СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КАРТАНА-ВЕЙЛЯ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ ДИРАКА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Романова Екатерина Владимировна

• Романова Екатерина Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Романова Екатерина Владимировна

Введение

Глава 1.Обзор применения концепции скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации и для описания природы темной материи

1.1. Применение скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации

1.2. Применение скалярного поля при описании природы темной материи

Глава 2.Сферически симметричное решение со скалярным полем Дирака в пространстве Картана-Вейля

2.1. Математический аппарат описания постримановых структур на основе формализма внешних форм

2.2. Вариационный принцип и лагранжева плотность гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

2.3. Исследование Г -уравнения

2.4. Исследование 0-уравнения в сферически симметричном

случае

2.5. Исследование Р -уравнения в сферически симметричном

случае

2.6. Сферически симметричное решение для центрального тела в

пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

2.6.1. Вычисление компонент 0 -уравнения

2.6.2. Вычисление компонент Р -уравнения

2.6.3. Получение сферически симметричного решения вариационных уравнений поля

Глава 3. Сферически симметричное решение со скалярным полем Дирака в пространстве Картана-Вейля на основе модифицированно-

го вариационного принципа

3.1. Модифицированный вариационный принцип в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

3.2. Вариационные уравнения гравитационного поля в пустоте

3.3. Исследование вариационного Г -уравнения

3.4. Анализ ^-уравнения и & -уравнения в сферически симметричном

случае

3.5. Сферически симметричное решение для центрального тела в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

3.5.1. Вычисление компонент 0-уравнения

3.5.2. Вычисление следа & -уравнения

3.5.3. Получение сферически симметричного решения вариационных уравнений поля

3.6 Анализ полученных сферически симметричных решений

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

В истории создания современной теории гравитации прослеживается постепенное усложнение геометрической структуры, которой наделяется пространство-время.

Первые работы, связанные с именем А. Пуанкаре, в которых предпринимались попытки обобщить теорию гравитации Ньютона путем отхода от принципа дальнодействия, основывались на геометрии плоского четырехмерного пространства Минковского. Затем А. Эйнштейн в разработанной им общей теории относительности (ОТО) [1] наделяет четырехмерное пространство-время геометрической структурой искривленного пространства Римана. Теория Эйнштейна в настоящее время представляет собой современную общепризнанную теорию гравитационного поля [1-9]. На основании ОТО строятся современные космологические модели, описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной [7-9].

Уже с самого начала создания ОТО известными математиками и физиками-теоретиками Г. Вейлем [10], Э. Картаном [11], И. Схоутеном [12], Э. Шрединге-ром [13], А. Эддингтоном [14] предпринимаются попытки обобщения ОТО на основе усложнения структуры пространства-времени. Но в то время эти теории не получили всеобщего признания. Попытки обобщения ОТО предпринимались затем в течении всего ХХ века и начала ХХ! века, см., например, [15-18].

Отношение к возможным обобщениям ОТО изменилось в конце ХХ и начале ХХ1 века в связи с произошедшей научной революции в космологии, в результате которой изменились представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной. Наблюдательные открытия в космологии [19-21] привели к гипотезе о существовании темной энергии, ответственной за эволюцию Вселенной, и темной материи, определяющей динамику галактик и скоплений галактик. В большинстве теорий темная энергия описывается космологической постоянной Эйнштейна и связывается с энергией физического вакуума [22]. В представлениях о темной материи нашла подтверждение наблюдательными данными высказанная еще в 30-х годах двадцатого века Цвикке [23] гипотеза о существовании в галактиках и скоп-

лениях галактик темной материи, плотность которой на порядок по массе превышает плотность обычной барионной светящейся материи. Также было открыто ускоренное расширение Вселенной, начавшееся около 5 миллиардов лет до настоящего времени.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КАРТАНА-ВЕЙЛЯ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ ДИРАКА»

Актуальность темы исследования

Многими современными специалистами по гравитации и космологии [24-44] были высказаны предположения, что открытые явления в космологии и астрофизике могут найти объяснения в обобщении теории гравитации на пространства с более сложными геометрическими структурами, характеризуемыми не только кривизной, как пространство Римана ОТО, но также кручением и не-метричностью. Такие пространства носят общее название постримановых пространств. Это пространство Римана-Картана с кривизной и кручением, пространство Картана-Вейля с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского вида, общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью общего вида. Данное направление исследований в космологии некоторыми авторами названо термином «нериманова космология» [39]. Но мы придерживаемся точки зрения авторов работ [17], [31], которые данное направление назвали «постриманова космология».

Мы придерживаемся концепции, развитой в работах О.В. Бабуровой и Б.Н. Фролова [17], [42-44], [51-53] с сотрудниками, согласно которой пространство-время наделено геометрической структурой пространства Картана-Вейля, в которой особую роль играет скалярное поле Дирака, определяющее неметричность пространства-времени вейлевского типа.

В связи с этим актуальность темы исследования определяется тем, что в настоящее время скалярное поле Дирака с успехом используется для объяснения как темной энергии, так и темной материи, существование которых в конце ХХ века обосновано наблюдательной космологией. С теоретической точки зрения введение скалярного поля Дирака обусловлено калибровочным подходом к теории гравитации. Данное скалярное поле представляет собой необходимое геометрическое дополнение метрического тензора пространства-времени.

Степень разработанности темы

В работах [45-48] была построена калибровочная теория гравитационного поля, исходя из требования локальной инвариантности теории относительно группы Пуанкаре-Вейля и было показано, что из этого требования в пространстве-времени возникает геометрическая структура пространства Картана-Вейля. Кроме того, в данной теории возникает требование необходимого существования дополнительного скалярного поля, имеющего столь же фундаментальный геометрический статус, как и метрика. Дальнейшее развитие теории показало, что данное скалярное поле по своим свойствам совпадает со скалярным полем, введенным Дираком в работе [49], а до этого Дезером [50]. В связи с этим данное скалярное поле в работах [17], [51-53] было названо скалярным полем Дирака.

В дальнейшем на основе данного результата была построена конформная теория гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля [17], [45-48], в которой эффективная космологическая постоянная (энергия вакуума) определялась скалярным полем Дирака. Применение данного подхода к космологии ранней Вселенной в работах [17], [42], [44], [51-53] позволило найти решение известной проблемы космологической постоянной, представляющей собой важную проблему современной теоретической физики.

В монографии [17] О.В. Бабуровой и Б.Н. Фроловым была высказана гипотеза о том, что скалярное поле Дирака не только определяет величину эффективной космологической постоянной (темной энергии), но также играет роль основной компоненты темной материи. Развитие данной идеи представляет собой содержание настоящей диссертации.

Цели и задачи

В рамках гипотезы о моделировании темной материи скалярным полем Дирака целью настоящей работы является нахождение сферически симметричного решения для центральной массы в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака, что позволит описать распределение темной материи вблизи тяготеющих масс.

