Промежуточные пространственно-неоднородные фазы в системах со сложным параметром порядка: Вихри, дислокации, домены тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Лукьянчук, Игорь Анатольевич

• Лукьянчук, Игорь Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лукьянчук, Игорь Анатольевич

Введение б

Системы с пространственно неоднородными фазами.

Фазовая диаграмма, разнообразие и сходство неоднородных фаз

Сверхпроводник в магнитном поле.

ТСВ-фаза в жидких кристаллах.

Несоизмеримые фазы в кристаллах

Базовые модели

Функционал Ландау.

Приближение доменных стенок.

Модели с фрустрациями.

• Точка Лифшица.

Вихри в сверхпроводниках

Цель, структура и основные результаты диссертации.

1 Вихревые состояния в сверхпроводниках с к ~ 1/ у/

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Промежуточные пространственно-неоднородные фазы в системах со сложным параметром порядка: Вихри, дислокации, домены»

1.2 Предыдущие результаты.37

1.2.1 Теория.37

1.2.2 Эксперимент.39

1.3 Функционал Г Л при к = 1 /л/2 и уравнения БЯР .41

1.4 Вихревые состояния при ас = 1 / л/2 .45

1.4.1 Предварительные замечания.45

1.4.2 Отдельный вихрь.46

1.4.3 Слабо перекрывающиеся вихри и разреженные вихре-. вые решетки .47

1.4.4 Пучок вихрей.47

1.4.5 Плотная вихревая решетка.48

1.4.6 Произвольные решетки (численное решение).49

1.4.7 Граница нормальный металл - сверхпроводник (N8) . 52

1.5 Теория возмущений .53

1.6 Вихревое состояние: энергия и критические поля.60

1.6.1 Плотная решетка и верхнее критическое поле.60

1.6.2 Разреженная решетка и нижнее критическое поле . 63

1.6.3 Энергия N8 границы.67

1.7 Взаимодействие вихрей .69

1.7.1 Постановка задачи.69

1.7.2 Взаимодействие двух вихрей.70

1.8 Фазовая диаграмма магнитное поле - температура.78

Вихри и вихревые решетки в сверхпроводниках с многокомпонентным параметром порядка 85

2.1 Введение.86

2.1.1 Нормальные и нетривиальные сверхпроводники.86

2.1.2 Теория Гинзбурга Ландау (ГЛ).89

2.1.3 Новые свойства многокомпонентных сверхпроводников . 95

2.1.4 Модель С, D = 0.98

2.2 Вихри в многокомпонентных сверхпроводниках .102

2.2.1 Особенности многокомпонентных вихрей.102

2.2.2 Вихри в комплексной фазе (/?2 >0) .105

2.2.3 Вихри в вещественной векторной фазе (/% < 0).118

2.3 Симметрия и структурные переходы в вихревых решетках . . .126

2.3.1 Поле НС2 и вихревая решетка в двухкомпонентной модели 126

2.3.2 Симметрийный подход: линейная задача .130

2.3.3 Структура и симметрия вихревой решетки.138

2.3.4 Структурные фазовые переходы в вихревой решетке . . 149

2.4 Заключение.156

Фаза TGBc - промежуточное состояние между холестериком и смектиком С в жидких кристаллах 158

3.1 Введение.159

3.2 Основные уравнения.164

3.2.1 Киральная модель Чена и Любенского (CL) .164

3.2.2 Переход холестерик - TGB .167

3.3 Результаты.170

3.3.1 Функция профиля и критическая температура.170

3.3.2 Случай сгц = 0.174

3.3.3 Случай «Гц 1.175

3.3.4 Устойчивость фазы TGBCt.179

3.3.5 Резюме.182

3.4 Обсуждение.183

3.4.1 Теория и эксперимент.183

3.4.2 Экспериментальная ситуация.185

3.5 Аналогия с пространственно - модулированной сверхпроводимостью .191

4 Новая несоизмеримая фаза удлиненных треугольников (ELT) в кварце 194

4.1 Введение:.195

4.2 Причины возникновеня фазы ELT.199

4.3 Макроскопические свойства фаз EQT и ELT .207

4.4 Фаза ELT как источник критической опалесценции.209

5 Несоизмеримые фазы в гексагональных плотно упакованных структурах: применение к соединениям А'А"ВХ4 213

5.1 Введение.214

5.2 Соизмеримые и несоизмеримые фазы в соединениях Л'А"ВХ4 . 217

5.3 Модель и результаты.220

5.4 Применение к соединениям Л'Л"ВХ4.231

5.5 Точка Лифшица в соединениях А'А"ВХ4.236

Заключение 246

Литература

249

Введение

Тематика диссертации

Фазовая диаграмма, разнообразие и сходство неоднородных фаз

Довольно часто переход между высокотемпературной фазой (в дальнейшем именуемой "Para") и низкотемпературной фазой (в дальнейшем именуемой "Ferro") не может произойти непрерывным образом по причине симметрий-ной или топологической несовместимости этих фаз. В этом случае фазовый переход осуществляется, как правило, первым родом со скачкообразным изменением параметров. Имеется, однако, ряд систем, в которых такой переход расщепляется на два перехода с образованием промежуточной пространственно неоднородной фазы (в дальнейшем именуемой "Inc"), как, например, решетка вихрей Абрикосова в сверхпроводниках, дислокации в жидких кристаллах или пространственно модулированные несоизмеримые фазы в кристаллах.

Схематическая фазовая диграмма на Рис. 1, на которой прямой переход Para-Ferro расщепляется на два с образованием фазы Inc в т.н. тройной точке Лифшица L, обобщает основные черты таких систем.

Хотя общие модели возникновения пространственно неоднородных фаз z Тс2

Para"

Inc1

Тс .

Ferro" Тс1 continuous

- discontinuous

Рис. 1: Фазовый переход из высокотемпературной фазы "Рага-"в низкотемпературную фазу 'Тегго-" может происходить как непосредственно, так и с образованием промежуточной простраственно-неоднородной фазы 1пс, характеризующейся модулированным параметром порядка и/или упорядоченным расположением дефектов: доменов, вихрей, дислокаций и.т.п. Фазовые переходы могут иметь как непрерывный, так и скачкообразный характер. Смена режима перехода с непрерывного на скачкообразный происходит в три-критической точке Т, а с непосредственного на переход через промежуточную фазу в т.н. тройной точке Лифшица Ь. Возможны также структурные переходы между промежуточными простраственно неоднородными фазами, обозначенными как 1пс1 и 1пс2. во многих системах достаточно хорошо известны, выяснение их структуры в каждом конкретном случае требует тщательной работы ввиду сложности уравнений и многообразия параметров их описывающих, особенно когда речь идет о структурах с иерархической организацией параметра порядка на шкале от нескольких нанометров до нескольких десятков микрон. Последние десятилетия характеризуются значительным прогрессом в создании новых материалов с заданными свойствами. Многообразие организации обнаруженных к настоящему времени термодинамически устойчивых неоднородных фаз превзошло самые смелые ожидания. Это, в частности, относится к различным фазам в жидких кристаллах и к вихревым состояниям в новых сверхпроводниках.

Вместе с тем, даже в хорошо изученных материалах, имеется много вопросов, решение которых в свое время не было получено. Отметим, например, вопрос об описании вихревого состояния сверхпроводника с пограничным значением к, ~ 1/\[2 или вопрос о природе сильнейшего рассеяния света в кварце при а-(3 переходе, который характеризуется возникновением несоизмеримой фазы.

Несмотря на различие в материалах, имеется важная особенность, объединяющая эти системы. Все они описываются сходными теоретическими методами и моделями. Такая аналогия является очень плодотворной для понимания организации этих фаз: возникновение дислокаций в жидких кристаллах подобно проникновению вихрей в сверхпроводники, и, в некоторм смысле, возникновению упорядоченной структуры доменных стенок в ряде кристаллов.

В настоящей диссертации мы, используя эту аналогию, рассмотрим пространственно неоднородные фазы в системах со сложным параметром порядка, которые либо были синтезированы и экспериментально исследованы недавно, либо, являясь традиционными, были недостаточно изучены с этой точки зрения.

Приведем несколько примеров рассматриваемых в диссертации систем.

