Ограничение операторов на координатные подпространства и теоремы дискретизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лимонова Ирина Викторовна

• Лимонова Ирина Викторовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Лимонова Ирина Викторовна

Введение

Глава 1. Об оценках норм подматриц

1.1 Основные результаты

1.2 Некоторые оценки (2, д) норм подматриц

Глава 2. Слабо лакунарные подсистемы ортогональных систем

2.1 Вспомогательные результаты

2.2 Основная лемма

2.3 Основные результаты

Глава 3. Точная дискретизация Ь2^нормы с отрицательным весом

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ограничение операторов на координатные подпространства и теоремы дискретизации»

Введение

Работа посвящена изучению свойств операторов при ограничении на координатные подпространства. В общем виде мы имеем дело со следующей постановкой. Пусть X, Y — банаховы пространства, T : X ^ Y — линейный оператор, {fj}jeih гДе ^ = N или Q = {1,... , N}, N G N _ базис X. Задача состоит в том, чтобы найти Г С Q такое, что T|l — ограничение (сужение) оператора T на координатное подпространство L = spanjGr{fj} в прообразе — обладает дополнительными свойствами, например, требуемой оценкой нормы. Рассматривается также и двойственная постановка задачи: пусть {gj}jGni5 гДе = N или = {1,...,N}, N G N _ базис Y. Требуется найти Г1 С такое, что T1 — ограничение T на координатное подпространство L1 = spanjGri {gj} в образе — обладает дополнительными свойствами.

В качестве примера приведём теорему С. Банаха. Напомним, что ортонор-мированная система функций (О.Н.С.) Ф = {фк}bL1 называется р-лакунарной

(р > 2) ил и Sp-системой, если для некоторой п остоянной K и любого полинома N

P = акфк по системе Ф справедливо неравенство к=1

IIPiilp < K IIP IL2 (0.1)

(см. подробнее [6]). В книге [6] со ссылкой на работу С. Банаха [22] приведена Теорема А. Пусть р > 2 и О.Н.С. Ф = {фк}^=1 такова, что

Цфкiilp < C, k = 1,2,...

Тогда, существует бесконечное подмножество натурального ряда Л, такое, что {фк}к€л _ Sp - система.

œ

В этом случае X = /2, Y = L2, T({ак}£=1) = акфк, и Теорема А утвержда-

к=1 к=1

ет? чт0 T действует из /2 в Lp па координатном подпространстве в /2 (векторов

с номерами координат из Л).

В первой главе диссертации исследуются оценки норм подматриц N х п матриц, рассматриваемых как операторы, действующие между конечномерны-

ми линейными пространствами T : ^ Ограпичение T1 оператоpa T па координатное подпространство L1 С RN в образе соответствует выбору некоторой подматрицы матрицы A: Ti задаётся матрицей, у которой строки с номерами из Г1 совпадают со строками матрицы A, а остальные — зануляются. Мы хотим найти подматрицу с контролируемой нормой.

Во второй главе рассматривается задача о нахождении подсистем со свойством лакунарности в конечных ортогональных системах. Пусть Ф = {фк}N=1 ~ ортогональная система функций, заданных на некотором вероятностном пространстве. Оператор T здесь действует го пространства коэффициентов {ак};(=

с некоторой нормой (например, стандартной евклидовой) в пространство

N

функций: T({ак}£=) = акфк(•)• Пусть Л С {1,...,N}, подпространство

к=1

L1 = врап{фк : k £ Л} Ограничение T1 представляет собой оператор, действующий по правилу T1({ak}{=1) = акфк(•). Нам будет удобнее рассматри-

к£Л

вать его не как оператор ^действующи й из RN, а как оператор T |л из

T|л({ак}к£л) = акфк(•)• Нас будут интересовать оценки нормы оператора к£Л

T|л, а также оператора мажоранты частных сумм по подсистеме {фк}к£л-

Третья глава посвящена одной задаче о точной дискретизации типа Мар-

L

нечный набор точек Q такой, что L2^HopMa любой функцпн из L может быть вычислена как дискретная ^норма, сосредоточенная на с некоторыми весами. Для минимально возможного такого набора точек Q исследуются свойства этих весов. Отметим, что во многих случаях задача о дискретизации функций по значениям в точках сводится к задаче об ограничении оператора на координатное подпространство (см. подробнее [33]).

Актуальность темы. Для N х n - матрицы A, рассматриваемой как one-

ратор из в определим операторную (p, q)-nopMy

l|A|Lq) = SUP цАжц/n , 1 < p,q < то.

