Пространства, порождённые обобщённой мажорантой частных сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Пернай Владимир Витальевич

• Пернай Владимир Витальевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Пернай Владимир Витальевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Тип пространств, порождённых обобщённой мажорантой частных сумм

Глава 2. Оценки Ф

Глава 3. Сложность семейств параллелепипедов и выпуклых множеств в {1,... ,пУ'

Заключение

Список литературы

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; К - множество действительных чисел;

- множество векторов с элементами из К длины N € N С - множество комплексных чисел; Ъ - множество целых чисел;

Ъ - множество векторов с элем ентами из Ъ длин ы д € N #А - мощность множества А; А _ дополнение к множеству А; 0 - пустое множество; Р (В) - вероятность события В;

Б^ - математическое ожидание случайной величины [)£ _ дисперсия случайной величины

\С] - минимальное целое число, которое больше либо равно С; ^^(/, С) = т{д€с ||/—д||х - расстояние в банаховом пространстве X между элементом / € X и множеством С С X; 8рап({р,;}) - линейная оболочка системы векторов {(¿}; (р)^, 1 ^ ] ^ N, - ^'-я координата вектора р € К1;

, 1 ^ р ^ то - нормированное пространство векторов из К1 с нормой

N \ 1/р

||{ал}||то = 8ир |а*||{а*}||р = V" |а*|р , 1 < р< то.

\*=1

« 7N

Вр - единичныи шар в пространстве ¿1 ;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства, порождённые обобщённой мажорантой частных сумм»

В ведение

Актуальность темы. Вопросы сходимости функциональных рядов вида

акРк (х) (0.1)

х' ш

по различным системам функций Ф = {рк(х)}к£/5 заданных на некотором множестве X при I = N ил и I = Ж, составляют классическую часть теории функций. Исследованию этих вопросов посвящены труды многих выдающихся математиков начиная с XIX века. Подробно история этих исследований изложена в монографиях [8], [2], [1], [6], [21] и [12].

Исследование вопросов сходимости рядов вида (0.1) в случае, когда I = N5 часто сводится к оценке мажорант частных сумм

S*({ak },х)= вир

1^г<оо

У^ акрк (х) к=1

(0.2)

Например, если Ф - ортопормированная система, а X = (0,1), то сходимость почти всюду по мере Лебега ряда (0.1) для любых {ак} £ 12 эквивалентна конечности почти всюду мажоранты ( ) для любых {ак} £ 12-

Уже при рассмотрении сходимости кратных рядов

к£1

где I С Ъ3, возникает потребность в оценках мажорант более общего вида

~ (0.4)

SQ ({ak},x) = sup

we Q

hew

где Q - некоторое семейство подмпожеств I. В теории кратных рядов при исследовании сходимости рядов вида (0.3) рассматривают различные случаи семейств Q. Среди основных семейств Q, возникающих при различных определениях сходимости кратных рядов, можно выделить семейства кубов, параллелепипедов, шаров с центром в нуле, гиперболических крестов.

В 1995 году B.C. Кашин и С.И. Шарек получили оценки мажорант ( ), зависящие от геометрических свойств семейства Q. Для точной формулировки нам понадобится

Определение 0.1. k-ым поперечником по Колмогорову множества G в нормированном пространстве X называется величина

dh(G,X)= inf max min\\x — y\\X, (0.5)

EcLk xeG yeE

где Lh - множество линейных подпространств в X размерности не k

Если X = и G С X, то для краткости обозначим dh (G,X ) = dh (G).

При заданных I, Q, #I < œ, оиределим Q С R1, положив

Q = {xw, и e Q} ,

где евклидово пространство К7 размерности #1 мы отождествляем с множеством действительных функций на I, а х^ _ характеристическая функция множества ш, то есть

Хш (x)

1, если x G ш; 0, если x G ш.

Имеет место

Теорема А (Б.С. Кашин, С.Й. Шарек, [ ]). Пусть {pk}kGl ~ °'Р-тонормированная система в R1 и Q - семейство подмножесте I. Тогда

^ c ^^ dm-1 )

и m>1

Sn Pk ki

m

(0.6)

где c > 0 — абсолют,на,я постоянная.

В 1989 году Б.С. Кашин [9] доказал аналог классической теоремы Меньшова "об исправлении" для дискретных ортонормированных систем. При этом в [9] вводилась норма, связанная с мажорантой частных сумм

\9\\и — \\g \\и (Ф) — max

1 <i<n

k=i

(0.7)

где Ф = {pk}n=i _ некоторый ортонормированный базис в Rn, а (g, p) - стандартное скалярное произведение в Rn:

Теорема В (Б.С. Кашин, [ ]). Для каждого е > 0 существует такая постоянная C£, что при n = 1, 2,... для, любого ортонор-мированного базиса Ф в Rn и любого вектора g G Rn, \\g\\/n = 1 найдётся вектор g G Rn, для, которого

1- #{j : (g)j = } ^ en; ^ wHwu(Ф) < cen-1/2.

В 1997 году в работе [10] B.C. Кашин показал, что Теорему В можно доказать для норм более общего вида, заданных с помощью обобщённых мажорант частных сумм

ае!

