Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Аксенов, Николай Александрович

• Аксенов, Николай Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аксенов, Николай Александрович

Введение.

I. Задача Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка

§1.1. Задача Коши для "однородного" уравнения в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева.

§1.2. Задача Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом.

§1.3. Задача Коши для интегро-дифференциально-операторного уравнения.

§1.4. Абстрактная задача Коши с неклассическими начальными условиями.

II. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка

§2.1. Краевые задачи для уравнения первого порядка.

1. Краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором.

2. Третья краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором в классе регулярных операторов.

§2.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка.

1. Краевые задачи для неполного уравнения второго порядка.

2. Краевые задачи для полного "однородного" уравнения второго порядка.

III. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений

§3.1. Задача Коши для системы уравнений первого порядка со смешанными операторами.

§3.2. Задача Коши для системы уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений»

Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым в работе [27] и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина [71]-[73]. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены C.B. Панюшкипым [78]-[80]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приведены в монографии [35].

Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [27]; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора [28]; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [29], [89]; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций [30], [31]; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа [90]; исследование решений операторных уравнений [31], [35] и др.

В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими соображениями.

Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды [115] и Э. Хилле [111]. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.

Во-вторых, теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально выпуклых) пространствах является значительно менее развитой. Отчасти этому способствует отсутствие в таких пространствах единых (как, например, теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это, в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В.М. Миллионщикова [69], [70], К. Иосиды [116], А.Н. Годунова [24], Я.В. Радыно [85], [86], С.Г. Лобанова [62], С.А. Шкарина [108]; для дифференциально-операторных уравнений соболевского типа — в работах В.Е. Фёдорова [98]-[101]. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.

Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова [31]-[34], С.Н. Мишина [74], [75], В.П. Громова, С.Н. Мишина, С.В. Панюшкина [35]. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.

Однако методы исследования аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных уравнений с комплексными аргументами, а также аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:

1) описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы в классе аналитических вектор-позначных функций;

2) выявление взаимосвязи между определяющими указанные классы элементов пространства условиями и видом области аналитичности решения рассматриваемой задачи;

3) описание посредством внутренних характеристик оператора (порядка и типа) классов операторов, для которых имеет место непрерывная зависимость решений от элементов локально выпуклого пространства.

Методы исследования. В работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических векторнозначных функций, а также методы комплексного анализа.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретический характер. В работе впервые (в том числе на основе теории порядка и типа оператора) в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений и аналитических краевых задач для дифференциально-операторных уравнений; получили дальнейшее обобщение и развитие методы исследования решений аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений.

Теоретическая значимость. Предложенные в диссертации методы позволяют исследовать решения разнообразных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, изучаемых в произвольном локально выпуклом пространстве. Используемый в работе подход является универсальным, так как может быть применим к исследованию ряда других задач функционального анализа, решения которых представляются аналитическими векторнозначными функциями, порождёнными оператором конечного порядка.

Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических векторнозначных функций, порождённых оператором конечного порядка.

Практическая значимость. Результаты выполненного исследования могут применяться в решении как в нормированных, так и в ненормированных пространствах различных аналитических задач, поставленных для уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнений смешанного типа, уравнений свёртки, уравнений бесконечного порядка и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (2009 г.), посвягцённой 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Са-довничего, г. Москва; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2010 г.), г. Воронеж; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (2010 г.), г. Нальчик; на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа в 2007-2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент C.B. Панюшкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин); на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.п., профессор A.B. Арутюнов); на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.н., профессор A.A. Шкаликов); на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Дубинский, д.ф.-м.н., профессор A.A. Амосов).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[16], второму автору работ [14], [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3]-[5], [12], [13], [15], [16] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дифференциально-операторных уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические век-торпозначиые функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначными рядами, содержащими степени этого оператора.

2. В терминах характеристик фиксированного вектора относительно действующего в локально выпуклом пространстве линейного оператора определены классы элементов пространства, для которых рассмотренные задачи однозначно разрешимы, а сами решения сильно сходятся к аналитическим векторнозначным функциям.

3. Установлена взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности вектор-нозначной функции, определяющей решение задачи.

4. В терминах порядка и типа линейного оператора выделены классы тех операторов, действующих в локально выпуклом пространстве, для которых решения задач определены на всём пространстве и непрерывно зависят от его элементов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 116 наименований. Объём работы составляет 153 страницы. Всего в работе рассмотрено 10 модельных задач (4 в первой главе, 4 во второй главе и 2 в третьей главе), на примере которых продемонстрировано применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к изучаемой в диссертации проблеме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аксенов, Николай Александрович, 2011 год

1. Аксёнов H.A. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 4 (44). С. 176-178.

2. Аксёнов H.A. Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве // Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика". 2010. № 1. С. 46-58.

3. Аксёнов H.A. Аналитическая краевая задача со смешанным оператором // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 94-113.

4. Аксёнов H.A. О некоторых задачах Коши в локально выпуклых пространствах //, Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 114-142.