Рис. 2: Наблюдаемая методом магнитиой декорации решетка сворхироводяхцих вихрей в плоских дисках ниобия с нограиичиым значением к, чуть большим чем 1/у/2, вблизи перехода НсЛ из вихревого в сверхпроводящее состояние [31]. Характерной особенностью является сосуществование Мейсперовских и вихревых областей, что свидетельствует о скачкообразной природе фазового перехода Дс1, причиной которой, как будет показано в Главе 1, является немонотонное взаимодействие вихрей, характерное для сверхпроводников с к близким к 1/\/2. При увеличении к взаимодействие становится отталкивающим, и переход Нс\ происходит непрерывно с непрерывным выходом вихрей из образца, как в сверхпроводнике II рода. При уменьшении к ниже 1) \[2 взаимодействие становится притягивающим, вихри слипаются и образуют домены нормального состояния (домены .Ландау), характерные для сверхпроводников I рода.

Сверхпроводник в магнитном поле

Переход из нормального в сверхпроводящее состояние требует вытеснения магнитного поля из сверхпроводника, которое происходит или скачком, как в сверхпроводнике первого рода с параметром Гинзбурга-Ландау к < 1/л/2 при критическом значении магнитного ноля Н, - или с образованием промежуточной вихревой структуры Абрикосова, как в сверхпроводнике второго рода с к. > 1 /л/2, которая существует между верхним - Нс2 и нижним - Нс\ критическими полями. Таким образом, фазовая диаграмма сверхпроводника в координатах к — Н сходна с диаграммой на Рис. 1, причем роль линий Тс, Тс 1 и Тс2 играют поля Нс, Нс\ и Нс2, фазой 1пс является решетка Абрикосова, а точка Лифшица расположена при а; = 1/-\/2, Н = Нс.

Хотя свойства сверхпроводников как первого, так и второго рода хорошо известны, детальное исследование их поведения в окрестности точки Лифшица проведено не было. Вместе с тем, экспериментальные свойства сверхпроводников с к, ~ 1/\/2 довольно необычны. Обнаружено, например, что в таких сверхпроводниках происходит показанная на Рис. 2 кластеризация вихревой решетки. В главе 1 мы развиваем новый теоретический подход для описания таких сверхпроводников в окрестности точки Лифшица и показываем, в частности, что многие их необычные свойства объясняются немонотонным взаимодействием вихрей.

В середине 80-х годов в т.н. соединениях с тяжелыми фермионами был открыт принципиально новый тип сверхпроводящего состояния, параметр порядка которого, в отличие от обычных сверхпроводников, является многокомпонентным. Хотя фазовая диаграмма таких сверхпроводников должна в общих чертах напоминать фазовую диаграмму обычных сверхпроводников, большее число степеней свободы параметра порядка должно приводить к большему разнообразию фазовых переходов. Представленное в Главе 2 исследование симметрии вихревого состояния в сверхпроводниках с многокомпонентным параметром порядка показывает что в таких сверхпроводниках возможны вихревые фазы разнообразной симметрии (соответствующие фаб)

В) флтт \

Ьяшсо ymmw

Рис. 3: Фазы в киральных жидких кристаллах: а) Холестерик, б) Смектик, с) фаза TGB (Twist, Grain Boundary) зам Incl и Inc2 на Рис. 1), а также структурные переходы между ними, сходные со структурными переходами в обычных кристаллах.

Фаза TGB в жидких кристаллах

Холестерик представляет собой жидкий кристалл, в котором удлиненные ки-ральные (т. е. не имеющие зеркальной плоскости симметрии) молекулы имеют одинаковую ориентацию, причем направление этой ориентации непрерывно поворачивается в пространстве, образуя длиннопериодическую спираль с шагом от нескольких микрон до нескольких десятков микрон (Рис. За). Переход в состояние смектика (Рис. 36) характеризуется появлением модуляции плотности молекул с манометрическим периодом. Поскольку спиральная закрутка направления оси молекул в фазе холестерика несовместима со смекти-ческой модуляцией плотности, такой переход происходит или со скачкообразной раскруткой спирали, или с образованием предсказанной [ 113j и открытой [115, 116] в конце 80-х годов TGB (Twist Grain Boundary) фазы, которая представляет собой периодическую структуру поворачивающихся блоков смекти-ка, соединенных между собой рядами винтовых дислокаций (Рис.Зв).

TGB фаза аналогична промежуточному вихревому состянию в сверхпроводниках, причем холестерическая закрутка направления осей молекул аналогична магнитному полю, а винтовые дислокации, в которых в TGB фазе сосредоточена эта закрутка, играют роль сверхпроводящих вихрей с заключенным в них магнитным полем. Как и в случае со сверхпроводимостью, имеется также критическая точка типа Лифшица, в которой прямой переход Холестерик - Смектик сменяется на переход через промежуточную TGB фазу. Существует несколько типов TGB состояния, что связано с различной структурой низкотемпернатурных смектических фаз. Различают фазу TGB^, состоящую из блоков Смектика А, в котором направление осей молекул совпадает с направлением модуляции плотности, и фазу TGB*?, состоящую из блоков Смектика С, в котором молекулы наклонены по отношению к направлению модуляции. Таким образом, фазовая диаграмма жидких кристаллов с TGB фазой аналогична диаграмме, представленной на Рис. 1, причем в области самой TGB фазы возможны структурные фазовые переходы.

Глава 3 посвящена исследованию деталей фазовой диаграммы жидких кристаллов с TGB фазой, структурных свойств различных модификаций этой фазы и фазовых переходов между ними.

Несоизмеримые фазы в кристаллах

Пространственно модулированные (в частном случае несоизмеримые) Inc фазы, обнаруженные вначале в магнитных системах, теперь хорошо известны

Рис. 4: Пространственно неоднородная фаза в кварце, существующая в интервале; ~ 1.4К при структурном фазовом переходе между высокотемпературной /5-фазой и низкотемпературной «-фазой. Фотография получена в центре электронной микроскопии в Тулузе при сильном температурном градиенте методом ТЕМ (Transmission electronic microscopy). Эта фаза представляет собой последовательность правильных треугольных доменов EQT (Equilateral triangles) параметра порядка а фазы. В окрестности перехода в «-фазу наблюдается зарождение повой фазы удлиненных треугольников ELT (Elongated triangles), которые уиорядочиваются при более слабом температурном градиенте. Исследованию свойств фазы ELT посвящена глава 4. Критические температуры Т(,2 и ТсЛ иногда также обозначаются как Тг (incommensurate) и Тс или 7} (lock-in). во многих других материалах. Это вещества с переменной модуляцией химического состава, атомные слои па подложках, структурные модуляции в кристаллах [136, 137, 138, 139].

Несоизмеримая фаза возиикет при некоторых структурных фазовых перс-ходах как состояние с пространственной модуляцией параметра порядка. Эта несоизмеримая с основным периодом решетки модуляция существует в не котором интервале температур, соответствующему интервалу ТС2~ТС\ на Рис. 1 и исчезает при т.н. lock-in температуре 7} = Тс1, проходя порой через ряд соизмеримо - модулировнных стуктур. Ниже lock-in температуры параметр порядка однороден. В ряде веществ при изменении внешних параметров (хим. состав, электрическое поле, давление) наблюдается уменьшение интервала ТС2~ТС1 и исчезновение Inc фазы при переходе через точку Лифшица.

Имеется две причины возникновения несоизмеримых фаз: либо симмет-рийно - обусловленное существование линейного по градиенту члена Лифшица в функционале Ландау, либо внутренние фрустрации во взаимодействии между структурными элементами кристалла. В ряде случаев несоизмеримую фазу можно представить как набор периодически чередующихся доменов низкотемпературной фазы.

Во всех этих системах модуляция может происходить либо в одном направлении (stripe- или 1 q фазы), либо сразу в нескольких направлениях (Multi-g фазы). В последнем случае симметрия родительской Para- фазы должна быть относительно высокой, чтобы допустить несколько эквивалентных направлений модуляции qi. Возможны также структурные переходу между несоизмеримыми фазами разной симметрии, обозначенные на фазовой диаграмме на Рис. 1 как Incl и 1пс2.

На Рис. 4 показана несоизмеримая фаза в кварце, которая реализуется между высокотемпературной ß фазой (Para) и низкотемпературной а фазой (Ferro). Хорошо заметен фазовый переход между двумя модификациями несоизмеримой фазы: фазой "равносторонних треугольников" - EQT и ра-зупорядоченной фазой "удлиненных треугольников" - ELT. Последняя фаза подробно исследуется в Главе 4. Показано, в частности, что при небольших температурных градиенетах эта фаза становится упорядоченной, термодинамически устойчивой, и ответственной за аномально сильное рассеяние света в кварце, обнаруженное еще в 50-е годы (т.н. "критическая опалесценция").