Для реализации сформулированной цели решаются следующие задачи:

- в рамках стандартного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля вывести вариационные уравнения поля в сферически симметричном случае с учетом вида кручения и неметричности;

- провести анализ данных уравнений и осуществить их решение в пространстве Картана-Вейля для гравитационного поля и скалярного поля Дирака;

- разработать новый вариационный принцип, представляющий собой модификацию стандартного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля и заключающийся в том, что зависимость метрического тензора касательного пространства от скалярного поля Дирака вводится непосредственно в лагранжеву плотность с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа;

- в рамках разработанного модифицированного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля вывести вариационные уравнения поля в сферически симметричном случае и осуществить их решение.

Научная новизна Научная новизна результатов исследования заключается в том, что:

- в пространстве-времени Картана-Вейля в рамках стандартного вариационного принципа в формализме внешних форм выведены для сферически симметричного случая вариационные уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака;

- в сферически симметричном случае в пространстве-времени Картана-Вейля найдены решения полученных уравнений поля для скалярного поля Дирака и метрики, которая конформным преобразованием сводится к метрике Папапет-ру-Илмаза-Розена;

- в пространстве-времени Картана-Вейля сформулирован модифицированный вариационный принцип, согласно которому зависимость метрики от скалярного поля Дирака вводится в лагранжеву плотность теории с помощью неопределенных множителей Лагранжа;

- в пространстве-времени Картана-Вейля в рамках модифицированного вариационного принципа выведены в формализме внешних форм вариационные уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака, как в общем виде, так и

для сферически симметричного случая. Найдены решения этих уравнений для скалярного поля Дирака и метрики, совпадающей с метрикой Папапет-ру-Илмаза-Розена, и проведен анализ полученных решений.

Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что найденные в диссертации сферически симметричные решения в постримановом пространстве Картана-Вейля способствуют дальнейшему развитию гипотезы о природе темной материи как реализации возможного существования в природе скалярного поля Дирака.

Практическая значимость результатов исследования определяется их возможными приложениями к исследованиям околоземного и околосолнечного космического пространства, так как при современной точности измерения координат космических систем актуальным является учет соответствующих релятивистских поправок. Эти поправки связаны с отличием пост-ньютоновых приближений для полученных в диссертации метрик от соответствующих приближений метрики Шварцшильда.

Методология и методы исследования

Данная работа осуществлялась на основе методологии современной теоретической физики, основанной на приоритете калибровочных принципов при построении теории поля, в данном случае на приоритете пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации.

В работе были использованы следующие методы исследования:

- математический метод внешнего дифференциального исчисления;

- вариационный метод современной теории гравитации в формализме внешних форм, основанный на использовании леммы вариационного исчисления [17];

- компьютерный метод проведения символьных вычислений в математических задачах, широко применяемый в настоящее время в римановой геометрии и теории гравитации, и который в настоящей работе широко использовался для проверки результатов аналитических вычислений.

Положения, выносимые на защиту

1) В пространстве-времени Картана-Вейля в рамках стандартного вариационного принципа в формализме внешних форм выведены для сферически симметричного случая вариационные уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака.

2) В сферически симметричном случае в пространстве-времени Картана-Вейля найдены решения полученных уравнений поля для скалярного поля Дирака и метрики, которая конформным преобразованием сводится к метрике Папапет-ру-Илмаза-Розена.

3) Сформулирован модифицированный вариационный принцип в пространстве-времени Картана-Вейля, согласно которому связь метрики со скалярным полем Дирака вводится в лагранжеву плотность теории как слагаемое с неопределенными множителями Лагранжа.

4) В рамках модифицированного вариационного принципа в пространстве-времени Картана-Вейля выведены уравнения гравитационного поля для сферически симметричного случая и найдены их решения для скалярного поля Дирака и метрики, совпадающей с метрикой Папапетру-Илмаза-Розена.

Достоверность и апробация полученных результатов Степень достоверности и апробация результатов проведенных исследований: достоверность результатов проведенных исследований основывается на использовании достоверных математических методов, в том числе методов современной дифференциальной геометрии, методов вариационного исчисления в формализме внешних форм, а также компьютерного метода символьных вычислений.

Апробация исследования, его выводов и результатов осуществлялась на международных и всероссийских конференциях и семинарах:

• III Российская школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии», Казань, 3-7 сентября, 2012 г.;

• Международная научная конференция «Фридмановские чтения», Пермь, ПГНИУ, 24-28 июня 2013 г.;

• Международный научный семинар «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» и Российская летняя школа «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики», Казань, КФУ, 21-26 октября 2013 г.;

• 20th International conference on General Relativity and Gravitation (GR20) and 10thAmaldi Conference on Gravitational waves (Amaldi 10),Warsaw, 7-13 July 2013;

• International Scientific Meeting «Physical Interpretations of Relativity Theory (PIRT-2013)», Moscow, 1-4 July, 2013;

• XV-я Российская гравитационная конференция - «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике» и Международная школа по гравитации и космологии «GRACOS-2014», Казань, 30 июня - 5 июля 2014 г.;

• L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 14-17 мая 2014 г.;

• International Scientific Meeting «Physical Interpretations of Relativity Theory (PIRT-2015)», Moscow, 29 June - 2 July 2015;

• XIIth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (ICGAC-12), Moscow, PFUR, 28 June - 5 July 2015.

Данные результаты получили также апробацию в процессе работы над научным Проектом № 2.1.1/11190, который был осуществлен в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» [77]; над Проектом 533п(9), Государственный контракт П797, который был реализован в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы [78], а также при выполнении государственного задания (проектная часть №3.1968.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации [79].

Дадим краткое описание содержания данной диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 144 наименований.

Первая глава диссертации носит обзорный характер и состоит из двух параграфов. Первый параграф представляет собой исторический очерк появления в теории поля такого объекта, как скалярное поле Дирака, а также обзор работ, в которых рассматривается различные варианты взаимодействия скалярного поля с различными геометрическими структурами постримановых пространств. Во втором параграфе производится обзор работ, в которых исследуется предположение о том, что темная материя реализуется в виде некоторого скалярного поля.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена получению сферически симметричного решения для центральной массы в теории гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака в формализме внешних дифференциальных форм, предложенной в работах [17], [51], [52]. В первом параграфе излагаются основные понятия, описывающие различные по-стримановы геометрические структуры. Особое внимание обращено на формализм внешних дифференциальных форм, основные математические понятия и процедуры этого формализма, используемые при описании гравитационного поля в постримановых пространствах. Специально излагается вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм в постримановых пространствах, основанная на лемме Бабуровой-Климовой-Фролова [54], [17] о результате коммутирования операторов варьирования и дуализации Ходжа. Во втором параграфе этой главы строится лагранжева плотность теории и выводятся вариационные уравнения поля, которые анализируются в третьем и четвертом параграфах. Затем в пятом параграфе вариационные уравнения поля рассматриваются в сферически симметричном случае с учетом вида кручения и неметричности и конкретного вида метрики. Наконец, в шестом параграфе этой главы решаются вариационные уравнения поля в сферически симметричном случае, находятся выражения для метрики и скалярного поля Дирака, а также ограничения на констан-

ты связи исходной гравитационной лагранжевой плотности, при которых реализуются найденные решения.