5. Аксёнов H.A. Третья краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка с регулярным оператором // Вестник науки. Орёл: ОГУ,'2010. Выпуск 9. С. 19-23.

6. Аксёнов H.A. Теорема устойчивости абстрактной задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Вестник науки. Орёл: ОГУ, 2010. Выпуск 9. С. 23-25.

7. Аксёнов H.A. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка в частных производных //В мире научных открытий. 2010. № 4 (10). Часть 4. С. 20-22.

8. Аксёнов H.A. Об одной задаче Коши для линейного однородного дифференциально-операторного уравнения первого порядка со смешанным оператором // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3 (1). С. 154-159.

9. Аксёнов H.A. Краевая задача для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в локально выпуклом пространстве // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 3-15.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: для инженеров и уч-ся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

11. Брук В.М., Крысъко В.А. О существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Известия вузов. Математика. 2003. № 10 (497). С. 3-8.

12. Валицкий Ю.Н. О корректности многоточечной задачи для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами // ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 5. С. 1041-1043.

13. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи для уравнения с операторными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1988. Т. 29. № 4. С. 44-53.

14. Валицкий Ю.Н. Корректность задачи для дифференциального уравнения при заданных значениях функции и её производных в нескольких точках // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37. № 2. С. 251-258.

15. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи в гильбертовом пространстве с заданными разрывами функции и её производных // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38. № 3. С. 504-509.

16. Гелъфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математический сборник. 1951. Т. 29 (71). № 3. С. 477-500.

17. Годунов А.Н. О линейных дифференциальных уравнениях в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1974. № 5. С. 31-39.

18. Горбачук В. И., Горбачу к M.JI. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984. 284 с.

19. Горбачук В.И., Князюк A.B. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений // УМН. 1989. Т. 44. Выпуск 3 (267). С. 55-91.

20. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 1986. Т. 228. № 1. С. 27-31.

21. Громов В.П. Аналоги разложения Тейлора // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 801-808.

22. Громов В. П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 1999. Выпуск 1. С. 24-37.

23. Громов В.П. Целые векторнозначные функции со значением в локально выпуклом пространстве и их применение // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 4-24.

24. Громов В.П. Операторный метод решения линейных уравнений // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 4-36.

25. Громов В. П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. 2004. Т. 394. № 3. С. 305-307.

26. Громов В. П. Операторный метод решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 4-18.

27. Громов В.П. Задача Коши для уравнений в свёртках в пространствах аналитических векторнозначных функций // Математические заметки. 2007. Т. 82. Выпуск 2. С. 190-200.

28. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин C.B. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Монография. Орёл: ОГУ, 2009. 430 с.

29. Дезин A.A. Операторы с первой производной по "времени" и нелокальные граничные условия // ИАН СССР. 1967. Т. 31. Выпуск 1. С. 61-86.

30. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.

31. Демченко Т. И. Исследование разрешимости уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева в некотором классе целых функций // Литовский математический сборник. 1967. Т. 7. № 4. С. 611-618.

32. Демченко Т.Н. О разрешимости одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Известия вузов. Математика. 1973. № 8. С. 35-42.

33. Доюрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

34. Дубинский Ю.А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для пеклассических уравнений // Математический сборник. 1969. Т. 19 (121). № 1 (5). С. 91-117.

35. Дубинский Ю.А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 1. С. 32-35.

36. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 180 с.

37. Дубинский Ю.А. Об аналитических "краевых" задачах на плоскости // УМН. 1997. Т. 52. Выпуск 3 (315). С. 53-104.

38. Дудик O.A. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью // Труды ИПММ HAH Украины. 2008. Т. 16. С. 67-79.

39. Егоров И.Е. О нелокальной краевой задаче для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2002. С. 69-72.

40. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.

41. Исмаилов З.И. О разрешимости одного класса дифференциальных операторов первого порядка // Труды ИММ АН Азербайджана. Т. 6 (14). 1997. С. 83-89.

42. Кнюх В. И. О представлении и граничных значениях решений однородного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Украинский математический журнал. 1986. Т. 38. № 1. С. 101-104.

43. Князюк A.B. Задача Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 2. С. 256-260.

44. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // ИАН РФ. 1997. Т. 61. № 3. С. 91-132.

45. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Литовский математический сборник. 1964. Т. 4. № 4. С. 497-515.

46. Коробейник Ю.Ф. Об уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Сибирский математический журнал. 1964. Т. 5. № 6. С. 1259-1281.

47. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика". 2007. Т. 1. № 1. С. 132-140.

48. Коробова О.В. Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторио-дифференциальных систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 2009. 154 с.

49. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

50. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с."

51. Левчук В.В. Граничные задачи для для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Киев, 1984. 113 с.

52. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. 320 с.

53. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967.

54. Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981. 54 с.

55. Лобанов С.Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1980. № 2. С. 3-7.

56. Ломовцев Ф.Е. Абстрактные эволюционные дифференциальные уравнения с разрывными операторными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132-1141.