В главе 5 мы рассматриваем несоизмеримую фазу реализующуюся в ряде соединений со структурной формулой А'А"ВХ4 в области высоких температур и показываем, что фазовая диаграмма этих соединений (более двухсот экземпляров) может быть объяснена на основе модели Изинга на гпу решетке, которая содержит всего один материальный параметр - отношение решеточных постоянных. Несоизмеримая фаза, возникающая в этой модели, является следствием внутренне присущих фрустраций. Мы предсказываем существование точки Лифшица, подробно изучаем ее свойства, а также роль упругих степеней свободы в характере фазовых переходов. Исследуется также возможность фазовых переходов между различными модификациями несоизмеримой фазы, обозначенные на на Рис. 1 как 1пс1 и 1пс2.

Базовые модели

В этом разделе мы перечислим некоторые базовые модели, описывающие возникновение промежуточных пространственно неоднородных фаз. Этот обзор ни в коей мере не претендует на полноту, а служит отправной точкой для понимания мотивировки теоретических подходов к описанию модулированных фаз в конкретных веществах, предложенных в диссертации. Детальное рассмотрение вопроса можно найти, например, в книгах и обзорах

136, 137, 138, 139, 161, 162, 163, 197, 112, ИЗ, 114]. Функционал Ландау

В случае если переход в фазу Ferro происходит с образованием промежуточной модулированной фазы, можно предположить, что в соответствующием функционале Ландау возникает пространственно неоднородная неустойчивость "на конечном q" по отношению к состоянию с модулированным параметром порядка.

Такая неустойчивость может быть вызвана либо чисто симметрийными причинами, когда в функционале Ландау возникает линейный по пространственным градиентам инвариант Лифшица (несоизмеримая фаза типа I: модель Inc-I), либо определенными микроскопическими причинами (например, рассмотренными ниже внутренними фрустрациями), что моделируется отрицательно определенными квадратичными градиентными членами в функционале Ландау (несоизмеримая фаза типа II: модель Inc-II).

Рассмотрим случай Inc-II более подробно на модельном примере, когда кристалл имеют точечную симметрию D4, низко-температурная фаза Ferro описывется однокомпонентным параметром порядка 77, а модуляция параметра порядка в Inc фазе лежит в базисной плоскости ху. Функционал Ландау, в котором представлены наиболее существенные для нас члены, записывается в виде:

Т = А (Т - Тс) г)2 + BV4 - Кх (V<n)2 + К2 ({dlrif + (dlrf) + Cv2 (V77)2 (1) где А,В,С,К2 > 0.

В случае, если К\ > 0, функционал (1) описывает стандартный переход из фазы Para в фазу Ferro с однородным параметром порядка ?7, который происходит при температуре Тс.

Фаза Inc возникает в случае, если К\ < 0, когда функционал (1) становится неустойчивым "на конечном g" по отношению к формированию модулированной структуры, которая стабилизируется высшими по градиентам членами. Пространственно модулированная фаза параметра порядка записы-вется как линейная комбинация синусоидальных волн: j (г) = pi sin(qx + фг) + р2 sin(qy + ф2) (2)

Подставляя (2) в (1) и интегрируя (1) по объему кристалла, мы получаем эффективный функционал на амплитуды р\ и р2- Выбрав затем модулированную фазу с наибольшей критической температурой тс2 = тс + кЦак2, (3) соответствующую волновому вектору q2 = —K\j2K^ найдем окончательный вид функционала: т = à (Т - ад +1 • (В - с^-)(р\ + р\) + \{в - (4)

Минимумы этого двукомпонентного функционала хорошо известны. При В + СК1/6К2 > 0 реализуется 1 q "полосатая" или stripe фаза с т](г) ~ 0i) или г} (г) ~ sin (qy + ф2), а при В + CK1/QK2 < 0 - 2д-" решеточная" фаза с г}(г) ~ sin(g:r + фг) + sin(g?/ +

При дальнейшем понижении температуры происходит скачкообразный переход Inc-Ferro, критическую температуру которго Тс1 можно оценить, сравнив энергии обеих фаз. Мы не приводим соответствующее выражение ввиду его громоздскости.

Таким образом при смене знака градиентного члена, фазовый переход Para-Ferro расщепляется на два перехода Para-Inc и Inc-Ferro с образованием промежуточной несоизмеримой фазы Inc, как показано на Рис. 1. Точка Лифшица, в которой Тс расщеплятся на Тс2 и Тсi, определяется координатами: Tl = Тс, Kl = 0. Подробнее ее свойства будут описаны ниже. В зависимости от знака В 4- СК\/§К2 реализуется либо Inc фаза 1 q: либо 2q. Если комбинация В 4- СК1/6К2 меняет знак как функция внешнего параметра, то внутри Inc состояния возможен фазовый переход между фазами 1 q и 2q, соответствующий переходу Incl-Inc2 на Рис. 1.

Приближение доменных стенок

Это приближение, более характерное для несоизмеримых фаз Inc-I, применимо для описания перехода Inc-Ferro в случае, если профиль модулированного параметра порядка 77(г) имеет вид текстуры регулярно расположенных доменов, а вся неоднородность параметра порядка сосредоточена в самих стенках, толщина которых £ много меньше характерного размера доменов h. В самих доменах параметр порядка принимает равновесное значение ±77 фазы Ferro. Ключевым предположением является то, что энергия стенок по отношению к однородной фазе Ferro отрицательна и, таким образом, доменные стенки входят в образец, пока отталкивающее взаимодействие между ними не уравновесит получившуюся регулярную доменную структуру.

Рассмотрим модель взаимодействующих доменных стенок на примере приведенного в предедущем разделе кристалла с тетрагональной симметрией D4, котрая применялась для изучения несоизмеримых фаз в 2Н — TaSe2 и в адсорбированных на графите слоях редкоземельных моллекул [183]. Выделим в энергии текстуры доменных стенок три вклада: i) Энергия самих стенок, отрицательная выше температуры перехода 1пс-Ferro Тс 1 (обозначаемой также как 7} или Тс) и положительная ниже Тс\. Эта энергия на единицу длины стенки записывается как: е = А (Тсi — Т). ii) Энергия взаимодействия между параллельными стенками, уменьшающаяся как функция расстояния между стенками, например экспоненциальным образом: ~ ехр(— iii) Энергия узлов пересечения непараллельных стенок ~ Q (на один узел) Возможны два типа текстуры доменных стенок: a) Stripe, или lq- 11 полосатая"текстура параллельных между собой стенок. Ее энергия на единицу площади записывается в виде: iq= A{Tcl-T)/h+Be~h^/h. (5)

Расстояние между стенками и их энергию вблизи Тс\ находим, минимизируя (7) с логарифмической точностью [183, 136] по h:

1 ^ В А(Т-Тс1)

T2q = ---в— (6) b) 2q "квадратная"текстура, состящая из двух взаимно перпендикулярных наборов параллельных стенок. В отличие от stripe текстуры, в выражение для энергии входит также энергия узлов пересечения между стенками: 2A (Tci - Т) /h + Q/h2 + 2Be~h^/h. (7)

Вблизи ТсЬ расстояние между стенками становится достаточно большим и последним членом в (7) можно принебречь. Минимизируя по h, получаем: h Q т А\тс1 - г)2 А(Т — Tci)' Q (8)

Вблизи Tci отрицательная энергия фазы lg обращается в ноль медленее, чем энергия фазы 2д, и, таким образом, в окрестности Тс\ фаза 1 q является более выгодной. Если при более высокой температуре фаза 2q более устойчива (например, является минимумом функционала Ландау вблизи Тс2), то при приближении к температуре Тс\ в доменной структуре произойдет структурный переход 2q-lq, соответствующий переходу Incl — Inc2 на Рис. 1.

В Главе 4 мы применим приближение доменных стенок для описания структурных фазовых переходов в кварце.

Модели с фрустрациями

Одной из основных причин возникновения пространственно модулированных несоизмеримых фаз является внутренние фрустрации во взаимодействии между структурными элементами кристалла: магнитными или дипольными моментами, ориентациями или положениями отдельных атомов или атомных групп и.т.п.

Базовой моделью для таких систем является одномерная ANNNI (axial next-nearest-neighbor Ising) модель, в которой модуляция параметра порядка вызвана конкуренцией взаимодействий между ближайшими (NN) и следующими за ближайшими (NNN) структурными элементами, представленными бинарными Изинговскими спинами [160, 161, 162].

