Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Левчук, Валерий Владимирович

• Левчук, Валерий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Левчук, Валерий Владимирович

Глава I. Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве векторфункций

§ I. О пространствах основных и обобщенных элементов,связанных с аналитической сжимающей полугруппой класса

С0и ее инфинитезимальным генератором.

§ 2. Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве вектор-функций

Глава II. Граничные задачи для дифференциально-операторного уравнения параболического типа в гильбертовом пространстве.

§ I. Минимальный и максимальный операторы

§ 2. О линейных отношениях в гильбертовом пространстве

§ 3. Гладкие максимально диссипативные расширения минимального оператора.

§ 4. Некоторые спектральные свойства гладких максимально диссипативных расширений.

§ 5. Примеры.

Глава 3. К спектральной теории канонического дифференциально-операторного уравнения в пространстве вектор-функций

§ Ш. Некоторые вспомагательные факты.

§ 2. Качественная структура спектра максимально i -дисси-пативных расширений минимального оператора

§ 3. Спектрально абсолютно непрерывные само сопряженные расширения минимального оператора

§ 4, Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве»

К настоящему времени имеется ряд работ, посвященных изучению граничных задач для дифференциально-операторного уравнения вида tty-- ао ^ + tg[o)e],o<8<«5, (1) в котором А о и Ai неограниченные операторы в банаховом пространстве.

Так в случае, когда А0 = Е С Е - тождественный оператор) для уравнения (I) хорошо изучена задача Коши. В значительной степени результаты по этой задаче освещены в монографиях [1,2] .

При определенных условиях на операторы А0 и А^ в А.А.Дезиным изучен некоторый класс нелокальных задач для уравнения (I) (см.напр. [3,4]) .

В случае, когда в выражении оператор А0~ , где " самосопряженный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н со свойством = Е и Ai - самосопряженный оператор такой, что -^А^ £ канонический случай) В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком в [5,6] описаны в терминах граничных условий все максимально I -диссипатив-ные и максимально аккумулятивные граничные задачи. В.М.Бруком описаны обобщенные резольвенты такого симметрического выражения (см. [7]).

Когда же А0 и А± ограниченные операторы или операторы, порожденные дифференциальным выражением в частных производных, граничным задачам на конечном интервале посвящено гораздо больше работ. Отметим некоторые из них С8 - Ю] .

Для дифференциально-операторных уравнений более высокого порядка с неограниченными операторными коэффициентами постановки различных классов граничных задач на конечном интервале изучались в [13-20] ,

Наличие неограниченных операторных коэффициентов позволяет охватить уравнением (i) многие дифференциальные уравнения в частных производных, а поэтому изучение граничных задач с такой точки зрения, является важной задачей в теории дифференциальных операторов. Такой подход изучения различных классов граничных задач позволяет не только с более общей точки зрения взглянуть на результаты, полученные ранее в конечномерном случае, но и получать новые и, как часто бывает, с гораздо меньшей затратой усилий.

Целью настоящей работы является описание в терминах граничных условий всех гладких максимально диссипативных граничных задач для уравнения (I) , в котором А0=Е и At -положительный самосопряженный оператор, а также описание спектрально абсолютно непрерывных граничных задач для канонического уравнения (i).

Изложил основные результаты диссертации.

В первой главе исследуются слабые решения уравнения +Ay(t)=0, te Co,g] , 0<ё<°о, (2) где - А - инфинитезимальный генератор, сжимающей аналитической полугруппы класса С0 в гильбертовом пространстве Ц с областью определения а с А).

Для формулировки основных результатов введем необходимые обозначения.

Пусть UGt) (Uo) - сжимающая аналитическая полугруппа класса С0 , порожденная оператором - А • Обозначил через H^^CG.^ Ь Ъ О ( YI - натуральное число) пополнение пространства Н по норме индуцированной скалярным произведением ( х, tj) ^ = (UCt) X, UCt) ф С(А+Е)"№х,(А+БУ^)) , € н , где (. , о скалярное произведение в пространстве Н . Положим и

О t-»+0 (1 г £tm.ind G-и.

