Моделирование волатильности финансовых временных рядов при помощи многомерных GARCH и HAR моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Аганин Артём Давидович

• Аганин Артём Давидович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Аганин Артём Давидович

Оглавление

Введение

Глава 1. Сравнение методов моделирования волатильности

1.1 Сравниваемые модели

1.1.2. Семейство НАЯ-ЯУ моделей

1.1.3. ARFIMA модели

1.2. Методика сравнения

1.3. Результаты эмпирического сравнения 42 Глава 2. Что влияет на волатильность обменного курса

2.1. Обзор литературы

2.2. Модели оценки волатильности и влияния волатильности нефтяных цен на волатильность обменного курса

2.2.1. Одномерные GARCH модели

2.2.2. Двумерные GARCH модели

2.2.3. Реализованная волатильность

2.2.4. Модели зависимости волатильности

2.3. Данные

2.4. Оценки волатильности

2.5. Динамика коэффициента влияния в

2.6. Анализ влияния санкций и других факторов

Глава 3. Волатильность Российского фондового индекса: нефть и

санкции

3.1 Обзор литературы

3.2. Методика оценивания

3.3. Данные 92 3.4 Особенности оценивания регрессий

3.5. Оценки волатильности

3.6. Анализ влияния санкций и других факторов 98 3.7 Выводы

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Актуальность исследования

Волатильность является важным финансовым показателем на финансовых рынках. Обычно под волатильностью принято понимать величину, описывающую изменчивость цены актива. Волатильность представляет большой интерес для инвесторов с точки зрения оценивания рисков инвестирования в тот или иной рынок или актив. Хотя волатильность не может быть рассчитана напрямую, для описания её свойств и предсказания волатильности существует множество различных моделей, разрабатываемых на протяжении сорока лет, а исследованию свойств этих моделей посвящено множество научных статей (Аганин, 2017). На протяжении долгого времени наиболее популярными моделями волатильности являются модели семейства GARCH. Особенностью этого семейства моделей является то, что они рассматривают волатильность как ненаблюдаемую величину. Также GARCH модели способны моделировать некоторые важные эмпирические особенности волатильности, такие как кластеризация волатильности и длинная память, чем и объясняется их популярность. Помимо семейства GARCH моделей в литературе предлагается использование других семейств, таких как ARFIMA, MIDAS, модель Хестона и др.

В качестве наблюдаемого приближения волатильности в литературе и на практике широко используется реализованная волатильность (RV), которая получила широкое применение с появлением высокочастотных внутридневных данных котировок цен. Это связано с тем, что реализованная волатильность является состоятельной оценкой ненаблюдаемой волатильности. Развитием идеи моделирования реализованной волатильности стали HAR-RV

модели, предложенные в Corsi (2009). Позже появилось множество статей с различными модификациями базовой HAR-RV модели, а также сравнения некоторых моделей этого семейства с единичными представителями уже существующих семейств моделей волатильности по их вневыборочной прогнозной силе.

В литературе сравнения моделей по вневыборочному прогнозированию волатильности демонстрируют превосходство HAR-RV модели и некоторых её модификаций над отдельными представителями других семейств. Стоит отметить, что сравнение моделей волатильности по качеству вневыборочного прогнозирования волатильности предпочтительнее сравнения по качеству внутривыборочного оценивания волатильности. Это связано с тем, что выводы о превосходстве тех или иных моделей, полученные при внутривыборочном сравнении на одних данных, могут сильно отличаться от вывода аналогичного сравнения на новых данных. Сравнения, в которых модели сравниваются по предсказанию будущей волатильности, которую модели еще не видели, считаются более информативными и корректными. Подобные сравнения не будут отдавать предпочтение моделям, страдающим от чрезмерного подгона внутривыборочных данных моделями большим количеством параметров и лучше способны обобщать наблюдаемую динамику.

После популяризации семейства HAR-RV моделей интерес к реализованной волатильности вырос и применение оценок RV вышло за пределы этого семейства моделей. Так, одно из недавних направлений моделирования и прогнозирования волатильности связано с моделирования "rough" волатильности, появившееся после статьи (Gatheral et al., 2014). Поскольку широкого сравнения моделей семейств GARCH и HAR-RV моделей выполнено не было, то могут возникать сомнения при выборе семейства моделей волатильности.

Стоит ли моделировать волатильность при помощи GARCH моделей или же лучше воспользоваться HAR-RV моделями? В связи с этим представляется интересным выполнение подобного сравнения, в частности на российских фондовых котировках.

Популярным объектом исследований по волатильности является обнаружение эффектов перетекания ("spillover") волатильности с одного рынка на другие. Такие исследования посвящены связи волатильностей рынков товаров, фондовых рынков, макропоказателей различных стран. Для обнаружения эффекта перетекания волатильности большой популярностью пользуются многомерные BEKK-GARCH и DCC модели, не использующие данные внутридневных котировок. Это связано как с отсутствием необходимости использовать внутридневные данные, так и с отсутствием развития новых направлений моделирования таких эффектов. Эти модели используются с целью определения наличия значимого эффекта перетекания волатильности или же прогнозирования волатильности, но при этом не пригодны для большинства более сложных задач.

Например, что, если мы заинтересованы не в определении наличия самого эффекта перетекания, а в изучении влияния различных факторов на волатильность показателя, включая волатильность на других рынках? Теоретически, логическим шагом могло бы быть включение таких факторов в уравнение BEKK-GARCH модели. Однако BEKK-GARCH модели и так содержат большое количество параметров, которые на практике тяжело оценивать при помощи численных методов. Оценки параметров могут значительно изменяться при небольшом увеличении/уменьшении временного интервала, а само оценивание занимать продолжительное время из-за необходимости использования нескольких стартовых наборов параметров. В связи с

трудностями оценивания BEKK-GARCH моделей исследователи начали чаще использовать DCC модели, лишенные такой проблемы. Если же говорить о DCC моделях, то их свойства до сих пор не были хорошо изучены и в частности, не были определены условия оптимальности численного оценивания параметров этих моделей, в связи с чем результаты их оценивания и интерпретация могут оказаться недостоверными. Добавление дополнительных параметров в модель еще больше усложняет оценивание моделей и может приводить к неадекватным результатам. Другая проблема заключается в неинтерпретируемости результатов оценивания многомерных моделей волатильности. Поскольку динамика волатильности в таких моделях представлена в виде произведения матриц, то количественное интерпретируемое оценивание влияния экзогенных факторов на зависимую переменную не представляется возможным. Таким образом, традиционный подход многомерных моделей не подходит для оценивания количественного и качественного эффектов от экзогенных факторов.

Степень проработанности проблемы

В данной диссертации поставлена задача оценить влияние волатильности цен нефти, санкций, вводимых против РФ начиная с 2014 года и других макроэкономических показателей на волатильность обменного курса доллар/рубль и на волатильность российского фондового рынка. Стоит отметить, что сам факт наличия эффекта перетекания волатильности цен нефти на российский фондовый рынок является хорошо изученным в литературе при помощи ВЕКК моделей. Однако начиная с 2014 года в связи с кризисом на Украине и последующим введением санкций против Российской Федерации влияние волатильности нефти и санкций необходимо моделировать

совместно. Это, как было сказано ранее, не представляется возможным в рамках традиционно используемых моделей перетекания волатильности из-за необходимости включения дополнительных параметров, что приводит к неадекватным и ненадежным результатам оценивания этих моделей численными методами.

В литературе ряд статей посвящен обнаружению как эффекта влияния цены нефти на фондовые индексы нефтеэкспортирующих и нефтеимпортирующих стран, так и эффекта влияния волатильности цен нефти на волатильность фондовых индексов этих стран. Так, в работе (Basher et al., 2018) обнаружено значимое влияние шоков спроса/предложения нефти на фондовые рынки нефтеэкспортирующих стран, хотя влияние и различается по странам. Wang et al. (2018) показали улучшение качества краткосрочных прогнозов волатильности доходностей фондового индекса США S&P500 при включении волатильности цен нефти в модель. Gomes и Chaibi (2014) проанализировали наличие эффектов трансмиссии шоков и волатильности между фондовыми рынками двадцати трех слабо развивающихся стран и ценой на нефть при помощи модели BEKK-GARCH. Было обнаружено наличие эффекта трансмиссии волатильности нефти на фондовые рынки некоторых таких стран. Стоит выделить работу (Degiannakis, et al., 2018), в которой обобщены результаты множества исследований, посвященных этим вопросам на основе данных развивающихся и развитых стран мира. Авторы приходят к выводу о наличии значимого влияния цен нефти на фондовые индексы нефтеэкспортирующих стран и обнаружении аналогичного влияния для волатильностей этих показателей. Обратное влияние было обнаружено только для американского фондового рынка. Показано, что рост цены нефти приводит к отрицательным

доходностям индексов стран-импортеров, а падение цены нефти - к отрицательным доходностям индексов стран-экспортеров.