В третьей главе сформулирован новый вариационный принцип в пространстве Картана-Вейля СЖ4, изложенный в работе автора [74]. Развитый в работах [17], [51], [52] и используемый во второй главе вариационный принцип может быть подвергнут определенной критике, так как при его реализации скалярное поле / вводится в лагранжеву плотность «руками» независимо от метрического тензора. Новый вариационный принцип представляющий собой модификацию вариационного принципа в этом пространстве, используемого во второй главе. Предложенная модификация вариационного формализма сводится к тому, что скалярное поле 3 вводится в лагранжеву плотность с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа как представление метрического тензора касательного пространства в виде, пропорциональном метрическому тензору пространства Минковского с коэффициентом пропорциональности, равным квадрату скалярного поля 3. Модифицированный вариационный принцип имеет ряд преимуществ по сравнению с принятым ранее.

Представление метрического тензора касательного пространства в таком виде вытекает из леммы Б.Н. Фролова [54], [55], изложенной в первом параграфе третьей главы, а также из результатов калибровочной теории гравитационного поля для локальной группы Пуанкаре-Вейля [45-48], и поэтому в значительной степени определяется идеями калибровочной теории Вейля [10]. В этом смысле данное скалярное поле более целесообразно называть скалярным полем Вей-ля-Дирака, что мы и будем делать в диссертации.

В первом параграфе третьей главы диссертации излагается модифицированный вариационный принцип, а получаемые на его основе вариационные уравнения гравитационного поля трех типов (Г-уравнение, 0-уравнение и g -уравнение) - во втором параграфе этой главы.

В третьем параграфе анализируется Г-уравнение и находятся два его следствия, не зависящие от неопределенных множителей Лагранжа. Эти два следствия

играют важную роль при нахождении решений вариационных уравнений. В четвертом параграфе анализируются в -уравнение и £ -уравнение, которые записываются в компонентах. Находится след £ -уравнения, не зависящий от неопределенных множителей Лагранжа. В пятом параграфе в- и £ -уравнения записываются для определенного вида сферически симметричной метрики, находятся решение этих уравнений для метрики и скалярного поля Вейля-Дирака. В шестом параграфе проводится анализ полученных сферически симметричных решений.

Решение для метрики, как и во второй главе, имеет вид метрики Папапет-ру-Илмаза-Розена [55-57], но уже при произвольных константах связи при квадратах кручения и неметричности в исходной лагранжевой плотности и определяется только гравитационной константой. Данная метрика при больших значениях г приводит к тем же самым экспериментальным результатам, как и метрика Шварцшильда, если константу интегрирования выбрать равной гравитационному радиусу центрального тела. Интерес к этой метрике [58-60] возникает в связи с тем, что она не содержит особенностей на гравитационном радиусе. Вместе с тем, она может содержать модифицированное решение типа черной дыры.

Решение для скалярного поля Вейля-Дирака определяется гравитационной константой и в обратной зависимости константой связи при слагаемым с квадратами производной от скалярного поля. Решение определяется экспонентой от обратного радиуса и имеет два возможных знака в экспоненте, Выбор одного знака приводит к решению, сингулярному в начале координат. Выбор противоположного знака приводит к решению, конечному в начале координат, что вызывает значительный интерес в связи с возможными следствиями данного решения. Однако, окончательный выбор знака в решении для скалярного поля Вейля-Дирака зависит от соответствия приложений выбранного решения с известными экспериментальными данными.

При работе над диссертацией существенно использовались компьютерные методы. Полученные аналитическим методом результаты проверялись с помощью компьютерных программ символьных вычислений с геометрическими структура-

ми пространства Вейля-Картана, разработанных В.В. Житниковым [61] и О.В. Бабуровой, Р.С. Косткиным, Б.Н. Фроловым [62]. Результаты, изложенные во второй и третьей главах диссертации, опубликованы в работах автора [63-76]. Данные результаты были получены и получили апробацию в процессе работы над научным Проектом № 2.1.1/11190, который был осуществлен в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» [77]; над Проектом 533п(9), Государственный контракт П797, который был реализован в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы [78], а также при выполнении государственного задания (проектная часть №3.1968.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации [79].

ГЛАВА 1

ОБЗОР ПРИМЕНЕНИЯ КОНЦЕПЦИИ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В РИМА-НОВЫХ И ПОСТРИМАНОВЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ И ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПРИРОДЫ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ

1.1. Применение скалярного поля в римановых и постримановых теориях

гравитации

Скалярные поля являются одними из самых интересных и самых загадочных полей в теоретической физике. Они выделяются среди других физических полей, рассматриваемых в ОТО, поскольку с одной стороны интерпретируются как поле, отвечающее за сильные взаимодействия, с другой, как эффективное поле, описывающее результат действия других полей. Интерес к скалярным полям в космологии вызван тем, что с их помощью можно естественным образом решить проблему горизонта и проблему плоскостности и ответить на такие вопросы как, почему Вселенная однородна и изотропная, а также почему она расширяется.

Фундаментальные скалярные поля необходимы во всех единых теориях поля. От стандартной модели частиц, которой необходим бозон Хиггса, до теории суперструн, которая содержит дилатон, в теории Бранса-Дикке, и в теории Калу-цы-Клейна, в инфляционной теории - повсеместно необходимы скалярные поля.

Исследование взаимодействия гравитационного и скалярных полей в стандартной римановой теории гравитации Эйнштейна - общей теории относительности (ОТО) - является настолько многообразным, что не может быть обозримо в одном кратком обзоре. Если ограничится ролью скалярного поля на ранней стадии Вселенной, то эта тема достаточно полно отражена в известных монографиях [7-9], [80], [81].

Несмотря на продолжающиеся усиленные поиски фундаментальных теорий всех основных взаимодействий в природе, роль гравитации на строение материи

на фундаментальном уровне элементарных частиц до сих пор остается неясной. Отчасти это может быть связано с нашей неспособностью исследовать эффекты единой теории взаимодействий в масштабах доступных для экспериментов. Тем не менее, согласно современным астрономическим наблюдениям, оригинальная теория Эйнштейна требует введения дополнительных, неопределенных до настоящего времени полей, а также теории струн с низкоэнергетическим эффективным действием наполнены ненаблюдаемыми скалярными полями.

