Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ануфриева, Ульяна Алексеевна

• Ануфриева, Ульяна Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ануфриева, Ульяна Алексеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Абстрактная задача Коши, корректная в

пространствах ультрараспределений

1.1. Пространства абстрактных ультрараспределений Берлинга

1.2. Обобщенная корректность задачи Коши в пространствах ультрараспределений Берлинга

1.3. Классическое решение задачи Коши с оператором

А, порождающим А'-конволюционную полугруппу

Глава 2. Построение регуляризующих операторов для некоторых дифференциально-операторных задач

2.1. Интегрированные полугруппы

2.2. Вырожденные полугруппы

2.3. Регуляризация задачи Коши с оператором А, порождающим интегрированную полугруппу

2.4. Регуляризация вырожденной задачи управления

Глава 3. Задача Коши для вырожденного

уравнения второго порядка

3.1. Условия существования Б-резольвенты оператора А

3.2. Корректность вырожденной задачи Коши

для уравнения второго порядка

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами»

Введение

Моделирование многих процессов в физике, экологии, экономике приводит к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка

u'(t) = Au(t), t £ [0, т), г < оо, м(0) = ж, (0.1)

с замкнутым оператором А, действующим в банаховом пространстве X, Важное место в исс ледовании таких задач начиная с 60-х годов занимают полугрупповые методы.

Основным результатом теории полугрупп является теорема о том, что задача Коши (0.1) является равномерно корректной тогда и только тогда, когда оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов U(t) класса Со [68, 19]. Это свойство оператора А тесно связано с поведением его резольвенты R{А) := (Л — Л)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Со тогда и только тогда, когда оператор R(А) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды [68] (см. также [19, 62, 88, 30, 61]):

3ш € R, С > 0 : ||Л«(А)|| < (ДеА_^+1, {MFPHY)

ReX > üj, к = 0,1,2,...

При этом полугруппа дает семейство операторов решения задачи (0.1): u(t) — U(t)x, х Е D(A), а резольвента генератора совпадает с преобразованием Лапласа от полугруппы:

R(Л) = e- XtU(t) dt.

Существует широкий класс задач, не являющихся равномерно корректными, т.е. задач, для которых не выполнены условия (MFPHY). Среди них значительное место занимает задача (0.1) с оператором А, резольвента которого определена в некоторой области правой полуплоскости и ведет себя как неубывающая функция. В работах разных авторов, посвященных исследованию задачи (0.1) с таким оператором А,

в основном присутствуют два подхода к построению оператора решения.

В рамках первого подхода строят сильно непрерывные семейства операторов, удовлетворяющие некоторым функциональным соотношениям, подобным полугрупповому. Эти семейства также называют полугруппами (интегрированные, С-полугруппы, /^-конволюционные полугруппы и т.д.) [47, 57, 58, 59, 91, 62]. Ключевую роль в их построении, как в и построении полугрупп класса Со, играет техника преобразования Лапласа. Чтобы определить полугрупповое семейство, резольвенту оператора А "исправляют" — домножают на некоторую убывающую функцию, обеспечивающую существование обратного преобразования Лапласа, а затем это обратное преобразование берут в качестве основы для определения полугруппового семейства. Построенная таким образом "полугруппа" дает оператор решения уже не самой задачи (0.1), а новой задачи, полученной из (0.1). В ряде случаев при этом получены и решения исходных задач.

Второй подход к таким задачам состоит в том, что решение рассматривают как элемент некоторого более широкого пространства — пространства абстрактных обобщенных функций [8, 9, 62, 52, 15, 81, 82, 74, 78]. При этом задачу (0.1) понимают как равенство в обобщенном смысле и называют обобщенной задачей (0.1). Пространства основных функций V конструируются таким образом, чтобы в пространстве С(Т>,Х), абстрактном пространстве обобщенных функций, можно было определить полугрупповое семейство и оператор решения задачи.

В рамках первого подхода к задачам, не являющимся равномерно корректными, В.Арендтом [47] была исследована за-

дача (0.1) с оператором А, удовлетворяющим условию

С к I

3n G N, WGR, С > 0 : ||(Д(А)/АП)(*>|| <

(Re\ - uj)k+l' Re А > max{0, oj}, /г = 0,1,2,...

(0.2)

Введено понятие п раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы с генератором А и доказана теорема, аналогичная теореме Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды: оператор А (D(A) = X) порождает п раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу V(t) тогда и только тогда, когда его резольвента удовлетворяет условию (0.2). При этом полугруппа V(t) является оператором решения задачи

v'(t) = Av(t) + ¿gyуж, t > 0, ж € D(A), v(0) = 0,

т.е. v(t) = V{t)x. В последовавших работах [84, 48, 30, 80] показано, что условие (0.2) является необходимым и достаточным для существования единственного решения задачи (0.1) (D(A) = X) на классе начальных данных D(An+1), устойчивого по более сильной норме, чем норма пространства X.

В общей форме условие роста резольвенты оператора А имеет вид

A G Aa>w := {А : Re А > скФ(А) + w},

где область Аа,ш остается непустой, пока Ф(А) < |А|, и является тем уже, чем быстрее растет функция Ф(А).

Н.Танакой и Н.Оказавой задача (0.1) с условием (0.3) исследована при Ф(А) = 1п |А|, а = в = п. В их работе [91] доказано, что из этого условия следует существование локальной (т < со) щ раз интегрированной полугруппы с генератором А (щ зависит от т), а если А порождает локальную п раз ин-

тегрированную полугруппу, то резольвента оператора А удовлетворяет условию (0.3) именно с этим п. Кроме того показано, что оператор А является генератором локальной п раз интегрированной полугруппы тогда и только тогда, когда на В(Ап+1) существует единственное решение локальной (т < оо) задачи Коши (0.1), устойчивое во норме, более сильной, чем норма пространства X.

