Исследования по переопределенным системам уравнений с частными и их применениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Самборский, Сергей Николаевич

• Самборский, Сергей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1982

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Самборский, Сергей Николаевич

предисловие.

ВВЕДЕНИЕ.б

ГЛАВА I. НОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ -С ЧАСТШМИ производными и краевых задач для них

§1. Предварительные сведения.

§2. Комплексы, связанные с дифференциальными операторами.

§3. Комплексы, связанные с краевыми задачами.

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§4. Теоремы конечномерности для нормализованных операторов.

§5. Эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу.

§6. Теоремы конечномерности дая операторов произвольного порядка.

ГЛАВА III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§7. Эллиптические краевые задачи с параметром.

§8. Параболические системы.

ГЛАВА 1У. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУГРУППОВЫХ МЕТОДОВ

§9. Редукция к уравнениям с операторными коэффициентами.

§10. Системы вида 0= F£>,300).

§11. йнволютивные дафференциальные системы в банаховом пространстве. ^

ГЛАВА У. ПРИДОЖЕНШ К ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЙ

§12. Управляемость и множества достижимости симметричных систем.

Дополнение к

§12. О замкнутых подмножествах и векторных полях в банаховом пространстве.

§13. Управляемость и множества достижимости систем с "дрейфом".

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования по переопределенным системам уравнений с частными и их применениям»

Рассмотрение систем дифференциальных уравнений, граничных и смешанных задач для них без ограничений на форму их записи ( типа свойства системы быть квадратной ) обусловлено, помимо естественности, возможностями применений к исследованию квадратных систем ( вне таких классов, как эллиптические или параболические) и приложениями. При исследовании разрешимости неоднородных систем ряд трудностей связан с возможной переопределённостью и изучением неизбежных в этом случае операторов совместности.

В данной работе для широкого класса операторов (А, В) , где А - дифференциальный, В - граничный линейные операторы, удовлетворяющие условиям регулярности типа невырожденности коэффициентов, указана процедура построения в конечное число шагов ( не выходя за рамки дифференцирования коэффициентов и конечномерной линейной алгебры ) локального ( дифференциально- граничного ) оператора ф - оператора совместности для(А,В>). Этот оператор фигурирует в следующих, полученных в главах „I - III результатах.

1). В вещественно-аналитическом случае для локальной разрешимости граничной задачи (А, В)^ Условия = О не~ обходимы и достаточны.

2). В случае эллиптического оператора А и выполнения условия коэрцитивности ( обобщённого условия Я.Б.Лопатинского ) в гильбертовых пространствах С.Л.Соболева конечномерно пространство Кил Ф/ 1пг( А,В) .

3). В случае параболического оператора Д ( в бесконечном цилиндре с коэффициентами не зависящими от "времени") и выполнения условия коэрцитивности в анизотропных гильбертовых прост

- b ранствах С.Л.Соболева с экспоненциальным весом для разрешимости смешанной задачи С А, 6)^ -(f* ^ ) ( с нулевыми начальными данными ) условия необходимы и достаточны .

Результат п. I) был известен ранее только в частных ситуаци: ях. Результат п. 2)в случае неквадратных систем был известен ранее для некоторых классов операторов А с постоянными коэффициентами и дифференциальным оператором совместности Ф»Фу). Результат п.З) в случае неквадратных систем является новым.

Эти результаты, их детализации и обобщения получены применением новой в теории граничных задач схемы исследования: в множестве граничных задач вводится отношение эквивалентности при котором представители одного класса имеют одинаковые свойства разрешимости. Затем граничная задача заменяется такой эквивалентной задачей, информация о разрешимости которой содержится в главном символе и которая, поэтому, удобна для применения аналитических методов.

Для переопределённых систем ( в частности для систем вида с X, (j, - из банаховых пространств и ненепрерывным оператором F ) исследован аналог задачи Коши ( обобщена теорема Фробениуса ) и тесно связанный с задачей Коши вопрос об интегрируемости дифференциальных систем в банаховом пространстве, порождённых "ненепрерывными" векторными полями ( глава 1У ). Эти результаты применены в главе У к задаче о нахождении множеств достижимости для некоторых классов управляемых систем, описываемых уравнениями с частными производными. Полученные теоремы указывают способ построения такой дифференциальной системы, интегральные поверхности которой являются множествами достижимости. Интегрирование этой дифференциальной системы сводится к интегриро ванию переопределённой системы уравнений с частными производными.

ВВЕДЕНИЕ

Переопределённые системы уравненияй с частными производными ' встречаются в разных задачах дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, комплексного анализа, математической физика, механики. Однако, их роль в общей теории уравнений с частными производными определяется не только этим обстоятельством. Кроме того, что возможную переопределённость следует учитывать при изучении общих систем, переопределённые системы могут служить инструментом исследования и не-переопределённых систем. Поясним это. Если есть два уравнения А^ "i И -j"' t Для которых известно биективное соответствие между решениями при некотором соответствии правых частей -f и , то в вопросах разрешимости естественно считать эти уравнения разными формами записи одного объекта. Этим объектом является класс эквивалентных уравнений при отношении эквивалентности, которое будет описано ниже, а сейчас рассмотрим пример. Система стационарных уравнений Максвелла

A (u-jbT) - ( xct tc+гг3 ъо£ гГ-гс ) - (f*, fa.) и система

LL+V*} elbw,cUtrи)рассматриваемая при условии

А[ (f, к) = ~ 4с, ко)-О обладают одинаковым запасом решений при соответствии С/*, Термин "переопределённая система уравнений с частными производными" носит ориентировочный смысл, указывая на необходимость дифференциальных условий совместности А 5 - О для разрешимости системы А у = j- . С $2. fd^fi-, ) • Однако, из двух эквивалентных задач: описания ядра и коядра оператора А и описания кого-мологий К&ъ А' и Кс/с А^ /1т А комплекса

А' „ I Ах п Н о

-г где <?, <S ', <? " - пространства гладких векторнозначных функций, вторая задача представляется более удобной для изучения, поскольку оператор А' (в отличие от оператора А ) эллиптичен.

Такие свойства уравнения как эллиптичность, параболич-ность, гиперболичность и пр., являются свойствами формы записи и могут появляться или исчезать при изменении формы записи, тогда как свойства разрешимости при этом неизменны: меняются лишь пространства, в которых разрешимы уравнения.

Рассмотренный пример показывает, что при выборе удобной для изучения системы формы записи, система может стать переопределённой, даже если исходная таковой не была.

Переопределённые Са лучше было бы сказать - общие) системы уравнений с частными производными изучались ещё в начале века Ш.Рикье[13б2 и Э.Картаном£ 293 • Для введённых Э.Кар-таном классов систем в инволюции Э. Картаном и Е.Кэллером в вещественно-аналитическом случае была доказана теорема о локальной разрешимости задачи Коши - обобщение теоремы Коши-Ко-валевской*)эта теория систем в инволюции достаточно широко использовалась дифференциальными геометрами. После работ П.К.Рашевокого [ 48]. и М.Кураниши [128], показавших, что изучение разрешимости всякой системы уравнений с частными производными может быть сведено к изучению систем в инволюции, ^Разрешимость одного класса задач получена В.П.Паламодовым£43а] для линейных систем в 60-е годы геометрами был получен ряд важных результатов, в частности, Д.Спенсером и Х.Гольдшмидтом были указаны условия, при которых для дифференциального . оператора А ' £СЕо ) существует и может быть построен в конечное число шагов оператор А±' 8 С который обладает "наилучшими" свойствами среди всевозможных операторов А таких, что А А - О . Например, в вещественных аналитических ростках справедливо равенство Ь^ А ~ Коя. А1# Оператор А* естественно назвать оператором совместности для А , а дополнение к образу А следует описывать в ядре ,

Хотя в последние десятилетия интенсивно развивалась теория краевых и смешаных (начально-краевых) задач для линейных квадратных систем и достижения этой теории в случае коэрцитивных (т.е. удовлетворяющих условию Я.Б.Лопатинского) задач общеизвестны [п, 36,37,87,89,108, многие другие монографии и работы 3 » о системах, не являющихся квадратными или же не принадлежащих таким классам, как эллиптические, параболические или гиперболические, известно гораздо меньше. Наибольшее внимание аналитиков и геометров привлекали краевые задачи для переопределённой системы = f [j2, 43, 126 и ДР.] затем - так называемая D - проблема Неймана, сформулированная Д.Спенсером 97, 143 J и представляющая собой некоэрцитивную краевую задачу, разрешимость которой существенно зависит от геометрии края. Этой трудной и далёкой до полного решения для общих систем проблеме посвящён ряд работ £31, III 141 и другие J , к ним также примыкают работы ["26 здесь и далее £ С Е ) - пространство гладких сечений расслоения £ .

- 28 J Отсутствие для оператора Э и операторов, связанных с геометрическими структурами, локальных коэрцитивных краевых задач;возможно, не побуждало геометров к описанию таких задач и для других переопределённых систем. Между тем, существенно разные свойства комплексов де Рала и Дольбо подсказывают, что едва ли оператор д может служить в случае эллиптических переопределённых систем .такой же универсальной моделью, как оператор Лапласа в определённом (квадратном) случае. Для операторов, связанных с комплексом де Рама (например, для стационарных уравнений Максвелла) существуют и имеют ясный физический смысл коэрцитивные краевые задачи.