X

= sup

we Q

У^а-аР

aew

(0.8)

IN

При этом в определении нормы ( ) на семейство О подмножеств заданного набора индексов I накладывалось условие, ограничивающие его "сложность": при некотором а < 1 найдутся семейства Д5, 0 £ Д5, в = 0,..., 5о, с числом элементов

#AS ^ Co expexp sa, s = 0,..., s0,

(0.9)

такие, что каждое множество ш £ О допускает представление в виде

so

s=0

(j Es, Es G As, #Es ^ Es П Ea, = 0 при s = s'. (0.10)

2

Заметим, что определение нормы (0.7) является частным случаем нормы ( ), если в ( ) положить I = {1,... , п} и

{1}, {1, 2},..., {1,...,i},..., {1,...,nU .

(0.11)

Напомним известные определения.

Определение 0.2. Для г = 1, 2,... %-ой функцией Радемахера называется функция на (0,1), которая задаётся выражением

+1 при £ £ (¿-г-, 4), 7 - нечётное;

4 2 2/ 7 = 1, 2,. - -, 2г.

-1 пр и £ £ (¿2--, 22?) 5 7 - чётное,

Система функций Радемахера является системой незави-

симых функций.

Определение 0.3. Банахово пространство X с норм ой || • ||х называется пространством типа р, р € [1, 2], с постоянной Тр(Х), если для любого т = 1,... и для любой последовательности {х,}^ С X выполняется неравенство

E

^ ^ £i(t)xi

i=1

X

i=1

dt ^ TP(X) £

I T* ■ I lP |xi|IX

X

i=1

i/p

(0.12)

При этом наименьшая константа Tp(X), для которой неравенство ( ) всегда будет выполняться, называется постоянной типа p.

Легко показать, что постоянная типа 2 пространства равна л/N, а постоянная типа 2 пространства оценивается сверху C(log N)1/2 для некоторой абсолютной постоянной C > 0 и N = 1, 2,....

Напомним еще определение, введённое P.C. Исмагиловым в [7] в связи с вопросом приближения гладких функций подпространствами, порождёнными k элементами тригонометрической системы.

Определение 0.4. Тригонометрическим поперечником порядка n множества F С (—п,п) называется величина

dTn (F, = inf supdistL^ (f, Gn),

Gn

f &F

inf

Gn = span({eikt}^), Л С Z, |Л| = n.

Аналогично тригонометрическим поперечникам, Ж. Бургейн и

1

Б.С. Кашин ввели понятие Ф-поперечиков в произвольном банаховом пространстве X для произвольной системы Ф элементов пространства X.

Определение 0.5. В банаховом пространстве X для заданной системы Ф = С X, Ф-поперечником порядка n множества

F С X называется величина

d^(F, X) = infsupdistX(f, Gn),

On f

inf

Gn = span({^Ьел), |Л| = n.

Обычно задача об оценке поперечников функциональных классов, лежащих в пространстве Lp(—п,п), 1 ^ p ^ œ, сводится к оценке поперечников конечномерных множеств. В частности, рассмотрение наиболее важного для приложений случая, когда принадлежность к функциональному классу (вложенному в пространство непрерывных функций) определяется ограничением нормы в некотором гильбертовом пространстве, приводит к задаче об оценках dn(BN, ), dn, ) (в последнем случае рассматривается дискретная тригономерическая система).

Достаточно точные оценки поперечников dn ,) были установлены в [ ] (см. также [ ]). Было показано, что шар может быть хорошо приближен в метрике подпространством очень малой по сравнению с N размерности. Получение оценок ,) потребовало существенно более сложной техники. Первый результат о существовании в CN подпространств, натянутых на n ^ (1 — £)N

элементов дискретной тригонометрической системы, где 5 > 0 - абсолютная постоянная, хорошо приближающих шар В* в метрике был получен Ж. Бургейном и усовершенствован М. Талагра-ном (см. [22]). Порядок приближения, доставляемый этими подпространствами, ухудшается лишь на логарифмический множитель по сравнению с подпространствами, реализующими колмогоровский поперечник. Точнее говоря, теоремы Ж. Бургейна и М. Талаграна формулировались в двойственной форме как утверждение о существовании подпространств в Ь1(-п,п) вида

8рап{еш}кед, Л С {1,..., N}, |Л| ^ 5N,

для элементов которых Ь^ и Ь2-нормы отличаются не более, чем логарифмическими множителями.

Интерес представляет случай, когда размерность приближающего подпространства гораздо меньше, чем размерность приближаемого множества. Этот случай для Ф-поперечников по равномерно ограниченным ортонормированным в системам Ф = {р^} был рассмотрен в 2007 году О. Гедоном, С. Мендельсоном, А. Пажором и Н. Томчак-Ягерманн. Они получили следующий результат

Теорема С (О. Сиес1оп, Б. МепсЫноп, А. Рарг, N. Тотсйак Jaegermann, [19]). Пусть {рj- ортонормированный базис вЩ, и пусть ^ К ] = 1,..., N.

Для каждого целого т, 1 ^ т ^ N, найдётся набор Л С {1,... , N} такой, что |Л| = N — т и для, любых коэффи-

циентов {aj} €

. (0.13)

Из соображений двойственности и теоремы С непосредственно вытекает оценка Ф-поперечпика шара Б^ по норме пространства

Также напомним необходимые нам классические понятия теории приближений

Определение 0.6. Пусть К - компакт в метрическом пространстве Е с метрикой р. Обозначим шар радиуса £ с центром в у по метрике р как

Бр(у,е) = {г € Е : р(у,г) < £}.