57. Ломовцев Ф.Е. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения гладких и разрывных операторных коэффициентов. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Минск, 2003. 162 с.

58. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. Краевая задача для уравнения первого порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1985. № 3. С. 1-5.

59. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1986. № 8. С. 46-52.

60. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. Корректность общих краевых задач для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Сибирский математический журнал, Новосибирск. 1987. 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7973-87.

61. Мельникова И.В., Филинков А.И. О классификации по краевым задачам полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1990. № 6. С. 39-45.

62. Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений ^ = /(а;,^) в локально выпуклых пространствах // ДАН СССР. 1960. Т. 131. № 3. С. 510-513.

63. Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1962. Т. 57 (99). № 4. С. 385-406.

64. Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 2001. Т. 381. № 3. С. 309-312.

65. Мишин С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Орёл, 2002. 116 с.

66. Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 47-99.

67. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные уравнения в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 46-61.

68. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные уравнения вида (Р — AYu{t) — f(t) // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 55-66.

69. Орлов С. С. Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Се- . рия "Математика". 2009. Т. 1. № 1. С. 328-332.

70. Панюшкин C.B. О норме одного оператора // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 82-84.

71. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его примене-* ние к нахождению порядков и типов операторов // "Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 47-70.

72. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье пространства, сопряженного к локально выпуклому // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 67-90.

73. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его применения // Математические заметки. 2006. Т. 79. Выпуск 4. С. 581596.

74. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

75. Прудников А.П., Врычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 1. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2003. 632 с.

76. Прудников А.П., Врычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. М.: Физматлит, 2003. 664 с.

77. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах I. Регулярные операторы и их свойства // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1402-1410.

78. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах II. Свойства решений // Дифференциальные уравнения. 1977. ,Т. 13. № 9. С. 1615-1624.

79. Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология. Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982. 200 с.

80. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. 357 с.

81. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

82. Соломатин О.Д. О полноте систем обобщённых экспонент в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 37-46.

83. Соломатин О.Д. К вопросу об инвариантных подпространствах локально выпуклых пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 3. С. 937-946.

84. Треногин В.А. Краевые задачи для абстрактных эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1966. Т. 170. № 5. С. 1026-1031.

85. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной действительной переменной // Труды Московского математического общества. 1958. Т. 7. С. 227-268.

86. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-диф-ференциальных уравнений в банаховых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 1999. № 2 (1). С. 126-136.

87. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференцпальных операторов в банаховых пространствах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Иркутск, 2008. 238 с.

88. Фалалеев М.В. Обобщённые решения нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика". 2007. Т. 1. № 1. С. 322-329.

89. Фалалеев М.В., Коробова О. В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Сибирскийматематический журнал. 2008. Т. 49. № 4. С. 916-927.

90. Фалалеев М.В., Коробова О.В. Обобщённое решение системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук Высшей школы России. Иркутск, 2008. С. 180-186.

91. Фёдоров В.Е. Теорема Иосиды и разрешающие группы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2003. №3. С. 197-214.

92. Фёдоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 2004. Т. 195. № 8. С. 131-160.

93. Фёдоров В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 5. С. 702-712.

94. Фёдоров В.Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. № 2. С. 426-448.

95. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Том II. СПб.: Изд-во "Лань", 1997. 800 с.

96. Фишман И.П. О граничных значениях решений дифференциально-операторных уравнений // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 3. С. 388-393.

97. Фролов Ю.Н. О неоднородных уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Вестник МГУ. 1960. № 4. С. 3-13.

98. Фролов Ю.Н. О решениях уравнения бесконечного порядка в обобщённых производных // Труды МИАН СССР. 1961. Т. 64. С. 294315.

99. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. 420 с.

100. Цветков Д.О. Малые движения вязкой стратифицированной жидкости // Динамические системы. 2007. Выпуск 22. С. 73-82.

101. Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 9. С. 1183-1195.

102. Якубов С. Я. Кратная полнота для системы операторных пучков и эллиптических краевых задач // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 1. С. 95-113.

103. Favini A., Yakubov Ya. A system of differential-operator equations of different orders in Hilbert, spaces // Mediterranean journal of mathematics. 2007. V. 4. P. 163-177.

104. Hille E. On the differentiability of semi-group operators // Acta Scient. Math. Szeged. 1950. V. 12. P. 19-24.

105. Kato T. Integration of the equation of evolution in a Banach space // J. Math. Soc. Japan. 1953. V. 5. P. 208-234.

106. Kato T., Tanabe H. On the abstract evolution equation // Osaka Math. J. 1962. V. 14. P. 107-133.

107. Lions J.-L. Equations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites. Springer. 1961. 292 p.

108. Yosida K. On the differentiability and the representation of one-parameter semi-group of operators //J. Math. Soc. Japan. 1948. V. 1. № 1. P. 15-21.

109. Yosida K. Time dependent evolution equations in locally convex space 11 Math. Ann. 1965. V. 162. № 1. P. 83-86.