32 (АРМ]

4*—^—Н и! (АРМ) и! (АРМ)

1+2

Рис. 5: Фрустрация, возникающая в модели в случае, если взаимодействие между соседними спинами ^ и взаимодействие между следующими за соседними спинами J2 имеют антиферромагнитный (АРМ) характер. Спин г + 2, взаимодействуя со спином г посредством стремится иметь направление "вверх", и, в то же время, взаимодействуя со спином г + 1 посредством Jl, - направление "вниз"

Спиновый гамильтониан такой системы записывается в виде: г где взаимодействие между ближайшими соседями «Д = Ji,i± 1 имеет ферромагнитный (положительный) знак или антиферромагнитный (отрицательный) знак, взаимодействие между следующими за ближайшими соседями Л — ¿{¿±2 антиферромагнитно (отрицательно), а все остальные константы взаимодействия Jij равны нулю.

Как показано на Рис. 5, имеется проблема с нахождением основного состояния спиновой системы при таком выборе параметров взаимодействия. Точные вычисления, описанные в [160, 161, 162], приводят к очень богатой фазовой диаграмме модулированных соизмеримых и несоизмеримых фаз, когда вектор модуляции средней амплитуды спина сг^ =< > варьируется между рациональными и иррациональными кратными от периода решетки: явление известное как "лестница дьявола". Такая фазовая диаграмма вычисляется описанными в [160, 161, 162] методами статистической физики. В среднеполевом приближении, диагонализация гамильтониана (9) сводится к минимизации свободной энергии:

F = U-TS=^Y, Jij^j^l^Yl^1 + ln(X + + f1 - ln(l ij i

10) по отношению к переменным ai. Разлагая a i по плоским волнам и рассматривая в качестве первого приближения только гармонику <Т{ = aq cos(qr + ф), мы сводим задачу о нахождении основного состояния системы к минимизации получившегося функционала по двум вариационным переменным: aq и q. Разложение такого функционала по степеням aq вблизи перехода в модулированную фазу является микроскопическим обоснованием подхода Ландау для несоизмеримых фаз типа II. В Главе 5 мы приводим вычисления подобного рода для фрустрированной модели Изинга на гпу решетке, для объяснения возникновения несоизмеримых структур в соединениях А!А'ВХ±.

Отметим, что достоинствами вышеприведенного подхода являются возможность рассмотрения системы во всем интервале температур, четкий физический смысл причины возникновения несоизмеримой фазы и небольшое число материальных параметров. К недостаткам следует отнести сложность вычислений и микроскопическую модельность

Точка Лифшица

Точкой Лифшица называется точка пересечения трех линий фазовых переходов, причем одна из фаз (Inc) является несоизмеримой, а две другие (Para и Ferro) - однородными, как показано на Рис. 1. В более узком смысле, термин точка Лифшица" применяется, когда фазовые переходы Para-Ferro и Рага-Inc - происходят вторым родом, a Inc-Ferro - первым родом, [84, 198, 194] как это имеет место в модели Inc-II. Мы будем обозначать такой случай как Ilcllc2lci, где римская цифра означает характер перехода (скачкообразный или непрерывный), а индекс указывает тип перехода: с для Para-Ferro, с2 для Para-Inc и cl для Inc-Ferro. Тогда, напрмер, тройная точка в модели Inc-I, в которой переход Inc-Ferro является непрерывным (поскольку в этой модели работает приближение доменных стенок [137]), является точкой типа

IIJWIci.

Для простоты рассмотрим взаимодействие однокомпонентного параметра порядка г] с объемной компонентой тензора деформации и — иц. Функционал Ландау, который описывает формирование Inc фазы и учитывает взаимодействие с и имеет вид:

F = l-a{T - Tc)r¡-2 + |бг74 + |/776 + K(Vrj)2 + L(V2rj)2 + l-Cu2 + 7rj\ (11) где первые три члена с а, 6, / > 0 соответствуют стандартному функционалу Ландау, член 7^2и соответствует взаимодействию параметра порядка с упругим напряжением, а член \Си2 представляет упругую энергию кристалла.

В зависимости от знака коэффициента К, переход из Para- фазы может происходить либо в однородную фазу Ferro, либо в несоизмеримую фазу Inc. i) К > 0. Происходит прямой переход в фазу Ferro с однородным параметром порядка щ. Минимизация (11) по и дает деформацию кристалла: и = —(7/С)т]2. При обратной подстановке этой деформации в (11) получаем эффективный функционал Ландау с исключенными упругими степенями свободы:

F = \а(Т - Tc)i]q + - + (12) где к = 72/С6 - безразмерный параметр, характеризующий взаимодействие с упругостью. Таким образом, взаимодействие с упругими степенями свободы перенормирует четвертой член в функционале. При слабом взаимодействии (к < четверной член положителен, и переход Para-Ferro остается непрерывным с той же критической температурой Тс. При сильном взаимодействии (к > четвертной член отрицателен, и происходит скачкообразный переход первого рода с критической температурой

4 а/ 2

И) К<0. Функционал Ландау неустойчив по отношению к образованию модулированной фазы, и Para-Ferro преход происходит через промежуточную фазу Inc. Подставим модулированный параметр порядка г) — щ cos qr в функционал (11) и проинтегрируем по периоду 2n/q. Минимизируя полученное выражение по g, находим что переход Para-Inc осуществляется в несоизмеримую фазу с вектором модуляции q2 = —K/2L. Деформация кристалла при этом равна и — — {,у/2С)г}2 . Исключая переменные q и и, получаем эффективный функционал:

F = ]а{Т - Tc2Wq + - K)v* + А/^ (14) где

1К2

Как и в случае (1), переход Рага-1пс может быть второго или первого рода, в зависимости от знака четверного члена, который определяется величиной параметра к. При к; < | переход происходит непрерывно при критической температуре Тс2. При к > | имеет место переход первого рода при критической температуре л-!* Г-Г~, 3 Ъ / 3 ч О — 1 }3^.3 чО ✓ Ч + 15^4 " = + + 10а- к) • (16)

Таким образом, в модели 1пс-П с учетом упругого взаимодействия возможны следующие типы точек Лифшица: a) Точка Лифшица типа ПСПС21С1 имеет место для слабого упругого взаимодействия при к, < Ее положение в координатах (Т,К) находится из уравнения Тс = Тс2:

Ть = Тс, Кь = 0. (17) b) Точка Лифшица типа 1с11с21с1 имеет место при промежуточном параметре о "I взаимодействия ^ > к > т> • Ее положение определяется из уравнения Т* = т, = т;, (18) c) Точка Лифшица типа имеет место в случае сильного упругого взап имодействия при к > т. Ее положение определяется из уравнения Т* = Т*\

ЬЪ*\112( зд ч2 3,3 чл1/2 ть = ткь = -' х 1 ' 42 / ч2 ^

V (й -- 5(4 - ^; • (19)

Вблизи точки Лифшица вектор модуляции фазы 1пс равен: д2 = ~Кь/2Ь. Он стремится к нулю в случае а) и остается конечным в случаях Ь) и с).

Мы применим рассмотренную модель в Главе 5 для изучения точки Лифшица в соединениях А'А"ВX4.

Вихри в сверхпроводниках

Выталкивание магнитного поля из образца - эффект Мейснера - является одним из фундаментальных свойств сверхпроводников. В зависимости от материала, эффект Мейснера может быть либо полным, как в сверхпроводниках I рода, либо частичным, как в сверхпроводниках II рода. В последнем случае магнитное поле проникает в материал в виде вихревых линий, каждая из которых содержит единицу магнитного потока фо — Ьс/2\е\ = 2.07-107(7-ст2.

Дадим краткий обзор магнитных свойств однокомпонентных сверхпроводников II рода, описываемых уравнениями ГЛ:

- скФ + 2/3|Ф|2Ф - ХДДФ = 0 , (20)

47г 2Р ЯР2К х(7хА)) = Ч, а = тг к (Ф^Ф - ФVФ*) - |Ф|2А . с ггг

Согласно классическим результатам Абрикосова [29], в магнитных полях, меньших чем нижнее критическое поле Нс\, циркулирующие поверхностные токи экранируют внешнее поле, и магнитный поток не проникает внутрь образца. Однородный параметр порядка имеет амплитуду |Фо|2 = а/2(3. Выигрыш энергии сверхпроводящего состояния Р3 по отношению к нормальному состоянию .Рп определяется термодинамическим критическим полем Нс\ ^ - ^ = Н2С/8тг.

При Н > НС1 магнитный поток проникает внутрь образца в виде квантованных вихрей. Отдельный вихрь имеет аксиально-симметрическую структуру:

Ф(г) = Ф(г) ехр(-г0) , Ь(г) = Цг) г , (21) и несет один квант магнитного потока [72, 32]. Амплитуда Ф(г) стремится к нулю в центре вихря и восстанавливается до равновесного значения Фо на размере кора вихря, величина которого порядка длины когерентности к\1/2

-) . (22)

Магнитное поле максимально в центре вихря и стремится к нулю из-за экранирующего влияния циркулярных сверхпроводящих токов на расстяниях, превышающих Лондоновскую глубину проникновения:

Отношение глубины проникновения к длине когерентности дает безразмерный параметр Гинзбурга-Ландау к, величиной которого определяется тип сверхпроводника. В сверхпроводниках II рода к > 1/у/2 а в сверхпроводниках I рода к, < 1/у/2.