Вопросы разрешимости коэрцитивных краевых задач для переопределённых систем разрабатывалась другими авторами, которые ориентировались не на геометрические приложения, а - на математическую физику и развивали методы, ранее успешно применённые в случае эллиптических и параболических квадратных систем. Сюда относятся как отдельные работы, посвшцённые переопределённым системам[щ 15-17,35,85-86,XOfJ особенно' -*"". связанным с комплексом де Рама, в частности, системе уравнений Максвелла, так и работы В.А.Солонникова £ 90 - 96 ] И.С.Гудович и С.Г.Крейна£l4, 18, I9J и др. для общих эллиптических переопределённых систем. В работах £91, 92] доказывается конечномерность ядра оператора краевой задачи С) - Cf * в случае эллиптического оператора и выполнения "условия накрывания". Остальные работы из-за трудностей, возникающих при описании пространства

А^/Хюпы о подходящим дифференциальным оператором сов -местности Ai ограничиваются случаем дифференциальных операторов А с постоянными коэффициентами. В этом случае построение оператора совместности следует из соображений, связанных с нётеровостью кольца полиномов. Можно, однако, показать, что эллиптичности оператора А и выполнения условия Я.Б.Лопа-тинсткого не достаточно для того, чтобы утверждать конечномерность пространства Кс/с А' / -Em (А. В") для некоторого дифференциального оператора А7 (пример Б.9 в данной работе). В работах £ 93 , 95 [] на оператор А накладывается ряд дополнительных условий явного вида, в работах [^14 , 18 , I9j эти условия носят неявный характер, хотя могут быть проверены для конкретных операторов, например, в случае стационарных уравнений Максвелла.

Есть одна общая черта в цитированных работах как дифференциальных геометров, так и специалистов по уравнениям с частными производными: исходным объектом является оператор А (или краевая задача (А,В)^ =f). Заключения о его ядре и образе делаются в конечное число шагов, не выходящих за рамки решения линейных алгебраических систем и дифференцирований, для чего в частности, строятся комплексы вида

0 60 * £ 1 -* *.

Известны также работы, в которых, в отличие от цитированных выше работ, исходным объектом являются именно комплексы, и изучаются условия конечномерности их когомологий {^23, 130,132,133,1353 . Эти работы ведут начало от статьи Атьи и Ботта £112]» в которой введены эллиптичесике комплексы дифференциальных уравнений на многообразии без края. В работе 23 анонсируется теорема конечномерности для комплексов псевдодифференциаяьно-граничных операторов , а в работах [j30

I32,I33,I35j] доказывается конечномерность когомологий для комплексов ещё более общих операторов Буте де Монвеля. Источник примеров таких комплексов остаётся неуказанным (или неясным?), а усилия авторов направлены на обобщение теоремы об индексе (роль индекса для квадратных эллиптических систем в случае комплексов играет эйлерова характеристика).

В данной работе исходным объектом всегда является уравнение ос у. = j- , где - оператор краевой задачи, либо задачи Коши. Поэтому в работе много внимания уделено средствам, с помощью которых формулируются условия совместности обf f = О для разрешимости системы и у. = j .С точки зрения, принятой и в этой работе, представляют наибольший интерес такие конструкции, которые могут быть выполнены в конечное число шагов. В этом случае, например, утверждение о конечномерности или равенстве нулю пространства Ke/^oi. /irrюс заведомо не может быть тавтологическим, так как задача, требующая для непосредственной проверки бесконечной процедуры, сводится к задаче, решаемой конечной процедурой. С другой стороны, если для описания образа oL построение оператора ос/ требует бесконечной процедуры, то имеется риск малосодержательных утверждений. Например, на многообразии без края для эллиптического (переопределённого) оператора А в соболевских пространствах можно положить оператор А* ортогональным проектором на Кш А* , где А* - формально сопряжённый оператор Тогда очевидно, Im. А - А±, в случае многообразий без края показано в работе что Ajl - псевдодифференциальный оператор, но для краевых задач подобных результатов нет. но проверка условия Ай j - О не эффективна, и содержательность этого утверждения невелика. С другой стороны, комбинируя формальную теорию Д.Спенсера 97 и результаты Атьи-Ботта, можно в рассмотренном случае указать конечную процедуру построения такого дифференциального оператора Ad. , что dom Kszrt А± / А <°° , или (в некоторых случаях ) Клгь А± - Im- А .

В данной работе большинство результатов о разрешимости уравнений ы у. - jf имеют форму утверждений о когомологиях комплексов вида о - <§ —о.

В этих комплексах все пространства и операторы строятся по оператору оС конечными процедурами, а условия проверяются в конечное число шагов, не выходящих за рамки линейной алгебры и дифференцирований коэффициентов. Комплексы не являются исходным объектом, а служат лишь инструментом изучения свойств разрешимости уравнения Ыу. - . Это основная причина, побудившая в этой работе ограничиться классом дифференциальных операторов, поскольку даже в классах псевдодифференциальных операторов такие здонечныепроцедуры неизвестны, а возможно, и не свойственны природе этих объектов.

Определим отношение эквивалентности, упомянутое в начале введения. Пусть зафиксирован определённый класс задач, например, краевые задачи, начально-краевые задачи и пр. Ограничимся линейными задачами, задающимися дифференциальными уравнениями с гладкими коэффициентами. С кадцым таким классом свяжем подкатегорию категории линейных пространств и отображений, включающую оператор задачи в качестве морфизма. Например, для краевых задач с аргументом, меняющимся на многообразии Л1 с краем Г , объекты этой категории, которую обозначим через а - пары ^пространство £ СЕ ) гладких сечений расслоения Е над М , пространство £ С G) гладких сечений расслоения G над Г) ; морфизмы - дифференциально-граничные

ДГ-J операторы, т.е. отображения из £( Е) х € CQ ) в С Е~') * 8 CG') » составленные из дифференциальных операторов и операторов сужения сечения на границу Г . Два оператора оL ' 6 ( Е0 6 ) , ос' ;

ECEj ) —* £ С ) х £ (Gz ) , определяющие граничные задачи U Ц. ~ Cfjfy) и сt'% = назовём эквивалентными, если коцепно эквивалентны комплексы

О £ С£~о) —* 6С£*)х в категории (As (^определение эквивалентных комплексов напоминается в 1.2.8, все отображения, участвующие в эквивалентности, принадлежат (JL). У эквивалентных операторов могут быть различными скяп Е0 и с&тп Е0\ dimE1 и di/riEf ът порядки операторов о( и о^ ' , однако для эквивалентных операторов к о(' при описываемых ниже условиях типа невырожденности коэффициентов могут быть построены коцепно эквивалентные комплексы

О - SCaB) £ с ECG^ J -Л. 6Сел > f^J ,, в категории а В частности, изоморфны Квл ы и Кш ; Шл. Ф /Гт. о( и Кш. Ф /Ггп о(" . Иными словами, всякая информация о разрешимости задачи Ы.' у ~ ■j- / влечёт такую же информацию о разрешимости задачи Ы у = 3 , причём явная запись эквивалентности позволяет указать явное соответствие между рещениями неоднородных уравнений % - и - jf при явном соответствии правых частей /и j

Таким образом, в каждом классе эквивалентности можно выбирать для изучения любой представитель, поэтому естественно выделить представители, в каком-дщбо смысле наиболее удобные для изучения. Этот смысл различен для разных задач. В разделе данной работы, посвящённом краевым задачам, мы стремились к выделению таких представителей, у которых информация о разрешимости соответствующей задачи сосредоточена в главном однородном символе и которые обладают формальными свойствами, максимально упрощающими построение и исследование естественно связанных с этими задачами комплексов. Вообще говоря, такие представители, названные нормализованными, точное определение приведено ниже, переопределены.

Основные теоремы части работы, посвящённой разрешимости систем, краевых и начально-краевых задач для них (главы I - IIlJ, получены с использованием следующей схемы: на первом шаге для оператора о^ из достаточно широкого класса операторов явно в конечное число шагов строится эквивалентный нормализованный оператор oL , на втором шаге, используя хорошие формальные свойства

Л' этого оператора, в конечное число шагов строится комплекс начинающийся с об и делаются заключения о его когомологиях; на третьем шаге явными формулами по комплексу 1У строится комплекс начинающийся с оС и эквивалентный

IT.

Как это бул» дет описано ниже, этот комплекс 1? является "наилучшим" среди комплексов в выбранной категории в том смысле, что он обладает "наименьшими" когомологияим. Иными словами, он наилучшим образои описыват разрешимость неоднородной системы Ы. ^ . При преобразовании о(. —* oL не теряются такие свойства формы записи, как, например, эллиптичность или параболичность, Напротив, эти свойства могут появиться обычно одновременно с -переопределённостью , что позволяет использовать изложенную схему не только для исследования переопределённых систем, но и для исследования многих задач из изучавшихся ранее классов неэллиптических квадратных систем (таких, как равномерно не -эллиптических £9, 10^ , слабо эллиптических [50-62J *")в случае систем уравнении с частными производными.*^

Перейдём к изложению содержания работы. Работа состоит из введения и пяти глав, которые разбиты на параграфы. Кроме утверждений, в которых формулируются условия разрешимости краевых или начально-краевых задач (главы I - 1У), в работе рассматриваются также обобщения классической теоремы Фробениуса об интегрировании переопределённых систем специального вида (с точки зрения теории уравнений с неограниченным оператором в банаховом пространстве, глава 1У) и приложения этих результатов к вопросам управляемости систем, описываемых эволюционными уравнениями с частными производными (глава У). В последних двух главах рассматриваемые уравнения не предполагаются линейными.