Одним из первых в рамках ОТО скалярное поле было введено А. Папапетру [55], который рассматривал взаимодействие скалярного и гравитационного полей. Затем метрику Папапетру независимо получил Илмаз [56], а затем Розен [57]. Розен исходил из идей двуметрической теории гравитации, а Илмаз из своей оригинальной идеи, что пространство-время является римановым в духе идей Эйнштейна, но все компоненты метрического тензора определяются одним и тем же скалярным полем.

В 1947 году И.З. Фишер [82] рассматривает самосогласованную систему уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона (ЭКГ), являющуюся основным объектом исследований для модели скалярного поля в ОТО, в отсутствии электромагнитного поля, и несмотря на погрешности анализа асимптотических поведений метрики само решение было вычислено корректно.

В пятидесятых годах Д. И-ши [83] находит в рамках ОТО статическое сферически симметричное решение для безмассового скалярного поля, логарифмически убывающего с расстоянием, параллельно с ним аналогичное решение получают О. Бергман и Р. Лейпник [84]. Затем эта задача независимо решалась К.А. Бронниковым [85].

В работе [86] продолжается изучение статического сферически симметричного гравитационного поля, порожденного скалярным полем и в определенной системе координат получены уже известные решения. Основным достижением данной работы является идея наличия статических сферически симметричных метрик при зависимости скалярного поля от времени.

В работе [87] изучается безмассовое скалярное поле с точечным зарядом, которое медленно погружается в черные дыры Шварцшильда и Райсне-ра-Нордстрема. Основной вывод этой работы заключается в том, что скалярное поле будет увеличиваться, а черная дыра - разрушаться. В работе [88] описывались некоторые интересные гравитационные особенности дальнодействующего скалярного поля в статических плоскосимметричных пространствах. С этой целью был найден однопараметрический класс точных решений уравнения Эйнштейна. Решения статичны в гармонических координатах, с плоской симметрией и космическим временем. Автором работы [88] получены решения геодезических. Также рассматривалось поведение пробных частиц и световых лучей и показано, что пробные частицы не чувствительны к полю.

В 70-80х годах в рамках исследования решений с физическими полями в ОТО, которые дают возможность определить какое именно влияние имеет гравитация в микромире группа известного советского физика-теоретика К.П. Станюковича интенсивно занимается изучением скалярного поля в искривленном пространстве, особое внимание проявляется к конформно-инвариантной версии скалярного поля, с упором на описание комплексного скалярного поля. Из работ этой группы отметим работы К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [89], К.А. Бронникова [85], Г.Н. Шикина [90], [91].

В [92] было найдено решение в квадратурах системы уравнений безмассового самогравитирующего скалярного поля для стационарных аксиально-симметрических пространств.

С.В. Червон [93] исследовал изотропное скалярное поле (удовлетворяющее условию ф'1ф1 = 0) в полях тяготения алгебраически специальных типов Ш,К и О

по классификации Петрова. Им были найдены пространственно-временные многообразия, которые допускают изотропное скалярное поле. В своих работах он также приводит примеры некоторых точных решений для самогравитирующего скалярного поля.

В 1963 году Р. Пенроуз в своих лекциях «Конформная трактовка бесконечности», обобщил уравнения свободного скалярного поля, не меняющего своего вида (инвариант) при конформном преобразовании метрики.

В работе [94], рассматривая квантовую теорию скалярного поля в конформно-инвариантной форме в пространстве де Ситтера, Э.А. Тагиров и Н.А. Черников получают метрический тензор энергии импульса для теории с конформной связью.

Как уже указывалось, исследование влияния скалярного поля на космологическом уровне достаточно полно отражено в монографиях [7-9], [80], [81]. Укажем еще на работу Пиблза и Виленкина [95], которые предложили идею о том, что скалярное поле, обусловленное инфляцией, может вести себя как идеальная жидкость и иметь интересные наблюдательные последствия в формировании структуры Вселенной. Укажем также на работу В.Г. Панова [96], в которой исследовалось влияние скалярного поля на космологическую модель Геделя.

Не менее интенсивно скалярные поля в эйнштейновской теории гравитации исследовались на астрофизическом уровне. В 1969 году Руффини [97] сформировал концепцию бозонных звезд - звезд, сформированных скалярными полями, формирующими звезды, в отличие от обычных барионных (фермионных) звезд.

В работе [98] авторы предполагают, что возникшее из единой теории поля скалярное поле может конденсироваться и сворачиваться, что способствует формированию гало галактик. В статье [99] с помощью скалярного поля объясняется природа кротовых нор, то есть получено точное решение уравнения Эйнштейна, которое описывает внутреннюю область вращающейся кротовой норы. Не вращающийся случай этого решения представляет собой статическое, асимптотически плоское решение червоточин, и исследуются особенности этих решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романова Екатерина Владимировна, 2016 год

Список литературы

[1] Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей (К 100-летию со дня рождения). - М.: Мир, 1979. - 592 с.

[2] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. - М.: Мир, 1977. - Т.1-3.

[3] Уолд Р. М. Общая теория относительности. - М.: РУДН, 2008. - 693 с.

[4] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. - М.: ЛКИ, 2007. - С.568

[5] Владимиров Ю.С. Геометрофизика. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 600 с.

[6] Владимиров Ю. С. Классическая теория гравитации. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 264 с.

[7] Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва. - М.: ЛКИ, 2008. - 552 с.

[8] Долгов А. Д., Зельдович Я. Б., Сажин М.В. Космология ранней Вселенной. - М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1988. - 200 с.

[9] Вейнберг С. Космология. - М.: УРСС, 2013. - 605 с.

[10] Вейль Г. Пространство, время, материя. Лекции по общей теории относительности. - М.: «Янус», 1996. - 472 с.

[11] Картан Э. Об обобщении понятия римановой кривизны и о пространствах с кручением // В сб. [1]. - С. 535-537.

[12] Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т.1. - М.-Л.: ГОНТИ, 1939. - 184 с.

[13] Эддингтон А.С. Математическая теория относительности.- Х.-К.: ГНТИ Украины, 1933. - 359 с.

[14] Schrôdinger E. Space-Time Structure.- Cambridge: University Press, 1950. Русский перевод: Шрёдингер Э. Пространственно-временная структура Вселенной.- М.: Наука, 1986.

[15] Trautman A. On the structure of the Einstein--Cartan equation // In: Differential Geometry. Symposia Math. (London: Academic Press). - 1973. - V. 12. - P. 139-162.

[16] Hehl F.W., McCrea J.L., Mielke E.W. and Neле man Yu. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance // Phys. Rep. - 1995.- V.258. -P. 1-171.

[17] Бабурова О.В., Фролов Б.Н. Математические основы современной теории гравитации. - М.: МПГУ, Прометей, 2012.

[18] Портнов Ю.А. Уравнения поля в семимерном пространстве-времени. -М.: МГУП им. Ивана Федорова, 2013. - 154 с.