Существуют несколько аналогичных исследований и по Российской Федерации, поскольку РФ является одним из наибольших экспортеров нефти в мире, а нефть является важной составляющей экономики РФ. Экспорт нефти и нефтепродуктов составил 45.8% от общего экспорта РФ в 2018 году по данным Федеральной таможенной службы России. Например, в работе (Zivkov et al., 2018) было проанализировано наличие эффекта перетекания (spillover effect) волатильности между рынком товаров (в том числе нефти) и индексом РТС за период 2001-2016 гг. На основании полученных результатов авторы также пришли к выводу об усилении этого эффекта в кризисные периоды и ослаблении в спокойные периоды. В работе (Lozinskaia, Saltykova, 2019) авторы обнаружили изменчивость влияния цен нефти и других макроэкономических факторов на индекс МосБиржи (MOEX) на интервале 2003-2018гг. Согласно результатам (Izatov A., 2015) на интервале 1995-2015гг. рост цен на нефть и девальвация национальной валюты значительно влияли на экономическую активность в Российской Федерации.

Вскоре после введения санкций со стороны США и Европы против РФ в 2014 году начали появляться работы, анализирующие на примере РФ влияние санкций на те или иные секторы экономики страны, а также на ее макроэкономические показатели. Большинство из введенных санкций носили экономический характер с запретом сотрудничества с нефтяным, оборонно-промышленным секторами РФ и отдельными компаниями. Экономические санкции, как правило, являются принудительной мерой и оказывают большее давление по сравнению с политическими заявлениями, но меньшее по сравнению с военным вмешательством. В случае России они были направлены на

ограничение международной торговли и использования оборудования, а также на запрет инвестиций. Эффект от подобных действий на экономику страны следует ожидать через какое-то время, однако реакция на финансовых рынках на подобные события, как правило, является мгновенной и сопровождается резким ростом волатильности. Поэтому причиной подобной реакции на фондовых рынках стоит считать не непосредственные изменения в экономике, а действия инвесторов, резко изменяющих свои ожидания относительно текущей и будущей стоимости активов и рискованности вложения в те или иные компании после поступлении новой информации о введении санкций и других событиях. Стремления инвесторов избавиться от рискованных активов приводят к движениям цен активов на финансовых рынках, что в свою очередь приводит к росту волатильности всего финансового рынка. Если говорить о влиянии санкций на экономику РФ, то можно выделить следующие работы. Kholodilin, Netsunajev (2019) проанализировали влияние нефти и санкций на экономики РФ и Европы на квартальных данных за 1997-2015 гг. Авторами было обнаружено значимое негативное влияние санкций на темпы роста ВВП РФ. Tuzova и Qayub (2016), проанализировав влияние цены нефти и санкций, пришли к выводу о том, что резкое падение цен на нефть в 2014 году было главной причиной падения макроэкономических индикаторов РФ.

Так как введение санкций привело к оттоку инвестиций иностранных инвесторов из России, то это должно было оказать влияние на весь фондовый рынок. Например, в работе (Rubtsov, Annenskaya, 2018) авторы анализируют факторы, оказывающие влияние на фондовый рынок РФ за 2000-2017 гг., и приходят к выводу, что наибольшее влияние на фондовый рынок начиная с 2014 года по 2017 год оказывали санкции. В работе (Ahn, Ludema, 2019) авторы

проанализировали влияние индивидуальных санкций, направленных на конкретные компании на примере РФ за период 2012-2016 гг. Они пришли к выводу, что индивидуальные санкции оказались эффективными против конкретных компаний по сравнению с компаниями, против которых не были введены санкции. Naidenova и Novikova (2018), проанализировав влияние санкций 2014-2016 гг. обнаружили, что эффект от индивидуальных санкций США на российские компании, акциями которых торгуют на фондовом рынке РФ, оказался сильнее по сравнению с эффектом от индивидуальных санкций Европы.

Поскольку на 2020 год РФ все еще находится под действием санкций, вопрос их влияния остается актуальным. Стоит отметить, что обнаруженные автором исследования массово рассматривали период до 2016 года, после чего интерес к анализу влияния санкций значительно уменьшился, хотя новые санкции вводились и после 2016 года.

По обзору литературы можно отметить отсутствие аналогичных исследований с задачей оценивания влияния событийных и иных дополнительных факторов на волатильность обменного курса или фондового рынка. Вероятно, трудности оценивания моделей волатильности являются одной из причин очень небольшого количества подобных исследований, как и несуществование самих моделей, пригодных для подобного анализа с хорошо изученными свойствами. Отдельные исследования посвящены взаимосвязи вмененной и исторической волатильностей на финансовых рынках (Pahdi, Shaikh, 2014) а также влиянию процентных ставок на волатильности обменных курсов. Однако исследования с задачами, подобными поставленной задаче в данной работе, встретить крайне сложно. В связи с этим не существует стандартной методики подобного

моделирования зависимости между волатильностями с включением событийных переменных, что привело к необходимости составления адекватной методики оценивания и моделирования зависимости между волатильностями.

Для оценивания эффекта санкций в контексте волатильностей необходимо сначала построить оценки волатильности российского фондового рынка, обменного курса USD/RUB и волатильности цен на нефть, а затем смоделировать вид зависимости между этими волатильностями.

Так как в данной работе важное место занимает задача моделирования волатильности, то сначала исследуются различные подходы к моделированию волатильности и соответствующие семейства моделей. Логично выполнить сравнение моделей волатильности на российских фондовых котировках и воспользоваться наилучшим подходом или наилучшими моделями. В литературе сравнение семейств моделей волатильности зачастую представлено сравнениями небольшого набора отдельных представителей. Например, Mastro (2014) обнаружил, что простейшая HAR-RV модель превосходит модели GARCH(1,1) и EGARCH(1,1). Однако сравнение большого количества моделей разных семейств на большом наборе данных для выявления статистически значимого превосходства одних моделей над другими не выполнялось. Подобные исследования также не выполнялись на данных российских фондовых активов.

Объект и предмет исследования Объектом диссертационного исследования является волатильность фондового рынка и обменного курса USD/RUB как индикаторов состояния экономики РФ. Предмет исследования составляет применимость подходов к моделированию и прогнозированию волатильности на данных российского фондового

рынка, а также влияние санкций и волатильности нефти на волатильность фондового рынка и обменного курса. Внимание уделено фондовому рынку РФ, поскольку он демонстрирует ожидания инвесторов относительно влияния текущих цен на нефть и санкций, направленных как на целые сектора экономики РФ, так и на отдельные компании. Также было проанализировано влияние нефти и санкций на волатильность обменного курса USD/RUB, который продемонстрировал значительное падение в постсанкционный период.

Цель и задачи исследования Целью диссертационного исследования является моделирование, оценивание волатильности основных активов российского фондового рынка, а также поиск факторов, влияющих на волатильности обменного курса USD/RUB и фондового индекса РТС. Задачи включают в себя:

• сформулировать спецификации одномерных GARCH, HAR и ARFIMA моделей как подходов к моделированию волатильности;

• реализовать процедуры оценивания этих моделей;

• сравнить эти подходы к моделированию волатильности;

• оценить волатильности обменного курса USD/RUB, цен на нефть Brent, фондового индекса РТС при помощи параметрического и непараметрического подходов;

• определить набор потенциальных факторов, оказывающих влияние на волатильности РТС и USD/RUB, таких как санкции и политика ЦБ;

• смоделировать влияние санкций;

• проанализировать возможность применения многомерных моделей волатильности, а также стандартных регрессионных методов к оцениванию влияния выбранных факторов;

• построить соответствующие модели и сделать выводы о наличии и виде влияния санкций и нефти на волатильности РТС и USD/RUB.

Методы исследования и данные

В работе использованы методы анализа временных рядов, моделирования волатильности и эконометрического анализа. Оценивание регрессионных моделей и моделей волатильности было проведено с помощью языка программирования для статистических расчетов R (R Core Team, 2020) и пакета для статистических расчетов EViews.

Задача сравнения моделей волатильности состояла в оценке волатильности и сравнении модельных прогнозных оценок будущей волатильности с фактическими будущими оценками волатильности. Всего для эмпирического сравнения были взяты 88 GARCH моделей, 10 HAR-RV моделей, а также четыре ARFIMA модели.

Сравнение выполнялось на данных котировок десяти важных российских биржевых активов (Аганин, 2017): акциях алмазодобывающей компании «АЛРОСА» (ALRS), акциях энергетической корпорации «Газпром» (GAZP), горнометаллургической компании «Норникель» (GNWK), нефтяной компании «ЛУКОЙЛ» (LKOH), композитный фондовый индекс ММВБ (MICEX), телекоммуникационной компании «МТС» (MTSS), нефтегазовой компании «Роснефть» (ROSN), биржевого индекса РТС Russian Trading System Cash Index(RTSI), акциях Сбербанка России (SBER) и акциях ВТБ банка (VTBR) с 09 сентября 2013 года по 12 мая 2016 года, что в целом составляет 654 торговых дня. Для сравнения моделей использовался тест Model Confidence Set (MCS), предложенный в (Hansen et al., 2011). Этот тест не требует предположения о превосходстве какой-либо одной модели над другими

(выбора бенчмарка), допускает возможность существования множества моделей (а не единственной, как в SPA тесте) с одинаковым превосходством над остальными, а также позволяет учитывать несовершенство используемых данных. При использовании зашумленных данных имеющейся в них информации может быть недостаточно для определения тестом единственной наилучшей модели. В этом случае тест не обнаружит значимое превосходство истинно наилучшей модели над некоторыми другими моделями и такие модели попадут в конечное множество. Следовательно, от качества данных, использованных для моделирования волатильности, будет зависеть размер конечного множества наилучших моделей, что можно отнести как к плюсам, так и минусам теста.