Числом покрытия Хр(К, г) называется величина

( г

Хр(К, г) = т£ < г : К С Б(yj, г) для некоторых yj € Е, ] = 1,... , г

I j=l

а й-ъш энтропийным числом множества К в пространстве Е называется величина

е8(К) = вДК, р) = 1п£ {г : N (К, г) < 25} , й = 0,1,....

При доказательстве теоремы С использовались современные варианты сЬат^-метода Колмогорова и достаточно точные оценки е-энтропии конечномерных компактов. В 2012 году Ж. Бургейн и Б.С. Кашин, получили следующий результат

Теорема Ю (Ж. Бургейн, Б.С. Кашин, [4]). Пусть задан набор элементов {^}П=1 С N ^ и, причём

Ц^Ц^ ^ К, г = 1, 2,...,и. и

1/2

е |aj I

j€Л

< С • К(1о§ N)\ N V т

j €Л

2

Для любого целого к, 1 ^ k ^ и, найдётся подмножест,во Л набора {1,... ,и} такое, что

|Л| = к,

(п а

sup dist/N I aipi, span({pi5i G Л}) I ^ CK(logN)7/2 W?=i ,ЕГ=1 V i=i J

Принципиальным отличием теоремы D от теоремы С является отказ от требования ортогональности системы {pi}n=1-

Цель работы. Исследование нормированных пространств, норма в которых задаётся с помощью обобщённой мажоранты частных сумм по семействам множеств с определенной сложностью. Получение оценок Ф-поперечников в этих пространствах. Оценка сложности семейства дискретных параллелепипедов и семейства выпуклых помножеств куба [1,n]d.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Установлены верхние оценки для постоянной типа 2 нормированных пространств, норма в которых задаётся обобщённой мажорантой частных сумм функционального ряда по семейству Q подмножеств заданного набора индексов /, удовлетворяющему определённым ограничениям на сложность.

2. Для указанных пространств установлены верхние оценки для Ф

3. Доказано, что рассмотренным в диссертации ограничениям на сложность семейств Q удовлетворяет семейство множеств, хо-

рошо приближающее пересечения всех выпуклых подмножеств куба [1, n]d с целочисленной решеткой Zd.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории приближений, функционального анализа, теории случайных процессов и выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории приближений, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

• семинар "Ортогональные ряды" на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова" под руководством академика РАН B.C. Кашина и члена-корреспондента РАН C.B. Коняги-на (неоднократно, 2012-2015);

рядов на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова" под руководством профессора М.К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко и профессора М.И. Дьяченко (2016);

ский физико-технический институт (государственный университет)" под руководством профессора Е. С. Половинкина (2016).

Публикации. Результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы (без соавторов) в следующих работах автора в журналах из списка, рекомендованного ВАК: [14], [15].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 23 наименований. Общий объём диссертации 68 страниц.

Краткое содержание работы. Приведём основные результаты диссертации. Нумерация утверждений совпадает с их нумерацией в соответствующих главах.

Глава 1 диссертации посвящена изучению типа нормированных пространств, норма в которых задаётся с помощью равенства (0.8), где семейство подмножеств О заданного набора индексов I, удовлетворяет ограничениям ( ) и ( ), а также если семейство О подмножеств заданного набора индексов I, удовлетворяет более жёсткому, чем ( ) ограничению: для некоторых« ^ 1 и в ^ 0 найдутся семейства 0 € с числом элементов

#Д5 < С0^ехр= 0,...,5о, (0.14)

такие, что каждое множество ш € О допускает представление в виде (0.10).

В первой главе устанавливаются верхние оценки постоянных типа 2 пространств, норма в которых задаётся с помощью мажоран-

О

ям (0.10) и (0.14).

О

жесте I удовлетворяет () и ( ) при некоторых а ^ 1 и

в ^ 0 Тогда постоянная типа 2 пространства X(П) допускает оценку

где y - произвольное число больше О, a K(Co, в, 7) _ постоянная, которая зависит, только от C0;в и Y-

Также в главе 1 для пространств, норма в которых задаётся с помощью ( ) по семействам множеств П, удовлетворяющим ограничениям ( ) и ( ) с некоторым а < 1, устанавливается верхняя оценка постоянной типа 2. Кроме того, приводится пример такого пространства, у которого нижняя оценка постоянной типа 2 близка по порядку к верхней. Точнее, доказывается

Теорема .(В.В. Пернай, [ ]). Для произвольного 7 > 0 пространство X(П)7 где П удовлетворяет ( ) и ( ), является пространством типа 2 с постоянной T2(X)7 которая удовлетворяет неравенству

где C > 0 - постоянная, зависящая только от 7.