[19] Bahcall N.A., Ostriker J.P., Perlmutter S. and Steinhardt P.J. The cosmic triangle: assessing the state of the Universe // Science. - 1999. - V.284. - P. 1481-1488 (arxive.org/astro-ph/9906463).

[20] Чернин А.Д. Темная энергия и всемирной антитяготение // Успехи фи-зич. наук. - 2008. - Т.178. - С. 267.

[21] Clifton Timothy, Ferreira Pedro. Does Dark Energy Really Exist? // Scientific American. - 2009. - V.300(4). - P. 48-55.

[22] Глинер Э.Б. Раздувающаяся вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // Успехи физических наук. - 2002. - Т.172. - №2. -С. 221-227.

[23] Zwicky F. On the masses of nebulae and of clusters of nebulae // Astrophys-ical Journal. - 1937. - V.86. - P. 217-246.

[24] Павелкин В.Н., Панов В.Ф. Нестационарная космологическая модель с вращением в теории Эйнштейна-Картана // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1993. - № 8. - С. 90-94.

[25] Krechet V.G., Sadovnikov D.V. Gravitational interaction of a scalar field in an affine-metric theory of gravity // Gravitation and Cosmology. - 1996. -V. 2. - P. 259-261.

[26] Krechet V.G., Sadovnikov D.V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field // Gravitation and Cosmology. - 1997. - V. 3. - P. 133-140.

[27] Кречет В. Г. Космологический аспект гравитационного взаимодействия скалярного поля в аффинно-метрической теории гравитации // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1998. - № 5. - С. 39-50.

[28] Teyssandier P., Tucker R.W. and Wang C. On an interpretation of non--Riemannian gravitation // Acta Phys. Polonica B. - 1998. - V. 29. - P. 987-994.

[29] Babourova O.V., Frolov B.N. Perfect dilaton-spin fluid as a source of post-Riemannian cosmology // Gravitation and Cosmology. - 1999. - V. 5. - № 4(20) Suppl .- P. 65-72.

[30] Babourova O.V., Frolov B.N. Colour-spin, dilaton-spin and hypermomentum perfect fluids as the sources of non-Riemannian cosmologies // Nucl. Phys. B . Proc. Suppl. (Proc. 19th Texas Symp. on Relativistic Astrophysics and Cosmology, Paris, 1998). - 2000. - V. 80. - P. 1-9.

[31] Baburova O. V., Frolov B.N. Color-spin and dilaton-spin perfect fluids as the sources of post-Riemannian spacetime // В сб. [32]. - 2002. - P. 282-292.

[32] Proceedings XXVI International Workshop on Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, 25-28 June, 2002. - Protvino, -2002. - 355 p.

[33] Puetzfeld D.A. Cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: I. Field equations and solutions // Class. Quantum Grav. - 2002. - V. 19. - P. 3263-3280 (arxive.org/gr-qc/0111014).

[34] Puetzfeld D.A. Cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: II. Magni-tude-redshift relation // Class. Quantum Grav. - 2002. - V. 19. - P. 4463-4482 (arxive.org/gr-qc/0205052).

[35] Babourova O.V., Frolov B.N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe // Gravitation and Cosmology. - 2003. - V. 9. -№ 1 (33). -P. 15-19.

[36] Baburova O.V., Frolov B.N. Matter with dilaton charge in Weil-Cartan space-time and evolution of the Universe // Class. Quantum Grav. - 2003. -V. 20. - P. 1423-1442 (arxive.org/gr-qc/0209077).

[37] Babourova O.V. Modified Friedmann-Lemaître equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space // Gravitation and Cosmology. - 2004. -V. 10. - № 1-2 (37-38). - P. 121-126.

[38] Miritzis J. Isotropic cosmologies in Weyl geometry // Class. Quantum Grav.

- 2004. - V. 21. - P. 3044-3056 (gr-qc/0402039).

[39] Puetzfeld D. Status of non-Riemannian cosmology [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 2004 - URL://http://http://arxive.org/abs/gr-qc/0404119

[40] Babourova O.V., Frolov B.N., Portnov Yu.A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime // Gravitation and Cosmology. - 2005. - V.11. - P. 310-312.

[41] Portnov Ju.A. Dilatation field quanta // Gravitation and Cosmology. - 2006.

- V. 12. - P.209-211.

[42] Babourova O.V., Frolov B.N., Kostkin R.S. Dirac's scalar field as dark energy with the frameworks of conformal theory of gravitation in Weyl-Cartan space [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 2010 -URL : //http : //http : //arxive. org/abs/1006.4761.

[43] Babourova O.V., Frolov B.N. Dark energy, Dirac's scalar field and the cos-mological constant problem [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 2011 - URL://http://http://arxive.org/abs/1112.4449

[44] Бабурова О.В., Косткин Р.С., Фролов Б.Н. Проблема космологической постоянной в рамках конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана // Известия высших учебных заведений. Физика. -2011. - Т. 54. - №1. - С. 111-112.

[45] Бабурова О.В., Косткин Р.С., Фролов Б.Н. Скалярное поле Дирака в пространстве Вейля-Картана //В сб. II-я Российская летняя школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии», - GRACOS-2009, 27-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Издательство «Фолиантъ», 2009. - С. 127.

[46] Babourova O.V., Frolov B.N., Zhukovsky V.Ch. Gauge Field Theory for Poincare-Weyl Group //Phys. Rev. D. - 2006. - V. 74. - P. 1-12 (arxive.org/gr-qc/0508088, 2005).

[47] Бабурова О.В., Жуковский В.Ч., Фролов Б.Н. Модель пространства-времени Вейля-Картана на основе калибровочного принципа //Теоретич. матем. физ. - 2008. - Т. 157. - №1. - С. 64-78.

[48] Babourova O.V., Frolov B.N., Zhukovsky V.Ch. Theory of Gravitation on the Basis of the Poincare-Weyl Gauge Group // Gravitation and Cosmology. - 2009. - V. 15. - № 1. - P. 13-15.

[49] Dirac P.A.M. Long range forces and broken symmetries // Proc. Roy. Soc. A. - 1973. - V. 333. - P. 403-418.

[50] Deser S. Scale Invariance and Gravitational Coupling // Annals Phys. (USA). - 1970. - V.59. - P. 248-253.

[51] Бабурова О.В., Липкин К.Н., Фролов Б.Н. Теория гравитации со скалярным полем Дирака и проблема космологической постоянной //Известия высших учебных заведений. Физика. - 2012. - Т.55. - № 7. -С. 113-115.

[52] Babourova O.V., Frolov B.N., Lipkin K.N. Theory of gravity with a Dirac scalar field in the exterior form formalism and cosmological constant problem //Gravitation and Cosmology. - 2012. - V.18. - № 4. - P. 225-231.