( ' ) l|xHiF<1 q

Первая глава диссертации посвящена оценкам операторных норм подматриц матриц общего вида. Эта тематика возникла в связи с рассмотрением вопросов сходимости общих ортогональных рядов в работах Б. С. Кашина [8], [9], где было установлено, что для каждого £ > 0 найдётся такая постоянная C(е), что при N/n > C(е) любая N х n - матрица A с единичной операторной (2, 2)-пормой содержит n х n — подматрицу Ac ||A||(2,2) < е. Точная по порядку оценка C (е) < Ке-2 была получена A.A. Луниным в [19] как следствие точной оценки сверху для (2,1)-нормы квадратной подматрицы N х n матрицы. Интересно, что в [9] (см. также [19], [34]) оценки для классической операторной нормы подматриц (т.е. в случае p = q = 2) являлись следствием соответствующих (2, 1)

Следующим этапом развития направления послужила серия работ Ж. Бур-геи ни и Л. А. Цафрири (см. [25], [26]), где был установлен ряд известных теорем о так называемой ограниченной обратимости (см. также [38]). В частности, ими было показано, что из квадратной матрицы с единицами на диагонали можно выбрать квадратную подматрицу пропорционального размера (полученную из исходной путём удаления каких-то столбцов и строк с равными номерами) такую, что норма обратной матрицы зависит только от нормы исходной матрицы и не зависит от её размера. Этот и близкие к нему результаты находят применение в гармоническом анализе, в изучении гильбертовых систем и геометрии банаховых пространств (см. [25],[26]). В [34] исследования были продолжены, получены важные результаты об оценках норм подматриц. В [45] предложен работающий за полиномиальное время алгоритм поиска подматрицы в теореме об ограниченной обратимости (см. также [52]).

М. Рудельсон в [41], [42] установил связь рассматриваемого направления с

е>0

любого выпуклого тела B в Rn существует выпуклое тело K на расстоянии не больше 1 + £ (в метрике Банаха-Мазура) такое, что число точек сопри-K

содержащего K) не больше C(s)n log n. Как показано в [34], это наилучшее количество, которое может быть получено методом случайной выборки. Позднее

Kn

точек соприкосновения (см. также работу П. Юссефа [56]). В [42] рассматривалось разложение Джона (представление единичной матрицы в виде суммы одноранговых матриц, см. подробнее [42]). Тем же методом была частично решена задача из [34] о нахождении в N х n матрице, столбцы которой образуют ортонормированную систему, а евклидовы нормы строк малы, M х n подматрицы B малого размера (с малым M) с двусторонней оценкой нормы образа каждого вектора:

N

Vx Е Rn (1 - е)||ж||2 < W м 11 Bx || 2 < (1 + £)||x||2.

Схожими вопросами также занимался Р. Вершинин (см., например, [54], [43]).

Алгоритмический подход для нахождения подматриц с двусторонними оценками (2, 2)-норм был предложен Дж. Батсоном, Д. Спилманом и Н. Сриваста-вой в работе [23]. Прорывной стала работа А. Маркуса, Д. Спил.мини и Н. Срива-ставы [36], в которой с помощью новой техники перемежающихся многочленов (interlacing polynomials) была решена знаменитая проблема Кидисони Зингери 1959 г. из квантовой механики (см. [32]), переформулированная Н. Уивером в матричных терминах (см. [55]): пусть столбцы матрицы A образуют ортонормированную систему в а строки Vj, i = 1,..., N, таковы, что ||vj||2 < £, 0 < £ < 1. Тогда найдётся разложение

{1,..., N} = U fii П = 0, (0.2)

такое, что

||A(^k) 11(2,2) < ^2 + C£, k = 1, 2

(С—абсолютная постоянная, здесь и ниже A(^k) _ подматрица матрицы A, образованная строками i G ^k)- Отметим, что частичное решение указанной задачи было получено в [27] методом усреднения норм подматриц (фиксированного размера) данной матрицы.

Один из авторов работы [36], Н. Сривастава, в [48] переформулировал указанный результат в форме, применимой к произвольной N х n-матрице A: если для любых x G Rn и ¿o G {1,..., N}

/ N \ 1/2

IK,x)|< sí g |(v„x)|M , (0.3)

то существует разбиение вида (0.2), такое, что для любого x G Rn

/1 \ N

El(Vi,x)|q < (2+ СЧЕ l(Vi,x)|q, q = 2, k = 1, 2. (0.4)

íGÜfc ^ ' ¿=1

В связи с возможными применениями в алгоритмических задачах теории графов и геометрии нормированных пространств в [48] был поставлен вопрос о существовании аналога соотношения (0.4) для q =1. Этот вопрос непосред-

(2, 1)

A

при q = 1, то есть неравенство

N

Vx G Rn Vio G{1, 2,..., N} |(v¿0 ,x)|< £ g |(Vi,x)| (0.5)

¿=1

не гарантирует наличие разложения (0.2) со свойством (0.4) npnq = 1. Для его существования в общем случае необходимо предполагать стремление параметра £ к нулю при n ^ то. Утверждение 1.2 ниже показывает, что то же верно и для 1 < q < 2. В случае, когда £q < 1/n, требуемое разбиение существует (для q = 1 см. [13, Утверждение 3], для произвольных 1 < q < то см. Теоремы 1.1, 1.2

(2, 1)

ранее в работе [11], где при условии малости евклидовой нормы строк матрицы (более сильном, чем (0.5)) было показано существование разложения вида

(0.2) с экстремально малыми (2,1)-нормами соответствующих подматриц (см. также [Ю]). Причём полученная оценка не зависела от размера матрицы. Этот результат в Утверждении 1.3 ниже обобщается на случай почти ортогональной матрицы и 1 < д < 2.