При этом найдётся такое пространство X(П)7 где П удовлетворяет ( ) и ( ), что постоянная T2(X) типа 2 про-страснтва X(П) будет удовлетворять неравенству

В главе 2 диссертации, используя методы работы [4], мы уста-

T2(X) ^ K(Co, в, 7) • (logN)a/2+1+Y,

навливаем верхние оценки Ф-поперечников множеств

n n

F = «¿P X) |ai|2 ^ 1

¿=1 i=i

в пространстве X, норма в котором задаётся с помощью определе-

О

ям ( ) и ( ) при некоторых а ^ 1 и в > 0. Точнее доказывается Теорема 2.1.(В.В. Пернай, [14]). Пусть Ф = {р}П=1 - набор линейно-независимых функций в Щ таких, что

Пусть норма в пространстве X задаётся с помощью мажоранты ( ), где семейство Q удовлетворяет ( ) и ( ) с некоторыми а ^ 1 и в ^ 0 Тогда, для, любого целого k, 1 ^ k ^ и, верно неравенство

где 7 - произвольное число больше 0,Ы абсолютная постоянная, а К(С0, в, 7) _ постоянная, зависящая, от С0;в и 7В главе 3 рассматриваются примеры семейств множеств, которые удовлетворяют ограничениям на сложность (0.10) и (0.14) с некоторыми а ^ 1 и в ^ 0. Важным примером такого семейства является совокупность всех "параллелепипедов"

Pi У то

^ M, 1 ^ i ^ и

и множество

П= {{1,...,mi} х ••• х {1,...,md} С {1,...,n}d}

В работе [14] отмечается, что данная совокупность удовлетворяет условиям (0.10) и (0.14) при а = 1 и в = (d — 1)/d. Точнее имеет место

Утверждение 3.1. Совокупность всех дискретных параллелепипедов вида

П = {{1,...,mi} х ••• х {1,...,md} с {1,...,n}d}

при d G N удовлетворяет (0.10) и (0.14) при а = 1 и в = (d — 1)/d.

Обозначим пересечение множества B с Rd и решётки Zd так Bz-Множества Bz, полученные как пересечение выпуклого множества B

ствами в Zd.

Как уже отмечалось выше, в теории кратных рядов рассматриваются различные случаи семейств подмножеств в Zd, суммирование по которым задаёт частные суммы, исследуемые на (ходимость. При этом чаще всего рассматриваются семейства кубов, параллелепипедов, шаров, гиперболических крестов. Представляет интерес также случай, когда семейство состоит из всех "выпуклых множеств". При этом встает вопрос о "сложности" этого семейства. В частности, C.B. Конягиным был поставлен вопрос: удовлетворяет ли ограничениям на сложность ( ) и ( ), семейство множеств полученное как пересечение всевозможных выпуклых подмножеств куба [1, n]d с целочисленной решёткой Zd. В связи с задачей C.B. Коня-гина в главе 3 доказывается

Теорема .(В.В. Пернай, [ ]). Для, любого 0 < y < 1 найдётся семейство Q подмножесте {1,... ,n}d7 удовлетворяющее ( ) и

( ) с некоторыми постоянными а ^ 1 и в ^ 07 зависящими только от 7 и 1, такое, что для, любого выпуклого множества В С [1,п] найдётся А € ^ такое, что А С В^ и

#№ \ А) ^ 7 • #BZ.

При доказательстве теоремы 3.1 изучаются свойства симплексов с вершинами в целых точках, вписанных в данное выпуклое тело. Напомним,

(

пространстве называется выпуклая оболочка 1 +1 аффинно-независимых точек.

Зададим на множестве ^ меру, "считающую" количество целых точек в множестве:

М2(А) = |А П А С

Тогда имеет место

Лемма . Произвольное выпуклое тело К С ^ содержит, симплекс Б, возможно, размерности меньше 1, с вершинами в точках с целочисленным,и координатам,и такой, что

ЫК) ^ 1м • ^(Б)

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Борису Сергеевичу Кашину за поставновку интересных задач, плодотворные обсуждения, неоценимую помощь и постоянное внимание, а также профессору Сергею Владимировичу Конягину и доценту Константину Сергеевичу Рю-тину за ценные советы и замечания.

Тип пространств, порождённых обобщённой мажорантой частных сумм

В данной главе будем считать, что I - заданный набор индексов, П - семейство подмножеств I и Ф = }к€/ С - система линейно-независимых векторов. Обозначим какХ(П) = X(П, Ф) пространство векторов вида

с нормой, заданной с помощью ( ), в которой sup берётся по се-П

Мы доказываем следующую

Теорема 1.1 ([ ]). Пусть семейство П подмножеств I удовлетворяет ( ) и ( ) при некоторых а ^ 1 и в ^ 0. Тогда постоянная T2(X) типа 2 пространства X(П) допускает оценку

T2(X) ^ K(Co, в, 7) • (logN)a/2+1+Y,

(1.1)

где 7 - произвольное число больше О, а К (Со, в, 7) _ постоянная, которая зависит, только от С0;в и 7-

Для доказательства теоремы 1.1 нам понадобится техническая

Лемма 1.1. Пусть для, семейства & подмножесте I найдутся такие семейства 0 € Д57 й = 0,...,й0,7 что будет выполнено (0.10). Тогда для произвольного нетривиального набора элементов {ж^ X(&) будет выполняться

Напомним классическое неравенство А.Я. Хинчина

Теорема Е ([ ], [ ]). Если {£,}"= 1 для, любого £ ^ 0 справедливо неравенство

где А, 7 - произвольные числа больше 0, а,

(1.2)

(1.3)

Теперь приведём

Доказательство леммы 1.1. Без ограничения общности для заданного набора {ж^^ч С X(П), можно считать, что

е

¿=1

Зафиксируем £ > 0. Тогда

(П) = 1

Е

т Г1 т

= РI X (П) •/0 1

¿=1 ¿=1

> У> ¿у

X (П)

»А

Р

/>00 + / р

о А

е

¿=1

> у > ¿у

X (П)

е

¿=1

> у > ¿у

X (П)

/>А />то

^ / Ыу + / р

,/0 ,/А

е

¿=1

(1.4)

> у > ¿У

>00

+ / Р

А

Введём обозначение

е

¿=1

Х(П)

> у > ¿у.

