Пространственные спецификации моделей волатильности финансовых активов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Лакшина Валерия Владимировна
Лакшина Валерия Владимировна
кандидат наук
2019
- Специальность ВАК РФ08.00.13
- Количество страниц 131
Оглавление диссертации кандидат наук Лакшина Валерия Владимировна
сти
1.4 Сравнение пространственных и непространственных спецификаций
1.4.1 Описание данных и предварительный анализ
1.4.2 Результаты оценивания и сравнения спецификаций
1.5 Выводы
Глава 2. Пространственные спецификации многомерных моделей стохастической волатильности 42 2.1 Обзор многомерных моделей стохастической волатильности . 44 2.1.1 Модели асимметрии
2.1.2 Факторные модели
2.1.3 Модели с длинной памятью
2.1.4 Модели с корреляциями
2.1.5 Прочие модели
2.2 Методы оценки
2.2.1 Метод квази-максимального правдоподобия
2.2.2 Имитационный метод максимального правдоподобия
2.2.3 Метод Монте-Карло
2.2.4 Прочие методы
2.3 Проблема размерности в многомерных моделях стохастической волатильности
2.4 Стохастическая волатильность с ошибками по Стьюденту
2.4.1 Модель
2.4.2 Пример применения модели стохастической волатиль-ности с ошибками по Стьюденту для задачи хеджирования
2.5 Выводы
Глава 3. Приложения многомерных моделей волатильности и их пространственных спецификаций
3.1 Оценка оптимального коэффициента хеджирования
3.1.1 Расчет коэффициента хеджирования с учетом неприятия риска
3.1.2 Расчет динамического коэффициента хеджирования
3.1.3 Показатели эффективности
3.1.4 Сравнение эффективности стратегий хеджирования, основанных на различных многомерных моделях вола-тильности
3.1.5 Выводы
3.2 Моделирование эффектов перетекания волатильности
3.2.1 Методология оценки эффектов перетекания волатиль-ности
3.2.2 Оценка эффектов перетекания волатильности для нефтегазового рынка
3.2.3 Выводы
Заключение
Список литературы
Приложения
Введение
Актуальность темы исследования
В финансовой эконометрике востребованы модели условной дисперсии, зависящей от времени, или гетероскедастичности, поскольку эти модели характеризуют волатильность финансовых активов.
Эмпирические свидетельства взаимосвязи волатильности активов обуславливают важность многомерных моделей волатильности в сферах управления инвестиционными рисками, оптимизации портфелей, а также хеджировании и ценообразования финансовых активов.
В литературе существует большое количество работ по описанию моделей волатильности. Среди них модели класса обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (англ. generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, далее GARCH), а также стохастической волатильности и реализованной волатильности. Большинство моделей сформулированы как в одномерном, так и в многомерном вариантах.
Интересную задачу для исследователя составляет оценка волатильности портфеля, особенно если портфель содержит большое число активов. При этом существующие многомерные модели волатильности содержат такое число неизвестных параметров, что оценить их за приемлемое время с достаточной точностью крайне трудно. Рост может быть настолько быстрым, что число параметров в модели может превзойти число наблюдений и сделать оценку параметров невозможной (Caporin и Paruolo, 2009). В финансовой литературе, посвященной многомерным моделям волатильности, это свойство иногда называют «проклятием размерности» (Caporin и McAleer, 2012). Важным направлением работы является создание многомерных моделей волатильности, в которых проблема размерности была бы решена (Лакшина, 2014).
Одним из возможных путей решения данной проблемы является применение так называемых пространственных матриц (Caporin и Paruolo, 2015).
Название матриц обусловлено тем, что они заимствованы из пространственной эконометрики, а именно из модели пространственного лага (Arbia, 2006). В настоящей диссертации проведено вневыборочное сравнение пространственных спецификаций многомерных моделей волатильности BEKK, GO-GARCH, CCC с их непространственными спецификациями (Лакшина, 2014). Кроме этого, предпринята попытка решения проблемы размерности для другого класса многомерных моделей волатильности, а именно стохастической волатильности, для которой сформулированы новые спецификации с пространственными матрицами.
Необходимо отметить, что пространственная зависимость в контексте настоящего исследования необязательно подразумевает географическую близость объектов исследования. Напротив, пространственные зависимости рассматриваются в более общем контексте экономического расстояния (подробнее см. параграф 1.2.3).
Число параметров в новых спецификациях растет относительно медленно — линейно относительно числа активов в портфеле, что обуславливает актуальность исследования. Кроме этого, пространственные спецификации позволяют строить стратегии динамического хеджирования с учетом взаимосвязей между активами и оценивать эффекты распространения волатильности, что имеет значение для решения практических задач в области инвестиционного менеджмента и управления рисками (подробнее см. главу 3).
Степень проработанности проблемы
С момента выхода основополагающей публикации, посвященной авторегрессионной волатильности, — (Engle, 1982) — появилось значительное количество различных вариаций этой модели, как для одномерного (Bollerslev, 1986; Nelson, 1991; Glosten, Jagannathan и Runkle, 1993; Heston, 1993; Zakoian, 1994), так и для многомерного (Bollerslev, 1990; Harvey, Ruiz и Shephard, 1994; Engle и Kroner, 1995; Engle, 2002; Engle и Kelly, 2012) случаев. Одной из отличительных черт указанных многомерных моделей является наличие значительного числа оцениваемых параметров, что было описано в (Engle и
Kroner, 1995). К примеру, предложенная там же модель VEC подразумевает, что число оцениваемых параметров возрастает не быстрее, чем некоторая константа, умноженная на кросс-секционную размерность модели (в данном случае число активов в портфеле) в четвертой степени. Более подробный анализ проблемы размерности представлен в (Caporin и Paruolo, 2009), где показано, что подавляющее большинство многомерных моделей GARCH демонстрируют квадратичный рост числа параметров относительно числа активов в портфеле. Существуют различные способы борьбы с проклятием размерности в многомерных моделях волатильности. К ним относятся использование ограничений на параметры с целью уменьшения их количества, таргетирова-ние (Caporin и McAleer, 2012) и непараметрические методы (Abadir, Distaso
V
и Zikes, 2014). Примером применения ограничений на параметры является (Caporin и Paruolo, 2015), где авторы сформулировали спецификацию многомерной модели волатильности BEKK (Engle и Kroner, 1995), в которой число параметров растет линейно относительно числа активов в портфеле. Новая спецификация построена с применением так называемых пространственных матриц, которые возникают в моделях пространственной эконометрики. (Anatolyev и Khrapov, 2016) провели тщательное вневыборочное сравнение пространственных и оригинальной спецификаций BEKK, заключив, что в целом применение пространственных матриц улучшает прогнозную силу модели согласно тесту (Hansen, Lunde и Nason, 2011). При этом различные пространственные спецификации BEKK обладают разной предсказательной способностью по отношении к исходной BEKK.
Кроме модели BEKK для решения задач финансовой эконометрики применяются также модели обобщенной ортогональной GARCH (GO-GARCH, (Van der Weide, 2002)), постоянных условных корреляций (CCC, (Bollerslev, 1990)), а также многомерные модели стохастической волатильности (см., например, (Asai и McAleer, 2009a)). Данные модели также подвержены проблеме размерности, но до настоящего момента не обсуждались в литературе в этом контексте.
Методы исследования и данные
В работе использованы методы анализа временных рядов, численного моделирования, а также теории вероятностей и математической статистики. Оценивание моделей было проведено с помощью языка программирования для статистических расчетов R (R Core Team, 2018), включая пакеты rmgarch (Ghalanos, 2014) и rstan (Stan Development Team, 2018), а также программного модуля Stan (Stan Development Team, 2017) для работы с экономет-рическими моделями в рамках байесовского подхода.
Объект и предмет исследования
Объектом исследования является волатильность портфеля финансовых активов. Предмет исследования составляют многомерные модели волатиль-ности двух классов — GARCH и стохастическая волатильность, а также различные их спецификации. Кроме этого, предметом исследования также является эффективность вышеупомянутых моделей в прикладных задачах финансовой экономики, таких как хеджирование и моделирование спилловеров волатильности.
Цель и задачи исследования
Целью исследования является построение и оценка пространственных спецификаций многомерных моделей волатильности, в т. ч. моделей класса GARCH и моделей стохастической волатильности. Задачи включают в себя:
• сформулировать пространственные спецификации для многомерных моделей волатильности класса GARCH;
• сформулировать пространственные спецификации для многомерной модели стохастической волатильности;
• разработать и реализовать процедуру оценки данных моделей;
• провести сравнение пространственных спецификаций с непространственными по различным критериям, включая объясняющую силу, про-
гнозную силу, эффективность в решении прикладных задач;
• привести примеры практического применения полученной модели к задачам инвестиционного менеджмента, в т. ч. оценке оптимального коэффициента хеджирования, моделирования эффектов перетекания.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается в следующем:
• проанализированы шесть спецификаций, включая три пространственных, для многомерных моделей волатильности класса GARCH, а именно ВЕКК, GO-GARCH и ССС;
• разработана многомерная модель стохастической волатильности, для нее предложены пространственные спецификации;
• проведено сравнение пространственных спецификаций с непространственными;
• новые спецификации применены для задачи хеджирования портфеля финансовых активов;
• с помощью пространственных спецификаций проведено моделирование эффектов распространения волатильности для нефтегазового рынка.
Теоретическая значимость
Разработанные спецификации позволяют решить проблему размерности многомерных моделей волатильности как для моделей класса GARCH, так и для стохастической волатильности. Разработанные спецификации позволяют учитывать пространственную зависимость между активами и обладают некоторыми привлекательными свойствами с точки зрения их оценивания. Кроме этого, пространственные спецификации способствуют построению новых и развитию существующих эконометрических моделей.
Практическая значимость
Предложенные спецификации могут применяться для решения различных задач инвестиционного менеджмента, включая построение стратегии хеджирования, оценку рисков, формирование инвестиционного портфеля. Применение пространственных матриц позволяет учитывать взаимосвязи между финансовыми активами по некоторому критерию и тем самым увеличивать количество информации, доступной при принятии инвестиционного решения.
Основные результаты
1. Изучена проблема размерности в многомерных моделях класса GARCH и стохастической волатильности.
2. Сформулированы и проанализированы шесть спецификаций, включая три пространственных, для многомерных моделей класса GARCH — BEKK, GO-GARCH и ^С
3. Для вышеупомянутых моделей проведено эмпирическое вневыбороч-ное сравнение пространственных спецификаций с оригинальными на основании дневных логарифмических доходностей акций двадцати американских компаний, входящих в базу расчета индекса S&P500 и принадлежащих пяти различным отраслям экономики. Точность прогноза всех спецификаций сравнивалась при помощи теста Дайболда и Мари-ано. Показано, что в среднем в 63% случаев пространственных спецификации демонстрируют более высокую или равную прогнозную силу по сравнению с непространственными спецификациями.