В сверхпроводниках II рода с к 1 циркулирующие в области ^Сг С А сверхпроводящие токи = сфо/(8тг

2А V) вносят главный логарифмический вклад в энергию вихря, которая на единицу длины записывается как:

24) где численный фактор б « 0.08 обусловлен энергией кора вихря. Нижнее критическое поле определяется выражением:

25)

Вблизи НсI вихри расположены далеко друг от друга, но расстояние между ними уменьшается с ростом поля. Когда межвихревое расстояние сравнивается с длиной когерентности сверхпроводимость разрушается. При этом амплитуда параметра порядка стремится к нулю, а поле становится однородным. Чтобы вычислить верхнее критическое поле разрушения сверхпроводимости Нс2, нужно рассмотреть линеаризованное уравнение ГЛ: аЯ> =-К -г^А^ Ф, (26) которое формально совпадает с уравнением Шредингера для электрона в магнитном поле. Это уравнение, как известно, имеет дискретный набор уровней Ландау. Используя аналогию с квантованием Ландау, мы получаем набор собственных критических полей: и = Кса = 1 (о7\ п 2\е\К(2п +1) 2 тг,£2 2п + 1 ' К }

Верхнее критическое поле соответствует наибольшему Нп и, таким образом, наинизшему уровню Ландау с п = 0: = 4- <*)

Абрикосовым было показано, что между Нс\ и Нс2 вихри образуют регулярную треугольную решетку [29] .

Цель, структура и основные результаты диссертации

Целью диссертации является развитие теоретических методов исследования промежуточных пространственно неоднородных фаз в таких системах как: вихревые состояния в сверхпроводниках 1 /л/2, и в сверхпроводниках с многокомпонентным параметром порядка, фаза ТСВс, возникающая при переходе Холестерик - Смектик С в жидких кристаллах, несоизмеримые фазы в кварце и в соединениях А'А"ВХ4. Особое внимание при этом уделяется связи полученных результатов с экспериментом. Мы выясняем роль открытой нами несоизмеримой фазы "удлиненных треугольников "с аномальным рассеянием света в кварце, а также вычисляем параметры всех исследованных неоднородных фаз "с точностью до числа", допускающего экспериментальную проверку.

Перечислим основные результаты диссертации

В главе 1 предложен эффективный метод расчета вихревого состояния в сверхпроводниках с к, ~ 1/\/2, которые являются промежуточными между сверхпроводниками первого и второго рода. Этот метод основан на применении теории возмущения к сильно вырожденному по положению вихрей состоянию, которое существует при к = 1/у/2у и впервые было найденно Е. Богомольным. Пользуясь предложенным методом, мы вычислили основные характеристики сверхпроводника с к, ~ 1 /л/2: критические поля, энергию раздела между нормальной и сверхпроводящей фазами, эволюцию фазовой диаграммы "магнитное поле - температура" как функцию к. Часть из перечисленных параметров была вычеслена впервые, а часть вычислялась ранее, но более громоздским способом. Необычным результатом является то, что взаимодействие между вихрями вблизи к ~ 1 / л/2 имеет немонотонный характер, что объясняет наблюдавшуюся в некоторых веществах скачкообразность перехода при Нс\. Результаты получены в приближении Гинзбурга и Ландау и распространены в область низких температур. Наш метод является дополнительным к расчетам А. Абрикосова при к 1/\/2 и более релевантен для исследования сверхпроводников с к ~ 1 /у/2.

В главе 2 построена теория вихрей и вихревых решеток в сверхпроводниках с многокомпонентным параметром порядка. Имевшиеся ранее результаты расчета структуры и структурной перестройки коров многокомпонентных вихрей обобщены и дополнены на значительный диапазон значений феноменологических констант функционала Гинзбурга Ландау, и с учетом магнитной экранировки. Показано, что вихри в многокомпонентных сверхпроводниках обладают двухкоровой (мягкой и жесткой) структурой и вычислена энергия этих вихрей как функция феноменологических параметров модели. На основании теоретико-группового анализа приведена симметрийная классификация решений лианеризованных многокомпонентных уравнений Гинзбурга Ландау, определяющих поле Нс2- Впервые построена теория симметрии вихревых решеток в обычных и многокомпонентных сверхпроводниках. Показано, что геометрические операции симметрии преобразования вихревых решеток сопряжены с домножением на калибровочные факторы группы и( 1), значения которых классифицируют вихревые решетки. Перечислены все возможные группы симметрии решеток и показано, что они однозначно определены симметрийными свойствами решений лианеризованных уравнений Гинзбурга-Ландау вблизи Нс2. Предсказаны и исследованы структурные фазовые переходы в вихревых решетках. Показано, что такие переходы могут быть вызваны существованием двух близких по полю собственных решений лианеризованных уравнений Гинзбурга-Ландау вблизи Нс2- Развит симмет-рийный подход Ландау для описания структурных переходов в вихревых решетках.

В главе 3 подробно исследован фазовый переход Холестерик - фаза ТОВс в киральных жидких кристаллах. Вычислены все структурные экспериментально измеримые характеристики фазы ТОВс вблизи этого перехода: размеры блоков, расстояния между соединяющими блоки дислокациями, функции профилей блоков которые определяют профили брэговских пиков. Показано, что найденные теоретические параметры хорошо согласуются с экспериментом. Построена количественная теория фазовой диаграммы сосуществования фаз Холестерик, TGBa, TGBc- Предсказано существование принципиально новой фазы TGB2qi блоки которой образуются суперпозицией смектических блоков с разным наклоном слоев. Эта фаза существует в узком температурном интервале между фазами Холестерик и TGBc■ Показано, что TGBc фаза является формальным аналогом сверхпроводника Фульде-Феррела-Ларкина-Овчинникова с пространственно модулированным параметром порядка в магнитном поле.

В главе 4 открыта новая несоизмеримая фаза "удлиненных треугольников" (ELT), возникающая при структурном ct-ß переходе в кварце. Эта фаза существует в узком температурном интервале 0.1К между низкотемпературной о;-фазой и хорошо известной несоизмеримой фазой "равносторонних треугольников" (EQT). На основании модели взаимодействующих доменных стенок построена теория образования этой фазы и показано, что эта фаза должна с необходимостью возникать при переходе в а-фазу. Необычным свойством фазы ELT является то, она представляет собой одноосный сегне-тоэлектрик и сегнетоэластик. Предложено, что сегнетоэластические макроблоки этой фазы ответственны за аномальную "критическую опалесценцию" в кварце, открытую экспериментально в 50-гг. Приведенная количественная оценка сегнетоупругих деформаций подтверждает эту гипотезу.

В главе 5 в приближении среднего поля изучена фазовая диаграмма решений модели Изинга, в которой спины расположены в узлах гексагональной плотно упакованной решетки. Фрустрации, возникающие в этой модели приводят к большому разнообразию возможных фаз, включая несоизмеримые фазы. Эта модель применена для объяснения ряда высокотемпературных фазовых переходов в соединениях А'А"ВХ4, в которых тетраэдры ВХ4 расположены в узлах гпу решетки, а их вертикальные ориентации описываются бинарными Изинговскими спинами. Предложенная модель позволяет расклассифицировать все структурные фазы в соединениях А!А!'ВХ^, включая несоизмеримые фазы в молибдатах и вольфранатах, как функцию решеточного параметра с/а. Предсказана и исследована имеющая место в этих соединениях точка Лифшица. Показано, что взаимодействия Изинговских переменных с упругостью кристалла приводит к изменению характера входящих в точку Лифшица линий переходов с непрерывного на скачкообразный.

Перечисленные результаты имеют общефизическое значение, а развитые теоретические методы могут быть использованы для исследования других систем. Так, предложенная в работе теория сверхпроводника с к ~ 1 /л/2 может быть применена для исследования ТСВ фазы в жидких кристаллах, а теория несоизмеримых фаз в А'А"ВХ4 кристаллах может применяться для описания аналогичных магнитных систем.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Лукьянчук, Игорь Анатольевич

Заключение: Выводы и перспективы

1. Предложенная теория сверхпроводников с к. ~ 1/\/2 позволила довольно просто вычислить основные характеристики таких сверхпроводников в магнитном поле. Особо интересным результатом является возможность немонотонного взаимодействия вихрей, что, по всей видимости, объясняет наблюдавшуюся в 70-е годы фрагментацию магнитного потока и сегрегацию вихревых линий. Наш подход может применяться для вычисления динамических характеристик вихревого состояния в сверхпроводниках с к ~ 1/л/2, флуктуационных эффектов, а также условий проникновения вихрей в образцы конечного размера с учетом влияния размагничивающего фактора.