[53] Babourova O.V., Frolov B.N., Klimova E.A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories in Riemann-Cartan space // Class. Quantum Grav. -1999. - V. 16. - P. 1149-1162 (arxive.org /qr-qc/9805005).

[54] Фролов Б.Н. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации. - М.: МИГУ, 2003. - 160 с.

[55] Papapetrou A.A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution //Proc. Roy. Irish Acad. - 1947. - V. A51. -P. 191-204.

[56] Yilmaz H. New approach to general relativity // Phys. Rev. - 1958. - V. 111. - P. 1417-1420.

[57] Rosen N. A bi-metric theory of gravitation // Gen. Rel. Grav. J. - 1973. - V. 4. - P. 435-447.

[58] Wyman M. Static spherically symmetric scalar fields in general relativity // Phys. Rev. D. - 1981. - V. 24. - P. 839-841.

[59] Kaniel S., Itin Y. Gravity on a parallelizable manifold [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 1997 -URL://http://http://arxive.org/abs/gr-qc/9707008.

[60] Muench U., Gronwald F., Hehl F.W. A small quide to variations in teleparallel gauge theories of gravity and the Kaniel-Itin model [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 1998 -URL: //http: //http: // arxive. org/ abs/gr-qc/ 9801.1036

[61] Zhytnikov V.V. GRG. Computer algebra system for differential geometry, gravity and field theory. Ver. 3.2. - Moscow, 1997.

[62] Бабурова О.В., Косткин Р.С., Фролов Б.Н. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615738 «Программный комплекс символьных вычислений на компьютере для четырехмерных и пятимерных геометрически обобщенных пространств», зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22 июня 2012 г.

[63] Фебрес Е. В., Фролов Б. Н. Сферически-симметричное решение теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака в пространстве Римана -Вейля //В сб.: Труды III Российской летней школы по гравитации и космологии и Международного семинара «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии». 3-7 сентября 2012 г., Казань -Яльчик. / под ред. Ю.Г. Игнатьева. - Казань: Казанский университет, 2012. - С. 92-93.

[64] Фролов Б.Н., Фебрес Е.В. Сферически-симметричное решение теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака в пространстве Рима-на-Вейля //В сб.: «Фридмановские чтения: тезисы докладов международной научной конференции (Пермь, 24 июня-28 июня 2013 г.)» / гл. ред. В.Ф. Панов. - Пермь: Перм. гос. нац. исслед. ун-т. - 2013. - С. 88.

[65] Frolov B., Febres E. Spherically symmetric solution of gravitation theory with a Deser-Dirac scalar field in the Riemann-Weyl space [Электронный ресурс]// В сб.: «Book of Abstracts "20th International conference on General Relativity and Gravitation (GR20) and 10th Amaldi Conference on Gravitational waves (Amaldi 10)». - 2013, Warsaw - P. 14-15. -URL: //http: //http: //gr20-amaldi 10 .edu.pl.

[66] Frolov B.N., Febres E.V. Spherically symmetric solution of gravitation theory with a Deser-Dirac scalar field in the Riemann-Weyl space // В сб.: «Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting.» (Moscow, 1 - 4 July 2013.) / Ed. by M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. - Moscow: BMSTU, 2013. - 470 p.- 2014. - P. 68-70

[67] Фролов Б.Н., Фебрес Е.В. Получение сферически-симметричного решения конформной теории гравитации со скалярным полем Дезе-ра-Дирака аналитическими и компьютерными символьными методами //В сб.: «Труды Российской летней школы. Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики. (ММ СКМ-4) и Российского семинара. Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии.» 21-26 октября 2013, Казань: Казанский университет.- 2013. - С. 75.

[68] Babourova O.V., Lipkin K.N., Febres E.V., Frolov B.N. Dark energy and dark matter problems and the existence of the Dirac scalar field in nature // В сб.: «Материалы XV-й Российской гравитационной конференции -«Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике» и Международной школы по гравитации и космологии

«GRACOS-2014». 30.06 - 5.07 2014, Казань. / Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РТ, доктора физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Игнатьева - Казань: Казанский университет, 2014. - 248 с. - С. 13-14

[69] Babourova O.V., Lipkin K.N., Febres E.V., Frolov B.N. The existence of the Dirac scalar field in nature and dark energy and dark matter problems //В сб. «L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники.» Москва, РУДН, 13-16 мая 2014 г. Тезисы докладов - М.: Изд-во РУДН, - 2014. - С. 110-114.

[70] Бабурова О.В., Фролов Б.Н., Фебрес Е.В. Сферически-симметричное решение теории гравитации со скалярным полем Дирака в пространстве Картана-Вейля // Известия высших учебных заведений. Физика. -2014. - Т. 57. - С. 131-132 (Babourova O.V., Frolov B.N., Febres E.V. Spherically symmetric solution of gravitation theory with a Dirac scalar field in the Cartan-Weyl space // Russian Physics Journal. - 2015. - V. 57. - P. 1297-1299).

[71] Babourova O.V., Frolov B.N., Romanova E.V. Spherically symmetric solution with Dirac scalar field in Cartan-Weyl space // Physical Interpretations of Relativity Theory: International Scientific Meeting (Moscow, BMSTU, 29 June - 2 July 2015): Abstracts / Ministry of Education and Science of the Russian Federation, Bauman Moscow State Technical University. - Moscow: BMSTU, 2015. - P. 8-9.

[72] Babourova O.V., Frolov B.N., Romanova E.V. Spherically symmetric solution in Cartan-Weyl space with Dirac scalar field // В сб.: «ICGAS-12: тезисы ХП Международной конференции по гравитации, астрофизике и космологии, посвященной столетию общей теории относительности Эйнштейна.» Россия, Москва, РУДН, 28 июняя - 5 июля 2015 г. - Москва: РУДН, 2015. - С. 40.

[73] Babourova O.V., Lipkin K.N., Febres E.V., Frolov B.N. Dark energy and dark matter problems and the existence of the Dirac scalar field in Nature // Материалы XV-й Российской гравитационной конференции - «Меж-

дународной конференции по гравитации, космологии и астрофизике» и Международной школы по гравитации т космологии «GRACOS-2014». 30.06 - 5.07. 2014. Казань. / Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РТ, доктора физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Игнатьева. Казань: Фолиант, 2014. - С. 13-14.

[74] Бабурова О. В., Фролов Б.Н., Фебрес Е.В. О вариационном принципе в пространстве Картана-Вейля // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2015. - Т. 58 - С. 129-130 (Babourova O.V., Frolov B.N., Febres E.V. On the Variational Principle in the Cartan-Weyl Space // Russian Physics Journal. - 2015. - V. 58. - P. 283-285).

[75] Бабурова О.В., Фролов Б.Н., Фебрес Е.В. Сферически-симметричное решение в пространстве Картана-Вейля: модифицированный вариационный принцип // Известия высших учебных заведений. Физика. -2015. - в печати.