Удобно напомнить, некоторые сведения из формальной теории дифференциальных уравнений. Точные формулировки приведены в §1 "Предварительные сведения", изложение в котором следует большей частью обзору £9?J . Ограничимся во введении, для простоты, случаем области S2 в ft чмерном эвклидовом пространстве RK . В основном тексте рассматриваются векторные расслоения над многообразием с краем, и изложение ведётся на

Отметим, что в работах [*9,10 , 58-60 ] системы задаются псевдодифференциальными операторами, так что область применения результатов данной работы пересекается с результатами цитированных работ, но не содержит их-(и даже в случае дифференциальных операторов ). инвариантном языке струй. Пусть А К ) £Ул)дифференциальный оператор с частными производными, где Y0 и Vi ~ эвклидовы пространства и 6 (££, У) - пространство гладких функций на £ со значениями в У . Предположим, что порядок оператора А равен К . Раскладывая Уй по базису, имеем

A z С А ± 9 . , Am ) 9 где т - cUnm. У± . Применяя к строкам Ас всевозможные дифференциальные операторы Вс- порядка не выше 1-К из соотношения А у = О , мы получаем дифференциальные следствия вида Z. с- В с А с Ц ~ О порядка £ -t . Мо-&ет случиться при некотором <£ , что среди дифференциальных следствий порядка £ (после учёта равенства смешанных производных) есть такие, которые имеют порядок 6' < С и не являются линейными комбинациями (над кольцом функций) дифференциальных следствий порядка t ' . Если этого не происходит ни при каком t , то оператор А называется формально интегрируемым (другой подход к определению формальной интегрируемости см. в ). Отсутствие формальной интегрируемости означает некоторую "неполноту" записи оператора А , эта "неполнота" может быть устранена дописыванием строк, являющихся дифференциальными следствиями строк Ас . Важно отметить, что это дописывание производится в конечное число шагов [97,120 3 и что проверка формальной интегрируемости требует для каждого оператора А использования лишь конечного числа порядков С . В примере A (u,,lf)-(rtot сс + +1Г, ZC^y-lc. ) оператор А не является формально интегрируемым, тогда как А'(и-, W)- [tot со+гг^ zot if--ЬС?с1М/г/? cti/irос) уже является таковым.

Далее напоминается понятие инволютивности оператора А.

Это свойство, играющее чисто техническую роль, определяется главным символом А и заключается в обращении в нуль кого-мологий Д. Спенсера для символа А . Для ближайших рассмотрений достаточно знать только то место, которое занимают инво-лютивные операторы среди всевозможных: для всякого оператора А инволютивным является при некотором С оператор где - 2М. ) . При этом число £ моа ' 'ЪЭС*. ' жет быть оценено сверху по числам л , Y и порядку оператора А ( <? -лемма £97 ] ).

Далее рассматриваются формально точные комплексы, связанные с дифференциальными операторами. Способ построения таких комплексов для формально интегрируемых операторов в конечное число шагов указан Д.Спенсером [97J . После применения конструкции Спенсера получается комплекс глобально определённых операторов. Для изучения его свойств полезно иметь явные локальные выражения операторов из этого комплекса, а их получение непосредственно из конструкции Д.Спенсера достаточно затруднительно. Решению этой задачи посвящён § 2.

В §2 рассмотрены формально интегрируемые инволютивные дифференциальные операторы А с эпиморфным символом (последнее свойство означает, что среди соотношений А у 5 О нет соотношений порядка меньшего, чем порядок оператора А ). Такие операторы называются нормализованными и их изучение основывается на имеющем для них место коммутационном соотношении (предложение 2.2). Это коммутационное соотношение позволяет решением линейной алгебраической системы определить дифференциальный оператор первого порядка А , который, в свою очередь, определяет явный вид оператора совместности предложение 2.4). Далее показывается, что оператор совместности А а. также является нормализованным (предложение 2.8), поэтому применяя к нему ту же процедуру, что и к оператору А и поступая аналогично далее, получаем комплекс

SCQ.У.) 1)sea,о, (0,1) длина которого не превышает ofomSi + d. (но может быть оценена и точнее (следствие 2.13)) и который строится в конечное число шагов, не выходя за рамки линейной алгебры (при каждом эс € S2 ). Б случае, когда исходный оператор не является нормализованным, указывается конечная процедура перехода к эквивалентному (в описанном выше смысле) оператору А , для оператора А строится комплекс (0.1), а затем явно выписываемыми коцепными эквивалентностями строится эквивалентный ему комплекс, начинавшийся с оператора А . При этом на оператор А накладывается условие "достаточной регулярности" (термин принадлежит X.Гольдшмидту£97,12 б] которое означает некоторую "невырожденность" коэффициентов оператора и их производных (и всегда выполняется для операторов с постоянными коэффициентами) (см. примеры 1.5 - 1.9). Выполнение условия достаточной регулярности гарантирует, что оператор А может быть заменён в конечное число шагов эквивалентным формально-интегрируемым оператором.

Таким образом, в §2 указан явный способ локального построения комплексов совместности, отличный от способа построения Д.Спенсера технически, дающий явные формулы, часто используемые в дальнейшем тексте и, заметим, практически требующий меньших вычислений, чем способ Д.Спенсера.

Накладываемое везде в первых трёх главах условие бесконечной дифференцируемости служит только для большей простоты изложения и может быть заменено требованием лишь конечной дифференцируемости коэффициентов. Описание требуемых для проведения всех конструкций порядков дифференцируемости приведено в замечании 2.16.

Третий параграф посвящён формальной теории краевых задач, разрабатываемой впервые. Оператор краевой задачи

А, В) : <W^><f( где G± - расслоение над границей Г области , в конечное число шагов, описываемых в §3, заменяется эквивалентным оператором Т где А - нормализованный оператор первого порядка, а оператор В содержит лишь дифференцирования по касательным к Г направлениям. Оператор (Я, В ) с такими свойствами называется в работе нормализованным. Добиться указанного свойства оператора В очень просто, например, так: сначала следует повысить порядок оператора А , чтобы он стал выше порядка В , заменяя оператор А оператором А ^ = ( А, А, £>2 А ,., А ) , а затем перейти в операторе ( В) к оператору ( А \ В' ) первого порядка с помощью стандартных замен вида Эу/Эх; -"ч* . Получим оператор нулевого порядка. Конечно, при такой процедуре получается переопределённая система ( А, В у $ r ( i Л ^ ) даже если система (А, В) , g. ) была определённой (т.е. с нулевым оператором совместности ).

Далее формулируется "условие регулярности" ('условие 3.7) означающее достаточную регулярность некоторого дифференциального оператора © , индуцированного в сечениях над границей

-20л <~

Г оператором ( А, В) . Для нормализованного оператора граничной задачи ( А, В) , удовлетворяющего этому условию регулярности, указывается конечная конструкция построения ДГ-оператора , называемого далее оператором совместности для С А, В) .

Кроме оператора Ф1 указываются также такие операторы

С*

4>l ( I £ 4. ) , что возникает комплекс ^ обладающий, в частности, следующим свойством: если конормаль к границе является направлением наименьшего вырождения символа оператора А (что, в частности, выполняется для эллиптических или параболических операторов А) то число

I—• dim /Im ф- 1 минимально среди всех чисел <jUm F&t Ч7 /Im Фм для ДГ-операторов У со свойством

У ^Vi "(9 (ф0=(А, В)(предложение 3.19). Для произвольного оператора граничной задачи (А, В) с достаточно регулярным оператором А указывается конструкция (конструкция ЗЛ4), в конечное число шагов заменяющая ( А, В) эквивалентным нормализованным оператором • Оператор (А, В) предполагается далее удовлетворяющим следующему "условию регулярности" ('условие 3.15), означающему "невырожденность" коэффициентов: эквивалентный ему оператор (А, Б) удовлетворяет вышеупомянутому условию регулярности 3.7, В этом случае по комплексу (0.2) для ( А, В) явными формулами строится комплекс ДГ-операторов коцепно эквивалентный комплексу (0.2)и поэтому обладающий теми же свойствами "минимальности" когомологий ( GL- расслоения над Г) . Комплекс (О.з) называется комплексом совместности оператора (А, В) , описанию его формальных свойств посвящена теорема 3.24.

Комплекс (0.3) и-результаты §2 применяются для исследования разрешимости неоднородных локальных краевых задач в вещественно-аналитическом случае.

Теорема 3.2 5 утверждает, что если конормаль ^ к границе Г является направлением наименьшего вырождения символа оператора А и оператор (А, В) удовлетворяет условию регулярности 3.15, то точен комплекс пучков вещественно-аналитических ростков, порождённый комплексом (0.3). В частности, для операторов с вещественно-аналитическими коэффициентами необходимым и достаточным условием локальной разрешимости граничной задачи в пространстве вещественно-аналитических функций) является условие

Фа С*, проверяемое в конечное число шагов.

Таким образом, в главе I для широкого класса краевых задач указывается конечная процедура построения комплекса дифференциально-граничных операторов, начинающегося с оператора исходной краевой задачи. Изучение разрешимости краевой задачи

А, 63 ^ - С ) сводится к изучению когомологий этого комплекса, которые изоморфны когомологиям комплекса совместности для эквивалентной нормализованной краевой задачи. Построенный оператор совместности является "наилучшим" среди

ДГ-операторов для изучения разрешимости краевой задачи и даёт условия разрешимости в вещественно-аналитическом случае.