Задача Коши (0.1) с условием (0.3) при тех же значениях параметров Ф(А) = 1п |А|, а = (5 ~ п исследована Г.Фатторини в рамках теории обобщенных функций Шварца (или распределений Шварца) [62]. Пространством основных функций здесь является пространство Лорана Шварца бесконечно дифференцируемых вещественных функций с компактными носителями из К. Г.О.Фатторини ввел понятие обобщенной корректности задачи (0.1) и доказал, что критерием такой корректности является условие (0.3), которое, с другой стороны, равносильно существованию оператора решения обобщенной задачи (0.1), определенного на всем пространстве X (см. также [80]).

В работе [74] Ж.-Л.Лионе построил полугруппы распределений с генератором А и доказал, что обобщенная корректность задачи (0.1) с плотно определенным оператором А равносильна существованию полугруппы распределений с генератором А (см. также [78, 80]).

Связь между этими двумя подходами проиллюстрирована И.В.Мельниковой [80] (см. также [90]), где доказано, что полугруппа распределений, порожденная плотно определенным оператором А, является (обобщенной) производной некоторого порядка от интегрированной полугруппы с генератором А.

Задача (0.1) с условием (0.3) исследована И.Чиоранеску и Г.Люмером при 1п |А| < Ф(А) < |А[ [57]-[59]. Авторы вводят понятие /1-конволюционной полугруппы в к = {^(¿),0 < t < т] с генератором А; здесь К{— некоторая гладкая экспоненциально ограниченная вещественная функция, определенная на положительной полуоси с преобразованием Лапласа СК(А).

В этом случае также имеет место аналог теоремы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосвды: оператор А порождает А"-конволюционную полугруппу, отвечающую функции Kit) с условием \СК(Х)\ = 0(е_тФ^), тогда и только тогда, когда резольвента оператора А удовлетворяет оценке (0.3). Интеграл от i^-конволюционной полугруппы является оператором решения задачи Коши

w'(t) = Aw(t) + K(t)x, i€[0,r), т < oo, xeD(A),

w( 0) = 0,

т.е. wit) = JqS(s)xcIs. Заметим, что эта задача есть не что иное, как свертка задачи (0.1) с функцией K(t) (w(t) = (К * u)(t)), что объясняет название полугруппы.

Задача (0.1) с оператором А. отвечающим условию (0.3) при Ф(А) = 0 < d < 1, ясследована Ж.Чезаряном в

пространствах обобщенных функций [54]. В качестве основного пространства здесь фигурирует локально выпуклое про-странсво бесконечно дифференцируемых вещественных функций (p{t) с компактными носителями из R, удовлетворяющих условиям ||<¿^11 < C(n)n/dhn, п G N, h > 0. Следует отметить, что это пространство уже, чем пространство Лорана Шварца, поскольку на функции и их производные наложены дополнительные ограничения роста. Как следствие, сопряженное пространство - пространство обобщенных функций, называемое пространством ультрараспределений Жеврея - является более широким множеством, чем пространство распределений Шварца. Это позволяет исследовать в этом пространстве задачу (0.1), с оператором А, резольвента которого растет быстрее степенной функции.

Ж.Чезарян показал, что условие (0.3) является необходимым и достаточным при Ф(А) = ¿|A|d, 0 < d < 1, для существования оператора решения обобщенной задачи (0.1) в пространствах ультрараспределений Жеврея [54].

К задачам, не являющимся равномерно корректными, помимо обсуждавшихся уже двух подходов, мы можем ука-

зать еще один подход, который позволяет получить приближенное решение на всем пространстве, устойчивое, в некотором смысле, по норме исходного пространства. Такой подход дает зародившаяся в работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и ставшая уже классической теория некорректных задач [39, 40, 14, 22, 21, 16]. Типичным примером некорректной задачи служит операторное уравнение первого рода

£* = /, /е^, (0.4)

где Ь - ограниченный линейны]'! оператор, действующий из пространства 2 в пространство Т, обратный к которому либо является многозначным, либо определен не на всем пространстве Т. К уравнению (0.4), помимо различных интегральных уравнений, сводятся многие обратные задачи математической физики, задачи управления, оптимизации и т.д. Фундаментальным понятием теории некорректных задач является понятие регуляризующего алгоритма (или оператора), введенное А.Н.Тихоновым [39]. Регуляризующий оператор позволяет найти приближенное решение задачи (0.4) для заданной с погрешностью правой части уравнения /. Хорошо известны такие методы регуляризации как вариационный метод, предложенный А.Н.Тихоновым, метод невязки, метод квазирешений [40, 14].

Многие важные для приложений дифференциально-операторные задачи описываются уравнением (0.1) с оператором А, который не имеет регулярных течек в правой полуплоскости, как, например, обратная задача Коши для уравнения теплопроводности. Понятно, что решение таких задач не может быть построено в рамках теории полугрупп. Такую задачу можно свести к операторному уравнению (0.4), однако получающийся при этом оператор Ь имеет довольно громоздкую структуру, что усложняет применение классических регуля-ризующих методов. Для решения задачи (0.1) разработаны специальные алгоритмы, учитывающие ее дифференциально -

операторную специфику [7, 16, 27, 29, 28]. Таким, например, является метод квазиобращения, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом для решения некорректных задач управления процессами, описываемыми дифференциально-операторными уравнениями в гильбертовых пространствах [23]. Впоследствии метод получил широкое распространение для решения обратных дифференциально-операторных задач [16]. Метод квазиобращения состоит в том, что в уравнение вводится дополнительное слагаемое более высокого порядка с малым параметром а > 0, типа — аА2, что делает задачу корректной. В другом методе - методе вспомогательных краевых задач, развитом в работах И.В.Мельниковой [18, 27, 26] - дополнительное слагаемое вводится в граничное условие, что также позволяет регуляризовать задачу. Метод Карассо заменой v(t) = eK^T~^u(t) позволяет свести задачу (0.1) к задаче Дирихле для уравнения второго порядка [53, 79], которая становится корректной при наложении соответствующих дополнительных условий.