Изучаются и другие условия на элементы матрицы, обеспечивающие возможность её разбиения на две подматрицы с малыми нормами (см. также Теоремы 1.3, 1.4, Утверждения 1.4, 1.5 ниже). В работе [13, Утверждение 1] был уточнён результат работы автора [17], доказывающий существование разбиения вида (0.2) для любой матрицы с достаточно малыми нормами строк

(2, 1)

для N х п - матрицы А с единичной (2,1)-нормой и евклидовыми нормами строк меньше £ найдётся разложение вида (0.2) с ||О^ — |О2|| < 1 такое, что ||А(Ок)||(21) < ^+2£, к = 1, 2. Утверждение 1.1 обобщает указанный результат на случай (2,д)-нормы, 1 < д < 2.

Тематика активно развивается в настоящее время и находит применение в различных отраслях математики. Приведенные выше результаты применяются в теории фреймов (см. [53], [39], [28]), для ускорения классических методов решения систем линейных уравнений (см. [40]), в теории графов при нахождении малых подграфов данного графа со схожими спектральными свойствами (см. 44], [47]), в задачах восстановления функций по значениям в точках (см. [51], 37]).

Одним из ярких приложений теорем об оценках норм подматриц является получение теорем дискретизации типа Марцинкевича для конечномерных подпространств пространств общего вида, что подробно описано в недавнем обзоре [33]. Поясним, о чём здесь идёт речь. Пусть О С - компактное подмножество, д — конечная мер а на О, Хя — N - мерное подпространство действительного пространства Ь2(О, д) функций, имеющих значение в каждой точке, то есть = врап{/1,..., }, где фупкции /ь ...,/я Е Ь2(О, д) линейно независимы и определены всюду па О.

Говорят, что XN допускает теорему дискретизации типа Марцинкеви-ча с параметрами —, 2, C > 0 C2 > 0, если существует множество точек }j=i С Q таких, что для любой функцнп f Е Xn выполняются неравенства

1 ™

ш

Ci||f ||2 < - g f2(f) < c2||f ||2. (o.6)

3=1

Кратко это свойство обозначают так: Хж Е М(т, 2, С1, С2).

В работе [35] с помощью результатов о матрицах из [36], [39], [31] и применения итерационной техники из [19] была установлена неулучшаемая по порядку теорема дискретизации типа Марцинкевича нормы в Ь2: пусть Хж С С(П) удовлетворяет неравенству типа Никольского для пары (2, то) при некотором £ > 0, а именно

II/Нто < II/112 V/ Е Хж,

тогда существуют абсолютные положительные постоянные Со, С1 и С2 такие, что Хж Е М(т, 2, С1, С2£2) при некотором т < С0£2Х. Аналог этой теоремы, в котором в (0.6) С1 = 1-С2 = (1+е)£2, 0<£< 1, был недавно установлен в [16].

В настоящее время существует обширная литература, посвягцённая матрицам со случайными элементами (см. подробнее [50]). В отличие от большинства результатов, полученных в этом направлении, в данной работе рассматриваются свойства подматриц фиксированной матрицы.

Основные результаты первой главы диссертации относятся к общему случаю (р, д)-норм, 1 < р, д < то, и опубликованы в работе автора [57], которая является естественным продолжением заметки [13]. Отметим, что помимо оценок норм подматриц разбиения рассматриваются и оценки нормы образа произвольного

1

N

Vx Е Rn Vio e{1,...,N} |(vi0 ,x)|q < |(Vi,x)|q, (0.7)

¿=1

которое является прямым аналогом условия (0.3) для произвольного д > 1. Отметим, что при 1 < д1 < д2 < то условие (0.7) для д = д2 является более ограничительным, чем для д = д^

Глава 2 посвящена изучению свойств типа лакунарности в подсистемах ортогональных систем функций. Исследование различных классов лику парных ортонормированных систем началось в работах С. Банаха в 30-е годы прошлого века (см. [22],[6]). Этой тематикой в разное время занимались такие математики, как С. Банах, Ю. Марцинкевич, П. Эрдёш, С. В. Асташкин, Т. О. Балык-баев, Ж. Бургейн, И.Я. Виленкин, В.Ф. Гапошкин (см. подробный обзор [3]), Б. С. Кашин, Ж. Пизие, У. Рудин, С. Силон. А. Сепп, С. Б. Стечкин, М. Тили гран и другие. При этом наиболее полно изучены свойства р-лакупарпых систем (см. Теорему А выше).