4. Предложена новая многомерная модель стохастической волатильности, основанная на применении сложных распределений, сформулировано несколько ее спецификаций, в том числе пространственная. Последняя примечательна тем, что не обладает проблемой размерности. В данной модели инновации имеют распределение Стьюдента, а матрица вола-
тильности — распределение Уишарта. Приведен эмпирический пример оценивания параметров модели на данных российского фондового рынка.
5. Рассматриваемые пространственные спецификации опробованы для решении задачи прямого хеджирования инвестиционного портфеля с учетом степени неприятия риска инвестором. Для этого построены стратегии хеджирования, основанные на максимизации ожидаемой полезности инвестора с учетом неприятия риска. Сравнение моделей класса GARCH и стохастической волатильности в контексте задачи хеджирования показало, что ADCC обеспечивает высокое максимально достижимое снижение риска для 59% рассматриваемых активов. При этом стратегия хеджирования, основанная на стохастической волатильности, позволяет добиться лучшего финансового результата среди рассматриваемых активов в 70% случаев, если инвестор предпочитает риск.
6. Рассматриваемые модели опробованы для моделирования эффектов перетекания волатильности финансовых активов. С помощью пространственных спецификаций многомерной модели ВЕКК оценены эффекты перетекания волатильности для рынка нефти и газа для выборки из 67 фирм из 13 стран мира. Показано, что наибольший положительный эффект перетекания волатильности наблюдается между компаниями, принадлежащими секторам «Разведка и добыча природного газа на суше» и «Нефтегазопереработка». Наибольший отрицательный эффект перетекания волатильности наблюдается между компаниями из секторов «Нефтегазопереработка» и «Нетрадиционная добыча нефти и газа».
Апробация результатов
Основные выводы диссертационного исследования являются результатом экономико-математического моделирования. Применяемые в работе методы теоретического и эконометрического анализа соответствуют принятым в современной научной литературе академическим стандартам.
Основные результаты исследования прошли апробацию в рамках обсуждения на ряде международных научных конференций и научно-практических семинаров:
1. Modern Econometric Tools and Applications — META 2016, Нижний Новгород, 22-24.09.2016, доклад «Stochastic volatility with Student t errors».
2. Третий Российский экономический конгресс, Москва, 21.12.2016, доклад «Байесовское оценивание многомерной модели стохастической во-латильности для случая распределения с тяжёлыми хвостами».
3. XVIII Апрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества, Москва, 13.04.2017, доклад «Хеджирование российских акций с помощью модели многомерной стохастической волатильности».
4. Конференция, посвященная столетию академика Н.П. Федоренко, Москва, 11.05.2017, доклад «Можно ли снять «проклятие размерности»? Пространственные спецификации многомерных моделей волатильности».
5. Modern Econometric Tools and Applications — META 2017, Нижний Новгород, 22-24.06.2017, доклад «Comparing hedging strategies based on MGARCH and MSV».
6. Международная научная школа-семинар «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С. С. Шаталина, Нижний Новгород, 31-4.10.18, доклад «Пространственные аспекты эффектов перетекания волатильности на энергетическом рынке» (Диплом имени Н.Я. Краснера за лучший доклад и высокий уровень результатов исследований с использованием методов математического моделирования).
Публикации
Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих изданиях.
Статьи, опубликованные в изданиях, индексируемых в Scopus:
1. Лакшина, В. (2014). Можно ли снять «проклятие размерности»? Пространственные спецификации многомерных моделей волатильности. Прикладная эконометрика, 36(4), 61—78. Получено c http://ideas.repec. org/a/ris/apltrx/0249.html
2. Лакшина, В. (2016). Динамическое хеджирование с учетом степени неприятия риска. Экономический журнал Высшей школы экономики, 20(1), 156—174. Получено c https://ej.hse.ru/2016-20-1/179161613.html
3. Lakshina, V. и Silaev, A. (2016). Fluke of stochastic volatility versus GARCH inevitability or which model creates better forecasts?" Economics Bulletin, 36(4), 2368—2380. Получено c http://www.accessecon.com/ Pubs/EB/2016/Volume36/EB-16-V36-I4-P229.pdf
Статьи, опубликованные в журналах, входящих в список рекомендованных журналов НИУ ВШЭ:
1. Karatetskaya, E. Y. и Lakshina, V. V. (2019). Multiple hedging on energy market. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 19(1), 105—113
Опубликованные рецензируемые доклады в сборниках конференций, индексируемых в Scopus:
1. Lakshina, V. (2017). Hedging and Risk Aversion on Russian Stock Market: Strategies Based on MGARCH and MSV Models. В A. Althonayan, T. A. Belkina, V. S. Mkhitaryan, D. Pavluk и S. P. Sidorov (Ред.), Proceedings of the The Second Workshop on Computer Modelling in Decision Making (CMDM), 9—10 ноября 2017 (2018, с. 83—92). CEUR
Workshop Proceedings. Saratov, Russia. Aachen. Получено c http://ceur-ws.org/Vol- 2018/#paper-10
Статьи, опубликованные в других изданиях:
1. Lakshina, V. и Karatetskaya, E. (2018). Volatility Spillovers with Spatial Effects on the Oil and Gas Market. Получено c https://ssrn.com/abstract=
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математические и инструментальные методы экономики», 08.00.13 шифр ВАК
Моделирование волатильности финансовых временных рядов при помощи многомерных GARCH и HAR моделей2020 год, кандидат наук Аганин Артём Давидович
Межвременной систематический риск: определение детерминант и портфельная оптимизация2018 год, кандидат наук Асатуров Константин Гарриевич
Динамические модели управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений2008 год, кандидат физико-математических наук Домбровский, Дмитрий Владимирович
Моделирование и оптимизация стратегий портфельного инвестирования2012 год, доктор экономических наук Каранашев, Анзор Хасанбиевич
Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях2006 год, кандидат экономических наук Болтенко, Лилия Ивановна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственные спецификации моделей волатильности финансовых активов»
Структура работы
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложений. Текст диссертации изложен на 131 странице, содержит 5 рисунков, 26 таблиц. Библиография включает 228 источников.
Глава 1. Пространственные спецификации многомерных моделей обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности1
Одну из основных задач финансовой эконометрики сформулировал Bauwens в обзоре литературы по многомерным моделям волатильно-сти (Bauwens, Laurent и Rombouts, 2006): «to provide a realistic but parsimonious specification of the variance matrix ensuring its positivity» — «сформулировать правдоподобную и при этом простую с вычислительной точки зрения спецификацию ковариационной матрицы, которая обеспечивала бы ее положительную определенность», перевод автора.
Многомерные модели волатильности (далее ММВ) можно разделить на модели обобщённой условной авторегрессионной гетероскедастичности (GARCH), модели стохастической волатильности и модели реализованной волатильности. В диссертации обсуждаются модели первой и второй групп. Более подробную информацию о моделях реализованной волатильности можно получить из обзорных статей (Bauer и Vorkink, 2011; Chiriac и Voev, 2011).
Сформулируем предпосылки ММВ (Лакшина, 2014). Будем называть логарифмической доходностью (далее доходностью) xt разность логарифмов цен финансовых активов: xt = log Pt — log Pt-\ в момент времени t. В каждый момент времени доходность представляет собой вектор размерности n, каждый элемент такого вектора имеет длину T,(1.1). Логарифмирование цен финансовых активов восходит к работам «отца» финансовой экономики Луи Башелье, см. (Bachelier, 1900).
xt = E(xt\Ft—i)+ yt, t = 1,...,T (1.1)
1 Данная глава написана по материалам статьи Лакшина, В. (2014). Можно ли снять «проклятие размерности»? Пространственные спецификации многомерных моделей волатильности. Прикладная эконометрика, 36(4), 61—78. Получено c http://ideas.repec.org/a7ris/apltrx/0249.html.
где xt — вектор доходностей финансовых активов размера n х 1 в момент времени t, Tt—\ — вся имеющаяся к моменту t — 1 информация, yt — инновации. Уравнение для инноваций, в свою очередь, выглядит как (1.2).
yt = ^l/2Ct,Ct - f (0, £с; в), (1.2)
где St — условная дисперсия доходностей, или матрица волатильности, т. е. St = E(ytyJ\Ft—i); (t — случайное слагаемое, или стандартизованные инновации; f (0, ; в) — закон распределения вероятностей случайного слагаемого с математическим ожиданием 0 и дисперсией S^, вектор в содержит остальные параметры распределения f. Модели различаются по тому, как параметризована матрица волатильности.
Зачастую параметризации матрицы волатильности подвержены «проклятию размерности». Уменьшить число оцениваемых параметров модели, сохранив при этом смысловую составляющую модели, — одно из основных направлений работы исследователей в данной области (Лакшина, 2014).
В настоящей главе описано, какими способами можно уменьшить число оцениваемых параметров в многомерных моделях волатильности и избавиться от «проклятия размерности». Показано, что некоторые спецификации с меньшим числом параметров превосходят оригинальные спецификации как с точки зрения информационных критериев Акайка и Шварца (внутривыбо-рочное сравнение), так и теста Дайболда и Мариано (Diebold и Mariano, 1995) на сравнение прогнозной силы (вневыборочное сравнение) (Лакшина, 2014).
Глава имеет следующую структуру Первый раздел посвящен обзору литературы по многомерным моделям волатильности и описанию моделей BEKK, GO-GARCH и ССС. Во втором разделе показаны способы снижения числа параметров в описанных моделях, а именно наложение непосредственных ограничений на параметры, таргетирование. В третьем разделе подробно описана параметризация матрицы волатильности с помощью пространственных матриц и сформулированы три новых пространственных спецификаций моделей BEKK, GO-GARCH и ССС. В четвертом разделе анализируется вола-
тильность портфеля из двадцати акций американских компаний, причем каждые четыре компании ведут свою операционную деятельность в одной из 5 секторов экономики. Для указанного портфеля приведены результаты внут-ривыборочного и вневыборочного сравнений трех указанных спецификаций с оригинальными моделями BEKK, GO-GARCH и ССС.
1.1 Обзор многомерных моделей обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности
Авторы (Лакшина, 2014), следуя классификации, предложенной в (Bauwens и др., 2006), подразделяют MGARCH модели на три группы: 1) непосредственные обобщения одномерной GARCH авторства Боллерс-лева (Bollerslev, 1986); 2) линейные комбинации одномерных GARCH; 3) нелинейные комбинации одномерных GARCH. Примерами моделей первой группы служат VEC (Bollerslev, Engle и Wooldridge, 1988), BEKK (Engle и Kroner, 1995), факторные модели (см., например, (De Santis и Gerard, 1998)) и связанные с ними Riskmetrics (Morgan и др., 1996), Cholesky (Tsay, 2002) и полнофакторная MGARCH (Vrontos, Dellaportas и Politis, 2003). Ко второй категории принадлежат ортогональная MGARCH, (Alexander и Chibumba, 1997; Van der Weide, 2002), и MGARCH со скрытым фактором (Fiorentini, Sentana и Shephard, 2004). В третью категорию входят модели условной корреляции (Bollerslev, 1990; Engle, 2002; Engle и Kelly, 2012) и GARCH с копулами (Jondeau и Rockinger, 2006). Различные вариации и обобщения моделей условных корреляций представлены в (Christodoulakis и Satchell, 2002; Tse и Tsui, 2000; Pelletier, 2006).