Перечисленные методы регуляризации дифференциально-операторных задач были разработаны и применялись, в основном, для некорректных задач (0.1) с оператором А, не имеющим регулярных точек в правой полуплоскости. Однако, как уже было отмечено, многие важные прикладные задачи имеют более слабую некорректность — это задачи, удовлетворяющие условию (0.3) с функцией 0 < Ф(А) < |А|. Например, задача Коши для уравнения Шредингера не является равномерно

корректной в пространствах Lp(R), р ф 2, но резольвента one-

2

ратора Шредингера А := г-щ^ определена в правой полуплоскости [69], а именно, оператор А порождает в этих пространствах 1 раз интегрированную полугруппу. Общий вид решения этой задачи, которое дает теория полугрупп, показывает, что ее некорректность связана с неограниченностью оператора А.

Оказывается, некорректность такого же типа - типа неогра-

ниченного оператора А - имеет задача управления

u'(t) = Au(t)+F(t)z + f(t), ¿ € [0,r], kerS^{0},

i¿(0) = ж, и(т) = y,

где В - ограниченный, А - замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства Y С X - банаховы, F(t) - непрерывно дифференцируемая оператор-функция со значениями в C(X,Y). Неизвестными являются управление z Е X и функция к (i).

Подобные дифференциальные и интегродифференциаль-ные задачи исследованы в работах А.Лоренци, А.И.Прилепко, А.Б.Костина, Д.Г.Орловского, М.Грасселли, С.И.Кабанихина, М.Чоулли, М.Ямамото, и других авторов, в основном, с точки зрения существования и единственности решения задачи. Например, для задачи нахождения коэффициента ,г, входящего в уравнение параболического типа, с дополнительными условиями наблюдения финального и интегрального типов теоремы существования и единственности доказаны в [36], а в [55, 56] на основе теории оптимального управления получены некоторые результаты об устойчивости решения и формулы для конструктивного построения решения. Для задачи отыскания коэффициента z, входящего в граничное условие для уравнения параболического типа (таюке с условиями наблюдения финального и интегрального типов) условия существования и единственности решения исследованы в [72, 73]. Задача определения коэффициента в уравнении гиперболического типа с различными дополнительными условиями исследована в цикле работ [94, 95, 96, 89]. Получены условия однозначной разрешимости таких задач и устойчивости относительно начальных условий. Возникающая при этом обратная задача, в зависимости от дополнительных условий, либо сводится к уравнению Фредгольма второго рода, либо может быть ре-гуляризована по Тихонову. Обратная задача для гиперболического интегродифференциального уравнения, как доказано в [10], однозначно разрешима при малых значениях т для до-

статочно гладких начальных условий и имеет не более одного решения при больших т; доказано также, что решения непрерывно зависят от начальных условий.

В работах А.Лоренди и А.И.Прилепко [76, 75] исследована задача управления для абстрактного интегродифференци-ального уравнения с конечным или интегральным наблюделе-нием и показана фредгольмовосгь возникающей здесь обратной задачи (задачи нахождения 2 из условия наблюдения). На основе этого результата доказана теорема существования и единственности решения на подклассах начальных данных, которое устойчиво по более сильной норме, чем норма пространства X.

Для задачи (0.5) в работе Д.Г.Орловского [87] доказано, что обратная задача имеет фредгольмовый характер. Однако даже в этом случае управление 2 не является непрерывной функцией начальных данных, что связано с неограниченностью оператора А.

Более общая постановка задачи Коши для уравнения первого порядка часто приводит к тому, что эквивалентные условия равномерной корректности в том виде, в котором они сформулированы для задачи (0.1), становятся невыполнимыми. Такую задачу представляет вырож ценная задача Коши

Ви'{г) = Аи{1) + /(*), I > 0, кег В ф {О}, м(0) = ж, ^ ' '

где В - ограниченный, А - замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства У С X - банаховы. Поскольку ядро оператора В ненулевое, обратный оператор является многозначным и задач)' (0.6) не удается свести к задаче (0.1) на всем пространстве X, а значит, и результаты о корректности задачи (0.1) не будут справедливы в вырожденном случае. В частности, задача (0.6) не может быть корректна на О (А), поскольку для х £ 0(А)Пкет В, х ф 0, нарушается равномерная непрерывность решения в нуле.

Долгое время одним из основных подходов к исследова-

нию задачи (0.6) было разложение исходных пространств X, У в прямую сумму инвариантных относительно А, В подпространств, таких что на одном из них обратим оператор А, на другом - оператор В, а получающиеся уравнения -это либо конечномерные уравнения, либо уравнения с ограниченным оператором [20, 13, 5|. Полугрупповые методы к решению таких задач стали применять сравнительно недавно [49, 93, 30, 32].