•-оо 1л во

•ОО ft, —* ОО

Оказывается, что 3 G-oo.

Обозначим liCfc) - расширение по непрерывности полугруппы U("t) на пространство и. = н-i . Также, как и Л

UCt) » UC-b) является аналитической сжимающей полугруппой класса С0 , а ее инфинитезимальный генератор -А замыканием оператора - Д в ^пространстве Н . При этом векторнозначная функция бесконечно дифференцируема в пространстве Н при "t >0 тогда и только тогда, когда .

Пусть, далее,

Со,83 (2Хо,в)) (o<g<°o) - пространство бесконечно дифференцируемых, обращающихся в нуль вместе со всеми своими производными в точках О и ё бесконечно дифференцируемых финитных на (О, 8) функций с известной топологией.

Векторнозначишь распределением класса ©'СЩСо.бЗ)

2) (И; (о,ю) называют линейное непрерывное отображение СО из 2)С0,£] (SC0>6)) в Н . Очевидно, что

Э'СН; С0эв3) с ©'(Н; Со,В^) в класс вкладывается пространство Н -значных векторнозначных функций интегрируемых с квадратом нормы (0,8)) :

L (Н- (о %)) Э u ft) — ги<й = (u(tm-t)cti, <еюе$)(0М

2, ' > / Q

На векторнозначных распределениях СО € S (Н*, Со,(П) ( 2)' (Н *, (оj В))) вводится операция дифференцирования: под И. -й производной от с0 понимается элемент СО^ :

C0WW)= ИГсоС^), <ее S) Со, CSDCo,6)).

Решением внутри (0,61 уравнения (2) будем называть вектор-функцию у ft) : (o,g]at-*xe2)(A)cH непрерывно дифференцируемую в (0, 83 и удовлетворяющую этому уравнению при t € Со, 83 .

Определение. Векторнозначное распределение (9У(Н'> Со, 81) называется слабым решением уравнения ( 2), если равенство

-(соСФОЛ) 4 (соад, А*Ю выполняется при любых ф (А - сопряженный к А оператор).

В случае, когда в уравнении (2)оператор А - самосопряжен и положителен в С £11 В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком, а позже А.В.Князюком в рассматриваемой нами ситуации, были описаны все решения внутри (О, 8] уравнения (2) , и получено их общее представление, а именно: вектор-функция ЦЮ - решение внутри (О, уравнения (2) в том и только в том случае, когда она представима в виде tj(t) =Ш)$ , Сз)

Из представления (з) получаем, что всякое решение внутри (0,81 Д1^ уравнения (2) является слабым решением класса S'CH; Со,В)) того же уравнения. Возникает вопрос, всякое ли слабое решение класса SD'CH; Со, 8)) уравнения (2) является решением внутри (0,83 того же уравнения? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 1.2.5. Всякое слабое решение СО уравнения

2) класса 2)'С Н; Со,8)) совпадает с обычным бесконечно дифференцируемым при t > О решением внутри СО, В1 того же уравнения.

Из этой теоремы вытекает, что всякое слабое решение уравнения (2) класса 2) (Н; Со, 8)) представило в виде (J3) . Оказывается, что если на вектор % в Сз) наложить более жесткие требования, то можно получить полное описание слабых решений из ©'(Н*, Со, 8]) ,а именно: необходимым и достаточным условием принадлежности слабого решения со уравнения С2) к Со, 83) является принадлежность вектора I? в его представлении Сз) к пространству G-oo •

В другой ситуации, а тленно, для двучленного дифференциального уравнения 2лг-го порядка с самосопряженным операторным коэффициентом, теорема о повышении гладкости слабых решений

- 9 класса ти ;(о>8)) получена в [23] .

Близким вопросам при изучении слабых решений для дифференциально-операторных уравнений первого порядка посвящены работы [4,2,] , и др.

