Применение матричных форм в исследованиях напряженно-деформированного состояния пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Сын Самбатх

• Сын Самбатх
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сын Самбатх

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК НА ТРАПЕЦИЕВИДНОМ ПЛАНЕ.

1.1. Приближенные методы расчета пластин и пологих оболочек

1.2. Краткий исторический обзор решения задач расчета пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане.

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ТРАПЕЦИЕВИДНОМ ПЛАНЕ.

2.1. Основные соотношения в пластщисах.щ|*пологих оболочках

2.2. Построение решения в обобщенных координатах.

2.3. Математический аппарат.

Глава 3. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ТРАПЕЦИЕВИДНЫХ

ПЛАСТИНОК.

3.1. Алгоритм расчета трапециевидной пластинки с жестко защемленными непараллельными краями методом Канторовича-Власова.

3.2. Алгоритм расчета трапециевидной жестко защемленной по контуру пластинки методом Бубнова-Галеркина.

3.3. Алгоритм трапециевидной пластинки методом Ритца

Тимошенко.

3.4. Примеры расчетов трапециевидной пластинки.

Глава 4. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА

ТРАПЕЦИЕВИДНОМ ПЛАНЕ.

4.1. Алгоритм расчет пологих оболочек на трапециевидном плане методом Канторовича-Власова.

4.2. Алгоритм расчет пологих оболочек на трапециевидном плане методом Бубнова-Галеркина.

4.3. Алгоритм расчет пологих оболочек на трапециевидном плане методом Ритца-Тимошенко.

4.4. Примеры расчетов пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение матричных форм в исследованиях напряженно-деформированного состояния пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане»

Пластины и пологие оболочки в настоящее время нашли широкое применение в различных областях техники и народного хозяйства - строительстве, машино-, авиа-, судостроении и других отраслях. Это объясняется тем, что присущие тонкостенным конструкциям легкость и рациональность формы сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.

Благодаря своей пространственной работе оболочки обладают высокой прочностью и жесткостью, поэтому они легче, чем другие конструкции. Это связано с тем, что внешняя поперечная нагрузка уравновешивается в оболочке не только за счет изгиба, как в пластинах, но и за счет возникающих в срединной поверхности нормальных и сдвигающих усилий.

Среди оболочек особое место занимают пологие оболочки, особенно в строительстве. Они весьма цены для покрытий промышленных зданий с боль-шегабаритным технологическим оборудованием, а также для спортивных и зрелищных комплексов, крытых рынков, выставочных павильонов, вокзалов и зданий различного назначения.

Однако в ряде случаев по конструктивным, технологическим или иным причинам применение пологих оболочек становится невозможным, и в этом случае пластины являются именно теми конструкциями, которые с успехом применяются (междуэтажные перекрытия, дорожное железобетонное полотно, аэродромные плиты и т.д.).

Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого (толщина пластины) мала по сравнению с размерами в плане. Пластины бывают толстыми, если их толщина превышает 1/5 наименьшего размера в плане; тонкими, если отношение толщины к наименьшему размеру в плане примерно в пределах 1/5. 1/80; и на конец, мембранными, если толщина не превышает 1/80 наименьшего размера в плане. Сопротивление пластины последнего вида изгибу оказывается ничтожно малым, и основную роль в восприятии поперечной нагрузки играют усилия растяжения (а также сдвига) в срединной поверхности, называемые мембранными.

Пластины, у которых отношение прогибов к толщине не превышает 0,2.0,5, относятся к жестким. В таких пластинах основную роль играют из-гибные силовые факторы, а мембранными усилиями можно пренебречь. Если отношение прогибов к толщине превышает указанные ориентировочные пределы, то пластинка одновременно работает и на изгиб, и как мембрана, и называется гибкой. При этом значимость изгибных и тангенциальных факторов становится одного порядка, причем с ростом прогибов роль растяжения срединной поверхности возрастает.

Расчет пластинки ведут на основе классической теории изгиба, базирующейся на трех гипотезах Кирхгоффа: гипотезе прямых нормалей, гипотезе об отсутствии давления между слоями пластины и гипотезе о недеформируемости срединной поверхности.

При решении задач изгиба упругих тонких пластин обычно используют дифференциальное уравнение равновесия Софи Жермена-Лагранжа, а также принцип стационарности функционала полной энергии деформации.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с другими размерами. Оболочка считается пологой, если углы между касательной плоскостью к срединной поверхности и горизонтальной плоскостью, над которой она возвышается, всюду настолько малы, что в пределах точности вычислений косинусы этих углов можно считать равными единице. По В.З.Власову к пологим относятся оболочки, у которых стрела подъема (наибольший подъем оболочки над плановой плоскостью) не превышает 1/5 наименьшего размера в плане. Если отношение толщины к наименьшему радиусу кривизны не превышает 1/20, то оболочки являются тонкими.