Одно из направлений в исследовании вырожденной задачи Коши основано на введении многозначных операторов типа В~1А. Для такого оператора задача (0.6) превращается в задачу Коши для включения

«'(*) - Аи(г) э /(г), t > о, «(0) = х, (0.7)

где А — многозначный оператор, действующий в банаховом пространстве X. А.Яги [93] получено обобщение теоремы Хилле-Иосиды, дающей достаточные условия существования сильно непрерывной полугруппы операторов класса Со с генератором А (теорема Хилле-Иосиды является частным случаем теоремы Миядеры-Феллерэ-Филлипса-Хилле-Иосиды). Если А при некотором С > 0 удовлетворяет условию Хилле-Иосиды

||Д(А)||< ДеА>и,

то прямая сумма И (А) 0 АО —: Х\ является замкнутым подпространством в X и, в случае рефлексивного пространства, совпадает с X. Здесь резольвента Я(Х) многозначного оператора А определяется обычным образом, как однозначный ограниченный оператор в пространстве X. На подпространстве Х\ справедлив аналог метода Иосиды [17] построения полугруппового семейства е^ при помощи аппроксимации оператора А последовательностью ограниченных операторов Ар := р — р2{ А — Л)-1, р Е N. При этом на О (А) операторы егл образуют полугруппу класса Со- На всем пространстве X

операторы etA образуют полугруппу-распределение в смысле определения Ж.-Л.Лионса [74].

В работе [32] И.В.Мельникова и А.В.Гладченко выделяют однозначную ветвь оператора А, оператор А, и доказывают аналог теоремы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды для задачи (0.7): А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов класса Со на D(A) тогда и только тогда, когда резольвента (А - А)~1 удовлетворяет условиям (MFPHY) и пространство X разложимо в прямую сумму X = D(A) © АО. Как и в классическом случае, необходимым и достаточным условием равномерной корректности задачи (0.7) на D(A) является существование сильно непрерывной полугруппы операторов U{t) класса Со с генератором А. При этом решение однородной задачи (0.7) является экспоненциально ограниченным и определяется полугруппой:

u(t) = U(t)x, х е D(A).

Теория многозначных операторов была использована в работе В.Арендта и А.Фавини [49] для исследования вырожденной задачи Коши вида

(Bu(t)y = Au(t) + /(í), t G [0, г), Ви{0) - Вх, (0.8)

где А, В — замкнутые линейные операторы, действующие из X в Y (X, Y - банаховы), D(Á) С D(B) и оператор А имеет ограниченный обратный. Если

Зр G N U {0}, cu > 0, С > 0 : ||А(АБ - А)~1\\с(х) < С (i + |А|)Р, Re А > ы,

то для любых х G D(A), / G С([0, т); Y) и для любого п > р-\-3 существует функция u(t) G С([0, т], D(A)) - решение п раз проинтегрированного уравнения (0.8):

rt tn it (t — Sr

Bu(t) = Jq 'Au(s) ds + — Bx + У(| v f(s) ds, t G [0, r).

Приложением теории интегрированных полугрупп [47, 50] к вырожденной задаче (0.8) получен следующий, несколь-

ко более общий, результат [49]: если в условиях постановки задачи (0.8) оператор В Е £([D(A)],Y) и при некотором р = —1,0,1,..., выполнено условие

30 < ß < 1, ш > 0, С > 0 : II(ЛБ - АГЧедад]) < СИ + |Л|)^, ReX > и,

то для любого х е D(A), / 6 С([0,т];У) существует единственное р + 2 раза интегрированное решение задачи (0.8).

Другое направление в исследовании вырожденной задачи Коши (0.6) представляет теория вырожденных полугрупп, построенная И.В.Мельниковой и М.А.Алыпанским [30]. В отличие от регулярного случая (В = /), генераторами вырожденной полугруппы является г ара операторов А, В, а роль резольвенты оператора А в этой теории играет псевдорезольвента 1Z(А) := (ХВ — А)~1В. В работе [30] теория полугрупп класса Со и в работах [33, 83] теория п раз интегрированнх экспоненциально ограниченных полугрупп полностью перенесены на случай вырожденной задачи (0.6), а именно, в каждом случае доказаны аналоги георемы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды и найдены необходимые и достаточные условия корректности вырожденной задачи (0.6) (см. подробно §2 гл.2).

В работах Г.А.Свиридюка и его учеников [37, 38, 6, 43] построена теория полугрупп с ядрами, в рамках которой получено обобщение теоремы Миадеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды для полугрупп класса Со и для аналитических полугрупп.

Другой класс дифференциально-операторных задач, которые приводят к некорректным задачам (0.1), (0.6), представляет задача Коши для уравнения второго порядка

v"(t) = Tv'(t) + Sv(t), t> 0, КО) = г>1, 1/(0) = г>2, ^

с замкнутыми линейными операторами Т, 5, действующими в банаховом пространстве Е. Одним из методов исследования

задачи (0.9) является сведение ее к задаче первого порядка в произведении пространств. Например, замена

приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором А с областью определения D(A) = D(S) х D(T).

Долгое время не удавалось получить необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи (0.9) для полного уравнения. Это связано с тем, что равномерная корректность задачи Коши второго порядка не эквивалентна равномерной корректности соответствующей ей задачи Коши первого порядка. Для неполного уравнения (Т = 0) такие условия дала теория Cos- и Sin-функций [63]. Для коммутирующих операторов Т и S критерий равномерной корректности задачи (0.9) получен в рамках теории M,N функций, построенной И.В.Мельниковой и А.И.Филинковым и обобщающей теорию Cos-функций [24, 25]. Существенное отличие этих теорий от полугрупповых методов состоит в том, что в их построении сразу учитывается второй порядок производной.