Рассмотрю,! уравнение

Щ} = ^ + Ayft)=fc(t), -teLo.e], 0<g<°°, (4) в котором А - положительный самосопряженный оператор в Н и 'kC-tK LgCH'jCO^)) . Обозначим G^ (deR1) шкалу пространств, порожденную оператором А . Тогда, для того, чтобы векторно-значная функция (Н; (0,8)) была слабым решением уравнения (4) необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление tjCt) = e'Atf + {e-A(t"sWs, (5) где f €

В том случае, когда ^ € Н представление (б) для слабого решения из La(H ',(0,6)) уравнения (4) получено ранее и результат содержится в монографии С 26] .

Содержание второй главы состоит в следующем. На множестве oD0CGi,(°,£)) бесконечно дифференцируемых -значных финитных вектор-функций зададим оператор L0 : L0U = (выражение ttyl определяется равенством (4)) . Замыкание оператора L0 в пространстве Ц(Н;(0,ё)) , обозначим его [0 , называется минимальным оператором, порожденным выражением £ • Аналогично, по выражению + Atj. строится минимальный оператор L о • Сопряженный к I—0 оператор L в пространстве La(H;Co,g)) называется максимальным, порожденным выражением (4) .

При исследовании граничных задач для дифференциального выражения (4) существенную роль играет изучение структуры областей определения максимального и минимального операторов. Для симметрических дифференциальных выражений с ограниченными операторными коэффициентами в пространстве вектор-функций такое изучение было проведено §.С.Рофе-Бекетовым (см. СН,12Л), а в случае неограниченных самосопряженных операторных коэффициентов это сделал М.Л.Горбачук [13] . Здесь же выражение (4) не является симметрическим. Этим и обусловлены основные отличия от общей схемы исследования, предложенной предшественниками при изучении симметрических дифференциальных выражений.

Оказывается, что область определения 2>(L) максимального оператора L состоит из тех и только, тех вектор-функций из Lj,(H;(0,g)) , которые допускают представление (б) с вектор-функцией kit) = Uj Ct) = £ СуЗШ = у'+Ауб L2(H;(0,g)).

Из этого представления сразу делаем вывод, что вектор-функция yOfc) из 1г(Ц;(0,6)) входит В 2ICL) в том и только в том случае, когда она: а) абсолютно непрерывна на (0,6] в пространстве ; б) CCyl € Ц(Н; (0,&)).

При этом, область определения минимального оператора L0 состоит из тех и только тех вектор-функций которые удовлетворяют условию ^ (О) = Ц - О .

Установлено также, что максимальный оператор L можно получить замыканием в LoCHl (о,6)) оператора L :

L^ = С определяется равенством (4)) > определенного на вектор-функциях ^ Ctt бесконечно дифференцируемых в пространстве G^ •

Из представления (5) для вектор-функций из 2)(L) вытекает, что для любых и Z.Ct) из 2)(L") можно писать равенство (bjOfc), ECi))dt + ^да, Lett))At = (б) = - tyU), zW>) + 2 \ (A%(i)/^(tUt cL при всех О < < £ 6 .

Обозначим через о&^СО множество вектор-функций

UCt) € oD(L) f которые принимают граничные значения в ® / I I точке О в пространстве Н , а сужение оператора I— на множество 2)цСО обозначим |ц • Тогда тождество (б) можно писать для произвольных tj("t) и Ъ C"t) из 23H(L) при любых dl€ LO,£] . Если oL=0 и ^ob) = hct) g 2)jj(l) , to сб) принимает вид

6 С7)

- + aj II^Ci)fdt.

Ясно, что L0 С LHQ L .

Из (7) вытекает, что L0 диссипативный оператор, т.е.

Re(L0y,y)L при всех LJ€2)0-o), а оператор . Lc (расширение Коши), определяемый действием оператора L на вектор-функциях из S)(L) , удовлетворяющих условию tj (0)=0 максимально диссипативен в пространстве

La(H;(0, 8)) , причем, L0 С Lc С LH . Таким образом, мы видим, что существуют максимальные диссипативные расширения оператора L0 , являющиеся сужением оператора L

Т"

Максимальное диссипативное расширение L минимального оператора L0 будем называть гладким, если выполнено условие

L0 CL с LH .