Задача моделирования и оценки влияния санкций и волатильности нефти состояла из двух этапов.

На первом этапе оценивалась волатильность рассматриваемых активов. Из множества существующих моделей были выбраны и использовались одномерная и двумерная GARCH модели, а также подход реализованной волатильности, не требующий спецификации модели. Оценивание моделей волатильности оказалось нетривиальной численной задачей в силу специфичности рассматриваемых активов, имеющих длительные периоды высокой волатильности. В связи с этим использовалось несколько стартовых значений параметров, и в итоге выбиралась модель с наилучшим максимальным правдоподобием. В качестве исходных данных рассматривались внутридневные пятиминутные котировки цен на нефть Brent в долларах США, значения котировок обменного курса USD/RUB и значения котировок фондового индекса РТС, также рассчитываемого в долларах США. Данные за период 11.10.2007—31.12.2018 были взяты с сайта

https://www.finam.ru/, на котором они предоставлены Московской Биржей.

На втором этапе, имея модельные оценки дневных волатильностей фондового индекса РТС/обменного курса и нефти, оценивались регрессии логарифма волатильности индекса РТС/обменного курса на логарифм волатильности цены нефти, где в качестве дополнительных факторов выступали событийные и макроэкономические показатели, такие как санкции, режим цен на нефть, У1Х (индекс волатильности на американском фондовом рынке, часто используемый в качестве индикатора ожиданий инвесторов будущей неопределенности на рынке) и др.

Дополнительно в окнах из 252 наблюдений, что соответствует одному торговому году, оценивались регрессии влияния волатильности нефти на те же зависимые переменные. В результате подобного оценивания была получена динамическая зависимость волатильностей российских макроэкономических индикаторов от волатильности нефти.

Научная новизна

Научная новизна заключается в следующем:

• выполнено моделирование и сравнение основных подходов к моделированию волатильности на данных российского фондового рынка с использованием большого количества активов и моделей;

• в силу неинформативности стандартных подходов определения эффекта перетекания волатильности применена двухэтапная методология оценивания и моделирования влияния волатильности цен нефти;

• проанализировано влияние волатильности цен нефти в динамике на волатильности обменного курса USD/RUB и фондового индекса РТС;

• смоделировано и оценено влияние санкций и других макроэкономических факторов на эти же волатильности;

• все использованные подходы показали похожие результаты, что говорит о робастности полученных результатов.

Основные результаты исследования

• Выполнено сравнение большого количества моделей волатильности на данных российских фондовых активов. Результаты говорят о явном статистическом преимуществе HAR-RV моделей при прогнозировании волатильности, однако это семейство моделей оказалась неподходящим для дальнейшего исследования. При этом сам подход реализованной волатильности был использован в качестве альтернативы модельному оцениванию волатильности.

• Построены модели для оценивания влияния волатильности нефти на волатильность фондового индекса для нефтеэкспортирующих стран на примере России.

• Смоделирована волатильность обменного курса USD/RUB и волатильность фондового индекса РТС при помощи параметрического и непараметрического подходов.

• сформулирован и реализован подход к моделированию динамики зависимости этих волатильностей от волатильности цен на нефть;

• смоделирован и оценен эффект от санкций и некоторых других макроэкономических индикаторов на волатильность обменного курса USD/RUB и волатильность фондового индекса РТС;

• обнаружено значимое положительное влияние волатильности нефти на волатильность обменного курса, и на волатильность фондового индекса РТС. Эффект от санкций оказался непостоянным в

обоих случаях: наиболее сильным после введения первых санкций и ослабевающим со временем;

• обнаружена адаптация фондового рынка и экономики РФ к вновь введенным санкциям. Полученные результаты могут быть интересны инвесторам и Центробанку, поскольку демонстрируют быструю реакцию фондового рынка РФ и довольно быструю его стабилизацию в условиях функционирования экономики под действием санкций.

Апробация результатов исследования

Основные выводы диссертационного исследования являются результатом экономико-математического моделирования.

Применяемые в работе методы теоретического и эконометрического анализа соответствуют принятым в современной научной литературе академическим стандартам.

Публикации

Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих научных изданиях, индексируемых в Scopus:

1. Аганин А.Д., 2017. Сравнение GARCH и HAR-RV моделей для прогноза реализованной волатильности на российском рынке. Прикладная эконометрика. Т. 48. С

2. Аганин А.Д., Пересецкий А.А., 2018. Волатильность курса рубля: нефть и санкции. Прикладная эконометрика, Т. 52, С

3. Аганин А.Д., (2020). Волатильность российского фондового индекса: нефть и санкции. Вопросы экономики, (2), С

Конференции

Основные результаты диссертационного исследования прошли апробацию в рамках обсуждения на следующих международных научных конференциях:

1. 8-я Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Статистические методы анализа экономики и общества» (Москва, 2017). Доклад: «Сравнение моделей волатильности на данных российских биржевых индексов»

2. VI Международная конференция «Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками», г. Саратов, 8 - 11 ноября 2017 года. "Сравнение моделей волатильности на данных российских биржевых индексов" (с А. Д. Аганиным).

3. 12th International Conference on Computational and Financial Econometrics & 11th International Conference of the ERCIM WG on Computational and Methodological Statistics (Пиза, 2018). Доклад: «The impact of oil price volatility on the exchange rate in Russia»

4. Modern Econometric Tools and Applications — META-2018 (Nizhny Novgorod, 2018). Доклад: «Modeling UsdRub volatility with the help of multidimensional volatility models»

5. Научный семинар «Прикладная эконометрика» в рамках XX Апрельской международной научной конференции НИУ ВШЭ. Доклад: «RTSI volatility: impact of oil price volatility and sanctions»

6. Modern Econometric Tools and Applications — META-2019 (Nizhny Novgorod, 2019). Доклад: «Russian stock market volatility: oil and sanctions»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование волатильности финансовых временных рядов при помощи многомерных GARCH и HAR моделей»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Текст диссертации изложен на 123 страницах, содержит 9 рисунков, 11 таблиц. Список литературы включает 92 источника.

Глава 1. Сравнение методов моделирования

волатильности1

В данной работе ставится задача оценивания влияния волатильности цен нефти и событийных факторов (таких как санкции, введенные против РФ) на волатильности обменного курса и фондового индекса РТС. Прежде, чем приступать к моделированию данной зависимости необходимо определиться со способом моделирования волатильности. Волатильность характеризует изменчивость финансовых активов, что вызывает интерес к ее моделированию и прогнозированию. Первые модели волатильности появились почти 40 лет назад, а интерес к моделированию волатильности с тех пор остается неизменным, что приводит к появлению все новых и новых моделей, учитывающих специфические эмпирические свойства волатильности. В связи с этим сначала имеет смысл изучить и сравнить основные используемые для этого подходы, в частности подход GARCH моделей и подход реализованной волатильности. Данная глава посвящена обзору основных методов волатильности, используемых для моделирования волатильности временных рядов и их сравнению по качеству вневыборочного прогноза волатильности на один день вперед. Сравнение моделей по прогнозированию волатильности на один день вперёд было выбрано по двум причинам. Во-первых, в данной диссертационной работе была выбрана дневная дискретность данных. В связи с этим моделируется дневная волатильность. Прогнозирование волатильности на неделю и далее подразумевает агрегацию данных до соответствующей дискретности, чего не предполагается в данной

1 Данная глава основана на статье Аганин А.Д., (2017). Сравнение вАЯСН и НАЯ-ЯУ моделей для прогноза реализованной волатильности на российском рынке. Прикладная эконометрика. Т. 48. С. 63-84.

работе. Использование недельных данных приводит к сглаживанию полученных динамических оценок зависимостей, а потому менее информативно. Во-вторых, прогнозирование волатильности на один день вперед является стандартным способом сравнения моделей волатильности в литературе, а сами прогнозы представляют интерес для инвесторов, торгующих на фондовых рынках. В связи с популяризацией концепции реализованной волатильности для понимания целесообразности её использования и определения преимуществ по сравнению с GARCH моделями необходимо выполнение подобного сравнения.

1.1 Сравниваемые модели

1.1.1. Семейство GARCH моделей

Настоящий раздел основан на статье (Аганин, 2017). Одним из первых семейств моделей, предназначенных для изучения рядов волатильности, стало семейство GARCH моделей, первая из которых была представлена в (Engle, 1982) и получила название ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity). Основным достоинством этой модели был учет гетероскедастичности волатильности. В названии модели «AR» означает авторегрессию в квадратах доходностей, а «CH» — моделирование волатильности как условной дисперсии в момент t при известной информации только до момента t -1 включительно. Фактически в ARCH модели предполагается, что дисперсия текущих «инноваций» (нововведений на финансовом рынке) является функцией от значений инноваций в предыдущие моменты времени. ARCH модель можно описать следующим образом. Стандартно для моделей GARCH семейства определяется два уравнения: условного математического ожидания доходности и процесс условной дисперсии. Обозначим через at

дисперсию актива в момент t, а его доходность в этот момент как rt.