Получить критерий корректности задачи (0.9) в общем случае стало возможным благодаря построенной Арендтом теории интегрированных полугруш: [47, 48]. Как лишь недавно удалось показать [33], равномерная корректность задачи (0.9) с бизамкнутыми операторами Т, S (определение 3.1.2) равносильна тому, что оператор А порождает 1 раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу в пространстве X, т.е. равномерно корректгая задача (0.9) эквивалентна неравномерно корректной задаче' (0.1).

Для исследования задачи (0.9) С.Г.Крейном [19] была использована замена

(0.10)

приводящая в пространстве X = Е х Е к задаче:

и'^) = Аи{г) + Аоиф, г > 0, и(0) = X,

где Ао рассматривается как линейное возмущение оператора А. На основе теории абстрактных параболических уравнений доказаны достаточные условия однозначной разрешимости задачи (0.9): если операторы Т и — 5Т-1 являются генераторами аналитических полугрупп и оператор — 5Т-1 вполне подчинен оператору Т, то для любых начальных данных VI 6 D(S) П£)(Т),172 £ В(Т) существует единственное решение задачи (0.9). Условие вполне подчиненности означает, что

£>(Т) с £>(5Т-1), Цб'Т-^Ц <с\\щ, v е £>(Т),

Уе>0 ЗФ£еЕ* : Ц^Т-^Ц < е||Тг;|| + Фе(и), V е 0(Т).

В работе А.Фавини и Е.Обрех::а [65] этот результат Крейна получен на основе исследований поведения пучка операторов Р(Х) := А2 — ЛТ — 5: если операторы Т и — 5Т-1 являются генераторами аналитических полугрупп, 1)(Т2) С О(З) и существует 6 > 0, при котором справедливо условие

||5Т-1(Л-ТН| ^|ЛНоо 0, А.€И«:={АеС: | Л| < тг/2 +

то оператор Р(А) является параболическим, т.е. в области Е^ существует обратный оператор /¿^(А) := (А2 —АТ —51)-1 и для него выполяются оценки

||А2Д5)Г(А)||; ||ЛГЛ5>г(А)||; | ^5;Г(А)|| < С, Л е £*.

Это условие параболичности -Р(А), как показано в работе [86], гарантирует существование и единственность решения задачи (0.9) [65].

В работе Ф.Ньюбрандера [85] для замкнутых операторов Т и 5 использована замена

"И = ( у'ф-Туф ) ' Х={г,2 - Т*! ) '

которая приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором А, определенном на (-О(Т) П .0(5)) х Е. Если 0(Т) С /}(5) и оператор Т порождает полугруппу класса Со в пространстве Е: то А порождает полугруппу класса Со в пространстве X. На основе этого факта доказаны следующие необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи (0.9): если операторы Т и 5 плотно определены и оператор Т имеет регулярную точку (р(Т) ф 0), то существование полугруппы класса Со с генератором Т эквивалентно тому, что для любых Е 0{Т) существу-

ет единственное решение задачи (0.9), устойчивое с оценкой 1М0И < Сехр(ил£)(||г;1||^ + Ц^Ц), где || • - граф-норма оператора Т.

Для ограниченого оператора Т Ф.Ньюбрандер использовал замену (0.10), которая снова приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором А, определенным на множестве -0(5) х Е. В этом случае доказано [85], что если оператор Д^д^А) = (А2 — АТ — 5)-1 удовлетворяет условию типа

то оператор А является генератором п-раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы и, следовательно, для любых начальных данных (г;!,^) Е П{Ап+1) существует единственное решение задачи (0.9) такое, что

\\у(г)\\ <СехрМ 11(^1,^)111,, И*)|| <СехрМ.\\(?иу2)\\1 где = \\х\\ + ||Ах|| + ... + ||А'1.т||.

Для исследования вырожденной задачи Коши второго порядка

(МРРНУ):

А > си, к = 0,1,..

(Зг/ВДУ = 2У(*)+ £«(*)+/(*), £ Е [0, т), «(0) = VI, = кег С} ф {0}

(0.11)

с замкнутыми линейными операторами Q, Т, 5, действующими из Е в Ei, пространства Е, Ei - банаховы, А.Фавини и А.Яги [67], как и в работах [19, 65], использована техника выделения главного оператора. В случае D(T) С D(S) достаточные условия однозначной разрешимости получены с помощью сведения к системе вида (0.8). В случае D(S) С D(T) с помощью сведения к задаче (0.6) получены достаточные условия существования и единственности, обобщающие результаты Крейна для задачи (0.9) на случай Q ф I.

Необходимые и достаточные условия корректности вырожденной задачи Коши для уравнения второго порядка до сих пор найдены не были.

Настоящая работа посвящена исследованию дифференциально-операторных задач (0.1) и (0.12), которые, как уже было сказано, не являются равномерно корректными. Мы исследуем эти задачи с единых позиций теории полугрупп.

Диссертация состоит из трех глав и девяти параграфов.

Первая глава посвящена исследованию корректности задачи Коши (0.1) с оператором А, удовлетворяющим условию (0.3) при 1п |Л| < Ф(А) < |А|. Задача рассматривается в пространствах абстрактных ультрараспределений Берлинга, которые представляют собой более общее построение по сравнению с пространствами Шварца. §1 носит реферативный характер. В нем, согласно [71], даны основные определения, понятия и факты теории ультрараспределений. В частности, там определена функция М(А), тесно связанная с основным пространством ультрадифференцируемых функций, определяющая область существования резольвенты оператора А и ее поведение в условии (0.3) (т.е. мы полагаем Ф(А) — М(А)).