Теория тонких упругих оболочек основывается на первых двух гипотезах Кирхгоффа для тонких пластин, распространенных Лявом на тонкие оболочки. Обычно эти две гипотезы называются гипотезами Кирхгоффа-Лява, из которых первая является геометрической, а вторая - физической.

Для расчета пологих оболочек используют дифференциальные уравнения смешанной формы, выведенные В.З.Власовым в 1944 г., или дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, а также принципы стационарности функционала полной энергии деформации.

Как известно, проблема решения задач расчета пластин и пологих оболочек относится к краевой задаче. Обычно краевая задача ставится следующим образом: найти в заданной области решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее на границе области интегрирования краевым условиям в виде дифференциальных соотношений. Отсюда следует, что трудности решения краевой задачи зависит от трех основных факторов: вида дифференциального оператора разрешающего уравнения, формы области интегрирования и характера краевых условий - вида дифференциальных операторов на границе.

Известно, что точные решения получены лишь для некоторых классов краевых задач, и поэтому основными методами решения краевых задач являются различные приближенные методы, среди которых наибольшую известность получили вариационные методы как аналитического решения (метод Ритца, метод Галеркина, метод наименьших квадратов и т.п.), так и дискретного решения. В последние годы с появлением ЭВМ широкие популярности получили численные методы дискретного решения такие, как конечно-разностные методы (метод конечных разностей, вариационно-разностный метод) и метод конечных элементов, которые используют для решения практически любых краевых задач, особенно в случае сложной формы области интегрирования.

Однако стали обнаруживаться некоторые недостатки дискретных методов, связанные не только с трудоемкостью решения системы высокого порядка, но и с неудобной числовой формой представления решений. Появилась необходимость в новых реализациях вариационных методов дискретного решения, которые не только учитывают арифметические возможности современных вычислительных машин, но и используют удобные математические аппараты.

Известны три исторических преграды на пути применения вариационных методов аналитического решения: а) трудность построения координатных функций, удовлетворяющих заданным краевым условиям; б) трудоемкость вычисления определенных интегралов в разрешающих уравнениях; в) неустойчивость вычислительного процесса, возникающая при неудачном выборе координатных последовательностей за счет накопления различных погрешностей.

На современном этапе развития ЭВМ трудности, перечисленные в пунктах б) и в), практически преодолены. Следует заметить, что вопрос вычисления определенных интегралов является решенным только в численном виде, а в аналитической форме всегда остается проблематичным, так как он зависит от вида подынтегральной функции. Для области интегрирования произвольной формы с любыми краевыми условиями координатные функции могут быть построены методом И-функций, предложенным В.Л.Рвачевым [118].

Однако решение пластин и пологих оболочек произвольной формы в плане с применением Я-функций является довольно трудоемким. Поскольку рассматриваемый класс пластин и пологих оболочек имеет определенную форму в плане, а именно трапециевидную, поэтому будет целесообразным, если искать относительно легкое их решение на основе классических решений пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане.

Актуальность темы диссертации. На практике не все разновидности пластин и пологих оболочек освоены в равной степени. Пластинки и пологие оболочки на прямоугольном (а также круговом) плане наиболее изучены и более широко применяются в различных отраслях техники и народного хозяйства. По проблеме расчета этих конструкций к настоящему времени достигнуты большие успехи как в области математической теории, так и в области технической теории, и имеется множество публикаций.

На современном уровне потребностей человечества по конструктивным, технологическим или иным требованиям нередко встречаются случая, когда необходимы пластинки и пологие оболочки произвольной формы в плане, в частности, на трапециевидном плане. Такие конструкции применяются в строительстве (в бункерах, в арочных плотинах, в зданиях и сооружениях с непрямоугольными сетками колонн или на непрямоугольном плане разного назначения и т.д.), в авиастроении, судостроении, машиностроении, приборостроении и в других областях народного хозяйства.

Проблеме расчета пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане посвящен ряд работ [106, 108, 138, 139, 53, 55, 60, 116, 159, 20, 17, 18, 29]. Среди них работы, в которых рассматриваются аналитические решения, носят частный характер из-за ограничения числа членов ряда в аппроксимирующем выражении (чаще всего в первом приближении), либо из-за частного вида очертания: прямоугольной или равнобедренной трапеции. Поэтому анализ их напряженно-деформированного состояния в этом случае не полноценный.