Тогда доходность финансового актива можно представить в виде процесса:

rt = M + St , (11)

где st = <Jtzt — инновации (остатки) и zt ^ i.i.d.N(0,1). Условная дисперсия ARCH(1) модели может быть записана как

< = с + oclsf-l. (12)

На коэффициенты ARCH модели накладываются следующие ограничения: с > 0 и a1 > 0 для положительности значений дисперсии,

а также ^<1 для стационарности ряда (1.2). Безусловная волатильность такого процесса может быть рассчитана из уравнения

п ол с (1.2) взятием математического ожидания, и она равняется-.

1 -а1

Можно показать, что безусловное распределение остатков S в ARCH модели характеризуется более тяжелыми «хвостами» по сравнению с нормальным распределением, т.е. обладает большим куртозисом (показателем, отражающим остроту вершины и толщину хвостов одномерных распределений, и равным 3 для нормального распределения). Куртозис распределения s можно записать как:

Kurt(s)=^isl = E (<) E () = (13)

) (E(<))2 (e(<))2(E(z;))2 (E<<))2. ( )

Поскольку st нормально распределена (с куртозисом равным 3), то из

формулы (1.3) с учетом неравенства Иенсена (E (f (X) )> f (E (X)) для

выпуклой функции f (x)) следует, что Kurt(st) > 3, это говорит о

«тяжелых хвостах» распределения остатков. Следовательно, можно предположить, что, используя распределения с более тяжелыми хвостами можно получить лучшее качество оценок.

Bollerslev (1986) предложил обобщенную GARCH(p,g) модель, которая предлагает более элегантный способ представления ARCH модели с большим числом лагов:

a,2 = c> + fa,sl + (1.4)

¿=1 ,=1

На параметры модели (1.4) налагается ограничение c>0, а также условие стационарности ^J ai + ^р ß <1.

Можно заметить, что GARCH модель фактически является ARMA моделью в квадратах остатков. Для этого запишем GARCH(1,1) модель как

at = ао + aisL + ßat. ( 15)

Условный прогноз ошибки (разность между квадратом остатков доходностей st и его условным математическим ожиданием)

обозначим как vt = sf - Et_1 (sS) = sf - af, где Et_1 (st) является математическим ожиданием st, основанным на доступной информации в момент t _ 1. Это позволяет переписать GARCH(1,1) модель как

s _ vt = ао + a1st_1 + A(sM _ vt_1), (1 6)

s = a0 + (a1 + ß1)st2_1 + vt _ что является уравнением ARMA(1,1) модели относительно квадратов остатков. Из этого следует, что GARCH модели обладают свойствами ARMA моделей.

После введения GARCH модели было предложено множество модификаций классической GARCH модели, которые позволяют учесть дополнительные эффекты, наблюдаемые на эмпирических данных, такие как асимметрическая реакция на прошлые изменения волатильности, эффект «рычага», замеченный в (Black, 1976) и др.

Наиболее популярными моделями GARCH семейства являются следующие.

1. GARCH: K = * + £ a- + Z j j.

2. IGARCH: K = * + Zi& + ZKj .

3. NAGARCH: к^ = * +£ i + YK- )2 + Z j j.

4. Thr.-GARCH: к = * + £,[(1 -Y,X, -(1 + Y)к]2 + Zp=!.

5. GJR-GARCH: K = * + Уq («■ + Yi( >0)Ж2- —p вK .

6. Tayior/Schwert: к=*9i=a | | +ZР=вк.

7. EGARCH:

log(Kt2) = * + £+ Y(I et-j I -E | fit-, I)] + Zpj logK)

8. NGARCH: K = * + Zi S +Z jj.

9. A-PARCH: K = * + ^ I -m-]Y + Z jj.

10. CSGARCH: qt = * +pqt -1 + p(et- -к^),

K = q +L>,-q-)+LVj(Kj -qt_j)2.

11. H-GARCH /ALLGARCH:

K = * +Xm[| e, -k I -т | ^ -k \r+XHj.

Множество исследований показывают негативный вклад увеличения количества лагов в качество прогноза GARCH моделей. Поэтому обычно используются спецификации с p < 2 и q < 2. Следует отметить, что GARCH(1,1) модель является наиболее популярной и используемой среди остальных.

Для оценивания параметров GARCH моделей по данным доходностей актива общепринятым является метод максимального правдоподобия, а также его модификация — метод квазиправдоподобия. Несмотря на их повсеместное применение, эти методы обладают существенными недостатками: сходимость этих методов не

гарантирована, а оптимизация для поиска параметров может занимать длительное время. Основным плюсом этих процедур является состоятельность полученных оценок.

В качестве процесса доходностей актива (1) часто также

используется ARMA процесс c малым количеством лагов. Выбору лаговой структуры этого ARMA процесса обычно не уделяется много времени, поскольку он слабо влияет на прогноз волатильности. Как было показано ранее, нормальное распределение ошибок не обладает достаточно толстыми хвостами. В связи с этим помимо общепринятого предположения о нормальности ошибок в (1) было предложено множество других распределений, которые могут лучше описывать некоторые наблюдаемые особенности финансовых данных, такие как асимметрия и тяжелые хвосты распределения остатков. Среди наиболее используемых в данной работе были рассмотрены следующие четыре.

1. Нормальное распределение с плотностью

(х-^)2

I 2

f (х) = ^— в 2-2 . (1.7) л/2псг

2. Скошенное /-распределение Стьюдента. Пусть xv имеет t-распределение, v — число степеней свободы. Обозначим

х

Ь = / v (1.8)

t W-2) V '

и его стандартизированную функцию плотности как

S

f (s|v) =

Г((v + 1)/2) f "2 V<v+1)/2

1 + -

v V-2 У

(1.9)

V(v- 2)лГ(у/2)

где Г(х) — гамма-функция, v — число степеней свободы t-

распределения. Lambert, Laurent (2001) предложили использовать подход (Fernandez, Steel, 1998) к стандартизированному t-

распределению и из него получить стандартизированное скошенное t-распределение Стьюдента с учетом как скошенности, так и эксцесса стандартизированных остатков:

(f+W"(••'""«"•), - р,

g(£\Z,v) = \ 2 _ _ (1.10)

F+IFPf((Ps + a)!F\y), если £>-о/р.

В этом представлении F есть параметр скошенности, а р и о можно рассчитать как

о=г(gV f-f P2=f+if -1)-О

3. Нормальное обратное гауссовское распределение (Normal-inverse Gaussian distribution). Плотность вероятности случайной величины X с обратным гауссовским распределением и вектором параметров 6 = (а,р,д,у) можно записать как

ад К (aJs2 + (x - /л)2)

f (x;6) = — eSy+p(x-/ \ ', (1.11)

n y]S2 + (x - /)2

где x e R, а > 0,р e (-а;а), де (0,»),/ = >/а2 - р2, а кх обозначает модифицированную функцию Бесселя третьего рода с индексом 1:

к» = 2 J" exp {-(a(t +1 "1)V2| dt.

4. Johnson's reparametrized SU распределение. Первоначальное Johnson's SU распределение было предложено Johnson (1949). Репараметризированная версия этого распределения имеет больший, по сравнению с нормальным, куртозис и выводится из Johnson's SU распределения с теми же математическим ожиданием и дисперсией, как и первоначальное распределение. Функцию плотности вероятности такого распределения можно записать в виде следующих выражений:

т 1 1 -1z2

fY (y \ju,a,/,T) =---e 2 , (U2)

ca у/r2 +1 л/2п

z = -v + т/ sinh r, (1.13)

_y - Q + ca4a sinh Q) r--, (114)

ca

c = (a - 1)[acosh(2Q) +1]) . (1.15)

Здесь т > 0 — куртозис этого распределения, v — коэффициент скошенности, a и Q определяются как a = exp{r~2} и Q = v/t

соответственно. Если т ^ да, то это распределение совпадает с нормальным.

Как можно заметить, GARCH модели рассматривают волатильность как ненаблюдаемую величину и поэтому требуют полностью определенного условного математического ожидания и условной вероятности для расчета латентной волатильности. Несмотря на такое представление, GARCH модели неспособны воспроизвести важные наблюдаемые особенности волатильности финансовых данных. В частности, GARCH модели не обладает долгой памятью (автокорреляции уменьшаются с экспоненциальной скоростью), а использование сложных оптимизационных процедур оценивания требует больших затрат времени. Для учета этих эмпирических свойств было предложено семейство HAR-RV моделей.

1.1.2. Семейство HAR-RV моделей

Опишем идею и строение HAR-RV моделей (Аганин, 2017). Первая HAR-RV (The Heterogeneous Autoregressive model of the Realized Volatility) модель была предложена F. Corsi в 2009 году. Эта модель основана на концепции поведения агентов на финансовых рынках, согласно которой они отличаются своим восприятием волатильности в зависимости от их инвестиционных горизонтов и делятся на

краткосрочных, среднесрочных и долгосрочных. Гипотеза о существовании таких гетерогенных структур на финансовых рынках (гипотеза о гетерогенности рынков) была сформулирована в Müller (1998) следующим образом.

1. Разные агенты на гетерогенном рынке обладают разными сроками инвестирования и участвуют в торговле на бирже с разной частотой. Например, к участникам высокочастотных торгов (краткосрочным агентам) относятся Forex дилеры и маркетмейкеры (чьи позиции открываются и закрываются в течение дня), к долгосрочным агентам можно отнести центральные банки и некоторые фонды. Каждая отдельная группа таких агентов (компонент гетерогенного рынка) реагирует на новости, поступающие на рынок, с разной скоростью в зависимости от ее горизонта инвестирования. Если предположить, что память каждого компонента (т.е. скорость убывания значений автокорреляционной функции с ростом лага) является экспоненциально убывающей с определенной временной константой (что верно для GARCH(1,1) модели), то память всего рынка будет состоять из множества таких экспоненциально убывающих составляющих с разнообразными значениями временных констант. При этом их суперпозиция будет вести себя как процесс с гиперболически убывающими автокорреляциями.