В §2, подобно тому, как Г.Фатторини ввел обобщенную корректность задачи (0.1) в пространствах распределений [62], мы определяем обобщенную корректность задачи (0.1) в пространствах абстрактных ультрараспределений Берлинга. Доказано, что критерием такой корректности является условие

(0.3) при Ф(А) = М(Л). Другим необходимым и достаточным условием обобщенной корректности является существование оператора решения обобщенной задачи (0.1) на всем пространстве X [45]. В §3 на основе результатов теории К-конволюционных полугрупп и результатов §2 указан класс начальных данных, для которых задача (0.1) имеет классическое решение, а именно, доказана теорема 1.3.3.

Глава 2 посвящена построению регуляризующих операторов для задачи (0.1), удовлетворяющей условию (0.3). В §1 изложены основные определения и факты теории интегрированных полугрупп, в §2 — теории вырожденных полугрупп класса Со и вырожденных интегрированных полугрупп.

В §3 главы 2 исследован характер некорректности задачи (0.1) с оператором А, порождающим 1 раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу, т.е. задачу, удовлетворяющую условию ^0.2) при п = 1, и на основе этого исследования для нее построен регуляризующий оператор. Полученный оператор естественным образом учитывает дифференциально-операторную структуру уравнения. В качестве примера рассмотрена задача Коши для уравнения Шредингера в пространстве ^(И).

В §4 главы 2 мы исследуем вырожденную задачу управления (0.5), доказываем, что для нее обратная задача является фредгольмовой и строим регуляризующий оператор, учитывающий дифференциально-операторную структуру уравнения и вырожденность оператора В.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ануфриева, Ульяна Алексеевна, 1999 год

Список литературы

[1] Антоневич А.Б., Радыно Я.В., Функциональный анализ и интегральные уравнения, Минск, изд-во "Университетское", 1984. - 351с.

[2] Ануфриева У.А., Об устойчивости разностных схем при регуляризации некорректной задачи Коилщ "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач". Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, 27 февраля - 3 марта 1995г., Екатеринбург (1995), с. 18-19.

[3] Ануфриева У.А., Вырожденная задача Коши для уравнения второго порядка. Критерий корректности, Дифф. урав., 34, N 8, 1-3 (1998).

[4] Ануфриева У.А., Регуляризация обратной коэффициентной задачи для вырожденного уравнения, "Алгоритмический анализ некорректных задач". Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, 2-6 февраля 1998г., Екатеринбург (1998), с. 33-34.

[5] Баскаков А.Г., Чернышев К.И., К спектральной теории пар линейных операторов, Изв. РАЕН, МММИУ, 1, N 2 (1997).

[6] Бокарева Т.А., Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальны-ми операторами, Дисс—канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург: РГПУ им. И.А.Герцена, 1993.

[7] Валицкий Ю.Н., Корректность многоточечной задачи для уравнения с операторными коэффициентами, сиб. мат. жур., 29, N 4, 44-53 (1988).

11

12

13

[8] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над нимщ в.1. - М.: ФМ, 1958. - 470с.

[9] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Пространства основных и обобщенных функций, в.2. - М.: ФМ, 1958. - 308с.

101 Грасселли М., Кабанихин С.И., Лоренци А., Обратная задача для интегродифференциалъного уравнения, Сиб. мат. жур., 33, N 3, 58-68 (1992).

Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т.1. Общая теория. М.: Мир, - 1962. - 895с.

Дзекцер Е.С., Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью, ДАН СССР, 202, N 5, 1031-1033 (1972).

Зубова С.П., Чернышев К.И., О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной, сб. "Методы решения операторных уравнений", Воронеж, 62-65 (1978).

Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П., Теория линейных некорректных задач и ее приложения, М.: Наука, 1978.

Иванов В.К., Мельникова И.В., Новые обобщенные функции и слабая корректность операторных задач, Докл. АН СССР 317, N 1, 22-26 (1991).

Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И., Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, М.: Наука, 1995. - 176с.

171 Иосида К., Функциональный анализ, М.: Мир, 1967. -624с.

181 Карасик Б.Г., Регуляризация некорректной задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка, Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и матем. наук, N 6, 117-129 (1976).

14

15

16

[19] Крейн С.Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.: Наука, 1967. - 464с.

[20] Крейн С.Г., Чернышев К.И., Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Препринт Ин-та математики СО АН СССР, Новосибирск, 1979. - 18с.

[21] Лаврентьев М.М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92с.

[22] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа, М.: Наука, 1980.

[23] Латтес Р, Лионе Ж.-Л., Метод квазиобращения и его приложения, М.: Мир, 1970. - 336с.

[24] Мельникова И.В., Филинков А.И., Классификация и корректность задачи Коши для уравнений второго порядка в банаховом пространстве, Докл. АН СССР, 276, N 5, 1066-1071 (1984).

[25] Мельникова И.В., Филинков А.И., О классификации по краевым задачам полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве, Изв. Вузов. Мат., N 6, 39-45 (1990).

[26] Мельникова И.В., Условия корректности абстрактных краевых задач, Изв. ВУЗов, Мат., 34, N 10 (1990).

[27] Мельникова И.В., Регуляризация некорректных дифференциальных задач, Сиб. Мат. жур., 33, N 2, 125-134 (1992).

[28] Мельникова И.В., Вочкарева C.B., С-полугруппы и регуляризация некорректной задачи Коши, Доклады АН, 329, N 3, 270-273 (1993).

[29] Мельникова И.В., Филинкое, А.И., Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач, Успехи мат. наук, 49, N 6, 111-150 (1994).