В настоящее время с развитием ЭВМ и теории численных методов практически все краевые задачи можно решать численными методами дискретного решения как методом конечных разностей, методом конечных элементов и т.д. Однако, как уже отмечалось, аналитические решения по сравнению с дискретными решениями все же являются более предпочтительными, если они найдены и не громоздкие, так как в большинстве случаев они требуют меньших вычислительных работ, выиграют с точки зрения представления результатов и позволяют иногда удобно проводять различные исследования.

Таким образом, существует необходимость в разработке аналитических решений задач расчета пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане более общего характера и в более детальном анализе их напряженно-деформированного состояния. Это представляет собой весьма актуальную задачу и имеет как теоретический, так и практический интерес.

Целью диссертационной работы являются разработка аналитических решений задач расчета пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане вариационными методами с применением векторно-матричного аппарата и тригонометрических рядов, а также проведение расчета и анализа их напряженно-деформированного состояния.

Плановой контур (очертание) пластинок и пологих оболочек рассматривается в виде трапеции общего характера, т.е. две стороны параллельны и называются параллельными краями, а две другие произвольны в ориентации относительно друг друга и называются непараллельными краями, хотя они могут быть и параллельными в прямоугольнике и параллелограмме как частных случаях трапеции.

Научная новизна. На основе метода тригонометрических рядов получены решения задач изгиба пластинок и пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане в общей аналитической форме с произвольным числом членов ряда аппроксимирующих функций.

Получены общие удобные формулы в векторно-матричной форме для дифференцирования и интегрирования тригонометрических функций как одного переменного, так и сложного переменного.

Построены алгоритмы расчета пластинок и пологих круговых оболочек переноса вариационными методами Канторовича-Власова, Бубнова-Галеркина и Ритца-Тимошенко.

Разработаны комплекс программ на ЭВМ, реализующий расчетные алгоритмы.

Проведены качественный и числовой анализы напряженно-деформированного состояния пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритмов расчета и вычислительных программ на практике реального проектирования конструкций в виде тонких пластин и пологих оболочек на трапециевидном плане, выполненных из линейно упругого материала. Пластинки и пологие оболочки на прямоугольном, параллелограммном и трапециевидном планах разного рода рассчитываются по единым предлагаемым алгоритмам.

Обоснованность и достоверность научных положений выводов и рекомендаций определяются корректностью исходных предпосылок теории тонких пластин и пологих оболочек, корректностью математического преобразования, совпадением результатов тестовых расчетов с известными в литературе.

Ряд расчетов сравнивались с расчетами методом конечных разностей и вариационно-разностным методом.

Апробация работы. Основные результаты работ по расчету трапециевидных пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане докладывались и обсуждались на 31-й (1995г.), 32-й (1996г.), 33-й (1997г.), 34-й (1998г.) и 35-й (1999г.) научно-технических конференциях инженерного факультета РУДН, а также в международной научно-технической конференции по современному строительству в городе Пенза (1998г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы восемь научных статей, тезисы докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Во введении формулируется цель диссертационной работы, показываются актуальность диссертации, научная новизна и практическая ценность работы. Первая глава посвящена кратному историческому обзору приближенных методов расчета пластин и пологих оболочек в общем и решений задач расчета указанных конструкций на трапециевидном плане в частности. Во второй главе рассматривается построение решения задач расчета пластин и пологих оболочек на трапециевидном плане, а также излагается математический аппарат, на основе которого строятся алгоритмы решения поставленных задач. В третьей главе строятся алгоритмы расчета трапециевидных пластинок методами Канторовича-Власова, Бубнова-Галеркина и Ритца-Тимошенко, а также проводятся расчеты и анализ их напряженно-деформированного состояния. В четвертой главе рассматриваются алгоритмы расчета пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане перечисленными методами и проводятся расчеты их напряженно-деформированного состояния. В приложениях приведены алгоритмические программы расчета пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане, расчеты рассматриваемых конструкций дискретными методами, а также некоторые тематики, связанные с диссертацией, в частности, алгоритм решения линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в векторно-матричной форме.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Сын Самбатх

Заключение и выводы

1. Предложены векторно-матричные формы записи решения задач изгиба пластин и пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане, позволяющие значительно формализовать проведение операций дифференцирования и интегрирования над тригонометрическими функциями сложного аргумента в частности и построение алгоритмов решения в целом.

2. Разработаны алгоритмы расчета трапециевидных пластин вариационными методами Канторовича-Власова, Бубнова-Галеркина и Ритца-Тимошенко на основе использования тригонометрических функций с произвольным числом членов ряда.

3. Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния трапециевидных, параллелограммных и прямоугольных пластин.

4. Проведен анализ влияния параметров пластин на Pix напряженно-деформированное состояние.