[76] Babourova O.V., Frolov B.N., Kudlaev P.E., Romanova E.V. Spherically symmetric solution in Cartan-Weyl space with Dirac scalar field // ICGAS-12: Proceedings of Xllth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (June 28 - July 5, 2015, PFUR, Moscow, Russia). -в печати.

[77] Бабурова О.В. (руков. проекта), Косткин Р. С., Фебрес Е.В., Фролов Б. Н. и др. Отчет (заключительный) по проекту № 2.1.1/11190 «Исследование моделей гравитационного взаимодействия в постримановых пространствах и их космологических следствий» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», ИК 02201250222. - МПГУ, 2011.

[78] Бабурова О.В. (руков. проекта), Липкин К.Н., Фебрес Е.В., Фролов Б. Н. и др. Отчет (промежуточный) по проекту 533п(9) Государственного контракта П797 в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, 2012г.

[79] Бабурова О.В. (руков. проекта), Липкин К.Н., Романова Е.В., Фролов Б. Н. и др. Отчет (промежуточный) по научному проекту в рамках Государственного задания (проектная часть №3.1968.2014/К) «Теоретическое и компьютерное моделирование задач современной теории гравитации, космологии и релятивистской астрометрии в околоземном и околосолнечном космическом пространстве», - 2014 г.

[80] Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология.

- М.: Наука, 1990. - 280 с.

[81] Червон С.В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. -Ульяновск: Ульяновский государственный университет, 1997. - 191 с.

[82] Фишер И.З. Скалярное мезостатическое поле с учетом гравитационных эффектов // ЖЭТФ. - 1947. - Т. 18. - No.7 - С. 636.

[83] И-ши Дуань. Самосогласованная система гравитационного и скалярных полей // ЖЭТФ. - 1954. - С.756.

[84] Bergman O., Leipnik R. Space-time structure of a state spherically symmetric scalar field // Phys.Rev. - 1957. - V. 107. - P. 1157.

[85] Bronnikov K.A. Scalar-tensor theory and scalar charge //Acta Phys. Pol. -1973. - V. B4. - P. 251-266.

[86] Penney R.V. Conformally flat zero-mass meson solution of Einstein equations // Phys. Rev. D. - 1976. - V. 14. - P. 910.

[87] Ludwig G. Geometrization of a massless complex scalar field // Journal of Mathematical Physics. - 1971. - V. 12. - No.7. - P. 1218..

[88] Ludwig G. Geometrization of a massive scalar field // Journal of Mathematical Physics. - 1971. - V. 12. - No. 7. - P. 1220.

[89] Бронников К.А., Мельников В.Н. Статические скалярные и электромагнитные поля в теории гравитации// В сб.: «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц» (ПТГЭЧ) (Под ред. К. П. Станюковича).

- М.: Атомиздат, - 1974. - вып. 5. - С. 80.

[90] Шикин Г.Н. Нестационарные решения автомодельного типа системы уравнений Эйнштейна и безмассового скалярного поля, в ортогональ-

ной метрике // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц (Под ред. К. П. Станюковича). - М.: Атомиздат. - 1975. - вып. 6. - С. 38.

[91] Шикин Г.Н. Некоторые нестационарные решения системы уравнений Эйнштейна безмассового скалярного и электромагнитного полей для случая ортогональной метрики// В книге: Теория относительности и гравитация. - М.: «Наука». - 1976. - С. 124.

[92] Frolov V.P., Zel'nikov A.I. The massless scalar field around a static black hole // J. Phys. A: Math. Gen. - 1980. - V. A13. - P. L435.

[93] Червон С.В. О волновом нейтральном скалярном поле в ОТО // В книге: Гравитация и теория относительности. - Казань. - 1983 г. - вып. 20.

- с.143

[94] Тагиров Э.А., Черников Н.А. Квантовая теория поля в пространстве де Ситтера // Препринт ОИЯИ Р2-3777. - Дубна. - 1968. - 49 с.

[95] Peebles P.J.E., Vilenkin A. Quintessential Inflation // Phys. Rev. D. - 1999.

- V. 59. - 063505 (arxive.org/astro-ph/9810509v1).

[96] Панов В.Г. Скалярное поле в нестационарной космологической модели типа Геделя // Изв. высш. учебн. завед. Физика. - 1991. - N 2. - С. 54-57.

[97] Ruffini R., Bonazzola S. Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State // Phys. Rev. - 1969. - V. 187. - P. 1767- 1783.

[98] Matos T., Guzman F. S., Nunez D. Spherical Scalar Field Halo in Galaxies // Phys. Rev. D. - 2000. - V. 62:061301 (arxive.org/astro-ph/0003398v2).

[99] Matos T., Nunez D. Rotating Scalar Field Wormhole // Class. Quant. Grav.

- 2006. - V. 23. - P. 4485-4496 (arxive.org/gr-gc/0508117v3).

[100] Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. - М.: Энер-гоиздат, 1982. - 256 с.

[101] Киселев А.С., Кречет В.Г. Пятимерная геометрическая электровакуумная задача при наличии геометрического скалярного поля // Изв. высш. учебн. завед. Физика. - 2011. - N 10. - С. 44-52.

[102] Brans C., Dicke R.H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation // Phys. Rev. 1961. - V. 124. - P. 925-935.

[103] Jordan P. Formation of the Stars and Development of the Universe // Nature.

- 1949. - V. 164. - P. 637-640.

[104] Jordan P. Schwerkraft und Weltall. Grundlagen der theoretischen Kosmologie (Braunschwrig: Vieweg, 1955). - IX/277 Seiten.

[105] Jordan P. The expanding earth: some consequence of Dirac's gravitational hypothesis (Oxford: Pergamon, 1971). - 202 p.

[106] Dirac P.A.M. The Cosmological Constants // Nature. - 1937. - V. 139. - P. 323.

[107] Dirac P.A.M. A New Basis for Cosmology // Proc. R. Soc. - 1938. - V. A165. - P. 199-208.

[108] Tretyakova D.A., Shatskiy A.A., Novikov I.D., Alexeyev S.O. Non-singular Brans-Dicke-Л Cosmology[Электронный ресурс] // Cornell University Library. - 2012 - URL://http://http://arxive.org/abs/gr-qc/1112.3770v2.

[109] Dirac P.A.M. Cosmological Models and Large Numbers Hypothesis // Proc. R. Soc. - 1974. - V. A338. - P. 439-446.

[110] Dirac P.A.M. Variation of G // Nature. - 1975. - V. 254. - P. 273. 10

[111] Behnke D., Blaschke D., Pervushin V., Proskurin D., Zakharov A. Cosmological Consequences of Conformal General Relativity // Cornell University Library. - 2000. - URL://http://http://arxive.org/abs/ gr-qc/0011091).

[112] Pervushin V., Proskurin D. Conformal General Relativity // Grav. Cosmol.