Рассмотрим три варианта параметризации, изложенных в (Лакшина, 2014), а именно BEKK (Engle и Kroner, 1995), GO-GARCH (Van der Weide, 2002) и CCC (Bollerslev, 1990). Стоит отметить, что выбор данных моделей неслучаен. Каждая из них относится к одному их трех типов ММВ по классификации (Bauwens и др., 2006).
BEKK Среди многомерных моделей волатильности модель BEKK, названная по первым буквам фамилий ее создателей — Baba, Engle, Kraft, Kroner (Baba, Engle, Kraft и Kroner, 1989), является одной из наиболее простых и интуитивно понятных для интерпретации (Лакшина, 2014). В этой модели динамика волатильности задается уравнением (1.3).
K q K p
£ ¿ Aik Vt-iVliAJk + J2Y. k=1 i=l k=l j=1
St = + ^ ^ Aik Vt-VJA + ££ Bjk S- Bjk, (1.3)
где A, B,C — матрицы параметров размера n x n, причём C — нижнетреугольная матрица; p и q имеют тот же смысл, что и в модели GARCH(p,q), т. е. порядок авторегрессии и скользящего среднего; K — порядок модели BEKK; т означает транспонирование.
Условия стационарности матрицы волатильности см. в (Engle и Kroner, 1995; Лакшина, 2014). Если порядок лагов для инноваций и волатильности равен 1, то для достижения стационарности в ковариациях собственные числа суммы матриц «новостного эффекта» и «эффекта обратной связи» (Anatolyev и Khrapov, 2016) должны быть меньше единицы по модулю. В (Engle и Kroner, 1995) показано, что матрица волатильности (1.3) является положительно определенной по построению, поэтому не требует наложения дополнительных условий.
В общем случае модель (1.3) содержит n2(p + q)K + n(n2+1) = O(n2) параметров. Далее, если не сказано иное, рассматривается спецификация с p = q = K = 1. Число параметров в ней равно 2n2 + n(n2+1) = O(n2).
GO-GARCH В модели GO-GARCH (обобщённой ортогональной GARCH) (Van der Weide, 2002) матрица волатильности параметризована следующим образом, (1.4).
= XVtX т, (1.4)
где X — матрица, параметризация которой основана на сингулярном разложении (подробности см. в (Van der Weide, 2002)), Vt — диагональная матрица, вектор диагональных элементов которой задан уравнением (1.5).
Vt = c + A(yt-1 0 yt-1) + Bvt-1,
(1.5)
где A и B — диагональные матрицы, c — вектор размера n x 1, 0 — поэлементное произведение. Уравнение (1.5) эквивалентно n одномерным GARCH моделям.
В модели GO-GARCH матрица волатильности положительно определена (Van der Weide, 2002). Стационарность следует из условия стационарности одномерных GARCH процессов, входящих в уравнение (1.6).
где ац^ и Ьц^ — диагональные элементы матриц А и В соответственно, г = 1,... ,п. Число параметров в данной модели равно п2 + 3п = 0(п2).
CCC Матрица волатильности в модели постоянных условных корреляций ССС параметризована следующим образом, (1.7).
где ^ — вектор условных стандартных отклонений размера п х 1, Я — корреляционная матрица с единицами на главной диагонали. Динамика условных дисперсий V = 0 ^ также задана уравнением (1.5).
Для обеспечения положительной определённости матрицы волатильности необходимо, чтобы а) константа с состояла из положительных элементов, б) матрица Я была положительно определена. Стационарность требует выполнения тех же условий, что и для модели GO-GARCH (Во11е^1е^ 1990), (1.6). В случае когда матрицы А и В не являются диагональными, то для стационарности матрицы волатильности необходимо, чтобы собственные
t + bii,t < 1,
(1.6)
St = DtRDt, Dt = diag(dt),
(1.7)
числа матрицы 1п — А — В должны быть меньше единицы по модулю. Число параметров в данной модели равно 2п2 + п + 2п(п + 1) = 0(п2).
1.2 Способы снижения размерности в многомерных моделях
волатильности
Как было сказано выше, если число оцениваемых параметров в модели растёт быстрее, чем размерность модели (в данном случае, число активов в портфеле), то для такой модели имеет место так называемое «проклятие размерности», или проблема размерности. Например, в модели УЕС число параметров растёт как четвёртая степень числа исследуемых активов, что делает эту модель практически непригодной для анализа достаточно больших портфелей (Саропп и МсА1еег, 2012; Лакшина, 2014).
Как показано в (Лакшина, 2014), количество параметров во всех трёх рассмотренных моделях растёт квадратично относительно числа активов в портфеле. То есть неограниченные модели ВЕКК, GO-GARCH и ССС подвержены «проклятию размерности». В данном параграфе будет показано, как можно уменьшить число оцениваемых параметров в ММВ.
1.2.1 Непосредственные ограничения числа параметров
Наиболее очевидный способ уменьшить число параметров в модели — это наложить на параметры модели некие ограничения (Лакшина, 2014). В многомерных моделях волатильности GARCH типа распространены скалярные и диагональные спецификации.
В первом случае на матрицу параметров накладывается ограничение А = а0 • 1п, где 1п — единичная матрица размера п х п. Для вектора с это ограничение записывается как с = с0 • 1п, где 1п — вектор-столбец размера п х 1, состоящий из единиц. Но из этого ограничения следует, что долгосрочная условная дисперсия одинакова для каждого актива в портфеле. На наш взгляд, это сильно ограничивает динамику модели, поэтому в дальнейшем мы не будем использовать данное ограничение. В итоге уравнения для матрицы волатиль-
ности приобретают следующий вид. Для модели BEKK:
E = ССт + a2yt-1 y]_! + 1
(1.8)
Для моделей GO-GARCH и ССС:
vt = с + a(yt-1 0 yt-1) + vt-1
(1.9)
Заметим, что замена матриц с в модели BEKK, X в модели GO-GARCH и R в модели ССС скалярами невозможна, так как это очевидным образом приведет к тому, что математическое ожидание матрицы волатильности станет равным диагональной матрице или даже скаляру, что противоречит экономическому смыслу моделей многомерной волатильности (Лакшина, 2014).
Другая более общая спецификация предполагает, что матрицы параметров диагональные. В модели BEKK это матрицы A и B; в GO-GARCH и ССС матрицы параметров диагональные уже в неограниченных спецификациях, диагонализация X и R также не имеет смысла.
Основным недостатком такого способа борьбы с «проклятием размерности» является то, что как скалярная, так и диагональная спецификации не позволяют оценить эффекты перетекания волатильности между активами (Лакшина, 2014).
Кроме этого, наложение таких ограничений на параметры хотя и уменьшают число оцениваемых параметров, но, тем не менее, не позволяют добиться их линейного роста относительно числа активов (про примеры с другими моделями волатильности см. (Ding и Engle, 2001)).
Одной из причин «проклятия размерности» является то, что константа в уравнении матрицы волатильности должна быть положительно определена, так как это является достаточным условием положительной определённости матрицы волатильности. Положительно определённая константа получается
1.2.2 Таргетирование
путём перемножения нижнетреугольной матрицы на эту же транспонированную матрицу.
Неоспоримое преимущество такой параметризации в том, что она очень простая. Недостатком же является необходимость оценить п(п+1)/2 = O(n2) параметров.
Одним из решений данной проблемы является таргетирование. Впервые об этом способе было упомянуто в (Е^1е, 2002), наиболее структурированное определение таргетирования содержится, на наш взгляд, в (Саропп и МсА1еег, 2012). Согласно (Саропп и МсА1еег, 2012), многомерная модель таргетирова-на, если выполнены следующие два условия:
1) константа в уравнении волатильности может быть записана, как явная функция долгосрочной ковариационной матрицы;
2) долгосрочная дисперсия может быть заменена на ее состоятельную оценку, основанную на выборочной ковариационной матрице.
Под долгосрочной ковариационной матрицей подразумевается математическое ожидание матрицы волатильности, вычисленное в предположении о её стационарности.
Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий данное определение (Лакшина, 2014). Пусть имеется скалярная спецификация модели ВЕКК, (1.8). Предполагая, что условия стационарности для матрицы волатильности выполнены, имеем
Б (Е*) = Б (£-) = Б (у—у—), тогда (1.10а)
СС т
Б(Е*) = --^^, но тогда (1.10Ь)
1 — а2 — Ь2
ССт = Б (Е*)(1 — а2 — Ь2) = Е(1 — а2 — Ь2), (1.10с)
где Е — состоятельная оценка долгосрочной дисперсии, т. е. выборочная ковариационная матрица.
Очевидно, что с помощью таргетирования в данной модели удалось избавиться от квадратичного роста числа параметров.
Для неограниченной ВЕКК выразить С С т напрямую через выборочную ковариационную матрицу не удается. Таргетированная спецификация этой модели выглядит так (Саропп и МсА1еег, 2012):
= Ё + А(у1—1уТ—1 — + В (2— — 2г)Вт (1.11)
Если матрицы и являются неограниченными, то «проклятие размерности» остаётся. Для диагональной и скалярной спецификаций проблема квадратичного роста числа параметров решена.
Несмотря на то, что вычислительная сложность процесса оценки данной модели существенно снижена после таргетирования, она продолжает быть высокой из-за необходимости выполнения условия положительной определённости матрицы волатильности (Саропп и МсА1еег, 2012). В неограниченной ВЕКК это условие весьма нетривиально: матрица 2 — А2Ат — В2Вт должна быть положительно определена. Это условие можно проверить, посчитав собственные числа данной матрицы и убедившись, что они положительны. Для сравнения, в скалярной ВЕКК положительная определенность матрицы волатильности достигается за счет выполнения условия а2 + Ь2 < 1.
Кроме этого, существуют модели, в которых применение описанного алгоритма таргетирования не позволяет избавиться от «проклятия размерности», так как оно имеет другие причины. Примерами являются модели GO-GARCH, ССС и DCC (динамических условных корреляций). В этом случае можно применить алгоритм «псевдотаргетирования», в котором замена константы не связана с долгосрочной дисперсией. Но для вышеперечисленных моделей такое действие не позволяет избавиться от квадратичного по числу активов в портфеле роста параметров.
1.2.3 Применение пространственных матриц
Итак, мы рассмотрели два способа уменьшения числа параметров в многомерных моделях волатильности — введение ограничений и таргетирование. Было показано, что с помощью этих способов не всегда можно добиться линейного роста числа параметров относительно числа активов в портфеле.