5. Разработаны алгоритмы расчета пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане перечисленными в пункте 2 вариационными методами.

6. Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане.

7. Разработанные алгоритмы расчета пластин и пологих круговых оболочек переноса на трапециевидном плане реализованы в виде комплексных программ на алгоритмическом языке Borland Pascal 7.0 with Objects.

8. Результаты расчета представлены в виде таблиц и графиков прогибов и изгибающих моментов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сын Самбатх, 2000 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы

2. ТРЛПИИ l/nnVirriPTM Т/Г ТРППИИ nftrmrYUfV — N4 • Нялгь-я 1 078 9ЙЙ г

3. Ж V./ pt Itl J I Ip^J 1 V Ч I > ж 1 ■ I ж VWJ1V 1W1V| IT«,. 1 I Ж V L4, I / / . ^ Д» v,

4. Абовский M.B., Краснопеев Б.М. Оптимальное проектирование полигональных в плане ребристых пластин с поиском эффективной схемы расположения подкрепляющих ребер. Депонир. во ВНИИИС рукопись № 3512 Красноярск. политехи, ин-та, Красноярск, 1982, 17с., ил.

5. Александров A.B., Лящеников Б.Я., Шапошников H.H. и др. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2 ч. М.: Стройиздат, 1976. - 237 с.

6. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 360 с.

8. Анисимов А.Н. К исследованию устойчивости упругих пластинок произвольной формы. Автореферат дис. .канд. техн. наук. - Горький, 1977.

9. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высш. шк., 1961. 537 с.

10. Безухов Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высш. шк., 1965. 320 с.

11. Бидерман B.J1. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: "Машиностроение", 1977.-488 с. с ил.

12. Ю.Болотин В.В. О теории сложных плит. "Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение", 1963, № 3.

13. П.Боровский П.В. Применение метода сеток к расчету параллелограмм-ных пластинок. Тр. конферен. по теории пластин и оболочек. Казань: Наука, 1961.

14. Бронштейн И.Л., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 976 с.

15. З.Бубнов И.Г. Отзыв о работе проф. С.П. Тимошенко "Об устойчивости упругих систем"// Сб. Санкт-Петербургского института инженеров путей сообщения, вып. 8. 1913. - С. 18-46.

16. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1953.-423 с.

17. Бутров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

18. Бутенко В.Ю. Алгоритмизация решения задач теории пологих оболочек: Дисс. канд. техн. наук. Харьков, 1977. - С. 6-28.

19. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев: Госстройиздат УССР, 1959. - 1049 с.

20. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев: Изд-во "Будевильник", 1970. - 486 с.

21. Вайнберг Д.В., Синявский A.A. Расчет оболочек. Киев: Госстройиздат УССР, 1961.-204 с.

22. Ванюшенков М.Г. Расчет тонких упругих пластинок методом начальных функций. М.: МИСИ, 1965. - 46 с.

23. Варвак А.П., Варвак П.М. Безмоментные пологие оболочки равного сопротивления с косоугольным планом. ДАН УССР, 1,1964.

24. Варвак А.П., Варвак П.М. Безмоментные пологие оболочки равного сопротивления с криволинейным планом. ДАН УССР, 5, 1964

25. Варвак П.М. Оптимальное очертание пологих безмоментных оболочек// Расчет пространственных конструкций. Вып. IX, 1964. - С. 187-200.

26. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

27. Варвак П.М, Расчет балок стенок трапецеидального профиля. В сб. трудов Ин-та строительной механики АН УССР, № 13. - Киев: Изд-во АН УССР, 1950.

28. Варвак П.М. Трапециевидные балки-стенки. В сб.: Исследования повопросам строительной механики. АН УССР. Киев: Изд-во УССР, 1961.

29. Варвак П.М., Боровский П.В., Пискунов В.Г. Изгиб и колебания па-раллелограммных пластинок. Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М.: Изд-во АН СССР, 1966.

30. Варвак П.М., Варвак М.Ш., Дехтярь A.C. Несущая способность пластин сложного очертания. Изв. АН СССР, "Механика твердого тела", 2, 1973.

31. Варвак П.М., Дубинский A.M. Расчет свободно опертых трапецеидальных плит. В сб.: Вопросы строительной механики. - Киев: Изд-во АН УССР, 1940.

32. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: 1987. - 542 с

33. Векуа И.Н. К теории тонких пологих упругих оболочек// ПММ. 1948. -T. XII.-Вып. 1.-С. 10-18.

34. Власов Б.Ф. Постановка задач изгиба тонких плит в моментах и получение двухсторонних приближений по энергии// Проектирование металлических конструкций. М.: ЦНИИПСК, 1970, серия УП, вып. 7(27). - С. 2-16.

