3.

18. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. — М.: Наука, 1983

19. Колмановский В.Б., Мышкис А.Д., Носов В.Р. Современная теория уравнений с последействием с позиций ее приложения. Труды Всесоюзного симпозиума "Современные проблемы математической физики". — Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1987. — Т. 1.

20. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.

21. Hahn W. Theorie und Anwendung der direkten Methode von Ljapunov, Springer Verlag, Berlin ■— Gottingen — Heideberg, 1959.

22. Kaiman R.E., Bertram S.E. Control System Analysis and Design via the "Second method" of Liapunov, part П, Discrete-time systems. Trans. ASME, Series D.J. of Basic Engineering. 82 (1960). № 2. P. 394-400.

23. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. N. Y.: Academic Press, 1988.

24. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Introduction to the theory and applications of Functional Differential Equations. Dordrecht, 1999.

25. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. N.Y.: Springer, 1993.

26. Burton T.A. Volterra integral and differential equations. N.Y.: Academic Press, 1983.

27. Brunner H., Van der Houven P.J. The numerical solution of Volterra equations, CWI Monograph 3. Amsterdam: North-Holland, 1986.

28. Miller R.K. Nonlinear Volterra integral equations. N.Y.: Benjamin, 1971.

29. Corduneanu C. Integral equations and stability of feedback systems. N.Y.: Academic Press, 1973.

30. Bellman R. Kronecker products and the second method of Liapunov. // Math. Nachrichten. 1959. V. 20. № 1-2. P. 12 16.

31. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

32. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения.— М.: Мир, 1967.

33. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.— М.: Наука, 1972.

34. Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Об устойчивости некоторых стохастических уравнений типа Вольтерра. // Дифференциальные уравнения, 1997. № 11. С. 1495-1502.

35. Shaikhet L.E. Necessary and sufficient conditions of asymptotic mean square stability for stochastic linear difference equations. // Applied Mathematics Letters. 1997. Vol. 10. №3. P. 111-115.

36. Косарева Н.П. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений с последействием. // Тезисы докладов "научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". — М. — МГИЭМ, 1998. С. 9.

37. Косарева Н.П. О качественных свойствах решений некоторых уравнений с последействием. // Тезисы докладов Международной конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства". Воронеж, 12—16 октября, 1998. С. 46.

38. Косарева Н.П. О качественных свойствах решений некоторых уравнений с последействием. // Труды Международной конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства". Воронеж, 1998. С. 95-102.

39. Косарева Н.П. Некоторые особенности метода построения функционалов Ляпунова. // Тезисы докладов "научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". — М. — МГИЭМ, 1999. С. 17.

40. Колмановский В.В., Косарева Н.П. Об асимптотическом поведении линейных систем с переменными параметрами и последействием. // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 5. С. 643-648.

41. Kosareva N.P. One Method of Liapunov Functionals Construction. // Proceeding of The Third International Conference on Dynamic Systems & Applications. Atlanta, Georgia, USA, 26—29 May, 1999. P. 32.

42. Косарева Н.П. Об устойчивости некоторых уравнений с переменными коэффициентами и последействием. // Международная конференция по проблемам управления, М. — 1999. Тезисы докладов в трех томах. Том. 1. С. 190.

43. Kosareva N. Some Qualitative Properties of Volterra Difference Equations Solutions. // Proceeding of Conference on Functional Differential and Difference Equations, Lisbon, Portugal, 26—30 July, 1999. P. 16.

44. Колмановский В.В., Косарева Н.П., Шайхет Л.Е. Об одном методепостроения функционалов Ляпунова. // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 11. С. 1553-1565.

45. Косарева Н.П. Об асимптотических свойствах решений разностных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени. // Тезисы докладов "научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". — М. — МГИЭМ, 2000. С. 23.

46. Косарева Н.П. О применении второго метода Ляпунова для исследования устойчивости разностных уравнений. / / Тезисы докладов Пятой Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения". Крым, Алушта, 2000. С. 98.

47. Колмановский В.В., Косарева Н.П. О свойствах решений некоторых разностных систем с переменными коэффициентами. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 11. С. 1554-1559.

48. Косарева Н.П. Об асимптотических свойствах решений разностных уравнений устойчивого типа. // Тезисы докладов "научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". — М. — МГИЭМ, 2001, С. 26-27.

49. Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Об одном способе построения функционалов Ляпунова для стохастических систем с последействием. Дифференциальные уравнения. 1993. № 11. С. 1909-1920.

50. Drozdov A.D., Kolmanovskii V.B. Stability in Viscoelasticity. Amsterdam, 1994.

51. Elaydi S. An introduction to Difference Equations. N-Y, Springer-Verlag, 1996.

52. Wirth F., Hinrichsen D. On stability radii of infinite dimensional time-varying discrete-time systems // IMA J. of Mathematical Control and Information. 1994. № 4. P. 253-276.

53. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

54. Бобылев H.A., Емельянов С. В., Коровин C.K. Оценки возмущений устойчивых матриц // Автоматика и телемеханика. 1998. № 4. С. 1524.

55. Barmish B.R. New Tools for robustness of linear systems. New-York: Macmillan PC, 1994.

56. Djaferis Т.Е. Robust Control Design. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.