В данном подразделе показано, как, применяя пространственные матрицы, избавиться от «проклятия размерности» в моделях BEKK, GO-GARCH и ССС. Пространственные матрицы пришли в финансовую эконометрику из моделей пространственной эконометрики, поэтому обсуждение пространственных матриц разумно начать с очень краткого введения в пространственную эконометрику.
Анализируя кросс-секционные данные, исследователь предполагает, что наблюдения независимы. При рассмотрении временных рядов приходится отказаться от предпосылки о независимости, т. к. важную роль начинает играть хронологический порядок наблюдений, появляется ось времени. Если же данные упорядочены не на оси времени, а в некоем пространстве (например, географическом), то возникает пространственная зависимость, которую, как и временную зависимость, необходимо учитывать при оценивании экономет-рических моделей.
Одними из первых работ, описывающих статистические методы, лежащие в основе пространственной эконометрики, принадлежали (Cliff и Ord, 1972; Ripley, 1977; Bennett, 1979). Термин «пространственная эконометрика» был предложен Дж. Паелинком в мае 1974 г. на ежегодном собрании Голландской статистической ассоциации. В (Paelinck и Klaassen, 1979) можно найти пять основных характеристик недавно появившегося направления в эконометрике: 1) роль пространственного взаимодействия в моделях; 2) асимметрия пространственных отношений; 3) важность местонахождения объясняющих факторов (пространственная неоднородность); 4) различие между взаимодействиями ex-post и ex-ante; 5) явное моделирование пространства.
Несмотря на важность и практическую значимость перечисленных явлений, интеграция пространственного анализа и эконометрики долгое время
оставалась в зачаточном состоянии. Во многих современных учебниках по эконометрике пространственный анализ либо не упоминается вообще, либо ему посвящается несколько параграфов. Радостными исключениями из этого печального правила являются несколько книг по эконометрике, уделяющих внимание вопросам пространственной зависимости данных (ещё несколько примеров см. в (АгЫа, 2006)).
Первой стоит упомянуть учебник (Maddala, 2001), в которой приведен пример, когда в кросс-секционных данных могут появиться автокоррелированные остатки: если мы изучаем поведение домашних хозяйств, то остатки наблюдений для домашних хозяйств, находящихся географически недалеко друг от друга, будут скоррелированы. Такую ситуацию Маддала называет пространственной корреляцией.
Книга Балтажи (Baltagi, 2008) включает в себя короткую дискуссию, по-свящённую проблемам, возникающим при оценке панельных данных для стран, регионов, областей и других административно-территориальных единиц. В книге говорится, то модели пространственной зависимости могут использовать такую метрику, как экономическое расстояние, для того чтобы обеспечить кросс-секционные данные структурой, похоже на ту, которой обладают временные ряды. Под экономическим расстоянием подразумевается некое число, отражающее близость или удалённость одного объекта исследования (наблюдения в выборке) от другого по выбранному экономическому показателю. Простейший пример экономического расстояния — это модуль или квадрат разности значений показателя для разных наблюдений.
Единственный аспект пространственного анализа, упомянутый в этих книгах — это пространственная автокорреляция. При этом, нигде нет упоминания о последствиях пространственной корреляции для статистического оценивания и тестирования гипотез. Также не рассказано о тестах на наличие пространственных зависимостей.
Несмотря на некоторый недостаток разъяснения методологии пространственного анализа в современных учебниках по эконометрике, теоретические его основы, касающиеся региональной конвергенции и региональной концен-
трации экономической деятельности, были изложены еще в 1990 r. в знаменитых «Gaston Eyskens lectures» Пола Кругмана (Krugman, 1991). Многие изложенные там модели требуют эмпирической проверки и подтверждают необходимость развития эконометрических методов, направленных на анализ распределенных в пространстве данных. Дальнейшее развитие понятия пространственной зависимости и пространственной неоднородности получили в книге Л. Анселина (Anselin, 1988). Современная литература по данной тематике охватывает работы Рипли (Ripley, 2005), Арбиа (Arbia, 2006), Пейса и Ле Саж (LeSage и Pace, 2009), Фишера и Гетиса (Fischer и Getis, 2009) и другие.
За подробным изложением статистических основ пространственной эконометрики рекомендуется обратиться к монографиям (Arbia, 2006; LeSage и Pace, 2009).
Пространственной матрицей называется матрица вида (1.12).
h
P = J2 PWi = Po + PiW + • • • + PhWh, (1.12)
где Pi — диагональная матрица параметров размера n х n, Wi — весовые матрицы, заданные экзогенно, причем W0 = I; h — порядок пространственной матрицы. Подробное описание свойств пространственных матриц см. в (Caporin и Paruolo, 2009; Лакшина, 2014). Частный случай пространственной матрицы при P1 = p • œn, где p — скаляр, œn — вектор из единиц длины n, широко применяется во многих моделях пространственной эконометрики, в частности, в пространственной авторегрессионной модели, или SAR(h), (Arbia, 2006). Весовая матрица Wi отображает связи исследуемых объектов в рассматриваемом пространстве и степень их близости или удаленности, необязательно географической. Пример применения пространственной авторегрессии с различными видами весовых матриц можно найти в (Балаш, Ба-лаш и Харламов, 2011).
В дальнейшем при моделировании многомерной волатильности мы будем
применять пространственные матрицы первого порядка вида P = P0 + PiWi. Кроме этого будет использоваться пространственная матрица специального вида, которая получается при вычислении вариационно-ковариационной матрицы пространственного авторегрессионного процесса. Пусть u — пространственный авторегрессионный процесс первого порядка. Вычислим дисперсию u, (1.13).
u = PiWiU + £, u(l -PiWi) = в,
Л 1 (1.13)
u = в(1 -PiWi)-1 = bS-i, V(u) = S-iV (S-i)T,
поскольку в ~ iid(0, V), V — диагональная положительно определённая матрица. Заметим, что S = P, где Po = I, Pi = -Pi. При этом матрица S обратима, если собственные числа матрицы PiWi по модулю меньше единицы (Magnus и Neudecker, 2007).
Весовые матрицы
Весовая матрица W входит в формулу пространственной матрицы (1.12) и отображает связи исследуемых объектов в рассматриваемом пространстве и степень их близости или удалённости. Основой для вычисления элементов весовой матрицы Wkj служит расстояние. Если расстояние между к-ым и ] -ым наблюдениями равно а, то Wkj = а. Весовую матрицу обычно нормируют по строкам.
Простейший пример весовой матрицы — бинарная матрица, которая получается следующим образом. Предположим, существует критерий, по которому все элементы можно разбить на две группы. Если к-ое и ]-ое наблюдения принадлежат одной группе, то Wkj = 1; в противном случае Wkj = 0. Элементы на главной диагонали весовой матрицы принимаются равными нулю. Бинарная матрица, построенная таким образом, нормируется на сумму всех элементов строки. При наличии нескольких критериев бинарные матрицы для каждого критерия суммируются, а потом нормируются.
Наблюдения, принадлежащие одной группе, именуются соседями. Среднее по соседям значение представляет собой пространственный лаг (по аналогии с временным лагом).
LS (u) = Wu,
(1.14)
где LS — пространственный лаг, u — вектор размера n х 1, W — весовая матрица n х n. На основании пространственного лага построена модель пространственной авторегресии SAR (см., например, (Arbia, 2006)). Существует несколько разновидностей весовых матриц:
1. С дискретными весами
(a) С заданными областями
(b) С заданным критическим расстоянием
2. С непрерывными весами
(a) С выбранной мерой расстояния
(b) С использованием сглаживающих ядерных функций (ядро Гаусса,
К первой группе относятся так называемые бинарные весовые матрицы. Их диагональные элементы равны нулю, т. к. любой рассматриваемый объект не может быть соседом самому себе. Недиагональные элементы вычисляются по следующему правилу:
где — элемент весовой матрицы, А — заданная область или критерий. В случае, когда области не определены чётко, есть смысл ввести некое критическое расстояние, которое отделяет элементы одной группы или области от
ядро Барлетта, биквадратное ядро и др., подробнее см. (Балаш и др., 2011))
1, если (i,j) е A; 0, если (i,j) е A
, i = j,
(1.15)
Таблица 1.1: Маржинальные распределения десяти гипотетических фирм по странам и отраслям
Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 Ф5 Ф6 Ф7 Ф8 Ф9 Ф10
С 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2
О 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3
другой:
{1, если < г;
,г = (1.16)
0, если > г
где г — критическое расстояние, — расстояние между объектами г и 3 (как географическое, так и в обобщённом смысле, например, экономическое).
В весовых матрицах второй группы нули и единицы заменены на непосредственные расстояния между объектами. Выбор меры для расчёта расстояния осуществляется экзогенно.
Так как влияние соседей уменьшается с увеличением расстояния, то разумно пользоваться величиной, обратной к расстоянию. Более сложный учёт изменяющегося с расстоянием влияния соседей осуществляется с помощью ядерных функций (Балаш и др., 2011).
Рассмотренные выше весовые матрицы являются однокритериальными, т. е. построены в соответствии с одним выбранным признаком. Существует возможность учесть несколько признаков с помощью одной весовой матрицы.
Рассмотрим пример для десяти фирм (Ф1-Ф10) (Лакшина, 2014). Пусть даны два критерия: отрасль промышленности и страна, в которой находится фирма. Рассматривается 2 страны (С) и 3 отрасли экономики (О). Для примера достаточно обозначить их цифрами. Принадлежность фирм к отраслям и странам представлена в табл. 1.1.
Используя табл. 1.1, можно получить совместное распределение фирм по отраслям и странам, т. е. если фирма одновременно находится в стране 2 и задействована в отрасли 1, то она записывается в ячейку (2;1). Для десяти фирм совместное распределение представлено в табл. 1.2.
Теперь, зная совместное распределение фирм, можно составить весовую
Таблица 1.2: Совместное распределение десяти гипотетических фирм по странам и отраслям
С/О 1 2
1 Ф6, Ф8 Ф2, Ф4
2 Ф7, Ф9 Ф3
3 Ф1,Ф5 Ф10
матрицу, в которой фирмы, попавшие в одну ячейку, являются соседями. Следует отметить, что в данном примере у Ф3 и Ф10 нет соседей, т. е. в весовой матрице этим фирмам будет соответствовать строка из нулей, а сама весовая матрица будет неполного ранга. При оценивании это приводит к неиденцифи-цируемости параметров, связанных с фирмой без соседей, поэтому при проведении исследований таких ситуаций следует избегать (Саропп и Рато1о, 2009).
Похожие диссертационные работы по специальности «Математические и инструментальные методы экономики», 08.00.13 шифр ВАК
Многомерные динамические сетевые модели управления инвестиционным портфелем2005 год, кандидат физико-математических наук Герасимов, Евгений Сергеевич
Моделирование числовых характеристик финансовых активов в задаче формирования портфеля ценных бумаг2011 год, кандидат экономических наук Кретинин, Иван Александрович
Рискнейтральная динамика ARIMA-GARCH моделей с ошибками, распределенными по закону Su Джонсона2022 год, кандидат наук Данилишин Артем Ростиславович
Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля2005 год, кандидат физико-математических наук Ляшенко, Елена Александровна
Моделирование волатильности доходности акций и фондовых индексов2020 год, кандидат наук Нагапетян Артур Рубикович
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лакшина Валерия Владимировна, 2019 год
Список литературы
v
Abadir, K. M., Distaso, W. и Zikes, F. (2014). Design-free estimation of variance matrices. Journal of Econometrics, 181(2), 165—180.