- 2002. - V. 8. Suppl. - N 1. - P. 161-167 (arxive.org/gr-qc/0106006).

[113] Bajan K., Flin F., Godlowski W., Pervushin V., Zorin A. // Spacetime & Substance. - 2003. - V. 4. - P. 225 (arxive.org/astro-ph//0408551).

[114] Bajan K., Flin F., Godlowski W., Pervushin V. On the investigation of galaxy redshift periodicity // Phys. Part. Nucl. Lett. - 2007. - V. 4. - P. 5-10 (arxive.org/astro-ph//0606294).

[115] Behnke D., Blaschke D., Pervushin V.N., Proskurin D. Description of Supernova Data in Conformai Cosmology without Cosmological Constant // Phys. Lett. - 2002. - V. B530. - P. 20-26.

[116] Gruver C., Hammond R., Kelly P.F. Tensor-Scalar Torsion // Mod. Phys. Lett. - 2001. - V. A16. - P. 113-120 (arxive.org/gr-gc/0103050v1).

[117] Dereli T., Tucker R.W. On the Detection of Scalar Field Induced Spacetime Torsion // Mod. Phys. Lett. - 2002. - V. A17. - P. 421-428 (arxive.org/gr-gc/ 0104050v1).

[118] Krechet V.G., Sadovnikov D.V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field // Gravit. and Cosmol. (Гравитация и космология). - 1997. - V. 2. - N 1 (10). - P. 133-140.

[119] Кречет В.Г. Космологический аспект гравитационого взаимодействия скалярного поля в аффино-метрической теории гравитации // Изв. высш. учебн. завед. Физика. - 1998. - N 5. - С. 39-50.

[120] Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion // Nuovo Cim. -1980. - V. 55B. - P. 37-51.

[121] Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion. II. Foundation and Conservation Equations // Nuovo Cim. - 1980. - V. 56B. - P. 21-38.

[122] Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory and Superconductivity. - 1981.

- V. 63B. - P. 487-509.

[123] Gregorash D., Papini G. Torsion and Multiply Connected Weyl-Dirac geometry // Nuovo Cim. - 1981. - V. 64B. - P. 55-66.

[124] Gregorash D., Papini G. The equations of motion in a conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism // Nuovo Cim. - 1982. - V. 70B.

- P. 259-267.

[125] Minkevich A.V., Garkun A.S., Vasilevski Yu.G. Scalar fields superdense gravitating system // Nonlin. Phenom. Complex Syst. - 2004. - V. 7. - P. 78-84 (arxive:org/ gr-qc/0310060v1).

[126] Zwicky F. Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln (Spectral displacement of extra galactic nebulae) // Helvetica Physica Acta. - 1933. - V. 6. - P. 110-123.

[127] Smith S. Mass of the Virgo cluster // Astrophys. J. - 1936. - V. 83. - P. 23-30.

[128] Левин А.// Популярная механика. - 2014. - № 6. - C. 36-40.

[129] Cheng H. Possible Existence of Weyl's Vector Meson // Phys. Rev. Lett. -1988. - V. 61 - P. 2182-2184.

[130] Cheng H. Dark Matter and Scale invariance [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 2004 - URL://http://http://arxive.org/abs/math-ph/0407010v1.

[131] Wei H., Cai R.-G. Cheng-Weyl Vector Field and its Cosmological Application [Электронный ресурс]// Cornell University Library. - 2007 -URL: //http: //http: //arxive. org/abs/astro-ph/0607064v4.

[132] Matos T., Guzman F.S., Urena-Lopez L. A., Nunez D. Scalar Field Dark Matter [Электронный ресурс]// Proceeding of the "Mexican Meeting on Exact Solutions and Scalar Fields in Gravity" in honour of Heinz Dehnen's 65th Birthday and Dietrich Kramer's 60th Birthday. - 2001-URL: //http: //http: //arxive. org/abs/astro-ph/0102419v2).

[133] Matos T., Urena-Lopez L.A. Scalar Field Dark Matter, Cross Section and Planck-Scale Physics // Phys. Lett. - 2002. - V. B538. - P. 246-250 (arxive.org/astro-ph/0010226v2).

[134] Matos T., Urena-Lopez L.A. On the nature of dark matter // Mod. Phys. -2004. - V. D13. - P. 2287-2292.

[135] Matos T., Vazquez-Gonzalez A., Magana J. ф as Dark Matter [Электронный pecypc]//MNRAS. - 2008- URL://http://http://arxive.org/abs/astro-ph/0806.0683.

[136] Magana J., Matos T., Robles V., Suarez A. A brief Review of the Scalar Field Dark Matter model [Электронный ресурс]// Proceedings of the XIII Mexican Workshop on Particles and Fields. - 2012. -URL: //http: //http: //arxive. org/abs/astro-ph/1201.6107.

[137] Magana J., Matos T., Suarez A., Sanchez-Salcedo F. J. Structure formation with scalar field dark matter: the field approach [Электронный ресурс]// JCAP. - 2012. - URL://http://http://arxive.org/abs/astro-ph/1204.5255v2.

[138] Suarez A., Robles V.H., Matos T.A Review on the Scalar Field/ Bose-Einstein Condensate Dark Matter Model [Электронный ресурс]// Proceedings of the IV International Meeting on Gravitation and Cosmology 38.2013. - chapter 9 - URL://http://http://arxive.org/abs/astro-ph/1302.0903v1.

[139] Matos T., Guzman F.S., Nunez D. Spherical Scalar Field Halo in Galaxies // Phys. Rev .- 2000. - V. D62:061301 (arxive.org/astro-ph/0003398v2).

[140] Alcubierre M., Guzman F.S., Matos T., Nunez D., Urena-Lopez L.A., Wiederhold P. Scalar Field Dark Matter and Galaxy Formation [Электронный ресурс]// Invited talk: 4th Heidelberg International Conference on Dark Matter in Astro and Particle Physics. - 2002. -URL: //http: //http: //arxive. org/abs/astro-ph/0204307v 1.

[141] Mota D.F., Salzano V., Capozziello S. Unifying static analysis of gravitational structures with a scale-dependent scalar field gravity as an alternative to dark matter // Phys. Rev. D. - 2011. - V. 83. - P. 084038.

[142] Salzano V., Mota D.F., Capozziello S., Napolitano N.R. Unifying static analysis of gravitational structures with a scale-dependent scalar field gravity as an alternative to dark matter // Astronomy & Astrophysics. - 2014. -P. A131 (22).

[143] Tucker R.W., Wang C. Dark matter gravitational interactions // Class. Quantum Grav. - 1998. - V. 15. - P. 933-954 (arxive.org/gr-qc/9612019v1).

[144] Бабурова О.В., Липкин К.Н., Фролов Б.Н., Щербань В. Н. Вариационный принцип в постримановых теориях гравитации // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56. - № 6. - С. 103-104.