Вторая глава посвящена условиям конечномерности кого-мологий комплексов совместности краевых задач в соболевских пространствах функций (сечений расслоений ) , что даёт, в частности, описание условий разрешимости Сс конечномерной точностью^ неоднородной краевой задачи.(А, В) ^ - .

В §4 рассматриваются нормализованные операторы граничных задач. Обозначая через НС- ),НЪ) гильбертовы пространства С.Л.Соболева функций (сечений расслоений),для нормализованного .оператора граничной задачи ( А, В) рассматривается комплекс н for.) ^ > - н "сл&унХи где p>i - мультииндексы, определяемые порядками операторов. Введём следующее обозначение: в«координатной окрестности точки Хб Г с координатами (^п.) , в которых граница задаётся уравнением ~ О , обозначим для каждого вектора =С?*>""> через ^ Ч. ) обыкновенный ДГ-оператор на полуоси, получающийся после формальной замены в ^ всех -I 9Xj На fy ( J , фиксации коэффициентов в точке ^ и отбрасывания членов младшего порядка С по Дуглису-Ниренбергу ) .

В теореме 4.2 рассматриваются операторы А с постоянным дефектом , т-.е. такие, что dunn Иш сo^C^j А) не зависит от г , % (определение 1.26 ) . Для таких операторов устанавливается, что конечномерность пространства

К^гб Ф* / 1т (ГА, В) вытекает из следующего условия коэрцитивности: при всех Хв Г , £ 6 Т^Г С о) точен комплекс

Ж -G±--—* где - множество функций на полуоси, стремящихся к нулю на бесконечности, Ф^2 - компонента . оператора совместности Ф* , действующая в сечениях расслоений и GA над границей Г.

В теореме 4.4 показывается, что для таких нормализованных операторов (А? , что dom. Н&ь А С*, О WX, < оо и не зависит от у эквивалентны условия :L)эллиптичность оператора А вместе с условием • точности комплекса /v /^22

-». ^ilx и и) конечномерности когомологий комплекса

Пространства функций в области л в теоремах 4.2 и 4.4 имеют вид HS(5l,Y ) , где 5 - число, и в этих теоремах речь идёт об однородной эллиптичности, а не о более общей эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу. В следующем параграфе показывается, что изучение эллиптичных по Дуглису-Ниренбергу систем может быть сведено к рассмотренному случаю. Однако, прежде сделаем небольшое отступление.

Вообще говоря, можно было бы строить формальную теорию, аналогичную теории Спенсера или рассмотрениям главы I, с учётом различных весов строк и столбцов в записи матрицами дифференциальных операторов. В такой теории, например, формально интегрируемым следовало бы считать оператор — ) в случае, если порядки операторов Л)* и о£>^ различны (в теории Д.Спенсера это не так^) . Такая теория была бы ориентирована на изучение эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу, подобно тому, как теория Спенсера ориентирована на изучение однородной эллиптичности, но можно добиться той же це

- 24ли и в рамках формальной теории главы I, как мы сейчас это опишем.

Пусть, например, А : Н Г/)эллиптический по Дуглису-Ниренбергу оператор с весами и tj Как хорошо известно, [" IIJ его можно заменить эллиптическим оператором А - ТА S , но так как операторы £ и Т являются, вообще говоря, псевдодифференциальными, то такая замена в переопределённом случае нежелательна из-за отсутствия конечных процедур построения операторов совместности для псевдодифференциальных операторов. Причина возникновения псевдодифференциальных компонент - отсутствие дифференциального эллиптического оператора первого порядка на скалярных функциях. Между тем, существдат квадратные эллиптические системы первого порядка и краевые операторы, устанавливающие изоморфизмы f где Е , Е\ G - некоторые расслоения над SI и Г~ djl ( явное построение такого оператора даётся в лемме 5.1 )

Пользуясь этими изоморфизмами, в конструкции 5.5 оператор С А ? &) 1 где А - эллиптический по Дуглису-Ниернбергу дифференциальный оператор, заменяется оператором (А\ В) , в котором А' - эллиптический дифференциальный оператор, вообще говоря, переопределённый, даже если А был квадратным оператором. Операторы (А, В) и (А 9 & ) эквивалентны (в категории более широкой, чем категория ДГ-операторов) , так что в вопросах разрешимости краевых задач описаная замена и переход к эквивалентному нормализованному оператору позволяет использовать теорему 4.4 для получения теорем о конечномерности когомологий в комплексах соболевских пространств вида

Ф. * Ф; Н^СG;).

Заметим, что само по себе улучшение формальных свойств дифференциального оператора, при замене оператора А эквиваv лентым ему нормализованным оператором А часто приводит к эллиптичности: если исходный оператор эллиптичен по Дутлису-Ниренбергу с весами (S ) "Ьд,.,, t^.) или ^m 5 i) и нормализован, то он эллиптичен (предложения 5.7, 5.10, 5.II ) ( иногда такая замена приводит к эллиптическому оператору даже если оператор А не эллиптичен по Дуглису-Ниренбергу ни при каких весах).

В §6 описывается "подправка" граничных условий при переходе к оператору первого порядка (конструкция 6.1 ) . Если "подправленный" нормализованный оператор ( А, о) , эквивалентный оператору (А, в) удовлетворяет условиям теоремы 4.4, и оператор А формально интегрируем, то конечномерны когомологии комплекса совместности для

А, В) в соболевских пространствах ("теорема S.3 ) . При этом все "разрешимые" в соболевских пространствах краевые задачи могут быть описаны переходом к эквивалентному нормализованному оператору и применением теоремы 4.4 (предложение 6.5) .

Основной результат §6 - теорема, дающая для краевых задач условия разрешимости в терминах исходного оператора, т.е. без перехода к эквивалентному оператору (теорема 6.7) . Эта теорема утверждает, что если формально интегрируемый оператор А эллиптичен и выполняется следующее условие коэрцитивности: при любых Х6 Гj? 6Т л Г , точен комплекс ч С*Л) Г ,

О Km А(х>Ч)пт+-"Gal*- ^1x9 то конечномерны когомологии комплекса

С Здесь - ДГ-оператор совместности, строящийся в конечное число шагов согласно конструкции из §3, фл - его компонента действующая в сечениях над границей Г , р a t fi ц - муль-тииндексы, определяемые операторами В ,

В случае, если оператор А не является формально интегрируемым, его можно заменить формально интегрируемым оператором

А,РА) Если получаемый оператор (А, РА, В) (очевидно эквивалентный оператору (f\} В) ) удовлетворяет условиям теоремы 6.7, то утверждается точность комплекса

У у где

- некоторое гильбертово пространство (вообще говоря, не соболевское ) норма в котором определяется по оператору Р (предложение 6.10 ) .

Теоремы §6 позволяют сравнить результаты данной работы с результатами предыдущих работ по эллиптическим краевым задачам без вырождения в случае гильбертовых пространств С.Л.Соболева, в том числе- и для переопределённых систем £ 18,

93, 95 J . Заметим, что авторы всех этих работ ограничивались случаем отсутствия переопределённости на границе. Иэ упомянутых теорем вытекает, что для всякой краевой задачи, удовлетворяющей любым условиям, при которых имеет место теорема конечномерности в соболевских пространствах, таковая теорема может быть получена и по описанной в данной работе схеме. Иными словами, круг задач, к которым применимы результаты данной работы не уже круга задач, охватываемого работами £ 18, 93, 95 J предцдущих авторов. В случае переопределённых систем этот круг шире . - .;(за счёт употребления операторов совместности более общего вида) даже в случае постоянных коэффициентов. Однако, процедуры, которые следует выполнить для проверки, применимости теорем данной работы или теорем из работ ^ 18 , 93, 95 J различны. Поэтому возможны случаи, когда применение результатов из работ

93, 95 J позволяет получить теоремы о нормальной разрешимости с менее трудоёмкими вычислениями, что практически может иногда оказаться более удобным, чем применение результатов данной работы. За рамками систем с постоянными коэффициентами автору неизвестны иные пути исследования, кроме того, что описан в главах I и II этой работы.

С теоремами конечномерности; связана задача вычисления эйлеровой характеристики соответствующего комплекса (индекса краевой задачи в случае квадратных эллиптических систем ). Можно показать, что ко всем комплексам, когомологии которых конечномерны в силу теорем из главы II, применима формула для вычисления эйлеровой характеристики, полученная в £"23, 132 135 J и обобщающая теорему Атьи-Зингера об индексе.

Третья глава посвящена, в основном, начально-краевым задачам для параболических систем. В этой главе мы следуем известной схеме, по которой сначала рассматриваются эллиптические системы с параметром, а затем с помощью преобразования Лапласа к ним сводятся параболические системы. Поскольку переопределённые эллиптические системы с параметром могут представлять самостоятельный интерес, их рассмотрению посвящён отдельный параграф (§7) . Так же, как и в предыдущей главе, для оператора краевой задачи (но на этот раз с параметром X из угла Q в комплексной плоскости ^ , обладающего свойством "невырожденности", строится в конечное число шагов эквивалентный нормализованный оператор краевой задачи ( аМ, В (X) ) . Нормализованность в случаесистем с параметром обозначает, что оператор, в котором параметр формально заменён на Э / ^^ , является нормализованным в смысле, рассмотренном в главах I и II.