Aguilar, O. и West, M. (2000). Bayesian dynamic factor models and portfolio allocation. Journal of Business & Economic Statistics, 18(3), 338—357.
Alexander, C. и Chibumba, A. (1997). Multivariate orthogonal factor GARCH. University of Sussex, Mimeo.
Anatolyev, S. и Khrapov, S. (2016). Do spatial structures yield better volatility forecasts? New Economic School, Moscow, Russia.
Andersen, T. G., Chung, H.-J. и S0rensen, B. E. (1999). Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: A Monte Carlo study. Journal of econometrics, 91(1), 61—87.
Ando, A. и Kaufman, G. M. (1965). Bayesian analysis of the independent multinormal process—neither mean nor precision known. Journal of the American Statistical Association, 60(309), 347—358.
Ando, T. (2006a). Pricing Nikkei 225 options using Nonlinear and Non-Gaussian Stochastic Volatility Model with leverage effect. В Keio Business Forum.
Ando, T. (2006b). Bayesian inference for nonlinear and non-Gaussian stochastic volatility model with leverage effect. Journal of the Japan Statistical Society, 36(2), 173—197.
Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods andModelsKluwer Academic. Boston, MA.
Arbia, G. (2006). Spatial econometrics: statistical foundations and applications to regional convergence. Springer Science & Business Media.
Arouri, M., Jouini, J. и Nguyen, D. (2012). On the impacts of oil price fluctuations on European equity markets: Volatility spillover and hedging effectiveness. Energy Economics, 34(2). doi:10.1016/j.eneco.2011.08.009
Asai, M. h McAleer, M. (2004). Dynamic correlations in stochastic volatility models. Faculty of Economics, Tokyo Metropolitan University.
Asai, M. h McAleer, M. (2005). Dynamic asymmetric leverage in stochastic volatility models. Econometric Reviews, 24(3), 317—332.
Asai, M. h McAleer, M. (2006). Asymmetric multivariate stochastic volatility. Econometric Reviews, 25(2-3), 453—473.
Asai, M. h McAleer, M. (2009a). Multivariate stochastic volatility, leverage and news impact surfaces. The Econometrics Journal, 12(2), 292—309.
Asai, M. h McAleer, M. (2009b). The structure of dynamic correlations in multivariate stochastic volatility models. Journal of Econometrics, 150(2), 182—192.
Asai, M. h McAleer, M. (2011). Alternative asymmetric stochastic volatility models. Econometric Reviews, 30(5), 548—564.
Asai, M. h McAleer, M. (2015a). Forecasting co-volatilities via factor models with asymmetry and long memory in realized covariance. Journal of Econometrics, 189(2), 251—262.
Asai, M. h McAleer, M. (2015b). Leverage and feedback effects on multifactor Wishart stochastic volatility for option pricing. Journal of Econometrics, 187(2), 436—446.
Asai, M., McAleer, M. h Yu, J. (2006). Multivariate stochastic volatility: a review. Econometric Reviews, 25(2-3), 145—175.
Baba, Y., Engle, R., Kraft, D. h Kroner, K. (1989). Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. Department of Economics, University of California, San Diego.
Bachelier, L. (1900). Théorie de la spéculation. Gauthier-Villars.
Baillie, R. T. h Myers, R. J. (1991). Bivariate GARCH estimation of the optimal commodity futures hedge. Journal of Applied Econometrics, 6(2), 109—124.
Baltagi, B. (2008). Econometric analysis of panel data. John Wiley & Sons.
Barndorff-Nielsen, O. E., Nicolato, E., Shephard, N. h gp. (2002). Some recent developments in stochastic volatility modelling. Quantitative Finance, 2(1), 11—23.
Barndorff-Nielsen, O. E. и Shephard, N. (2001). Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics.
Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 63(2), 167—241.
Bauer, G. H. и Vorkink, K. (2011). Forecasting multivariate realized stock market volatility. Journal of Econometrics, 160(1), 93—101.
Bauwens, L., Laurent, S. и Rombouts, J. V. (2006). Multivariate GARCH models: a survey. Journal of applied econometrics, 21(1), 79—109.
Bennett, R. J. (1979). Spatial time series: Analysis-forecasting-control. Pion London.
Benth, F. E., Vos, L. и др. (2013). Cross-commodity spot price modeling with stochastic volatility and leverage for energy markets. Advances in Applied Probability, 45(2), 545—571.
Betancourt, M. и Girolami, M. (2015). Hamiltonian Monte Carlo for hierarchical models. Current trends in Bayesian methodology with applications, 79,30.
Billio, M., Caporin, M., Frattarolo, L. и Pelizzon, L. (2016). Networks in risk spillovers: a multivariate GARCH perspective (Working Papers № 2016:03). Department of Economics, University of Venice "Ca' Foscari". Получено c https://ideas.repec.org/p/ven/wpaper/201603.html
Black, F. и Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. The journal of political economy, 637—654.
Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of econometrics, 31(3), 307—327.
Bollerslev, T. (1990). Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH model. The review ofeconomics and statistics, 498—505.
Bollerslev, T., Engle, R. и Wooldridge, J. M. (1988). A capital asset pricing model with time-varying covariances. The Journal of Political Economy, 116—131.
Bos, C. S., Mahieu, R. J. и Van Dijk, H. K. (2000). Daily exchange rate behaviour and hedging of currency risk. Journal of Applied Econometrics, 15(6), 671— 696.
Bos, C. S. и Shephard, N. (2006). Inference for adaptive time series models: Stochastic volatility and conditionally Gaussian state space form. Econometric Reviews, 25(2-3), 219—244.
Breymann, W., Dias, A. и Embrechts, P. (2003). Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance.
Brigo, D., Rapisarda, F. и Sridi, A. (2014). The arbitrage-free Multivariate Mixture Dynamics Model: Consistent single-assets and index volatility smiles. Available at SSRN 2226053.
Brooks, C., Henry, O. T. и Persand, G. (2002). The effect of asymmetries on optimal hedge ratios. The Journal of Business, 75(2), 333—352.
Broto, C. и Ruiz, E. (2004). Estimation methods for stochastic volatility models: a survey. Journal of Economic Surveys, 18(5), 613—649.
Buraschi, A., Porchia, P. и Trojani, F. (2010). Correlation risk and optimal portfolio choice. The Journal of Finance, 65(1), 393—420.
Caporin, M. и McAleer, M. (2012). Do we really need both BEKK and DCC? A tale of two multivariate GARCH models. Journal of Economic Surveys, 26(4), 736—751.
Caporin, M. и Paruolo, P. (2009). Structured multivariate volatility models. Получено c https://ideas.repec.org/p/pad/wpaper/0091.html
Caporin, M. и Paruolo, P. (2015). Proximity-structured multivariate volatility models. Econometric Reviews, 34(5), 559—593.
Cappiello, L., Engle, R. и Sheppard, K. (2006). Asymmetric dynamics in the correlations of global equity and bond returns. Journal of Financial econometrics, 4(4), 537—572.
Cecchetti, S. G., Cumby, R. E. и Figlewski, S. (1988). Estimation of the optimal futures hedge. The Review ofEconomics and Statistics, 623—630.
Chan, D., Kohn, R. и Kirby, C. (2006). Multivariate stochastic volatility models with correlated errors. Econometric Reviews, 25(2-3), 245—274.
Chang, C.-L., González-Serrano, L. и Jimenez-Martin, J.-A. (2013). Currency hedging strategies using dynamic multivariate GARCH. Mathematics and Computers in Simulation, 94, 164—182.
Chang, C.-L., McAleer, M. h Tansuchat, R. (2011). Crude oil hedging strategies using dynamic multivariate GARCH. Energy Economics, 33(5), 912—923.
Charnes, J. M., Koch, P. h Berkman, H. (2003). Measuring hedge effectiveness for FAS 133 compliance. Journal of Applied Corporate Finance, 15(4), 95— 103.
Chen, C. W., Liu, F.-C. h So, M. K. (2008). Heavy-tailed-distributed threshold stochastic volatility models in financial time series. Australian & New Zealand Journal of Statistics, 50(1), 29—51.
Chen, S.-S., Lee, C.-f. h Shrestha, K. (2013). Futures hedge ratios: a review. B Encyclopedia of Finance (c. 871—890). Springer.
Chernov, M., Gallant, A. R., Ghysels, E. h Tauchen, G. (2003). Alternative models for stock price dynamics. Journal of Econometrics, 116(1), 225—257.
Chib, S., Nardari, F. h Shephard, N. (2002). Markov chain Monte Carlo methods for stochastic volatility models. Journal of Econometrics, 108(2), 281—316.
Chib, S., Nardari, F. h Shephard, N. (2006). Analysis of high dimensional multivariate stochastic volatility models. Journal of Econometrics, 134(2), 341—371.
Chiriac, R. h Voev, V. (2011). Modelling and forecasting multivariate realized volatility. Journal of Applied Econometrics, 26(6), 922—947.
Chiu, T. Y., Leonard, T. h Tsui, K.-W. (1996). The matrix-logarithmic covariance model. Journal of the American Statistical Association, 91(433), 198—210.
Christodoulakis, G. A. h Satchell, S. E. (2002). Correlated ARCH (CorrARCH): Modelling the time-varying conditional correlation between financial asset returns. European Journal of Operational Research, 139(2), 351—370.
Christoffersen, P. F. h Diebold, F. X. (1997). Optimal prediction under asymmetric loss. Econometric theory, 13(6), 808—817.
Chuang, C.-C., Wang, Y.-H., Yeh, T.-J. h Chuang, S.-L. (2015). Hedging effectiveness of the hedged portfolio: the expected utility maximization subject to the value-at-risk approach. Applied Economics, 47(20), 2040— 2052.
Clark, T. E. h McCracken, M. W. (2001). Tests of equal forecast accuracy and encompassing for nested models. Journal of econometrics, 105(1), 85—110.
Clark, T. E. h West, K. D. (2006). Using out-of-sample mean squared prediction errors to test the martingale difference hypothesis. Journal of Econometrics, 135(1), 155—186.
Clark, T. E. h West, K. D. (2007). Approximately normal tests for equal predictive accuracy in nested models. Journal of econometrics, 138(1), 291—311.
Cliff, A. h Ord, K. (1972). Testing for spatial autocorrelation among regression residuals. Geographical analysis, 4(3), 267—284.
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues.
Cotter, J. h Hanly, J. (2010). Time-varying risk aversion: an application to energy hedging. Energy Economics, 32(2), 432—441.
Cotter, J. h Hanly, J. (2012). A utility based approach to energy hedging. Energy Economics, 34(3), 817—827.