Аналоги Теоремы А для О.Н.С., элементы которых равномерно ограничены по норме пространства Орлича (и более общего вида), где

а норма функции / Е (X) определяется по формуле

II/11^ = 1^ {Л> 0: I ^ ¿М < 1

были получены Т.О. Балыкбаевым в [1], [2]. Естественный вопрос о плотности последовательности Л в Теореме А оказался весьма сложным. Он оставался открытым даже в случае тригонометрической системы до появления прорывной работы [24] Ж. Бургейна, в которой была установлена

Теорема В. Пусть р > 2 и О.Н. С. Ф = {фк

N

такова, что

II||г < М, к = 1, 2,...

11 ' 11 -Ъто ; 111

Тогда найдётся множество Л С (X) такое, что |Л| > N2/р и для любого полинома Р = ^ акфк имеет место оценка (0.1) с К = К(М,р).

кЕЛ

Здесь и ниже мы обозначаем через (X) набор {1, 2,..., N}, а через |Л| — число элементов в конечном множестве Л. Для Л С (X) обозначим 5Л — оператор, действующий по правилу 5Л({ак}кЕл) = акфк(ж)-

ке л

и

Для чётных значений р > 2 при условии ограниченности норм функций в 0 < 5 < р — 2, неулучшаемый результат был получен И. А. Агаевым (см. [20, Теорема 1]). Позднее в [49] М. Талагран, используя другие методы, обобщил результат Ж. Бургейна па случай - пространств, а также получил количественные результаты для 0-гладких пространств, 1 <0 < 2. Отметим также работу [30], где ищутся подсистемы Фд с контролируемой нормой оператора 5д : ¿2(Л) ^ в случае, когда |Л| имеет порядок Nв > 0.

Ясно, что для множества Л, существование которого установлено в Теореме В,

Ц£а : ¿то(Л) ^ Ьр(Х)Н < |Л|1/2 • К(М,р). (0.9)

В работе [14, Теорема 1] (см. также [12]) с помощью модификации метода из [24] установлена Теорема С — аналог оценки (0.9) для пространств Орлича (см. (0.8)) для произвольных ортогональных систем с равномерно ограниченными элементами. Естественно, что в этом случае можно гарантировать

Л

Теорема С. Пусть а > 0 и р > 0 фиксированы. Для произвольной ортогональной системы Ф = }^=1 со свойством,

НфкНьто < 1, к = 1, 2,..., N (0.10)

с вероятностью большей 1 — С(р^—9 для случайного множества Л = Л(ы)7 Л(ы) = {г Е ^) : = 1}, порождённого набором независимых случайных

величин принимающих значение0 или 1, еЕ<^ = 5 = (log(N+3)) Р,

1 < г < N, имеет место неравенство

|£а : 1то(Л) ^ Ьфа (Х )Н < К (а, р)|Л|1/2((^^ + 3)) а—4 + 1).

В работе И. А. Агаева [20] приведен пример В.Ф. Гапошкина, показывающий, что замена условия равномерной ограниченности функций на ограниченность норм в р > 2, существенно меняет ситуацию в смысле числа функций в бр-подсистеме:

Теорема Б ([20], Теорема 5). Пусть р > 2, 5 > 0. Найдётся такое М(5,р) > 07 что для любого N > 1 существует О.Н.С. Ф = {фп(ж)}^ на [0,1]; удовлетворяющая следующим свойствам:

1- ||фп||р+* < М (5,р), п =1, 2,...,Х;

любая её 5Р(С) — подсистема содержит, не более [2с2 Nа] функций, где

25

а = а(5) =

р(р - 2 + 5).

В частности, в условии ограниченности норм в нельзя гарантировать наличие — подсистемы с числом элементов, растугцим при N ^ то. Что касается плотности — подсистем, то здесь условие ограниченности норм в можно заменить на

||фкIIЬр < 1, к = 1, 2,..., N, (0.11)

и результат Теоремы С сохранится (см. Замечание 2.8). Теорема 2.2 ниже является обобщением Теоремы С на случай, когда 5Л действует из пространства 12(Л) в (X), а на фупкции фк накладывается более слабое условие (0.11) при р > 4. При этом, как указано в [14], для пространства Орлича, порождённого функцией (0.8), нельзя ожидать, что случайная подсистема мощности N)в (в — сколь угодно большая постоянная) окажется ^а-лакунарной (то есть такой, что для любого а = {ак}|=1 Е ^^^^шнено || ^акфк ||^а < С||а||2), поэтому полученная в Теореме 2.2 оценка даже при больших р содержит растущий вместе с N множитель.