«о

с = Е

X (П)

1

1

,й=0

(5 + 1)1+^

Так как найдутся такие А«, 0 € й = 0, •.. , й0,, что будет выполнено (0.10), второе слагаемое в (1.4) можно оценить

Р

А

е

¿=1

> у > ¿у

X (П)

/>00

/ Р ^ вир

'А I

е е

\ ¿=1

>у

оо

/ Р < вир вир

'Л I

е е ОД ) щ

3 / к

>У

П то N г

М е)Р i 8ир

^Л к=1 Ш^еП

П то N г

= Е м вир

•/Л к=1 Ш^еО

N «то г во

^ V / Р < V вир

к=1 7Л [ в=0

N во л то г

^ЕЕ / Р< вир

к=1 в=о Л I

N во

< е е е i

ЕЕ Е^И )к

в=0 \ ¿=1 во

>У

ЕЕ Е^И )к

в=0 \ ¿=1

во

>

уС,Е

в=0

Р

к=1 в=0 Л Применяя теорему Е, получаем

Е ^£г(жг)Л )к

3V ¿=1 /

/ т \

е е ^Мз ) (Щз)к

з V ¿=1 /

е * (е (

¿=1 Чз'еД

ж;)3 (^з/

>

>

>

С7 у

во

1=0 (й +1)1+7 С7 У

(й + 1)1+7 С У

(5 + 1)1+7

= Л.

N во

* < е е е

к=1 в=0 £„е Ая

^00

С2у2

ГЛ 2(5 + 1)2(1+7) ■ Е

dУ,

где Е = ^Ыз Ь

Из определения нормы в пространстве X(&), для произвольного Е € Дв

/ / \ 2\ / / \2\

г т / X Г „, / X

Е

V

е (е (жг)з (щз )к

¿=1 \ЗеЕя

<

/

Е( вир Е(жг)з (щз)к

\

¿=1 ^д, 3€ЕЯ

У

< ( е ви^е(Хг)з(щз)к = е

^ о

1жг|1х (О) = 1

¿=1

1

Следовательно,

ж «0 гто ( С7У

/А 6ХЧ 2(5 + 1)2(1+7)

* ^ЕЕ Е А ехр(-2(Т+1уа+)) ¿у

к=1 «=0 ЕяеД« А \ у 7

то / С2у2

Су 1 п

¿у.

я0 л то /

N • #аЛ ехр

«=0 V

/А 2(5 + 1)2(1+7)

Учитывая, что у/а > 1 при у € (а, то), а > 0, можно получить следующее несложное неравенство

/то (-<[то а ^ (- ¿у=а „Ф (- ^.

Из него простой заменой переменой получается, что для Ь > 0 верно Гто / Ь2у2 \ , 1 /•то / у2 \ , 1 / а2Ь2 \

I ехЧ"] ¿у = ь I ехЧ- 2; ¿у < аь2 ехЧ■

Используя последнее неравенство, получаем следующую оценку для

^ (5 + 1)2(1+7) ( А2С2

* < Л ее #а" ^Сг • ехч- )

Следовательно,

Е

т

¿=1

е

80 (5 + 1)2(1+^) .....( А2С'2

< А+^кГ4тСг 'еХ^ 2(5 + 1)2(1^)

X (П)

и лемма 1.1 доказана.

доказательство теоремы 1.1. Воспользуемся Леммой 1.1. Зададим значение А как

А = С^^ N )а/2+1+^,

С1

учитывая ограничения на #Ав, 5 = 0,..., й0 из условия теоремы, а

также то, что s ^ s0 ^ log N получаем

1/2

E

т ¿=1

so

Е

£lWlX(n) < (logN)a/2+1+Y X (П) / \i=1 J

s2(1+y) ( C2CY(log N)a+2+2^ CiCY(log N )a/2+1+Y

+ #AS ' C1C72(log N)a/2+1+7 ' exp 7 2s2(1+Y) J

<C1(log N )a/2+1+Y

So s2(1+y) / C2C2(log N )-+2+2y'

ON exp s~

+ N^C0Nвexpsa ■ CC2(log N)a/2+1+Y ' exp ' 7

s=0

C1C2(log N )«/2+1+7 M 2s2(1+Y)

<C1(log N )a/2+1+Y

so

+ Ne+^ Cos2(1+Y) a- C2C7 (lOgN)a+2(1+Y)

+ N ¿¿C1C72(logN)a/2+1+7 exp^s 2s2(1+y)