Da Fonseca, J., Gnoatto, A. h Grasselli, M. (2015). Analytic pricing of volatility-equity options within Wishart-based stochastic volatility models. Operations Research Letters, 43(6), 601—607.
Da Fonseca, J., Grasselli, M. h Tebaldi, C. (2008). A multifactor volatility Heston model. Quantitative Finance, 8(6), 591—604.
Danielsson, J. (1994). Stochastic volatility in asset prices estimation with simulated maximum likelihood. Journal of Econometrics, 64(1), 375—400.
Danielsson, J. (1998). Multivariate stochastic volatility models: estimation and a comparison with VGARCH models. Journal of Empirical Finance, 5(2), 155—173.
Dawid, A. P. (1981). Some matrix-variate distribution theory: notational considerations and a Bayesian application. Biometrika, 68(1), 265—274.
De Santis, G. h Gerard, B. (1998). How big is the premium for currency risk? Journal of Financial Economics, 49(3), 375—412.
Delong, L. h Pelsser, A. (2013). Instantaneous mean-variance hedging and instantaneous Sharpe ratio pricing in a regime-switching financial model, with applications to equity-linked claims. arXiv preprint arXiv:1303.4082.
Dickey, J. M. (1967). Matricvariate generalizations of the multivariate t distribution and the inverted multivariate t distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 35(2), 511—518.
Diebold, F. X. h Mariano, R. S. (1995). Comparing predictive accuracy. Journal of Business & economic statistics, 13, 253—265.
Diebold, F. X. h Nerlove, M. (1989). The dynamics of exchange rate volatility: a multivariate latent factor ARCH model. Journal of Applied econometrics, 4(1), 1—21.
Ding, Z. h Engle, R. (2001). Large scale conditional covariance matrix modeling, estimation and testing. NYU working paper No. Fin-01-029.
Dornbusch, R., Park, Y. C. h Claessens, S. (2000). Contagion: Understanding How It Spreads. The World Bank Research Observer, 15(2), 177—197. doi:10. 1093/wbro/15.2.177
Doz, C. h Renault, E. (2006). Factor stochastic volatility in mean models: a GMM approach. Econometric Reviews, 25(2-3), 275—309.
Duane, S., Kennedy, A., Pendleton, B. J. h Roweth, D. (1987). Hybrid Monte Carlo. Physics Letters B, 195(2), 216—222. doi:https://doi.org/10.1016/0370-2693(87)91197-X
Ederington, L. H. (1979). The hedging performance of the new futures markets. The Journal of Finance, 34(1), 157—170.
Elliott, R. J., Liew, C. C. h Siu, T. K. (2011). On filtering and estimation of a threshold stochastic volatility model. Applied Mathematics and Computation, 218(1), 61—75.
Engle, R. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 987—1007.
Engle, R. (2002). Dynamic conditional correlation: A simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models. Journal of Business & Economic Statistics, 20(3), 339—350.
Engle, R. и Kelly, B. (2012). Dynamic equicorrelation. Journal of Business & Economic Statistics, 30(2), 212—228.
Engle, R. и Kroner, K. F. (1995). Multivariate simultaneous generalized ARCH. Econometric theory, 11(01), 122—150.
Engle, R., Lilien, D. M. и Robins, R. P. (1987). Estimating time varying risk premia in the term structure: The ARCH-M model. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 391—407.
Engle, R., Ng, V. K. и Rothschild, M. (1990). Asset pricing with a factor-ARCH covariance structure: Empirical estimates for treasury bills. Journal of Econometrics, 45(1-2), 213—237.
Ewing, B., Malik, F. и Ozfidan, O. (2002). Volatility transmission in the oil and natural gas markets. Energy Economics, 24(6). doi: 10.1016/S0140-9883(02) 00060-9
Finam. (2017). Finam Investment Company. Получено c https://www.finam.ru/
Fiorentini, G., Sentana, E. и Shephard, N. (2004). Likelihood-based estimation of latent generalized ARCH structures. Econometrica, 72(5), 1481—1517.
Fischer, M. M. и Getis, A. (2009). Handbook of applied spatial analysis: software tools, methods and applications. Springer Science & Business Media.
Gelman, A. и Hill, J. (2006). Data analysis using regression and multilevel hierarchical models. Cambridge University Press.
Geweke, J. (1991). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department Minneapolis, MN, USA.
Ghalanos, A. (2014). rmgarch: Multivariate GARCH models. R package version 1.2-8.
Giacomini, R. и White, H. (2006). Tests of conditional predictive ability.
Econometrica, 74(6), 1545—1578.
Glosten, L. R., Jagannathan, R. h Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The journal of finance, 48(5), 1779—1801.
Gourieroux, C. (2006). Continuous time Wishart process for stochastic risk. Econometric Reviews, 25(2-3), 177—217.
Gourieroux, C., Jasiak, J. h Sufana, R. (2009). The Wishart autoregressive process of multivariate stochastic volatility. Journal of Econometrics, 150(2), 167— 181.
Gourieroux, C., Monfort, A. h Renault, E. (1993). Indirect inference. Journal of applied econometrics, 8(S1), S85—S118.
Gourieroux, C. h Sufana, R. (2010). Derivative pricing with Wishart multivariate stochastic volatility. Journal of Business & Economic Statistics, 28(3), 438— 451.
Greene, W. H. (2003). Econometric analysis. Pearson Education India.
Gribisch, B. (2016). Multivariate Wishart stochastic volatility and changes in regime. AStA Advances in Statistical Analysis, 100(4), 443—473.
Gu, H., Liu, Z. h Weng, Y. (2017). Time-varying correlations in global real estate markets: A multivariate GARCH with spatial effects approach. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 471. doi:10.1016/j.physa.2016. 12.056
Haigh, M. S. h Holt, M. T. (2000). Hedging multiple price uncertainty in international grain trade. American Journal of Agricultural Economics, 82(4), 881—896.
Hansen, P. R., Lunde, A. h Nason, J. M. (2011). The model confidence set. Econometrica, 79(2), 453—497.
Hansen, P. R. (2005). A test for superior predictive ability. Journal of Business & Economic Statistics, 23(4), 365—380.
Harvey, A., Ruiz, E. h Shephard, N. (1994). Multivariate stochastic variance models. The Review of Economic Studies, 61(2), 247—264.
Harvey, A. и Shephard, N. (1996). Estimation of an asymmetric stochastic volatility model for asset returns. Journal of Business & Economic Statistics, 14(4), 429—434.
Heidelberger, P. и Welch, P. D. (1983). Simulation run length control in the presence of an initial transient. Operations Research, 31(6), 1109—1144.
Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review offinancial studies, 6(2), 327—343.
Hui, E. C.-m. и Zheng, X. (2012). The dynamic correlation and volatility of real estate price and rental: an application of MSV model. Applied Economics, 44(23), 2985—2995.
Hung, J.-C. (2015). Evaluation of realized multi-power variations in minimum variance hedging. Economic Modelling, 51, 672—679.
Ishihara, T. и Omori, Y. (2012). Efficient Bayesian estimation of a multivariate stochastic volatility model with cross leverage and heavy-tailed errors. Computational Statistics & Data Analysis, 56(11), 3674—3689.
Ishihara, T., Omori, Y. и Asai, M. (2014). Matrix exponential stochastic volatility with cross leverage. Computational Statistics & Data Analysis.
Jacquier, E., Polson, N. G. и Rossi, P. E. (1994). Bayesian analysis of stochastic volatility models. Journal of Business & Economic Statistics, 12(4), 371— 389.
Jacquier, E., Polson, N. G., Rossi, P. E. и др. (1995). Models and priors for multivariate stochastic volatility. CIRANO.
James, W. и Stein, C. (1961). Estimation with Quadratic Loss. В Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Volume 1: Contributions to the Theory of Statistics (с. 361—379). Berkeley, Calif.: University of California Press. Получено c http://projecteuclid.org/ euclid.bsmsp/1200512173
Jaworski, P. и Pitera, M. (2014). On spatial contagion and multivariate GARCH models. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 30(3). doi: 10. 1002/asmb.1977
Jensen, M. J. (2004). Semiparametric Bayesian Inference of Long-Memory Stochastic Volatility Models. Journal of Time Series Analysis, 25(6), 895— 922.
Jondeau, E. и Rockinger, M. (2006). The copula-garch model of conditional dependencies: An international stock market application. Journal of international money andfinance, 25(5), 827—853.
Karatetskaya, E. Y. и Lakshina, V. V. (2019). Multiple hedging on energy market.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 19(1), 105—113.
Kastner, G., Fruhwirth-Schnatter, S. и Lopes, H. F. (2016). Efficient Bayesian inference for multivariate factor stochastic volatility models. arXiv preprint arXiv:1602.08154.
Kawakatsu, H. (2006). Matrix exponential GARCH. Journal of Econometrics, 134(1), 95—128.
Kleppe, T. S., Yu, J. и Skaug, H. J. (2010). Simulated maximum likelihood estimation of continuous time stochastic volatility models. Advances in Econometrics, 26, 137—161.
Kocaarslan, B., Sari, R., Gormus, A. и Soytas, U. (2017). Dynamic correlations between BRIC and U.S. stock markets: The asymmetric impact of volatility expectations in oil, gold and financial markets. Journal of Commodity Markets, 7. doi:10.1016/jjcomm.2017.08.001
Krugman, P. R. (1991). Geography and trade. MIT press.
Ku, Y.-C., Bloomfield, P. и Ghosh, S. K. (2014). A flexible observed factor model with separate dynamics for the factor volatilities and their correlation matrix. Statistical Modelling, 14(1), 1—20.
Lakshina, V. (2017). Hedging and Risk Aversion on Russian Stock Market: Strategies Based on MGARCH and MSV Models. В A. Althonayan, T. A. Belkina, V. S. Mkhitaryan, D. Pavluk и S. P. Sidorov (Ред.), Proceedings of the The Second Workshop on Computer Modelling in Decision Making (CMDM), 9—10 ноября 2017 (2018, с. 83—92). CEUR
Workshop Proceedings. Saratov, Russia. Aachen. Получено c http://ceur-ws.org/Vol- 2018/#paper-10 Lakshina, V. и Karatetskaya, E. (2018). Volatility Spillovers with Spatial Effects on
the Oil and Gas Market. Получено c https://ssrn.com/abstract=3185802 Lakshina, V. и Silaev, A. (2016). Fluke of stochastic volatility versus GARCH inevitability or which model creates better forecasts?" Economics Bulletin, 36(4), 2368—2380. Получено c http://www.accessecon.com/Pubs/EB/ 2016/Volume36/EB-16-V36-I4-P229.pdf Laurent, S., Rombouts, J. V. и Violante, F. (2012). On the forecasting accuracy of multivariate GARCH models. Journal of Applied Econometrics, 27(6), 934—955.