35. Власов Б.Ф. Об уравнениях неразрывности для задач изгиба тонких плит в постановке Кирхгоффа. М.: УДН, 1969. - 27 с.

36. Власов В.З. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 528 с.

37. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости// Изв. АН СССР, ОТН, № 7. 1955.

38. Власов В.З. Об уравнениях теории изгиба пластинок// Известия. АН СССР, ОТН, №12. 1957.

39. Волков Е.А., Постнов В.А. МКЭ в расчетах прочности сложных обо-лочечных элементов//Вопросы судостроения. 1985. Вып. 42. -С.32-39.

40. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1956. - 783 с.

41. Габбасов Р.Ф., Уваров Н.Б. Расчет косоугольных плит и коробчатых конструкций с использованием разностных уравнений МПА// Известия вузов. Строительство и архитектура. 1983. - № 3. - С.43-46.

42. Галеркин Б.Г. Упругие прямоугольные и треугольные свободно опертые толстые плиты, подверженные изгибу// Доклады АН СССР, сер. А, 1931.

43. Галимов К.З. Применение вариационного принципа возможных изменений напряженного состояния к нелинейной теории пологих оболочек// Изв. вузов. Сер: Математика. Казань, 1956. - № 1. - С.41-56.

44. Галинын А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям// Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 5, 6-7. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1967, 1970.

45. Головешкин Ю.В. Методы теории тонких оболочек в строительной механике надводного корабля. -СПб.: Судостроение, 1992. 176 с. ил.

46. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехте-ориздат, 1953. - 544 с.

47. Голышк Э.Р., Рукин Ю.Б. Конечный элемент трапециевидной формы для расчета пластинок и оболочек: В кн. Расчет прочности, устойчивости и колебаний элементов инженерных сооружений. Воронеж, 1981. - С.68-77, ил.

48. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 е., ил.

49. Гузь А.Н., Чернышенко И.С. и др. Методы расчета оболочек. Киев: Наук, думка, 1980. Т.1. 635 с.

50. Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по теории изгиба толстых и тонких плит, опубликованных в СССР// ПММ, Том XII, вып.1, 1948.

51. Дикович В.В. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения. -М.: Госстройиздат, 1960. 143 с.

52. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Физматгиз, 1961.

53. Доннелл Л.Г. Балки, пластинки и оболочки: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 568 с.

54. Дунаев И.М. Приближенный метод решения в полиномах дифференциальных уравнений в частных производных// Расчет пространственных конструкций: Сб. научн. тр. -М.: Стройиздат, 1964. -С.44-56.

55. Дьяченко-Дзин Н.К. Поперечный изгиб параллелограммной пластинки с двумя жестко закрепленными краями// Строительство. Вып. 3. Строительная механика. М.: УДН, 1967. - С. 97-116.

56. Дьяченко-Дзин Н.К. Поперечный изгиб трапециевидной пластинки с двумя закрепленными косыми краями// Строительство. Вып. 3. Строительная механика. М.: УДН, 1967. - С. 80-96.

57. Дьяченко-Дзин Н.К. Поперечный изгиб трапециевидной пластинки, у которой две стороны жестко закреплены// Строительство. Вып. 2. Труды УДН, т. IX-М.: УДН, 1965. С. 47-59.

58. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

59. Иванов В.Н. Теория упругости. Расчет пластинок. М.: УДН, 1978.24 с.

60. Иванов В.Н. К расчету трапециевидной пластинки с двумя жестко защемленными непараллельными краями// Проблемы математики в задачах физики и техники: Междуведомственный сборник научных трудов. М.: МФТИ, 1992. - С.73-78.

61. Иванов В.Н. Матричная форма решения задачи изгиба прямоугольной пластинки методом Канторовича-Власова// Исследования по расчету элементов пространственных систем: Сборник научн. трудов. М.: УДН, 1987. - С. 57-64.

62. Иванов В.Н. Матричные формы в задачах изгиба пластин и оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.: РУДН, 1996. - С. 12-21.

63. Иванов В.Н. Матрично-операторный метод решения пологой оболочкина прямоугольном плане в перемещениях// Теоретические основы строительства: Межвуз. сборник научных трудов. М.: Изд-во АСВ, 1996. - С. 21-25.

64. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболочек// Расчет оболочек строительных конструкций: Сборник научных трудов. -М.:УДН, 1982.-С. 130-141.

65. Иванов В.Н. Методические указания по теории упругости к изучению темы "Расчет пластинки вариационным методом Ритца-Тимошенко". М.: Изд-во РУДН, 1992.-36 с.