Далее вводится понятие эллиптического оператора с параметром (определение 7.8) и коэрцитивной краевой задачи с параметром (определение 7.9) , являющиеся естественными обобщениями на случай переопределённых систем определений из . Отметим, что, как и в главе II, условие коэрцитивности заключается в точности при каждых лгеГ, Г и А € Q. комплекса конечномерных векторных пространств. Для каждой краевой задачи с параметром строится комплекс дифференциально-граничных операторов с параметром.

Основная; теорема §7 (теорема 7.10) утверждает, что для нормализованного оператора краевой задачи С А СМ, из эллиптичности с параметром оператора А ( ^) и условия коэрцитивности следует при достаточно больших значениях параметра А £ Q точность комплекса совместности в соболевских пространствах (и в пространствах гладких сечений).

В §8 вводятся параболические системы в цилиндрических областях как такие, для которых формальная замена Ъ/ ЪЬ На £

JW- ■ приводит к эллиптическим с параметром , меняющимися в угле I ол^ уи | < 1Г/ & € . Праболические переопределённые системы рассматривались ранее. Работа [ 83J посвящена одной специальной системе, а основной результат работы £l04J утверждает единственность решений параболической краевой задачи, удовлетворяющей "условию накрывания". Что касается неоднородного уравнения, то в работе £l04j показывается существование левого обратного оператора к оператору (А , В) , однако никакой процедуры построения оператора совместности не указывается и из доказательств не следует, что оператор совместности . может быть выбран локальным оператором.

Основной результат §8 - теорема 8.4, утверждающая, что если в операторе граничной задачи (А>В) (с коэффициентами, не зависящими от "Ь) оператор А , получаемый из оператора А формальной заменой 26/9t На де/9£в формально интегрируем, оператор А - параболичен и выполняется "условие коэрцитивности", то при достаточно больших X точен комплекс совместности в гильбертовых анизотропных простран

- yt ствах С.Л.Соболева с весом С . В частности, в описанной ситуации и в упомянутых пространствах неоднородная смешанная задача с нулевыми начальными данными разрешима (и притом однозначно) тогда и только тогда, когда

Ф± (f.f) -о.

В случае ненулевых начальных данных вводится условие согласованности (условие 8.8) и показывается, что при выполнении этого условия для всяких 4>j , -jr, J. , удовлетворяющих также дифференциально-граничному условию совместности ф4 С fj % ) - О существует и единственно решение в анизотропных соболевских пространствах с весом е сме-шаной задачи = % , Ъ * у / Э-fc* теорема 8.9 ) .

Если оператор А не является формально интегрируемым, но формально интегрируем оператор (РА, А) где дифференциальный оператор Р получен из Р формальной заменой на , то пространство отображений Y±) из комплекса (0.3) следует снабдить нормой графика оператора Р . Взяв остальные пространства в комплексе совместности для С А у В) такого же типа, как и в теореме

4, можно утверждать точность комплекса совместности для ператора (А.? (предложение 8.15 ) , если оператор (РА,А ? В ) довлетворяет условиям теоремы 8.4.

Применение этих теорем позволяет утверждать разрешимость екоторых краевых и смешанных задач для систем, не являющих-я параболическими в известных ранее erneлах. Эти системы мо-ут быть даже квадратными с нулевым оператором совместности 'пример 8.16

В главах II - III исследуется разрешимость краевых за-а.ч только в гильбертовых пространствах С.Л.Соболева. Одна-з, основное содержание этих глав связано с выявлением та-ях алгебраических свойств комплексов, порождённых краевыми адачами, чтобы аналитическая часть доказательств- (использо-а.ние преобразований Фурье и Лапласа, возмущение младшими чле-ши и пр.) могла быть почти полностью позаимствована из тео-ш квадратных систем. Поэтому представляется вероятным, что 5общение результатов этих глав на негильбертовы пространства )жет быть без особых дополнительных трудностей проведено в 5х случаях, в которых аналитическая часть уже разработана гя квадратных систем.

В главе 1У к переопределённым системам применена хорошо шестная точка зрения, согласно которой эволюционные уравне-!Я с частными производными рассматривания как обыкновенные >авнения с неограниченным оператором в банаховом пространстве.

Б параграфе 9 рассматриваются нормализованные (т.е. формально интегрируемые инволютивные и с эпиморфным символом) системы уравнений первого порядка. Напомним, что, согласно результатам, изложенным в главе I, к изучению таких систем сводится задача изучения разрешимости произвольных систем с достаточно регулярным оператором.

Пусть А г У) — 6CU.W) - нормализованный дифференциальный оператор первого порядка. Тогда в локальной системе координат Сх х*-) в % оператор А после применения изоморфизмов к У и IV может быть записан в виде где кД фД &, уг-^

6 Ус", %7 € Ус" , дифференциальное выражение Z/ не содержит 9 / ^зс^ при , а дифференциальное выражение LJ не содержит при J- £29,48, 128] ^Используя это представление, Э.Картан поставил следующую задачу, обобщающую для инволютивных переопределённых систем классическую задачу Коши: по заданным yl^V^ и функциям от хл>. 5 х ^ со значениями в Ус найти такое решение С ^ а-»"-? У-*-**-) системы А у. - О , что ус(х±г

0) - у г • Используя теорему Коши-Ковале®.ской; Э.Картан показал локальную разрешимость этой задачи в вещественно-аналитическом случае [29, 48 J

В §9 рассматривается следующий вариант задачи Коши-Кар-тана: уравнение А ^ - О рассматриваются в области *. х je* , где de£zi:cLi9eci,&iSo,ei>o и данные Коши-Картана - функции у? - выбираются из функциональных пространств

Я ,элементы которых - функции от

X Ld со значениями в Y£ . Решение ищется в пространстве ФйС dC 3£l * эе^ , ) , где пространство дифференцируемых функций на компакте Ж со значениями в cF . Б §9 описывается схема редукции этой задачи Коши-Картана к задаче Коши для эволюционных уравнений

Ф ч- Л-гсГ+ + Я>.и/- = 0 (0'8) где иг Sj,и/~£ операторы Aji , (не являющиеся, вообще говоря, дифференциальными), зависят от параметров Хг+z,.,., (теорема 9.6). Исследование полученных задач Коши связано с двумя трудностями: во первых, с получением в явном виде операторов , и, во вторых, с исследованием их зависимости от параметров. Однако, для того, чтобы утверждать разрешимость (или корректность) задачи Коши для уравнения (0.8), не обязательно иметь явный вид оператора Л г , часто достаточно знать его главную часть (в том или ином смысле) и пользоваться теорией возмущений. Б работе рассмотрен пример - произвольные двумерные системы (т.е. С ^я. ) ). Б этом примере оператор иИЬ^ , от которого зависит разрешимость задачи Коши-Картана, представляется в виде суммы двух слагаемых - » где оператор сне является дифференциальным, но ограничен, а немедленно выписывается явно по оператору /{ и имеет вид 03-й-,, ) С О, & у я. ) * причём Л - дифференциальный оператор первого порядка в пространстве функций от переменной х* £ - пространство, учавствующее в постановке задачи Коши-Картана). Поэтому задача Коши-Картана разрешима, если л порождает эволюционную систему (предложение 9.12). Для проверки последнего свойства имеется обширная литература.

Для систем с большей размерностью аргумента, в отличие от двумерного случая, аналогичное разложение операторов не всегда имеет место, хотя в некоторых случаях теория возмущений может быть применена. Другой простой случай, когда операторы выписываются явно - системы вида + U■,<£ ^О (с**,.,™) где Li - дифференциальные операторы, содержащие дифференцирования по , . В этом случае - L с . Однако-, этот случай включается в случай более общих переопределённых систем, рассматриваемых в следующем параграфе иным методом.

Начиная с §10 и до конца работы, рассматриваются нелинейные уравнения, а упрощения, возникающие в случае линейных уравнений, обычно оговариваются.

§10 начинается с изучения зависимости от параметров решений эволюционных уравнений. Выше упоминалось, что такая задача, в частности, возникает при редукции задачи Коши-Кар-тана к задаче Коши для эволюционных уравнений (0.8).

Пусть В и В+ - банаховы пространства, причём В+ -непрерывно вложено в В и I - оператор вложения. Рассматривается эволюционное уравнение вида (IyttV) = Я*,1^),*), где 2 - параметр из открытого множества 26 банахова пространства Е и отображение j- действует непрерывно дифференцируемо из Со,~П х Bfx ^ в В .