2. В то же время чем больше агентов присутствует на гомогенном рынке, тем быстрее оценки стоимости некоторого актива разных агентов сходятся к «реальной рыночной цене», относительно которой все агенты имеют рациональные ожидания. То есть в случае однородного рынка должна наблюдаться отрицательная корреляция волатильности с рыночной активностью, что не наблюдается в действительности. Однако на гетерогенном рынке агенты будут надеяться на разные уровни цены и будут принимать разные решения

о покупке/продаже активов в различных ситуациях, что приведет к росту волатильности с увеличением числа агентов на рынке.

3. Рынки отличаются также по географическому положению своих агентов. Так, была замечена низкая корреляция между

, 1

внутридневными ценами с лагом 1— суток, что соответствует агентам

в противоположных полушариях и высокая корреляция между ценами с лагом в 1-2 суток, что соответствует одним и тем же агентам.

Согласно гипотезе о гетерогенности рынка рыночные агенты отличаются также по другим характеристикам, таким как склонность к риску, институциональные ограничения и транзакционные издержки.

В результате агенты с разными временными горизонтами будут анализировать рынок с разной частотой и поэтому создавать (либо оказывать влияние на) разные виды волатильности. Экономическая интерпретация долгосрочной волатильности <т заключается в наличии неопределенности фундаментальных макроэкономических факторов, среднесрочная компонента волатильности < отражает текущую неопределенность на рынке, связанную с обработкой поступающих на рынок новостей, а краткосрочная волатильность <

включает в себя неопределенность, связанную с возникновением спекулятивных моментов.

Семейство HAR-RV моделей основывается на гипотезе о гетерогенности рынка. Модели этого семейства способны воспроизводить наблюдаемые свойства волатильности, такие как: «длинная память» и устойчивость волатильности, «каскад волатильности» (иерархичная структура волатильности, при которой долгосрочная волатильность оказывает сильное влияние на краткосрочную волатильность, однако краткосрочная волатильность почти не влияет на долгосрочную), «тяжелые хвосты», а также имеют

экономическую интерпретацию. Хотя сами по себе они не являются моделями с длинной памятью, а представляют собой сумму AR процессов, однако в работе (LeBaron, 2001) было показано наличие эффекта долгой памяти даже для суммы трех AR(1) процессов, что также подтверждается эмпирическими результатами расчета корреляционной функции для HAR-RV моделей. Еще одной особенностью HAR-RV модели является рассмотрение волатильности как ненаблюдаемой величины, для которой существует наблюдаемая оценка, которую можно оценить при помощи высокочастотных данных. Эта оценка называется реализованной волатильностью и обозначается RV.

Простейшую HAR-RV модель можно сформулировать следующим образом. Пусть pt j — цена актива в день t на конец

внутридневного интервала j длины А (секунд), j = 1,...,N с общим числом таких интервалов за один день равным N. Тогда rt j =log(pt j) - log(ptj-1) — внутридневная доходность актива на

временном интервале длины А .

Реализованную волатильность в день t можно записать как

n

RV = . (1.16)

j=i

Такая форма RV является оценкой дневной волатильности. Использование высокочастотных данных о ценах позволяет моделировать волатильность как некоторую виртуальную, но обозримую, величину, в отличие от моделирования ненаблюдаемой латентной переменной, как это делается в ранее рассмотренных GARCH моделях (Engle, 1982; Bollerslev, 1986) или латентной стохастической модели волатильности (например (Taylor, 1994)). Другой важной особенностью HAR-RV модели является гетерогенная

структура модели, которая позволяет учесть рассмотренную выше гетерогенность рынка. HAR-RV модель представляет волатильность как сумму дневного, недельного и месячного компонентов. Обычно рассчитывается HAR-RV модель с параметрами (1,5,21), что соответствует лагам дневной, недельной и месячной RV:

RVt+1 = Д, + ßdRV? + ßwRVtw + ßmRVtm + С1.17)

где st+1 — случайный шок, RV td — реализованная волатильность в день t, RVtw — лагированная недельная волатильность за предыдущую

1 ' 4

неделю, определяемая как RVtw =-RVt_i, и RVtm — месячная

волатильность, определяемая похожим образом как RVtm = — ^ ¿=5RV_i

. Вместо параметров (1,5,21) можно использовать любой другой набор лагов в правой части уравнения (1.17). Однако в работе (Andersen et al., 2007) в результате сравнения моделей с разными параметрами было показано, что дневная, недельная и месячная компоненты наиболее точно описывают гетерогенную структуру и являются оптимальным набором параметров. В последнее время во многих сравнительных работах авторы рассматривали HAR-RV модель как возможно наилучшую модель при анализе и моделировании RV. Таковы, например, статья (Soucek, Todorova, 2014), посвященная исследованию с помощью HAR-RV модели роли скачков в эффекте увеличения волатильности одного актива при увеличении волатильности другого для индекса S&P 500, а также работа (Lahaye, Shaw, 2014), в которой для моделирования индекса S&P500 оказалось достаточно линейной спецификации HAR-RV модели.

Спецификация лагов HAR-RV модели была протестирована в работе (Craioveanu, Hillebrand, 2012), где также подтвердилось преимущество HAR-RV(1,5,21) модели. Относительно частоты

внутридневных данных, используемых при построении RV, в исследовании (Liu et al., 2013) обратили особое внимание на оценку RV, построенную по данным пятиминутных интервалов. Это важное для данной работы исследование показало, что из 400 оценок волатильности, построенных для 31 актива из пяти разных классов активов, ни одна оценка не может превзойти RV, построенную по пятиминутным интервалам, при прогнозировании будущей волатильности при помощи HAR-RV модели. В соответствии с этим результатом в настоящей статье реализованная волатильность также рассчитывалась по данным цен закрытия пятиминутных интервалов.

Поскольку реализованная волатильность имеет логнормальное распределение, то естественно перейти к HAR-RV модели с логарифмами:

log( RV+) = р +pd log( RVtd) + pw log( RVW) + pm log( RVf) + *t+1. (1.18)

Другой популярный подход заключается в моделировании стандартных отклонений, а не самих реализованных волатильностей, в результате получается нелинейная модель вида:

=р+pdJRv? +pmJRVf+вм. (1.19)

Позже было предложено множество модификаций базовой HAR-RV модели, учитывающих дополнительные свойства RV. Одной из первых стала LHAR-RV-J модель, отдельно рассматривающая скачки. Рассмотрим построение этого компонента.

Общим подходом к расчету компоненты скачков является подход, основанный на работе (Barndorff-Nielsen, Shephard, 2004), который формулируется следующим образом.

Пусть, как и прежде А — период (длина внутридневного интервала) внутридневной доходности. Как было сказано выше,

реализованная волатильность получается суммированием соответствующих N внутридневных доходностей:

N

RV+.(A) = . (1.20)

j=1

Из свойств квадратической вариации, рассмотренных в Andersen et al. (2003), следует, что реализованная волатильность равномерно сходится по вероятности к приращению квадратической вариации процесса доходности с уменьшением длины внутридневного интервала А, используемого для расчета RV. Это одна из главных причин использования реализованной волатильности в качестве критерия прогнозирования при сравнении моделей волатильности. Так, если предположить наличие дискретных скачков в RV, то получим

RV+1 (А) ^J'V (s)ds + £ K(s), (1.21)

t< s <t+1

при А ^ 0, где k(s) — величина скачка. Если бы скачки отсутствовали в рядах RV, то реализованная волатильность была бы состоятельной оценкой интегрированной волатильности, широко используемой в научной литературе по стохастической волатильности и оцениванию опционов. Однако реализованная волатильность часто включает в себя и непрерывный процесс, и процесс скачков. Из этого можно сделать вывод, что модель с наибольшей прогнозной силой должна моделировать эти компоненты по отдельности, в отличие от базовой HAR-RV модели (1.17), в пользу чего говорит исследование Corsi et al. (2010). Определим стандартизированную реализованную оценку bipower variation как:

1

N

Е (| 2 I) J=2

где 2 обозначает стандартную нормально распределенную случайную величину М (0,1). Можно показать, что при А ^ 0

ft+1 ,

BVt+1(А) ^J a2(s)ds. (1.23)

Объединяя результаты выражений (1.21) и (1.23), можно сделать вывод, что вклад скачков, вносимый в процесс квадратической вариации, может быть состоятельно оценен (при А ^ 0) как

RV+ЛА) - BV+ЛА) ^ Х^2 (s). (1.24)

t < s <t+1

Это основная идея расчета скачков. Barndorff-Nielsen, Shephard (2004) предложили при расчетах ограничивать разность в левой части (1.24) нулем, чтобы обойти ситуации с отрицательным значением для квадрата скачка. Формально это можно записать так:

Jt+= max {RVt+А) - BVt А), 0}. (О5)

Первой модификацией, рассматривающей скачки как отдельный компонент, стала HAR-RV-J модель, включающая значение скачка за предыдущий день:

rv+ = р+pdrv{d+pwrv;+pmrv; +pJ+e+, (1.26)

а также ее лог-модификация

logRV+ = P0 +pd logRVtd +pw logRVtw +pm logRVtm + pj log(Jd +1) + ^ .(21.7) Рассчитав скачок, его можно включать не только как значение в момент t (как это делается в HAR-RV-J модели), но и представлять в виде той же гетерогенной структуры, которая используется при разбиении RV на гетерогенные компоненты, аналогично поступая и с непрерывной частью реализованной волатильности. Полученная модель получила название HAR-RV-CJ модели и может быть записана в виде

rv+=р+pcdc+pcwc+pcmc:+pj+pj+pmj:+e+ (1.28)

где C соответствует непрерывной компоненте RV и оценивается как bi-power variation по формуле (1.22).