Следующая теорема дает описание таких расширений. Теорема 2.3.2. Каким бы ни было сжатие К в прост

Л. ранетве Н , расширение L минимального оператора L0 , д порожденное операцией Вира) = +Ayct) и краевым условием у (о) = Кг}Сб) (8) является гладким максимальным диссипативным. Обратно, всякое гладкое максимальное диссипативное расширение L минимального оператора l.0 в пространстве задается операцией бС^З и условием вида (в), в котором оператор К определяется расширением однозначно.

Следующая: задача, которая решается в диссертации - изучение спектральных свойств гладких максимальных диссипативных расширений.

Теорема 2.4.1. Пусть оператор А имеет дискретный спектр. Тогда спектр произвольного гладкого максимального дис-сипативного расширения L^ минимального оператора Lc также дискретен.

Если же (А + Хо^) (Х0>0) оператор Гильберта -Шмидта в пространстве Н , то резольвента оператора L^ в пространстве является таким же оператором.

В третьей главе исследуются некоторые вопросы спектральной теории канонического дифференциального выражения вида

L^'+ACt)y, -teC0,fel,0<8<oo) (9) в котором Att) самосопряженные операторы в Н при любом teCo, 63 с не зависящей от t€CO,83 областью определения

W причем, вектор-функция Aft)? Cfe®(A)) сильно непрерывно дифференцируема в |-| ; - ограниченный самосопряженный оператор в Н со свойством ^ = Е и '^ACt) = при всех t€ СО,8] .

Множество Н+ = &(А) с нормой графика оператора

A (t0") становится пространством с позитивной нормой относительно И и, как показано в

153 , при наложенных на ACt) ограничениях, H-j. не зависит от выбора "t0G СО, 81 . Пусть Н-негативное пространство, построенное по предцепочке И э Ц+ . Обозначил ACt) сопряженный к ACt) оператор в цепочке

Н.эНэ н+ •

Как показано в С6, 7] , при наложенных на операторные коэффициенты выражения (9) ограничениях, существует оператор-функция Cj(t,S) такая, что вектор-функция является обычным решением уравнения в пространстве М , удовлетворяющим условию coCS,S){ = fj

S€ Со,83 .

Оператор ^ можно записать в виде: ^ = Р± — F^. > гДе ортопроектор, отвечающий собственному значению 1

-1) оператора ^

Введем в рассмотрение унитарный оператор: со) = + Р4 соСМХР, + Рг соСМ)? (10) v-i

Все самосопряженные расширения минимального оператора L0 , порожденного выражением (9) , задаются операцией и граничным условием в котором К - унитарный оператор в Н . Этот результат получен в С 5, 63 для случая АШ = А и остается в силе в рассматриваемом здесь случае.

Оказывается, что между спектрами операторов

К S'Cco) и самосопряженного расширения LK , порожденного операцией о [ЧЛ и условием (il) существует тесная связь, а именно: точка Л принадлежит к спектру самосопряженного расширения LK тогда и только тогда, когда точка точка спектра оператора К5(со) , при этом точка Л собственное значение кратности КК1 ( точка непрерывного4 спектра) опе

I rs&t / ратора Lj< в том и только в том случае, когда - 2. собственное значение кратности vrt (точка непрерывного спектра) оператора .

Если Н конечномерно, то все самосопряженные расширения имеют дискретный спектр. В противоположность этому, в случае cliWl И = 00 » не существует самосопряженных расширений

LK минимального оператора L0 , спектр которых был бы дискретным.

Описание самосопряженных расширений L^ с абсолютно непрерывным спектром - дальнейшая наша цель.

Пусть В - самосопряженный (унитарный) оператор в пространстве Н и Е^ - соответствующее ему разложение единицы. Оператор В будем называть спектрально абсолютно непрерывным, если функция , Ю абсолютно непрерывна при любом £ € Н •

Теорема 3.3.4. Для того, чтобы самосопряженное расширение LK минимального оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением (9) , было спектрально абсолютно непрерывным необходимо .и достаточно, чтобы унитарный оператор К8(to) был спектрально абсолютно непрерывным.