66. Иванов В.Н. Функции формы колебаний балки при расчете прямоугольных пластин методом Канторовича-Власова// Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях: Сб. научных трудов. М.: Изд-во АСВ, 1998. -С. 139-142.

67. Калманок A.C. Строительная механика пластинок. Машстройиздат,1950.

68. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. "Машиностроение", 1966.

69. Канторович J1.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных// ДАН СССР. 1934. - Т. 2. -№ 9. - С.532-546.

70. Канторович JI.B. Использование идеи метода Б.Г.Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям// ПММ. 1942.1. Т. VI.-Вып. l.-C. 91-107.

71. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физматгиз, 1962.

72. Киселев В.А. Расчет пластин. М.: Стройиздат, 1973. - 151 с.

73. Климанов В.И., Рогалевич В.В. Большие прогибы ортотропных пластин и цилиндрических панелей// Известия вузов. Строительство и архитектура. 1972- - № 5. - С. 43-48.

74. Колтунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высш. шк., 1972.-255 с.

75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 832 е., с ил.

76. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

77. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.-431 с.

78. Курпа Л.В., Болотина А.Ю. Расчет пологих оболочек сложной формы в геометрически нелинейной постановке// Мат. и электрон, моделир. в маши-ностр. Киев, 1989. - С. 7-11.

79. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Физмат-издат, 1963. - 358 с.

80. Лейбезон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.:, - Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1943. - 560 с.

81. Лужин О.В. Расчет плит при сложном очертании края. В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. XII. - М.: Госстройиздат, 1963. - С.227-234.

82. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935. - 674 с.

83. Маковенко С.Я. Расчет пологой круговой цилиндрической оболочки, заделанной с трех сторон// Исследования по теории сооружений, т. 15. М.: 1967.-С. 44-53.

84. Маковенко С.Я. Приложение теории оболочек к расчету цилиндрических пластин: Дис.канд. техн. наук. -М.: 1966. 190 с.

85. Малиев A.C. Некоторые задачи теории изгиба прямоугольных плит. -Автореферат дис. .докт. техн. наук. Л., 1951.

86. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек// Исследования по теории сооружений. М, 1987. - С. 87-94.

87. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки прогибов защемленных пластин неправильной формы// Проблемы устойчивости тонкостенных конструкций.-М., 1986.-С. 55-63.

88. Мануйлов Г.А. Оценки критической нагрузки и основной частоты некоторых пластин полигонального очертания// Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкции. Л., 1983. - С.59-67.

89. Матевосян P.P. К расчету трапециевидных тонких плит// Исследования по теории сооружений, вып. VII. М.: Госстройиздат, 1957. - С. 323-336

90. Милейковский И.Е. К расчету пологих оболочек на ЦЭВМ// Строительная механика и расчет сооружений. 1965. - № 4. - С. 21-27.

91. Милейковский И.Е. О некоторых зависимостях между балочными функциями и использование этих зависимостей для расчета пологих оболочек. "Строительная механика и расчет сооружений", 1964, № 3.

92. Милейковский И.Е., Купар А.К. Гипары. Расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов. М.: Стройиздат, 1977. - 91 с.

93. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. - 316 с.

94. Мохамед Абдсль Ш.А.Р. Статика и собственные колебания систем тонкостенных и массивных конструкций на параллелограммном плане (типа косых мостов). Автореферат дис.канд. техн. наук. - Воронеж, 1998.

95. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 708 с.

96. Мухадзе Л.М. Расчет пологих оболочек с применением обобщенногометода Мориса Левы/7 Сообщ. АН ГССР. 1962. Т.31, вып. 2. - С.347-354.

97. Назаров A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Л,-М., Стройиздат, 1966. 303 с. с рис.

98. Наморадзе Н.И. Применение смешанно-вариационного метода к расчету пологих оболочек двоякой кривизны// Труды гос. пед. ин-та им. В.И.Ленина. 1964. № I (94). - С. 219-222

99. Никиреев В.М., Шадурский В.Л. Практические методы расчет оболочек. М.: Стройиздат, 1966. - 271 с.

100. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности. М.: Госстрой-издат, 1955.-284 с.

101. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. М.: Политехника, 1991. - 656 с.

102. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. Изд-во МГУ, 1958.

103. Ониашвили О.Д. Об одной особенности применение вариационного метода Галеркина к расчету плит и оболочек// Тр. ин-та строит, дела АН ГССР. -1959.-№8. С. 37-38.

104. Оселедько А.И. Об изгибе трапециевидных пластинок// Инженерный сборник, т. XXI. М.: АН СССР, 1955. - С. 42-48.