Помимо скачка в литературе было предложено включать компонент «рычага» для учета соответствующего эффекта, объясненного ранее. В качестве оценки для дня t предлагается использовать минимум между дневной доходностью и нулем rf = mrn(rt,0). Это позволяет отдельно оценить эффект от увеличения волатильности в случае отрицательных доходностей.

В результате для учета эффекта «рычага» были предложены LHAR-RV-J и ее лог-версия:

RVt+= в + вDRVtd +PWRV; + eMRVtm +PJ + ydr;+e+ (1.29)

log RVt+i = во +Pd logRVtd +Pw logRVW +0M logRVm +Pj + + log( Jd +1) + Ydrt -+£,+1

а также LHAR-RV-CJ модель и ее лог-модификации:

(1.30)

RV+1 = в0 + pCDcf+PCWCW+pCMcrn + pJ+pj+pJMjm + log Rvt+1=во+Pcd log Cd+Pcw log cw+Pcm log c;+Pjd iog( j d+1)+

+Pjw log( Jw+1)+Pjm log( j; +1)+rd-rf-+yw-rr+ym-r; + *Í+1.

(1.31)

(1.32)

Эти и другие варианты модели с эффектом рычага были рассмотрены в (Corsi, Reno, 2012). В целом, семейство HAR-RV моделей показывает хорошие результаты при моделировании волатильности (по информационными критериям и R2), а простота применения этих моделей и понятная экономическая интерпретация коэффициентов служат катализаторами роста их популярности.

1.1.3. ARFIMA модели

Еще одной моделью, получившей распространение для моделирования волатильности после появления оценок реализованной волатильности, является ARFIMA((9, d, q) модель, которая является

обобщением ARIMA модели (Аганин, 2017). Ее главным отличием является возможность использовать действительный показатель

интегрированности, принимающий значения от -0.5 до 0.5. Основным ее преимуществом является возможность моделирования долгосрочных зависимостей, т.е. она обладает долгой памятью, в то время как обычная АЫМА модель обладает короткой памятью. АКЛМА(р, d, q) модель можно записать как:

где L — лаговый оператор, Ф(Ь) = 1 -фЬ -... -фрЬр, ©( Ь) = 1 + у1Ь +... + учЬ и (1 - Ь)d — оператор дробного интегрирования, определяемый как

В литературе по примеру Andersen et al. (2003) в качестве параметров p, d, q принято использовать наборы (1,0.401,0) и (5,0.401,0). Использование данной модели позволяет напрямую моделировать реализованную волатильность и учитывать долгосрочные зависимости, которые не способны учесть GARCH и HAR-RV модели.

Рассматриваемая методика использовалась в (Аганин, 2017). Сравнение моделей может быть выполнено на основании анализа различных аспектов полученных оценок. Одна из идей заключается в сравнении моделей на внутривыборочном интервале. Обычно такое сравнение выполняется при помощи информационных критериев. Однако подобный подход сильно зависит от самой выборки и добавление одного наблюдения может приводить к изменению результатов сравнения в пользу других моделей. В связи с этим куда более распространенным подходом стало сравнение моделей на

Ф(Г)(1 -L)d(RVt-p) = 0(L)st, st ~i.i.d. (0,аг2), (1.33)

1.2. Методика сравнения

вневыборочном интервале путем обнаружения значимых различий в качестве прогнозирования будущих значений.

К настоящему времени в литературе предложено множество таких тестов для сравнения набора конкурирующих моделей. Основным недостатков всех таких тестов является зависимость результата от особенностей природы используемых данных, что на практике может привести к разным результатам сравнения для разных активов. Большинство существующих тестов предназначены для сравнения небольшого числа моделей, поэтому неуместны при сравнении двух больших семейств.

Для сравнения больших наборов моделей можно выделить два подхода. Первый подход опирается на использовании тестов, предложенных Hansen. Первым таким тестом, получившим большую популярность при сравнении большого набора моделей, стал тест из (Hansen, Lunde, 2004) под названием Superior Predicative Ability (SPA). Будучи модификацией теста White (2000), предложенный SPA тест в (Hansen, Lunde, 2004) использовался для сравнения представителей GARCH моделей, обладая при этом большей робастностью и мощностью, что и было продемонстрировано в этой работе. SPA тест оставался популярным некоторое время, поскольку мог использоваться для сравнения наборов моделей и даже стратегий, не связанных с волатильностью. Основное достоинство и одновременно недостаток этого теста заключается в возможности сравнить одну модель (бенчмарк) с набором конкурирующих и выявить среди них наличие либо отсутствие моделей, превосходящих бенчмарк. При этом возможность одновременного существования нескольких одинаковых по прогнозной силе моделей не рассматривается, и выявить множество таких моделей нельзя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аганин Артём Давидович, 2020 год

Список литературы

Аганин А.Д., (2017). Сравнение GARCH и HAR-RV моделей для прогноза реализованной волатильности на российском рынке. Прикладная эконометрика. Т. 48. С. 63-84. Аганин А.Д., Пересецкий А.А., (2018). Волатильность курса рубля:

нефть и санкции. Прикладная эконометрика, Т. 52, С. 5-21. Аганин А.Д., (2020). Волатильность российского фондового индекса:

нефть и санкции. Вопросы экономики, (2), С. 86-100. Алехин Б. И. (2016). Нефть и рубль: скованные одной цепью.

Финансовая аналитика: проблемы и решения, 16, 2-19. Анкудинов А. Б., Лебедев О. В. (2017). Санкции и волатильность финансовых индикаторов. Материалы VIII Евразийского экономического форума молодежи, 42-48. Российская экономика в 2018 году. Тенденции и перспективы. (Вып. 40) Институт экономической политики имени Е.Т. Гайдара. Москва: 2019.

Российский фондовый рынок: События и факты. Ежегодный обзор

НАУФОР. 2008-2017. Abdulkareem A., Abdulhakeem K. (2016). Analyzing Oil Price-Macroeconomic Volatility in Nigeria. CBN Journal of Applied Statistics, 71(a), 1-22. Aftab H., Beg R., Sun S., Zhou Z. (2019). Testing and Predicting Volatility Spillover — A Multivariate GJR-GARCH Approach. Theoretical Economics Letters, 9, 83-99. Ahn D. P., Ludema, R. D. (2019). The sword and the shield: The economics

of targeted sanctions. CESifo Working Paper No. 7620. Aigheyisi O. (2018). Oil Price Volatility and Business Cycles in Nigeria. Studies in Business and Economics, 13, 31-40.

Allen D., McAleer M. (2018). Theoretical and empirical differences between diagonal and full BEKK for risk management. Energies, 11 (7), 1627, doi:10.3390/en11071627.

Andersen T., Bollerslev T., Diebold F. X. (2007). Roughing it up: Including jump components in measuring, modeling and forecasting asset return volatility. Review of Economics and Statistics, 89 (4), 701-720.

Andersen T., Bollerslev T, Diebold F. X., Labys P. (2003). Modeling and forecasting realized volatility. Econometrica, 71 (2), 579-625.

Ankudinov A., Ibragimov R., Lebedev O. (2017). Sanctions and the Russian stock market. Research in International Business and Finance, 40, 150-162.

Aydogan B., Tunc G., Yelkenci T. (2017). The impact of oil price volatility on net-oil exporter and importer countries' stock markets. Eurasian Economic Review, 7, 231-253.

Bai S., Koong K. S. (2018). Oil prices, stock returns, and exchange rates: Empirical evidence from China and the United States. North American Journal of Economics and Finance, 44, 12-33.

Barndorff-Nielsen O., Shephard N. (2002). Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models. Journal of the Royal Statistical Society Series B, Royal Statistical Society, 64 (2), 253-280.

Barndorff-Nielsen O., Shephard N. (2004). Power and Bipower variation with stochastic volatility and jumps. Journal of Financial Econometrics, 2 (1), 1-37.

Basher S., Haug A., Sadorsky P. (2018). The impact of oil-market shocks on stock returns in major oil-exporting countries. Journal of International Money and Finance, Vol. 86, pp. 264-280.

Bein M., Aga M. (2016). On the linkage between the international crude oil price and stock markets: Evidence from the Nordic and other European

oil importing and oil exporting countries. Journal for Economic Forecasting, 4,115-134.

Belkhouja M., Boutahary M., 2011. Modeling volatility with time-varying FIGARCHmodels. Econ. Model. 28, 1106-1116.

Bhowmik D., (2013). Stock market volatility: An evaluation. International Journal of Scientific and Research Publications, 3, 10, 1-18.