Когда в (9) 2 = Е граничное условие (II) можно записать в виде г^Со) = t и если к тому же ACi) = А , то тогда самосопряженное расширение L^ , определяемое унитарным оператором К , будет спектрально абсолютно непрерывным в том и только в том случае, когда оператор К £

Ld. спектрально абсолютно непрерывен. В частности, если К = С Е, oL€ (?d , то последнее эквивалентно спектральной абсолютной непрерывности оператора А

Основные результаты опубликованы в С2.7 - 30] . В заключение выражаю искреннюю признательность Мирославу Львовичу Горбачуку, под руководством которого была выполнена настоящая работа, и Юрию Макаровичу Березанскому за внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Левчук, Валерий Владимирович, 1984 год

1. ^XMio^. fijutttum diiU^^tiMes opvta-tionn&Z&i et рго8£гиге$ cuoe tutultes.-Бргт^еъ, 49 £i.

2. С.Г.Крейн. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М: Наука, 1967, -464с.

3. А.А.Дезин. Операторы с первой производной по "времени" и нелокальные граничные условия. Изв. АН СССР, сер.матем., 1967, т.31, №1, с. 61-86.

4. А.А.Дезин. Общие вопросы.теории граничных задач. -М: Наука, 1980, -208с.

5. В.Й.Горбачук,М.Л.Горбачук. О граничных задачах для дифференциального уравнения первого порядка с операторными коэффициентами и разложение по собственным функциям этого уравнения. ДАН СССР, 1973, 208, ®6, с. I268-I27I.

6. В.И.Горбачук,М.Л.Горбачук. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциального уравнения первого порядка с операторными коэффициентами. В кн. Применение функционального анализа к задачам математической физики.-Киев,1973,с,83-124.

7. В.М.Брук. Некоторые вопросы спектральной теории линейного дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом. -В кн. функциональный анализ, вьш.1, Ульяновск, 1973, с.15-25.

8. И.Ц.Гохберг,М.Г.Крейн.Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. -М:Наука, 1967, -508с.

9. Ф.В.Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. -М; Мир, 1968, -750с.

10. Р.С.Филлипс. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частник производных.-Сб. переводов: Математика, 1962, 6:4, с.П-70.

11. Ф.С.Рофе-Бекетов.Сш.юсопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. ДАН СССР, 1969, 184, 5, с.1034-1037.

12. Ф.С.Рофе-Бекетов.О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций.-В кн.Теория функций,функциональный анализ и их приложения.Харьков, 1969,с. 3-29.

13. М.Л.Горбачук. Самосопряженные граничные задачи для дифферен циального уравнения второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом.-Щунк. анализ,1971,5,вып.I,с.10-21.

14. В.И.Горбачук,М.Л.Горбачук. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциального уравнения второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом. -УМЖ, 1971,23,1, с. 3-15.

15. Л.И.Вайнерман. Диссипативные граничные задачи для дифференциального уравнения второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом. -УМЖ, 1974,26,4, с. 530-534.

16. В.А.Михайлец. О разрешимых и секториальных граничных задачах для операторного уравнения Штурма Лиувилля.-УМЖ, 1974, 26,4,с.450-459.

17. М.Л.Горбачук,А.Н.Кочубей. Самосопряженные граничные задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка.ДАН CCCP,I97I,20I,P5,c.I029-I032.

18. В.А.Кутовой.О спектре уравнения Штурма Лиувилля с неограниченным операторным коэффициентом.-УМЖ,1976,28, №4,с.473-482.- 109

19. Н.ИЛОрчук. Граничные задачи для дифференциальных уравнений с зависящими от параметра операторными коэффициентами. II Разрешимость и свойства решений. -Дифференц.уравнения, 1978, 14, Р5, с.859-870.

20. В.К.Романко. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов. -Дифференц. уравнения, 10, Щ, 1974,с.117-131.

21. В.Й.Горбачук,М.Л.Горбачук. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений. -Матем.сб. ,1977, 102, PI, с.124-150.

22. А.В.Князюк. О граничных значениях решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве. ДАН УССР 1984,№9.

23. М.Л.Горбачук,А.И.Кашпировский. О слабых решениях дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. -УМЖ, 1981,33, 114, с.513-518.