Laurini, M. P. и Mauad, R. B. (2015). A common jump factor stochastic volatility
model. Finance Research Letters, 12, 2—10. Laurini, M., Mauad, R., Aiube, F. и др. (2016). Multivariate Stochastic Volatility-
Double Jump Model: an application for oil assets. Lee, H.-T. (2009). Optimal futures hedging under jump switching dynamics.
Journal of Empirical Finance, 16(3), 446—456. LeSage, J. P. и Pace, R. K. (2009). Introduction to Spatial Econometrics (Statistics,
textbooks and monographs). Taylor & Francis. Lin, B. и Li, J. (2015). The spillover effects across natural gas and oil markets: Based on the VEC-MGARCH framework. Applied Energy, 155. doi:10 . 1016/j.apenergy.2015.05.123 Lin, B., Wesseh, P. и Appiah, M. (2014). Oil price fluctuation, volatility spillover and the Ghanaian equity market: Implication for portfolio management and hedging effectiveness. Energy Economics, 42. doi:10.1016/j.eneco.2013.12. 017
Liu, C. и Rubin, D. B. (1995). ML estimation of the t distribution using EM and its
extensions, ECM and ECME. Statistica Sinica, 19—39. Liu, S., Sathye, M., Ishida, I., McAleer, M. и Oya, K. (2011). Estimating the leverage parameter of continuous-time stochastic volatility models using
high frequency S&P 500 and VIX. Managerial Finance, 37(11), 1048— 1067.
Liu, W.-H. (2014). Optimal hedge ratio estimation and hedge effectiveness with multivariate skew distributions. Applied Economics, 46(12), 1420—1435.
Liu, X., An, H., Huang, S. и Wen, S. (2017). The evolution of spillover effects between oil and stock markets across multi-scales using a wavelet-based GARCH-BEKK model. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 465. doi:10.1016/j.physa.2016.08.043
Liu, X., An, H., Li, H., Chen, Z., Feng, S. и Wen, S. (2017). Features of spillover networks in international financial markets: Evidence from the G20 countries. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 479. doi: 10. 1016/j.physa.2017.03.016
Lopes, H., McCulloch, R. и Tsay, R. (2013). Cholesky stochastic volatility models for high-dimensional time series. Получено c http://www.rob-mcculloch. org/csv.pdf
Lypny, G. и Powalla, M. (1998). The hedging effectiveness of DAX futures. The European Journal of Finance, 4(4), 345—355.
Maddala, G. S. (2001). Econometrics. McGraw-Hill, New York.
Magnus, J. R. и Neudecker, H. (2007). Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics (3rd). John Wiley & Sons.
Marfe, R. (2012). A generalized variance gamma process for financial applications. Quantitative Finance, 12(1), 75—87.
Masoliver, J. и Perello, J. (2002). A correlated stochastic volatility model measuring leverage and other stylized facts. International journal of theoretical and appliedfinance, 5(05), 541—562.
Mensi, W., Hammoudeh, S. и Kang, S. (2017). Risk spillovers and portfolio management between developed and BRICS stock markets. North American Journal of Economics and Finance, 41. doi:10.1016/j.najef.2017.03.006
Merton, R. C. (1974). On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. The Journal of finance, 29(2), 449—470.
Mesters, G., Koopman, S. и Ooms, M. (2016). Monte Carlo maximum likelihood estimation for generalized long-memory time series models. Econometric Reviews, 35(4), 659—687.
Miffre, J. (2004). Conditional OLS minimum variance hedge ratios. Journal of Futures Markets, 24(10), 945—964.
Morgan, J. и др. (1996). Riskmetrics technical document. New York.
Muhle-Karbe, J., Pfaffel, O. и Stelzer, R. (2012). Option pricing in multivariate stochastic volatility models of OU type. SIAM Journal on Financial Mathematics, 3(1), 66—94.
Myers, R. J. (1991). Estimating time-varying optimal hedge ratios on futures markets. Journal of Futures Markets, 11(1), 39—53.
Nakajima, J. и Omori, Y. (2009). Leverage, heavy-tails and correlated jumps in stochastic volatility models. Computational Statistics & Data Analysis, 53(6), 2335—2353.
Nardari, F. и Scruggs, J. T. (2007). Bayesian analysis of linear factor models with latent factors, multivariate stochastic volatility, and APT pricing restrictions. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 42(04), 857—891.
Neal, R. M. и др. (2011). MCMC using Hamiltonian dynamics. Handbook of Markov Chain Monte Carlo, 2(11).
Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 347—370.
Newey, W. K. и West, K. D. (1987). A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix. Econometrica, 55(3), 703—708. Получено c http://www.jstor.org/stable/ 1913610
Omori, Y., Chib, S., Shephard, N. и Nakajima, J. (2007). Stochastic volatility with leverage: Fast and efficient likelihood inference. Journal of Econometrics, 140(2), 425—449.
Paelinck, J. и Klaassen, L. (1979). Spatial Econometrics. Saxon House, Farnborough.
Pelletier, D. (2006). Regime switching for dynamic correlations. Journal of econometrics, 131(1), 445—473.
Perelló, J., Masoliver, J. и Bouchaud, J.-P. (2004). Multiple time scales in volatility and leverage correlations: a stochastic volatility model. Applied Mathematical Finance, 11(1), 27—50.
Pérez, A., Ruiz, E. и Veiga, H. (2009). A note on the properties of power-transformed returns in long-memory stochastic volatility models with leverage effect. Computational Statistics & Data Analysis, 53(10), 3593— 3600.
Philipov, A. и Glickman, M. E. (2006). Multivariate stochastic volatility via Wishart processes. Journal of Business & Economic Statistics, 24(3), 313— 328.
Pitt, M. K. и Shephard, N. (1999). Time varying covariances: a factor stochastic volatility approach. В Bayesian Statistics 6, Proceedings of the Sixth Valencia International Meeting ((edited by J.M. Bernardo, J.O. Berger, A.P. Dawid and A.F.M Smith), с. 547—570). Oxford: Oxford University Press.
Pok, W. C., Poshakwale, S. S. и Ford, J. (2009). Stock index futures hedging in the emerging Malaysian market. Global Finance Journal, 20(3), 273—288.
Quintana, J. M. и West, M. (1987). An analysis of international exchange rates using multivariate DLM's. The Statistician, 275—281.
R Core Team. (2018). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing. Vienna, Austria. Получено c https: //www.R- project.org/
Ray, B. K. и Tsay, R. S. (2000). Long-range dependence in daily stock volatilities. Journal of Business & Economic Statistics, 18(2), 254—262.
Richards, G. R. (2004). A fractal forecasting model for financial time series. Journal of Forecasting, 23(8), 586—601.
Rinnergschwentner, W., Tappeiner, G. и Walde, J. (2012). Multivariate stochastic volatility via wishart processes: A comment. Journal of Business & Economic Statistics, 30(1), 164—164.
Ripley, B. D. (1977). Modelling spatial patterns. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 172—212.
Ripley, B. D. (2005). Spatial statistics. John Wiley & Sons.
Schmidt, A. (2005). Chapter 1 - Introduction. В A. B. Schmidt (Ред.), Quantitative Finance for Physicists (с. 1—4). Academic Press Advanced Finance. Boston: Academic Press. doi:https://doi.org/10.1016/B978-012088464-3.50001-9
Schmidt, R., Hrycej, T. и Stutzle, E. (2006). Multivariate distribution models with generalized hyperbolic margins. Computational statistics & data analysis, 50(8), 2065—2096.
Shephard, N. (1996). Statistical aspects of ARCH and stochastic volatility. Monographs on Statistics and Applied Probability, 65, 1—68.
Shirota, S., Hizu, T. и Omori, Y. (2014). Realized stochastic volatility with leverage and long memory. Computational Statistics & Data Analysis, 76, 618—641.
Shirota, S., Omori, Y., Lopes, H. F., Piao, H. и др. (2015). Cholesky Realized Stochastic Volatility Model. CIRJE, Faculty of Economics, University of Tokyo.
So, M. K. и Choi, C.-Y. (2008). A multivariate threshold stochastic volatility model. Mathematics and Computers in Simulation, 79(3), 306—317.
So, M. K. и Choi, C. (2009). A threshold factor multivariate stochastic volatility model. Journal of Forecasting, 28(8), 712—735.
So, M. K. и Kwok, S. W. (2006). A multivariate long memory stochastic volatility model. PhysicaA: Statistical Mechanics and its Applications, 362(2), 450— 464.
So, M. K., Li, W. и Lam, K. (2002). A threshold stochastic volatility model. Journal ofForecasting, 21(7), 473—500.
Stan Development Team. (2017). The Stan Core Library. Получено c http://mc-stan.org/
Stan Development Team. (2018). RStan: the R interface to Stan. R package version 2.18.2. Получено c http://mc-stan.org/
Takahashi, M., Omori, Y. h Watanabe, T. (2009). Estimating stochastic volatility models using daily returns and realized volatility simultaneously. Computational Statistics & Data Analysis, 53(6), 2404—2426.
Tims, B. h Mahieu, R. (2006). A range-based multivariate stochastic volatility model for exchange rates. Econometric Reviews, 25(2-3), 409—424.
Triantafyllopoulos, K. (2012). Multi-variate stochastic volatility modelling using Wishart autoregressive processes. Journal of Time Series Analysis, 33(1), 48—60.
Tsay, R. S. (2002). Analysis of financial time series. John Wiley & Sons.
Tse, Y. K. h Tsui, A. K. (2000). A multivariate GARCH model with time-varying correlations. Available at SSRN 250228.
Van der Weide, R. (2002). GO-GARCH: a multivariate generalized orthogonal GARCH model. Journal of Applied Econometrics, 17(5), 549—564.
Veraart, A. E. h Veraart, L. A. (2012). Stochastic volatility and stochastic leverage. Annals of Finance, 8(2-3), 205—233.
Vrontos, I. D., Dellaportas, P. h Politis, D. N. (2003). A full-factor multivariate GARCH model. The Econometrics Journal, 6(2), 312—334.
Vuong, Q. H. (1989). Likelihood ratio tests for model selection and non-nested hypotheses. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 307—333.
Wahab, M. (1995). Conditional dynamics and optimal spreading in the precious metals futures markets. Journal of Futures Markets, 15(2), 131—166.
Wang, J. J., Chan, J. S. h Choy, S. B. (2011). Stochastic volatility models with leverage and heavy-tailed distributions: A Bayesian approach using scale mixtures. Computational Statistics & Data Analysis, 55(1), 852—862.
Wang, Y. h Wu, C. (2012). Forecasting energy market volatility using GARCH models: Can multivariate models beat univariate models? Energy Economics, 34(6), 2167—2181.
Wei, W. h Pelletier, D. (2015). A Jump-Diffusion Model with Stochastic Volatility and Durations. Institut for 0konomi, Aarhus Universitet. Institut for 0konomi, Aarhus Universitet.
Weiss, A. A. (1996). Estimating time series models using the relevant cost function. Journal of Applied Econometrics, 539—560.
West, K. D. (1996). Asymptotic inference about predictive ability. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1067—1084.