<C1(log N )a/2+1+Y

+ Nв+1 Co(log N)2(1+Y) ■ exp (to N)« - C2C>g N)a+2(1+Y)"

+ N ¿¿C1C72(logN)a/2+1+7 exp^(logN) 2(logN)2(1+Y)

<C1(log N )a/2+1+Y

C i C 2C 2

+ 2N'+1 lOg N ■ C1C2(log NN)a/2-1-Y ■ ex^(lOg NГ - NГ

=C1(log N )a/2+1+Y

+ J^L(logN)2-a/2+Y ■ Ne+1+(1-CiCY/2)-(l°gN)a-1. (1.5)

C1C2

По условию a ^ 1. Значит

2 - a/2 + y ^ 1 + a - a/2 + 7 = a/2 + 1 + 7. C1

E

m

¿=1

e

m 1/2 E (n)

X (П) / Vi=1

< C1(log N)a/2+1+Y + C2(logn)a/2+1+Y 24

< K(Co, в, Y) • (logN)a/2+1+Y

где K(Co, в, Y) - постоянная, зависящая от y, в и Co. Следовательно, постоянная типа 2 пространства X(П) будет не больше, чем K(C0,e,Y) • (logN)а/2+1+7. Теорема доказана.

Рассмотрим пространство X(П) при П удовлетворяющим ограничениям на сложность (0.9) и (0.10). Имеет место

Теорема 1.2 ([ ]). Для произвольного y > 0 пространсmeo X(П)7 П

2 с постоянной T2(X)7 которая удовлетворяет неравенству

T2(X) ^ C exp Q loga N) • log1+Y N, (1.6)

где C > 0 - постоянная, зависящая только от Y-

При этом найдётся такое пространство X(П)7 гс^е П удовлетворяет ( ) и ( ), что постоянная T2(X) типа 2 про-страснтва X(П) будет удовлетворять неравенству

1 /1 loga N \

2Ч2 • "Ы < T2(X). (1.7)

Доказательство теоремы 1.2. В Лемме 1.1 положив

A = Ci exp Q loga N^ • log1+7 N, (1.8)

получаем

1/2

E

E

i=1

E llxiHX(n) J ^ C1 exp ^ loga N ) • log1+7 N

X (Q) / \i=1

N s0 s2(1+Y)

+ £ 5 #AS CiC72 exp (1 loga N) • log1+Y N

( C2C2 exp loga N • log2(1+Y) N\

•ex^---y ^

Обозначим второе слагаемое в ( ) как Si По условию теоремы семейства As,s = 0,...,s0, удолветворяют ограничению ( ), то есть для некоторого а < 1

#As < exp exp sa.

Следовательно,

Si <N £ ^

S=1 C1C2 exp (2 loga N) • log1+7 N

CfC2 exp loga N • log2(1+Y) N

a 1 Y

• exp 1 exp s

2s2(1+Y)

<N Co log2(1+Y)N

< ¿1 C1C2 exp (2 loga N) • log1+Y N

( . C2C72 exp loga N • log2(1+Y) N

• ex^ exp log N —

<N log N

2log2(1+Y) N Co log1+YN

C1C2 exp (i loga N) exp I exp loga N —

CfC exp loga N

2

C

:—^ • exp exp loga N + log N + (2 + 7) log log N — C1C2 v

C2Cy2 exp loga N 1 a

2 — 2 loga N»-C1

S1 < 1.

Следовательно, для некоторого C > 0 будем иметь

1/2

E

Е

¿=1

S

X (П) 1

Е

¿=1

\X (П)

< C exp loga Nj • log1+7 N + 1

< C exp Q loga N^ • log1+7 N.

Теперь построим семейство Q подмножеств набора индексов I = {1,..., N}, удовлетворяющее ( ) и ( ), такое что постоянная 2-типа пространствах(Q) будет удовлетворять (1.7). Для этого положим, что N = 22v для некоторого натурального v, и построим семейства As, s = 0,..., 1 • log2 N. Пусть

E = < 1,..., exp

loga N 2a

где a < 1. Тогда

>E

As =

если s = 1 • log2 N;

{0} , если s < 1 • log2 N,

где 2e - набор всевозможных подмножеств множества E. Тогда

#A i

log2 N

<

2exp( ^ )

1

#А5 = 1, при 5 < - • 1<^2 X,

2

и набор семейств = 0,..., 2 • X, удовлетворяет усло-

вию ( ). Если определить О = А1 тогда для любого ш € О

2 N

ш = у £я, Еа € А5.

в=0

2

Произвольное множество G £ A1 ,log2 N будет подмножеством E. Сле-

N

„„ „^ (loga N \ ( lna N \

#G ^ #E ^ exp = exp ' *

< exp lna N

= VN =

N

2a ) ln1-aN

N

(2 ln 2) f ln N \

= exp

2

log2 N ' 2

\/N 21

и система Q удовлетворяет ( ). Получаем, что

sup

Ge n

keG

IN

= sup

GcE

y^Qfc ^k

keG

IN

Определим вектора ^k £ , k £ I = {1,..., N}, как

= (1, 0,..., 0), ..., ^k = (1,1,..., 1,0,..., 0), ..., = (1,1,..., 1),

k

следующим

(Xi)k =

а набор {ж;}^ С где т = ехр ^ 1о|а^ образом:

1, при г = к; 0, при г = к.