[30] Мельникова И.В., Алыпанский М.А., Корректность задачи Коши в банаховом пространстве: регулярный и вырожденный случаи, Итоги науки и техн. Сер. Совр. ма-тем. и ее прил. Тем. обзоры. Анализ-9, ВИНИТИ, 27, 564 (1995), engl, transi.: J. of Math. Sei., 87, N 4, 3732-3777 (1997).

[31] Мельникова И.В., Ануфриева У.А., Вырожденная задача Коши. Аналог плотности области определения генератора, труды III Международной конференции женщин-математиков, 29 мая - 2 июня, 1995г., Воронеж (1995). Вып. 1, 130-135.

[32] Мельникова И.В., Гладченко A.B., Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах, Доклады РАН, 362, (1998).

[33] Мельникова И.В., Метод интегрированных полугрупп для задач Коши в банаховых пространствах, Сиб. Мат. жур., 40, N 1, 119-129 (1999).

[34] Мизохата С., Теория уравнений с частными производными., М.: Мир, 1977.

[35] Милыптейн Г.Н., Расширение полугрупп операторов в локально выпуклые пространства, Известия ВУЗов, N 2, 9195 (1977).

[36] Прилепко А.И., Костин A.B., Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении /, Сиб. мат. жур., 33, N 3, 146-155 (1992).

[37] Свиридюк Г.А., К общей теории полугрупп операторов, УМН, 49, N 4, 47-74 (1994).

[38] Свиридюк Г.А., Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами, ДАН, 337, N 5, 581-584 (1994).

[39] Тихонов А.Н., О регуляризации некорректно поставленных задач, ДАН СССР, 153, N 1, 49-52 (1963).

[40] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1979.

[41] Торопова С.П., О регуляризации задачи Коши для оператора Шредингера в пространствах Lp, Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач', посвященной памяти В.К. Иванова, 2-6 февраля 1998г. УрГУ, Екатеринбург, 79-80 (1998).

[42] Треногин В.А., Функциональный анализ, М.: Наука, 1980.

[43] Федоров В.Е., Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева, Дисс;.... канд. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧГУ, 1996.

[44] Anufrieva U.A., Convoluted Cauchy problem, тезисы докладов Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование.", Дубна, (1997).

[45] Anufrieva U.A., Differential-operator problems in the space of ultradistributions, Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School- Symposium, 18-29 Sept. 1997, Simferopol (1998), pp. 115-118.

[46] Anufrieva U.A., Two types of the control problems, Тезисы докладов международной конференции "Обратные задачи математической физики". 21-25 сентября 1998г, Новосибирск (1998), с. 78.

[47] Arendt W., Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems, Israel J. Math., 59, 327-352 (1987).

[48] Arendt W., El-Mennauoi Q. and Keyantuo V., Local integrated semigroups: evolutions with jumps regularity, J. Math. Anal, and Appl. 186, N 2, 572-595 (1994).

[49] Arendt W. and Favini A., Integrated solutions to implicit differential equations, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, 51, N 4. Partial Diff. Eqs., 315-329 (1993).

[50] Arendt W. and Kellerman H., Integrated solutions of Volterra integrodifferential equations and applications, in " Volterra integro-differential equations in Banach spaces and applications" (Eds. Da Prato. Iannelli), Pitman RNM 190, Longman, 1989, 21-51.

[51] Barbu V., Favini A., Existence for implicit differential equations in Banach spaces, Rend. Mat. Acc. Liceis, 3, N 9, 203215 (1992).

[52] Bremermann H., Distributions, complex variables and Fourier transforms, Addison-Westley, Reading, Mass., 1965.

[53] Carasso A., Error bounds in the final value problem for the heat equation, SIAM J. Math. Anal., N 59, 327-352 (1987).

[54] Chazarain J., Problemes de Cauchy abstraits et applications a quelques problemes mixtes, J. Funct. Anal. 7, N 3, 386-446 (1971).

[55] Choulli M. and Yamamoto M., Generic well-posedness of a linear inverse parabolic problem with diffusion parameters, Univ. Fran. Comte, CNRS, 96/04, 1-19, (1996).

[56] Choulli M. and Yamamoto M., An inverse parabolic problem with non zero initial conditions, Univ. Tokio, Grad. School of Math. Sci., UTMS 96-40, 1996, 1-9.

[57] Cioranescu I. and Lumer G., Regularization of evolution equations via kernels K{t), K - evolution operators and convoluted semigroups, generation theorems, Seminar Notes in

Func. Anal, and PDEs, 1993-1994, Louisiana State Univ., Baton Rouge, 45-52 (1994).

[58] Cioranescu I. and Lumer G., On K(t)-convoluted semigroups, Pitman Research Notes in Mathematics, 324, 86-93 (1995).

[59] Cioranescu I., Local convoluted semigroups, "Evolution Equations", Lect. notes in pure and appl. math. 168, Marcel Dekker Inc. (1995) (Paper from the Int. Conf. on Evol. Eq., hold at Lousiana State Uni., Jan. 7-11, 1992), 107-122.

[60] El-Mennaoui O. and Keyantuo V., On the Schrodinger equation in LP spaces, Math. Ann.. 304, 293-302 (1996).

[61] Engel K.-J. and Nagel R., One-parameter semigroups for linear evolution equations, to appear in: Graduate Texts in Math., Springer-Verlag.

[62] Fattorini H.A., The Cauchy problem, Reading, Masse.S.: Addison-Wesley Publ. Co. (1S83), 636p. (Encycl. Math, and Appl. 18)

[63] Fattorini H.A., Second order differential equations in Banach spaces, Amsterdam e.S.: N.-Holl. (1985), 314p.