Black F. (1976). Studies of Stock Price Volatility Changes. Proceedings of the 1976 Business Meeting of the Business and Economics Statistics Section, 177-181.

Boldanov R., Degiannakis S., Filix G. (2016). Time-varying correlation between oil and stock market volatilities: Evidence from oil-importing and oil-exporting countries. International Review of Financial Analysis, 48, 209-220.

Bollerslev T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327.

Castagneto-Gissey G., Nivorozhkin E., (2016). No contagion from Russia toward global equity markets after the 2014 international sanctions. Economic Analysis and Policy, Vol. 52, 79-98.

Corsi F. (2009). A simple approximate long-memory model of realized volatility. Journal of Financial Econometrics, 7 (2), 174-196.

Corsi F., Pirino D., Reno R. (2010). Threshold bipower variation and the impact of jumps on volatility forecasting. Journal of Econometrics, 159 (2), 276-288.

Corsi F., Reno R. (2012). Discrete-time volatility forecasting with persistent leverage effect and the link with continuous-time volatility modeling. Journal of Business and Economic Statistics, 30 (3), 368-380.

Craioveanu M., Hillebrand E. (2012). Why it is OK to use the HAR-RV(1,5,21) model. Working Papers No 1201, University of Central Missouri, Department of Economics & Finance.

Degiannakis S., Filis G., Arora V. (2018). Oil prices and stock markets: A review of the theory and empirical evidence. Energy Journal, Vol. 39, No. 5, 85-130.

Dreger C., Kholodilin K. A., Ulbricht D., Fidrmuc J. (2016). Between the hammer and the anvil: The impact of economic sanctions and oil prices on Russia's ruble. Journal of Comparative Economics, 44 (2), 295-308.

Engle R. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50 (4), 987-1008.

Engle R. F., Kroner K. F. (1995). Multivariate simultaneous generalized ARCH. Econometric Theory, 11, 122-150.

Ertunga E. (2019). The Effects of Oil Prices and Exchange Rates Movements on Economic Growth of the Selected Emerging Oil Dependent Countries. Ege Academic Review, 19 (2), 301-308.

Fernandez C., Steel M. (1998). On Bayesian modelling of fat tails and skewness. Journal of the American Statistical Association, 93, 359371.

Gatheral J., Jaisson T., Rosenbaum M. (2014). Volatility is Rough, Quantitative Finance, Vol.18, No.6, (2018).

G<?dek S. (2013). Ruble exchange rate and oil price. Does Russian economy show symptoms of Dutch disease? In: 8th PanEuropean Conference on International Relations Warsaw, 18-21 September, 1-11.

Ghalanos A. (2015). Rugarch: Univariate GARCH models. https://cran.r-project.org/web/packages/rugarch/index.html.

Glosten L. R., Jagannathan R., Runkle D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return. The Journal of Finance, 48 (5), 1779-1801.

Gomes M., Chaibi A., (2014). Volatility spillovers between oil prices and stock returns: a focus on frontier markets. Journal of Applied Business Research, Vol. 30, No. 2, pp. 509-525.

Gulay E., Pazarlioglu M. (2016). The Empirical Role of Real Crude Oil Price and Real Exchange Rate on Economic Growth: The Case of Turkey. Ege Akademik Baki§, 16(4), 627-639.

Gurvich E., Prilepskiy I. (2015). The impact of financial sanctions on the Russian economy. Russian Journal of Economics, 1, 359-385.

Haas M, Mittnik S., Paolella MS. (2004). A new approach to Markov-switching GARCH models. Journal of Financial Econometrics, 2, 493530.

Hansen B. (2002). Tests for Parameter Instability in Regressions with I(1) Processes. Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 20, No. 1, pp. 45-59.

Hansen P., Lunde A. (2004). A forecast comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics, 20 (7), 873-889.

Hansen P., Lunde A., Nason J. (2011). The model confidence set. Econometrica, 79 (2), 453-497.

Hjalmarsson E. & Osterholm P. (2007). A Residual-Based Cointegration Test for Near Unit Root Variables. SSRN Electronic Journal. DOI: 10.17016/IFDP.2007.907

Hoffmann M., Neuenkirch M. (2017). The pro-Russian conflict and its impact on stock returns in Russia and the Ukraine. International Economics and Economic Policy, Vol. 14, No. 1, pp. 61-73.

Huang Y., Su W., Li X. (2010). Comparison of BEKK GARCH and DCC GARCH models: An empirical study. In: International Conference on Advanced Data Mining and Applications, ADMA 2010, Part II, LNCS 6441, 99-110.

Izatov A. (2015). The Role of Oil Prices, the Real Effective Exchange Rate, and Inflation in Economic Activity of Russia: An Empirical Investigation. Eastern European Business and Economics Journal, 1(3), 48-70.

Jiranyakul K. (2015). Oil price volatility and real effective exchange rate: The case of Thailand. International Journal of Energy Economics and Policy, 5 (2), 574-579.

Johnson N. (1949). System of frequency curves generated by method of translation. Biometrika, 36, 149-176.

Kaplan F. (2015). Oil price, exchange rate and economic growth in Russia: A multiple structural break approach. Advances in Management & Applied Economics, 5 (4), 91-104.

Kholodilin K., Netsunajev A. (2019). Crimea and punishment: The impact of sanctions on Russian economy and economies of the euro area. Baltic Journal of Economics, Vol. 19, No. 1, pp. 39-51.

Kilci E. N., 2019. Analysis of the Causality Relationship between Brent Crude Oil Prices and Energy Import in Turkey Under Structural Breaks. Business and Economics Research Journal, 10(4), 777-788.

Kim J-M., Jung H. (2018). Dependence structure between oil prices, exchange rates, and interest rates. The Energy Journal, 39 (2), 259-280.

Korhonen I., Juurikkala T. (2009). Equilibrium exchange rates in oil-exporting countries. Journal of Economics and Finance, 33, 71-79.

Kwiatkowski D., Phillips P., Schmidt P., Shin Y. (1992). Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Lahaye J., Shaw P. (2014). Can we reject linearity in an HAR-RV model for the S&P 500? Insights from a nonparametric HAR-RV. Economics Letters, 125 (1), 43-46.

Lambert P., Laurent S. (2001). Modelling skewness dynamics in series of financial data using skewed location-scale distributions. Stat Discussion Paper, 0119. Université Catholique de Louvain.

LeBaron B. (2001). Stochastic volatility as a simple generator of financial power-laws and long memory. Quantitative Finance, 1 (6), 621-631.

Liu L., Patton A. J., Sheppard K. (2013). Does anything beat 5-minute RV? A comparison of realized measures across multiple asset classes. Journal of Econometrics, 187 (1), 293-311.

Lozinskaia A., Saltykova A. (2019). Fundamental Factors Affecting the MOEX Russia Index: Retrospective Analysis. CEUR Workshop Proceedings, 2479, pp. 32-45.

Lumsdaine L. (1996). Consistency and Asymptotic Normality of the Quasimaximum Likelihood Estimator in IGARCH(1,1) and Covariance Stationary GARCH(1,1) Models. Econometrica, Vol. 64, No. 3, pp. 575-96.

Mastro D. (2014). Forecasting realized volatility: ARCH-type models vs. the HAR-RV model. Dissertation, Kingston University, London.

Mensi W., Hammoudeh S., Reboredo J, Nguyen D. (2014). Do global factors impact BRICS stock markets? A quantile regression approach. Emerging Markets Review, Vol. 19, pp. 1-17.

Mironov V. V., Petronevich A. V. (2015). Discovering the signs of Dutch disease in Russia. Resources Policy, 46, 97-112.

Muller U., Dacorogna M., Dav e R., Olsen R., Pictet O., J. von Weizsacker (1997). Volatilities of different time resolutions - analyzing the dynamics of market components. Journal of Empirical Finance, 4(2-3), 213-239.

Naidenova J., Novikova A. (2018). The reaction of Russian public companies' stock prices to sanctions against Russia. Journal of Corporate Finance Research, 12(3), 27-38.

Nivorozhkin, E., Castagneto-Gissey, G. (2016). Russian stock market in the aftermath of the Ukrainian crisis. Russian Journal of Economics, 2(1), 23-40.

Ogundipe O., Ojeaga P., Ogundipe A. (2014). Oil Price and Exchange Rate Volatility in Nigeria. IOSR Journal of Economics and Finance, 5(4), 19.

Padhi P., Shaikh I., (2014). On the relationship of implied, realized and historical volatility: evidence from NSE equity index options. Journal of Business Economics and Management, 15(5), 915-934.

Phillips P., Ouliaris S. (1990). Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration. Econometrica, 58, 165-193.

R Core Team (2020). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL https://www.R-proiect.org/.

Rubtsov B., Annenskaya N. (2018). Factor analysis of the Russian stock market. Journal of Reviews on Global Economics, 7, 417-425.

Saha A., Malkiel B., Rinaudo A. (2019). Has the VIX index been manipulated? Journal of Asset Management, 20(1), 1-14.

Said E. Said, Dickey D. (1984). Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order. Biometrika, 71(3), 599607.

Sarwar S., Khalfaoui R., Waheed R., Dastgerdi H. (2019). Volatility spillovers and hedging: Evidence from Asian oil-importing countries. Resources Policy, 61, 479-488.