Рассмотрим оператор мажоранты частных сумм 5ф, который для {акЕ ^^^^^^^^ ^штношением: ({ак}|=1)(ж) = вир

1<М <

Хорошо известно (см. [15]), что свойство лакунарности позволяет улучшать оценки для нормы оператора В [2] Т. О. Балыкбаев показал, что при а > 4 для ^а-лакунарной системы оператор мажоранты частных сумм ограничен как оператор из ^ в (X) (а значит, и в Ь2(Х)). В [14] доказано, что при р > 4

м

XI акфк(ж) к=1

в любой ортогональной системе {фксо свойством 0.10 найдётся подсистема Фл из N/(log(N+3))Р функций, такая, что Ц5| : ¿то(Л) ^ Ь2(Х)Ц < С(р)^/|Л[.

Ф

оператора мажоранты частных сумм, действующего из ¿2(Л) в Ь2(Х), можно оценить лучше, чем гарантируется теоремой Меньшова Ридемихери (см. Теоре-

2

Третья глава посвящена решению поставленной в обзоре [5] задаче о точной дискретизации типа Марцинкевича с весами. Говорят, что Х^ С допускает точную теорему дискретизации типа Марцинкевича с весами с параметрами т и 2, если существует множество точек }т=1 С & и множество весов {А, }т=1 таких, что для любой функции / Е Х^ выполнено равенство

/I I V

/2 ф = £ А,- / 2(^). (0.12)

п ¿=1

Кратко это свойство обозначают так: Х^ Е (т, 2,0). В случае, если подпространство Х^ допускает равенство (0.12) с положительными весами, пишут Хж Е М+(т, 2, 0).

Известно, что Х^ Е ^(N + 1)/2, 2,0) (см. [5, Теорема 3.1]). Для подпространства Х^ С Ь2(П, д) определим

т(Хя:= шт{т : Е (т, 2, 0)}.

В работе [5] была сформулирована следующая гипотеза.

Гипотеза А ([5, Открытая проблема 3]). Пусть т = т(Х^, эд) и точки {^}т=1 С & и веса {А,}т=1 таковы, что для любого / Е Х^ вы,полнено равенство (0.12). Тогда, А, > 0 3 = 1,... ,т.

Теорема 3.1 ниже (см. также Теорему 3.2) показывает, что Гипотеза А невер-

3

Цель работы. Исследование задач об операторных нормах подматриц,

о выделении плотных подсистем со свойствами типа лакунарности в ортогональных системах, о точной дискретизации типа Марцинкевича с весами.

Положения, выносимые на защиту. Научная новизна. В диссертации автором самостоятельно получены следующие новые результаты.

1) Показано, что при естественных условиях на элементы матрицы её можно разбить по строкам на две подматрицы так, что норма образа каждого вектора при ограничении на координатные подпространства, соответствующие разбиению, с двух сторон ограничена величиной, близкой к экстремально малому возможному значению (Теорема 1.1, Замечание 1.1).

2) Даны достаточные условия на матрицу, обеспечивающие существование её разбиения на две подматрицы с экстремально малой нормой (Теорема 1.2, Теорема 1.3).

3) Построен пример матрицы с малыми элементами, такой, что при любом её разбиении на две подматрицы максимум из (1,q)—норм подматриц разбиения равен (1,q)—норме исходной матрицы (Теорема 1.4).

4) Доказано, что из конечной ортонормированной системы с условием ограниченности норм функций в Lq, 4 < q < то, можно выделить достаточно плотную подсистему со свойством типа лакунарности (Теорема 2.1, Теорема 2.2).

5) Для конечной ортонормированной системы с условием ограниченности норм функций в Lq, 4 < q < то, установлено существование подсистемы большого размера, норма оператора мажоранты частных сумм по которой оценивается лучше, чем гарантируется теоремой Меньшова Радемахера (Теорема 2.3).

6) Построен пример линейного пространства со следующим свойством: при минимальном числе узлов точной дискретизации в L2 типа Марцинкевича с весами необходим отрицательный вес (Теорема 3.1, Теорема 3.2).

Методы исследования. В работе используются различные методы теории функций, теории вероятностей и линейной алгебры, в частности, оценки энтропии, chaining метод Колмогорова, метод случайной выборки, усреднений,