Предположим, что существует такое банахово пространство В , содержащее В , что f расширяется до непрерывно дифферехщируемого отображения из L^^J х в В в случае дифференциальных операторов -f в шкалах пространств это предположение всегда выполняется). Пусть операторы

•, 2 ) - т - диссипативны при всяких t,-2 и выполнено дополнительное условие, означающее, грубо говоря, что при разных Ъ операторы ' > &) имеют одинаковую "степень неограниченности". Тогда утверждается (теорема 10.5), что слабое решение <^.£"6,2:) задачи Коши с начальным данным ty С °> ^ ) ~ » если оно существует при каждом Ъ £ 26 , слабо дифференцируемо зависит от Ъ в норме 8 и дифференцируемо зависит от 6 в норме В . Условие т -диссипативности j- C~t} 'j £ ) можно заменить более слабым условием так называемой т -квази-диссипативности, т.е. т -диссипативности отображений f , ' > 2 ) - С С*)I о некоторой непрерывной на ^ функцией С . Требование существования слабых решений во многих важных случаях (например, в пространствах с равномерно выпуклым сопряжённым) излишне. Заметим ещё, что для нелинейных уравнений в банаховых пространствах условие квазидиссипа-тивности не является в настоящее время слишком обременительным, поскольку большинство известных результатов о разрешимости задачи Коши получено в предположении выполнения этого условия. Отметим, что, хоть это и не отразилось в данной работе, теорема 10.5 может быть использована для обоснования приближённых методов решения нелинейных уравнений с частными производными и в других ситуациях. В этой работе теорема 10.5 используется при рассмотрении задачи Коши для системы

D = F ($ ), (0.9) в которой ^ - отображение из области ^ банахова пространства Е в банахово пространство & + и F - непрерывно дифференцируемое отображение из в Е* <8> В ) I - вложение в В ); . Если В+ = В у то задача Коши о нахождении отображения удовлетворяющего

0.9) и условию % С Ко) = имеет единственное решение при всяком тогда и только тогда, когда выполняется условие

Фробениуса £24, 39] . Б случае, когда ^ В , х - конечномерно и F - линейное по ^ отображение, корректность задачи Коши изучалась в работах [J 34, 98 3 » Кроме условия, обобщающего условие Фробениуса,из-за ненепрерывности операторов F I требуются также дополнительные условия, обеспечивающие существование многопараметрических полугрупп (или групп) операторов в В .В данной работе для исследования системы (0.9) применяется метод "уравнений в направлениях" [24 J , Так называются эволюционные уравнения в пространстве В с йенепрерывным оператором. . Если операторы ^ —» р(4s, J'S порождают (нелинейные) полугруппы для направлений s из конуса К в Е , то в этом конусе для каждого В+ определяется однозначно отображение » совпадающее с решением системы (0.9) с начальным данным j если таковое решение существует. Поэтому доказательство разрешимости задачи Коши для системы (0.9) сводится к доказательству того, что достаточно гладко зависит от £ и удовлетворяет системе (0.9).

В работе вводится понятие слабого решения, обобщающее такое же понятие для эволюционных уравнений (определение 10.6).

Основная теорема §10 (теорема 10.II) утверждает, что из выполнения "условия Фробениуса", м - квазидиссипативности отображении Fs у F(sj ) s мя s из конуса К, дополнительного условия, означающего, грубо говоря, что при разных S€ К операторы Fs имеют одинаковую "степень неограниченности", и слабой разрешимости уравнений в направлениях из К , следует существование в К П VI слабых решений уравнения (0.9) с каждым начальным данным у0 € В+ .

Остальные результаты этого параграфа рассматривают частные случаи, в которых проверка условий теоремы 10.II облегчается. Теорема 10.12 посвящена случаю, когда F(x>%) - А + ч- G (х, Г^) , где А -линейный оператор, ограниченно действующий изВ+в£:*@В> , а 6 - непрерывно дифференцируемое отображение 1С * Ъ .

Хорошо известно [ 39 ] , что в случае дифференциальных систем в банаховом пространстве или на банаховых многообразиях, задающихся дифференцируемым распределением подпространств касательных пространств, вопрос об интегрируемости таких систем сводится к интегрированию переопределённых систем вида с дифференцируемым F (теорема Фробениуса). Во многих приложениях дифференциальной геометрии (в частности, в теории управления, как это будет описано ниже), дифференциальные системы задаются как линейные оболочки значений(в каждой точке многообразия)множества векторных полей. Если же эти векторные поля не являются непрерывными (например, их главные части -дифференциальные операторы), то упомянутое соответствие приводит к системам вида (0.9) с ненепрерывными операторами ^ F 9 ) • в некоторых случаях для интегрирования или доказательства разрешимости) таких систем оказываются применимы теоремы из §10, Однако, вообще говоря, даже хорошие свойства разрешимости уравнений, соответствующих (в главных частях) векторным полям, не обеспечивают однозначной разрешимости дифференциальных систем, порождённых этими полями , как в этом можно убедиться на следующем примере: пусть f0 - оператор дифференцирования ^ -» / dx в La. С ) и { fl I t = } - постоянные отображения у Ч*с , причём замкнутая линейная оболочка функций { у с] в L2 С R) совпадает с подпространством функций, равных нулю при х $ о. Векторные поля, главными частями которых являются отображения j- o,-f-±9. , порождают дифференциальную систему, у которой через каждую точку ty 6 L г С Я, ^ ) проходит бесконечно много интегральных поверхностей.

В §11 рассматривается вопрос об интегрируемости дифференциальных систем, порождённых множеством векторных полей ( %0) f* | oieA] » гДе А - множество индексов, возможно, бесконечное, причём, полю f 0 при переходе к главным частям отвечает оператор, не являющийся непрерывным (например, дифференциальный оператор). Для обобщения определения инволютивнос-ти такой дифференциальной системы (которое на языке векторных полей означает выполнение условий Фробениуса для уравнения (0.8)) рассматривается пара банаховых многообразий ("М+, М), где М+ плотно вложено в № вложением 1 . Векторное поле

0 , отвечающее ненепрерывному отображению, задаётся отоб -ражением М + —» Т ЛЛ (где ТМ - касательное расслоение к ГА ). Остальные поля непрерывны и задаются парами согласованных обычных векторных полей № —* Т/И , М + —> ТМ + . Между полями $ и f , а с Со4 также между и £ вводятся скобки Ли и формулируется понятие инволютивности (определение II.7), превращающееся в обычное 39 , если М + = М .

Для инволютивных дифференциальных систем описанного типа доказывается теорема II.II, утверждающая существование интегральных подмногообразий, если поле £ о - интегрируемо. Так как единственность этих подмногообразий, вообще говоря, не имеет место, то даётся конструкция (конструкция II.13), позволяющая описывать множество интегральных многообразий. При применении этой конструкции одним из шагов является решение переопределённой системы дифференциальных уравнений, порождённой главными частями полей £ ы С € А ).

Хотя бесконечномерная дифференциальная геометрия, в которой главные части векторных полей соответствовали бы дифференциальным операторам в частных производных, развита ещё очень мало, отдельные её фрагменты в частных случаях, подобных описанному в §11, могут быть построены. Повидимому, достаточным основанием для построения таких фрагментов могут быть нужды приложений. Результаты §11 как раз и ориентированы на приложения к теории управления, им посвящена глава 5, в которой рассматриваются вопросы управляемости и описание множеств достижимости управляемых систем.

Такие вопросы для общих классов систем изучались во многих работах, которые можно разбить на две группы: работы, по-свящённые нелинейным системам, описываемым обыкновенными уравнениями (т.е. динамическими системами с конечномерным фазовым пространством) [п5,124, 127, 142 и многие другие работы J » а также работы, в которых изучается управляемость так называемых линейных систем, т.е. систем вида al + А (Л) ^ СО = В(Ч)аС-Ь), (0.10) где A(t) - неограниченный оператор, - управления. Работы второй группы направлены на изучение управляемости систем, описываемых уравнениями с частными производными, но таких, в которые управление входит специальным образом (как неоднородность) £8, 117, 118, 144, 145 и др.] . Методы , применяемые в этих группах, совершенно различны: если в первой группе главную роль играют дифференциально-геометрические идеи, то методы второй группы в рассматриваемом вопросе, не выходят за рамки линейного функционального анализа.

В данной работе рассматриваются системы вида u.C-fc)f-C9Cfc)) + F^,") = 0 (О-11) или al + MtfCti) ) = о , (0.12) в которых фазовым пространством является банахово пространство В (или более общим образом - банахово многообразие М ) и в которых (самое главное!) отображение j-0 не является непрерывным, что позволяет применить получаемые результаты к некоторым классам уравнений с частными производными. Дале при выполнении всех описываемых ниже дополнительных ограничений из систем (0.11) или (0.12) получаются как частные случаи и динамические системы, изучавшиеся в цитированных выше работах и системы вида (0.10). Кроме того, среди рассматриваемых систем имеются и такие, в которые управления входят, например, в коэффициенты дифференциальных операторов. Множества достижимости в этом случае не имеют линейной структуры, даже если уравнения (0.11) или (0.12) линейны по у. , что побуждает искать дифференциально-геометрические подходы для описания их.

Поясним сначала, какую роль играют переопределённые системы в вопросах описания множеств достижимости, т.е. замыканий Л($о) тех множеств, в точки которых можно "попасть" из точки. при всевозможных управлениях ocOj , которые далее полагаются кусочно-непрерывными. Множества Л (у») при некоторых "условиях регулярности" являются многообразиями, расслаивающими фазовое пространство. Подобно тому, как удобный способ задания слоения пространства на кривые состоит, в задании динамической системы, для которой эти кривые интегральные, таким же способом слоения пространства на многообразия является задание той дифференциальной системы, для которой эти многообразия являются интегральными. В этом случае описание множества достижимости из точки $ о сводится к решению задачи Коши

• • ** о у у для переопределенной системы, соответствующей заданной дифференциальной системе. В случае уравнений с частными производными вида (0.11) или (0.12) такая переопределённая система также является системой с частными производными.