105. Павилайнен В.Я. Практические методы расчета оболочек положительной гауссовой кривизны с прямоугольным планом. Доклад на международном симпозиуме ИАСС в Ленинграде, сентябрь, 1966.

106. Пастернак П.Л. Некоторые замечания по численному методу расчета плит на изгиб, в частности, трапециевидных, опертых по контуру// Исследования по теории сооружений, вып. IV. 1949. - С. 67-68.

107. Прагер П.М. Закритическая деформация трапециевидных и треугольных пластин// Исследования по строительным конструкциям (Сб. научных трудов). Томск: Изд-во Томского университета, 1964. - С.148-156.

108. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. -М.-Л.: Огиз-Гостехиздат, 1948.-215 с.

109. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 800 с.

110. Работягов Д.Д. Аналитическая механика пологих оболочек. Кишинев: Изд-во Штиинца, 1973. - 120 с.

111. Райзер В.Д. Матрично-операторный метод расчет пологих оболочек// Новые методы расчета строительных конструкций. М., 1968. - С.62-77.

112. Райзер В.Д., Борисов Л.Б. Алгоритм расчета пологих оболочек покрытий// Пространственные конструкции и сооружения, 1972. № 1,- С.27-41.

113. Райзер В.Д. Расчет безмоментных пологих сферических оболочек с косоугольным планом. В сб.: "Исследования по расчету оболочек, стержневых массивных конструкций". Госстройиздат, 1963.

114. Райзер В.Д. Учет изгибающих моментов при расчете пологих сферических оболочек, непрямоугольных в плане. "Строительная механика и расчет сооружений", 1963, № 6.

115. Райзер В.Д., Борисов Л.Б. Алгоритм расчета пологих оболочек покрытий// Пространственные конструкции и сооружения, 1972, № 1. С.27-41.

116. Рвачев В.Г., Курпа Л.В. и др. Методы R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев: "Наукова думка", 1973. - 121 с.

117. Рвачев В.Л., Склепус С.Н., Архипов A.B. Исследование напряженно-деформированного состояния однородных и неоднородных пологих оболочек сложной формы// Исследования по теории пластин и оболочек. 1992. - № 24.-С. 113-118.

118. Рекач В.Г. К расчету пологих оболочек, пластин и мембран по деформированному состоянию/'/' Строительная механика и расчет сооружений. -М.: УДН, 1978. № 5.

119. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. -М.: Высш. шк., 1973. 384 е., ил.

120. Рекач В.Г. Статический расчет тонкостенных пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1975. - 256 с.

121. Рекач В.Г., Маковенко С.Я. К практическому расчету пологих оболочек по деформированному состоянию// Расчет оболочек строительных конструкций: Сборник научных трудов. М.: Изд-во УДН, 1982. - С. 88-96.

122. Ржаницын А.Р. Расчет упругих оболочек произвольного очертания в прямоугольных координатах// Строительная механика и расчет сооружений. -1977. -№ 1. С.21.

123. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. -439 е.: ил.

124. Римский P.A. Исследование косоугольных пластин методом Канторовича-Власова. В кн.: Исследования по теории сооружений. - М: Стройиздат, 1970.-С. 64-68.

125. Рогалевич В.В., Корсаков С.А. Об одном варианте метода коллока-ции и наименьших квадратов при решении краевых задач теории пластин и оболочек// Исследования пространственных конструкций. Свердловск, 1981, Вып. З.-С. 5-16.

126. Романов A.A. К расчету прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями. Труды МИИТ, вып. 364, 1971. С.94-104.

127. Роотс JIM. Нахождение критической нагрузки равномерно сжатых пластинок трапециевидного и треугольного очертания// Тр. конф. по теории пластин и оболочек/Казанск. гос. ун-т. Казань, 1961.

128. Самуль В.И. Основы теории упругости с пластичности. М.: Высшая школа, 1982. - 264 е., ил.

129. Сапонджян О.М. Изгиб тонких упругих плит. Ереван: Айастан, 1975.-435 с.

130. Секулович М. Метод конечных элементов/ Пер. с серб. М.: Стройиздат, 1993. - 664 е.: ил.

131. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекция по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. -408 с.

132. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиз-дат, 1978. - 300 с.

133. Смирнов В.А. Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифферешщальных уравнений в частных производных, -В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. XVII. М.: Госстройиздат, 1969.-С. 111-125.

134. Снитко Н.К. Вертикальные колебания упругой трапециевидной пластинки/'/ Строит, механика и расчет сооружений, № 4. 1982. - С. 12-17.

135. Соболев Д.Н. Применение вариационного метода проф. В.З.Власова к расчету тонких трапециевидных плит// Научные доклады высшей школы, "Строительство", № 1, 1959. С. 19-26.