2. Важным результатом нашего исследования сверхпроводников с многокомпонентным параметром порядка является возможность структурных фазовых переходов, как в отдельных вихрях, так и в вихревых решетках. Это предсказание дает ключ к поиску и интерпретации фазовых переходов в вихревом состоянии сверхпроводников с тяжелыми фермио-нами, в которых, по всей видимости, осуществляется анизотропное спаривание. Более того, перестройка симметрии вихревых решеток может также наблюдаться и в обычных сверхпроводниках, например, в случае многозонного спаривания.

3. Полученные структурные характеристики TGB фаз и их сравнение с экспериментом устанавливают надежный базис для дальнейшего исследования жидких кристаллов, демонстрирующих эти фазы, и дают возможность выяснения рамок применимости подхода Гинзбурга-Ландау-Чена-Любенского, роли тепловых флуктуаций и открытия еще более экзотических фаз. Пользуясь аналогией со сверхпроводимостью, заметим, что предложенный в рамках настоящей диссертации метод исследования сверхпроводников с к ~ 1/\/2 является весьма уместным и для исследования фаз TGB, также характеризующихся малым параметром Гинзбурга - Ландау к.

4. Открытие несоизмеримой ELT фазы в кварце дает, по всей видимости, ответ на более чем 50-летнюю загадку "критической опалесценции" - самого сильного из известных в Природе рассеяния света в кристаллах. Необходимы, однако, прямые эксперименты, окончательно подтверждающие нашу гипотезу

5. Важным обстоятельством объясненной нами высокотемпературной несоизмеримой фазы в соединениях А'А"ВХ4 является то, что вектор модуляции может быть направлен в одном из нескольких симметрийно-эквивалентных направлений. Это довольно редкий случай, если в особенности учесть тот факт, что эти соединения демонстрируют необычную тройную точку Лифшица, где все входящие линии - линии переходов первого рода. Наш подход дает возможность систематического изучения этой точки и роли упругих степеней свободы в формирование несоизмеримой фазы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лукьянчук, Игорь Анатольевич, 2003 год

1. 1. A. Luk'yanchuk and M. E. Zhitomirsky , Magnetic properties of unconventional superconductors, Superconductivity review 1, 207 (1995) cond-mat - 0501091]

2. И. А. Лукьянчук, В. П. Минеев, Диамагнитный предел сверхпроводимости с триплетным спариванием, Письма в ЖЭТФ 44, 183 (1986)

3. И. А. Лукьянчук , В. П. Минеев , Верхнее критическое поле в сверхпроводниках с р-спариванием, ЖЭТФ 93, 2045 (1987)

4. И. А. Лукьянчук , В. П. Минеев , О сверхпроводящих фазах в UBel3 и U(l-x)ThxBel3 , Письма в ЖЭТФ 47, 460 (1988)

5. И. А. Лукьянчук , В. П. Минеев , Структура сверхпроводящих фаз в UBel3 и U(l-x)ThxBel3 , ЖЭТФ 95, 709 (1989)

6. I.A.Luk'yanchuk, Superconducting kernel symmetry for an anisotropic superconductivity near Hc2 and phase transitions in UPt3, J. de Physique. I, France 1, 1155 (1991)

7. I.A.Luk'yanchuk and M. E. Zhitomirsky, Superconducting mixed state symmetry for an anisotropic pairing near Hc2 and phase transitions in UPt3, Physica C185-189, 2629 (1991)

8. M. E. Житомирский , И. A. Лукьянчук , Фазовые переходы с изменением симметрии смешанного состояния в сверхпроводниках с анизотропным спариванием , ЖЭТФ 101, 1954 (1992)

9. I. A.Luk'yanchuk and M. E. Zhitomirsky, Symmetry of the mixed state of superconductors with anisotropic pairing,, Physica C206, 373 (1993)

10. M. E. Житомирский , И. А. Лукьянчук , Модель изотропного d-спаривания в UPt3, Письма в ЖЭТФ 58, 127 (1993)

11. I. Luk'yanchuk, M. Sigrist and M. Zhitomirsky , Comment on "Ginzburg-Landau theory of the phase diagram of superconducting UPt3 ", Phys. Rev. Lett. 71, 1957 (1993)

12. M.E.Zhitomirsky and I.Luk'yanchuk, Phase transitions in the mixed state of superconductors with anisotropic pairing, Physica B194-196, 1971 (1993)

13. I.Luk'yanchuk and M.Zhitomirsky, Isotropic d-wave pairing in UPtS, Physica C235-240, 2447 (1994)

14. P. Saint-Gregoire, I. Luk'yanchuk, E. Snoeck, C. Roucau and V. Janovec, A novel type of incommensutate phase in quartz: the elongated-triangle phase, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 64, 376 (1996) cond-mat 9511002]

15. P. Saint-Gregoire, I. Luk'yanchuk, Domain textures of multi-q modulated phases; example of quartz, Ferroelectrics 191, 267 (1997)

16. P. Saint-Gregoire, I. Luk'yanchuk, Comment on "Inhomogeneities and birefringence in quartzJ. Phys. Condens. Matter 11, 8169 (1999)

17. I. Luk'yanchuk, Phase transition between the cholesteric and twist grain boundary С phases, Phys. Rev. E64, 574 (1998) cond-mat 9711024]

18. I. Luk'yanchuk, TGBc phase in liquid crystals the analog of vortex state in space modulated superconductors, Czech. J. of Phys. 46, 1835 (1996)

19. I. Luk'yanchuk, Comment on "Minimal Surfaces, Screw Dislocations, and Twist Grain Boundaries", cond-mat 9910350]

20. I. Luk'yanchuk, A. Jorio and M.Pimenta, Basal-plane incommensurate phases in hep structures, Phys. Rev. B57, 5086 (1998) cond-mat -9711174]

21. I. Luk'yanchuk, A. Jorio, P. Saint-Gregoire , Thermodynamics of the incommensurate state in Rb2W04: on the Lifshitz point in A2BX^compounds, Phys. Rev. B61, 3147 (2000) cond-mat 9202138]

22. P. Saint-Gregoire, I. Luk'yanchuk, Stress induced change of the Lifhsitz Point Type in A2BX4 compounds, J. Phys. Condens. Matter 14, 7487 (2002)

23. I. Luk'yanchuk, Theory of superconductor with kappa close to l/sqrt(2) , Phys. Rev. B63, 174504 (2001) cond-mat 0009030]

24. F. Mohamed, M. Troyer, G. Blatter and I. Luk'yanchuk , Intercation of vortices in superconductor with kappa close to l/sqrt(2) , Phys. Rev. B65, 224504 (2002) cond-mat 0201499]

25. E. Б. Богомольный, Ядерная Физика 24, 861 (1976); E. Б. Богомольный, Ядерная Физика 23, 1111 (1976)

26. L. Jacobs and C. Rebbi, Phys. Rev. B19, 4486 (1979)

27. E. Akkermans and K. Mallick cond-mat/0001219 (2000); E. Akkermans, D. M. Gangardt and K. Mallick cond-mat/0005542 (2000)

28. A. V. Efanov, Phys. Rev. B56, 7839 (1997)

29. А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32, 1442 (1957)

30. R. P. Hiibener, Magnetic Flux Structures in Superconductors, Springer (1979)

31. E. H. Brandt and U. Essmann, Phys. Stat. Sol. (b) 144, 13 (1987)

32. D. Saint-James, G. Sarma and E. J. Thomas, Type II superconductivity, Pergamon (1969)

33. K. Maki, Physics, 1, 21 (1964); 1, 127 (1964)

34. Caroli C., Cyrot M. and De Gennes P. G., Sol. State. Comm. 4, 17 (1966)

35. K. Maki and T. Tsuzuki, Phys. Rev. A139, 868 (1965)

36. G. Eilenberger, Phys. Rev. 153, 584 (1967)

37. L. Tewordt, Z. Physik, 180, 385 (1964)

38. L. Tewordt, Phys. Rev. 135, A1745 (1965)

39. L. Neumann and L. Tewordt, Z. Physik 189, 55 (1966)

40. L. Tewordt, Z. Physik, 184, 319 (1965)

41. A. E. Jacobs, Phys. Rev. B4, 3016 (1971); B4, 3022 (1971); B4, 3029 (1971)

42. A. Hubert, Phys. Stat. Sol. (b) 53, 147 (1972)

43. S. Großmann and Ch. Wissel, Z. Physik 252, 74 (1972)

44. E. H. Brandt, Phys. Stat. Sol. (b) 77, 105 (1976)

45. Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ 115, 726 (1999)