Построение упомянутой дифференциальной системы в случае конечномерного фазового пространства М проводится следующим образом. Пусть,для простоты, ^система (0.11) имеет вид yl + I-Го «чС*) (0.13) так называемая симметрическая система) и ti - векторные поля в М , главные части которых - отображения fi . Тогда образуется минимальная подалгебра Ли (над R ) алгебры Ли всех векторных полей, содержащая поля . Пусть £ - соответствующая этой подалгебре дифференциальная система, которая по построению инволютивна и, следовательно, в конечномерном случае по теореме Фробениуса интегрируема. Её интегральные поверхности и будут множествами достижимости системы (0.13) (теорема Чжоу [115, 127J ).

- 41

В случае, если управляемая система имеет вид этот случай носит название "системы с дрейфом") , построенная по fi описанным способом дифференциальная система также ш?ра«> ет важную роль: множество достижимости Л (у0) содержит открытое подмножество на интегральной поверхности (f^ этой системы, проходящей через у0 . При некоторых ограничениях алгебраического характера удаётся получить точное описание как множевтва достижимости, так и множества достижимости точно за время Т > О . Оба эти множества - подмногообразия в & ч в первом случае - с краем . Наименее жёсткие такие ограничения описаны в работе Р.Хиршона fl24j . Следует отметить, что случай систем с дрейфом много сложнее случая симметрических систем и окончательных ответов даже в конечномерном случае пока не имеется.

Для простоты изложения ограничимся во введении случаем, когда отображение F в системах (О.П) и (0.12) имеет вид

F ( ) = Zi "i

Пусть - векторные поля, главными частями которых являются отображения f^T.e. hC^)-h(^)

В §12 рассматриваются симметрические системы, т.е. системы, имеющие вид (~.ЮЛ1) , причём отвечающее j-0 векторное поле не является непрерывным (о таких полях упоминалось выше при описании результатов>§11) . Основное алгебраическое условие заключается в том, что ^итерированные скобки Ли полей |0 } (в смысле §11) являются дифференцируемыми полями в М и в М + . Примерами систем, удовлетворяющих этому условию, могут служить системы с М + ~ М (ранее этот класс не был изучен в случае о(-<лъ М = 00 ) , линейные системы (т.е. такие, у которых f 0 - линейный оператор, a F не зависит от у ) ,

Гвсудьрстссиивя с;:, лиотека

СССР им. R. И. Ленина системы с дифференциальным оператором j-о и интегральными операторами F0,и) и другие. В частности, укажем следующий пример: F(y,u.)zupcx)ycxj • Применение скобок Ли в этом примере даёт операторы ^ ->{Ъкр/ Э:с* 9 которые непрерывны в подходящих функциональных пространствах, если функция р - гладкая.

Основной результат §12 (теорема 12.9) утверждает, что из интегрируемости поля и выполнения упомянутого алгебраического условия вытекает, что множество достижимости системы (0.11) совпадает с замыканием объединения интегральных многообразий дифференциальной системы, порождённой полями $. , Si, I h, Q«„ ],

Требование, чтобы множество полей %0j j c 9 L $c3 h h'" порождало дифференциальную систему иногда не выполняется (например, в окрестности нуля для линейного оператора J- о и постоянных отображений F(',u) )t поэтому в работе рассмотрен случай, когда дифференциальную систему образуют только поля

Обозначим эту дифференциальную систему через £ . Для соответствующего обобщения теоремы Фробениуса развивается фрагмент дифференциальной геометрии, аналогичный тому, который составлял содержание §11. Условие инволютивности системы £ заменяется более сильным условием: для любого поля £ * со значениями в £ скобка Ли С S о , 5 3 также принимает значения в £ .В этом случае утверждается, что в многообразии, точки которого - интегральные многообразия системы £ , корректно определено поле (предложение 12.14). Роль этого поля ^ совершенно аналогична роли фактор-оператора в фактор-пространстве В / В ^ для линейного оператора А в В.

Действительно, оператор А корректно определён, если линейное подпространство В± инвариантно относительно оператора А. Роль подпространств в нелинейном случае играют дифференциальные системы. Введённое в определении 12.13 понятие оператора (главной части векторного поля) в инволюции с дифференциальной системой есть полный нелинейный аналог линейного понятия инвариантного подпространства (и превращается в последнее понятие, если оператор линеен и все подпространства дифференциальной системы "параллельны"). Роль фактор-проатранства играет многообразие интегральных многообразий дифференциальной системы, а 50 - векторное поле на этом многообразии. Такой фрагмент дифференциальной геометрии играет важную роль в следующем параграфе, а обзор §12 закончим упоминанием о теореме 12.22, описывающей для симметрических систем в банаховом пространстве множества достижимости как прообразы при проектировании М -> ( многообразие интегральных многообразий системы с) объединений интегральных кривых поля $0

В §13 изучаются множества достижимости систем с "дрейфом" т.е. систем вида (0.12). Для того, чтобы проиллюстрировать характер доказываемых для общего случая теорем, рассматривается частный случаи - линейная система. Получаемая для неё несложная теорема 13.2 позволяет, в частности, описывать множества достижимости в некоторых случаях, когда обобщения рангового критерия 144, 145 J или применение метода моментов не позволяет это сделать (пример 13.4, см. также работу £32Д , в которой теорема 13.2 применена при исследовании математической модели одного технологического процесса).

Основной результат §13 - теорема 13.13, являющаяся нелинейным аналогом теоремы 13.2. В этой сложно и долго доказывао •• емои теореме и в ее следствиях при выполнении упоминавшегося условия непрерывности полей - : итерированных скобок Ли и дополнительного алгебраического условия на подалгебры Ли , порождённые полями » даётся описание множеств достижимости и реализуемых траекторий для системы (0,12). Это описание приводится в терминах интегральных многообразий дифференциальных систем, порождённых полями fe• В частности, получен критерий псиной управляемости для систем (0.12) (следствие 13.16).

Важно отметить, что от отображения в теоремах §13 требуется лишь то, чтобы оно порождало (нелинейную ) полугруппу преобразований в В , что позволяет рассматривать и случаи управляемых систем параболического типа. (В теоремах §12 требуется, чтобы отображение f0 порождало группу, что в случае симметрических систем естественно из-за возможности изменения знака перед & о с помощью допустимых управлений).

Методы доказательств, использованные в главе У, совершенно отличны от методов, применённых другими авторами (в случае конечномерного В ). Доказательства основаны на одном утверждении о замкнутых подмножествах банаховых пространств, представляющем, как кажется, и самостоятельный интерес (теорема 12.29 из дополнения к §12).

Хочется отметить, что упомянутые алгебраические условия даже в конечномерном случае являются более слабыми, чем условия, принадлежащие Р.Хиршону ^124^ , так что, поскольку это известно автору, даже конечномерный вариант теоремы 13.I представляет в настоящий момент утверждение о точном описании множеств достижимости при наименьших условиях на управляемые системы с дрейфом общего вида.

Примеры 13.18 - 13.20 иллюстрируют применение теоремы

13.13 для конкретных управляемых систем.

Можно заметить, критически оценивая использованный в главе ¥ подход к исследованию управляемости, что практическая реализация приведённых критериев сталкивается с необходимостью бесконечных вычислительных процедур и реально возможна лишь в специальных случаях,когда использование дополнительной информации (например, из теории приближения функций или из теории операторов) позволяет свести эти процедуры к конечным. Автор с этим согласен и готов добавить, что круг задач, к которому приложимы описанные схемы исследований, ещё более сужается из-за ограничений на . Итерированные скобки Ли. Но, с другой стороны, те примеры, которые поддаются детальному исследованию, могут быть полезны как модели, поскольку в случае систем, описываемых уравнениями с частными производными (за рамками линейных систем (0.10)) иные подходы пока ещё мало развиты, а непреодолённые трудности при изучении систем с дрейфом в конечномерном фазовом пространстве, побуждают думать, что в этой проблематике едва ли возможны простые ответы.

Заканчивая обзор содержания данной работы, заметим, что описанные направления исследований продолжены участниками руководимого автором семинара в Киевском политехническом институте. Б частности, П.И.Дудников получил теоремы о гладкости решений эллиптических переопределённых систем в классах Жевре и, основываясь на результатах глав I и II данной работы, рассмотрел гиперболические переопределённые системы и начально-краевые задачи для eex/I'IS^J . С.А.Беликов, продолжая исследования , описанные в главе У, получил результаты для неавтономных управляемых систем £2 J , ряд результатов о наблюдаемости, а также рассмотрел условия, при которых фигурирующие в теоремах главы У объединения интегральных многообразий сами составляют интегральное многообразие некоторой дифференциальной системы, конструкция которой указывается в [2J .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [бЗ-70,72-82,148-ЩЦ;1Ш-154]. В диссертацию также включены принадлежащие автору результаты из совместных работ £з,20-22, X47J .

Отметим, что доказательство теоремы 12.29 из добавления к §12 получено совместно с П.И.Дудниковым [~79](формулировка и применение этой важной в главе У теоремы принадлежит автору) . Некоторые фрагменты доказательства теоремы 13.13 получены совместно с С.А.Беликовым [~3, 147J .