Тогда, если {£«} ~ система Радемахера, то есть набор независимых случайных величин, принимающих значения ±1 с вероятностью 1/2, определим случайное множество

E0(^1, . . . , ^m) =

E+ = {i : = +1}, если #E+ ^ #E/2; E- = {i : = -1}, если #E_ > #E/2.

Для фиксированных значений ^ получаем, что

вир

СсЕ

I ^(Жг)^^ ¿=1 \fcGG

> вир

СсЕ

( Е^)1

¿=1 \fcGG

>

i е ^

¿=1 \^€ео(£1 ,...,£т)

г€Ео(е1,...,ет)

е ^

¿€Е0(£1,...,£т)

> #Е/2 = 1 • е*р(!^'

Значит,

Е вир

СсЕ

I ^(Жг)^^

¿=1 \fcGG

> 1 /1о^ -

> 2 •

С другой стороны, для любого Жг

|ЖгУх (П) = вир

СсЕ

= 1.

Получаем, что

' т

е

1/2

X (П)

г=1

^ V- = ехИ 2

Таким образом мы получили элементы жг такие, что

Е вир

СсЕ

I ^(Жг)^^ ¿=1 \fcGG

> 1 ^ N ^

> 2 еХр I 2 2а

е

г=1

1/2

X (П)

Следовательно, постоянная 2-типа построенного пространства X(О) будет не меньше, чем 1 • ехр ^2> • И выполнено (1.7).

Теорема 1.2 доказана.

2

2

Глявя 2

Оценки Ф-поперечников

В данной главе также будем предполагать, что для заданного набора индексов /, семейство О подмножеств I удовлетворяет свойствам ( ) и ( ) с некоторыми а ^ 1 и в ^ 0, то есть найдутся семейства Д«, 0 £ Д«, с числом элементов

#Д« < ехр= 0,...,5о,

такие, что каждое множество ш £ О допускает представление в виде

«0

ш = {] Е«, Е« £ Д«, #Е« ^ Е« П Е« = 0 при 5 =

в=0

2«

Для системы линейно-независимых векторов Ф = }/£/ С обозначим как X(О) = X(О, Ф) пространство векторов вида

Е а/, где а/ £ К, /б/

с нормой, заданной как

е

«е/

= вир

ше О

е

В данной главе устанавливаются верхние оценки Ф-поперечников в пространстве X множеств

n

a,; С

¿=1

F = ^ a,^; Е |a,|2 ^ 1 •

¿=1

При доказательстве мы будем опираться на результаты главы 1. Доказывается

Теорема 2.1 ([14]). Пусть Ф = {^}П=1 _ набор линейно-независимых функций в Щ таких, что

Ц^Цто ^ м, 1 ^ % ^ п

и множество

n

ai

i=1

F = ^ a^ ^ |a,|2 ^ 1 . (2.1)

i=1

Пусть норма в пространстве X задается равенством ( ), где семейства Q удовлетворяют ( ) и ( ) с некоторыми а ^ 1м в ^ 0. Тогда, для, любого целого k, 1 ^ k ^ и, верно неравенство

df (F, X) ^ K(Со, в, Y)M(log N)4+а/2+^У|, (2-2)

y - произвольное число больше О, M - абсолют,ная, постоянная, a K(С0,в, Y) _ постоянная, зависящая, от С0;в и Y-

Прежде, чем перейти к доказательству, дадим Определение 2.8. Если P - оператор из банахового пространства X с единичным шаром Bx в банахово пространство У, то числом покрытия, оператора, P называется величина

ny (P,£) = NHy (P (bx ),£).

в-ъш энтропийным числом оператора Р называется величина

е«(Р) = е«(Р(Вх), || • ||у).

Нам понадобятся следующие результаты технического характера для энтропийных чисел и чисел покрытия

Утверждение 2.1. Для произвольных с > 0 с > 0; компакта К и метрики р

е«(К, ср) = с • е«(К, р), в = 0,1,....

Утверждение 2.2. Для произвольных с > 0 с > 0; компакта К и нормы || • ||р

• |р(сК,--) = % ||р (К,с) ■

Доказательство утверждения 2.1. Для шаров с центром в точке у будет верно

о - Вр (у. с:

К

хСр(к,£) = Хр (к, £).

Получаем для в = 0,1,...

е«(К,ср) = 1п£{с : ХСр(К,е) < 2«} = 1п£ {с : Хр (к, < 2«}

= 1п£ {с • С : Хр (К, < 2«} = 1п£ {с • с : Хр (К, с) < 2«} = с • 1п£ {с : Хр (К, с) < 2«} = с • е«(К, р).

Доказательство утверждения 2.2. Заметим, что если для некоторых компакта К с постоянной с > 0, натурального г и

ДЛ с) = : cр(y, 2) < с} = {Z : р(y, < = Вр

точек х1,..., хг £ будет выполняться

г

сК с у (х

3=1

тогда для любой точки у £ К и некоторого 1 ^ ^ ^ п, будет верно

11су - X |р ^ с. Последнее неравенство эквивалентно

1 с

|У---X |р < -,

сс

то есть для некоторых точек у1,..., уг £

К с{] В| |р (у,

з=1

£

или в терминах чисел покрытия получаем, что для произвольного компакта К С постоянной с > 0 и произвольного с > 0

г

Щ||•||p (сК, с) — т£ < г : сК С У (х, с) для некоторых х1,..., хг

3=1

1

т£ г : К С [[ В||р ^у3-, для некоторых у1, ■ ■ ■ ,уг 1

- ^ К,с^.