136. Соболев Л.Н. Поперечный изгиб трапециевидных, треугольных и косых пластинок. Известия вузов, раздел "Строительство и архитектура", 1958, №6.

137. Солякова О.Н., Бондарев Г.Е. Изгиб пластин сложного очертания под действием сосредоточенной силы// Прочн. конструкций в экстрем, условиях/ Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1992. - С. 46-50.

138. Справочник по теории упругости (Для инженеров-строителей). Под ред. П.М.Варвакаи А.Ф.Рябова. Киев: "Будавельник", 1971.-419 с.

139. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. В двух книгах. Кн. 2. Под ред. A.A. Уманского. -М.: Стройиздат, 1973. 416 с.

140. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.-439 с.

141. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. -М.: Гостехиздат, 1948.460 с.

142. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.

143. М.: Физматгиз, 1963. -635с.

144. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 367 с.

145. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л: Стройиздат, 1970.207 с.

146. Филин А.П. Расчет оболочек произвольного очертания на основе дискретной расчетной схемы// Тр. конференции по теории пластинок и оболочек. 1961.-С. 388-399.

147. Филин А. П. Матричная форма методов строительной механики// гр. ЛИИЖТ, 1965. Вып. 1-4.

148. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 128 с.

149. Филоненко-Бородич М.М. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой два противоположные края закреплены. Вестник Московского Университета. Ежемесячный научный журнал, № 3, март 1947 г.

150. Филоненко-Бородич М.М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости. Прикладная математика и механика, т. X, вып. 1, 1946.

151. Форсберг К. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек. В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т. 2. - Л.: "Судостроение", 1974.

152. Францев Н.В. Влияние неправильностей формы на напряженно-деформированное состояние гибких прямоугольных пластин// Исследования пространственных конструкций. Свердловск, 1982. - Вып. 3. - С.60-68.

153. Хечумов P.A., Кешшер К., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изв-до АСВ, 1994. - 553 е., ил.

154. Хечумов P.A., Нафасов Э. Расчет пологих оболочек в цилиндрических координатах. М.: Стройиздат, 1991. - 220 е.: ил.

155. Хомченко А.Н, Упрощенный анализ изгиба пластин произвольного очертания// Вопр. исслед. прочн. деталей машин, № 1. 1993. - С. 61-63.

156. Хуберян К.М. Общий смешанный вариационно-стержневой метод в применении к толстым симметричным оболочкам произвольной формы// Тр. 6-й Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин: Баку. М.: Наука, 1966.

157. ЦНИИСК. Практические методы расчета оболочек и складок покрытий. -М.: Стройиздат, 1970.-216 с.

158. Чернов В.И. Расчет методом конечных разностей пластин сложных очертаний. НИИ строит, конструкций, Запорожье, 1981. - 5 е., ил.

159. Чернов В.И., Чернов А.Н., Федоткин А.Н. Расчет методом конечных разностей гибких пластин с произвольными граничными условиями. -НИИСК, Запорожское отделение. Запорожье, 1981. 6 с.

160. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ, ч. 2, 1964.-395 с.

161. Чирас А.А. Строительная механика: Теория и алгоритмы. -М.: Стройиздат, 1989. 255 е.: ил.

162. Чонка П. Расчет сложных полигональных оболочек. Симпозиум ИАСС по проблемам проектирования и возведения оболочек для производственных и общественных зданий с большим пролетом. М.: Стройиздат, 1966.

163. Юрьев А.Г. Определение рациональной конфигурации прямоугольной пластинки// Известия вузов. Строительство и архитектура. 1986. - № 8. -С. 30-33.

164. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. Казань: Ин-т мех. и маш иностр., 1993. - 206 с.

165. Aggarwala B.D. On bending of a Parallelogram Plate. ZAMM 47 (1967), № 4.

166. Cheung M.S., Chan M.Y.T. Static and dynamic analysis of thin and thick sectorial plates by the finite strip method (Расчет тонких и толстых секторальных плит). Сотр. and Struct., 1981, vol. 14, №1/2, р.79-88.

167. Kobayashi Harutashi. On analysis of skew plates on elastic foundations (К расчету косых пластин на упругом основании)// Mem. Fac. Eng./ Osaka City1t>5

168. Univ. 1993. -34. - P. 121-124.

169. Law F. Design of irregular shaped two-way slabs (Расчет четырехугольной плиты перекрытия неправильной формы). "Journal of the American concrete institute", 1971, vol. 68, N11, p.844-847

170. Wojewodzki W., Goszko W.A. Ultimate Load of Trapezoidal Reinforced Concrete Slab-beam System// Теоретические основы строительства. M.: Изд-во АСВ, 1996. - С 205-218.