Результаты работы составили курс лекций "Краевые задачи", прочитанный в ХУ Воронежской зимней математической школе (l98I rv [7lJJ, докладывались на всесоюзных и республиканских конференциях: по дифференциальным уравнениям (Самарканд, 1973 г.) , по уравнениям с частными производными памяти И.Г.Петровского ('Москва, 1976 по уравнениям с частными производными (Львов, 1981 г., Донецк, 1983 г.) , в школе по теории операторов (Иркутск, 1981 г.), в XI, XIII, ХУН. зимней Воронежской школах ^1977, 1979, 1983.г.) , на Всесоюзном совещании по автоматике и управлению (Таллин, 1980г.), на сессии отделения математики Западного научного центра АН УССР (Львов, 1982 г.), Результаты работы докладывались на семинарах : в Московском Госуниверситете (семинар имени И.Г.Петровского, 1982г., семинары кафедры дифференциальной геометрии 1982, 1981 r.r.jl , в Институте Математики АН УССР (l977 - 1982 г.г.) , в Ленинградском Госуниверситете ('кафедра теоретической кибернетики, 1980 г.), в Ленинградском отделении Математического института АН СССР (l980 г.), в институте прикладной математики и механики АН УССР (1982 г.), в Институте кибернетики АН УССР(1980 г.).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Самборский, Сергей Николаевич, 1982 год

1. Агранович М.С.,Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида.- УМН, 1964, т.19, Ш 3, с.53-161.

2. Беликов С.А. Множества достижимости некоторых классов систем в банаховом пространстве.- в препринте Множества дости-тимости систем, описываемых уравнениями с частными производными. Препринт 81.50 К.: Ин-т математики АН УССР,I981,с.14-24.

3. Беликов С.А., Самборский С.Н. Множества достижимости систем, описываемых уравнениями с частными производными. Препринт 81.50 К.: Ин-т математики АН УССР, 1981.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов. К.: Наукова думка, 1965

5. Бирман М.С. Задачи рассеяния для дифференциальных операторов при возмущении пространства.- Изв. АН СССР, Серия мат., 1971,т.35, с.440-495.

6. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. 0 подпространствах, допускающих псевдодифференциальный проектор.- Вестник ЛГУ, I982,J£ I, с.18-25.

7. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975.

8. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределёнными параметрами. М.: Наука, 1975.

9. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. 0 равномерно неэллиптических задачах I.- Мат.сб., 1967, т.72, с. 602-636.

10. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. 0 равномерно неэллиптических задачах П.- Мат.сб. ,1967, т.73, с.126-154.

11. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем.- Мат. сборник, 1965,т.68, с.373-416.

12. Ганнинг Р.,Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.13. 1Удович И.С. Об одном случае ортогонального расширения системы: до эллиптической.- Труды научно-исследовательского ин-та матем.,ВГУ, 1971,вып.4.

13. Гудович И.О., Крейн С.Г. О некоторых краевых задачах, эллиптических в подпространстве.- Мат. сборник, 1971, т.84, с.595-606.

14. Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла.- ДАН СССР, 1972, т.207, с. 321324.

15. Гудович И.С., Крейн С.Г. Краевые задачи для операторов внешнего дифференцирования.- Труды научно-исследоват. ин-та матем.,ВГУ, 1972, вып.5

16. Гудович И.С., Крейн С.Г. Эллиптические краевые задачи для системы Функц. анализ и его приложения, 1972, т.6, с. 75-76.

17. Гудович И.С., Крейн С.Г. Краевые задачи для переопределённых систем уравнений в частных производных. Труды семинара, сек.1, Вильнюс, Ин-т физ. и мат. АН Лит. ССР, 1974.

18. Гудович И.С. 0 методе ортогонального расширения переопределённых систем.- Мат. сб., 1974, т.93, с.451-459.

19. Дудников П.И., Самборский С.Н. О нётеровых краевых задачах для переопределённых систем уравнений с частными производными. ДАН СССР, 1981, т. 258, с.

20. Дынин А.С. Эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных комплексов. Функциональный анализ и его приложения, 1972,, т.6, с. 75-76.

21. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1967.

22. Ерофеенко В.Т., Родов A.M. Обобщение формулы Чезаро и соотношения Сен-Венана. Известия АН БССР, серия физ.-мат. наук, 1975, №3, с. 47-50.

23. Зуховицкая Е.С. Краевые задачи для переопределённых систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1971, т.201,с. 523-526.

24. Зуховицкая Е.С. О переопределённых эллиптических системах псевдодифференциальных уравнений на компактных многообразиях.-Мат. сборник, 1972, т. 88, с. 546-557.

25. Зуховицкая Е.С. Оператор Э на многообразии с 1-псевдо-выпуклой -грашцей.- Сб. трудов Московского инж.-строит, ин-та, 1975, вып. 130, с. 66-74.

26. Картан Э. Внещние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Издательство МГУ, 1962.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972,

28. Кон Дж.Дж., Ниренберг JI. Некоэрцитивные краевые задачи. В кн. "Псевдодифференциальные операторы". М. : 1967, с. 88 -165.

29. Краснопрошина А.А. Управление системами, описывающим поперечные колебания движущего материала. ДАН УССР, серия А, 1981, №12, с. 60-63.

30. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М. : Наука, 1967.

31. Крейн С.Г., Шихватов A.M. Линейные дифференциальные уравнения на группе Ли. Функциональный анализ и его приложения, 1970, т. 4, с. 52-61.

32. Куликов И.М., Тетиевская И.С. Краевые задачи для оператора , эллиптические в подпространстве. Сб. работ аспирантов по мат. и мех., Воронеж: изд-во ВГУ, 1969, с.38-42,

33. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

34. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

35. Леви.П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967.

36. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир, 1967.

37. Лионе S., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

38. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука , 1970.

39. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966.

40. Самборский С.Н. Краевые задачи для переопределённых систем уравнений 1в частными производными. Препринт 81.48, К.: Ин-т математики АН УССР, 1981, 44 с.

41. Самборский С.Н. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и множества достижимости управляемых систем.Препринт 81.49, К.: Ин-т математики АН УССР, 1981, 22 с.

42. Самборский С.Н. О краевых задачах для переопределённых систем уравнений с частными производными. ДАН СССР, 1982, т. 262, с. 810-814.

43. Самборский С.Н. О переопределённых параболических краевых задачах. В сборнике "Школа по теории операторов в функциональных пространствах, тезисы докладов". Минск: Изд-во- БГУ, 1982, с. 171.

44. Самборский С.Н. Об управляемости систем, описываемых уравнениями с частными производными. Сибирский матем. журнал, 1983, т. 24, Р2, с. 150-159.

45. Сахаев Ш. Оценка решений одной переопределённой параболической начально-краевой задачи. Труды ШАН, №5, т. 127, с. 58-75.

46. Сахаев Ш., Солонников В.А. Оценка решений одной краевой задачи магнитогидродинамики. Труды МИАН, 19'%>, т. 127.

47. Скрыпник И.Б. Обобщённая теорема де Рама ДАН УССР, 1965, PI, 18-19.

48. Скрыпник И.В. /\ -гармонические формы на римановом пространстве : диссертация на соискание учёной ст. канд. физ.-мат. наук. Львов, Госуниверситет, 1965.

49. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А.Даглиса-Л.Ниренберга Р I.- Известия АН СССР, сер. матем., 1964, т. 28 .

50. Солонников Б. А. Об общ .х краевых задачах для систем эллиптических в смысле А.Даглиса-Л.Ниренберга II,- Труды МИАН СССР, 1966, т. 92, с. 233-297.

51. Шульце Б.-В. 0 переопределённых и недоопределённых эллиптических задачах. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, , с. 323 - 328.

52. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

53. Эскин Г.И. Краевые задачи для переопределённой системы двух уравнений второго порядка. ДАН ССОР, 1969, т. 189, с.491 - 494.

54. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных параболических уравнений с переменными операторами-.- ДАН СССР, 1967, т. 176, с. 545 - 548.Шв </6., Jaea-uw^A Ж J^ncAa^^^fp. ii-Sd.

55. С&а^жс ^z^z^aa^fi qf-itamm and fewem*лбХбЛ

56. S.; SoAtc&te Я-Ш1 J/it&z tfabf ^trtie ТЯъ&д > 49 8Z.136. ffiopucetc d&J '^bzjfr&fbs <z4>z:1910.137. сScfo&tifagex tt., СЖ. (^e^ye^eufж Jc^mv&zf ^ш&ях. 1..??', f. ZZ9-305".

57. ScAtc&te c/^^n^zzyfe -еЩ^с-'&'т: s. 22S--2№.

58. Беликов С.А., Самборский C.H. Области достижимости для систем, описываемых уравнениями с частными производными.-Сибирский математический журнал, 1983, т.24, № 4, с.3-12.

59. Самборский С.Н. О локальной разрешимости граничных задач в вещественно-аналитическом случае.- В кн. УТЗРеспуб-ликанская конференция по нелинейным задачам матем. физики, Донецк, 1983 " ИПММ АН УССР, Донецк, 1983, с.

60. Самборский С.Н. 0 переопределенных эллиптических с параметром и параболических граничных задачах.- Доклады АН СССР, 1983, 271, № 3, с.544 549. .

61. Дудников П.И. Переопределенные системы уравнений гиперболического типа.- В кн. " УШ школа по теории операторов, Рига, 1983", Изд-во Латв. ГУ, Рига, 1983,1, с. 76-77.

62. Самборский С.Н* Коэрцитивные граничные задачи для переопределенных систем- (эллиптические задачи)- Укр. мат. журнал, 1984, 36, № 3,с. 340-346.

63. Самборский С.HI Коэрцитивные граничные задачи для переопределенных систем (параболические задачи).- Укр. мат. журнал, 1984, 36,№ 4, с.473-479.