Soucek M., Todorova N., (2014). Realized volatility transmission: The role of jumps and leverage effects. Economics Letters, 122 (2), 111-115.

Tayefi M., Ramanathan T. (2016). An Overview of FIGARCH and Related Time Series Models. Austrian Journal of Statistics, 41(3), 175-196.

Taylor S. (1994). Modeling stochastic volatility: A review and comparative study. Mathematical Finance, 4, 183-204.

Ta§km D., Hala? U., Qagli E. (2013). The Turkish Stock Market Integration with Oil Prices: Cointegration Analysis with Two Unknown Regime Shifts. Panoeconomicus, 60, 499-513.

Tuzova Y., Faryal Q. (2016). Global oil glut and sanctions: The impact on Putin's Russia. Energy Policy, Vol. 90, pp. 140-151.

Umoru D., Okiomu S., Akpeke R. (2018), The Influence of Oil Price Volatility on Selected Macroeconomic Variables in Nigeria, Acta Universitatis Bohemiae Meridionales, 21(1), pp. 1-22.

Wang Y., Wei Y, Wuc C., Yin L. (2018). Oil and the short-term predictability of stock return volatility. Journal of Empirical Finance, 47, 90-104.

White H. (2000). A reality check for data snooping. Econometrica, 68 (5), 1097-1126.

Yang L., Cai X. J., Hamori S. (2018). What determines the long-term correlation between oil prices and exchange rates? North American Journal of Economics and Finance, 44, 140-152.

Zakoian J-M. (1994). Threshold heteroskedastic models. Journal of Economic Dynamics and Control, 18, 931-955.

Zivkov, Dejan & Njegic, Jovan & Momcilovic, Mirela (2018). Bidirectional spillover effect between Russian stock index and the selected commodities. Proceedings of Rijeka Faculty of Economics: Journal of Economics and Business, Vol. 36, No. 1, pp. 29-53.

Приложения

Приложение П1. Результаты тестирования при помощи процедуры MCS

Модели

ALROSA GAZP GMKN LKOH MICEX MTSS ROSN RTSI SBER VTBR

123123123123123123123123123 1 23

* * *

HAR-RV LOG-HAR-RV

HAR-RV-J * *

LOG-HAR-RV-J * * * * * * * * * * * * * * * * * HAR-RV-CJ

LOG-HAR-RV-CJ * * * * * * * * * * * *

LHAR-RV-J * * *

LOG-LHAR-RV-J * * * * * * * * * * * * * * * * * *

LHAR-RV-CJ * * * *

LOG-LHAR-RV-CJ * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *

* * *

Примечание. Цифры 1,2,3 обозначают функции потерь MSE, MAE, R2LOG соответственно. Звездочками отмечены модели, попавшие в конечное множество MCS теста

Приложение П2. Список санкций против РФ за 2014-2018гг

Список санкций составлен на основании https://www.cшrrenttime.tv/a/rassia-атепсап-ешгореап^апсйош/29449693.Мт1 и открытых источников. 17.03.2014 ЕС Ряд международных организаций, в том числе ЕС, НАТО, а также ряд стран объявили о приостановке сотрудничества с РФ по отдельным проектам и введении санкций в отношении отдельных российских политиков.

28.03.2014 США Прекращено лицензирование экспорта в Россию товаров и услуг оборонного назначения

28.04.2014 США США наложили санкции на семь российских граждан и 17 российских компаний, в том числе «Стройтрансгаз», «Волга Групп», «Трансойл», «Собинбанк», «Инвесткапиталбанк», «СМП Банк», «Авиа Групп», в связи с ситуацией вокруг Украины. 20.06.2014 США Введены санкции в отношении семи российских чиновников и сепаратистов.

16.07.2014 США Введены первые секторальные санкции. В список попали "Роснефть", "Новатэк", "Внешэкономбанк" и "Газпромбанк", а также военные корпорации "Алмаз-Антей", концерн "Калашников", НПО "Базальт" и "Уралвагонзавод".

26.07.2014 В список внесены 15 физических и 18 юридических лиц. 29.07.2014 США Санкции введены против госбанков "Банка Москвы", ВТБ и "Россельхозбанка".

30.07.2014 ЕС В список добавлены 8 физических и 3 юридических лица. Введен запрет на инвестиции в инфраструктурные, транспортные и энергетические сектора России, а также добычу на территории РФ нефти и газа. Европейским компаниям запрещена поставка оборудования для этих секторов, а также оказание финансовых услуг компаниям из инфраструктурного, транспортного и энергетического сектора России

31.07.2014 ЕС Санкции введены против "Сбербанка России", ВТБ, "Газпромбанка", "Внешэкономбанка", "Россельхозбанка". Также введено эмбарго на импорт и экспорт оружия в Россию, запрет на экспорт товаров двойного назначения и технологий для военного использования

06.08.2014 США В Россию запрещена поставка оборудования для глубинной добычи нефти и газа, разработки арктического шельфа и добычи сланцевых запасов нефти и газа. Запрещены поставки в Россию

буровых платформ, деталей для горизонтального бурения, подводного оборудования, морского оборудования для работы в условиях Арктики, программного обеспечения для работ по гидроразрыву пласта. 12.09.2014 ЕС Запрещено финансирование трех российских компаний: "Роснефти", "Транснефти" и "Газпром нефти". Ужесточены ограничения на предоставление займов пяти российским госбанкам: "Сбербанку России", ВТБ, "Газпромбанку", "Внешэкономбанку", "Россельхозбанку". Запрещено финансирование трех оборонных концернов: "Уралвагонзавода", "Оборонпрома", "Объединенной авиастроительной корпорации". В санкционный список включены девять российских оборонных концернов: "Сириус", "Станкоинструмент", "Химкомпозит", концерн "Калашников", Тульский оружейный завод, "Технологии машиностроения", НПО "Высокоточные комплексы", "Алмаз-Антей" и "Базальт". В список лиц, на которых наложены санкции, добавлены 24 физических лица 12.09.2014 США Введены санкции против "Газпрома", "Лукойла", "Транснефти", "Газпром нефти", "Сургутнефтегаза", "Новатэка" и "Роснефти". Американским компаниям запрещено поставлять им товары и технологии. Блокированы активы пяти российских оборонных компаний: корпорации "Алмаз-Антей", Научно-исследовательского института приборостроения, "Мытищинского машиностроительного завода", "Машиностроительного завода имени Калинина" и "Исследовательско-производственного центра в Долгопрудном". Также ограничен доступ к рынку капитала для 6 российских банков - "Сбербанка", "Банка Москвы", "Газпромбанка", "Россельхозбанка", ВТБ и "Внешэкономбанка"

20.12.2014 ЕС Запрещены инвестиции в Крым и Севастополь

16.02.2015 ЕС Введение новых санкций. Санкционный список стал содержать 151 физическое лицо и 37 юридических лиц. 24.06.2015 США Введено наказание для иностранных банков, которые ведут дела с внесенными ранее в списки российскими юридическими и физическими лицами

30.07.2015 США Санкции введены против 11 физических лиц и ряда компаний

22.12.2015 США Расширение санкций США против РФ — санкции наложены на 34 физических и юридических лица.

01.09.2016 В санкционный список включены еще 17 физических и 20 юридических лиц

06.09.2016 Включены еще 11 компаний. Санкционный список составил 81 компанию и организацию.

09.11.2016 ЕС Введены санкции против 6 физических лиц 15.11.2016 США Санкции ввели еще против 6 физических лиц

20.12.2016 США В список включены еще 7 физических лиц, а также ряд компаний.

20.06.2017 США В список санкций включили еще 19 физических и 19 юридических лиц.

02.08.2017 США Дональд Трамп подписал закон о новых антироссийских санкциях

04.08.2017 ЕС Расширен список санкций из-за скандала с поставками турбин Siemens в Крым. В список добавили троих гражданин России и три компании.

26.03.2018 США и их союзники объявили о высылке российских дипломатов из-за отравления в Британии экс-сотрудника ГРУ Сергея Скрипаля. 29 стран совокупно выслали более 150 российских дипломатов и сотрудников диппредставительств. Больше всех россиян выслали США, более 60 человек, а также Великобритания - 23 человека

06.04.2018 США ввели санкции за "вредоносные действия по всему миру, включая продолжающуюся оккупацию Крыма, подстегивание насилия на востоке Украины, снабжение режима президента Сирии Башара Асада оружием". В список попали 38 российских бизнесменов. 30.07.2018 ЕС Введены санкции против шести компаний, которые принимали участие в строительстве Керченского моста. 27.08.2018 США Прекращены поставки внешней помощи России, за исключением экстренной гуманитарной помощи. Прекращаются поставки продовольствия и продуктов сельского хозяйства, прекращена продажа оружия и любых товаров оборонного назначения, оборонных услуг, проектных и строительных услуг. США также отказываются от выдачи России любых кредитов и кредитных гарантий. США могут ужесточить эти санкции, если Москва не предоставит гарантии неприменения химического и биологического оружия.

20.09.2018 США Госдепартамент США внес в так называемый черный список 33 российских физических и юридических лица - 27 человек и пять компаний, связанных с оборонной отраслью и спецслужбами, а также "Частную военную компанию Вагнера" и подконтрольные Пригожину "Конкорд" и Агентство интернет-исследований, которое в США обвиняют во вмешательстве в президентские выборы.