Напомним

Теорема Е (Неравенство Бернштейна, [ ]). Пусть -

последовательность независимых случайны,х величин, таких что Е^ = 0 и ^ ^ 1 (с вероятностью 1) для, г = 1,..., п. Положим

1 п

а2 = 1

п • 1

г=1

Тогда для любого е ^ 0 справедливо р j ^г > е j € exp ^ -

2п(а2 + е/(3п))) '

Теорему 2.1 мы получим как следствие следующего результата двойственного хар акт ер а

Лемма 2.1. Пусть {^}П=1 С - набор линейно-независимых функций с ограничением,

00

€ M, 1 < i < и.

X

С J7 где семейство Q удовлетворяет ( ) и ( ) с некоторыми а ^ 1 и в ^ О Для любого такого целого k, что для, некоторой постоянной С > 0 будет, выполня ться С (log N )3/2 € k € и/27 найдет,ся, множество I С {1,..., и} такое, что

k

|I| = и — k', где kk удовлетворяет |k — k'| € —, любого набора коэффициентов а = {аг}П=1 G Rn с

supp а = {i : аг = 0} С I,

(2.3)

произвольного Y > 0, абсолютной постоянной M, постоянной K(С0,в^), зависящей от С0?в и Y? справедливо неравенство

|>г|2^ € K(Со,в, Y)M(logN)4+a/2+YykINI*, (2.4) где по определению

la|U? =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пернай Владимир Витальевич, 2016 год

Список литературы

[1] Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. -Москва: ИЛ, 1963.

[2] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. - Москва: Физматлит, 1961.

[3] Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, 4-е изд. - Москва-Ленинград, 1946.

[4] Бургейн Ж., Кашин Б. С. О равномерном приближении частной суммы ряда Дирихле более короткой суммой и Ф-поперечниках // Матем. сб. - 2012 - Т. 203, № 12 - С. 57-80.

[5] Гарнаев А. Ю., Глускпн Е. Д. О поперечниках евклидова шара // Докл. АН СССР. - 1984 - Т. 277, № 5 - С. 1048-1052.

[6] Зигмунд А. Тригонометрические ряды 1.1-11. - Москва: Мир, 1965.

[7] Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // УМН. - 1974 - Т. 29, № 3(177) -С. 161-178.

[8] Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. -Москва: Физматлит, 1958.

[9] Кашин Б. С. Аналог теоремы Меньшова "об исправлении" для дискретных ортонормированных систем // Матем. заметки. -1989 _ т. 46, № 6 - С. 67-74.

[10] Кашин Б. С. О возможности обобщения теорем "об исправлении" // Матем. заметки. - 1997 - Т. 62, № 6 - С. 931-939.

[11] Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1977 _ т. 41, № 2 - С. 334-351.

[12] Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды, 2-е изд. -Москва: Изд-во АФЦ, 1999.

[13] Кашин Б. С., Шарек С. Й. Логарифмический рост ^-нормы мажоранты частных сумм ортогонального ряда // Матем. заметки. - 1995 - Т. 58, № 2. - С. 218-230.

[14] Пернай В. В. Пространства, порожденные обобщенной мажорантой частных сумм // Матем. заметки. - 2014. - Т. 96, № 1. -С. 154-157.

[15] Пернай В. В. О сложности семейства выпуклых множеств BRd // Матем. заметки. - 2016. - Т. 98, № 4 - С. 537-549.

[16] Andrews G. Е. A Lower Bound for the Volume of Strictly Convex Bodies with many Boundary Lattice Points // Trans. Amer. Math. Soc. - 1963 - Vol. 106, no. 2 - P. 270-279.

[17] Bourgain J., Pajor A., Szarek S. J., Tomczak-Jaegermann N. On the duality problem for entropy numbers of operators // Geometric aspects of functional analysis. - Berlin: Springer-Verlag, 2006. -Vol. 1376 of Lecture Notes in Math - P. 50-63.

[18] Carl B. Inequalities of Bernstein-Jackson-type and degree of compactness of operators in Banach spaces // Ann. Inst. Fourier (Grenoble) - 1985 - Vol. 35, no. 3 - P. 79-118.

[19] Guedon O., Mendelson S., Pajor A. , Tomczak-Jaegermann N. Subspaces and orthogonal decompositions generated by bounded orthogonal systems // Positivity. - 2007 - Vol. 11, no. 2 - P. 269283.

[20] Khintchine A. Uber dyadische Brüche // Math. Zeitschrift. - 1923

- Bd. 18 - S. 109-116.

[21] Olevskii A. M. Fourier Series with respect to general orthogonal systems. - Berlin: Springer-Ver lag, 1975.

[22] Talagrand M. Selecting a proportion of characters // Israel J. Math.

- 1998 - Vol. 108, no. 1 - P. 173-191.

[23] Talagrand M. The generic chaining. Springer Monogr. Math. -Berlin: Springer-Verlag, 2005.