а также оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций и функциональном анализе, в частности, в теории ортогональных рядов и в задачах дискретизации норм функций по значениям в точках, а также в численных методах.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре Лаборатории «Многомерная аппроксимация и дискретизация» (неоднократно), на Школе-конференции «Аппроксимация и анализ данных» (Нижний Новгород, 2019 г.), на семинаре «Геометрическая теория приближений» под руководством П. А. Бородина (Москва, 2019 г., 2020 г.), на Международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2020 г., 2022 г.), на Международной Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2021 г.), на Международной конференции «Аппроксимация и дискретизация» (онлайн, 2021 г.), на Воркшопе лаборатории «Многомерная аппроксимация и приложения» (Школа-конференция «Дискретизация и смежные вопросы», Подмосковье, 2021 г.), на Международной конференции «Жадные приближения и смежные вопросы» («Аппроксимация и дискретизация»), посвягцённой 70-летию со дня рождения академика РАН Б. С. Кашина (Москва, 2021 г.), на семинаре ИПУ РАН «Теория автоматического управления и оптимизации» под руководством Б. Т. Поляка (Москва, 2021 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора ([57], [58], [59]) в журналах из баз данных Web of Science и Scopus, а также представлены в тезисах нескольких международных конференций. Список этих работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав,

заключения и списка литературы из 61 наименований. Общий объем диссертации — 81 страница. Результаты, доказанные в диссертации, нумеруются двумя арабскими цифрами (первая цифра указывает на номер главы), а ранее известные используемые результаты — латинскими буквами.

Краткое содержание диссертации. Нумерация приводимых здесь результатов соответствует нумерации в основном тексте диссертации.

В первой главе диссертации изучаются задачи о возможности разбиения матрицы на две подматрицы с малыми нормами и с малой нормой образа каждого вектора.

Теорема 1.1. Пусть для N х п - матрицы А при некоторых 1 < д < ж и

0 < £ < (гк(А))-1/,? имеет место (0.7). Тогда, найдётся разложение вида (0.2) такое, что для любого х Е и к = 1, 2

„ , „ 1 2 + 3 • 2-1/? / . „. Я1 6д \1/3 ||А(ЗДх1|, < 7 11Ах11,, 7 = 2^ +-д-(гк(А)^•

Теорема 1.2. Пусть для N х n - матрицы А при некоторых 1 < q < то и 0 < £ < (rk(A))-1/q имеет место (0.7), X — пространсmeo Rn с некоторой нормой || • ||X Тогда, найдётся разложение вида (0.2) такое, что дляк = 1, 2

||A(^k)|(X,q) < Y ||A||(X,q) ,

где y определено в формулировке Теоремы 1.1.

Теорема 1.3. Пусть для N х n - матрицы А при некоторых 1 < q < том 0 < £ < 1 для любых i Е (N) и j Е (n) имеет место неравенство

|aj| < £ ||wj ||g , (0.13)

где aj — элемент матрицы А, стоящий в i-ой строке и j -ом столбце wj. Тогда, найдётся разложение вида (0.2) такое, что при к = 1, 2 а) ||А(П*)|(1,,) < (§ + §£q/3 ln1/3 (4n))1/q ||A|(i,,),

1/9

6) ||А(п*)У(1>д) < (1 + 2£9^(1 + 1ое(§ +1}}1/2) 9 ЦАЦ^,

*) 1|А(Пк)11(1,9) < (2 + п^9)1/9 ||А|(1,9).

Теорема 1.4. Для п = 22к-1; к Е N и Я > 1 найдётся 2к х п - матрица А, для которой имеет место (0.13) при, £91og2(2п) > 27 но для любого разложения вида (0.2) справедливо равенство

шах{||А(^}||(1,9) , |А(^2)|(1,9^ = 11А11(1,9) .

Во второй главе диссертации установлено существование достаточно плотных слабо лакунарных подсистем ортогональных систем и оценка нормы оператора мажоранты частных сумм для таких подсистем.

Теорема 2.1. Пусть а > 1/2 р > 0 Р > 4. Для произвольной ортогональной системы Ф = со свойством (0.11) с вероятностью большей 1 — С(р)Х-9 для случайного множества Л = Л(х); порождённого набором {^(¡х)}^ с Е<^ = 6 = (^(Х + 3)) Р7 1 < г < N, имеет место неравенство

||£л : W (Л) ^ Ьфа (X )|| < К (а, р,р)(1о^ + 3))в, в = шах { | — Р, 4}

(Л) — дискретное пространство Лоренца, единичный шар в котором является, выпуклой оболочкой, нормированных единицей в /2Л векторов, у которых ненулевые координаты равны по модулю).

Теорема 2.2. Пусть а > 3/2, р > 2, р > 4. Длл произвольной ортогональной системы Ф = {фк}^=1 со свойством, (0.11) с вероятностью большей 1 — С (р)Х—9 для случайного множ ества Л = Л(х); порождённого набором {^(¡х)}^ с Е<^ = 6 = (^(Х + 3)) Р7 1 < г < N имеет место неравенство

||5Л : /2(Л) ^ Ьфа (X )|| < К '(а, р,p)(1og(N + 3))в+1/2, в = шах 11 — Р, 1} .