46. Т. McConville and B. Serin, Phys. Rev. A140, 1169 (1965)

47. T. McConville and B. Serin, Rev. Mod. Phys. 36, 112(1964)

48. J. Schelten, H. Ullmaier and W. Schmatz, Phys. Stat. Sol. (b) 48, 619 (1971)

49. H. W. Weber, J. Schelten and G. Lippmann, Phys. Stat.Sol. (b) 57, 515 (1973)

50. J. Auer and H. Ullmaier, Phys. Rev. B7, 136 (1973)

51. T. Kinsel, E. A. Lynton and S. Serin, Rev. Mod. Phys. 36, 105 (1964)

52. U. Krägeloh, Phys. Stat. Sol. 42, 559 (1970)

53. H. Träuble and U. Essmann, Phys. Stat. Sol. 20, 95 (1967)

54. N. V. Sarma, Phil. Mag. 18, 171 (1968)

55. Partial Differential Equation Toolbox Users Guide, The MathWorks, Inc.(1996)

56. A. T. Dorsey, Ann. Phys. N. Y. 233, 248 (1993)

57. L. Kramer, Phys. Rev. B3, 3821 (1971)

58. W. Bangerh, R. Hartmann and G. Kanschat, Deal II Differential Equations Analysis Library, Technical Reference, IWR (2002); http://gaia.iwr.uni-heidelberg.de/ deal/

59. M. Ainsworth and A. Craig, Numer. Math. 60, 429 (1991)

60. I. A. Fomin, J. Phys.: Condens. Matter. 5, 217 (1993)

61. I. A. Fomin and B. Lyons, J. Phys.: Condens. Matter. 5, 3801 (1993)

62. B. JI. Говоров, И. А. Фомин, ЖЭТФ 109, 286 (1996)

63. В. И. Марченко, Е. Р. Подоляк ЖЭТФ 121, 235 (2002)

64. P.W. Anderson, Phys. Rev. В 30, 4000 (1984)

65. Ю. С. Бараш, А. В. Галактионов ЖЭТФ 101, 1689 (1992)

66. Ю. С. Бараш, А. С. Мельников, ЖЭТФ 100, 307 (1991)

67. J. Bardeen, L.N. Cooper, and J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957)

68. E.I. Blount, Phys. Rev. В 32, 2935 (1985)

69. К.A. Brueckner, T. Soda, P.W. Anderson, P. Morel, Phys. Rev. 118, 1442 (1960)

70. JI. И. Бурлачков, ЖЭТФ 89, 1382 (1985)

71. С. Choi and P. Muzikar, Phys. Rev. В 40, 5144 (1989).

72. P.G. De Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys, Benjamin, New York 1966

73. Z. Fisk, D. Hess, C. Pethick et al., Science 239, 33 (1988)

74. A. Garg and D.-C. Chen, Phys. Rev. В 49, 479, (1994)

75. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 20 1064 (1950)

76. Л. П. Горьков, Письма в ЖЭТФ 40, 351 (1984)

77. Л. П. Горьков, Sov. Sei. Rev. А 9, 1 (1987)

78. N. Grewe and F. Steglich, Heavy Fermions, in "Handbook on Physics and Chemistry of Rare Earths," vol. 14, Elsevier, Amsterdam 1991

79. D.W. Hess, T.A. Tokuyasu, and J.A. Sauls, J. Phys.: Cond. Matt. 1, 8135 (1989)

80. Yu.A. Izumov, V.M. Laptev, Phase Transit. 20, 95 (1990)

81. R. Joynt, V.P. Mineev, G.E. Volovik, and M.E. Zhitomirsky, Phys. Rev. В 42, 2014 (1990)

82. R.A. Klemm and J.R. Clem, Phys. Rev. В 21, 1868 (1980)

83. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая Механика, Наука, 1989

84. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, Часть 1, Наука, 1991

85. Н. v. Löhneysen, Physica В 197, 551 (1994)

86. К. Machida, М. Ozaki, and Т. Ohmi, J. Phys. Soc. Jpn. 58, 4116 (1989)

87. А. С. Мельников, ЖЭТФ 101, 1978 (1992)

88. В. П. Минеев, Sov. Sei. Rev. A 2, 173 (1980)

89. H.R. Ott, in "Progress in Low Temperature Physics" XI, p. 215, North Holland, Amsterdam 1987

90. M. Ozaki and K. Machida, J. Phys. Soc. Jpn. 61, 1277 (1992)

91. M. Palumbo, C. Choi, and P. Muzikar, Physica B 165-166, 1095 (1990)

92. JI. n. nHTaeBCKHii, >K9TO 37, 1794 (1959)

93. M. Salomaa and G.E. Volovik, Rev. Mod. Phys. 59, 533 (1987)

94. K. Scharnberg, R.A. Klemm, Phys. Rev. B 22, 5233 (1980)

95. M. Sigrist, N. Ogawa, and K. Ueda, J. Phys. Soc. Jpn. 60, 2341 (1991)

96. M. Sigrist, T.M. Rice, and K. Ueda, Phys. Rev. Lett. 63, 1727 (1989)

97. M. Sigrist and K. Ueda, Rev. Mod. Phys. 63, 239 (1991)

98. G.R. Stewart, Rev. Mod. Phys. 56, 755 (1984)

99. S.K. Sundaram and R. Joynt, Phys. Rev. B 40, 8780 (1989)

100. L. Taillefer, J. Flouquet, G.G. Lonzarich, Physica B 169, 257 (1991)

101. T. Champel, VP. Mineev, Phys. Rev. Lett. 86, 4903 (2001)

102. P. Thalmeier, B. Wolf, D. Weber et al., Physica C 175, 61 (1991).

103. T.A. Tokuyasu, D.W. Hess, and J.A. Sauls, Phys. Rev. B 41, 8891 (1990)

104. T.A. Tokuyasu and J.A. Sauls, Physica B 165-166, 347 (1990).

105. K. Ueda and T.M. Rice, Phys. Rev. B 31, 7144 (1985).

106. D. Vollhardt and P. Wolfle, The Superfluid Phases of 3He, Taylor к Francis, New York, 1990

107. G.E. Volovik, J. Phys. С 21, L221 (1987)

108. Г. E. Воловик, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 88, 1412 (1985)

109. Г. Е. Воловик, В. П. Минеев, ЖЭТФ 81, 989 (1981)

110. М. Е. Zhitomirsky, J. Phys. Soc. Japan, 64, 913 (1995)

111. M. E. Житомирский, Письма в ЖЭТФ 49, 333 (1989)

112. P. G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid Crystalls (Oxford University Press, 1993).

113. S. R. Renn and Т. C. Lubensky, Phys. Rev. A38, 2132 (1988).

114. С. А. Пикин Структурные превращения в жидких кристаллах, Наука, 1981

115. J. W. Goodby, М. A. Waugh, S. М. Stein et al, Nature (London) 337, 449 (1989).

116. J. W. Goodby, M. A. Waugh, S. M. Stein et al, J. Am. Chem. Soc. Ill, 8119 (1989).

117. G. Srajer, R. Pindak, M. A. Waugh, et al., Phys. Rev. Lett. 64, 1545 (1990).

118. K. J. Ihn, J. A. N. Zasadzinski, R. Pindak, et al, Science 258, 275 (1992).

119. L. Navailles, P. Barois and H. T. Nguyen, Phys.Rev. Lett. 71, 545 (1993).

120. L. Navailles, R. Pindak, P. Barois and H. T. Nguyen, Phys. Rev. Lett., 42, 5224 (1995).

121. L. Navailles, Ph.D. Thesis, Université Bordeaux I (1994).

122. H. T. Nguyen, A. Bouchata, L. Navailles, et al, J. Phys. II France 2, 1889, (1992).

123. L. Navailles, H. T. Nguyen, P. Barois, et al, Liq. Cryst., 20, 653 (1996).

124. L. Navailles, C. W. Garland, J. Phys. II France, 6, 1243 (1996).

125. A. Anakkar, A. Daoudi, J.-M. Buisine, et al, J. Therm. Anal., 41, 1501 (1994).

126. A. Anakkar, A. Daoudi, J.-M. Buisine, et al, Liq. Cryst., 20, 411 (1996).

127. T. C. Lubensky and S. R. Renn, Phys. Rev. A41, 4392(1990).

128. S. R. Renn, Phys. Rev. A45, 953 (1992).

129. S. R. Renn and T. C. Lubensky, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 209, 349 (1991).

130. I. Dozov, Phys.Rev. Lett. 74, 4245 (1995).

131. P. G. de Gennes, Solid State Commun. 14,997 (1972).

132. А. И. Ларкин, Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ, 47,1136 (1964).