White, H. (2000). A reality check for data snooping. Econometrica, 68(5), 1097— 1126.
Wiggins, J. B. (1987). Option values under stochastic volatility: Theory and empirical estimates. Journal of financial economics, 19(2), 351—372.
Wirjanto, T. S., Kolkiewicz, A. W. и Men, Z. (2016). Bayesian Analysis of a Threshold Stochastic Volatility Model. Journal of Forecasting.
Wood, D. A. и Khosravanian, R. (2015). Exponential utility functions aid upstream decision making. Journal of Natural Gas Science and Engineering, 27, 1482—1494.
Wu, X.-Y. и Zhou, H.-L. (2015). A triple-threshold leverage stochastic volatility model. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 19(4), 483—500.
Xu, D. (2012). Examining realized volatility regimes under a threshold stochastic volatility model. International Journal of Finance & Economics, 17(4), 373—389.
Xu, D. и Li, Y. (2012). Empirical evidence of the leverage effect in a stochastic volatility model: a realized volatility approach. Frontiers of Economics in China, 7(1), 22—43.
Yahoo! Finance. (2017). Получено 18 июня 2016 c http://finance.yahoo.com
Yang, M. J. и Lai, Y.-C. (2009). An out-of-sample comparative analysis of hedging performance of stock index futures: dynamic versus static hedging. Applied Financial Economics, 19(13), 1059—1072.
Yang, W. и Allen, D. E. (2005). Multivariate GARCH hedge ratios and hedging effectiveness in Australian futures markets. Accounting & Finance, 45(2), 301—321.
Yano, K., Wago, H. и Sato, S. (2008). Multivariate Stochastic Volatility Models with Dynamic Correlations: A Monte Carlo Particle Filtering Approach.
Yu, J. (2005). On leverage in a stochastic volatility model. Journal of Econometrics, 127(2), 165—178.
Yu, J. и Meyer, R. (2006). Multivariate stochastic volatility models: Bayesian estimation and model comparison. Econometric Reviews, 25(2-3), 361— 384.
Zakoian, J.-M. (1994). Threshold heteroskedastic models. Journal of Economic Dynamics and control, 18(5), 931—955.
Zellner, A. (1976). Bayesian and non-bayesian analysis of the regression model with multivariate student-t error terms. Journal of the American Statistical Association, 71(354), 400—405.
Айвазян, С. А. (2008). Байесовский подход в эконометрическом анализе. Прикладная эконометрика, 9(1), 93—130.
Асатуров, К. Г. и Теплова, Т. В. (2014). Построение коэффициентов хеджирования для высоколиквидных акций российского рынка на основе моделей класса GARCH. Экономика и математические методы, 50(1), 37— 54.
Балаш, В., Балаш, О. и Харламов, А. (2011). Эконометрический анализ гео-кодированных данных о ценах на жилую недвижимость. Прикладная эконометрика, 2(22), 62—77.
Колоколов, А. (2011). Хеджирование фьючерсами: многомерные GARCH с динамическими условными корреляциями. Квантиль, 9, 61—75.
Лакшина, В. (2014). Можно ли снять «проклятие размерности»? Пространственные спецификации многомерных моделей волатильности. Прикладная эконометрика, 36(4), 61—78. Получено c http://ideas. repec. org/a/ris/apltrx/0249.html
Лакшина, В. (2016). Динамическое хеджирование с учетом степени неприятия риска. Экономический журнал Высшей школы экономики, 20(1), 156— 174. Получено c https://ej.hse.ru/2016-20-1/179161613.html
Пеникас, Г. И. (2011). Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска. Прикладная эконометрика, 22(2).
Цыплаков, А. (2010). Сделать тайное явным: искусство моделирования с помощью стохастической волатильности. Квантиль, 8, 69—122.
Приложения
Таблица А1: Описательная статистика логарифмических доходностей
Тикер 1 2 3 4 5 6 7 8 9
СУХ -0,0804 -0,0618 -0,0244 -0,0002 0,013 0,0691 0,0184 -0,1339 4,0271
ХОМ -0,0571 -0,0427 -0,0140 0,0005 0,0148 0,0579 0,017 0,0144 3,5311
снк -0,1815 -0,1463 -0,0758 0,001 -0,0054 0,1003 0,0359 -0,3755 4,028
мт -0,1103 -0,0817 -0,0247 -0,0009 0,0324 0,1179 0,0268 -0,0514 3,9778
с -0,1937 -0,1533 -0,0727 -0,0001 0,008 0,129 0,0333 -0,1000 4,9247
!РМ -0,1409 -0,1101 -0,0485 -0,0001 0,0131 0,1055 0,0266 -0,0743 5,1514
РВСТ -0,0810 -0,0635 -0,0285 0,0007 0,0065 0,059 0,0189 -0,2341 3,5062
STI -0,1105 -0,0841 -0,0313 -0,0005 0,0215 0,1008 0,0308 -0,1045 3,3459
CMS -0,0683 -0,0546 -0,0272 0,0001 0,0002 0,0414 0,0145 -0,2580 3,6188
DTE -0,0613 -0,0485 -0,0228 -0,0001 0,0028 0,0413 0,0133 -0,0184 3,5554
FE -0,0592 -0,0428 -0,0101 0,0009 0,0227 0,0718 0,0179 0,2069 3,8899
NRG -0,0787 -0,0579 -0,0164 -0,0002 0,0252 0,0876 0,0249 0,0979 3,3959
DHR -0,0823 -0,0626 -0,0233 0,0001 0,016 0,075 0,0204 -0,1971 3,9278
DOV -0,0874 -0,0634 -0,0154 0,0003 0,0325 0,1045 0,0239 0,0308 3,8831
ITW -0,1152 -0,0907 -0,0417 -0,0005 0,0073 0,0808 0,0206 -0,2336 5,2258
JOY -0,1387 -0,1054 -0,0389 0,0004 0,0277 0,1275 0,0351 -0,2021 3,7584
CSCO -0,1435 -0,1068 -0,0334 0,0000 0,04 0,1502 0,0259 0,0314 6,7578
SYMC -0,1156 -0,0846 -0,0227 0,0004 0,0392 0,1321 0,026 0,0751 4,7953
ORCL -0,1276 -0,1040 -0,0570 -0,0004 -0,0100 0,0605 0,0252 -0,6605 4,6881
ADS -0,0893 -0,0670 -0,0225 0,001 0,022 0,0888 0,0204 -0,0330 3,9291
Обозначения столбцов 1 Минимум
4 Среднее
7 Стандартное отклонение
расшифрованы ниже: 2 1-ый квартиль
5 3-ий квартиль
8 Коэффициент асимметрии
3 Медиана
6 Максимум
9 Коэффициент эксцесса
Таблица А2: Статистика теста Дайболда и Мариано для функции потерь #1,(1.26).
ВЕКК GO-GARCH ССС
23 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 -1,38 -1,37 -3,08** -3,27** -3,19** -1,38 -1,46 -26,65** -32,31** -34,57** -38,85** -1,37 -1,40 0,78 -3,42** -1,85
2 1,94* 0,5 0,26 0,25 -0,76 0,41 -23,88** -29,44** -31,44** -38,6** 1,89 -0,12 0,94 -1,21 -3,96**
3 0,48 0,24 0,24 -1,63 0,27 -23,89** -29,46** -31,46** -38,6** -1,14 -1,76 0,94 -1,25 -3,91**
4 -3,39** -2,88** -0,50 -0,51 -25,69** -31,34** -33,51** -38,77** -0,49 -0,51 1 -2,97** -1,32
5 -0,59 -0,27 -0,24 -25,52** -31,17** -33,32** -38,75** -0,24 -0,27 1,03 -2,53** -1,18
6 -0,26 -0,23 -25,48** -31,13** -33,28** -38,75** -0,24 -0,26 1,03 -2,54** -1,19
1 0,45 -23,87** -29,43** -31,43** -38,6** 1,58 0,15 0,94 -1,19 -3,98**
3 -24,09** -29,67** -31,69** -38,62** -0,28 -0,51 0,95 -1,45 -2,99**
4 -63,86** -87,35** -39,46** 23,89** 23,91** 49,87** 25,26** 23,25**
5 -38,46** -39,2** 29,45** 29,47** 53,46** 30,91** 28,79**
6 -39,04** 31,46** 31,48** 58,04** 33,05** 30,74**
1 38,6** 38,6** 39,84** 38,72** 38,54**
2 -1,59 0,94 -1,24 -3,92**
3 0,94 -1,23 -3,74**
4 -1,22 -1,07
5 -0.21
Таблица A3: Описательная статистика
Акции
Фьючерсы
Тикер N Mean St.dev. Skew. Kurt. Mean St.dev. Skew. Kurt.
chmf 1395 0,040 2,215 -0,366 6,237 0,040 2,402 -0,592 10,494
fees 1318 -0,050 2,941 -0,324 9,748 -0,048 3,184 0,189 8,993
gazp 2730 -0,013 2,458 -0,084 19,300 -0,013 2,591 0,213 24,388
gmkn 3041 0,058 2,747 -1,001 20,524 0,058 2,907 -1,112 26,078
hydr 1404 -0,032 2,172 0,199 6,239 -0,031 2,273 -0,092 6,818
lkoh 3586 0,055 2,317 -0,055 16,122 0,055 2,393 -0,335 25,889
mgnt 587 0,036 2,027 -0,089 5,140 0,040 2,202 -0,042 5,573
nlmk 231 0,244 2,030 0,229 3,906 0,242 2,879 0,936 12,178
nvtk 1973 0,084 2,925 -1,362 31,895 0,084 3,712 -0,530 14,097
rosn 2547 0,025 2,610 0,929 36,043 0,025 2,770 0,536 47,209
rtkm 3020 0,030 2,284 0,293 12,500 0,030 3,031 -0,676 26,798
sber 2753 0,068 2,995 0,129 17,146 0,068 3,122 0,210 17,946
sngs 3583 0,031 2,692 0,963 24,704 0,031 2,799 2,272 54,004
tatn 1402 0,065 2,170 -0,020 4,212 0,067 2,145 -0,407 7,613
trnf 2367 0,065 3,082 0,023 18,438 0,066 3,150 0,039 9,705
urka 1383 -0,028 2,136 -1,621 23,653 -0,024 2,537 -0,649 13,852
vtbr 2357 -0,026 2,919 0,576 45,755 -0,027 3,286 2,680 80,832
Обозначения столбцов
N Число наблюдений
St.dev. Стандартное отклонение Kurt. Коэффициент эксцесса
расшифрованы ниже:
Mean Среднее дневных логарифмических доходностей
Skew. Коэффициент асимметрии
Подписи Меап
Мт
Kurtosis
SD
Мах
Skewness
Рис. А1: Описательная статистика
по оси абсцисс расшифрованы среднее дневных логарифмических доходностей
минимальное значение
коэффициент эксцесса
стандартное отклонение
максимальное значение
коэффициент асимметрии
ниже:
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.