Теорема 2.3. При р > 2 для любой ортогональной системы Ф = {фксо свойством (0.11) при, р > 4 найдётся Л С (Х)7 |Л| > N(1og(N + 3))—р7 такое,

что

3 Р

С(р, + 3))3-р+е, 2 < р < 3, £ > 0,

3*л : 12(Л) ^ Ь2(Х)|| < ' Р<

"С (р,р)(1о^ + 3))3/4, р> 3.

3

линейное пространство функций со следующим свойством: для точной дискретизации Ь2-нормы необходим отрицательный вес, при условии минимальности количества узлов.

Теорема 3.1. Существует двумерное подпространство Х2 с Ь2([-1,1])7 состоящее из кусочно постоянных функций, для которого выполнены следующие свойства:

а) т(Х2, эд) = 37

б) Х2 е М+(3, 2,0)

в) существуют £3 Е [—1,1] и Л1 < 0 Л2,Л3 > 0 такие, что для любой функции, / е Х2 выполнено равенство (0.12) с т = 3.

Теорема 3.2. Существует восьмимерное подпространство Х8 с Ь2([-1,1])7 обладающее следующими свойствами:

а) т(Х8, эд) = 9,

б) Х8 е М(9, 2,0)\М+(9, 2,0).

Благодарности. Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Б. С. Кашину за постановку задач, их обсуждение и постоянное внимание к работе. Также автор признателен семье за поддержку во время работы над диссертацией.

В диссертацию вошли результаты, полученные при работе в лаборатории «Многомерная аппроксимация и приложения» МГУ имени М.В. Ломоносова (проект № 14.W03.31.0031), при работе над проектом Российского научного фонда № 21-11-00131, выполняемым при МГУ имени М.В. Ломоносова, при работе в Московском центре мирового уровня Математического Института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Глава 1. Об оценках норм подматриц

В этой главе А — матрица размера N х п, N > 1, со строка ми у^, г = 1,..., N5 и столбцами ад^ ^ = 1,... , п, (N) = {1, 2,..., N}, для 0 С (N) А(0) — подматрица матрицы А, образованная строками у^ г Е 0; под разбиением (разложением) имеется в виду следующее представление:

(^ = 01 и 02, 01 П 02 = 0. (1.1)

Пусть 1 < р, я < то. Отметим, что для х Е Ах = ((у1,х),..., (у^ , х))*. Отсюда легко видеть, что для любого разбиения вида (1.1) помимо неравенства треугольника для нормы

||А(01)||(Р,9) + ||А(02)||(р,9) > |А|(р,9)

выполнено и более сильное неравенство

"ВДЦ,) + тон?«, >иАи'м.

Поэтому для любого разбиения вида (1.1)

:{||А(01)||(р,?), ||А(02)||(р,?)} > 2—1/9||А|(р,?). (1.2)

maxi

Пусть X — пространство Rn, наделённое некоторой нормой || • ||х- Норма

||A||(x,q) определяется аналогично (p,q) - норме. Отметим, что при q = то для

любой матрицы A не существует разбиения на две подматрицы с меньшими

(X, то) — нормами, поскольку в этом случае найдётся строка vsup матрицы A

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лимонова Ирина Викторовна, 2022 год

Список литературы

[1] Т. О. Балыкбаев, Об одном классе лакунарных ортонормированных систем // Доклады АН СССР, 286:6 (1986), 1289-1292.

[2] Т. О. Балыкбаев, Об одном классе лакунарных ортонормированных систем: дис. ... канд. фи'5. ми г. наук — МГУ, М., 1986.

//

матем. наук, 21:6(132) (1966), 3-82.

[4] Е. Д. Глускин, Экстремальные свойства ортогональных параллелепипедов

//

136(178):1(5) (1988), 85-96.

[5] Ф. Дай, А. Примак, В.Н. Темляков, С.Ю. Тихонов, Дискретизация инте-

//

3-58.

[6] С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов, М., Физматлит, 1958.

[7] Б. С. Кашин, О безусловной сходимости в пространстве Li, // Матем. сборник, 94(136):4(8) (1974), 540-550.

//

ГрузССР, 97:1 (1980), 29-32.

[9] Б. С. Кашин, О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов из пространства в // Изв. АН АрмССР Матем., 15:5, 1980, 379-394.

[10] Б. С. Кашин, О методе Лунина нахождения больших подматриц с малой //

[11] Б. С. Кашин, О разбиении ортогональной матрицы на две подматрицы с экстремально малой (2,1)-нормой // Успехи матем. наук, 72:2 (2017), 193-194.

[12] B.C. Кашин, И. В. Лимонова, О выборе плотной слаболакунарной подси-

//

74:5(449) (2019), 187-188.

[13] Б. С. Кашин, И. В. Лимонова, О разбиении матрицы на две подматрицы с

(2, 1) //

[14] B.C. Кашин, И. В. Лимонова, Слабо лику парные ортогональные системы

//

МИАН, 311 (2020), 164-182.