133. P. Fulde and R. A. Ferrel, Phys. Rev. 135, 555 (1964).

134. Jing-huei Chen and T. C. Lubensky, Phys. Rev. A14, 1202 (1976).

135. L. J. Martinez-Miranda, A. R. Kortan, and R. J. Birgeneau, Phys. Rev. Lett. 56, 2264 (1986).

136. Б. А. Струков, А. П. Леванюк Физические основы сегнетоелектриче-ских явлений в кристаллах, Наука 1995

137. Incommunsurate Phases in Dielectrics, Ed. R. Blinc and A. P. Levanyuk, (Mod. Probl. in Cond. Mat.), 14.1, 14.2, North Holland (1986)

138. Incommunsurate Crystals, Liquid Crystals, and Quasi-Crystals, NATO-ASI series, Ed. J. F. Scott, and N. Clark, Pergamon (NY, 1987)

139. Ю. А. Изюмов, В. H. Сыромятников, Фазовые переходы и симметрия кристаллов, Наука (1984)

140. Т. Apih, U. Mikac, М. Koren, J. Dolinsek, and R. Blinc, Proc. 27th Congr. Ampere on Magn. Resonance Phenomena p. 745 Kazan (1994)

141. J. C. Marmeggi, G. H. Lander, T. Bruckel, Sol. St. Commun. 87, 837 (1993)

142. S. Aubry, Physica TD, 240 (1983)

143. M. B. Walker, Phys. Rev. B28, 6407 (1983)

144. G. Dolino and P. Bastie, Key Engineering Materials, (TRANSTECH publ.) 101-102, 285 (1995)

145. J. Van Landuyt, et ai, Phys. Rev. B31, 2986 (1985)

146. P. Bäk, et al., Phys. Rev. B19, 1610 (1979)

147. M. B.Walker and R. J. Gooding, Phys. Rev. B32, 7408 (1985)

148. G. Dolino: in Incommensurate Phases in Dielectrics, Vol 2, 206 ed. by R. Blinc and A. P. Levanyuk (North Holland, Amsterdam, 1986)

149. И. А. Яковлев, Л. Ф. Михеева, Т. С. Величкина, Кристаллография, 1, 123 (1956)

150. S. М. Shapiro and H. Z. Cummins, Phys. Rev. Lett., 21, 1578 (1968)

151. E. Snoeck, C. Roucau and P. Saint-Grégoire, J. Physique 47, 2041 (1986)

152. H. Grimm and B. Dorner, J. Phys. Chem. Solids 36, 407 (1975)

153. P. Saint-Grégoire and V. Janovec, Lectures Notes Phys. 353, 117 (1989)

154. G. Van Tendeloo, J. Van Landuyt and S. Amelinckx, Phys. Stat. Sol. (a), 33, 723 (1976)

155. P. Saint-Grégoire at al Phys. Stat. Sol. (a), 139, 361 (1993)

156. P. Saint-Grégoire et al. Ferroelectrics, 125, 209 (1992)

157. P. Saint-Grégoire, Результаты ТЕМ микроскопии, частное сообщение

158. Т. Janssen, in Incommensurate Phases in Dielectrics, Vol. 1, pg. 67 ed. by R. Blinc and A. P. Levanyuk (North Holland, Amsterdam, 1986).

159. W. Selke, Phys. Rep., 170, 213 (1988).261

160. W. Selke, in Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 15, pg. 1, ed. by C. Domb and J. L. Lebowitz, (Acad. Press, 1992).

161. H. Z. Cummins, Phys. Rep., 185, 211 (1990).164 165 [166 [167 [168 [169 [170171 172 [173 [174175 176

162. P. Upton and J. Yeomans, Phys. Rev., B40, 479 (1989).

163. K.Parlinski, S. Kwiecinski and A. Urbanski, Phys. Rev. B46, 5110 (1992).

164. K.Parlinski, G. Chapuis, Phys. Rev. B47, 13983 (1993).

165. K.Parlinski, G. Chapuis, Phys. Rev. B49, 11643 (1994).

166. M. A. Pimenta and P. Licinio, Phys. Rev., B50, 722 (1994).

167. T. Kudo and S. Katsura, Prog. Theor. Phys., 56, 435 (1976).

168. R. McCormack, M. Asta, D. de Fontaine, G. Garbulsky and G. Ceder, Phys. Rev., B48, 6767 (1993).

169. J. Kanamori, J. Phys. Soc. Jpn., 53, 250 (1984). M. Kurzynski and M. Halawa, Phys. Rev., B34, 4846 (1986). M. Kurzynski, Act. Phys. Pol., B6, 1101 (1995).

170. B. Neubert, M. Plemling and R. Siems, Ferroelectrics, to be published (1997) and Preprint, cond-mat/9708072.

171. M. Kurzynski and M. Bratkowiak, J. Phys.: Cond. Mat., 4, 2609 (1992). Z. Y. Chen and M. B. Walker, Phys. Rev. Lett., 65, 1223 (1990). Z. Y. Chen and M. B. Walker, Phys. Rev. B43, 5634 (1991).

172. Y. Yamada-and N. Hamaya, J. Phys. Soc. Jpn. 52, 3446 (1983).

173. A. J. van den Berg, F. Tuinstra and J. Warczewski, Acta Cryst. B29, 586 (1973).

174. A. J. van den Berg, H. Overeijinder and F. Tuinstra, Acta Cryst. B39, 678 (1983).

175. F. Tuinstra and A. J. van den Berg, Phase Transitions, B3, 275 (1983).

176. C. Bichara, S. Crusius and G. Inden, Physica B182, 42 (1992).

177. P. Bak, J. von Boehm, Phys. Rev., B21, 5297 (1980).

178. R. W. G. Wyckoff, Crystal Structures, Vol. 3, Interscience Publ., 1965.

179. Powder Diffraction File, Int. Centre for Difraction Data, Pennsylvania, 19073-3273, USA (1996).

180. M. A. Pimenta, P. Echegut, Y. Luspin, G.Hauret, F. Gervais and P. Abelard, Phys. Rev. B39, 3361 (1989).

181. G. Gatow, Acta Cryst., 15, 419 (1962)

182. A.J. Majumdar and R. Roy, J. Phys. Chem. 69, 1684 (1965)

183. G. Pannetier and M. Gaultier, Bull. Soc. Chim. Fr., 1069 (1966)

184. C. H. Shomate and B. F. Naylor, J. Am. Chem. Soc., 67, 72 (1945)

185. C. N. R. Rao and K. J. Rao Phase Transitions in Solids, (McGraw-Hill Inc., 1978)

186. A. Lopez Echarri, M. J. Tello and P. Gili, Sol. St. Corn., 36, 1021 (1980)

187. J. Warczewski, Phase Transitions, 1 , 131 (1979)

188. Ю. M. Высочанский, В. Ю. Сливка, УФН, 162, 139 (1992)

189. S. L. Qui, Mitra Dutta, H. Z. Cummins, J. P. Wicked and S. M. Shapiro, Phys. Rev. B34, 7901 (1986)

190. С. A. Бразовский, И. E. Дзялошинский, И. Е. Муратов, ЖЭТФ 75, 1140 (1987)

191. Е. I. Kats, V. V. Lebedev and A. R. Muratov, Phys. Reports 228, 1 (1993)

192. R. M. Hornreich, M. Luban and S. Schtrikman, Phys. Rev. Lett., 35, 1678 (1975)

193. D. Mukamel and M. Luban, Phys. Rev., 18, 3631 (1978)

194. C. Barbosa, Phys. Rev. B42, 6363 (1990)

195. C. Domb, J. Chem. Phys. 25, 783 (1956)

196. S. R. Salinas, J. Phys. C: Solid State Phys., 7, 241 (1974) and refs. therin.

197. И. И. Ларкин, С. А. Пикин, ЖЭТФ 56, 1664 (1969)

198. LANDOLT-BÔRNSTEIN, New Series, Vol. III/18, Elastic, Piezoelectric and related constants of crystals; Edited by K.-H.Hellwege and A.H.Hellwege, (Springer, 1984)

199. T. Breczewski, P. Piskunowicz and G. Jaroma-Weiland, Acta Phys. Polonica, A66 (1984)

200. A. Righi and R. L. Moreira, private communication.