24. V, вагви. Оа tke legul&uty of iU wea* so^tum4 aBsttact сUtfwtiae actions. Оsale*, ofwiatk., 4969, \а6,л/1. d

25. S Zaldnum Some i^s ^ ^m&u^Вги.cL Seivu-n. mat Pftiom, 19*01 62, p. 47-64.

26. А.В.Балакришнан. Прикладной функциональный анализ. -М: Наука, 1980, -384с.

27. М.Л.Горбачук,В.В.Левчук. Самосопряженные расширения с абсолютно непрерывным спектром минимального оператора, порожденного дифференциально-операторным выражением первого порядка. ДАН УССР, 1982, т, с. 12-14.

28. В.В.Левчук. Слабые решения дифференциально-операторного урав нения первого порядка.-В кн.:Школа по теории операторов в функциональных пространствах.Минск.Изд-воЕГУ, 1982,с. 104.

29. В.В.Левчук. Гладкие максимально диссипативные граничные задачи для параболического уравнения в гильбертовом пространстве. -УМЖ, 1983, 35, №4, с.502-507.

30. В.В.Левчук. К спектральной теории дифференциально-операторного уравнения первого порядка в пространстве вектор-функций. -В кн.: Спектральная теория операторов в задачах матем. физики. Изд-во Ин-та математики АН УССР,1983,с.3-12.

31. Ю.М.Березанский.Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. -Киев:Наук.думка,1965,798с.

32. Ю.М.Березанский.Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. -Киев: Наук.думка, 1978, 360с.

33. Ж.Л.Лионе, Э.Мадженес. Неоднородные граничные задачи. -М: Мир, 1971, 371с.

34. А.И.Плеснер. Спектральная теория линейных операторов. -М: Наука, 1965, 624с.

35. К.Иосида. Функциональный анализ. -М: Мир, 1967, 624с.

36. Е. Хилле,Р. С.Филлипс. Функциональный анализ и полутруппы. -М: ИЛ,1962.

37. Т.Като.Теория возмущений линейных операторов. -М: Мир, 1972, 740с.

38. Л.В.Канторович,Г.П.Акилов.Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М:Физматгиз, 1959,684с.

39. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. -М: Мир, 1982, 488с.

40. М.А.Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. -М: Наука, 1969, 528с.

41. М.Л.Горбачук,А.Н.Кочубей,М.А.Рыбак.О некоторых классах расширений дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. -В кн. Применение функционального анализа к задачам матем. физики. Киев,1973, с.56-82.

42. А.Н.Кочубей. О расширениях симметрических операторов ис иг,метрических бинарных отношений. -Математические заметки, 1975, 17, №1, с.41-48.

43. В.М.Брук. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии.-Матем. сб., 1976, 100, 11-2, с.210-216.

44. А.В.Штраус. О расширениях и характеристической функции симметрического оператора.-Известия АН СССР, 1968, серия матем., 32, с.186-207.

45. Г. И.Лаптев.Задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве. -ДиФ • уравнения,1966,11, Р9, C.II5I-II60.

46. Е.И.Иохвидов. О свойствах: одного дробно-линейного преобра-завания. -УМН, 1975,30, Щ, с. 243-244.

47. М.Г.Крейн.Введение в геометрию индефинитных ^-пространств и теорию операторов в этих пространствах.-В га.: Вторая летняя матем. школа, Киев, 1965, I, с.15-92.

48. М.Г.Крейн. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (т., т.) ,-УМЖ,1949, 1:2, с. 3-66.

49. М.Й.Вишик. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. Труды Моск. матем. об-ва, 1952, I, с.187-246.

50. Н.Й.Ахиезер,И.М.Глазман.Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-Харьков:Изд-во ХГУ,1977,I,316с.

51. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-Харьков:Изд-во ХГУ,1978,II,288с.

52. В.Секефальви-Надь,Ч.Фояш.Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве.-М.: Мир, 1970, 432с.

53. В.М.Адамян.К теории канонических дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве. ДАН СССР,1968,178,1,с.9-12

54. Ю.Л.Далецкий,М.Г.Крейн.Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1970, 536с.