[64] Favini A., An operational method for abstract degenerate evolution equations of hyperbolic type, J. Funct. Anal., 76, 432-456 (1988).

[65] Favini A., Obrecht E., Conditions for parabolicity of second order abstract differential equations, Differential and Integral Equations, 4, N 5, 1005-1022 (1991).

[66] Favini A. and Yagi A., Multivalued linear operators and degenerate evolution equations, Annali di Matematica pura ed applicata (IV), CLXIII, 353-384 (1993).

[67] Favini A., Yagi A., Abstract second order differential equations with applications, Funkcialaj Ekvacioj, 38, 81-99 (1995).

Hille E. and Phillips R.S., Functional analysis and semigroups, Amer. Math. Soc. Coll.Publ., 31 (1957), 810p.

Kellermann H. and Hieber M., Integrated semigroups, J. Func. An. 84, 160-180 (1989).

Kaminski A., Kovacevic D. and Pilipovic S., The equivalence of various definitions of the convolution of ultradistributions, Труды Математического ивститута РАН, 203, 307-322 (1994).

Komatsu Н., Ultradistributions, I. Structure theorems and characterization, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo 20, N 1, 25-106 (1973).

Kostin A.B. and Prilepko A.I., On some problems of restoration of a boundary condition for a parabolic equation.I, Diff. Eq., 32, N 1, 113-122 (1996).

Kostin A.B. and Prilepko A.I., On some problems of restoration of a boundary condition for a parabolic equation.II, Diff. Eq., 32, N 11, 1515-1525 (1996).

Lions J.-L., Les semi-groupes distributions, Portug. math. 19, N 3-4, 141-161 (1960).

Lorenzi A. and Prilepko A.I., Frelholm-type results for firstorder integrodifferential identijication parabolic problems, Diff. Int. Eq., 6, 535-552 (1993).

Lorenzi A. and Prilepko A.I., Global existence results for firstorder integrodifferential identification problems, Universita degli studi di Milano, N 41, 1- 25 (1994).

Lyzik G., On extendible ultradistributions, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 43, N 1, 29-40 (1995).

Melnikova I.V., Properties of Lions' d-semigroups and generalized well-posedness of the Cauchy problem, Funct. Anal, and Appl. 31 (1997), no. 3, 23-34.

[79] Melnikova I.V., General theory of the ill-posed Cauchy problem,, Journal of Inverse and III-Posed Problems, 3, N 2, 149171 (1995).

[80] Melnikova I.V., Well-posedness of differential-operator problems I: the Cauchy problem in spaces of distributions, Итоги науки и техн. Сер. Совр. матем. и ее прил. Тем. обзоры. Анализ, ВИНИТИ, engl. transl.: J. of Math. Sci., (1998).

[81] Melnikova I. V., AnufrievaU.A. and Ushkov V.Yu., Degenerate distribution semigroups and well-posedness of the Cauchy problem, J. Int. Trans, and Spec. Funct. 6, N 1-4, 228-237 (1997).

[82] Melnikova I.V., Anufrieva U.A. and Filinkov A.I., Laplace transform of К-semigroups and well-posedness of the Cauchy problems, J. Int. Trans, and Spec. Funct. 8, N 1-2, 1-20 (1999).

[83] Melnikova I.V., The degenerate Cauchy problem in Banach spaces, Сборник Уральского университета, вып.1, N 10, 147-160 (1999).

[84] Neubrander F., Integrated semigroups and their application to the abstract Cauchy problem, Pacific J. Math., (1988) 135, 111-155.

[85] Neubrander F., Integrated semigroups and their application to complete second order Cauchy problems, Semigroup Forum, 38, 233-251 (1989).

[86] Obrecht E., The Cauchy problem for time-dependent abstract parabolic equations of higher order, J. Math. Anal. Appl., 125, 508-530 (1987).

[87] Orlovskii D.G., The Fredholm solvability of inverse problems for abstract differential equations, Ill-Posed Problems in Natural Sciences, 367-374 (1992).

[88] Pazy A., Semi-groups of linear operators and applications to partial differential equations, Berlin etc.: Springer, 1983. -279p. - (Appl. Math. Sci.; 44).

[89] Puel J.-P. and Yamamoto M., Applications de la controlabilite exacte a quelques problemes inverses hyperboliques, C. R. Acad. Sci. Paris, 320, Serie I, 1171-1176 (1995).

[90] Sova M., Lenear differential equations in Banach spaces, Rozpr. CSAV MPV. 85, N 6, 1-150 (1975).

[91] Tanaka N. and Okazawa N., Local C-semigroups and lokal integrated semigroups, Proc. London Math. Soc. 61, N 3, 6390 (1990).

[92] Travis C.C., Webb G.F., Cosine families and abstract nonlinear second order differential equations, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 32, N 1-2, 75-96 (1978).

[93] Yagi A., Generation theorem of semigroup for multivalued linear operators, Osaka J. Math., 28, 385-410 (1991).

[94] Yamamoto M., Stability, reconstruction formula and regulari-zation for an inverse source gyperbolic problem by a control method, Inverse Problems, 11, 481-496 (1995).

[95] Yamamoto M., Identification of forces in vibrating plates by poinwise. and line observations - uniqueness and stability, Proceed, of the Design Engin. Technic. Conf. 1995, 973-978.

[96] Yamamoto M., Well-posedness of multidimentional hyperbolic inverse problem: the prospect. Univ. Tokio, Grad. School of Math. Sci., UTMS 96-29, 1996, 1-43.