[15] Б. С. Кашин, A.A. Саакян, Ортогональные ряды, М., 2-е изд. дои. АФЦ, 1999.

[16] Б. Д. Косов, Замечания о дискретизации интегральных норм функций по значениям в точках, Теория приближений, функциональный анализ и

приложения, Сборник статей. К 70-летию академика Бориса Сергеевича //

[17] И. В. Лимонова, О разбиении матрицы на две подматрицы с меньшей

(2,1)—нормой // Успехи матем. паук, 71:4(430) (2016), 185—186.

//

//

(1989), 94-100.

//

(1985), 283-301.

[21] G. Aubrun, S. Szarek, Alice and Bob meet Banach // Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, 414 pp.

//

Sciences, Serie A (1933), 149-154.

//

SIAM Review, 56 (2014), 315-334.

[24] J. Bourgain, Bounded orthogonal systems and the A(p)-set problem // Acta Math., 162 (1989), 227-245.

[25] J. Bourgain, L. Tzafriri, Invertibility of "large" submatrices with applications

//

57:2 (1987), 137-224.

[26] J. Bourgain, L. Tzafriri, Restricted invertibility of matrices and applications //

Univ. Press Cambridge, 1989, 61-107.

//

die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 420 (1991), 1-44.

[28] M. Bownik, Continuous frames and the Kadison-Singer problem, Coherent

//

Cham, 2018.

[29] B. Gray, Homotopy theory, New York, San Francisco, London, Academic Press, 1975.

[30] O. Guédon, S. Mendelson, A. Pajor, N. Tomczak-Jaegermann, Subspaces

//

Positivity, 11:2 (2007), 269-283.

[31] N. J. Harvey and N. Olver, Pipage rounding, pessimistic estimators and matrix concentration // Proc. of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (2014), 926-945.

//

(1959), 384 400.

[33] B. Kashin, E. Kosov, I. Limonova, and V. Temlyakov, Sampling discretization

//

[34] B. Kashin and L. Tzafriri, Some remarks on the restrictions of operators to coordinate subspaces, Preprint no. 12, Hebrew Univ. of Jerusalem, Jerusalem 1993/94, 14 pp., www.mi.ras.ru/^kashin/download/preprint93.pdf.

[35] I. Limonova and V. Temlyakov, On sampling discretization in L2 // J. Math. Anal. Appl., 515:2 (2022), 126457.

[36] A. Marcus, D.A. Spielman, and N. Srivastava, Interlacing families II: Mixed

//

Math., 182:1 (2015), 327-350.

[37] N. Nagel, M. Schafer, T. Ullrich, A new upper bound for sampling numbers

//

//

Through Discrete Mathematics, Springer (2017), 657-691.

[39] S. Nitzan, A. Olevskii, and A. Ulanovskii, Exponential frames on unbounded

//

//

Mathematik, 135:4 (2017), 1207-1220.

//

93-124.

[42] M. Rudelson, Almost orthogonal submatrices of an orthogonal matrix// Israel J. Math., Ill (1999), 143-155.

[43] M. Rudelson, R. Vershynin, Sampling from large matrices: An approach

//

//

Mathematical Society, 54:1, (2017) 45-61.

[45] D.A. Spielman, N. Srivastava, An elementary proof of the restricted

//

//

functional analysis, vol 2050, Springer, Berlin, Heidelberg (2012), 393-412.

[47] N. Srivastava, Windows on theory: Discrepancy, graphs, and the Kadison-Singer problem, Asia Pac. Math. Newsl., 3 (2013) no.4, 15-20.

[48] N. Srivastava, Interlacing Families Open Problems, manuscript, https://math.berkeley.edu/^nikhil/courses/270/open.pdf (2015).

//

Acta Math., 175 (1995), 273-300.

[50] T. Tao, Topics in random matrix theory, Vol. 132, American Mathematical Soc., 2012.

[51] V. N. Temlyakov, On optimal recovery in L2 // J. Complexity, 101545 (2020).

[52] Joel A. Tropp, Column subset selection, matrix factorization, and eigenvalue

//

//

185-197.

[54] R. Vershynin, John's decompositions: selecting a large part // Israel J. Math., 122 (2001), 253-277.

//

Math., 278:1-3 (2004), 227-239.

//

Research Notices (2014), 6431-6447.

Работы автора по теме диссертации:

[57] И. В. Лимонова, О разбиении матрицы на две подматрицы с экстремально

//

[58] И. В. Лимонова, О точной дискретизации Ь2^нормы с отрицательным ве-

//

[59] И. В. Лимонова, О существовании плотных подсистем со свойством лаку-

//

Тезисы конференций:

[60] И. В. Лимонова, О дискретизации нормы в L2 // Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2021 г., стр. 186-187.

//

ные проблемы теории функций и их приложения, Материалы 21-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, 2022 г., стр. 175-177.